3. Einfache Bewegungen und ihre Ursachen

3. Einfache Bewegungen und ihre
Ursachen
3.1 Der Massenmittelpunkt:
Oft lässt sich die Ausdehnung
eines Körpers vernachlässigen;
Reduzierung auf einen Punkt
(Schwerpunkt,
Massenmittelpunkt), z.B.
Schleuderspur: Abb. 37.1
Die Bewegung des
Schwerpunktes ist geradlinig.
Vorteil: Einfachere
Beschreibung von Bewegungen.
Nachteil: Informationen gehen verloren; z. B. ob Heck die
Mauer streift., ...
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
1
In der Physik wird sehr oft mit Modellen
gearbeitet, z.B.
• Modell des materiellen Punktes,
• des starren Körpers,
• des elastischen Körpers und
• das atomistische Modell
• …….
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
2
3.2 Bewegungsgrößen
Beispiel: Schüler A läuft 60 m in 9s Schüler B läuft 100 m
in 14 s.
Welcher ist schneller?
A: 60 : 9 = 6,666 m/s
B: 100: 14 = 7,1 m/s
Schneller!!!
zurückgele gterWeg
Geschwindi gkeit
dafür benötigteZeit
s
v
t
Einheit 1 m/s
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
3
Weitere Einheit: 1 km/h
Umrechnung auf km/h:
km
:3,6


h
1m
0,001 km

1
1s
h
m
s
3,6


km
h
= 3600 x 0,001 = 3,6 km/h
3600
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
4
Die Geschwindigkeit ist ein Vektor:

 s
v
t
Δs … Wegänderung (Differenz)
Δt … Zeitänderung (Differenz)
Beispiel: Tachometerüberprüfung: Tacho zeigt 110 km/h,
Überprüfung auf Autobahn: s1 = 15,2 km, s2 = 15,4 km
Uhr: t1 = 13:25:06 Uhr, t2 = 13:25:12 Uhr
Ermittle die Geschwindigkeit!
Δs = s2 – s1 → Δs = 15,4 – 15,2 = 0,2 km = 200 m
Δt = t2 – t1 → Δt = 6 s
Das Auto fährt in Wirklichkeit 120 km/h.
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
5
Die Beschleunigung
Geschwindi gkeitsänderung
Beschleuni gung 
Zeit

 v
a
t
Einheit:
v
[a] = [
t
] =
m
1s
s
m
1
s²
Beispiel: Ein Auto beschleunigt von 0 auf 100 km/h in 14 Sekunden.
Berechne die Beschleunigung !
7
m
a  9 1,98
14
s²
27
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
6
3.3 Arten der Bewegung
3.3.1 Gleichförmige Bewegung
Kennzeichen: a = 0 v = konstant.
Betrag und Richtung ändern sich nicht.
Beispiel: Wie weit muss ein Auto (50 km/h) mindestens entfernt
sein, dass man die Straße gefahrlos überqueren kann?
vp = 50 km/h, sb = 3 m,
vf = ? m/s, tf = ?
Das Auto muss mindestens ……. m entfernt sein.
Ermittle die Geschwindigkeit eines Fußgängers in einem Versuch!
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
7
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
8
Weg in m
s-t-Diagramm
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Reihe1
Reihe2
0
2
4
6
8
Zeit in Sekunden
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
9
Entnimm aus deinem s-t-Diagramm die Geschwindigkeit!
Der Anstieg im s-t-Diagramm entspricht der Geschwindigkeit
Zurück zum
Beispiel: Wie weit muss ein Auto (50 km/h) mindestens entfernt sein, dass
man die Straße gefahrlos überqueren kann?
vp = 50 km/h, sb = 3 m,
sb
vf = ? m/s, tf = ?
tf 
vf
Das Auto ist genau tf Minuten unterwegs
Das Auto muss mindestens ……. m entfernt sein.
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
10
Beispiel: Überholvorgang: Wie lang ist die Überholstrecke ? Wie weit
muss die Sichtweite sein ?
LKW v1 = 70 km/h, PKW v2 = 100 km/h, entgegenkommender PKW v =
100 km/h.
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
11
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
12
sü = s1 + l1 + s2 + l2 + v1 · tü
Überholstrecke
s1 ... Ausscherabstand 15 m
sa
s2 ... Einscherabstand 15 m
Scherstrecke
l1 ... Länge des LKW 16 m
l2 ... Länge des anderen PKW 4 m
I: sü = sa + v1 · tü
II: sü = v2· tü
Löse das Gleichungssystem und berechne
die Überholstrecke sü!
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
13
3.3.2 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Def: Eine Bewegung ist gleichmäßig beschleunigt, wenn die
Geschwindigkeit v in gleichen Zeitabständen gleiche Veränderungen
erfährt. a ist konstant.
Wir betrachten eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit a = 2 m/s2
Erstelle ein a-t - Diagramm, ein v-t - Diagramm und ein s-t – Diagramm!
a [m/s²]
a-t-Diagramm
2
1
v = a·t
v = a. t
0
0
1
2
3
4
5
Die Fläche unter
dem Graph im a-t Diagramm
entspricht der
Geschwindigkeit.
Zeit in s
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
14
a [m/s²]
a-t-Diagramm
2
v t= a·t
v = a.
1
0
0
1
2
3
4
5
Wir ermitteln auf diese
Weise die
Geschwindigkeiten
nach 1s, 2s, 3s, ....und
tragen sie in das v-tDiagramm ein.
Zeit in s
Die Fläche unter dem
Graph im v-t -Diagramm
entspricht dem Weg.
v [m/s]
v-t-Diagramm
10
5
0
v = a·t
0
1
2
s
3
4
a 2
t
2
5
Zeit [s]
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
Wir ermitteln auf
diese Weise die
Wege nach 1s, 2s,
3s, ....und tragen sie
in das s-t-Diagramm
ein.
15
Wir ermitteln auf
diese Weise die
Wege nach 1s, 2s,
3s, ....und tragen sie
in das s-t-Diagramm
ein.
v [m/s]
v-t-Diagramm
10
8
6
4
2
0
v = a·t
0
1
2
s = (a/2). t²s 
3
4
a 2
t
2
5
Zeit [s]
s-t-Diagramm
25
s [m]
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
Zeit [s]
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
16
s-t-Diagramm
Wir zeichnen
in den Punkten
1s, 2s, 3s, …
Tangenten an
den Graphen.
25
s [m]
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
Zeit [s]
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
5
Der Anstieg
der Tangente
an den
Graphen im st-Diagramm
ist gleich der
Momentangeschwindigkeit.
17

akonst .
 
v a t

 a 2
s t
2
Wir erhalten so für die
gleichmäßig beschleunigte
Bewegung:
Beispiel: Das Spaceshuttle beschleunigte in 1min 40 s auf Mach 3.
Berechne seine Beschleunigung und den Weg den es dabei
zurückgelegt hat!
v = 990 m/s
v
a
t
t = 100 s
→ a = 9,9 m/s2
s = 49500
m
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
18
Allgemeiner Fall:
Meist hat ein Fahrzeug schon eine bestimmte Geschwindigkeit und
beschleunigt dann:

akonst.


v v 0 a t


a 2
s s0  v 0  t  t
2
Beispiel:
Ein Auto fährt mit 54 km/h und beschleunigt dann 10 Sekunden lang
mit a = 1,2 m/s2.
a) Berechne Seine Geschwindigkeit nach 10 s.
b) Welchen Weg hat das Auto in diesen 10 Sekunden zurückgelegt ?
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
19
Beispiel:
Ein Auto fährt mit 54 km/h und beschleunigt dann 10 Sekunden lang
mit a = 1,2 m/s2.
a) Berechne Seine Geschwindigkeit nach 10 s.
b) Welchen Weg hat das Auto in diesen 10 Sekunden zurückgelegt ?
Lösung:
a)
b)
v = 15 m/s + 12 m/s = 27 m/s = 97,2 km/h
1,2
s = 0 + 15  10 +
 100 = 210 m
2
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
20
Der freie Fall
Der freie Fall ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung.
Vorbemerkung:
Aristoteles behauptete: Schwere Körper fallen schneller als leichtere.
Galilei sagt: Im Vakuum fallen alle Körper gleich schnell.
Er führt dazu folgendes Gedankenexperiment durch:
A(schwerer)
fällt
schneller
B (leichter)
fällt
langsamer
A(schwerer)
B (leichter)
A+B müssten langsamer fallen, weil B bremst.
A + B müssen schneller fallen, weil sie schwerer als A sind.
Dies ist ein Widerspruch. Daher müssen beide gleich schnell fallen.
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
21
Messung der Fallbeschleunigung
12 V =
Elektromagnet
Wir messen:
Fallhöhe
h=
h
Start
0,0272 s
Fallzeit
t=
Stop
Stoppuhr
Lichtschranke
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
22
h=…
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
23
2h
Erdbeschleunigung: g 
2
t
g = 9,80665 m/s2 bei 45° n. B. und 0 m über NN.
Die Fallbeschleunigung ist vom Ort abhängig. Am Äquator kleiner als
am Pol.
Beispiel:
Ein Stein fällt in eine Grube, nach 3 s hört man das Echo des Aufpralls.
Wie tief ist die Grube ?
Freier Fall:
g 2
h t
2
Weg des Schalls:
h = vs · ts
h = vs (3 – t)
tges = t + ts
3 = t + ts
ts = 3 - t
h = 330 (3 – t)
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
24
Gleichsetzen:
g 2
t  v s (3  t)
2
5t2 = 990 – 330t
5t2 + 330t – 990 = 0
t = 2,875 s
Die Grube ist 41,322 m tief
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
25
Anhalteweg, Reaktionsweg, Bremsweg
sA = sR + sB
Anhalteweg = Reaktionsweg + Bremsweg
Der Reaktionsweg ist die Strecke, die das Fahrzeug vom Erkennen
eines Hindernisses bis zum Bremsmanöver zurücklegt. Die Reaktionszeit
darf gesetzlich maximal 1 Sekunde betragen. Die Bewegung ist
gleichförmig. (auch Vorbremsstrecke)
Reaktionsweg = sR = v0·1
Versuch: Bestimme die Reaktionszeit mehrerer Schüler: Fallenlassen
des Lineals. Sie müssen es fangen. Aus dem dabei gefallenen
Wegstück lässt sich die Reaktionszeit ermitteln.
g 2
s  t
2

t
2s
g
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
26
Bremsweg:
Ab dem Greifen der Bremsen bis zum Stillstand, gleichmäßig
verzögerte (= negativ beschleunigte) Bewegung.
Dafür gelten folgende Gesetzmäßigkeiten:
a 2
s  v 0  tB   tB
2
v = v0 - a . t
(Wir nehmen dann a positiv)
tB = Bremszeit
Nach dem Bremsen soll v = 0 sein.
v0
tB 
a
eingesetzt in obige Gleichung ergibt das für den Bremsweg:
v 0²
sB 
2a
a = Bremsverzögerung,
gesetzlich vorgeschrieben: auf trockener
horizontaler Fahrbahn mindestens 4,4 m/s².
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
27
Aufgabe: Berechne den Anhalteweg für 70 km/h !
70
sR 
 19,4 m
3,6
70²
3,6²
sB 
 42,96 m
8,8
sA = 62,4 m
Die Fahrschule lehrt:
km
v in
h 3
sR 
10
 v in km / h 
sB  

10


2
Beachte:
Der Bremsweg wächst mit dem Quadrat der
Geschwindigkeit. Doppelte Geschwindigkeit bedeutet
vierfacher Bremsweg.
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
28
Schreibe auf dem TI 83 ein einfaches Programm zur Berechnung des
Reaktions-, Brems- und Anhaltewegs!
Prompt V
Prompt A
V/3.6→R
R²/(2*A) →B
Disp "REAKTSWEG",R
Disp "BREMSWEG",B
Disp
"ANHALTEWEG",R+B
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
29
Bremsverzögerungen
für PKW
a in m/s2
trockener Beton, gute Sommerreifen
Winterreifen
Spikes
≈8
≈7
≈6
nasser Beton, sauber
verschmutzt
≈4
≈3
glattes Pflaster, trocken
nass
≈6
≈4
Neuschnee, Sommerreifen
Winterreifen, Spikes
≈2
≈3
Eis, festgefahrener Schnee, Spikes
Sommer-, Winterreifen
≈3
≈2
Glatteis, Sommer-, Winterreifen
Spikes
≈1
≈2
für Moped (gute Fahrbahnverhältnisse)
≈4–6
für Fahrrad (gute Fahrbahnverhältnisse)
≈ 2,5-4
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
30
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
31
Arbeite im Verkehrsheft Seite 12 das Beispiel zur
Verkehrssituation durch!
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
32
Anhalteweg 1. Auto (50 km/h):
sR1  v 1  1
50
sR1 
 1  13,9 m
3,6 1
s A1  sR1  sB1
2
13,9 2
sB1 
 13,8 m
27
v
sB1  1
2a
s A1  13,9  13,8  27,7 m
Anhalteweg 2. Auto (60 km/h):
sR 2  v 2  1
sR 2
s A2  sR2  sB2
Unterschied:
60

 1  16,7 m
3,6 1
2
sB 2
v
 2
2a
sB 2
16,7 2

 19,8 m
27
s A2  16,7  19,8  36,5 m
s  s A2  s A1
s  36,5  27,7  8,8 m
Das zweite Auto hat also noch einen Bremsweg von 8,8 m vor sich.
v2
sB 
2a
v  2asB
v  2  7  8,8  11,1 m / s  40 km / h
Das zweite Auto hat noch etwa eine Geschwindigkeit von 40 km/h.
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
33
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
34
V-s-Diagramm
Prompt V
Prompt A
V/3.6V
DelVar Y1
DelVar Y2‚
0  Xmin
V^2/(2A) Xmax
0Ymin
V*3.6+5Ymax
"√(V^2-2AX)*3.6"Y1
DispGraph
Trace
Pause
Disp
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
35
V-s-Diagramm
Programmcode
Erklärungen
Prompt V
Prompt A
V/3.6V
DelVar Y1
DelVar Y2‚
0  Xmin
V^2/(2A) Xmax
0Ymin
V*3.6+5Ymax
"√(V^2-2AX)*3.6"Y1
Eingabe von v (in km/h) , und a
DispGraph
Trace
Pause
Disp
Geschw. in m/s in den Speicher V ablegen
Funktionsvariablen Y1 und Y2 löschen
Delvar in „Catalog“ zu finden
Fensterwerte belegen VARS/Window
Bremsweg für xmax
Geschwindigkeit in km/h + Reserve
Geschwindigkeit, die als Funktionswert berechnet wird
und in Y1 gespeichert
VARS/Y-VARS /Function
Term in Anführungszeichen setzen!
Graphausgabe
TRACE zeichnet die Spur des Graphen auf.
Anhalten des Programms (mit Enter weiter)
Einstellen des Zahlenbildschirms
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
36
3.4 Zusammengesetzte Bewegungen
Versuch:
Ergebnis: Die zusätzliche
horizontale Bewegung
beeinflusst die Fallbewegung
nicht.
Beide Kugeln treffen
gleichzeitig auf dem Boden
auf.
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
37
Horizontal: Gleichförmige Translation: x = vx · t
g 2
y t
2
Vertikal: Freier Fall:
Gib im TI 83 ein:
Horizontaler Wurf
Mode Par (statt Func)
0
-10
0
10
30
20
40
Dann bei Y= ….
Falltiefe in m
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80
Wurfweite in m
Geschwindigkeit beim horizontalen Wurf:
v  v x  (g  t ) 2
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
2
38
Unabhängigkeitsprinzip:
Führt ein Körper mehrere Bewegungen gleichzeitig aus, so beeinflussen
sie einander nicht. Man erhält die Größen der Gesamtbewegung durch
Vektoraddition der Größen der Teilbewegungen.
Weiteres Beispiel:
Ein Fluss strömt mit 0,5 m/s. Ein
Schwimmer will ihn mit 0,8 m/s
queren und genau am gegenüberliegenden Ufer ankommen.
Ermittle den Winkel, unter welchem
er den Fluss anschwimmen muss!
sin  
0,5
0,8
0,8m/s

0,5m/s
  38,7  384055
' "
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
39
Der schiefe Wurf:
v
v  (v x , v y )
Anfangsgeschwindigkeit
vy

vx
α … Wurfwinkel
v x  v  cos()
Geschwindigkeit in x-Richtung
v y  v  sin( )
Geschwindigkeit in y-Richtung
horizontal: gleichförmige Bewegung:
x  v  cos()  t
vertikal: gleichförmige Bewegung nach oben und
gleichmäßig beschleunigte Bewegung nach unten.
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
g 2
y  v  sin( )  t  t
2
40
• Berechne die Wurfhöhe in Abhängigkeit von x
(parametrefrei)
• Berechne die maximale Wurfweite (y = 0)
• Berechne die maximale Wurfhöhe
(Wegen Symmetrie bei x = Wurfweite durch 2)
• Gib das folgende Programm ein!
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
41
x  v  cos()  t
x
t
v  cos 
g 2
y  v  sin( )  t  t
2
x
g
x

y  v  sin  
 

v  cos  2  v  cos  
2
sin 
g
2
y
x 2
x
cos 
2v  cos 2 
Wurfweite:
y=0
g
sin 
x
2
2
cos 
2v  cos 
Wurfbewegung
x1 = 0
xmax
triviale Lösung (Start)
2v 2 sin  cos 

g
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
42
g
sin 
x

cos 
2v 2  cos2 
xmax
2v 2 sin  cos 

g
Maximale Wurfweite
Maximale Wurfhöhe:
Wegen Symmetrie bei
Einsetzen in:
x
x  max
2
x1/ 2
sin 
g
2
y
x 2
x
cos 
2v  cos 2 
v 2 sin  cos 

g
ymax
 v sin  cos 
sin  v sin  cos 
g


 2
2
cos 
g
2v  cos  
g
ymax
v 2 sin2  v 2 sin2  v 2 sin2 



g
2g
2g
2
2
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen



2
Max. Wurfhöhe
43
Programmcode
Bemerkung
Prompt V
Eingabe der Geschwindigkeit in m/s
Prompt A
Eingabe des Wurfwinkels in Grad
ClrHome
Löschen Display
Degree
Einstellung in Mode auf Degree
Func
Einstellung in Mode auf Funktionsdarst.
2*V²*cos(A)*sin(A)/9.81→W
Berechnen der Wurfweite und speichern in W
Disp "W=",W
Ausgabe der Wurfweite auf Display
V²*sin(A)²/2/9.81→H
Berechnen der Wurfhöhe und speichern in H
V²/2/9.81→K
Maximale Wurfhöhe bei 90° speichern in K
Disp "H=",H
Ausgabe der Wurfhöhe auf Display
Pause
Anhalten des Progr., um Ausgabe zu sehen
DelVar Y1
Löschen vorhandener Funktionsbelegungen
DelVar Y2
"sin(A)/cos(A)X-9.81X²/(2V²cos(A)²)" →Y1
Eingabe des Terms für momentane Wurfhöhe
(muss in Anführungszeichen gesetzt werden)
0→Xmin
W→Xmax
0→Ymin
K→Ymax
Eingabe der Window-Werte in die Systemvariablen Xmin, Xmax, Ymin, Ymax in
VARS / VARS/ 1: Window
DispGraph
Aufrufen der Graphik
Trace
Zum Ablesen der Koordinaten der Kurve
Pause
Anhalten, mit ENTER weiter
Disp
Umschalten auf Textdisplay
DelVar Y1
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
44
Schiefer Wurf für
t
v  (30,30)
x = vxt
vyt
g 2
t
2
[m]
[m]
[m]
g 2
y  v yt  t
2
[m]
0
0
0
0
0
1
30
30
5
25
2
60
60
20
40
3
90
90
45
45
4
120
120
80
40
5
150
150
125
25
6
180
180
180
0
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
45
Schiefer Wurf
180
160
Wurfhöhe in m
140
120
100
80
60
40
20
0
0
50
100
150
200
Wurfweite in m
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
46
3.5 Grundgesetze der Mechanik
3.5.1 Die Masse
Die Masse ist eine Grundgröße. Die Einheit ist ein Kilogramm [kg].
Die Masse ist ein Maß für die Trägheit eines Körpers. Sie ist also
auch ein Maß dafür, wie stark ein Körper von der Erde angezogen
wird.
Versuch:
Links:
Träge Masse
Rechts:
Schwere Masse
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
47
3.5.2 Der Trägheitssatz
Ist zur Aufrechterhaltung einer Bewegung eine Kraft notwendig ?
Versuch:
verschiedene Unterlagen
Ergebnis:
rauer Stoff: Die Kugel
kommt rasch zum Stehen.
glatter Stoff: Kugel rollt
weiter.
glatte Unterlage: Kugel rollt
“endlos” weiter, fast keine
Verzögerung.
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
48
Galileis Überlegungen:
starke Verzögerung
schwache Verzögerung
keine Verzögerung
Ein kräftefreier Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder
der gleichförmigen Translation.
1.Newtonsches Axiom oder Trägheitssatz
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
49
3.5.3 Inertialsysteme
Überlege die Aufgaben (Basiswissen RG5) S. 46 A9 und A10
Die Begriffe “Ruhe” und “Bewegung” sind nur dann sinnvoll,
wenn auch das Bezugssystem angegeben wird.
Überlege: (Lies: Beispiel Zugfahrt auf S. 46 ( evtl. A5 S. 46)
Bezugssysteme, in denen der Trägheitssatz gilt, heißen
Inertialsysteme.
Naturgesetze werden auf Inertialsysteme bezogen, weil Sie dort die
einfachste Form annehmen.
Inertialsysteme sind Idealisierungen, wir müssen uns im Allgemeinen mit
Näherungen begnügen.
In vielen Fällen ist ein mit der Erde verbundenes Bezugssystem ein
angenähertes Bezugssystem.
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
50
Nachweis der Erdrotation:
Foucaultsches Pendel
7. 2. 2008 10.47 Uhr
(z. B. im Deutschen Museum in München)
7. 2. 2008 15.50 Uhr
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
51
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
15*sin(48°) = 11,15
52
3.5.4 Grundgleichung der Mechanik
1. Versuch:
Miss die Zeit, bis die
Masse am Boden
angelangt ist, mit einer
Stoppuhr:
Fahrbahn waagrecht
für V1
Skizze zum Aufbau des Schülerversuchs
Grundgleichung der Mechanik
Beladung des
Wagens
beschleunigende Masse (Kraft)
Wagen + 50g
10g
Wagen + 150g
10g
Wagen + 50g
20g
Wagen + 50g
40g
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
Zeit [s]
53
Ergebnis: Je größer die Kraft, desto .größer die Beschleunigung.
Je größer die Masse, umso größer muss bei gleicher Beschleunigung die Kraft
sein.
Bewegungsgleichung: ( 2. Newtonsches Axiom)
F ... beschleunigende Kraft
F = m·a........ m ... Masse des Körpers
a ... Beschleunigung des Körpers
Ursache für eine beschleunigte Bewegung ist eine Kraft.
Einheit der Kraft: [F] = [m . a] = kg.m.s-2 = 1N (1 Newton)
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
54
2. Versuch:
Überprüfung des Ergebnisses aus 1. Versuch:
Wir neigen die Fahrbahn leicht, um die Reibung zwischen Registriergerät und Registrierstreifen zu kompensieren.
Zeitmarkengeber auf 0,1s (100ms) einstellen.
Masse des Wagens mW = 200g
beschleunigende Masse: m = 20g ===> F = 0,2 N
Skizze zum Aufbau des Schülerversuchs
Grundgleichung der Mechanik
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
55
Wege
in 0,1s
Durchschnittsgeschwindigkeit
(Wege in 1s)
Zunahme der
Geschwindigkeit
in 0,1s
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
Zunahme der
Geschwindigkeit
in 1s (= a)
56
Überprüfe das Ergebnis auch rechnerisch mit Hilfe der
Bewegungsgleichung!
F = m.a
m·g = (m1 + m2) · a
a
m1  g
m1  m2
0,02  9,81
a
0,891 8 m / s 2
0,2  0,02
Die Bewegungsgleichung ermöglicht die Berechnung von Bewegungsabläufen.
Man benötigt lediglich den Anfangsort, die Anfangsgeschwindigkeit und
die Kräfte, die auf den Körper einwirken.
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
57
Aufgabe:
Über eine sehr leichte, reibungsfrei
drehbare Rolle ist eine Schnur gelegt. An
einem Ende hängt die Masse m1 = 498 g,
am anderen Ende die Masse m2 = 502 g
(siehe Abbildung).
a) Wie lautet die Bewegungsgleichung?
b) Mit welcher Beschleunigung setzt sich
die Anordnung in Bewegung?
m1
m2
c) Welche Geschwindigkeit erreichen die
Massen nach 10 s? (Lösung: 0,4 m/s)
d) Welchen Weg hat jede Masse in dieser
Zeit zurückgelegt?
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
58
a) (m2 – m1)·g = (m1 + m2)·a
b) Mit welcher Beschleunigung setzt sich die Anordnung in
Bewegung? (Lösung: 0,04 m/s²)
c) Welche Geschwindigkeit erreichen die Massen nach 10
s? (Lösung: 0,4 m/s)
d) Welchen Weg hat jede Masse in dieser Zeit
zurückgelegt? (Lösung: 2 m)
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
59
3.5.5 Grenzen der Berechenbarkeit:
Arbeite im Buch Basiswissen 5 RG S. 54 durch!
Kausalität: Zusammenhang zwischen Ursache und Wirkung.
Starke Kausalität: Ähnliche Ursachen führen zu ähnlichen Wirkungen.
Der Fehler wächst nur linear, nicht exponentiell.
Chaos: Kleine Unterschiede in den Anfangsbedingungen können zu
völlig verschiedenen Ergebnissen führen.
Ursache und daraus resultierende Wirkung lassen sich nicht
nachvollziehen, der Fehler wächst exponentiell.
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
60
Übung: A5: B. S. 54
deterministisch
Lenken eines
Fahrzeuges
chaotisch
X
Ausbreitung einer
Epidemie
X (gewisse
statist.
Vorausberechnu
ngen)
Entstehung eines
Gewitters
X
Ausbreitung einer
Wasserwelle
X
Flugbahn eines
losgelassenen
Luftballons
X
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
61
3.5.6 Das Wechselwirkungsgesetz
Versuch:
Zwei gleich schwere
Wagen (Skateboard), auf
denen je ein Schüler steht
(sitzt). Die Schüler sind mit
einem Seil verbunden.
B
A
1. Beide ziehen gleichzeitig.
2. Nur A zieht.
3. Nur B zieht.
Ergebnis: In allen 3 Varianten setzen sich die Wagen gleichzeitig in
Bewegung und treffen sich genau in der Mitte.
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
62
Kräfte treten immer paarweise auf, sie sind
gleich groß, aber entgegengesetzt.
Actio = Reactio
F1   F2
3. Newtonsches Axiom
(Wechselwirkungsgesetz)
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
63
Beispiele für Wechselwirkungen:
Fortbewegung durch Reibungskräfte:
F
-F
F ...
Kraft des Läufers
-F ...
Gegenkraft des Bodens
Die Reibung ist hier wichtig.
Fortbewegung durch Rückstoß:
Düsentriebwerke: Die Gasteilchen werden aus der Düse
ausgestoßen, der Schub des Düsentriebwerks ist entgegengesetzt
gleich groß.
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
64
3.5.7 Das Gleichgewicht von Kräften
Zwei in einem Punkt angreifende Kräfte lassen sich durch eine einzige
ersetzen.
F2
F12
F1
F1  F2  F12
Vektoraddition
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
65
Wie kann man den beiden Kräften das Gleichgewicht
halten?
F2
F3
F12
F1
F1  F2  F3  0
Gleichgewichtsbedingung
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
66
Führe den Schülerversuch zum Gleichgewicht durch!
Wir legen ein Blatt
Papier unter die
drei Federwaagen.
z. B. 1,1 N
Wir hängen die drei
Kraftmesser an
einem Ring ein und
ziehen an ihnen
(ca. 0,8 bis 1,3 N).
Miss die Größe
der Kraft und
schreibe die
Werte auf!
Zeichne die
Richtung ein!
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
67
Zeichne die Mittenparallelen ein und zeichne die Länge der
Vektoren ein!
1N = 5 cm
F1
Miss die Winkel zwischen den
Kräften!
Übertrage die Zeichnung in
dein Heft!
α
ß
F2
F3
Bilde F1 + F2 und überprüfe, ob
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
F12 = - F3
68
3.6 Beispiele für Kräfte
3.6.1 Die Schwerkraft (= Gewicht)
Als Beschleunigung tritt hier die Fallbeschleunigung auf, also a = g
Schwerkraft: F = m·g manchmal auch: G = m·g
Einheit 1 Newton. (1 N)
Achtung: Masse ist nicht Gewicht.
Die Masse bleibt unverändert, das Gewicht variiert je nach
Anziehungskraft. (Auf dem Mond nur ca. 1/6).
gÄ = 9,78017 m/s²
gP = 9,83215 m/s²
gMond = 1,62 m/s²
gSonne = 273 m/s²
Führe die Aufgaben A6, A7, A8 in Basiswissen 5RG Seite 49 aus!
A6: 1800 N;
A7: G=60·9,81= 588,6N (≈600N)
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
69
2. Schwerkraft


F  mg
g  9,81 ms
2
Masse ist ortsunabhängig.
Gewicht ist ortsabhängig.
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
70
3.6.2 Die Federkraft
Miss in einem Schülerversuch
die Ausdehnung einer Feder bei
Belastung.
Aufbau:
Erstelle ein F-x – Diagramm!
Ermittle daraus die Federkonstante!
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
71
Vorgangsweise:
Miss den Abstand vom Tisch
bis zum unteren Bügel der
Feder!
Ohne Gewichtsteller!!
Hänge den Gewichtsteller
ein und miss wieder den
Abstand zum unteren
Bügel der Feder!
Erhöhe die Last um jeweils
0,1 N!
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
72
Dehnung einer Feder
Masse [g]
F [N]
Abstand von Auslenkung
Tischplatte h x = h0 − h
0
0
h0
10
0,1
h1
F/x [N/cm]
0
20
30
40
50
60
70
80
90
Zeichne ein Diagramm F in Abhängigkeit von x!
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
73
3. Federkraft
Federkraft
F(N)
Hookesches Gesetz:


F  k  x
x(m)
x ... Federdeformation
k ... Federkonstante [k]=Nm–1
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
74
Zeichne das Diagramm F – x
Bei nicht zu starker
Dehnung ist die elastische
Kraft zur Dehnung
proportional.
Die Federkraft
1
Kraft in N
0,8
F  kx
0,6
0,4
0,2
Hookesches Gesetz
0
0
5
10
15
20
Auslenkung in cm
25
30
Ermittle die Federkonstante k [N/m]!
Dies gilt für Schraubenfedern, Gummi und andere elastische Körper.
Anwendungsgebiete: Federwaage als Kraftmesser, Massenbestimmung
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
75
3.6.3 Die Reibungskraft
Versuch:
FR
-FR
FR ... Reibungskraft
– FR ... Kraft der Feder
FN ... Normalkraft
F
N
Ein Körper wird auf verschiedenen Unterlagen gezogen.
→ Die Reibung hängt von den beiden sich reibenden Körpern ab.
Auf den Klotz wird ein zusätzliches Gewicht gegeben.
→ Die Reibung hängt von der Normalkraft ab.
FR = μFN
μ … Reibungszahl
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
76
Man unterscheidet:
Haftreibung
Gleitreibung
Um einen Körper vom
Zustand der Ruhe
gegen die Reibung in
Bewegung zu setzen,
ist eine größere Kraft
nötig als die,
um einen Körper,
der in Bewegung
ist, gegen die
Reibung in
Bewegung zu
halten.
Gummi auf Beton (trocken)
Gummi auf Beton (nass)
Gummi auf Eis (trocken)
Gummi auf Eis (nass)
Stahl auf Eis
Stahl auf Stahl
H
G
R
0,65
0,4
0,2
0,1
0,027
0,15
0,5
0,35
0,15
0,08
0,014
0,05
0,008
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
77
Beispiel: Welche Bremsverzögerung kann ein Fahrzeug auf
horizontaler Fahrbahn maximal erreichen?
Bremskraft = Reibungskraft
ma
= µmg
a
= µg
a
= 0,65g
a
 6,5 m/s²
Bedingung: Die Reifen
dürfen nicht blockieren.
ABS (Antiblockiersystem) Dieses verhindert ein Blockieren.
Achtung: ABS wirkt nicht immer gleich gut. Bei Schotterstraßen kann
eine Bremse ohne ABS eine ebenso gute Bremsverzögerung
erzielen. (Pseudosicherheit sollte nicht zum Rasen verleiten!)
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
78
Bei nasser Fahrbahn stellt ABS immer einen Vorteil dar, da durch
ABS auch die Steuerfähigkeit der Lenkung gewährleistet ist.
Es gibt zwei verschiedene Arten von ABS:
IR: (Individual-Regelung): Jedes Rad wird so stark gebremst, dass
es gerade nicht blockiert.
Nachteil: Es kann zu einseitiger Bremswirkung führen (Split), dafür
größte Bremskraft.
SLR: (Select Low Regelung) Alle Räder werden gleich stark
gebremst und zwar so, dass keines blockiert.
Nachteil: Da das Rad mit der kleinsten Bodenhaftung die Bremskraft
bestimmt, verlängert dies den Bremsweg bei ungleicher
Bodenhaftung. dafür keine Einseitigkeit.
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
79
Neben der Haft- und Gleitreibung gibt es auch noch die
Rollreibung. Sie tritt in Rad- und Kugellagern auf und ist
wesentlich kleiner als die Gleitreibung.
Haftreibung > Gleitreibung > Rollreibung
H
>
G
>
R
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
80
3.6.3.1. Luftwiderstand
cW ...
FL 
1 c  A   v 2
M
2 W
A ….
M ...
v .....
Luftwiderstandbeiwert, von der
Form abhängig
Fläche des Körpers senkrecht
zur Bewegungsrichtung
Dichte des Mediums
Geschwindigkeit des Körpers
Hinweis:
F  v2
„Newton-Reibung“: Näherung für große Geschwindigkeit,
kleine Dichte
Fv
„Stokes-Reibung“: Näherung für kleine Geschwindigkeit,
große Zähigkeit des Mediums
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
81
Führe Aufgabe A1 Buch (5RG) Seite 51 aus!
F = 2 kN
FL 
cW
 A  M  v 2
2
v
2  FL
c W  A  M
v
m
km
2  2000
 72,19  260
s
h
0,35  1,7  1,29
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
82
3.7 Zerlegen von Kräften
Schiefe Ebene:
l
α
h
l ... Länge der schiefen Ebene
b ... Breite der schiefen Ebene
h ... Höhe der schiefen Ebene
FN

FFGG
b
FG....Gewicht
FT .. treibende Komponente
FN ...Normalkraft
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
83
h
l
α
FN

FG
F
G
b
Treibende Komponente: FT : FG = h : l
Normalkomponente:
FN : FG = b : l
h
FT FG  FG  sin 
l
FN  FG 
b
 FG  cos 
l
Kräfte lassen sich in Komponenten zerlegen.
Die Richtung der Komponenten soll physikalisch sinnvoll sein.
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
84
Überprüfe in einem Versuch die Formel für die treibende Komponente
für verschiedene Winkel!
Kraftsensor mit
Datenwandler wird an
Computer
angeschlossen.
Aufruf: Coach
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
85
Abfahrtslauf
FL
FR
FR....Gleitreibung
FT .. treibende Komponente
FL ...Luftwiderstand
FT
Bewegungsgleichung für einen Schifahrer beim Abfahren:
m  a  FT  FR  FL
1
m  a  m  g  sin     m  g  cos   c W  A  L  v 2
2
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
86
Daraus ergibt sich für die Beschleunigung:
1
a  g  sin     g  cos  
c W  A  L  v 2
2m
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
FL
FR
87
Typische cw-Werte von Querschnittsformen:
Daraus ergibt sich für die Beschleunigung:
1
a  g  sin     g  cos  
c W  A  L  v 2
2m
Wert
Form
1,4
Fallschirm
1,1
Scheibe, Wand
0,8
Lkw
0,78
Mensch, stehend
0,7
Motorrad, unverkleidet
0,6
Gleitschirm
0,5
Cabrio offen, Motorrad verkleidet
0,45
Kugel
0,4
Durchschnittlicher Roadster
0,34
Halbkugel
0,30
moderner, geschlossener PKW
0,20
optimal gestaltetes Fahrzeug
0,08
Tragflügel beim Flugzeug
0,05
Tropfenform
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
FL
FR
88
Auf glühenden Brettern
Der Tauplitzer Martin Hochrainer ist einer der wenigen Speed-Schi-Fahrer in Österreich.
Am 10. Februar beginnt für ihn die Saison.
Top-Ergebnisse
Seine Speed-Schi-Karriere begann im Winter 2004 am Kärntner Goldeck. Bei seinem ersten Start
in der Einsteiger-Klasse holte er sich haushoch den Sieg. „Danach wollte ich einfach mehr“,
erzählt der 30jährige Extremsportler. Vergangenes Jahr fuhr er das erste Mal im FIS
Gesamtweltcup mit und war mit Platz 20 der beste Österreicher. Seine Höchstgeschwindigkeit
erreichte der Tauplitzer in Les Arcs. Mit 232,561 km/h wurde er hinter Harry Egger
zweitschnellster Österreicher. Der Weltrekord liegt bei 250,7 km/h.
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
89
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
90
Programmcode
a:= g*sin(al)-mu*g*Cos(al)(0,5/m)*CW*A*rh*v^2
v:=v+a*dt
s:=s+v*dt
vk:=v*3,6
t := t + dt
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
Festlegungen
t := 0
dt := 0,01
v:=0
a:=0
CW:=0,6
mu=0,04
m:=60
rh:=1,29
A:=0,6
al:=20
g:=9,81
vk:=0
s:=0
91
Festlegungen
t := 0
dt := 0,01
v:=0
a:=0
CW:=0,6
mu=0,04
m:=60
rh:=1,29
A:=0,6
al:=20
g:=9,81
vk:=0
s:=0
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
92
Beispiel Konsole:
Wand
l
FD
b
FZ
Berechne FZ und FD, wenn
FG = 30 N
b = 40 cm
l = 50 cm
FG
FZ FG 
l
l2  b2
30 
0,5
 50N
0,3
b
0,4
FD FG 
30 
 40N
2
2
0,3
l b
Einfache Bewegungen und ihre Ursachen
93
Ende