Boolesche Zufallsfunktion

Boolesche
Zufallsfunktionen
Florian Voß
Seminar „Simulation und Bildanalyse in Java II“
Universität Ulm, Abteilungen SAI & Stochastik
10.11.2003
1
Inhalt :
1.
2.
3.
4.
Motivation
Boolesche Zufallsmengen
Boolesche Zufallsfunktionen
Spezialfälle
a) Boolean Islands
b) Rocky Deeps
5. Literatur
2
1. Motivation
Modellierung und Simulation von
Materialstrukturen durch Boolesche Zufallsmengen
AAC-Schaum
Aluminium-Schaum
3
1. Motivation
Modellierung und Simulation von Oberflächen
durch Boolesche Zufallsfunktionen
Bruchoberfläche von Glasfaser
Bild von Elektronenmikroskop
(Bsp. Boolean Islands)
UO2-Pulver (Bsp. Rocky Deeps)
4
2. Zufällige Mengen
Boolesche Zufallsmengen:
Seien
•
•
•
{xi,iI} ein Poisson-Punktprozess von
Keimen in Rd
Ai unabhängige Kopien eines zufälligen
Primärkorns A0, d.h. unabhängige
identischverteilte zufällige Mengen in Rd
Dann ist A=iI(xi + Ai) eine Boolesche
Zufallsmenge (Boolesches Modell).
5
2. Zufällige Mengen
Eine Realisierung eines PoissonProzesses von Keimen in R2
Eine Realisierung einer
Booleschen Zufallsmenge in R2
6
2. Zufällige Mengen
Eine Realisierung einer Booleschen Zufallsmenge in R3.
Das Komplement kann z. B. einen Schaum modellieren.
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3. Boolesche Zufallsfunktionen
Erweiterung der Booleschen Zufallsmenge um
eine Dimension
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3. Boolesche Zufallsfunktionen
Eine Realisierung von Boolean
Islands
Eine Realisierung von Rocky
Deeps
9
3. Boolesche Zufallsfunktionen
Definition :
Seien
•
•
•
µn das Lebesgue-Maß auf Rn
 ein -endliches Maß auf R
I ein Poisson-Punktprozess in RnR mit
Intensitätsmaß µn(dy)(dt), y  Rn, t  R.
Somit ist die Intensität des Poisson-Prozesses
„konstant“ in horizontalen t-Schnitten, daraus
folgt horizontale Stationarität.
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3. Boolesche Zufallsfunktionen
•
Sei {*(x, t) | *( . , t): Rn  R} eine Familie
von unabhängigen oben halbstetigen
Zufallsfunktionen mit Parameter t, sodass
Xu:={x : *(x, t)  u}, -<u<+,
f.s. kompakt sind.
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3. Boolesche Zufallsfunktionen
•
•
Die Boolesche Zufallsfunktion  mit dem primären Korn
*( . ,t) und Intensität (dt) ist dann wie folgt definiert :
(x):=sup{*(y,t)(x,t) | (y,t)  I}
Dabei werden
1. Die Bezeichnung *(x,t) für Umbra und Funktion
verwendet.
2. *(y,t)(x,t) verstanden als Umbra von *(x,t)
verschoben um (y,t)
3. *(x, t) primäres Korn (zentriert im Ursprung)
genannt.
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3. Boolesche Zufallsfunktionen
Kapazitäts-Funktional :
•
•
Sei B  Rn R eine kompakte Menge.
Die Wahrscheinlichkeiten Q(B):=P(Bc),
dass B die Umbra von  nicht schneidet,
charakterisieren die Boolesche Funktion .
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3. Boolesche Zufallsfunktionen
•
Für die Formel von Q(B) wird die
Bildoperation Dilatation benötigt:
AB:={a + b | a  A, b  B}
Dilatation B der Umbra einer Funktion  mit dem Kreis B
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3. Boolesche Zufallsfunktionen
•
Dann gilt:

Q(B)  exp(-   (dt )  n [(  * ( . , t )  (-B))   t ])
-
•
•
Dabei bezeichnet t die horizontale
n-dimensionale Hyperebene in Höhe t.
-B={(-x,-t)  RnR | (x,t)  B}
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3. Boolesche Zufallsfunktionen
Boolesche Funktionen für den Fall =t1+t2 mit verschiedenen
Primärkörnern für t = t1 und t = t2
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3. Boolesche Zufallsfunktionen
Eindimensionale Verteilung :
•
•
•
Sei B={(0,t)} und qt:=Q({(0,t)})
qt wird die Porosität des Schnittes von  in
Höhe t genannt.
Dann gilt:

P(  ( x)  t )  q t  exp(-   (du )  n [(  * ( . , u)) - t   u ])
-
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3. Boolesche Zufallsfunktionen
•
Hieraus folgt außerdem:

0
0

E (  ( x))  m   (1  qt )dt   qt dt
•
Der Erwartungswert hängt nicht von x ab, da
 stationär ist.
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3. Boolesche Zufallsfunktionen
Zweidimensionale Verteilung :
•
•
Sei nun B={(0,t),(h,u)}
Dann ist P((0) < t, (h) < u)=Q(B)=Q(h,t,u)=
 

exp -   (dv)  n (  * ( . , v)) -t  (  * ( . , v)) (-h,-u)     v 
 -



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3. Boolesche Zufallsfunktionen
•
Die Kovarianz C(h)=E[(0) (h)] – m² kann
bestimmt werden durch :
E[  (0)  (h)]   tu dQ(h, t , u )
R2
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3. Boolesche Zufallsfunktionen
•
Das Variogramm 1. Ordnung
1(h)=½E|(0) - (h)|
kann bestimmt werden durch :

0
0

 1 (h)   (qt  Q(h, t , t )) dt   Q(h, t , t )dt
•
Denn |(0)-(h)|= (0)+(h)-2inf{(0),(h)}.
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3. Boolesche Zufallsfunktionen
•
Das Variogramm 2. Ordnung
2(h)=½E[((0) - (h))2]
kann bestimmt werden durch :
2(h) =C(0) - C(h)
22
3. Boolesche Zufallsfunktionen
Teilbarkeit unter Vereinigung
•
Sei {j}={*j, j(dt)} eine Familie von
Booleschen Zufallsfunktionen nummeriert
mit jJ, sodass
 ( R)  
jJ
j
Dann ist =sup{j, j  J} eine Boolesche
Zufallsfunktion.
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3. Boolesche Zufallsfunktionen
•
Sei  eine Boolesche Zufallsfunktion in
RnR. Dann ist H eine Boolesche
Zufallsfunktion für alle Hyperebenen HRn
parallel zur t-Achse und eine Boolesche
Zufallsmenge für H orthogonal zur t-Achse.
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3. Boolesche Zufallsfunktionen
•
Jede Boolesche Zufallsfunktion  : Rn R ist
unendlich teilbar unter dem sup, d.h. für jedes
kN kann  geschrieben werden als :
=sup{i,i{1,..,k}}
wobei i k unabhängige identischverteilte
Boolesche Zufallsfunktionen sind.
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4.a) Spezialfälle: Boolean Islands
Definition:
•
•
•
Spezialfall, bei dem (dt) ein Diracmaß im
Ursprung ist, d.h. (dt)= 0(dt).
Der Keim-Prozess I ist dann ein ndimensionaler stationärer PoissonPunktprozess in 0 mit Intensität .
O.B.d.A. setzen wir *(x)0 f.s.
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4.a) Spezialfälle: Boolean Islands
Simulation von Boolean Islands
mit Kegeln als Primärkörner
(Sicht von oben)
Realisierung von Boolean Islands
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4.a) Spezialfälle: Boolean Islands
Metallische Oberfläche modelliert durch Boolean Islands (mit Sicht von
oben)
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4.a) Spezialfälle: Boolean Islands
Kapazitäts-Funktional :
•
Sei B eine kompakte Menge. Dann gilt:
Q(B)  exp(  µn [(  * ( B)   0 ])
•
Falls B um den vertikalen Vektor (0,t)
verschoben wird, d.h. Bt=B + (0,t), dann gilt :
Q(Bt )  exp(  µn [(  * ( B))   t ])
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4.a) Spezialfälle: Boolean Islands
Berechnung verschiedener Kenngrößen
•
Um Eigenschaften wie z.B. den
Erwartungswert des Volumens des primären
Korns * zu berechnen, benötigt man
folgende Formel : 
M(B) :  log Q(Bt )dt
0
  E[  (  * ( B))( x)dx]
Rn
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4.a) Spezialfälle: Boolean Islands
Volumen vom Untergraph von * und
seinem Träger:
•
B={0}


M({0})   log (q t )dt    E[  * ( x)]dx   n1 ( *)
0
•
Rn
Sei nun B das vertikale Segment der Länge 
dessen höchster Punkt der Ursprung ist. 
M(B)   n1 ( *)    n (supp ( *))
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4.a) Spezialfälle: Boolean Islands
Anzahl von Maximumstellen:
•
Falls * f.s. nur eine Maximumstelle hat,
dann gilt für die spezifische Anzahl von
Maximumstellen z, d.h. die durchschnittliche
Anzahl von Maximumstellen pro
Einheitsvolumen im Rn :

z    qt G (dt )
•
0
Dabei ist G(t) die Verteilungsfunktion der
maximalen Höhe des primären Korns *
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4.a) Spezialfälle: Boolean Islands
Konvexität für Boolean Islands:
•
•
Um Parameter  schätzen zu können, benötigt
man Annahmen über die Konvexität des
Primärkorns.
Außerdem kann dann die Oberfläche des
Primärkorns berechnet werden.
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4.a) Spezialfälle: Boolean Islands
Steiner-Formel:
• in R3 für die Einheitskugel B:
1 2
4 3
v( A  B )  v( A)  s ( A)   d ( A)  
2
3
• in R2 für die Einheitskreisscheibe B:
a( A  B)  a( A)  u( A)   2
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4.a) Spezialfälle: Boolean Islands
Oberfläche von *:
•
•
Sei der Rand der Umbra glatt genug, um ein
Oberflächenmaß s(*) einführen zu können,
im Halbraum RnR+.
Sei B die Einheitskugel mit dem Mittelpunkt
im Ursprung und sei * konvex , dann gilt:
| M (B)  M ({0}) |

 0 
 s( *)
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4.a) Spezialfälle: Boolean Islands
Annahme über die Konvexität des Trägers von *
•
Betrifft die Berechnung von . Falls  Boolean
Islands ist, dann erfüllt Q(B) für die Einheitskugel
B0 mit Zentrum in 0 die Gleichung:
log Q(B)   µn [ Supp( f *)  (B)]
•
Für A=Supp(*) ergibt dies im R2 bzw. R3 ein
Polynom vom Grad 2 bzw. 3 in  (Steiner-Formel)
36
4.a) Spezialfälle: Boolean Islands
•
•
Zum Beispiel über Methode der kleinsten
Quadrate können die Koeffizienten bestimmt
werden und so getestet werden, ob 0
Boolesche Zufallsmenge ist.
Außerdem kann aus dem Wert des
Koeffizienten höchsten Grades  geschätzt
werden.
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4.a) Spezialfälle: Boolean Islands
Annahme über die Konvexität der Schnitte:
•
•
Durch das gleiche Vorgehen wie für den
Träger kann getestet werden, ob alle
horizontalen Schnitte t Boolesche
Zufallsmengen sind.
So erhält man eine starke Vermutung, dass 
Boolesche Zufallsfunktion ist.
38
4.a) Spezialfälle: Boolean Islands
•
Falls der Schnitt in Höhe t eine Boolesche
Zufallsmenge ist mit Intensität t, dann gilt :
 t   (1  G(t )),
•
wobei G(t) die Verteilungsfunktion der
maximalen Höhe von * ist.
Hieraus kann G(t) geschätzt werden aus
experimentellen Werten von t und .
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4.a) Spezialfälle: Boolean Islands
Supremum von Boolean Islands :
• Sei {j,jJ} eine endliche Familie von
Boolean Islands mit Keimen in Höhe tj.
Dann ist :=supjJ{j} eine BooleanIslands-Funktion mit Keimen in Höhe
tmin=minjJ{tj}.
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4.a) Spezialfälle: Boolean Islands
Supremum von 2 Boolean Islands mit Keimen in Höhe t1 bzw. t2
41
4.b) Spezialfälle: Rocky Deeps
Definition:
•
•
(dt) = 0, falls t > 0
(dt) = |dt|, falls t  0
* unabhängig von t, d.h. *(x, t) = *(x) für
t  0.
42
4.b) Spezialfälle: Rocky Deeps
Eine Realisierung von Rocky Deeps
43
4.b) Spezialfälle: Rocky Deeps
Simulation von Rocky Deeps (hier das Komplement)
44
4.b) Spezialfälle: Rocky Deeps
Kapazitäts-Funktional:
•
Sei Bh eine kompakte Menge verschoben um
den Vektor (0,h). Dann gilt :
0
Q(Bh )  exp{   µn [(  * ( B)  h )   t ]d (t )}


 exp{  µn [(  * ( B)) h   t ]dt}
0

 exp{  µn [(  * ( B))   u ]du}
h
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4.b) Spezialfälle: Rocky Deeps
•
Die Ableitung von logQ(Bh) nach h ist :
1
dQ(Bh )

   n [( f * ( B))   h ]
Q(Bh )
dh
•
Hieraus kann man die Boolesche Struktur
testen und  schätzen bei konvexem
Primärkorn (Steiner-Formel).
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4.b) Spezialfälle: Rocky Deeps
Supremum von Rocky-Deeps-Funktionen:
•
•
Sei {j,jJ} eine Familie von Rocky Deeps
Funktionen mit Top-Level tj[tmin,tmax], wobei
[tmin,tmax] ein endliches Intervall ist.
Dann ist :=supjJ{j} eine Rocky Deeps
Funktion.
47
5. Literatur
1.
2.
3.
4.
5.
J. Serra „Image Analysis and Mathematical Morphology “, Vol. 1 ,
1982, Academic Press
J. Serra „Image Analysis and Mathematical Morphology “, Vol. 2 ,
1988, Academic Press (Kapitel 15)
J. Serra „Boolean Random Functions“, Journal of Microscopy, Vol.
156, Pt 1, 1989, S. 41-63
J.M. Chautru „The Use of Boolean Random Functions in
Geostatistics“, in M. Armstrong (ed.), Geostatistics, Vol. 1, 1989,
Kluwer, S. 201-212
C. Lantuejoul „Geostatistical Simulation : Models and Algorithms“,
2002, Springer, S. 171-175
48