Lecture8 - Universität Kassel

Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) /
Electromagnetic Field Theory I (EFT I)
8th Lecture / 8. Vorlesung
Dr.-Ing. René Marklein
[email protected]
http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de
http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html
Universität Kassel
Fachbereich Elektrotechnik / Informatik
(FB 16)
Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik
(FG TET)
Wilhelmshöher Allee 71
Büro: Raum 2113 / 2115
D-34121 Kassel
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003
University of Kassel
Dept. Electrical Engineering / Computer Science
(FB 16)
Electromagnetic Field Theory
(FG TET)
Wilhelmshöher Allee 71
Office: Room 2113 / 2115
D-34121 Kassel
1
ES Fields – Transition and Boundary Conditions /
ES Felder – Übergangs- und Randbedingungen
Transition Conditions / Übergangsbedingungen
Boundary Conditions / Randbedingungen
n
n
R  SI(nterface)
Medium (2)
Medium (1)
R  SB(oundary)
pec/iel
Medium
n × E(2)  R   E(1)  R    0


n × ER  0
pec / iel
n  D(2)  R   D(1)  R    e (R )


n D  R   e (R )
pec / iel
ws: with sources; sf = source-free /
mq = mit Quellen; qf = quellenfrei
pec = perfectly electric conducting /
iel = ideal elektrisch leitend
n × E  R   Etan (R )
n D  R   Dn (R)
 Etan (R)etan
Vector Tangential Component of
E(R )
Vektorielle Tangentialkomponente von
Scalar Tangential Component of
Etan (R) :
E(R)
Skalare Tangentialkomponente von
Etan (R ) :
Etan (2)  R   Etan(1)  R   0
Dn (2)  R   Dn(1)  R   e (R )
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003
 e (R )  
Dn (R) :
Scalar Normal Component of
Skalare Normalkomponente von
Etan  R   0
Dn  R   e (R )
D(R)
pec / iel
pec / iel
2
ES Fields – Transition and Boundary Conditions /
ES Felder – Übergangs- und Randbedingungen
Transition Conditions / Übergangsbedingungen
Boundary Conditions / Randbedingungen
n
n
R  SI(nterface)
Medium (2)
Medium (1)
Dn (2)  R   Dn(1)  R   e (R )
Dn  R   e (R )
ws: with sources; sf = source-free /
mq = mit Quellen; qf = quellenfrei
 R    e0  const.
 (R )
n   r (2)  e(2)  R    r (1)  e(1)  R     e




0

n
 (R )
 r (1)  (1)
 (2)
 e  R   (2)
 e  R    e (2)
n
 r n
 0 r
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003
pec / iel
D( i )  R    0  r ( i ) E ( i )  R 
i  1, 2
  0 r (i )  (ei )  R 

n ×   (2)
R    (1)

e
e  R   0

R
pec / iel
pec = perfectly electric conducting /
iel = ideal elektrisch leitend
E(i )  R    (i )  R 
  (1)
e
pec/iel
Medium
Etan  R   0
Etan (2)  R   Etan(1)  R   0
 (2)
e
R  SB(oundary)
 e (R )  
n ×  e  R   0
 e  R    e0 =const.
 0 r n   e  R   e (R )


n
 (R )

e  R    e
n
 0 r
3
ES Fields – Transition and Boundary Conditions /
ES Felder – Übergangs- und Randbedingungen
Transition Conditions / Übergangsbedingungen
n
R  SI(nterface)
Medium (2)
Medium (1)
Etan (2)  R   Etan(1)  R   0
Dn (2)  R   Dn(1)  R   e (R )
Etan(2)  R   Etan(1)  R   0

(1)
 (2)
e  R    e  R    e0  const.
Dn (2)  R   Dn(1)  R   e (R )


 (2)
 (1)
1
 e  R   r(2)
e  R   
e (R )
n
 r n
 0 r (2)
(1)
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003
Boundary Conditions / Randbedingungen
R  SB(oundary)
n
pec/iel
Medium
Etan  R   0
 e (R )  
pec / iel
Dn  R   e (R )
pec / iel
Etan  R   0

 e  R    e0  const.
Dn  R   e (R )


1
e  R   
 (R )
n
 0 r e
4
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
Boundary Conditions / Randbedingungen
E  R  , D  R  , e (R)
R  SB(oundary)
n
 e (R )  
pec/iel
Medium
 e  R    e 0  const.
e (R)
 Special Case /

e 0  0 V 

 Spezialfall


1
e  R   
 (R )
n
 0 r e
Neumann Boundary Conditions for Фe /
Neumann-Randbedingung für Фe
Dirichlet Boundary Conditions for Фe /
Dirichlet-Randbedingung für Фe
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003
5
Electrostatic (ES) Fields – Boundary Value Problem (BVP) /
Elektrostatische (ES) Felder – Randwertproblem (RWP)
  e ( x, y , z )


 2
2
2 

0
 2  2  2   e ( x, y, z )  
y
z 

 x
0


for /
für
Equation /
e ( x, y, z )  0 Poisson
Poisson-Gleichung
for /
für
Equation /
e ( x, y, z )  0 Laplace
Laplace-Gleichung
Examples: / Beispiele:
z
y e  10 V
Between the Plates:
 Vacuum  0 /
Zwischen den Platten:
 Vakuum  0


e  
 e ( R )  0
 e  

n×E  0
e (R )  0
n×E  0


y


 e (R )  0


Boundary Conditions (BC) /
 Randbedingungen (RB)


 e (R )  0
  e (R )  0

E( R )  0
E( R )  0


x0
e  0
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003
e  0 V
e  0 V
e  0 V
x
x
 2
2 
 2  2  e ( x, y)  0
y 
 x
Separation of Variables /
Separation der Variablen
!
xd
e  e 0  0
6
ES Fields – Electrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates /
ES Felder – Elektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL Platten
Boundary Value Problem (BVP) – Electrostatic Poisson Equation /
Randwertproblem (RWP) – Elektrostatische Poisson-Gleichung
 e ( R )  0
e (R )  0
 0


 e (R ) 
  const.


Partial Differential Equation /
Partielle Differentialgleichung
z
Between the Plates:
 Vacuum  0 /
Zwischen den Platten:
 Vakuum  0


e  
 e ( R )  0
 e  

e (R )  0
n×E  0
n×E  0


y


 e (R )  0


Boundary Conditions (BC) /
 Randbedingungen (RB)


 e (R )  0 
  e (R )  0
E( R )  0
E( R )  0


x0
e  0
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003
xd
e  e 0  0
Boundary Conditions (BC) /
Randbedingungen (RB)
for /
für
0 xd
for /
für
x0
xd
x  0:
e  0
xd:
e  e 0  0
Between the Plates Laplace Equation:
Zwischen den Platten: Laplace-Gleichung
e (R)  0
... Cartesian Coordinates /
... Kartesische Koordinaten
x
 2
2
2 
 2  2  2  e ( x, y, z )  0
y
z 
 x
... Because of the Symmetry /
... wegen der Symmetrie
d2
dx 2
 e ( x)  0
7
ES Fields – Electrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates /
ES Felder – Elektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL Platten
Boundary Value Problem (BVP) – Electrostatic Poisson Equation /
Randwertproblem (RWP) – Elektrostatische Poisson-Gleichung
 e ( R )  0
d2
e (R )  0
dx 2
Between the Plates:
 Vacuum  0 /
Zwischen den Platten:
 Vakuum  0
n×E  0
 e (R )  0
E( R )  0


 e ( R )  0
 e  

e (R )  0
n×E  0



  e (R )  0
y


Boundary Condition (BC) /
 Randbedingung (RB) 


  e (R )  0

E( R )  0


x0
e  0
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003
0 xd
Integrating once / Integriere einmal
z
e  
 e ( x)  0
d2
d

 dx2 e ( x) dx   dx e ( x)   const  a
d


(
x
)
e
 dx
  const  a
Integrating twice / Zweifache Integration ergibt
 d


  dx e ( x) =const  a  dx  e ( x)  ax  b
e ( x)  ax  b
x
e ( x)  ax  b
0 xd
xd
e  e 0  0
8
ES Fields – Electrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates /
ES Felder – Elektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL Platten
Boundary Value Problem (BVP) – Electrostatic Poisson Equation /
Randwertproblem (RWP) – Elektrostatische Poisson-Gleichung
 e ( R )  0
e ( x)  ax  b
e (R )  0
Boundary Conditions (BC) / Randbedingungen (RB)
z
Between the Plates:
 Vacuum  0 /
Zwischen den Platten:
 Vakuum  0
e  
n×E  0
 e (R )  0
E( R )  0


 e ( R )  0
 e  

e (R )  0
n×E  0



  e (R )  0
y


Boundary Condition (BC) /
 Randbedingung (RB) 


  e (R )  0

E( R )  0


x0
e  0
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003
xd
e  e 0  0
x  0:
e  0
xd:
e  e 0  0
e ( x  0)  a( x  0)  b
0
b0
e ( x)  ax
 e ( x  b)  a ( x  b)
  e0
x
a
 e0
d
Solution for the Electrostatic Potential / Lösung für das elektrostatische Potential
 e ( x) 
 e0
x
d
0 xd
9
ES Fields – Electrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates /
ES Felder – Elektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL Platten
Boundary Value Problem (BVP) – Electrostatic Poisson Equation /
Randwertproblem (RWP) – Elektrostatische Poisson-Gleichung
 e ( R )  0
Partial Differential Equation (PDE) /
Partielle Differentialgleichung (DGL)
e (R )  0
d2
dx 2
z
Between the Plates:
 Vacuum  0 /
Zwischen den Platten:
 Vakuum  0
e  
n×E  0
 e (R )  0
E( R )  0


 e ( R )  0
 e  

e (R )  0
n×E  0



  e (R )  0
y


Boundary Condition (BC) /
 Randbedingung (RB) 


  e (R )  0

E( R )  0


x0
e  0
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003
 e ( x)  0
0 xd
Boundary Conditions (BC) / Randbedingungen (RB)
x  0:
e  0
xd:
e  e 0  0
Solution for the Electrostatic Potential /
Lösung für das elektrostatische Potential
  e0
x 0 xd

 e ( x)   d

else / sonst
 0
x
 e ( x)
xd
e  e 0  0
x
10
ES Fields – Electrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates /
ES Felder – Elektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL Platten
Boundary Value Problem (BVP) – Electrostatic Poisson Equation /
Randwertproblem (RWP) – Elektrostatische Poisson-Gleichung
 e ( R )  0
Electrostatic Potential / Elektrostatisches Potential
e (R )  0
  e0
x 0 xd

 e ( x)   d

else / sonst
 0
z
Between the Plates:
 Vacuum  0 /
Zwischen den Platten:
 Vakuum  0
e  
n×E  0
 e (R )  0
E( R )  0


 e ( R )  0
 e  

e (R )  0
n×E  0



  e (R )  0
y


Boundary Condition (BC) /
 Randbedingung (RB) 


  e (R )  0

E( R )  0


x0
e  0
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003
xd
E(R )   e (R )
d
 e ( x)e x
dx
 d   e0 
x e

  dx  d  x

0

E( x )  
x
  e0
e

 d x

0

  x  
0 xd
else / sonst
0 xd
else / sonst
The Electrostatic Potential and Electrostatic
Field Strenth are Discontinuous at the Plates /
Das elektrostatisches Potential und die elektrostatische
Feldstärke sind unstetig an den Platten
e  e 0  0
11
ES Fields – Electrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates /
ES Felder – Elektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL Platten
Boundary Value Problem (BVP) – Electrostatic Poisson Equation /
Randwertproblem (RWP) – Elektrostatische Poisson-Gleichung
  e0
e
 
E( x )  
d x

0

Representation of the Electrostatic Field Strenth
using the Unit Step Functions: /
Darstellung der elektrostatischen Feldstärke
durch Einheitssprungfunktionen:
0 xd
else / sonst
u( x)
1
Ex ( x )
u( x  d )
x
xd
x
xd
x
xd
x
1
Step Functions / Einheitssprungfunktionen
 1
u( x)  
 0
u( x)  u( x  d )
x0
x0
1
u( x)
1
x
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003
E( x )  
 e0
 u( x)  u( x  d ) e x
d
  x  
12
ES Fields – Electrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates /
ES Felder – Elektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL Platten
Boundary Value Problem (BVP) – Electrostatic Poisson Equation /
Randwertproblem (RWP) – Elektrostatische Poisson-Gleichung
 D( R )   e ( R )
d
u( x)   ( x)
dx
d
Dx ( x )   e ( x )
dx
0
d
Ex ( x)  e ( x)
dx
 ( x)
d
Ex ( x)  e
dx
0
 d
d
E x ( x)   e0
 u( x)  u( x  d ) 
dx
d dx





d
d
  e0  u( x)  u( x  d ) 
d  dx
dx

  ( x )
 ( xd ) 


  e0  ( x)   ( x  d ) 
d
 ( x)
 e
0
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003
 u ( x )

 u ( x) f ( x) dx  u( x) f


( x) 


 u( x) f ( x) dx




 
  u() f ()  u() f ()    f ( x) dx



1
0

 0
  f ( )

0

 f ( )  f ( x ) 0
 f ()   f ()  f (0) 
 f (0)

 u ( x) f ( x) dx  f (0)
  ( x )
u ( x)   ( x)
13
ES Fields – Electrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates /
ES Felder – Elektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL Platten
Boundary Value Problem (BVP) – Electrostatic Poisson Equation /
Randwertproblem (RWP) – Elektrostatische Poisson-Gleichung
 e ( R )  0
 e0
  ( x)   ( x  d )
d
Electric Surface Charge Density /
e0
Elektrische Flächenladungsdichte
e (R )  0
e ( x)   0
z
Between the Plates:
 Vacuum  0 /
Zwischen den Platten:
 Vakuum  0
e  
n×E  0
 e (R )  0
E( R )  0


 e ( R )  0
 e  

e (R )  0
n×E  0



  e (R )  0
y


Boundary Condition (BC) /
 Randbedingung (RB) 


  e (R )  0

E( R )  0


x0
e  0
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003
xd
 e0 ( x)  e0 ( x  d )
e ( x )
e0
x
e0
e0 ( x)
xd
x
e0 ( x  d )
e  e 0  0
14
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole … /
Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol ... (2)
Application: Numerical Solution of Unbounded Static Problems /
Anwendung: Numerische Lösung von unbegrenzten statischen Problemen
e (R)  
e ( R )
0
Problem: Parallel Plate Capacitor in an Unbounded Region /
Problem: Paralleler Plattenkondensator in einem unbegrenzten Gebiet
Outline of the Problem /
Entwurf des Problems
Parallel Plates /
Parallele Platten
e+
e 
Numerical Solution: We need to Specify Boundary Conditions at
the Boundaries of the Simulation Area which is always bounded.
/
Numerische Lösung: Wir müssen für die Ränder des
numerischen Simulationsgebietes, welches immer begrenzt ist,
Randbedingungen spezifizieren.
Boundary
Condition (BC) ? /
Randbedingung (RB) ?
e+
Electrostatic Surface Charges /
Elektrostatische Flächenladungen
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003
e 
Open Boundary
Condition (OBC) ? /
Offene Rand- bedingung
(ORB) ?
15
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole /
Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol
e (R)  Qe (R  R  )
z
Monopole / Monopol
One Point Charge /
Eine Punktladung
with / mit
Qe
y
R  0
x
e (R)  Qe (R  R  )  Qe (R  R  )
z
Dipole / Dipol
Two Point Charges /
Zwei Punktladungen
d
Qe
Qe
y
x
Four Point Charges /
Vier Punktladungen
i 1
d
with / mit
y
Qe
x
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003
d
e
2 z
e (R )   Qe(i ) (R  R (i ) )
Qe
Qe
R  
4
z
Quadrupole / Quadrupol
with / mit
d
R  ez
2
Qe
d
d
d
e y  ez
2
2
d
d
  e y  ez
2
2
d
d
e y  ez
2
2
d
d

e y  ez
2
2
Qe(1)  Qe , R (1) 
Qe(2)  Qe , R (2)  
Qe(3)  Qe , R (3)
Qe(4)  Qe , R (4)
16
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole … /
Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol ...
Arbitrary Point Charge /
Beliebige Punktsladungsverteilungen
z
e ( R )
 e (R ) 
y
1
4 0


1
R  | R  R
|
 e ( R ) d 3 R
x
Expansion of
in a Taylor Series for
yields
1
R  0
:
Entwicklung von | R  R | in eine Taylor-Reihe für
ergibt
1

1
1
1 1
 3 R R 
R 3R R  R R I  R  H OT
5


R R
2R
| R  R |
H OT : Higher Order Terms / Terme höherer Ordnung
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003
17
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole … /
Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol ...
 e (R ) 
1
4 0


R  | R
1
 R |
 e ( R ) d 3 R


1
1
  1 1 R 3R R  R R I  R  H OT 
 ) d 3 R

R
R

(
R


e


4 0   R R3
2 R5


R 

1
1 1
1
3R R  R R I  R  H OT 

 ) d 3 R

R
R

R

(
R


e



4 0
2 R3
 R R2

R 
1
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003
1

18
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole … /
Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol ...
e (R) 

1
1
  1 1 R 3R R  R R I  R  HOT 
 ) d3 R

R
R

(
R


e


4 0   R R 2
2 R3


R 
1
R 3R R  R R I  R  3R R : R R  R R R I R


R
 3R R : R R  R R R R
1
 3R R : R R  R R
 R R :I
 3R R : R R  R R : I

 R R : 3R R  I
e (R) 
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003




1 
1 1  
1

3

R
R

R
R
:
3
R
R

I

HOT

 e (R ) d R

2
3
4 0
2R
R R

R 
1
19
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole … /
Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol ...
 e (R ) 


1
4 0
1

R  | R
 R |
 e ( R ) d 3 R



1 
1 1  
1

 ) d 3 R

R
R

R
R
:
3
R
R

I

H
OT

(
R


e

4 0
2 R3
 R R2

R 
1



1 1
 ) d 3 R


(
R

e
4 0  R 
R 

 Qe


1
R
2


 e ( R ) R d 3 R R
R 
p
e



1 1 
  e (R ) R R d 3 R : 3R R  I

3
2R 

 R 
q

e

Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003





   H OT


 

20
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole … /
Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol ...



1 1
 ) d 3 R
 e (R ) 

(
R

e
4 0  R 
R 

 Qe


1
R
2


 e ( R ) R d 3 R R
R 
p
e



1 1 
  e ( R ) R R d 3 R : 3R R  I

3
2R 

 R 
 qe







   H OT


 

1 1
1
1 1
ˆ
ˆ ˆ  I   H OT 
3RR
Q

p
R

q
:


e

4 0  R
2 R3 e 
R2 e

H OT : Higher Order Terms / Terme höherer Ordnung
 e (R ) 
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003
21
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole … /
Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol ...
Arbitrary Point Charge /
Beliebige Punktsladungsverteilungen
z
e ( R )
y
x
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003
 e (R ) 

1
4 0

1
|
R  | R  R
e (R )d3 R
Expansion of
in a Taylor Series for
yields
1
R  0
:
Entwicklung von | R  R | in eine Taylor-Reihe für
ergibt
1 1
1
ˆ  1 1 q : 3RR
ˆ ˆ  I   H OT 
 Qe  2 pe R


4 0  R
2 R3 e 
R

H OT : Higher Order Terms / Terme höherer Ordnung
 e (R ) 

Monopole Moment /
Monopolmoment
Qe 
Dipole Moment /
Dipolmoment
pe 
Quadrupole Moment /
Quadrupolmoment
q 

 e ( R ) d 3 R

 e ( R ) R d 3 R

 e ( R ) R R d 3 R
R 

e
R 

R 
22
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole /
Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol
z
Monopole Moment /
Monopolmoment
Qe
One Point Charge /
Eine Punktladung
y
Qe  0, p  0, q  0
e
e
x
z
Dipole Moment /
Dipolmoment
d
Two Point Charges /
Zwei Punktladungen
Qe  0, p  0, q  0
Qe
e
Qe
e
y
x
z
Quadrupole Moment/
Quadrupolmoment
Four Point Charges /
Vier Punktladungen
Qe
Qe
d
y
Qe
x
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003
Qe  0, p  0, q  0
e
e
Qe
d
23
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
Electrostatic Dipole / Elektrostatischer Dipol
Electrostatic Volume Charge Density / Elektrostatische Raumladungsdichte
z
e (R)  Qe (R  R  )  Qe (R  R  )
 Qe (R 
Qe
R
d  d ez
d
e (R ) 
Qe 
1
1


4 0  R  R 
R  R



Electrostatic Field Strength / Elektrostatische Feldstärke
Qe
x
d
d
e z )  Qe (R  e z )
2
2
d
e
2 z
d
R   ez
2
R 
Electrostatic Potential / Elektrostatisches Potential
y
R
with
R  R 
Qe  R  R 

E(R ) 

4 0  R  R 3 R  R 3 

 

Electrostatic Dipole Moment / Elektrische Dipolmoment

p 
e

 e ( R ) R d R 
3
R 

 Qe



R 
Q  ( R  R )  Q  ( R  R )  R  d 3 R 
e

 
 e

 (R  R  ) R d 3 R  Qe
R 


 (R  R  )R d 3 R  Qe R   Qe R   Qe (R   R  )  Qe d
R 
R
R
Distance Vector / Abstandsvektor
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003
d  R  R 
d
d
ez  ez  d ez
2
2
24
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
Electrostatic Dipole / Elektrostatischer Dipol
Electrostatic Dipole Moment / Elektrostatisches Dipolmoment
z
p  Qe d
e
 pe pˆ
Qe
R
d
R
x
Qe
d  d ez
y
e
with /
mit
pe  Qe d  Qe R   R 
pˆ  d  R   R 
e
Electrostatic Quadrupole Moment / Elektrostatisches Quadrupolmoment

q 
 e ( R ) R R d 3 R
e
R 

Q  ( R  R )  Q  ( R  R )  R  R  d 3 R 

e

 
 e

R 


3
 Qe
 (R  R  ) R R d R  Qe
 ( R  R  ) R R d 3 R
R 
R 




R R
R R
 Qe R  R   Qe R  R 
 d   d   d   d  
 Qe  e z   e z     e z    e z  
 2   2   2   2  
 Qe  d e z e z  d e z e z 
0
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003
0
25
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole … /
Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol ... (2)
Application: Numerical Solution of Unbounded Static Problems /
Anwendung: Numerische Lösung von unbegrenzten statischen Problemen
e (R)  e+ ( y, z) ( x  x )  e ( y, z) ( x  x )


e+ ( y, z )   e0
 0

y  y  y 
z  z  z
else / sonst
 e  ( y, z )
With Dirichlet Boundary Condition / Mit Dirichlet Randbedingung
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003
e (R)  
e ( R )
0
z
e 
y
e 
x
With Open Boundary Condition (OBC) / Mit offener Randbedingung (ORB)
26
ES Fields – Method of Images / ES-Felder – Spiegelungsmethode
Boundary Value Problem (BVP) – Randwertproblem (RWP)
z
 e (R )  
Qe known / bekannt!
 e , E unknown / unbekannt!
SB(oundary)
Medium
 
e (R)  Qe (R  R  )
R  SB :  e (R )  0
 n × E( R )  0
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003
Qe
R
n
 e (R )  0, R  SB
 n × E( R )  0
e (R)
z0
y
x
pec / iel

e (R)  Qe (R  R  )  Qe (R  R  )
R  SB :  e (R )  0
 n × E( R )  0
27
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
Method of Images / Spiegelungsmethode
Qe 
1
1
e (R ) 


4 0  R  R 
R  R



R  SB :  e (R )  0
 n × E( R )  0
 Qe 
1
1



 e (R )   4 0  R  R 
R  R

0




z0
z0
R  SB :  e (R )  0
 n × E( R )  0
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003
28
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
Method of Images / Spiegelungsmethode
R  SB :  e (R )  0
 n × E( R )  0
Solution / Lösung:
Problem:
z
z
 e (R )  
 e (R )  0, R  SB
Qe
n
SB(oundary)
 
Medium
 e (R )  
pec / iel
e (R)
R
y
n
SB(oundary)
   
Medium
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003
 n × E( R )  0
e (R)
R
y
R
x
 e (R )  0, R  SB
Qe
 n × E( R )  0
x
Qe
pec / iel

Image Charge /
Spiegelladung
29
ES Fields – Method of Images / ES Felder – Spiegelungsmethode
Solution by Applying the Method of Images /
z
Lösung durch Anwendung der Spiegelungsmethode
 e (R )  
 e (R )  0, R  SB
Qe
n
SB(oundary)
 
Medium
pec / iel
 n × E( R )  0
e (R)
R
y

R
Qe
x
Image Charge /
Spiegelladung
e (R)  Qe (R  R  )  Qe (R  R  )
with
mit
R   z0 e z
R   R    z0 e z
 Qe 
1
1



 e (R )   4 0  R  R 
R  R

0

Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003



z0
z0
30
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
Method of Images / Spiegelungsmethode
e (R)  Qe (R  R  )  Qe (R  R  )
 Qe 
1
1



 e (R )   4 0  R  R 
R  R

0




with
mit
R   z0 e z
R   R    z0 e z
z0
z0
E(R )   e (R )
 Q  RR

R

R
e







3
3
  4 0  R  R
R  R  



0


D(R )   0 E(R )
Q
e


  4



Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003
 RR
R  R 




3
3
 RR
R  R  


0
z0
z0
z0
z0
31
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
Method of Images / Spiegelungsmethode
z
Medium
+
Field Lines of E /
Feldlinien von E
Qe
n
SB(oundary)
  y
–
–
–
x
PEC / IEL
–
–
x  
–
y 
–
e ( R )
Induced Electrostatic Surface Charge Density /
R  xe x  ye y Induzierte (influezierte) elektrostatische
  x, y  
Flächenladungsdichte (Influenz)
Without the Method of Images we have to Solve the Following Integral Equation for the Unknown Induced
Electrostatic Surface Charge / Ohne die Spiegelungsmethode muss man die folgende Integralgleichung für die
induzierte (influezierte) elektrostatische Flächenladungsdichte lösen
Unknown / Unbekannt


e (R ) 2 
1  Qe
 e (R ) 
 
d R

4 0  R  R 

R  R  R 

Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003


0

z 0 

for
für
e (R) z0  0
32
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
Method of Images / Spiegelungsmethode
z
Medium
+
Field Lines of E /
Feldlinien von E
Qe
n
SB(oundary)
 
–
–
x
–
–
If D is known from the Method of Images /
Falls D über die Spiegelungsmethode
bekannt ist
–
–
–
y

D(R) RS 
B
known
bekannt
!
Induced Electrostatic Surface Charge Density /
e (R) Induzierte (influezierte) elektrostatische
Flächenladungsdichte (Influenz)
PEC / IEL
ηe(R) is Defined by the Normal Component of D / ηe(R) ist definiert über die Normalkomponente von D
e (R )  n D(R ) RS
B
for
R  R 
Qe  R  R 


n

z0
für
4  R  R 3 R  R 3 

  RS

B
 RR
R  R 
Qe



ez 

3
3
4
 RR
R  R  


z 0
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003
33
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
Method of Images / Spiegelungsmethode
e (R )  n D(R ) RS
Q
 e
4
B
e R  R  e R  R  

 
 z
 z
3
3
 RR

R  R


 z 0




Q
z  z0
z  z0
 e


4   2
2 3 / 2
2 3 / 2 
2
2
2

x  y   z  z0  
 x  y   z  z0  

 
 z 0


Qe 
 z0
z0



4   x 2  y 2  z 2  3 / 2  x 2  y 2  z 2  3 / 2 


0
0



Q
z0
 e
2  x 2  y 2  z 2  3 / 2
0

Q
z0
 e
2  r 2  z 2  3 / 2
0

Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003
34
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
Method of Images / Spiegelungsmethode
e (R )  n D(R ) RS
B
Total Electric Charge at the xy Plane at z=0 /
Gesamtladung auf der xy Ebene bei z=0
Q
z0
 e
2  r 2  z 2  3 / 2
0

Qetot
Q
 e
2
Q
 e
2
2

z0
 
r 

2
 0 r 0

z0

r 0
r 

2

 Qe z0

r 0



 Qe z0 



 Qe
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003
3/ 2
z02 

3/ 2
z02 

r
r 

2
3/ 2
z02 

r dr d
2
r dr

d
 0
 2
dr


1
1
 
2
2
 r     z0 z 0 

0


x
x2  a2 


3/ 2
dx  
1
x2  a2
Qetot  Qe
35
ES Fields – Method of Images – Applications /
ES Felder – Spiegelungsmethode – Anwendungen
Ionosphere /
Ionosphäre
Vertical Stream /
Vertikalstrom
Earth / Erde
Dipole Layer /
Dipolschicht
Singular Point /
Singulärer Punkt
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003
36
ES Fields
/ ES Felder
Electrostatic (ES) Fields
– Separation
of Variables – Example /
Poisson and Laplace
Poisson- und
Laplace-Gleichung
(3)
Elektrostatische
(ES) Equation
Felder – /Separation
der
Variablen – Beispiel
y e  10 V
e  0 V
e  0 V
e  0 V
x
 2
2 
 2  2  e ( x, y)  0
y 
 x
Separation of Variables /
Separation der Variablen
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003
!
37
ES Fields
Fields –/ ES
Felder of Variables /
Electrostatic (ES)
Separation
Poisson
and Laplace Equation
/ Poissonund Laplace-Gleichung
Elektrostatische
(ES) Felder
– Separation
der Variablen (3)
Laplace Equation / Laplace-Gleichung
Elliptic Partial Differential Equation /
Elliptische partielle Differentialgleichung
e ( x, y, z )  0
Laplace Equation in Cartesian Coordinates / Laplace-Gleichung in Kartesischen Koordinaten
3-D / 3D
2-D / 2D
 2
2
2 
 2  2  2  e ( x, y, z )  0
y
z 
 x
 2
2 
 2  2  e ( x, y)  0
y 
 x
2
x
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003
Function of Three Variables /
Funktion von drei Variablen
2
 e ( x, y ) 
2
y
2
Function of Two Variables /
Funktion von zwei Variablen
 e ( x, y )  0
38
ES Fields
Fields –/ ES
Felder of Variables /
Electrostatic (ES)
Separation
Poisson
and Laplace Equation
/ Poissonund Laplace-Gleichung
Elektrostatische
(ES) Felder
– Separation
der Variablen (3)
Laplace Equation /
Laplace-Gleichung
2
x
2
 e ( x, y ) 
2
y
2
 e ( x, y )  0
Solution Strategy:
Reduce
/ the Partial Differential Equation (PDE) to an
Ordinary Differential Equation (ODE) and Find a Solution of
the PDE by Solving the ODE
Lösungsstrategie:
Reduziere die partielle Differentialgleichung (PDG) auf eine
gewöhnliche (ordinäre) Differentialgleichung (GDG) und
finde eine Lösung der PDG durch Lösung der GDG
Ansatz of Separation /
Separationsansatz
e ( x, y)  X ( x) Y ( y)
Function of 2 Variables: x and y /
Funktion von 2 Variablen: x und y
Function of x only /
Nur eine Funktion von x
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003
Product of 2 Functions /
Produkt aus 2 Funktionen
Function of y only /
Nur eine Funktion von y
39
ES Fields
Fields –/ ES
Felder of Variables /
Electrostatic (ES)
Separation
Poisson
and Laplace Equation
/ Poissonund Laplace-Gleichung
Elektrostatische
(ES) Felder
– Separation
der Variablen (3)
Laplace Equation /
Laplace-Gleichung
2
x
2
 e ( x, y ) 
Ansatz of Separation /
Separationsansatz
2
y
2
 e ( x, y )  0
e ( x, y)  X ( x) Y ( y)
Inserted in the Above Laplace Equation Yields /
Eingesetzt in die obere Laplace-Gleichung ergibt
2
x
2
 e ( x, y ) 
2
y
2
 e ( x, y ) 
2
x
2
 X ( x) Y ( y )  
 Y ( y)
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003
d2
dx 2
2
y
2
X ( x)  X ( x)
 X ( x) Y ( y ) 
d2
dy 2
Y ( y)
40
ES Fields
Fields –/ ES
Felder of Variables /
Electrostatic (ES)
Separation
Poisson
and Laplace Equation
/ Poissonund Laplace-Gleichung
Elektrostatische
(ES) Felder
– Separation
der Variablen (3)
2
x 2
 e ( x, y ) 
2
y 2
 e ( x, y )  Y ( y )
d2
dx 2
X ( x)  X ( x)
d2
dy 2
Y ( y)
1
X ( x)Y ( y )


1
d2
d2
1 d2
1 d2
X ( x) 
Y ( y)  0
Y ( y) 2 X ( x)  X ( x) 2 Y ( y)  
2
2
X ( x)Y ( y) 
X
(
x
)
Y
(
y
)
dx
dy
d
x
d
y

1 d2
1 d2
X ( x) 
Y ( y)  0
2
2
X ( x) dx
Y ( y ) dy

Function of x /
Funktion von x
 2

Function of y /
Funktion von y
  2

 
1 d2
1 d2
X ( x) 
Y ( y )   2    2
2
2
X ( x) dx
Y ( y ) dy

0
Separation Condition /
Separationsbedingung
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003
2  2  0
41
ES Fields
Fields –/ ES
Felder of Variables /
Electrostatic (ES)
Separation
Poisson
and Laplace Equation
/ Poissonund Laplace-Gleichung
Elektrostatische
(ES) Felder
– Separation
der Variablen (3)
d2
dx
2
X ( x)   2 X ( x)
Separation Condition /
Separationsbedingung
d2
dy
 2   2  k 2
With / Mit
d2
We Obtain Two ODE /
Wir erhalten zwei GDG
dx
2
d2
dy
Solutions of these Equations are /
Lösungen dieser Gleichungen sind
X ( x)
cos(kx)
Y ( y)
cosh(ky )
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003
or /
oder
or /
oder
2  2  0
2
Y
(
y
)



Y ( y)
2
2
X ( x)  k 2 X ( x)
Y ( y )  k 2Y ( y )
For k = 0 these Solutions Degenerate to /
Für k = 0 diese Lösungen degenerieren zu
sin(kx)
X ( x)
const.
sinh(ky )
Y ( y)
const.
or /
oder
or /
oder
x
y
42
End of 8th Lecture /
Ende der 8. Vorlesung
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003
43