Mathematik des Bridge

Mathematik des Bridge
Tanja Schmedes
Tanja Schmedes
Projektgruppe Kooperative Spiele im Internet
Aufbau des Seminars

Anzahl Hände

obere und untere Grenzen der legalen Spielsequenzen

Vergleich zu anderen Spielen

vollständige / unvollständige Information

Häufigkeiten

Mischprogramme

Vorführung eines Mischprogramms anhand von Big Deal

Verknüpfung eines Mischprogramms mit einem Double Dummy
Solver
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Anzahl Hände
Anzahl möglicher Hände:
Spieler 1:
52!
13!(52  13)!
Spieler 2:
Spieler 3:
(52  13)!
13!(52  26)!
Spieler 4:
(52  26)!
13!(52  39)!
Insgesamt:
Spieler 1 · Spieler 2 · Spieler 3 · Spieler 4
52!
4
13!
=53.644.737.765.488.792.839.237.440.000
 0.72
96
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(52  39)!
13!1
Verteilungen
 Verteilung charakterisiert Hände
 Gestalt der Hände in Bezug auf die 4 Farben
 mögliche Verteilung einer Hand :
4-4-4-1 := 4  4  4  1 
 allgemeine Formel: sij  {Anzahl Karten die Spieler i in Farbe j
hat, mit i:= 1...4, j:= 1() 2() 3() 4()}
 Wahrscheinlichkeit einer 13-0-0-0 Verteilung einer Hand:
0.0000000003%
 Wahrscheinlichkeit einer 4-4-3-2 Verteilung einer Hand:
21.551 %
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Erlaubte Spielzüge
 Fall, das Spieler 1 alle Karten einer Farbe hat und immer
herauskommt
 für Spieler 1:
13 Möglichkeiten, den 1. Stich zu spielen
12 Möglichkeiten, den 2., ...
 für Spieler 2-4: jeweils N Möglichkeiten, zu bedienen
4
N Möglichkeiten
 für das gesamte erste Spiel ( N!) Möglichkeiten1.5010
 ergibt für den ersten Stich
4
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39
Obere und untere Grenze
 obere Grenze liegt bei 1.510
39
 untere Grenze liegt bei N!6.2810
9
 mittels des Prinzips der Verteilung Grenzen verfeinern:
wenn die vier Hände
bekannt sind:
4
Anzahl lps´s :  si , j ! Maximum: wie oben, Minimum:
i , j 1
7.2210
wenn nur zwei Hände bekannt sind:
4
!
N
k
Möglichkeiten, die restliche Karten zu verteilen

k 1 s3 k ! s 4 k !
4
! 4
N
k
!)
Anzahl lps´s :  (

s
ij
sS k 1 s3 k ! s 4 k !i , j 1
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14
Abschätzungen
 Berklekamp: die Anzahl legaler Spielfolgen beträgt für die
20
meisten Verteilungen 10
 Levy: die Anzahl legaler Spielfolgen beträgt für die meisten
15.7
Verteilungen 10
 erwarte Anzahl von lps´s in einem zufälligen Double Dummy
18
Problem 1.0510
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Vergleich
Anzahl von Suchraum-Positionen in verschiedenen Spielen:
19
 Backgammon:10
20
 Dame: 10
 Bridge: 10
30
47
 Schach:10
150
 Scrabble: 10
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Spiele mit vollständiger Information
 Aufbau des Spielbaums
 Bewertung der Blätter
 Durchführung des Minimax-Algorithmus
 Abschneiden überflüssiger Teilbäume
 Bridge: unvollständige Information
 Vorgehen hier ?
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Minimax
1
- 0.3
2
3
- 0.3
4
5
- 0.3
8
9
18
- 0.7 - 0.3
6
10
11
19
20
0.2
0.1
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12
- 0.3
0.1
21
- 0.3
7
- 0.4
0.1
0.1
- 0.3
- 0.7
17
- 0.4
13
0.1
22
23
0.1
1.0
24
25
0.2 0.1
14
- 0.3
26
- 0.3
15
- 0.6
- 0.4
27
- 0.4
16
-1
28
29
30
31
0.2
- 0.6
0.2
-1
Häufigkeiten
 Verteilungen der Karten bei den Gegenspielern:
gerade Anzahl Karten: Wahrscheinlichkeit ca. 50%, das Karten
ungleichmässig verteilt sind
ungerade Anzahl Karten: Wahrscheinlichkeit von ca. 65% das ein
Gegner jeweils eine Karte mehr als sein Partner besitzt
 ab 9 Karten nicht mehr gegen Dame schneiden, ansonsten:
Verteilung von beispielsweise Hand: A K B 9
Dummy: x x
76 % Erfolgschance
 ab 11 Karten nicht mehr gegen König schneiden, ansonsten:
Verteilung von beispielsweise Hand: A D B 9
Dummy: x
52 % Erfolgschance
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Mischprogramme
Voraussetzungen an Software
 alle möglichen Bridge-Hände sollten generiert werden können
 alle Verteilungen sollten mit der gleichen Wahrscheinlichkeit
generiert werden können
 Unabhängigkeit neuer Verteilungen von vorangegangenen
 keine Vorhersage von Bridge-Händen möglich
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Pseudo Zufallsgenerator
 generiert aus zufälligem Startwert mathematisch weitere
Zufallszahlen
 Startwert unterliegt fester Größenordnung
 bei den Generatoren der meisten Mischprogramme 32 bits
32
-> sie können maximal
2
2
mögliche Serien von Werten generieren
32
-> es können maximal
verschiedene Hände generiert werden
 es existieren 53.644.737.765.488.729.839.237.440.000 verschiedene
Hände
 Vielzahl Mischprogramme erfüllt erste Voraussetzung nicht
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Big Deal
 Verwendung eines 160-bit Zufallswert
 Verwendung eines auf Sicherheit und Zuverlässigkeit getesteten
160-bit PRNG, RIPEMD-160
 Kürzung der so entwickelten 160-bit Zufallszahl auf 96 Bits
 Konvertierung der 96-bit Nummer in einen Bridge Deal
 verschiedene Ausgabe Formate, BRI, DUP, PBN
 PBN Format ermöglicht eine Verknüpfung mit anderen
Programmen, z.B. Double Dummy Solvern
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