Primzahlen und ihre Verteilung

Primzahlen und ihre
Verteilung
Warum beschäftigt man sich mit
Primzahlen?
Warum beschäftigt man sich mit
Primzahlen?

Primzahlen sind die „Atome“ der natürlichen
Zahlen (Eindeutige Primfaktorzerlegung!)
Warum beschäftigt man sich mit
Primzahlen?


Primzahlen sind die „Atome“ der natürlichen
Zahlen (Eindeutige Primfaktorzerlegung!)
Primzahlentheorie findet in der modernen
Kryptographie Anwendung z.B. RSA:
Prinzip: Multiplikation von Primzahlen
ist „leicht“
Aufspaltung von großen Zahlen
in ihre Primteiler ist „schwer“
Warum beschäftigt man sich mit
Primzahlen?

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
Primzahlen sind die „Atome“ der natürlichen
Zahlen (eindeutige Primfaktorzerlegung!)
Primzahlentheorie findet in der modernen
Kryptographie Anwendung (z.B. RSA)
Primzahlen spielen eine wichtige Rolle in der
modernen Zahlentheorie
Definition
Eine natürliche Zahl n heißt Primzahl,
wenn sie genau 2 Teiler hat.
Merke: 1 ist nicht prim!
Definition
Eine natürliche Zahl n heißt Primzahl,
wenn sie genau 2 Teiler hat.
Merke: 1 ist nicht prim!
In dieser Darstellung werden folgende Konventionen
benutzt:
p bezeichnet immer eine Primzahl
P bezeichnet die Menge aller Primzahlen
Primzahlentheorie in der Antike
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Es ist nicht genau bekannt wann Menschen das erste
Mal über Primzahlen nachdachten
Erstes Wissen über Primzahlen nachweisbar bei den
antiken Griechen, genauer bei den Pythagoräern ca.
500-300 v.Chr.
Um 300 v.Chr.: Euklids Elemente Buch IX: Der Beweis
für die Existenz von unendlich vielen Primzahlen.
200 v.Chr.: Das Sieb des Eratosthenes (Algorithmus zur
Bestimmung von Primzahlen bis zu einer Zahl x)
Das antike China
Die antiken Chinesen
beschäftigten sich mit
Primzahlen im Rahmen
ihrer Zahlenmystik.
In der chinesischen
Vorstellung waren
ungerade Zahlen
männlich und gerade
weiblich. Ungerade
Zahlen mit vielen Teilern
galten als „unmännlich“.
Primzahlen galten daher
als besonders männlich
Das antike China
Die antiken Chinesen
beschäftigten sich mit
Primzahlen im Rahmen
ihrer Zahlenmystik.
Sie stellten jedoch auch
einige Vermutungen auf,
die erst von Fermat
bewiesen werden
konnten
Das antike China
Die antiken Chinesen
beschäftigten sich mit
Primzahlen im Rahmen
ihrer Zahlenmystik.
Sie stellten jedoch auch
einige Vermutungen auf,
die erst von Fermat
bewiesen werden
konnten
Das Mittelalter

Keine Weiterentwicklung
der Primzahlentheorie.
Primzahltheorie nach dem
Mittelalter
Die ersten neuen Erkenntnisse zur
Primzahltheorie wurden durch Fermat und
Mersenne erzielt:
Mersennesche Primzahlen:
Nicht jede Zahl dieser Form ist prim!
Die größte bekannte Primzahl

Die größte bekannte Primzahl ist eine
Mersennesche Primzahl und wurde am
14.12.2005 durch GIMPS* entdeckt:
Eine Zahl die 9.152.052 Dezimalstellen lang ist.
*(Great Internet Mersenne Prime Search)
Leonard Euler und die Primzahlen

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Euler fand einen weiteren Beweise für die
Existenz von unendlich vielen Primzahlen.
Dieser stand im engen Zusammenhang zur
Eulerschen Zetafunktion:
Eulers Beweis für die Existenz von
unendlich vielen Primzahlen
Leonard Euler und die Primzahlen

Darüber hinaus bewies er weitere Zusammenhänge zur
Primzahlverteilung:
daraus folgerte er, dass Primzahlen dichter in N liegen
als Quadratzahlen.
Euler führte außerdem als erster analytische Methoden
in die Zahlentheorie ein!
Wie sind die Primzahlen in den
natürlichen Zahlen verteilt?
Betrachte die Funktion
Einige Werte für π(x)
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …
π(x) 0 1 2 2 3 3 4 4 4 4 5
Wie sind die Primzahlen in den
natürlichen Zahlen verteilt?
Betrachten wir zunächst den Graph von π(x) im
Zahlenraum bis 100:
π(x) im Bereich
[0,100]
Wie sind die Primzahlen in den
natürlichen Zahlen verteilt?

Die Grafik verdeutlicht, dass die Funktion π(x)
unregelmäßig Ihren Funktionswert ändert.

Es stellt sich die Frage, ob es möglich ist, eine
elementare Funktion anzugeben, welche die
Anzahl der Primzahlen bis zu einer Zahl x
angibt.
Wie sind die Primzahlen in den
natürlichen Zahlen verteilt?
Wollen wir eine elementare Funktion finden, die
π(x) angibt, so stoßen wir zunächst auf ein
Problem:
Es gibt beliebig große Primzahllücken!
Eine Primzahllücke ist ein Intervall der
natürlichen Zahlen in dem keine Primzahl
existiert. Beispiel: [8,10]
Existenz von beliebig großen
Primzahllücken.
Beweis:
Betrachte k aus N. Bilde [k!+2,k!+k].
Für jede Zahl n aus [k!+2,k!+k] gilt: sie wird von
mindestens einer Zahl 2,3,…,k geteilt.
Damit ist n keine Primzahl!
Es existieren also beliebig große Bereiche in den
natürlichen Zahlen, die keine Primzahlen
enthalten
Wie können wir dennoch etwas über
die Verteilung von P in N erfahren?
Wir müssen eine Funktion finden die π(x)
approximiert!
Ist dies möglich?
Wie können wir dennoch etwas über
die Verteilung von P in N erfahren?
Wir müssen eine Funktion finden die π(x)
approximiert!
Ist dies möglich?
- Ja! Betrachte π(x) auf einem größeren Intervall:
π(x) im Bereich der ersten 800
Primzahlen
π(x) im Bereich der ersten 8000
Primzahlen
Wie können wir dennoch etwas über
die Verteilung von P in N erfahren?
Wir müssen eine Funktion finden die π(x)
approximiert!
Betrachte π(x) auf einem größeren Intervall:
π(x) scheint sich global in Form einer stetigen
Funktion annähern zu lassen.
Dabei gilt jedoch, dass π(x) lokal immer unstetig
bleibt, und somit auf keinem Intervall mit einer
stetigen Funktion übereinstimmen kann!
Wie können wir dennoch etwas über
die Verteilung von P in N erfahren?
Definition:
Eine Funktion f(x) heißt asymptotisch gleich zu
einer Funktion g(x) wenn gilt:
In Zeichen f(x)~g(x)
d.h. der Funktionswert der Funktionen ist für
beliebig große x annähernd gleich.
Gauß 1792 und Legendre 1798


Beim Studium von Logarithmentafeln und
Primzahltabellen entdeckte C.F. Gauß einen
Zusammenhang zwischen den Logarithmen und
der Primzahlen in N.
Er stellte folgende Vermutung auf,
konnte diese jedoch nicht beweisen.
Gauß 1792 und Legendre 1798



Legendre stieß ebenfalls auf die Gauß‘sche
Vermutung und veröffentlichte diese 1798.
Die besondere Leistung von Gauß und
Legendre liegt darin, dass Sie den
Zusammenhang zwischen Logarithmen und
Primzahlen erkennen konnten, ohne unsere
(wesentlich erweiterten) Primzahltabellen
Es zeigte sich jedoch bald, dass die Funktion
π(x) für große x nur sehr schlecht approximiert.
Ziel: genauere Abschätzungen für
π(x)

Legendre fand daraufhin die (für kleine x)
genauere Abschätzung:
Heute wissen wir, dass die bessere Wahl für die
Konstante 1 gewesen wäre! Diese Abschätzung
konnte Legendre noch nicht treffen!
Ziel: genauere Abschätzungen für
π(x)

Gauß vermutete dagegen:
Li ist der
Integrallogarithmus
Eine Abschätzung die sich auch für große x als erstaunlich genau
herausstellte!
Ziel: genauere Abschätzungen für
π(x)


Gauß konnte jedoch auch diese Vermutung nicht
beweisen!
Anmerkung:
Die Aussage Li(x)~ π(x) ist äquivalent zu
da Li(x) ebenfalls asymptotisch gleich zu der
Funktion
ist.
Die Güte der Approximation von
π(x)

Betrachten wir im Folgenden die Graphen von
1. π(x)
2.
3. Li(x)
im Bereich der Zahlen bis 1000 und im Bereich bis
100.000
Die Güte der Approximation von
π(x)

Die Grafik lässt erkennen, dass Li(x), π(x) für
große x besser approximiert als

Die Grafik verleitet zu der Annahme, dass die
Beziehung Li(x)> π(x) für alle x gilt. Man kann
jedoch zeigen, dass für große x genauso häufig
Li(x)< π(x) oder Li(x)= π(x) gilt.
Pafnuty Tschebyscheff (1821-1894)


Russischer Adeliger
Um 1850:
wenn
existiert, dann ist der
Grenzwert 1
Pafnuty Tschebyscheff (1821-1894)


Russischer Adeliger
Um 1850:
wenn
existiert, dann ist der
Grenzwert 1
Bewies die Abschätzung:
Pafnuty Tschebyscheff (1821-1894)
Konnte außerdem das Bertrandsche Postulat
beweisen:
Tschebyscheff konnte zwar die Gaußsche
Vermutung nicht beweisen, lieferte jedoch
wichtige Zwischenergebnisse auf dem Weg zu
einem Beweis!
Bernhard Riemann

Untersuchte ebenfalls die Eulersche
Zetafunktion, erweiterte den Definitionsbereich
jedoch auf komplexe Zahlen!
Riemanns Untersuchungen führten zum Beweis
der Gauß`schen Vermutung.
Der Primzahlsatz
Beweis der Gaußschen Vermutung 1898 durch
Hadamard und (unabhängig davon) von de La
Vallee de Poisson:
Der Primzahlsatz
Beweis der Gaußschen Vermutung 1898 durch Hadamard
und (unabhängig davon) von de La Vallee de Pouisson:
Der Beweis erfolgte durch den Nachweis, dass
Kein elementarer (d.h. auf den reellen Zahlen)
basierender Beweis!
Der elementare Beweis des
Primzahlsatzes
Konnte erst 1948 von P. Erdös und A. Selberg
erbracht werden.
Der elementare Beweis konnte mit Hilfe neuer,
von Selberg entdeckter, Siebmethoden geführt
werden. Die Entdeckung des Beweises führte
zum Streit zwischen Selberg und Erdös, der erst
nach einiger Zeit beigelegt werden konnte.
Die Riemannsche Vermutung

Bernhard Riemann fand bei der Untersuchung
der Zetafunktion im komplexen folgende
Vermutung:
Diese Vermutung ist bis heute unbewiesen, sie
wird Riemannsche Vermutung genannt.
Die Riemannsche Vermutung
Die so genannten trivialen Nullstellen:
Man kann zeigen, dass die Zetafunktion auf den
negativen Zahlen fortsetzbar ist
Dort hat die Funktion Nullstellen, die sie an Vielfachen
von s = - 2 annimmt.
Diese Nullstellen werden die trivialen Nullstellen der
Zetafunktion genannt.
(siehe auch Prachar, Karl: Primzahlverteilung Berlin 1957)
Die Riemannsche Vermutung
Warum ist die Riemansche Vermutung wichtig für
die Verteilung von Primzahlen?
Die Riemannsche Vermutung
Warum ist die Riemansche Vermutung wichtig für
die Verteilung von Primzahlen?
H. Koch konnte 1901 zeigen, dass die
Riemannsche Vermutung äquivalent ist zu:
Die Riemannsche Vermutung
H. Koch konnte 1901 zeigen, dass die
Riemannsche Vermutung äquivalent ist zu:
Die Riemannsche Vermutung ermöglicht damit
eine Abschätzung der Güte der Approximation.
Sie liefert also direkt Informationen über die
Verteilung der Primzahlen in N.
Die Riemannsche Vermutung


Ein Beweis der Riemannsche Vermutung
könnte wichtige Informationen über die
Verteilung der Primzahlen liefern!
Sie ist eines der Jahrtausendprobleme des Clay
Mathematics Instituts
Zusammenfassung

Primzahlen sind die „Atome“ der natürlichen
Zahlen
Zusammenfassung


Primzahlen sind die „Atome“ der natürlichen
Zahlen
Einige offene Fragen in der Zahlentheorie
beziehen sich direkt auf die Theorie der
Primzahlen.
Zusammenfassung



Primzahlen sind die „Atome“ der natürlichen
Zahlen
Einige offene Fragen in der Zahlentheorie
beziehen sich direkt auf die Theorie der
Primzahlen.
Die Riemannsche Vermutung liefert wichtige
Informationen zur Verteilung der Primzahlen
Zusammenfassung

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
Primzahlen sind die „Atome“ der natürlichen Zahlen
Einige offene Fragen in der Zahlentheorie beziehen
sich direkt auf die Theorie der Primzahlen.
Die Riemannsche Vermutung liefert wichtige
Informationen zur Verteilung der Primzahlen
Primzahlen finden vielfältige Anwendung in der
modernen Welt (ohne sie gibt es kein RSA, womit
e-commerce in der uns heute bekannten Weise nicht
möglich wäre)
Quellen und weiterführende
Literatur
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Prachar, Karl: Primzahlverteilung Berlin 1957
du Sautoy, Marcus: Die Musik der Primzahlen,
München 2003
Ischebeck, Friedrich: Einladung zur Zahlentheorie,
Zürich 1992
Loo Keng, Hua: Introduction to number theory, Peking
1982
http://primes.utm.edu/howmany.shtml
http://www-gap.dcs.stand.ac.uk/~history/HistTopics/Prime_numbers.html
http://www.mersenne.org/