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SE Analysis
Referat: Hyperreelle Zahlen
Stefanie Bayer
"Stefanie Bayer" <[email protected]>
Hyperreelle Zahlen
Teil 1: Einführung in die Hyperreelen Zahlen und einige Eigenschaften
→ Zugang zu den hyperreellen Zahlen über das Berechnen der Steigung von Kurven
z.B. f (x ) = x 2
15
12.5
10
7.5
5
2.5
-4
-2
→ durchschnittliche Steigung =
Da P2 (x 0 + Δx, y 0 + Δy ) ∈ f
y 0 + Δy = (x 0 + Δx )
2
Δy
Δx
2
Δy = (x 0 + Δx ) − x 0
2
2
da P1 (x 0 , y 0 ) ∈ f ⇒ y 0 = x 0
Δy x 0 + 2 x 0 Δx + Δx 2 − x 0
=
Δx
Δx
Δy
= 2 x 0 + Δx
Δx
2
4
2
2
→ diese Operation nur erlaubt, wenn Δx ≠ 0
Je kleiner Δx wird, um so näher liegen die Punkte P1 und P2 beieinander → die Steigung der
Kurve in P1 ist also nahe bei 2 x 0 + Δx . Da Δx nahe bei 0 liegt, können wir es vernachlässigen
und sagen:
Steigung = 2x0
Die Entscheidung, ab wann eine reelle Zahl wie Δx klein genug ist, um vernachlässigt zu
werden, ist definitionsbedürftig: die hyperreellen Zahlen R* setzen sich aus den reellen Zahlen
und den Infinitesimalen zusammen.
DEF.: Infinitesimale
Sei b ∈ ℜ *
b ist positives Infinitesimal ⇔ b > 0, b < r
∀ r ∈ℜ+
b ist negatives Infinitesi mal ⇔ b < 0, b > r ∀ r ∈ ℜ −
b Infinitesimal ⇔ b ist positives Infinitesimal ∨ b ist negatives Infinitesi mal ∨ b = 0
→ 0 ist die einzige reelle Zahl, die auch Infinitesimal ist!
→ Für Hyperreelle Zahlen gelten alle bekannten Gesetze (bis auf das Archimedische Axiom)
der reellen Zahlen (Abgeschlossen-heit bzgl. Addition, Multiplikation, Distributiv-, Assoziativ-,
Kommutativgestze,....).
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Stefanie Bayer
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Bezeichnung für Infinitesimale: Δx, Δy,....,ε,δ,...
Neben diesen sind aber noch andere Gesetze zu beachten:
1. Ist ε ein positives Infinitesimal, so ist -ε ein negatives Infinitesimal.
2. Ist ε ein positives Infinitesimal und r eine reelle Zahl, so ist r+ε eine hyperreelle Zahl.
3. Ist ε ein positives Infinitesimal und a eine reelle Zahl, so ist aε ein positives Infinitesimal.
1
⎛ 1⎞
4. Ist ε ein positives Infinitesima, so ist
ein positives und - ⎜ ⎟ ein negatives Infinitesimal.
ε
⎝ε ⎠
DEF.: endlich, positiv unendlich, negativ unendlich
Sei b ∈ ℜ *
b heißt endlich ⇔ ∃r , q ∈ ℜ : r < b < q
b heißt positiv unendlich ⇔ r < b ∀ r ∈ ℜ
b heißt negativ unendlich ⇔ b < r ∀ r ∈ ℜ
THEOREM 1: Regeln für Infinitesimale, Endliche und Unendliche Zahlen
Seien ε, δ Infinitesimale, b,c hyperreelle Zahlen, die endlich aber keine Infinitesimale sind und
H,K sind unendliche hyperreelle Zahlen.
(i)
(ii)
(iii)
Negative:
-ε ist infinitesimal
-b ist endlich, aber nicht infinitesimal
-H ist unendlich
Kehrwerte:
1
ist unendlich, ε ≠ 0
ε
1
ist endlich, aber nicht infinitesimal
b
1
ist infinitesimal
H
Summen:
ε + δ ist infinitesimal
b + ε ist endlich, aber nicht infinitesimal
b + c ist endlich (evt. infinitesimal)
H + ε und H + b sind unendlich
(iv) Produkte:
δ⋅ε und b⋅ε sind infinitesimal
b⋅c ist endlich, aber nicht infinitesimal
H⋅b und H⋅K sind unendlich
(v) Wurzeln:
n
ε ist infinitesimal, ε > 0
n
b endlich, aber n. infinitesimal, b > 0
n
H ist unendlich, H > 0
THEOREM 2:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Jede hyperreelle Zahl, die zwischen zwei Infinitesimalen liegt, ist infinitesimal.
Jede hyperreelle Zahl, die zwischen zwei endlichen Zahlen leigt, ist endlich.
Jede hyperreelle Zahl, die größer als irgendeine positiv unendlich Zahl ist, ist positiv
unendlich.
Jede hyperrelle Zahl, die kleiner als irgendeine negativ unedliche Zahl ist, ist negativ
unendlich.
DEF.: unendlich nahe
Zwei hyperrelle Zahlen b und c nennt man unendlich nahe beieinander, b ≈ c , wenn ihre
Differenz b – c infinitesimal ist. b ≈/ c bedeutet, dass b nicht undendlich nahe bei c liegt.
Anmerkungen:
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(1) Ist ε infinitesimal, dann gilt: b ≈ b + ε. Da Differenz b – (b - ε) = - ε infinitesimal.
(2) b ist infinitesimal ⇔ b ≈ 0.
(3) b,c reell und b ≈ c ⇒ b = c
THEOREM 3:
Seien a, b, c hyperreelle Zahlen.
(i)
a≈a
(ii)
a≈b⇒b≈a
(iii)
a ≈ b, b ≈ c ⇒ a ≈ c
THEOREM 4:
Sei a ≈ b. Dann gilt:
(i)
a infinitesimal ⇒ b infinitesimal
(ii)
a endlich ⇒ b endlich
(iii)
a unendlich ⇒ b unendlich
DEF.: Standard Parts
Sei b eine endlich hyperreelle Zahl.
Unter dem Standard Parts von b, st(b), versteht man die reelle Zahl, die unendlich nahe bei b
liegt. Unendlich hyperreelle Zahlen besitze keine Stadard parts.
THEOREM 5:
Seien a, b endlich hyperreelle Zahlen. Dann gilt:
(i)
(ii)
(iii)
st(-a) = - st(a)
st(a+b) = st(a) + st(b)
st(a-b) = st(a) – st(b)
(iv)
st(ab) = st(a)⋅st(b)
(v)
(vi)
Wenn st(b) ≠ 0, dann st(a/b) = st(a)/ st(b)
st(an) = (st(a))n
(vii)
Wenn a ≥ 0, dann st n a = n st (a )
(viii)
Wenn a ≤ b, dann st(a) ≤ st(b)
( )
Beweis:
(i)
st(-a) = - st(a)
Wir zeigen, dass –a unendlich nahe bei –r ist, mit –r = st(-a).
− a = −(r + ε ) = −r − ε ≈ −r
st ( −a ) = −r
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