Primzahlen und die Riemannsche Vermutung

Primzahlen und die Riemannsche Vermutung
Von Christopher Deninger
1 Einführung
Die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4,  sind uns wohlvertraut. Ihre multiplikativen
Bestandteile sind die Primzahlen, d.h. die Zahlen p≥2 , die nur durch 1 und sich
selbst geteilt werden 2, 3, 5, 7, 11, 13,… Aus der Definition folgt sofort: Jede natürliche Zahl n≥2 lässt sich in ein Produkt von Primzahlen zerlegen. Weiter ist bekannt,
dass diese Zerlegung bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig ist. So ist zum
Beispiel
4=2⋅2 , 10=2⋅5 , 1144 =2⋅2⋅2⋅11⋅13 usw .
Gibt es unendlich viele Prinzahlen? Tatsächlich wurde die Antwort schon von Euklid
gegeben. Sein Beweis ist ein schönes Beispiel für mathematisches Denken:
Satz (Euklid) Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis Wir nehmen an, es gäbe nur endlich viele Primzahlen. Sie seien der Reihe
nach mit p 1 , p 2 , , p k bezeichnet. Hierbei ist k also die Anzahl der Primzahlen und
p 1= 2, p 2=3, p 3=5, p 4=7, 
Wir bilden nun die Zahl
N =p 1⋅p 2⋅⋅p k1
.
Offenbar ist N ≥2 . Wir können N also in ein Produkt von Primzahlen zerlegen. Sei
p eine dieser Primzahlen. Sie teilt N. Die Zahlen p 1 , , p k hingegen teilen N nicht:
es bleibt stets der Rest 1. Also ist die Primzahl p unter den Zahlen p 1 , , p k nicht
vertreten. Dies ist ein Widerspruch zu unserer Annahme, dass p 1 , , p k sämtliche
Primzahlen seien. Die Annahme, es gäbe nur endlich viele Primzahlen hat zu einem
Widerspruch geführt. Es gibt also unendlich viele von ihnen, und der Satz ist bewiesen.
2 Primzahlverteilung und Riemannsche Vermutung
Die Anzahl der Primzahlen, die kleiner oder gleich einer gegebenen reellen Zahl x
sind, wird seit Gauß mit π  x  bezeichnet. In kleinem Maßstab sieht die Funktion
π  x  so aus:
1
Es gibt für jede natürliche Zahl N Primzahllücken der Länge N, d.h. Folgen von N
aufeinander folgenden Zahlen, von denen keine prim ist. Das sieht man, indem man
die folgenden Zahlen betrachtet, von denen keine prim ist
 N 1 !  2 ,  ,  N 1  !   N 1  .
Hierbei ist  N 1 ! =1⋅2⋅3⋯ N 1 . Die Funktion π  x  nimmt auf diesen
Zahlen denselben Wert an, bleibt also mindestens N Schritte lang waagerecht. Trotz
dieses Phänomens zeigt die Funktion π  x  bei großem Maßstab ein erstaunlich
reguläres Verhalten:
2
Die Mathematiker haben schon früh versucht, eine gute Approximation von π  x 
durch eine glatte Funktion zu finden. Der folgende Vorschlag stammt um 1792 von
C. F. Gauß, der durch das Abzählen tausender Primzahlen ein Gefühl für die Zuwachsrate der Primzahlen gewonnen hatte. Diese erschien ihm wie 1 / log x , wobei
log x der Logarithmus zur Basis e ist. In diesem Sinne gilt also für die Ableitung:
dπ  x 
=1 /log x , was streng genommen keinen Sinn ergibt, da π  x  keine
dx
differenzierbare Funktion ist. Integration führte Gauß nun zu der Vermutung, dass
π  x  durch die Funktion:
x
Li x =∫
2
dt
log t
gut approximierbar sein sollte. Dies ist auf eindrucksvolle Weise der Fall:
Die ersten Zusammenhänge von π  x  mit Li x  wurden von Tschebyscheff um
1848 durch kunstvolle Überlegungen mit Binomialkoeffizienten bewiesen [T].
Insbesondere konnte er zeigen: Wenn π  x / Li x  für x  ∞ einem Grenzwert
3
zustrebt, so muss dieser Grenzwert =1 sein. Die Existenz dieses Grenzwertes zu
beweisen, also dass π  x  und Li x  asymptotisch gleich sind, ist viel schwieriger.
Dies und mehr gelang 1896 unabhängig voneinander Hadamard [H] und de la Vallé
Poussin [V]. Mit Methoden der komplexen Analysis zeigten sie den berühmten
Primzahlsatz:
Satz
lim π  x / Li  x =1 .
x ∞
Das Rätsel, weshalb man mit den kontinuierlichen Methoden der Analysis etwas über
die diskrete Folge der Primzahlen beweisen kann, wird sich später aufklären, durch
das Eulerprodukt für die Riemannsche Zetafunktion.
Durch partielle Integration sieht man, dass Li x  und x /log x asymptotisch
gleich sind. Der Primzahlsatz wird daher häufig auch in der Form
lim π  x / x /log x =1
x ∞
ausgesprochen. Der „Integrallogarithmus“ Li x  liefert aber eine viel bessere
Approximation an π  x  als die Funktion x /log x , wie man an folgendem
Diagramm sieht:
Nachdem das asymptotische Verhalten von π  x / Li x  geklärt ist, erhebt sich die
feinere Frage nach der Größenordnung der Funktion π  x −Li  x  . In dieser
Differenz spiegelt sich der auch zufällige Charakter des Auftretens der nächsten
Primzahl eindrucksvoll wider
4
Die Differenz Li x − π  x  scheint übrigens nach dem Diagramm bis auf kleine
Schwankungen immer zu wachsen, so dass man vermuten könnte, für alle x gelte die
Ungleichung Li x ≥ π  x  . Dies ist nicht der Fall. Littlewood zeigte 1914, dass
Li x − π  x  sogar unendlich oft das Vorzeichen ändert. Über die Größenordnung
der Differenz macht die Riemannsche Vermutung eine Aussage:
Riemannsche Vermutung (1. Fassung) Es gibt eine Konstante
alle x≥2 gilt:
c0
, so dass für
∣π  x − Li x ∣≤c  x log x .
Die Differenz π  x −Li  x  hat also im Wesentlichen die Größenordnung von  x ,
denn mit x verglichen wächst log x nur sehr langsam. Man kann zeigen, dass man
in dieser Abschätzung  x=x 1/2 durch keine kleinere Potenz von x ersetzen kann.
In der obigen Form ist nicht so klar, warum die Riemannsche Vermutung eine der berühmtesten Vermutungen der Mathematik geworden ist, und warum man an sie glauben sollte. Ihre tiefere Natur erhellt sich erst aus den folgenden Betrachtungen.
Zunächst sei daran erinnert, dass man für positive reelle Zahlen a und reelle x die
Potenz durch a x=exp x log a  erklärt. Ist s=xiy eine komplexe Zahl,
x , y ∈¿
¸, i2 =−1, so kann man die komplexe Potenz as durch die Formel
¿
a s =ax cos x log a iax sin x log a 
erklären. Aus den Additionstheoremen für den Logarithmus und für Sinus und Kosis s
s
s
nus folgt dann die Formel a 1 2=a 1 a 2 für beliebige komplexe Zahlen s1 und
s2
. Insbesondere ist a−s =1/ a s .
5
Die Riemannsche Zetafunktion ζ  s  ist für komplexes
Re s := x1 durch die konvergente Reihe
ζ  s =1
s=xiy
mit
1 1 1 1
 s  s  s 
s
2 3 4 5
erklärt. Ihre Werte sind wieder komplexe Zahlen. Offenbar gehen in ihre Bildung gerade die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, 5,  ein. Der Zusammenhang mit den
Primzahlen wird durch die folgende berühmte Formel hergestellt:
Euler Produkt Für alle s mit Re s1 gilt folgende Gleichung, wobei das Produkt
über die Primzahlen erstreckt wird:
ζ  s = 1−2−s −1  1−3−s −1 1−5−s −1 1−7−s −1 
Tatsächlich ist diese Formel äquivalent zu der bis auf die Reihenfolge eindeutigen
Zerlegbarkeit der natürlichen Zahlen in Produkte von Primzahlpotenzen. Das sieht
man so: Wegen Re s1 ist ∣p −s∣1 für jede Primzahl p. Also konvergiert die
geometrische Reihe:
 1−p−s −1=1p−s p−2s p−3s 
Die rechte Seite im Euler Produkt ist der Grenzwert endlicher Produkte. Multipliziert
man diese aus, wobei man für die Faktoren  1−p−s −1 ihre Darstellung als
geometrische Reihe wählt, so geht die rechte Seite über in eine Reihe über
Summanden der Form  2a 3 b 5 c 7 d ⋯−s . Die Gleichheit im Euler Produkt besagt
also gerade, dass jede natürliche Zahl n≥1 in eindeutiger Weise als endliches
Produkt der Gestalt 2 a 3b 5c 7 d ⋯ geschrieben werden kann, also als endliches
Produkt von Primzahlpotenzen. Es ist nicht schwierig, diese Beweisidee zu einem
strengen Beweis auszubauen.
Man kann das Euler Produkt benutzen, um mit Hilfe von Analysis Eigenschaften der
Primzahlen zu beweisen. Gäbe es zum Beispiel nur endlich viele Primzahlen, so wäre
das Euler Produkt endlich, und ζ  s  müsste daher beschränkt bleiben, wenn sich s
der Zahl 1 nähert. Dies ist aber nicht der Fall, was letztlich daran liegt, dass die Reihe
11 /21 / 3 1/ 4 divergiert. Also muss es unendlich viele Primzahlen geben.
Um tiefer liegende Eigenschaften zu zeigen, ist es sinnvoll, ζ  s  mit Methoden der
komplexen Analysis zu untersuchen. Dort werden sogenannte analytische Funktionen
betrachtet, die viele bemerkenswerte Eigenschaften besitzen. Insbesondere sind sie
„starr“ in dem Sinne, dass ihre Werte in einer noch so kleinen Kreisscheibe ihre Werte
an allen anderen Stellen ihres Definitionsgebietes in 4 eindeutig bestimmen. Hieraus
folgt, dass es höchstens eine Fortsetzung von ζ  s  von der Halbebene Re s1
(wo ζ  s  analytisch ist) in die ganze komplexe Ebene ˆ geben kann. Riemann hat
entdeckt, dass es diese Fortsetzung tatsächlich gibt, wobei an der Stelle s=1 , wie
oben bemerkt, ein Pol der Ordnung 1 auftritt. Es gibt sogar eine Funktionalgleichung,
s∈¿
welche den Wert von ζ  s  an der Stelle
x mit ihrem Wert an der Stelle
¿
1−s in Beziehung setzt. Sie lautet:
6
π
−s /2
Γ  s /2  ζ  s =π
−1− s /2
Γ  1−s / 2  ζ 1−s 
wobei Γ  s  die Eulersche Gammafunktion ist. Hieraus folgt, dass ein ρ mit
0Re ρ 1 genau dann eine Nullstelle von ζ ist, wenn 1−ρ eine Nullstelle ist.
Hiermit kann man leicht zeigen (wegen ζ ( s) = ζ ( s ) ), dass ρ =xiy genau dann
Nullstelle von ζ ist, wenn  1−x iy Nullstelle ist.
Ausgehend von der berühmten Arbeit [R] von Riemann hat sich herausgestellt, dass
die Nullstellen der Zetafunktion eng mit den Primzahlen zusammenhängen. Man
weiß, dass alle „interessanten“ Nullstellen ρ =xiy von ζ im „kritischen Streifen“
0Re s1 in der komplexen Ebene liegen. Wie gesehen, liegen sie dabei symmetrisch zur Achse Re s=1 / 2 , d.h. zur Senkrechten durch den Punkt 1/2. Die oben
formulierte Riemannsche Vermutung ist äquivalent zu der folgenden Vermutung,
deren Faszination unmittelbar einleuchtet:
Riemannsche Vermutung (2. Fassung) Alle Nullstellen ρ der Riemannschen Zetafunktion im kritischen Streifen liegen auf der Geraden Re s=1 / 2 .
Das Auftreten der Zahl 1/2 in beiden Fassungen (  x=x 1 / 2 !) ist kein Zufall. Man
kann nämlich zeigen, dass folgende Aussagen für eine reelle Zahl δ≥1 / 2
äquivalent sind:
∣π  x − Li x ∣≤const . x δ log x für alle x≥2 .
a
b
È hat keine Nullstelle È mit È < Re È < 1.
Erstaunlicherweise hat man trotz über hundertjähriger Bemühungen noch nicht einmal zeigen können, dass es ein δ1 gibt, für das es keine Nullstellen von ζ im
Streifen δRe s1 gibt. Alle bekannten nullstellenfreien Bereiche, die mit größter
Mühe gewonnen wurden, schmiegen sich der Geraden x=1 asymptotisch an. Dennoch hat man vieles über die Nullstellen von ζ im kritischen Streifen herausbekommen, z.B.
1
2
 Es gibt unendlich viele Nullstellen der Gestalt ρ = iy , vgl. [Ha].
 Die ersten 10 13 Nullstellen liegen auf der Geraden Re s=1 / 2 , GourdonDemichel 2004
 In einem geeigneten Sinn liegen über 2/5 der Nullstellen auf der Geraden
Re s=1 / 2 , vgl. [C].
 Ein Analogon der Riemannschen Vermutung für „Funktionenkörper“ ist richtig [W]. Deren Arithmetik ist allerdings viel einfacher als die Arithmetik der
natürlichen Zahlen.
Hier sind die ersten drei Nullstellen ρ =xiy mit y 0 im kritischen Streifen bis
auf sechs Stellen genau:
7
ρ1
¿
ρ2
¿
ρ3
¿
1
14 , 134725 i
2
1
21 , 022040 i
2
1
25 , 010856 i .
2
Literatur
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[D1] C. Deninger, Number theory and dynamical systems on foliated spaces. Jber.
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P. L. Tschebycheff, Recherches nouvelles sur les nombres premiers. CR Paris
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8