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Nichtstandard-Analysis
Mathematik-Didaktik B
Referenten: Alexander Hochstein
Christian Herrmann
Friedrich- Schiller Universität Jena
Jena, d. 20.01.2009
Gliederung
1.
2.
3.
4.
5.
2
Einleitung / Motivation
Eine Einführung in die
Infinitesimalzahlen
Eine Einführung in das hyperreelle
Zahlensystem
Anwendungen der Infinitesimalzahlen in
der Nichtstandard-Analysis
Literatur
1. Einleitung
Was ist ein Differential?
→ dx, dy, dz
Differentialquotient
dy
→
dx
3
→
f ( x0  h)  f ( x0 )
dy
( x0 )  lim
h0
dx
h
1. Einleitung
Wieso kann man mit Differentialen rechnen?
Beispiel: Integration durch Substitution
1

0
2
2x
2 x dz
2
dx


[ln
|
z
|]
2
1  ln 2  ln 1  ln 2

x 1
z 2x
1
dz
dz
 2 x  dz  2 xdx 
 dx
z  x 1 
dx
2x
2
4
2. Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen
Tangentenproblem
5
o
Gegeben: Funktion f(x)=x²
o
Gesucht: Tangente im Punkt P=(0.5,0.25)
o
Grundproblem: Wie erhält man den Anstieg der
Tangente?
6
7
2. Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen
o
Die Sekante liegt ,,nah“ bei der Tangente
→ ihre Steigung wird ,,nah“ bei der Tangente liegen
Sekantensteigung ms 
0,36  0,25 0,11

 1,1
0,6  0,5
0,1
→ noch besseres Resultat, wenn eine Sekante durch
die Punkte P=(0.5,0.25) und B=(0.51,0.2601) gelegt
wird
8
9
2. Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen
0,2601 0,25 0,0101
Sekantensteigung ms 

 1,01
0,51 0,5
0,01
→ Sekantensteigungen geben nur Näherungswerte
→ mit Hilfe von Infinitesimalzahlen wird die Tangente
durch eine Sekante approximiert, welche nicht von
der Tangente zu unterscheiden ist
10
2. Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen
Was sind Infinitesimalzahlen?
o
sie sind unglaublich ,,winzig“, aber nicht Null
o
sie sind kleiner als jede reelle positive Zahl
→ wir ,,erfinden“ neue Zahlen
o
11
wir betrachten einen zweiten Punkt C=(0.5+ ,(0.5+ )²),
welcher vom gegeben Punkt P=(0.5,0.25) unendlich
wenig entfernt ist, infinitesimal
(0.5+ )²
0.25
0.5
12
0.5+
2. Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen
Sekantensteigung
ms 
o
(0,5   )²  0,25 0,25     ²  0,25    ²


 1 
(0,5   )  0,5


da eine unendlich kleine Zahl ist (infinitesimal),
kann 1+ nicht von 1 unterschieden werden
→ mT  1
 0,25  1 0,5  n  n  0,25  yT  x  0,25
13
2. Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen
o
bei den Rechnungen wurde das reelle und das
hyperreelle Zahlensystem benutzt
o
das hyperreelle Zahlensystem enthält alle reellen
Zahlen, Infinitesimalzahlen und andere
hyperreelle Zahlen
o
14
Mangel an ,,Strenge“ verhinderte, dass die
Infinitesimalmethode als Begründung für die
Analysis akzeptiert wurde
3. Eine Einführung in das hyperreelle
Zahlensystem
o
Axiom der Infinitesimalzahlen:
Es gibt hyperreelle Zahlen ≠0, so dass für jede positive
reelle Zahl b gilt: -b< <b. Eine solche Zahl heißt
Infinitesimalzahl
0
15
0
3. Eine Einführung in das hyperreelle
Zahlensystem
o
es gibt riesig große Zahlen, größer als jede reelle
Zahl,
1
z.B. , infinitesimal

1

16
3. Eine Einführung in das hyperreelle
Zahlensystem
0
0
17
³
²
/5 /2
1
10
1
2
1

1
2
1
7
3. Eine Einführung in das hyperreelle
Zahlensystem
18
o
b reell und infinitesimal → b+ ist unendlich
benachbart zu b
o
Definition: Zwei hyperreelle Zahlen x, y heißen
unendlich benachbart, wenn x-y eine
Infinitesimalzahl ist, Bez.: x ≈ y
o
Definition: Eine hyperreelle Zahl x heißt endlich,
wenn es eine reelle Zahl b gibt, so dass –b<x<b.
Andernfalls heißt x unendlich.
3. Eine Einführung in das hyperreelle
Zahlensystem
traditionell
unkonventionell
Grenzwert reelle
Zahl 0
bestimmt eine
unendlich kleine Zahl

Grenzwert reelle
1
1 1 1
 
 2   1, , , ,... Zahl 0
4 9 16
 n  n 1
bestimmt eine andere
unendlich kleine Zahl

1 1 1
1

1
,
, , ,...
 
2 3 4
 n  n 1
n
 1,2,3,4,...
kein Grenzwert
bestimmt eine
unendlich große Zahl
n 
 1,4,9,16,... kein Grenzwert
bestimmt eine andere
unendlich große Zahl

n1
2 
n 1
19
3. Eine Einführung in das hyperreelle
Zahlensystem
o
Standardanteilaxiom: Für jede endliche hyperreelle
Zahl x gibt es genau eine reelle Zahl b mit x ≈ b.
b heißt Standardanteil von x, Bez.: b=st(x)
Beispiel: 5+ , infinitesimal → st(5+ )=5
o
Rechnen mit hyperreellen Zahlen
Beispiel 1: infinitesimal, x endlich → x∙ infinitesimal
Beispiel 2: ,ß infinitesimal u. nicht 0 → /ß kann
infinitesimal sein, oder endlich und nicht infinitesimal,
oder sogar unendlich
20
3. Eine Einführung in das hyperreelle
Zahlensystem
Beweis: für =ß²: /ß=ß infinitesimal
für =ß: /ß=1 endlich und nicht infinitesimal
für ß= ²: /ß=1/ unendlich
o
21
,ß Infinitesimalzahlen
o
c,d endliche nicht infinitesimale Zahlen
o
A,B unendliche Hyperzahlen
3. Eine Einführung in das hyperreelle
Zahlensystem
Addition
22
Subtraktion
+ß
infinitesimal
-ß
infinitesimal
+c oder c+
endlich, nicht
infinitesimal
-c oder c-
endlich, nicht
infinitesimal
B+c oder B+
unendlich
B-c oder B-
unendlich
A+B
kann
infinitesimal,
endlich oder
unendlich sein
A-B
kann
infinitesimal,
endlich oder
unendlich sein
3. Eine Einführung in das hyperreelle
Zahlensystem
Multiplikation
23
∙ß
infinitesimal
∙c
infinitesimal
B∙c
unendlich
B∙
kann
infinitesimal,
endlich oder
unendlich sein
Division
/c
c/
/B
infinitesimal
unendlich
infinitesimal
c/d
endlich
B/
unendlich
3. Eine Einführung in das hyperreelle
Zahlensystem
Aufgaben ( infinitesimal; c u. d endlich; A unendlich groß)
o
c(d+ )
o
(4- )²-16
o
 2   6
 5
o
st (
o
24
( ²  4)³
)
( ²  4)
A 1  A
3. Eine Einführung in das hyperreelle
Zahlensystem
Lösung
3
(  4)
st (
2 4
2
2
)  st (
 2  4 )  st ( 2  4)  4  2
( A 1  A)  ( A 1  A)

A 1  A
25
A 1  A

A 1  A
1
A 1  A
5. Literatur
Laugwitz, D.; Schnitzspan, W.: Nichtstandard-Analysis.
MU, Jg. 29, Heft 4, August 1983.
Laugwitz, D.: Infinitesimalkalkül. Eine elementare
Einführung in die Nichtstandard - Analysis.
BI, Mannheim, Wien, Zürich 1978.
26
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