Transformation und Transformationsgruppen

Transformation und
Transformationsgruppen
(projektiv, affin, euklidisch)
Was sind
Transformationen?
• Eine Bijektion a von M auf sich heißt
Selbstabbildung oder Transformation.
• Eine Transformation bewegt Objekte
und verformt sie eventuell.
• Sie verändert bestimmte Eigenschaften
von Objekten nicht.
Affine Transformationen
Eine affine Transformation ist eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, die
Kollinearitäten und Abstandsverhältnisse bewahrt, d.h. also:
Seien Am, Bn affine Räume a: Am ->Bn heißt affine Abbildung aus Am in Bn genau
dann, wenn für beliebige x, y  Am mit a: x ↦ a(x), y ↦ a(y) gilt:
i)
z aus Gerade(x,y) => a(z) aus Gerade(a(x), a(y))
Kollinearität
ii)
Teilverhältnis(a(x),a(y),a(z)) = Teilverhältnis(x,y,z)
iii)
Affine Unterräume Ak von Am gehen in affine Unterräume Bl von Bn über:
iv)
Die Parallelitäten affiner Unterräume bleibt erhalten:
Ak || Al => a(Ak) || a(Al)´
(Obiges gilt insbesondere für Geraden und Ebenen)
Affine Transformationen sind Affinitäten (bijektive affine Abbildungen) auf sich
selbst, nämlich: a: x ↦ Ax + a mit A invertierbar, also:
Transformationen in der
euklidischen Ebene
Euklidische Räume sind affine Räume mit
Skalarprodukt, mit dem der Abstand zwischen
zwei beliebigen Punkten erklärt ist:
d(x, y)= ||x-y|| =
En, Fn seien euklidische Räume gleicher
Dimension. b: En-> Fn heißt kongruente
Abbildung oder Kongruenz von E auf F
genau dann, wenn für beliebige x, y  En gilt:
d(b(x), b(y))= d(x,y)
Transformationen in der
euklidischen Ebene
Folglich sind euklidische Transformationen
Affinitäten.
Invarianten:
i)
Abstand
ii) Winkelgrößen
iii) Inhaltsgrößen: z.B. Volumina, Flächen
Allgemeine Formel:
b: x ↦ Bx+b mit B orthogonal ( BT = B-1, det(B)=|1| )
Transformationsmatrizen
•
Translation:
•
Drehung um den Nullpunkt:
•
Spiegelung:
Ähnlichkeitstransformationen
• Ähnlichkeitsabbildungen sind affine
Abbildungen euklidischer Räume, die die
Gestalt von Figuren erhalten.
• En, Fn seien euklidische Räume gleicher
Dimension. e : En -> Fn heißt ähnliche oder
äquiforme Ähnlichkeitsabbildung oder
Ähnlichkeit von En auf Fn genau dann, wenn
es eine reelle Zahl k > 0 gibt, sodass für
beliebige x,y  En gilt:
d(e(x), e(y)) = k*d(x,y)
• k heißt Ähnlichkeitsfaktor von e.
• Bemerkung:
Kongruenzen sind
Ähnlichkeitsabbildungen mit k=1.
• Invariante: Winkelgrößen
• Allgemeine Formel:
e: x ↦ Cx+c mit C=k*B, BT=B-1
Problem bei der
Implementierung
• Aus der allgemeinen Formel für die Transformation:
p ↦ M(p-v)+w, M  K2x2, M invertierbar geht hervor,
dass zwei verschiedene Rechenoperationen, nämlich
die Matrizenmultiplikation und die Vektoraddition,
hintereinander ausgeführt werden.
Das ist sehr umständlich und v.a. bei der
Implementierung auf dem Computer problematisch.
• Lösung:
Projektive Geometrie und homogene Koordinaten.
Darstellung der Transformation
mit homogenen Koordinaten
• Drehung um 0-Punkt:
• Skalierung:
• Translation:
• Spiegelung:
=> Jede Transformation wird zu einer
Matrizenmultiplikation.
• Matrizen der Form A=
mit det(A)≠0 repräsentieren alle affinen
Transformationen.
• Es gibt aber noch andere invertierbare 3x3Matrizen, und zwar die der Form
M=
Diese repräsentieren alle projektiven
Transformationen.
Projektive Transformation
•
•
•
Eine projektive Transformation ist eine Abbildung zwischen
Vektorräumen, die alle Geraden wieder auf Geraden abbildet. Dabei
werden Quadrate auf allgemeine Vierecke abgebildet.
Wir betrachten die zweidimensionale projektive Ebene im
dreidimensionalen euklidischen Raum. Die Punkte dieser projektiven
Ebene werden auf Punkte p=(x,y,z) im 3 mit der festen Koordinate
z=a‘ mit a‘  \{0} abgebildet. Aus Gründen der leichteren
Handhabung setzen wir z=a‘=1. Somit liegt die projektive Ebene
parallel zur x-y-Ebene des euklidischen Raums mit den Punkten
p=(x,y,z) auf Höhe z=1.
Projektiv werden nun alle Punkte p‘=(x‘,y‘,z‘)  3 und auch alle Punkte
lp‘=(lx‘,ly‘,lz‘)  3 , l  , die sich somit als Äquivalenzklassen [p]
schreiben lassen, auf ein und denselben in der projektiven Ebene
liegenden Punkt p=(x,y,z) [p] abgebildet, wobei p der Durchstoßpunkt
der Geraden g=lp‘ mit variablem l   mit der projektiven Ebene ist.
Die obige Abbildung, nämlich (x,y)T↦ (x,y,a‘=1)T, nennt man
Homogenisieren.
• Überführen eines Punktes p=(x,y,z) in den 2: (x,y,z) ↦(x/z,y/z)
(Dehomogenisieren)
• Überführen von p in die projektive Ebene mit a‘=1, die in den 3
eingebettet ist: (x,y,z) ↦(x/z,y/z,1)=p
• Punktdarstellung in der projektiven Ebene mit z=1:
(x,y,z=a) mit a‘=1 werden als homogene Koordinaten von
Punkten bezeichnet;
endliche Punkte in der projektiven Ebene: (x,y,1);
unendliche Punkte = Fernpunkt in der projektiven Ebene:
(x,y,0)
• Geradendarstellung in der projektiven Ebene mit z=1:
{(x,y,z)  3| z=1, ax+by+cz=0} -> {(a,b,c)  3 |ax+by+c=0};
(a,b,c) werden dann als homogene Koordinaten bezeichnet;
endliche Gerade: (a,b,c) in der projektiven Ebene;
unendliche Gerade: (0,0,1) in der projektiven Ebene
• Punkt p=(x,y,z) auf einer Geraden g=(a,b,c):
„Skalarprodukt aus p und g ergibt 0“  ax+by+c=0 
<(x,y,1),(a,b,c)>=<(p,g)>=<(lp,g)>=0 für l   \{0}.
• Schnittpunkt zweier Geraden g1=(a1,b1,c1), g2=(a2,b2,c2):
p=g1xg2
• Parallelität zweier Geraden g1=(a1,b1,c1), g2=(a2,b2,c2):
gleiche Richtungskoordinaten a1=a2, b1=b2, aber verschiedenes
c1≠c2(Verschiebung vom 0-Pkt.), (a,b,c1)Tx(a,b,c2)T=(x,x,0);
g1 identisch mit g2:
g1xg2=(0,0,0)T => degeneriert, da unendlich viele Schnittpunkte
existieren
• Verbindungsgerade zweier Punkte p1=(x1,y1,z1), p2=(x2,y2,z2):
g=p1xp2
• Zwei parallele Geraden in der projektiven Ebene schneiden sich
im Unendlichen:
homogene Koordinaten der Geraden g im Unendlichen sind
(0,0,c) mit c=a=1, d.h., dass die Gerade den Normalenvektor
(0,0,1) hat.
• Geg.: Gerade g und Punkt p, der außerhalb von g liegt;
ges.: Gerade l, die durch p   parallel zu g verläuft:
Lsg.: l=(gxg)xp;
• Gerade g wird auf Bildgerade h abgebildet:
Sei p Punkt auf g, q Punkt auf h, q=Mp, M
Transformationsmatrix, dann gilt: h=(M-1)Tg.
Denn nach Satz 1 (siehe nächste Folie) gilt: <p,g>=<Mp,h>=0
 pTg=pTMT(M-1)Tg=pTMTh mit MT(M-1)T=E, E Einheitsmatrix =>
h=(M-1)Tg
Wichtige Sätze in der projektiven
Geometrie
• Satz 1:
Projektive Transformationen bilden
kollineare Punkte auf kollineare Punkte
ab.
• Beweis zu Satz 1:
Es genügt Satz 1 für ein allgemeines Tripel von
Punkten zu zeigen. [a],[b],[c] aus P sollen drei
kollineare Punkte sein, die durch homogene
Koordinaten a,b,c repräsentiert werden. Wir nehmen
an, dass alle homogenen Koordinaten durch
Spaltenvektoren ausgedrückt sind. Wir müssen
zeigen, dass die Punkte, die durch a‘=Ma, b‘=Mb,
c‘=Mc dargestellt sind, unter obigen Bedingungen
auch kollinear sind. Dies gilt, nach folgendem Beweis:
a,b,c sind kollinear  det(a,b,c)=0 
det(M)det(a,b,c)=0  det(Ma,Mb,Mc)=0 
det(a‘,b‘,c‘)=0  a‘,b‘,c‘ sind kollinear.
Es liegen also alle drei Punkte, die durch a‘,b‘,c‘
dargestellt werden, auf der Geraden g‘ und sind somit
kollinear.
• Satz 2:
Falls f: P ->P eine bijektive Abbildung
ist, die die Kollinearität von Punkten
erhält, dann kann f durch eine
Multiplikation einer 3x3-Matrix
ausgedrückt werden.
• Beweis zu Satz 2:
Tatsächlich ist dieser Satz so wichtig, dass er
manchmal als „Fundamentalsatz der projektiven
Geometrie“ bezeichnet wird. Der Beweis dazu ist
etwas subtil und benötigt einige elementare
Ergebnisse aus der Feldtheorie. Der Beweis benutzt
die Tatsache, dass die reellen Zahlen keinen FeldAutomorphismus außer die Identität haben. Die
Entwicklung des obigen Satzes zu beliebige Felder
beeinhaltet eine richtige Diskussion der FeldAutomorphismen. Ein Beweis führt hier zu weit. Im
Moment werden wir mehr Eigenschaften von
projektiven Transformationen sammeln, die als
Multiplikation einer 3x3-Matrix ausgedrückt werden
können. Die fundamentalste Eigenschaft von
projektiven Transformationen, die wir für uns nützlich
ist, führt der folgene Satz 3 auf.
• Satz 3:
Seien [a],[b],[c],[d] aus P vier Punkte, von
denen keine drei kollinear sind und seien
[a‘],[b‘],[c‘],[d‘] aus P weitere vier Punkte,
von denen keine drei kollinear sind, dann
existiert eine 3x3-Matrix derart, dass
[Ma]=[a‘], [Mb]=[b‘], [Mc]=[c‘] und [Md]=[d‘].
•
Beweis zu Satz 3:
Wir nehmen an, dass a,b,c,d,a‘,b‘,c‘,d‘ aus  3 als Repräsentanten der
zugehörigen Äquivalenzklassen fungieren. Zuerst beweisen wir den
Spezialfall, dass a=(1,0,0), b=(0,1,0), c=(0,0,1) und d=(1,1,1). Weil die
Matrixspalten die Bilder der Einheitsvektoren sind, muss die Matrix die
Form (la‘,mb‘,tc‘) besitzen. (In anderen Worten muss das Bild von a ein
Vielfaches des Vektors a‘ sein u.s.w.) Also kann das Bild von d als
la‘+mb‘+tc‘ geschrieben werden. Dies muss ein Vielfaches von d‘
darstellen. Wir müssen nur noch die Parameter l,m,t entsprechend
abgleichen. Dazu müssen wir das lineare Gleichungssystem
lösen. Dieses System ist durch unsere nicht degenerierten Annahmen
lösbar (a‘,b‘,c‘ sind nicht kollinear). Des weiteren ist keiner der
Parameter gleich Null (als Konsequenz der übriggebliebenen nicht
degenerierten Annahmen). Dies beweist den Satz für den Spezialfall.
Um den allgemeinen Fall des Satzes zu zeigen, muss man die obige
Tatsache verwenden, dass man eine Transformation T1, die (1,0,0),
(0,1,0), (0,0,1), (1,1,1) auf a,b,c,d abbildet, und eine Transformation T2,
die (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,1) auf a‘,b‘,c‘,d‘ abbildet, findet. Die
gesuchte Transformation ist dann T2°T1-1.
Transformationsgruppen
Eine Menge W von Transformationen einer Menge M auf sich heißt eine
Transformationsgruppe, wenn mit a, b  W stets gilt:
a*b  W, a-1  W und id  W
Beweis:
Sei a,b,c  W Transformation, d.h. a: M->M und p M. a*b bedeutet a
nach b.
Abgeschlossenheit: a*b  W soll unter den gängigen Gruppenoperationen
als gegeben betrachtet werden.
Neutrales: id: W->W, p ↦ p = a*a -1  W
Inverses: Da a eine bijektive Abbildung ist, existiert eine Inverse Abbildung
a-1 .
Assoziativität: ((a*b)*c)(p)
= (a*b)(c(p))
= a(b(c(p)))
= a((b*c)(p))
= (a*(b*c))(p)
Beispiel zu
Transformationsgruppen
Seien a, b affine Transformationen, mit
a(x)=Ax+a, b(x)=Bx+b
• Abgeschlossenheit: (a*b)(x)=Ba(x)+b=
=B(Ax+a)+b =(BA)x+(B a +b)
• Neutrales: id(x)=Ex+0= x, E Einheitsmatrix
• Inverses: x=A-1a(x) +(-A-1 a)
Zusammenfassung:
• Überblick über die verschiedenen Transformationen:
• Projektive Transformationen:
- projektive Transformationen bilden
kollineare Punkte auf kollineare Punkte ab.
- es reichen vier Punkte mit den zugehörigen
vier Bildpunkten aus, von denen jeweils
keine drei Punkte kollinear sind, um die
projektive Transformation eindeutig
festzulegen.
- Transformationsgruppen können durch
Verkettung von Transformationen
entstehen.