6th sheet

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Quantenmechanik II – Advanced Topics in Quantum Mechanics
A. Riefer , H. Aldahhak, W.G. Schmidt ([email protected], [email protected])
Übungsblatt 6 – Exercise 6
1. Spinoperatoren (1+2+2 Punkte)
Spin operators
Der Spin wird durch den vektoriellen Spinoperator The spin is described by the
operator
~ˆ = Ŝx~ex + Ŝy ~ey + Ŝz ~ez
S
(1)
beschrieben.
a) Die Komponenten des Drehimpulsoperators erfüllen die Vertauschungsrelation The components of the angular-momentum operator fulfill the commutation relation
[Ŝi , Ŝj ] = i~εijk Ŝk
.
(2)
Zeigen Sie, dass auch folgender Kommutator gilt: Show either that the commutation relation holds: [Ŝ 2 , Ŝz ] = 0.
b) Zeigen Sie, dass sich über die sog. Leiteroperatoren Show that making use of
the ladder operators Ŝ± = Ŝx ± iŜy schreiben lässt one can write:
Ŝ± S∓ = Ŝ 2 − Ŝz2 ± ~Ŝz
und and
[Ŝz , Ŝ± ] = ±~Ŝ±
.
(3)
c) Die Komponenten des Spinoperators sind folgendermaßen definiert The components of the spin operators are defined as follows:
~ 0 1
Ŝx =
(4)
2 1 0
~ 0 −i
Ŝy =
(5)
2 i 0
~ 1 0
Ŝz =
.
(6)
2 0 −1
1
Damit ergibt sich der aus der Vorlesung bekannte Erwartungswert für That
implies the well known expectation value for Ŝz :
D
t
E D E ~
|a|2 − |b|2
Ŝz = ϕ Ŝz ϕ =
2
(7)
t
mit with ϕ = ae−iω0 2 ψ↑ + beiω0 2 ψ↓ .
D E
D E
Zeigen Sie, dass sich analog Ŝx ∝ cos (ω0 t + φ) und Ŝx ∝ sin (ω0 t + φ)
ergibt, wobeiD sich
E φ aus der Polarzerlegung
D Evon a und b ergibt. Show accordingly that Ŝx ∝ cos (ω0 t + φ) and Ŝx ∝ sin (ω0 t + φ), where φ is the
argument derived from the polar form of a and b.
2. Infinitesimale Drehungen (0.5+1.5+2+1 Punkte)
Infinitesimal rotations
Bei infinitesimale Drehungen um einen Winkel α reicht es aus die Winkelfunktion
bis zur ersten Ordnung zu entwickeln Performing infinitesimal rotations about the
angle α it is sufficient to expand the trigonometric functions in first order, d.h.
i.e. sin(x) = x und and cos(x) = 1. Damit lassen sich infinitesimale Drehungen
um einen Winkel dα wie folgt darstellen: Hence one can express an infinitesimal
rotation about the angle dα as follows:
R(dα) = I + dαJ
(8)
Dabei ist I die Einheitsmatrix und J die Erzeugende der infinitesimalen Drehung:
Thereby I is the unit matrix and J is the generating matrix of the infinitesimal
rotation:
J=
dR(α)
|α=0
dα
(9)
a) Berechnen Sie Rx (dα), Ry (dα) und Rz (dα). Berücksichtigen Sie die Hinweise.
Calculate Rx (dα), Ry (dα), and Rz (dα). Bear in mind the hints.
b) Jede endliche Drehung lässt sich aus Hintereinanderausführung von infinitesimalen Drehungen erzeugen. Zeigen Sie folgenden Zusammenhang: Every
actual rotation can be generated by a composition of infinitesimal rotations.
Show the following relation:
R(α) =
∞
X
(αJ)n
n=0
n!
(10)
Tipp : Schreiben Sie R(dα) als R(α/N ) und betrachten Sie den Grenzübergang
N → ∞. Hint: Express R(dα) as R(α/N ) and consider the limit N → ∞.
2
c) Die Einheitsvektoren {~e0i } werden jetzt gegenüber den Einheitsvektoren {~ei }
um den infinitesimalen Winkel αx (und anschließend um αy , αz ) gedreht.
Als Drehachse dient entsprechend die x-Achse (y-Achse, z-Achse). The unit
vectors {~e0i } are rotated against the unit vectors {~ei } about the infinitesimal
angle αx (and subsequently about αy , αz ). The corresponding rotation axis
is the x-axis (y-axis, z-axis). Beweisen Sie ausgehend von der Forderung
Starting from the demand
X
X
xi~ei =
x0i~e0i
(11)
i
i
Gln. (3.61), (3.63) und (3.64) im Skript prove equations (3.61), (3.63), and
(3.64) in the lecture notes.
d) Aus der Vorlesung ist für Transformationen von Spinoren bei Drehungen um
die z-Achse bekannt The following relations for spinor rotations on rotations
about the z-axis are known from the lecture
φ
0
ψ+
= ei 2 ψ+
0
ψ−
=e
−i φ
2
ψ−
(12)
.
(13)
Was ergibt sich für φ = 2π für die Erwartungswerte und was bedeutet das?
What does φ = 2π imply for the expectation values and what does it mean?
Hinweis Hint:


1
0
0
Rx (α) = 0 cos(α) − sin(α)
0 sin(α) cos(α)

cos(α) 0 sin(α)
0
1
0 
Ry (α) = 
− sin(α) 0 cos(α)
(14)


cos(α) − sin(α) 0
Rz (α) =  sin(α) cos(α) 0
0
0
1
(15)

3
(16)
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