Kleingruppen: Themen und Zusammenfassungen

IX. Freiburger-Mathematik-Tage 2010:
Kleingruppen: Themen und Zusammenfassungen
Wir bieten Ihnen insgesamt 13 Arbeitsgruppen zu unterschiedlichen Gebieten aus der Mathematik an. Es gibt 10 Arbeitsgruppen mit einer Dauer
von 3 Stunden und 3 Gruppen, die 1,5 Stunden dauern. Lesen Sie das Angebot sorgfältig durch, und wählen Sie aus jedem Block 2 Angebote aus.
Wenn Sie also zum Beispiel gerne in die Gruppe von Herrn Glang oder in die Gruppe von Herrn Kränkel wollen, geben Sie auf Ihrer Anmeldung 1.1
und 1.2 an. Zusätzlich müssen Sie noch zwei Gruppen aus dem Angebot 2 der 1,5-stündigen Gruppen wählen und auch auf das Formular im Flyer
schreiben: z. B. 2.1 und 2.2. In diesem Fall möchten Sie gerne in die Gruppe von Herrn Junker und Herrn Wolke. Sie können die Anmeldung auch
per E-Mail ( Adresse s. Flyer) vornehmen. Bitte vergessen Sie dabei nicht, alle wichtigen persönlichen Daten (Adresse, Schule, Klassenstufe)
aus der Anmeldekarte einzutragen. Nach Eingang Ihrer Wünsche werden wir Ihnen jeweils aus ihren 4 Wunschgruppen eine 3-stündige und eine 1,5
Stunden dauernde Gruppe zuteilen. Das genaue Programm und Ihre zugeteilten Gruppen erhalten Sie auf dem Postweg bis Ende der großen Ferien.
Dieses Programm mit Hinweisen für die Anmeldung steht auch auf der Homepage der Didaktik-Abteilung unter
http://home.mathematik.uni-freiburg.de/didaktik/infos.html.
1.
Dreistündige Gruppen (Freitag)
1.1 Glang: Kodierungstheorie
In diesem Workshop wollen wir uns Gedanken darüber machen, wie Gegenstände eindeutig von einem Computer (z.B. Scanner der Aldi-Kasse)
identifiziert werden kann. Wir müssen dabei beachten, dass es nicht zu kompliziert ist, damit der Rechner es schnell alle Daten entschlüsseln kann
und keine Datenbank benötigt, damit wir Speicherplatz sparen.
Gemeinsam können wir uns ein paar Ideen ausdenken, Überprüfung und weiterentwickeln. Als Bsp werden wir lernen, wie der ISBN-Code
funktioniert.
1.2 Kränkel: Wie wendet man Mathematik an?
In dem Workshop werden an Beispielen die Fragestellungen und Arbeitsweisen der angewandten Mathematik dargestellt. Hauptsaechlich wird dabei
auf den Einsatz von Computern in der Simulation von technischen und physikalischen Vorgaengen wert gelegt. An ausgewaehlten
Beispielprogrammen koennen kleinere Simulationen selbst ausprobiert werden.
1.3 Janine Kühn, Dominik Stich: Ein Einblick in die Welt des Zufalls
Unser Workshop steht unter dem Motto "Wie kann man mit Mathematik den Zufall berechnen?"
Wir wollen euch an verschiedenen, verblüffenden Beispielen und mit Hilfe kleinerer Experimente zeigen, wie man mit mathematischen Methoden
zufällige Ereignisse beschreibt und wie man mit den so gewonnen Erkenntnissen auch Probleme aus anderen Bereichen der Mathematik lösen kann.
Dazu erarbeiten wir zunächst gemeinsam die Lösungen einfacher Probleme und geben euch anschließend einen Einblick in die allgemeine Theorie.
1.4 Lohmann: Projektive Geometrie
In diesem Workshop werden wir die aus der Schule bekannte Euklidische Ebene um unendlich weit entfernte Punkte ergänzen und erhalten so eine
projektive Ebene. Geraden, die vorher parallel waren, schneiden sich nun in einem unendlich fernen Punkt, das Parallelenaxiom aus der Euklidischen
Geometrie gilt also nicht mehr.
Eine weitere interessante Eigenschaft dieser Ebene ist das Dualitätsprinzip, welches besagt, dass sich die Begriffe Gerade und Punkt vertauschen
lassen. Aus schon bekannten Sätzen lassen sich damit leicht neue duale Sätze gewinnen. Wir werden lernen, wie man einen solchen Raum
mathematisch konstruieren kann, und dass es projektive Geometrien gibt, die nur aus endlich vielen Punkten bestehen.
1.5 Simon: Der eulersche Polyedersatz und die Eulercharakteristik
Die Eulercharakteristik eines Polyeders ist definiert als die Anzahl der Ecken E minus die Anzahl der Kanten K plus die Anzahl der Flächen F.
Wir betrachten zuerst die fünf platonischen Körper (Tetraeder, Hexaeder, Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder) und bemerken, dass deren
Eulercharakteristik gleich 2 ist.
Wir überlegen uns, ob es so eine Beziehung auch in anderen Polyedern gibt und stoßen
dadurch auf den eulerschen Polyedersatz. Nach diesem gilt E - K + F = 2 für beliebige konvexe Polyeder. Wie wir an einem Beispiel sehen werden,
ist die Konvexität hierin eine notwendige Bedingung.
Um nun von konvexen Polyedern zu komplizierteren Körpern zu gelangen, überlegen wir uns, wie wir die Eulercharakteristik verändern, wenn wir
an einem gegebenen Körper einen "Henkel" ankleben. Das heißt wir entfernen zwei Vielecke des Körpers und verbinden die Ränder der
entstehenden Löcher durch einen Schlauch. Damit lässt sich dann z.B. leicht die Eulercharakteristik des Torus berechnen.
1.6 Röttgen: Mathematik und Demokratie
Demokratische Entscheidungen sollen sich nach den Wünschen derer richten, die von ihnen betroffen sind. Die Erfahrung zeigt, dass es schwierig
ist, die verschiedenartigen Wünsche der Einzelnen zu einer gemeinsamen Entscheidung zu bündeln. Bei einer Entscheidung über zwei Alternativen
ist die einfache Mehrheit eine gute Methode. Aber schon wenn drei Individuen sich auf eine von drei Möglichkeiten einigen sollen, entstehen
grundsätzliche Schwierigkeiten. Wir werden mathematische Modelle kennenlernen, die solche Situationen beschreiben, und aus denen sich
interessante Beobachtungen ableiten lassen. So können wir etwa zeigen, dass sich ganz natürliche Forderungen an den Entscheidungsprozess
gegenseitig ausschließen: Es gibt keinen Entscheidungsprozess, der alle diese natürlichen Forderungen erfüllt. Ähnliche Fragen sind auch in den
Wirtschaftswissenschaften wichtig, und es hat dafür schon einige Nobelpreise gegeben.
1.7 Huber-Klawitter: Summen von Quadratzahlen
Wir betrachten die Menge der Quadratzahlen 0, 1, 4, 9, 16, ... und wollen gemeinsam untersuchen, was passiert, wenn man zwei, drei oder mehr
von ihnen addiert. Wir wollen versuchen, aus den Beispielen die Muster zu erkennen und uns Beweise zu überlegen
1.8 Fritz/Steinhilber: Simulation der Planetenbewegung
In diesem Workshop soll am Beispiel der Planetenbewegung demonstriert werden, wie physikalische Probleme numerisch simuliert werden.
Zunächst werden wir auf die physikalischen Phänomene eingehen und die zugrunde liegenden Bewegungsgleichungen herleiten. Zur Lösung dieser
Gleichungen, die mathematisch ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen darstellen, werden wir ein numerisches Verfahren entwickeln,
so dass die Planetenbahnen mithilfe des Computers berechnet und visualisiert werden können. Anhand eines Computerprogramms können die
Teilnehmer dann selbständig die Keplerschen Gesetze zur Planetenbewegung studieren.
1.9 Goette: Optimale Strategien und zufaellige Entscheidungen
In der mathematischen Spieltheorie sucht man nach möglichst guten Zügen
für bestimmte Spielsituationen. Wir werden das anhand einfacher Beispiele
selbst ausprobieren - teilweise mit überraschenden Lösungen.
Manchmal lassen sich Konzepte aus der Spieltheorie auch auf
Konfliktsituationen in Politik und Wirtschaft anwenden. Ein Beispiel dafür
sind Nash-Gleichgewichte, die wir uns näher anschauen wollen.
1.10 Froeschel: Komplexe Zahlen und Einführung in die Funktionentheorie
In dem Seminar werden wir den Körper der komplexen Zahlen einführen, welcher seit Euler zu den Grundbausteinen der Mathematik gehört und
auch aus der Physik und sogar den Ingenieurswissenschaften nicht mehr wegzudenken ist. Der große Vorteil ist, dass nun auch Gleichungen der
Form x2 + 1 = 0 eine Lösung besitzen.
Danach möchten wir, wie wir es bereits von den reellen Zahlen kennen, Funktionen auf den komplexen Zahlen definieren und den Ableitungsbegriff
verallgemeinern. Dabei werden wir sehen, dass eine Funktion, die einmal (komplex) differenzierbar ist, es gleich unendlich oft ist und es noch mehr
Phänomene gibt, die für Funktionen auf den reellen Zahlen nicht gelten. Wenn genügend Zeit bleibt, können wir noch auf den Fundamentalsatz der
Algebra eingehen, den Carl Friedrich Gauß auf gleich mehrere Arten in seiner Doktorarbeit bewies und neue Beweise als Sport in der Mathematik
gelten.
2. 1,5-stündige Gruppen (Samstag):
2.1 Junker: "Partitionszahlen"
Die Zahl 5 kann man auf mehrere Arten als Summe von natürlichen Zahlen
schreiben. Wenn es auf die Reihenfolge der Summanden nicht ankommt, gibt
es die folgenden 7
Darstellungen:
5 = 4+1 = 3+2 = 3+1+1 = 2+2+1 = 2+1+1+1 = 1+1+1+1+1
Für eine beliebige natürliche Zahl n wird die Anzahl solcher
Darstellungen als n-te Partitionszahl P_n bezeichnet. Die Berechnung der
Partitionszahlen ist eine
typische Fragestellung der Kombinatorik, eines Teilgebietes der
Mathematik, und soll Thema des Workshops sein.
Wenn zusätzlich auch die Reihenfolge der Summanden beachtet werden soll,
gibt es für die Zahl 5 sogar 16 = 2^{5-1} Darstellungen, und diese
einfache Formel funktioniert auch im allgemeinen Fall. Für die
Partitionszahlen ist es aber schwieriger...
2.2 Wolke: Die Fibonacci-Folge
Der Mathematiker Leonardo von Pisa, gen. Fibonacci (ca. 1170-1240) stieß beim Versuch, die Entwicklung einer Kaninchen-Population
mathematisch zu beschreiben, auf die Zahlenfolge
F1 = 1; F2 = 1; Fn = Fn¡1 + Fn¡2 (n > 3):
Wir wollen einige ihrer zahlreichen, oft überraschenden Eigenschaften gemeinsam herleiten. Es wird sich insbesondere eine verblüffende
geschlossene Formel für Fn und eine
Beziehung zum "Goldenen Schnitt“ ergeben.
2.3 Bürker: Dynamisch erzeugte Kurven
Bei geometrischen Abbildungen (Kongruenz und Ähnlichkeitsabbildungen sowie affine Abbildungen) werden normalerweise Objekte (Punkte,
Geraden, Vielecke, Kurven) in ihrer Lage, Größe oder Form verändert. In diesem Workshop werden wir auch mit dem Computer arbeiten und unser
Augenmerk auf Objekte lenken, die bei solchen Abbildungen auf sich selbst abgebildet werden. Dabei tauchen interessante, teilweise bekannte,
teilweise unbekannte Kurven auf, die bei solchen Abbildungen fest bleiben, so genannte Fixkurven (Parabeln, Potenzkurven, Exponentialkurven,
Spiralen). Manche lassen sich solche Kurven durch ihre geometrischen Eigenschaften erzeugen