Juni 2016

Juni 2016
Aufgabe 1: Kann die Menschheit die Ostsee mit einem Schluck leertrinken?
Annika geht mit ihrem Großvater auf die Seebrücke am Schönberger Strand und
staunt über die Größe des Meeres. "Opa, wenn nun alle Menschen, also alle
Menschen, die auf der ganzen Welt leben, hier her kämen und wenn jeder einen
Schluck Oststeewasser trinken würde, ob dann wohl kein Wasser mehr übrig
wäre? Oder ob das Wasser nur ein bisschen flacher wäre?"
a) Überlege, welche Angaben bekannt sein müssen, um Annikas Frage beantworten zu können und welche vereinfachenden Annahmen für die Berechnung
eines Schätzwertes sinnvoll sind.
Recherchiere die relevanten Angaben und berechne einen Schätzwert, mit dem
Annikas Frage beantwortet werden kann. Veranschauliche die Ergebnisse.
b) Variiere die Fragestellung: Diskutiere Probleme, die einer praktischen Umsetzung von Annikas Idee im Weg stünden und veranschauliche die Ergebnisse.
MA-THEMA Juni 2016
2
Aufgabe 2: Primzahlen (2)
Primzahlen sind Zahlen, die genau zwei verschiedene Zahlen als Teiler haben,
nämlich sich selbst und 1. Die 1 ist laut Definition keine Primzahl. Die kleinsten
Primzahl sind also 2 und 3.
In dieser Aufgabe geht es um ein Verfahren, mit dem „neue“ Primzahlen
bestimmt werden können, sowie um einen berühmten Beweis von EUKLID.
a) Berechne jeweils den Wert des Terms und setze die Zahlenfolge fort:
2 × 3 + 1 ; 2 × 3 × 7 + 1 ; 2 × 3 × 7 × 43 + 1 ; K
Untersuche, ob das Verfahren „neue“ Primzahlen erzeugt, also solche, die in den
weiter vorn stehenden Termen der Zahlenfolge nicht vorkommen.
Experimentiere mit anderen Primzahlen im ersten Term der Zahlenfolge.
b) EUKLID hat den Satz 'Es gibt unendlich viele Primzahlen' ausgesprochen. Er hat
diesen Satz durch Widerspruch bewiesen. Dazu nimmt man an, das Gegenteil
der Aussage sei wahr.
Angenommen, es gäbe nur endlich viele Primzahlen. Dann könnte man sie alle
aufschreiben: p1 , p2 , p3 , ... , pn -1 , pn . Dabei wäre p1 = 2 , p2 = 3 , p3 = 5
usw. , und pn wäre die größte existierende Primzahl.
Nun betrachtet man den Term p1 × p2 × p3 × K × pn -1 × pn . Dieser Term ist durch
durch jede der aufgeführten Primzahlen teilbar. Anmerkung: Die nächstgrößere
durch 2 teilbare Zahl wäre dann p1 × p2 × p3 × K × pn -1 × pn + 2 . Die nächstgrößere
durch 3 teilbare Zahl wäre dann p1 × p2 × p3 × K × pn -1 × pn + 3 .
Weiter im Beweis: Man betrachtet den Term p1 × p2 × p3 × K × pn -1 × pn + 1 .
Dieser Term ist durch keine der bereits aufgeführten Primzahlen teilbar.
Formuliere die Schlussfolgerung, die im Widerspruch zu der Annahme steht, es
gäbe nur endlich viele Primzahlen, und vollende den Beweis.
c) Im letzten Beweisschritt wird häufig die Schlussfolgerung falsch formuliert.
Deshalb hat LIETZMANN mit einem Augenzwinkern den folgenden falschen Satz
ausgesprochen: Es gibt sogar unendlich viele Primzahlzwillinge.
LIETZMANN schlägt vor, für den Beweis durch Widerspruch anzunehmen, es
gäbe nur endlich viele Primzahlen, nämlich p1 , p2 , p3 , ... , pn -1 , pn . Nun
solle man die daraus konstruierten Terme p1 × p2 × p3 × K × pn -1 × pn + 1 und
p1 × p2 × p3 × K × pn -1 × pn - 1 betrachten. Diese Terme seien größer als jede der
der im Term aufgeführten Primzahlen, seien aber durch keine dieser Primzahlen
teilbar. Sie müssten also selbst Primzahlen sein und größer als die aufgeführten.
Das stünde im Widerspruch zu der Annahme, es gäbe eine größe Primzahl pn .
Zeige, wo der Denkfehler in diesem falschen Beweis liegt.
d) Es ist 1 × 2 × 3 × 4 × K × n = n ! (Lies: "n-Fakultät"). Begründe die folgende Aussage:
Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es eine Primzahl p, die zwischen n und n ! + 1
liegt, also n < p < n ! + 1 .
MA-THEMA Juni 2016
3
Aufgabe 3: Winkelbestimmung (16)
S
s
C
g
wa
ws
E
°
115
wg '
W
50°
B
b'
A
wb'
Das Dreieck ABC wird durch Drehung um
W'
180° (bzw. Punktspiegelung) mit dem
Zentrum B abgebildet, das Bild ist das Dreieck A'BC'.
Im Dreieck ABC ist die Gerade wa die Winkelhalbierende
des Winkels <) BAC. Im Dreieck A'BC' ist die Gerade wg '
A'
a'
w
E'
C'
Halbierende des Winkels <) A'C'B. In beiden Dreiecken ist Gerade wb'
Halbierende des Winkels <) C'BA' bzw. des Winkels <) CBA. Die Geraden wa
und wg ' schneiden sich im Punkt S.
Der Winkel <) BAW hat das Maß 50°. Der Winkel <) SWE hat das Maß 115°.
a) Bestimme die Winkelmaße a', b', g, s und w durch geometrische Überlegungen.
Nachmessen ist möglich, gilt aber nicht als exakte Begründung.
b) Die Gerade ws ist Winkelhalbierende des Winkels <) ASC'. Untersuche, wie
man die Lage der Punkte A bzw. C verändern muss, damit die Gerade ws durch
den Punkt B geht. Begründe dein Ergebnis.
Tipp: Verwende für die Untersuchung ein dynamisches Geometriesystem wie
z.B. GeoGebra.
MA-THEMA Juni 2016
4
40 mm
mm
40 mm
50
Aufgabe 4: heronische Parallelogramme
Das pythagoreische Tripel 42 – 40 – 58 beschreibt das
rechtwinklige blaue Dreieck, dessen Seitenlängen
ganze Zahlen sind. Das gelbe Dreieck wird durch
m
m
30 – 40 – 50 beschrieben, das Zehnfache des be58
kanntesten pythagoreischen Tripels 3 – 4 – 5.
Das gelbe Dreieck ist also rechtwinklig
und besitzt ebenfalls eine Kathete mit der
Länge 40. Durch Zusammenfügen der
42 mm
30 mm
72 mm
beiden rechtwinkligen Dreiecke entsteht
ein heronisches Dreieck. Es besitzt die ganzzahligen Seitenlängen 58 – 50 – 72.
Weil die Höhe zur Seite mit der Länge 72 mit 40 eine ganzzahlige Länge besitzt,
ist der Flächeninhalt 72 × 40 ebenfalls eine ganze Zahl.
Im allgemeinen sind die Seitenlängen, die Höhen und der Flächeninhalt eines
heronischen Dreiecks rationale Zahlen (siehe auch MA-THEMA August 2013,
Aufgabe 4). Im Beispiel hat die Höhe bezüglich der 58 mm langen Seite die
rationale Länge 420
mm.
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Das Bild rechts zeigt ein Parallelogramm, das in ähnlicher Weise aus
zwei rechtwinkligen Dreiecken mit
ganzzahligen Seitenlängen erzeugt wurde. Gibt man die
Abmessungen in mm an,
haben seine Seiten und
seine Höhen ganzzahlige
Längen. Deshalb soll es als heronisches Parallelogramm bezeichnet werden.
a) Konstruiere mit Hilfe der Liste pythagoreischer Tripel (siehe Arbeitsmaterial
auf der nächsten Seite) weitere Parallelogramme, deren Seitenlängen und Höhen
in mm gemessen ganze Zahlen sind. Rechtecke sind trivale Lösungen, sie sollen
nicht betrachtet werden. Untersuche, ob auch Rauten möglich sind.
Beschreibe mögliche Vorgehensweisen, mit denen man erreicht, dass die Höhen
nicht nur rational, sondern ganzzahlig sind.
Gib die Abmessungen der kleinsten möglichen Parallelogramme mit ganzzahligen Längenmaßen in mm an.
b) Konstruiere mit Hilfe der Liste heronischer Tripel (siehe Arbeitsmaterial auf der
nächsten Seite) weitere Parallelogramme, deren Seitenlängen und Höhen in mm
gemessen ganze Zahlen sind.
c) Untersuche, ob es Parallelogramme gibt, bei denen die Längenmaße von Seiten,
Höhen und Diagonalen ganze Zahlen sind.
MA-THEMA Juni 2016
Arbeitsmaterial: Liste pythagoreischer Tripel sowie heronischer Tripel
Es gilt x 2 + y 2 = z 2 .
x
3
6
5
9
8
12
7
15
24
10
20
18
16
21
12
15
24
9
27
14
30
48
24
20
28
33
40
36
11
16
y
4
8
12
12
15
16
24
20
7
24
21
24
30
28
35
36
32
40
36
48
40
14
45
48
45
44
42
48
60
63
z
5
10
13
15
17
20
25
25
25
26
29
30
34
35
37
39
40
41
45
50
50
50
51
52
53
55
58
60
61
65
x
25
33
39
32
42
48
24
21
45
72
30
48
18
13
36
40
51
75
60
39
54
35
57
65
28
60
96
20
48
40
y
60
56
52
60
56
55
70
72
60
21
72
64
80
84
77
75
68
40
63
80
72
84
76
72
96
80
28
99
90
96
z
65
65
65
68
70
73
74
75
75
75
78
80
82
85
85
85
85
85
87
89
90
91
95
97
100
100
100
101
102
104
Suche xk = xn oder xk = y n . Setze a = z k ,
b = z n sowie c = y k + y n oder c = y k - y n
a
b
c
a
b
c
6
5
5
29 25 6
8
5
5
29 25 36
10 10 12
29 29 40
10 10 16
29 29 42
13 13 10
30 25 11
13 13 24
30 25 25
15 13 4
30 26 8
15 13 14
30 26 28
15 15 18
30 30 36
15 15 24
30 30 48
17 10 9
34 20 18
17 10 21
34 20 42
17 17 16
34 34 32
17 17 30
34 34 60
20 13 11
35 29 8
20 13 21
35 29 48
20 15 7
35 35 42
20 15 25
35 35 56
20 20 24
37 13 30
20 20 32
37 13 40
25 17 12
37 15 26
25 17 28
37 15 44
25 25 14
37 20 19
25 25 30
37 20 51
25 25 40
37 37 24
25 25 48
37 37 70
26 25 3
39 17 28
26 25 17
39 17 44
26 26 20
39 25 16
26 26 48
39 25 56
5