Aufgaben zur Vorlesung „Projektive und Nichteuklidische Geometrie

TU Dresden
Institut für Geometrie
Prof. Dr. U. Brehm
Aufgaben zur Vorlesung
„Projektive und Nichteuklidische Geometrie“
(Teil 1)
1.
Seien K ein Schiefkörper und V ein Vektorraum über K mit dim V ≥ 3.
Dann gilt im zugehörigen projektiven Raum P (V ) der Satz von PAPPOS genau dann, wenn
……
2.
(2)
Notieren Sie bei jeder der folgenden Aussagen, ob Sie wahr oder falsch ist.
je (1)
–
Es gibt eine nichtdesarguessche projektive Ebene.
……
–
Es gibt einen 3-dimensionalen nichtdesarguesschen projektiven Raum.
……
–
Es gibt einen 3-dimensionalen desarguesschen projektiven Raum, in dem der
Satz von PAPPOS nicht gilt.
……
–
Es gibt eine endliche projektive Ebene, in der der Satz von DESARGUES nicht gilt.
……
–
Es gibt eine nichtdesarguessche projektive Ebene in der der Satz von PAPPOS gilt.
……
–
Es gibt eine desarguessche projektive Ebene in der der Satz von PAPPOS nicht gilt.
……
–
Es gibt einen endlichen Schiefkörper, der kein Körper ist.
……
Ergänzen Sie:
–
je (1/2)
In einer projektiven Ebenen der Ordnung 27 liegen auf jeder Geraden …… Punkte und durch
jeden Punkte gehen …… Geraden.
–
Eine projektive Ebene der Ordnung 3 hat …… Punkte und …… Geraden.
Begründen Sie kurz, warum es eine projektive Ebene der Ordnung 27 gibt:
……
(2)
–2–
3.
Geben Sie für jede der folgenden Zahlen an, ob es eine projektive Ebene der Ordnung n gibt,
je (1/2)
bzw. die Existenz noch unbekannt ist.
n
ja
nein
unbekannt
21
22
24
25
26
4.
Seien in P(\ 3 ) der Punkt Z, die Gerade H und zwei Punkte X , X ′ gegeben, die nicht auf H liegen und mit
Z kollinear sind.
Sei α : P(\3 ) → P(\3 ) die eindeutig bestimmte Zentralkollineation mit Zentrum Z, Achse H und
α ( X ) = X ′. Konstruieren Sie zu Y den Bildpunkt Y ′ := α(Y ) in folgender Sachverhaltsvorgabe:
(3)
X
X′
Z
Y
H
5.
Ergänzen Sie die Definition von „Unterraum“:
Sei ( P, G , I ) ein projektiver Raum. U ⊆ P heißt ein Unterraum, falls
……
(2)
–3–
∧
6.
ˆ n ) (also aus M (\ n )) an:
Geben Sie möglichst viele Eigenschaften der Möbiustransformationen (auf \
(5)
7.
Geben Sie eine Matrixgleichung für eine (n + 1) × (n + 1)-Matrix A an, so dass die Abbildung
(2)
⎛ 1
0 ⎞⎟
⎜
−1
[ x ] 6 [ Ax ] eine Isometrie von \ H n ist. Verwenden Sie J := ⎜
⎟.
%
⎜ 0
−1⎟⎠
⎝
8.
Wie ist der Abstand d ([ x ],[ y ]) im elliptischen Raum \ P n definiert?
(2)
d ([ x ],[ y ]) :=
9.
Wie ist der Abstand d ([ x ],[ y ]) im hyperbolischen Raum \H n (projektives Modell) definiert?
(2)
d ([ x ],[ y ]) =
10. Seien a, b, c die Seitenlängen, A, B, C die Winkel eines sphärischen Dreiecks Δ.
a)
Formulieren Sie den Sinussatz für sphärische Dreiecke.
(2)
b)
Wie groß ist der Flächeninhalt von Δ?
(2)
–4–
11. Seien a, b, c die Seitenlängen, A, B, C die Winkel eines hyperbolischen Dreiecks Δ.
a)
Formulieren Sie den Sinussatz für hyperbolische Dreiecke.
(2)
b)
Wie groß ist der Flächeninhalt von Δ?
(2)
12. Welche der folgenden Punkte (aus \P 2 ) liegt in \H 2 ?
(ja: ∈ \H 2 , nein: ∉ \H 2 )
⎡⎛ 5 ⎞ ⎤
⎢ ⎜ −3 ⎟ ⎥
⎢⎜⎝ 4 ⎟⎠ ⎥
⎣
⎦
⎡⎛ 1 ⎞ ⎤
⎢⎜ 1 ⎟ ⎥
⎢⎜⎝ 1⎟⎠ ⎥
⎣ ⎦
⎡⎛ −3 ⎞ ⎤
⎢⎜ 2 ⎟ ⎥
⎢⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎥
⎣
⎦
⎡⎛ 7 ⎞ ⎤
⎢⎜ 4 ⎟ ⎥
⎢⎜⎝ 5 ⎟⎠ ⎥
⎣
⎦
(2)
⎡⎛ 3 ⎞ ⎤
13. Bestimmen Sie zu ⎢⎜ −1⎟ ⎥ in \H 2 die zugehörigen Punkte (in B 2 )
⎢⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎥
⎣
⎦
a)
im e-Modell
b) im konformen Modell
a) (1)
b) (3)
14. Was sind die h-Geraden im projektiven Modell?
(1)
Was sind die h-Geraden im konformen Modell?
(1)
–5–
⎛a b u ⎞
⎜
⎟
15. Sei ⎜ 43 1 v ⎟ ∈ O + (1, 2) mit a, b, c, u , v , w ∈ \ geeignet und c ≥ 0.
⎜ 0 c w⎟
⎝
⎠
Bestimmen Sie a, b, c.
a=
(3)
b=
c=
16. Zeichnen Sie zu der gegebenen Gerade g im e-Modell drei zu g h-orthogonale Geraden ein.
(3)
(Hinweis: Eine Gerade g trifft g h-orthogonal, falls die h-Spiegelung an g g auf sich abbildet.)
g
17. Bestimmen Sie zeichnerisch den h-Winkel zwischen den im e-Modell gegebenen Geraden.
(Hinweis: Wechseln Sie das Modell.)
(4)