HimmerlichLeyhAnalytGeomPolarkoord2006

Analytische Geometrie –
Tradition und Alternativen
Mathedidaktik IV WS 05/06
Prof. Dr. Zimmermann
Nicole Himmerlich & Tobias Leyh
1. Fundamentale Ideen

Algebraisierung und Geometrisierung im Anschauungsraum
(a) Algebraisierung des Anschauungsraumes mit Hilfe von
Koordinaten, linearen und quadratischen Gleichungen,
linearen und affinen Abbildungen sowie Vektoren
(b) Geometrisierung linear-algebraischer Sachverhalte und
linearer Modellierung in der Ebene, im Raum oder im
verallgemeinerten Anschauungsraum

Messen von
(a) Abständen, Längen und Winkeln mittels des Satzes von
Pythagoras, mit dem Skalarprodukt und den Eichkurven
(b) Parallelogrammflächen und Spatvolumina mittels
Determinanten oder mittels Spatprodukt
1. Fundamentale Ideen

Modellierung mittels
(a) Kurven in Parameterdarstellung, Flächendarstellung und
Funktionen mehrerer Veränderlicher
(b) gerichteter Größen und Vektoren
(c) Linearitätsüberlegungen. linearer Gleichungssysteme
und linearer Abbildungen
(d) Zustandsvektoren, Listen, Verflechtungs- und
Übergangsmatrizen

Algorithmus und Kalkül
(a) Matrizenkalkül, Koordinaten- und
Matrizentransformation, Gaußscher Algorithmus
1. Fundamentale Ideen

Abbildung, Invarianz und erweiterter Funktionsbegriff
(a) Abbildungen als Hilfsmittel zum Erfassen anschaulichgeometrischer Sachverhalte
(b) Charakterisierung von Abbildungen durch Invarianten,
Betrachtungen von Fixräumen und Eigenvektoren sowie von
Symmetrie als wichtige Analysemittel
(c) strukturerhaltende Abbildungen als fundamentales
Ordnungsprinzip der modernen Mathematik
(d) Funktionen mehrerer Veränderlicher und die
Parameterdarstellung von Kurven als Erweiterung des
Funktionsbegriffs aus der schulischen Analysis
2. DreiDGeo
http://www.schule.bayern.de/unterricht/lernprogramme/
2. DreiDGeo
Beispielaufgabe:
Gegeben sind die Punkte A(8|0|1), B(3|4|1) und
8
0
 
  
C(0|8|5) sowie die Gerade g : x   0      4 ,   R
1
1
 
 
a)
b)
c)
d)
Bestimme eine Ebene E, die B enthält und senkrecht auf
AC steht.
Zeige, dass C Spiegelpunkt von A bezüglich E ist.
Berechne den Schnittpunkt D von g mit E und den Winkel
zwischen g und E.
Berechne die zwei Punkte P und Q auf g, die von E den
Abstand 9 haben.
2. DreiDGeo
Für Lehrer:

Erstellung von ordentlichen Zeichnungen im Unterricht

Zeitersparnis beim Darstellen umfangreicher räumlicher
Szenen

Ausnutzung der Dynamik zur schnellen Veranschaulichung
von räumlichen Szenen im Unterricht; Visualisierungshilfe

Hilfe bei der Unterrichtsvorbereitung. Es werden Fehler
vermieden und man erhält schnelle Übersicht über die
Zusammenhänge

Ermittlung des günstigsten Blickwinkels auf die räumlichen
Objekte für den Ausdruck von Arbeitsblättern oder Folien

Bei Erstellung von Aufgaben läuft das Programm im
Hintergrund um günstige Konstellationen zu realisieren

Eingehen auf Schülervorschläge wegen der schnellen
Verfügbarkeit von Zeichnungen
2. DreiDGeo
Für Schülerinnen und Schüler:

Finden und Nachprüfen von Lösungswegen

Rückkopplung und Aufgabenlösung mit der Anschauung

Fehlerbereinigung durch Prüfung der rechnerischen
Ergebnisse

Kontrolle der Hausaufgaben in der Schule oder daheim

Schulung der eigenen räumlichen Vorstellungskraft

Eigenständiges Arbeiten
Das Programm dient zur besseren
Veranschaulichung, ersetzt aber keinesfalls den
kreativen Umgang mit geometrischen Objekten zur
Lösungsfindung!
3.1. Kartesische Koordinaten
Verschiebung um
 x0 
v  
 y0 
Drehung um Z ( x0 y0 )
mit Drehwinkel 
Spiegelung an der
Geraden y  mx  n
x  x  x0
y   y  y0
x  ( x  x0 ) cos   ( y  y0 )sin   x0
y  ( x  x0 )sin   ( y  y0 ) cos   y0
x  x cos 2  ( y  n)sin 2
y  x sin 2  ( y  n) cos 2  n
mit   arctan m
3.2. Polarkoordinaten
3.3. Bewegungen &
Polarkoordinaten
Das Dreieck ABC mit A(2|0), B(4|-2) und C(5|1)
wird
a) mit einem Winkel von 60° um Z(-1|-1) gedreht.
b) an der Geraden y= ½x+1 gespiegelt.
Berechnet die Koordinaten der Bildpunkte.
3.3. Bewegungen &
Polarkoordinaten
3.3. Bewegungen &
Polarkoordinaten
4. Anwendungen
1. Inversion am Kreis (mit Radius c)
Kartesisch:
Polar:
xc
x'  2
2
x y
2
y c
y'  2
2
x y
2
2
c
r' 
r
' 
r0
4. Anwendungen



Neu: r als r = f(φ)
Damit ist eine neue
Darstellung vieler
Kurven möglich!
Beispiel 1:
archimedische
Spirale mit
r = a·φ
4. Anwendungen

Beispiel 2: logarithmische Spirale
r e
a
,a  0
4. Anwendungen
4. Anwendungen
3. Kegelschnitte
p
r
1    cos 
 > 1 Hyperbel
 = 1 Parabel
 < 1 Ellipse
 = 0 Kreis
5. Diskussion





Vorkenntnisse?
Lernziele?
Kompetenzen?
Vor- und Nachteile?
Einsatzmöglichkeit im Unterricht?
5. Diskussion
6. Quellen

G. Steinberg: Plädoyer für Polarkoordinaten im
Mathematikunterricht in MU 3/1984

G. Steinberg: Polarkoordinaten. Hannover, Metzler 1993

H. Schupp /H. Dabrock: Höhere Kurven. Mannheim; Leipzig;
Wien; Zürich, BI-Wissenschaftsverlag 1995

U.-P. Tietze/ M. Klika/ H. Wolpers: Mathematikunterricht in der
Sekundarstufe II Band 2. Braunschweig; Wiesbaden, Vieweg 2000

H. Andraschko: DreiDGeo – ein Programm zur Veranschaulichung
der analytischen Geometrie in MU 5/2001

Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren
Schulabschluss