QuantenComputer

„Quantencomputer“
WS 2003/2004
Birgit Kainhofer
Philip Eder
Michael Auracher
Robert Mader
Übersicht
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Einführung
Physikalische Grundlagen
Mathematische Grundlagen
Quantenalgorithmen
Einführung
Einführung
• Definition „Quantencomputer“
• Erste Idee „Quantencomputer“
• Erklärung „Quantenbit“ & Co
• Vor- und Nachteile
• Leistung heutiger „Quantencomputer“
Definition „Quantencomputer“
• Berechnungen beruhen ausschließlich auf
Gesetzen der Quantenmechanik
• Bislang noch nicht realisierte
Rechenmaschinen (bisher nur
experimenteller Status)
• Leistungsfähiger als bisherige
Computermodelle
Erste Idee „Quantencomputer“
• 70‘er Jahre: BENIOFF – Idee,
quantenmechanische Systeme für
Berechnungen zu nutzen
Richard FEYNMAN
• 1982: Richard FEYNMAN erste
Vorschläge, um diese Idee umzusetzen
• 1985: David DEUTSCH – Entwicklung
des ersten Designs für universellen
Quantencomputer
Erklärung „Quantenbit“ & Co
• = kleinste Info-Einheit eines
quantenmechanischen Systems
• Kurz: „Qubit“ (analog zum Bit in
konventionellen digitalen Rechnern)
• Basiszustände: |0> und |1>
• „Superposition“ (Überlagerung): Qubit kann
Basiszustände und jeden erdenklichen
Zustand zwischen |0> und |1> annehmen
Erklärung „Quantenbit“ & Co
• Mehrere Qubits zur Darstellung größerer
Mengen an Info nötig  „Quantenregister“
• Durch Superposition ist die exponentielle
Anzahl von digitalen Werten gleichzeitig
speicherbar
Erklärung „Quantenbit“ & Co
Ein Beispiel:
• Quantencomputer besteht aus 5 Qubits
• zB 00010=2 und 00100=4 gleichzeitig
darstellbar
• max. speicherbar: Superposition aller 32
möglichen Zustände

haushohe Überlegenheit gegenüber
gewöhnlichen Computern („paralleles
Rechnen“)
Vor- und Nachteile
Vorteile:
• Bedeutendster Vorteil: unwahrscheinlich hohe
Rechengeschwindigkeit durch parallele
Berechnungen
• Unbegrenzte Möglichkeit von Berechnungen
• Konstruktionsvorteil: durch reversible
Rechenprozesse kaum Wärmeentwicklung
(Stichwort: „Kühlung“)  kleineres Design
möglich
Vor- und Nachteile
Nachteile:
• Am Ende der Berechnung:
Messung nur einzelner Werte möglich, gesamte
Superposition ist messtechnisch nicht erfassbar
• Alle Lösungen zwar im Speicher, aber nicht mit
einziger Messung erfassbar  spezielle
Algorithmen nötig
• Probleme bei Konstruktion: völlige Isolierung der
Teilchen (Qubits) von ihrer Umwelt nötig (wegen
Wechselwirkungen), ansonsten Zusammenbruch
gesamter Superposition  Totalverlust aller
Daten
Vor- und Nachteile
Nachteile (Fortsetzung):
• Aufrechterhaltung der Superposition noch
nicht über längere Zeit möglich;
derzeit: einige Sekunden bis zu einigen
Minuten
• Immenses Sicherheitsrisiko:
Verschlüsselungsverfahren (wie RSA)
entschlüsselbar
Leistung heutiger „Quantencomputer“
Bisher größte Erfolge durch Realisierung mit
Kernspinresonanz:
• Kopplung von mehreren Qubits
• Demonstration des Deutsch-Jozsa-Algorithmus
(Juni 2000)
• Faktorisierung mit Hilfe des Shor-Algorithmus
(Dezember 2001)
Physikalische
Grundlagen
Physikalische Grundlagen
• Verschränkung
• Superposition
• Dekohärenz
• Praxis
Verschränkung
„Spukhafte Fernwirkung“ (Einstein)
Erstmals gezeigt mit dem
Einstein-Podolsky-Rosen-Experiment
Misst man die Eigenschaften eines Teilchens,
kennt man automatisch die des mit ihm
verschränkten Partners.
Verschränkung (Fortsetzung)
Ändert man den Spin des eines Teilchens, so ändert
sich auch der Spin des anderen!
Teilchen A
Zustandsänderung
Teilchen B
Verschränkung (Fortsetzung)
Anwendung: Quantengatter, Quantenkryptographie
Wird die „Leitung“ abgehorcht, wird die Superposition
der Photonenpaare zerstört.
Abhörversuch wird erkannt!
Superposition
Überlagerung aller möglichen Zustände:
Ein abgeschlossenes System hat nicht nur diskrete
Zustände, sondern auch alle möglichen dazwischen.
Beispiel: „Schrödingers Katze“
Superposition (Fortsetzung)
Das Register kann alle möglichen Zustände
annehmen. Von diesen wird parallel jeweils ein
Ergebnis berechnet.
Kunst: aus diesen (gleichwahrscheinlichen) das
richtige Ergebnis heraussuchen.
Dekohärenz
• Jede "Messung" an einer Superposition führt zu
einem eindeutigen Zustand.
(Zerstörung der Superpositionen durch die
Heisenbergsche Unschärferelation)
• Eine Messung ist jede Interaktion mit der Umwelt,
z.B. bereits das Auftreffen von Photonen.
Dekohärenz (Fortsetzung)
Schlussfolgerung:
• Es ist sehr schwierig, so einen überlagerten
Zustand herzustellen und zu halten, da dieser
ständig durch äußere Einflüsse zerstört wird!
Praxis
Wie kann man die Dekoheränzzeit verlängern?
• Ionenfalle
• nukleare magnetische Resonanz (NMR)
(Kernspinresonanz)
Ionenfalle
Bedingungen: Ionen müssen „isoliert“ werden:
• Hochvakuum
• annähernd 0 Kelvin
Höchstens bis ca. 20 Qubits geeignet.
Nukleare magnetische Resonanz :
Derzeit die erfolgreichste Methode
• eine Flüssigkeit von ca. 1020 Molekülen
• Jedes Molekül im Prinzip Quantencomputer
NMR (Fortsetzung)
Die magnetische Resonanz eines einzelnen
Teilchens ist viel zu schwach!
Die Superposition wird nicht gefährdet, da die Kerne
durch die Elektronenhülle von den anderen
abgeschirmt werden.
NMR (Fortsetzung)
Der Spin der Kerne wird mit Radiowellen um 90°
gekippt, wodurch diese in Superposition gebracht
werden.
Mathematische
Grundlagen
Mathematische Grundlagen
• Darstellung u. Notation eines Qubits
• Quantenregister u. Superposition
• Rechnen mit Qubits u. Registern
/Quantoren u. Gattern
Darstellung eines Qubits
• Messung des Teilchens ergibt ‚genau‘
2 Basiszustände  Spin-up, Spin-down
• Messung ergibt nur diskrete Werte 
System ist quantisiert
• Zustände als Vektoren in einem
‚Hilbertschen Raum‘ darstellbar
• Achsen entsprechen Basiszuständen
• Allg.: n Qubits benötigen 2n Dimensionen
Notation des Qubits
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Verwendet ‚bra c ket‘-Notation von P. Dirac
Zustandsvektor als |Ψ> bezeichnet
Gebildet durch Basiszustände |Ψi>
Anteil der Basiszustände durch wi angegeben
Allg: |Ψ> = w0|Ψ0> + w1|Ψ1> ≡
≡ (w0 / w1)
• Bei einem Qubit entspricht Gewichtung des
Basiszustandes Null w0 und Eins w1
Beispiel für ein binäres System
• Annäherung an klassisches, binäres System
• Basiszustände: |Ψ0> = |0>  ‚Spin-down‘
|Ψ1> = |1>  ‚Spin-up‘
• Zustandsvektor:
Allg:
|Ψ> = w0|0> + w1|1>
‚Spin-down‘: |Ψ> = (1/0)
= 1|0> + 0|1>
‚Spin-up‘:
|Ψ> = (0/1)
= 0|0> + 1|1>
Quantenregister
• Zwei Qubits werden zu einem Register
zusammengefasst, indem das direkte Produkt
gebildet wird.
• Nehme zwei Qubits:
|Ψ(1)> = w0 (1)|0(1)> + w1(1)|1(1)> = (w0 (1)/ w1 (1))
|Ψ(2)> = w0 (2)|0(2)> + w1(2)|1(2)> = (w0 (2)/ w1 (2))
• Um das zusammengesetzte System |Ψ(1,2)>
zu erhalten, multipliziert man |Ψ(1)>, |Ψ(2)>.
Quantenregister
• Man erhält einen vierdimensionalen Vektor:
|Ψ(1)>  |Ψ(2)> = (w0 (1)/ w1 (1))  (w0 (2)/ w1 (2)) =
w0 (1) w0 (2)
w00
w0 (1) w1 (2)
w01
w1 (1) w0 (2) = |Ψ(1,2)> = w10
w1 (1) w1 (2)
w11
• Zwei-Qubit Quantenregister mit 4
Basiszuständen: |00>, |01>, |10>, |11>.
Quantenregister
• Quantenregister befindet sich in einem der
Basiszustände, wenn ein wi 1 ist und die
anderen 0.
• Wie bei Qubits kann der Zustandsvektor
durch die Summe der Basiszustände gebildet
werden.
|Ψ(1,2)> = w00|00> + w01|01> + w10|10> + w11|11>
• Analog ist Berechnung für 3-, 4- u. n-Qubits
möglich.  Simulationen schwierig
Superregister
• Wenn mehrere Qubits zu einem Quanteregister
werden und die einzelnen Qubits nicht mehr getrennt
von einander betrachte werden können.
 Superposition
• Beispiel: |Ψ(1,2)> = 1|00> + 0|01> + 0|10> + 1|11> =
= (1 / 0 / 0 / 1)
• Bei Messung beeinflusst das erste Qubit das zweite.
Messen des 1. Qubits ergibt |0>, bei 2. Qubit auch
|0>, da Quantenregister |11> nicht annehmen kann.
• Für Trennung Rechenvorgang umkehren.
Rechnen mit Qubits
• Änderung geschieht durch Anwendung eines
Operators auf ein Qubit.
• Operator hat die Form einer Matrix mit den
Ausmaßen 2n x 2n. (n = Anzahl der Qubits)
• Multipliziert man Quantor  mit Qubit |Ψ>, so
erhält man |Ψ‘>.
 |Ψ> = a b
c d
w0 = a w0 + b w1
w1 = c w0 + d w1
Quantoren und Gatter
• „NOT“ – Gatter: ÛNOT = 0 1
10
• „Hadamard“ – Gatter: H = 2-½ 2-½
2-½ -2-½
• „UB“ – Gatter: UB (α) = 2-½ 1 0
01
Quantenalgorithmen
Quantenalgorithmen
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Der Deutsch-Jozsa-Algorithmus
Der Grover-Algorithmus
Der Shor-Algorithmus
Datenverschlüsselung
/Quantenkryptografie
Der Deutsch-Jozsa-Algorithmus
• Die Hälfte von 2 n identischen Münzen liegt
mit der Vorderseite, die andere Hälfte mit der
Hinterseite nach oben.
• Wie viele Münzen muss man anschauen, um
herauszufinden ob Vorder- und Hinterseite
aller Münzen gleich ist? (Die Münzen dürfen
dabei nicht umgedreht werden.)
Der Deutsch-Jozsa-Algorithmus
• Allgemeine Formulierung des Problems durch
folgende Funktion:
1, x  Vorderseit e
f ( x)  
0, x  Rückseite
• Ansehen einer Münze entspricht einer
Durchführung der Funktion
• Alle Fkt.werte sind entweder gleich 1 oder 0
• Genau die Hälfte aller Fkt.werte sind 1, der Rest
ist 0
Der Deutsch-Jozsa-Algorithmus
Laufzeitkomplexität:
Seiten der Münzen sind gleich:
(n/2) + 1 Münzen müssen betrachtet werden
Seiten der Münzen sind ungleich:
best case: 2 Münzen müssen untersucht
werden
worst case: (n/2) + 1 Münzen müssen
angesehen werden
Der Deutsch-Jozsa-Algorithmus
• Quantenalgorithmus von Deutsch-Jozsa
kommt mit einem einzigen
Funktionsaufruf aus.
• Durch Superposition aller möglichen
Werte von x  Berechnung von f (x ) für
die gesamte Definitionsmenge durch
eine einzige Durchführung der Funktion
Der Grover-Algorithmus
• Folgende Funktion sei gegeben
1, x  x0
f ( x)  
0, x  x0
mit x  {0,1,2,,2  1} und x0  x
n
• Aufgabe: Bestimmung von x0
Der Grover-Algorithmus
• Laufzeitkomplexität:
Klassischer Algorithmus: 2 n 1 Versuche
Grover-Algorithmus:
2 n Versuche
• Beispiel für n=10:
klassisch: 512 Versuche
quantenmechanisch: 32 Versuche
Der Shor-Algorithmus
• Effiziente Faktorisierung
= Darstellung einer positiven natürlichen Zahl
als Produkt von Primzahlen
• „Killerapplikation“ für Quantenrechner
Der Shor-Algorithmus
• Laufzeitkomplexität einiger bekannter
klassischer Algorithmen:
Der Shor-Algorithmus
• Im Shor-Algorithmus werden die Faktoren
durch Bestimmung der Periode folgender
Funktion ermittelt:
f ( x)  c (mod N )
x
N Zahl, die faktorisiert werden soll
c ganze Zahl, die mit N keine gemeinsamen
Primfaktoren besitzt
Der Shor-Algorithmus
• Faktorisierung mit Quantenrechnern:
Wo?
• Bestimmung der Periode
Wie?
• Superposition:
• alle möglichen Perioden gleichzeitig! rechnen
• Fourier-Transformation:
• Extraktion von Frequenzen periodischer
Funktionen
Der Shor-Algorithmus
Quantencomputer vs. Digitalrechner
Netzwerk von 100 Rechnern:
Größe von N
1024 Bit
4096 Bit
Rechenzeit
100000 Jahre
Über 30 Milliarden
Jahre
Quantencomputer mit 100 Mhz:
Größe von N
1024 Bit
4096 Bit
Rechenzeit
4.5 Minuten
4.8 Stunden
Der Shor-Algorithmus
• Durch die gigantische Rechenleistung von
Quantencomputer sind einige
Verschlüsselungsverfahren nicht mehr sicher.
• Sicherheit des RSA (Rivest,Shamir,Adleman)Verschlüsselungsverfahrens beruht darauf, dass
große Zahlen nur mit großem
Aufwand faktorisiert werden können.
Der Shor-Algorithmus
• Kryptographie (RSA):
• p, q: große Primzahlen, n: pq  n
• d: relativ prim zu (p-1)(q-1), e aus
ed  1 mod( p  1)( q  1)
• Schlüssel: öffentlich (e, n), geheim (d, n)
• Verschlüsseln
a  b d mod n
Entschlüsseln
b  a e mod n
Ende