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Digitales Suchen / Digitale Suchbäume
Verschiedene Suchverfahren laufen in der Weise ab, dass sie
die Suchschlüssel bitweise untersuchen, anstatt in jedem
Schritt vollständige Vergleiche zwischen Schlüsseln
durchzuführen.
Diese Methoden, die digitale Suchverfahren (radix-searching
methods) genannt werden, arbeiten mit den Bits der
Schlüssel selbst, im Gegensatz zu der transformierten
Variante der Schlüssel, die beim Hashing verwendet wird.
Ebenso wie im Falle der digitalen Sortierverfahren gilt, dass
diese Methoden von Nutzen sein können, wenn die Bits der
Suchschlüssel leicht zugänglich und die Werte der
Suchschlüssel gut verteilt sind.
G.Heyer
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Algorithmen und Datenstrukturen II
Die Hauptvorteile sind, dass
• sie ohne Komplikationen, die bei ausgeglichenen Bäumen
auftreten, ein annehmbares Verhalten im ungünstigsten Fall
gewährleisten,
• sie einen einfachen Weg zur Behandlung von Schlüsseln mit
variabler Länge bieten,
• einige von ihnen Einsparungen von Speicherplatz
ermöglichen, indem sie einen Teil des Schlüssels innerhalb
der Suchstruktur speichern und dass
• sie einen sehr schnellen Zugriff auf die Daten realisieren
können, der sowohl mit binären Suchbäumen als auch mit
Hashing vergleichbar ist.
G.Heyer
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Algorithmen und Datenstrukturen II
Die Nachteile sind, dass
• Daten mit einer gewissen Systematik zu entarteten Bäumen
mit schlechtem Verhalten führen können und
• dass einige der Verfahren den Platz sehr ineffizient
ausnutzen.
Wie die digitalen Sortierverfahren sind auch diese Methoden
dazu bestimmt, spezielle Eigenschaften der Architektur
eines Computers auszunutzen.
G.Heyer
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Algorithmen und Datenstrukturen II
Digitale Suchbäume
Das einfachste digitale Suchverfahren ist die Suche mit
digitalen Bäumen; der Algorithmus ist genau der gleiche wie
der für die Suche in einem Binärbaum, mit dem Unterschied,
dass in dem Baum nicht entsprechend dem Ergebnis des
Vergleiches zwischen den Schlüsseln verzweigt wird, sondern
entsprechend den Bits des Schlüssels.
Auf der ersten Ebene wird das führende Bit benutzt, auf der
zweiten Ebene das zweite führende Bit usw., bis ein äußerer
Knoten vorgefunden wird.
Das Programm hierfür ist praktisch das gleiche wie für die
Suche in einem Binärbaum. Der einzige Unterschied ist, dass
die Vergleiche der Schlüssel durch Aufrufe der Funktion bits
ersetzt werden, die beim digitalen Sortieren verwendet
wurde.
G.Heyer
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Algorithmen und Datenstrukturen II
unsigned bits ( unsigned x, int k, int j )
{ return (x >> k ) & ~ (~ 0 << j) ; }
j sind Bits, die k Stellen von rechts in x erscheinen.
Die Funktion kann in Maschinensprache effizient implementiert
werden, indem um k Bits nach rechts geschoben wird und dann
alle Bits außer den rechts befindlichen j Bits auf 0 gesetzt werden.
int digitalsearch ( int v)
{
struct node *x = head;
int b = maxb;
z -> key = v ;
while ( v != x -> key)
x = ( bits (v, b--,1)) ? x -> r : x -> l ;
return x -> info;
}
G.Heyer
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Algorithmen und Datenstrukturen II
Datenstruktur:
die gleiche wie die für elementare binäre Suchbäume
Die Konstante maxb ist die Anzahl der Bits in den Schlüsseln,
die zu sortieren sind. Für das Programm wird angenommen,
dass das erste Bit in jedem Schlüssel ( das (maxb + 1) -te von
rechts) 0 ist, so dass die Suche bei head beginnt, welches eine
Verkettung ist, die auf den Kopfknoten eines Baumes mit dem
Schlüssel 0 und mit einer auf den Suchbaum zeigenden
linken Verkettung zeigt.
Daher ist die Prozedur zur Initialisierung für dieses
Programm die gleiche wie für die Suche in einem
Binärbaum, abgesehen davon, dass man mit
head -> l = z anstatt mit head -> r = z beginnt.
Hier wird vorausgesetzt, dass alle Schlüssel, die in der
Datenstruktur auftreten, unterschiedlich sind.
G.Heyer
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Algorithmen und Datenstrukturen II
A
00001
S
10011
E
00101
R
10010
C
00011
H
01000
I
01001
N
01110
G
00111
X
11000
M
01101
P
10000
L
01100
G.Heyer
Annahme:
der i-te Buchstabe des Alphabets wird
durch die aus fünf Bits bestehende
Binärdarstellung von i repräsentiert.
Um Konsistenz mit bits zu erreichen,
betrachten wir die Bits von rechts nach
links mit 0 bis 4 durchnumeriert.
( demnach ist Bit 0 das einzige von 0
verschiedene Bit von A, und Bit 4 ist das
einzige von 0 verschiedene Bit von P)
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Algorithmen und Datenstrukturen II
Ein digitaler Suchbaum
A
0
1
E
0
0 C
1
0
0 H 1
1
0 G 10
S
I 1
0
0
0 L
G.Heyer
0
M
N
1 0
1
R
P
1
0 X
1
1
1
1
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Algorithmen und Datenstrukturen II
Prozedur für das Einfügen in digitale Suchbäume
digitalinsert (int v, int info )
{
struct node *p, *x = head;
int b = maxb;
while (x != z )
{
p=x;
x = ( bits ( v, b--, 1 )) ? x--> r : x --> l ;
}
x = (struct node *) malloc (sizeof *x);
x --> key = v ; x --> info = info ; x --> l = z ; x --> r = z ;
if ( bits ( v, b+1, 1 ) ) p --> r = x ; else p --> l = x;
}
G.Heyer
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Algorithmen und Datenstrukturen II
Beispiel: Einfügen eines neuen Knotens,
wenn der Schlüssel Z = 11010 zu dem Baum hinzugefügt wird.
Durchlaufen des digitalen Suchbaums:
• zweimal nach rechts wenden, da die beiden führenden Bits
von Z 1 sind,
• dann nach links, wo der äußere Knoten links von X liegt, wo Z
eingefügt wird.
Der ungünstigste Fall für Bäume, die mit digitaler Suche erzeugt
werden, ist viel besser als für binäre Suchbäume, wenn die Anzahl
der Schlüssel groß ist und die Schlüssel nicht lang sind. Die Länge
des längsten Pfades in einem digitalen Suchbaum ist gleich der
längsten Übereinstimmung in den führenden Bits zwischen zwei
beliebigen Schlüsseln im Baum, und diese ist für viele
Anwendungen meist relativ klein (z. B. wenn die Schlüssel aus
zufälligen Bits bestehen ).
G.Heyer
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Algorithmen und Datenstrukturen II
Eigenschaften eines digitalen Suchbaumes:
Ein Suchen oder Einfügen in einem digitalen Suchbaum
erfordert durchschnittlich ungefähr lg N Vergleiche und im
ungünstigsten Fall b Vergleiche, wenn der Baum aus N
zufälligen Schlüsseln mit b Bits erzeugt wurde.
Es ist offensichtlich, dass kein Pfad jemals länger sein kann
als die Anzahl der Bits in den Schlüsseln; z. B. kann ein
digitaler Suchbaum, der aus Schlüsseln mit acht Zeichen
erzeugt wurde, mit beispielsweise sechs Bits pro Zeichen,
keinen Pfad besitzen, der länger als 48 ist, selbst wenn es
Hunderttausende von Schlüsseln gibt. Aus einer Analyse geht
hervor, dass digitale Suchbäume nahezu ausgeglichen sind,
da das „nächste“ Bit eines zufälligen Schlüssels mit der
gleichen Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 sein kann, so dass auf
beide Seiten eines jeden Knotens jeweils die Hälfte entfällt.
G.Heyer
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Algorithmen und Datenstrukturen II
Digitale Such-Tries
Sehr oft liegt der Fall vor, dass Suchschlüssel sehr lang sind,
vielleicht zwanzig Zeichen oder mehr. In einer solchen
Situation können die Kosten, die beim Vergleich eines
Suchschlüssels hinsichtlich der Gleichheit mit einem
Schlüssel aus der Datenstruktur entstehen, zu
dominierenden Kosten werden, die nicht vernachlässigt
werden können.
Bei der Suche mit Hilfe digitaler Bäume wird ein solcher
Vergleich bei jedem Knoten des Baumes vorgenommen.
Ziel: Verringerung der Vergleiche
G.Heyer
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Algorithmen und Datenstrukturen II
Neue Idee:
die Schlüssel nicht im Knoten des Baumes zu speichern,
sondern stattdessen alle Schlüssel in äußeren Knoten des
Baumes anzuordnen. Das heißt, anstatt für äußere Knoten
der Struktur z zu verwenden, sieht man Knoten vor, die die
Suchschlüssel enthalten.
Es entstehen 2 Typen von Knoten:
• innere Knoten, die nur Verkettungen zu anderen Knoten
enthalten und
• äußere Knoten, die Schlüssel und keine Verkettungen
enthalten.
(Fredkin nannte diese Methode „trie“, da sie für das
Wiederauffinden „retrieval“ von Nutzen ist.)
G.Heyer
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Algorithmen und Datenstrukturen II
Suchen eines Schlüssels in einer solchen Struktur:
Entsprechend seiner Bits abzweigen (aber kein Vergleich ) bis man
an einen äußeren Knoten gelangt.
Jeder Schlüssel im Baum wird in einem äußeren Knoten des Pfads
gespeichert, der von dem führenden Bitmuster des Schlüssels
beschrieben wird, und jeder Suchschlüssel gelangt zu einem
äußeren Knoten, so dass ein vollständiger Vergleich der Schlüssel
die Suche beendet.
Beispiel eines (binären) digitalen Such-Tries für die
Schlüssel A S E R C
E
A
C
R
G.Heyer
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S
Algorithmen und Datenstrukturen II
Interessante Eigenschaften eines digitalen Such-Trie
Die Struktur des Trie ist unabhängig von der Reihenfolge, in
der die Schlüssel eingefügt werden. Für jede gegebene Menge
von unterschiedlichen Schlüsseln existiert ein eindeutiger Trie.
Für die Implementation dieses Verfahrens in C sind zwei Typen
von Knoten erforderlich, wobei Verkettungen in inneren
Knoten auf Knoten beider Typen zeigen können.
Der linke Unterbaum eines binären digitalen Such-Trie enthält
alle Schlüssel, die als führendes Bit 0 haben; der rechte
Unterbaum enthält alle Schlüssel, die 1 als führendes Bit
haben. Dies führt zu einer unmittelbaren Entsprechung zum
digitalen Sortieren. Bei der Suche mit binären Tries wird die
Datei in genau der gleichen Weise zerlegt wie bei Radix
Exchange Sort. Diese Entsprechung ist analog zu der
Entsprechung zwischen der Suche in einem Binärbaum und
Quicksort.
G.Heyer
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Algorithmen und Datenstrukturen II
Weitere Eigenschaften von digitalen Such-Tries
Ein Suchen oder Einfügen in einem digitalen Such-Trie
erfordert ungefähr lg N Bitvergleiche für eine
durchschnittliche Suche und b Bitvergleiche im ungünstigsten
Fall, wenn der Baum aus N zufälligen Schlüsseln mit b Bits
erzeugt wurde.
Eine störende Eigenschaft von digitalen Tries, welche sie von
den anderen Typen von Suchbäumen unterscheidet , ist die
„Einweg-“Verzweigung, die für Schlüssel erforderlich ist, die
eine große Anzahl Bits gemeinsam haben. Zum Beispiel
erfordern Schlüssel, die sich nur im letzten Bit unterscheiden,
einen Pfad, dessen Länge gleich der Länge des Schlüssels ist,
gleichgültig, wie viele Schlüssel im Baum vorhanden sind. Die
Zahl der inneren Knoten kann um einiges größer sein als die
Zahl der Schlüssel.
G.Heyer
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Algorithmen und Datenstrukturen II
Ein digitaler Such-Trie, der aus N zufälligen Schlüsseln
mit b Bits erzeugt wurde, besitzt im Durchschnitt ungefähr
N/ln2 = 1,44 N Knoten.
Beispiel: Ein Such-Trie, der aus 95 zufälligen Schlüsseln mit 10
Bits erzeugt wurde, besitzt 131 Knoten.
Ziel: Die Höhe von Tries ist zwar durch die Anzahl von Bits in
den Schlüsseln begrenzt, doch wäre es wünschenswert, die
Möglichkeit zur Verarbeitung von Datensätzen mit sehr langen
Schlüsseln (z. B. 1000 Bits oder mehr ) zu betrachten.
Die Schlüssel könnten evtl. eine gewisse Einheitlichkeit
aufweisen, wie dies bei Daten der Fall sein könnte, die kodierten
Text darstellen. Ein Weg, um die Pfade in den Bäumen zu
verkürzen, besteht in der Verwendung von deutlich mehr als zwei
Verkettungen pro Knoten ( obwohl dadurch ein „Platz“-Problem
infolge der Verwendung zu vieler Knoten entstehen kann; ein
anderer Weg ist das „Verkürzen“ von Pfaden, die EinwegAbzweigungen zu einzelnen Verkettungen enthalten.
G.Heyer
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Algorithmen und Datenstrukturen II
Digitales Mehrwege-Suchen
Beim digitalen Sortieren stellte man fest, dass eine
beträchtliche Erhöhung der Geschwindigkeit erzielt wurde,
wenn jedesmal mehr als ein Bit betrachtet wurde.
Dies gilt auch für die digitale Suche:
Indem jedesmal m Bits betrachtet werden, kann die Suche um
den Faktor 2m beschleunigt werden. Es gibt jedoch ein
Hindernis, das es erforderlich macht, bei der Anwendung
dieser Idee vorsichtiger zu sein als beim digitalen Sortieren.
Das Problem besteht darin, dass die gleichzeitige Betrachtung
von m Bits der Verwendung von Knoten mit M = 2 m
Verkettungen in einem Baum entspricht, was zu einer
beträchtlichen Menge von vergeudetem Platz für nicht
benutzte Verkettungen führen kann.
G.Heyer
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Algorithmen und Datenstrukturen II
Beispiel:
M = 4, für Beispielschlüssel wird folgender Trie erzeugt:
X
A C E G
N P
H
I
L
M
R
S
Um in diesem Trie zu suchen, betrachte man jeweils zwei Bits im
Schlüssel auf einmal:
00
nehme man beim ersten Knoten die linke Verkettung,
01
nehme man die zweite Verkettung,
10
nehme man die dritte Verkettung,
11
nehme man die vierte Verkettung.
Danach verzweige man auf der nächsten Ebene entsprechend
dem dritten und dem vierten Bit.
G.Heyer
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Algorithmen und Datenstrukturen II
Um z. B. in dem abgebildeten Trie nach T = 10100 zu suchen,
nehme man von der Wurzel ausgehend, die dritte Verkettung
und danach die dritte Verkettung vom dritten Nachfolger der
Wurzel, womit man zu einem äußeren Knoten gelangt, so dass
die Suche erfolglos ist. Um T einzufügen, könnte dieser
Knoten durch einen neuen Knoten ersetzt werden, der T (und
vier äußere Verkettungen ) enthält.
Man erkennt, dass in diesem Baum aufgrund der großen Zahl
nicht benutzter äußerer Verkettungen relativ viel Platz
vergeudet wird.
Wenn M größer wird, spitzt sich dieser Effekt zu; es zeigt sich,
dass die Anzahl der verwendeten Verkettungen für zufällige
Schlüssel ungefähr MN / ln M beträgt.
Andererseits ist dies eine sehr effiziente Suchmethode:
Die Laufzeit beträgt ungefähr logM N .
G.Heyer
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Algorithmen und Datenstrukturen II
Ein sinnvoller Kompromiss zwischen der Zeiteffizienz von
Mehrwege-Tries und der Platzeffizienz anderer Methoden
kann gefunden werden, indem eine „Hybrid“-Methode mit
einem großen Wert von M an der Spitze (z. B. auf den ersten
beiden Ebenen) und einem kleinen Wert von M (oder
irgendeiner elementaren Methode ) auf den unteren Ebenen
angewandt wird.
Effiziente Implementationen derartiger Methoden können
jedoch auch hier aufgrund mehrerer unterschiedlicher Typen
von Knoten sehr kompliziert sein.
Beispielsweise teilt ein Baum mit zwei Ebenen mit je 32
Abzweigungen die Schlüssel in 1024 Kategorien ein, von
denen jede in zwei Schritten im Baum abwärts erreicht
werden kann. Dies wäre für Dateien mit Tausenden von
Schlüsseln sehr zweckmäßig.
G.Heyer
21
Algorithmen und Datenstrukturen II
Interessant ist, dass „Hybrid“-Suchmethoden der Art und
Weise entsprechen, wie Menschen nach Dingen suchen, z. B.
Namen in einem Telefonbuch.
Der erste Schritt ist eine Mehrwege-Entscheidung
(„Nachsehen, das Wort beginnt mit ‚A‘ „),
der vielleicht einige Zweiweg-Entscheidungen folgen
--> „Andrews“ kommt nach „Aitken“,
--> danach erfolgt sequentiellen Suche
„Algonquin“ ...“ Algren“
nein „Algorithmus“ steht
nicht drin.
Natürlich dürften Computer eine Mehrwege-Suche um einiges
besser als Menschen ausführen, so dass zwei Ebenen
zweckmäßig sind. Weiterhin ist ein 26-Wege-Verzweigen (sogar
mit noch mehr Ebenen) eine sehr sinnvolle Alternative, die für
Schlüssel in Betracht gezogen werden sollte, die einfach aus
Buchstaben bestehen (z. B. in einem Wörterbuch).
G.Heyer
22
Algorithmen und Datenstrukturen II
Patricia
Das Suchverfahren mit digitalen Tries in der oben
dargestellten Form hat zwei Unzulänglichkeiten:
Das „Einweg-Verzweigen“ führt zur Erzeugung von
zusätzlichen Knoten im Baum, und es gibt zwei verschiedene
Typen von Knoten im Baum, wodurch sich das Programm
etwas kompliziert (besonders der Teil des Einfügens).
D. R. Morrisson entdeckte einen Weg, wie diese beiden
Probleme mit Hilfe einer Methode, die er Patricia nannte
(„Practical Algorithm To Retrieve Information Coded In
Alphanumeric“, praktischer Algorithmus zum
Wiederauffinden von alphanumerisch kodierter
Information) umgangen werden können. Der nachfolgende
Algorithmus ist nicht in der gleichen Form dargestellt wie
bei Morrison.
G.Heyer
23
Algorithmen und Datenstrukturen II
Hier werden Fragen untersucht, in denen mit Patricia
die Suche nach N beliebig langen Schlüsseln in einem Baum
mit nur N Knoten erfolgt. Das erfordert nur einen
vollständigen Schlüsselvergleich pro Suche.
Einweg-Verzweigungen werden durch eine einfache Maßnahme
vermieden:
Jeder Knoten enthält den Index des Bits, das zu testen ist, um
zu entscheiden, welcher Pfad von diesem Knoten aus zu
benutzen ist. Äußere Knoten werden vermieden, indem
Verkettungen zu äußeren Knoten durch Verkettungen ersetzt
werden, die im Baum nach oben zeigen, zurück zum normalen
Baumknotentyp mit einem Schlüssel und zwei Verkettungen.
Bei Patricia werden die Schlüssel in den Knoten jedoch auf
dem Weg im Baum nach unten nicht benutzt, um die Suche zu
steuern; sie werden erst dann betrachtet, wenn die unterste
Ebene des Baumes erreicht wurde.
G.Heyer
24
Algorithmen und Datenstrukturen II
Ein Patricia-Baum
4
S
3
H
2
E
1
C
2
N
1
G
1
P
0
I
1
M
0
R
0
L
0
A
G.Heyer
3
X
25
Algorithmen und Datenstrukturen II
Um in diesem Baum zu suchen, beginnt man bei der Wurzel
und bewegt sich im Baum abwärts, wobei man den Bitindex in
jedem Knoten benutzt, um festzustellen, welches Bit im
Schlüssel zu unterstützen ist; man wendet sich nach rechts,
wenn das Bit 1 ist, und nach links, wenn es 0 ist.
Die Schlüssel in den Knoten werden auf dem Weg im Baum
abwärts überhaupt nicht betrachtet.
Schließlich wird eine aufwärts zeigende Verkettung
vorgefunden: jede aufwärts zeigende Verkettung zeigt auf den
eindeutigen Schlüssel im Baum, welcher das Bitmuster hat, das
dafür sorgen würde, dass bei einer Suche diese Verkettung
genommen wird.
Z. B. ist S der einzige Schlüssel im Baum, der mit dem
Bitmuster 10*11 zur Übereinstimmung gebracht werden kann.
G.Heyer
26
Algorithmen und Datenstrukturen II
Somit ist die Suche erfolgreich, wenn der Schlüssel bei dem
Knoten, auf den die erste vorgefundene aufwärts zeigende
Verkettung zeigt, gleich dem Suchschlüssel ist; andernfalls ist
sie erfolglos.
Bei Tries enden alle Suchvorgänge bei äußeren Knoten,
woraufhin ein vollständiger Schlüsselvergleich vorgenommen
wird, um zu bestimmen, ob die Suche erfolgreich war oder
nicht; bei Patricia enden alle Suchvorgänge bei aufwärts
gerichteten Verkettungen, woraufhin ein vollständiger
Schlüsselvergleich durchgeführt wird, um zu bestimmen, ob
die Suche erfolgreich war oder nicht.
Außerdem ist es leicht zu testen, ob eine Verkettung nach
oben zeigt, da die Bitindizes in den Knoten (per Definition)
kleiner werden, wenn man sich im Baum abwärts bewegt.
G.Heyer
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Algorithmen und Datenstrukturen II
Suchprogramm für Patricia
static struct node
{
int
key, info, b ;
struct node *l, *r ;
};
static struct node *head ;
int patriciasearch ( int v )
{
struct node *p, *x ;
p = head ; x = head --> l ;
while (p --> b > x --> b )
{
p=x;
x = ( bits (v, x --> b, l)) ? x --> r : x --> l ;
}
if ( v == x --> key) return x --> info ; else return -1 ;
}
G.Heyer
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Algorithmen und Datenstrukturen II
Diese Funktion realisiert das Auffinden des eindeutig
bestimmten Knotens, der den Datensatz mit dem Schlüssel v
enthalten könnte, und testet anschließend, ob die Suche
tatsächlich erfolgreich ist.
Demzufolge muss man, um in dem obigen Baum nach
Z = 11010 zu suchen, zunächst nach rechts und dann bei der
rechten Verkettung von X nach oben gehen. Der dort
befindliche Schlüssel ist nicht Z, somit ist die Suche erfolglos.
In der nachfolgenden Abbildung wird das Ergebnis des
Einfügens von Z = 11010 in den Patricia-Baum gezeigt.
Wie oben beschrieben, endet die Suche nach Z bei dem
Knoten, der X = 11000 enthält. Gemäß der den Baum
definierenden Eigenschaft ist X der einzige Schlüssel im
Baum, für den eine Suche bei diesem Knoten enden würde.
G.Heyer
29
Algorithmen und Datenstrukturen II
Äußeres Einfügen in einen Patricia-Baum
4
S
3
H
2
2
E
N
1
1
0
1
C
G
I
M
0
0
A
L
3
X
1
Z
1
P
0
R
Wenn Z eingefügt wird, würden zwei derartige Knoten existieren;
daher muss die nach oben zeigende Verkettung, die auf den X
enthaltenden Knoten zeigt, dahingehend geändert werden, dass
sie auf einen neuen, Z enthaltenden Knoten zeigt.
G.Heyer
30
Algorithmen und Datenstrukturen II
Das Einfügen von T = 10100 veranschaulicht einen
komplizierteren Fall.
Die Suche nach T endet bei P = 10000, was besagt, dass P der
einzige Schlüssel im Baum mit dem Bitmuster 10*0* ist.
Nun unterscheiden sich T und P in Bit 2, einer Position, die
während der Suche übersprungen wurde. Die Forderung, dass
die Bitindizes fallen müssen, wenn man sich im Baum abwärts
bewegt, macht es notwendig, T zwischen X und P einzufügen,
mit einem nach oben auf T selbst gerichteten Zeiger, der
seinem eigenem Bit 2 entspricht.
Man beachte, dass die Tatsache, dass Bit 2 vor dem Einfügen
von T übersprungen wurde, impliziert, dass P und R den
gleichen Wert von Bit 2 besitzen.
Diese Beispiele illustrieren die beiden einzigen Fälle, die für
Patricia beim Einfügen auftreten.
G.Heyer
31
Algorithmen und Datenstrukturen II
Inneres Einfügen in einen Patricia-Baum
4
S
3
H
2
E
1
C
0
I
1
M
0
L
0
A
G.Heyer
2
T
2
N
1
G
32
3
X
1
Z
1
P
0
R
Algorithmen und Datenstrukturen II
Implementation zum Einfügen in einen Patricia-Baum
patriciainsert ( int v, int info )
{
struct node *p, *t, *x ;
int i = maxb ;
p = head; t = head --> l ;
while ( p --> b > t --> b )
{ p = t ; t = (bits (v , t --> b, 1 )) ? t --> r : t --> l ; }
if ( v == t --> key ) return ;
while ( bits ( t --> key, i , 1) == bits (v, i , 1 )) i-- ;
p = head ; x = head --> l;
while ( p --> b > x -->b && x --> b > i )
{ p = x ; x = ( bits ( v, x --> b, 1 ) ) ? x --> r : x --> l; }
t = ( struct node * ) malloc (sizeof *t) ;
t --> key = v ; t --> info = info ; t --> b = i ;
t --> l = ( bits ( v , t --> b , 1 )) ? x : t ;
t --> r = ( bits ( v, t --> b , 1 )) ? t : x ;
if ( bits (v , p --> b , 1 )) p --> r = t ; else p --> l = t ;
}
G.Heyer
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Algorithmen und Datenstrukturen II
Bei diesem Programm wird vorausgesetzt, dass head mit dem
Schlüssel 0, einen Bitindex maxb und beide Verkettungen als
auf sich selbst zeigend initialisiert wurde.
Zuerst führt man eine Suche durch, um den Schlüssel zu
finden, der von v unterschieden werden muss. Die
Bedingungen x --> b <= i und p --> b <= x --> b
charakterisieren die Situationen, die in den vorangegangenen
Abbildungen dargestellt wurden.
Danach bestimmt man die am weitesten links befindlichen
Bitpositionen, in der sich die Schlüssel unterscheiden, bewegt
man sich im Baum abwärts bis zu dem betreffenden Punkt
und fügen an dieser Stelle einen neuen Knoten ein, der v
enthält.
G.Heyer
34
Algorithmen und Datenstrukturen II
Patricia stellt die Quintessenz der digitalen Suchmethoden dar:
Es gestattet, die Bits zu identifizieren, die die Suchschlüssel
von anderen unterscheiden, und sie in eine Datenstruktur
(ohne überflüssige Knoten) einzubauen, die schnell von einem
beliebigen Suchschlüssel zu dem einzigen Schlüssel in der
Datenstruktur führt, der gleich sein könnte.
Natürlich kann die gleiche Technik, die bei Patricia verwendet
wird, bei der Suche mit binären digitalen Tries benutzt
werden, um Einweg-Verzweigungen zu beseitigen, doch
hierdurch würde das Problem vieler Typen von Knoten noch
mehr zugespitzt.
Im Unterschied zu der standardmäßigen Suche in einem
Binärbaum sind die digitalen Methoden unempfindlich
gegenüber der Reihenfolge, in der Schlüssel eingefügt
werden; sie hängen nur von der Struktur der Schlüssel selbst
ab.
G.Heyer
35
Algorithmen und Datenstrukturen II
Patricia würde mit einer Schlüsselmenge der Art
001 0001 00001
000001
usw.
Probleme haben, doch für normale Schlüssel dürfte der Baum
relativ gut ausgeglichen sein, so dass die Anzahl der
Untersuchungen von Bits selbst für sehr lange Schlüssel
annähernd proportional zu lg N ist, wenn N Knoten im Baum
enthalten sind.
Eigenschaft: Ein Patricia-Trie, der aus N zufälligen Schlüsseln
mit b Bits erzeugt wurde, hat N Knoten und erfordert für eine
durchschnittliche Suche lg N Bitvergleiche.
Das nützlichste Merkmal der Suche mit digitalen Tries besteht
darin, dass sie bei Schlüsseln mit variabler Länge effizient
ausgeführt werden kann.
G.Heyer
36
Algorithmen und Datenstrukturen II
Bei allen anderen Suchmethoden ist die Länge der Schlüssel
in irgendeiner Weise in die Suchprozedur „eingebaut“, so dass
die Laufzeit ebenso von der Länge wie von der Zahl der
Schlüssel abhängt.
Die tatsächlich realisierbaren Einsparungen hängen von der
verwendeten Methode des Zugriffs auf die Bits ab. Nimmt man
z. B. an, dass man einen Computer hat, der effizient auf aus 8
Bits bestehenden „Bytes“ von Daten zugreifen kann, und dass
man unter Hunderten von aus 1000 Bits bestehenden Schlüsseln
zu suchen hat. Dann würde Patricia für die Suche nur den
Zugriff auf etwa 9 oder 10 Bytes des Suchschlüssels erfordern,
sowie einen 125 Bytes betreffenden Vergleich auf Gleichheit,
während Hashing den Zugriff auf alle 125 Bytes des
Suchschlüssels für die Berechnung der Hash-Funktion sowie
einige Vergleiche auf Gleichheit erfordern würde.
Auf Vergleichen basierende Verfahren würden gleich mehrere
lange Vergleiche erfordern. Diese Tatsache macht Patricia (oder
Suchen mit digitalen Tries mit beseitigten EinwegVerzweigungen) zur bevorzugten Suchmethode, wenn sehr lange
Schlüssel auftreten.
G.Heyer
37
Algorithmen und Datenstrukturen II