11.2. Ausblick auf das quantenmechanische Atommodell

11.2. Ausblick auf das quantenmechanische Atommodell
Die Grenzen des Bohrschen Atommodells:
- Die Bohrschen Postulate sind willkürlich und von der Physik her nicht begründet.
- Sie versagen bei Mehrelektronensysteme.
- Widerspruch zu Heisenberg
ΔvHeisenb. ≈ v Bahn Bohr
Das quantenmechanische Modell:
Im Bohrschen Modell wird dem Wellencharakter des Elektrons kaum Rechnung getragen. Die
Quantenmechanik stellt ihn dagegen in den Mittelpunkt. Stehende ,räumliche Materiewellen,
deren Amplitudenquadrat die Aufenthaltswahrscheinlichkeit darstellt, charakterisieren die
einzelnen Elektronenzustände. Das Elektron läuft in diesem Modell nicht auf einer genau fixierten
Bahn um, sondern kann sich in dem von der stehenden Welle erfassten Raum an irgendeiner Stelle
befinden. Dieser Raum wird als Orbital bezeichnet. Der mathematische Apparat zur Berechnung
der stehenden Materiewellen ist sehr kompliziert.
An einem einfachen Beispiel, einem Modell fürs Modell soll klar gemacht werden, dass für
Elektronen, die in einem begrenzten Raum, wie es das Coulombfeld der Kernladung darstellt,
festgehaltenen werden, nur bestimmte Energiezustände möglich sind.
Vereinfachend wird dazu das Coulombpotential, durch das ein Elektron an den Kern gebunden ist
als Kastenpotenzial mit unendlich hohen Wänden dargestellt:
Epot
Abstand vom Kern
Potentialtopf
Linearer Potentialtopf
Das Elektron soll sich also in einem Topf
befinden, in dem es sich nur in x Richtung
bewegen kann und in dessen Inneren die pot.
Energie willkürlich mit 0 angenommen wird; an
den Rändern steigt Epot sprunghaft auf Unendlich
an. Das Elektron ist somit eingesperrt und nicht
zu befreien - ein vergröbertes Bild für das
Wasserstoffatom. Da die Materiewelle des
Elektrons an den Rändern reflektiert wird ,
entsteht eine stehende Welle.
Wie bei einer beidseitig eingespannten Saite
können sich nur stehende Wellen mit
unterschiedlicher Frequenz bzw. Wellenlänge
ausbreiten.
n=3
3
n=2


n=1
Länge l
Die Bedingung für die stehende Welle:
l  n
 v

2
h
n
2ml
oder

2l
n
Mit de Broglie gilt:
und für die Gesamtenergie gilt dann:
Epot= ∞

E ges  E kin
h
mv
m 2
h2
 v 
n2
2
2
8ml
Ein auf der Strecke l eingeschlossenes Teilchen der Masse m kann nur diskrete Energiewerte
annehmen; seine Energie ist gequantelt.
Nullpunktsenergie
Für n=1 erhält man die niedrigste Gesamtenergie, die Nullpunktsenergie. Nach der kin Gastheorie
müsste die Energie von Teilchen am absoluten Nullpunkt gleich Null sein. Dies würde bedeuten,
dass auch die Geschwindigkeit der Elektronen Null sein müsste und die Elektr. in den Kern stürzen
würden - die Atome wären instabil.
Quantensprung bei Emission oder Absorption
Der lin. Potenzialtopf gibt auch die Quantensprünge bei der Emission und Absorption von Energie
in einem Atom richtig wieder. Die stehende Materiewelle ψ(x) ändert einfach ihre
Schwingungsform.
Schrödinger: Um wie vieles sympathischer ist die Vorstellung, dass bei einem Quantenübergang die Energie aus einer
Schwingungsform in eine andere übergeht, als die Vorstellung von den springenden Elektronen (beim Bohrschen
Modell).
Aufenthaltswahrscheinlichkeit
Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons an der Stelle x wird durch |ψ(x)|² ausgedrückt.
Die Elektronen im 2 Bild
befinden sich also
hauptsächlich in der linken
oder in der rechten Hälfte,
weniger oder gar nicht in
der Mitte.
Ein experimenteller Beweis gelang
Crommie,Lutz und Eigler 1993. Ein
Elektron ist zwischen 48 Eisenatomen auf
einer Kupferplatte eingesperrt. Dazwischen
wurde gemessen, ob das Elektron
anwesend ist oder nicht.
Schrödingers Atomtheorie ist unanschaulich, sein Atommodell rein mathematisch.
Bohr dazu: Der Verzicht auf Anschaulichkeit und Kausalität, zu dem wir bei der Beschreibung der Atomerscheinung
gezwungen sind, könnte vielleicht als eine Enttäuschung aufgefasst werden. .....Wir müssen nur auf die Notwendigkeit
einer immer weitergehenden Abstraktion von unseren gewohnten Forderungen an die unmittelbare Anschaulichkeit der
Naturbeschreibung vorbereitet sein.
Ansatz für eine Wellenfunktion Ψ(x)
Wir wissen, dass Wellen durch Sinus- und Kosinusfunktionen dargestellt werden können. Demnach
können wir Ψ(x) innerhalb des Kastens durch eine Linearkombination von sin(x) und cos(x)
beschreiben.
Ψ(x) = Asin(kx)+Bcos(kx).
Darin sind A und B noch näher zu bestimmende Konstanten und k ist die sogenannte Wellenzahl 1/λ.
Da das Elektron nicht aus dem Kasten gelangen kann, ist die Wellenfunktion außerhalb des Kastens
gleich Null. Insbesondere muss die Wellenfunktion am Rand verschwinden (fixed end), was folgende
Randbedingungen impliziert:
ψ(0) = 0 und ψ(l) = 0
Man setzt diese Bedingungen in den obigen Ansatz ein und erhält der Reihe nach
Ψ(0)=A sin(0) + B cos(0) = 0 ⇒ B = 0,
was zunächst den obigen Ansatz wesentlich vereinfacht zum Ausdruck
Ψ(x) = A sin(kx).
Nun setzen wir die zweite Bedingung in diesen Ausdruck ein, was zu folgender Gleichung führt
Ψ(l)=A sin(kl) = 0.
Lösen wir nun diese Gleichung: Zunächst darf A nicht Null sein, weil sonst die gesamte
Wellenfunktion Null wäre und es damit gar kein Teilchen gäbe! Deshalb hat man
sin(kl) = 0 ⇒ kl = nπ
also k =
nπ
l
Somit ergibt sich für den linearen Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden die folgende
2
nπ
ψn ( x) = ( ) sin( ⋅x )
Wellenfunktion:
l
l
√
Die Amplituden der Wellenfunktionen ergeben sich aus der Normierung ∫ ψ² = 1 und sind
unabhängig von n.
Tunneleffekt
Sind die Wände des Potentialtopfs nicht unendlich
sondern endlich hoch, so gibt es für ein
Quantenobjekt (hier Elektron) eine, wenn auch nur
sehr sehr geringe, Aufenthaltswahrscheinlichkeit
außerhalb des Potentialtopfs. „Erklären“ kann man
das mit der Heisenbergschen Unschärferelation, die
Quantenteilchen kurzzeitig sehr große
Energiemengen erlaubt.
Δ E⋅Δ t≥
h
4π