Stochastischer Prozess

Stochastische Prozesse
Jan Wosnitza
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
Portfoliomodelle
Faktormodelle
1
Stochastische Prozesse
Einführung
Grundlegendebegriffe
Random Walk
Quelle: Wehn, C. S.: „Einführung in die finanzmathematische Messung von Kreditrisiken...“,
Siegen 2006
Geometrische Irrfahrten
Allgemeine Irrfahrten
Markov-Eigenschaften
Wiener Prozess
Geometrisch Brownsche Bewegung
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells

Verteilung sfunktion des Verlsuts : 1   f(L)  dL

VaR
Value at Risk : p 
2
 f(L)  dL

Stochastische Prozesse
Einführung
Grundlegendebegriffe
Random Walk
Erwartungswert und Varianz:
Εx    x i  px i 
i
Geometrische Irrfahrten
Allgemeine Irrfahrten
σ 2 x    x i  Εx   px i 
2
i
Markov-Eigenschaften
Wiener Prozess
Geometrisch Brownsche Bewegung
Vorbereitungen für das Faktormodell
Credit Event = Ereigniss
Default = Ausfall
Downgrading = Bonitätsverschlechterung
Anwendungen des Faktormodells
Stochastischer Prozess = Betrachtung von Zufallsvariablen
im zeitlichen Verlauf
Irrfahrten = Einfache zeitdiskrete stochastische Prozesse zur
idealisierten Modellierung von Kursen oder Bewegung
physikalischer Teilchen
Ausgehend von einem Startwert X(t=0) werden die
Zufallsvariablen X(t), für Zeitpunkte t=1,2,… rekursiv nach
einfachen Konstruktionsprinzipien erzeugt.
3
Stochastische Prozesse
Einführung
Grundlegendebegriffe
Random Walk
Geometrische Irrfahrten
Z(t) = Zufälliger binärer Zuwachs, der die Werte u („up“) und –
d („down“) annehmen kann:
Allgemeine Irrfahrten
Markov-Eigenschaften
Wiener Prozess
Geometrisch Brownsche Bewegung
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
ΡZt   u   p
ΡZt   d   1  p
mit t  1,2,3,...und u, d  0
Xt   Xt  1  Zt 
t
Xt   X0    Zk  mit t  1,2,3,...
k 1
4
http://de.wikipedia.org/wiki/Zufall
sbewegung, 31.05.2008
5
Stochastische Prozesse
Satz 1
Einführung
Grundlegendebegriffe
Random Walk
Geometrische Irrfahrten
Allgemeine Irrfahrten
Markov-Eigenschaften
Wiener Prozess
Für den Erwartungswert und die Varianz ergibt sich ein linearer
Trend:
ΕXt   ΕX0  μ  t
σ 2 Xt   σ 2 X0  σ 2  t
Geometrisch Brownsche Bewegung
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
Wegen der Unabhängigkeit der einzelnen Zuwächse und der
Linearität des Erwartungswertes gilt:
t
ΕX0   ΕZk 
k 1
 ΕX0   t  p  u  1  p    d 


Ε  Z  k 
 ΕX0   t  p  u  d   d 



μ
Wiederholung:
X t   X 0   Z k  mit t  1,2,3,...
t
k 1
x    xi  pxi 
i
Z t   u   p
Z t   d   1  p
6
Stochastische Prozesse
Satz 2
Einführung
Grundlegendebegriffe
Random Walk
Für zwei unabhängige Zufallsvariablen gilt:
Geometrische Irrfahrten
Allgemeine Irrfahrten
Markov-Eigenschaften
Wiener Prozess
Geometrisch Brownsche Bewegung
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
7
σ 2 x  y   σ 2 x, y   σ 2 x   σ 2 y



Varianz  x, y 
Stochastische Prozesse
Beweis 1
Einführung
Grundlegendebegriffe
Random Walk
Geometrische Irrfahrten
Allgemeine Irrfahrten
Markov-Eigenschaften
Wiener Prozess
Geometrisch Brownsche Bewegung
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
Für die Varianz erhält man unter Berücksichtigung der
Unabhängigkeit der Zuwächse:
t


σ Xt   σ  X0    Zk 
k 1


t

2
2
 σ X0   σ   Zk 
 k 1

2
2
t
 σ X0    σ 2 Zk 
2
k 1
 σ 2 X0   t  σ 2 Zk 



σ2
Wiederholung:
σ 2 x, y  σ 2 x   σ 2 y



Varianz  x, y 
t
Xt   X0    Zk  mit t  1,2,3,...
k 1
10
Stochastische Prozesse
Beweis 1
Einführung
Grundlegendebegriffe
Random Walk
σ 2 Zk   u  p  u  d  1  p   p   d  p  u  d  1  p   1  p 
2
2
Geometrische Irrfahrten
 u  1  p   d  1  p    p  u  d   1  p 
Allgemeine Irrfahrten
 1  p   u  d   p   p  u  d   1  p 
Markov-Eigenschaften
2
2
Geometrisch Brownsche Bewegung
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells

2

 u  d   1  p   p  p 2  1  p 
2
Wiener Prozess
2
2
 u  d   p  1  p   1  p   p
2
 u  d   p  1  p 
2
Wiederholung:
σ x    x  Εx   px 
2
2
i
i
ΡZt   u   p
ΡZt   d   1  p
11
i
Stochastische Prozesse
Einführung
Grundlegendebegriffe
Random Walk
Geometrische Irrfahrten
Allgemeine Irrfahrten
Markov-Eigenschaften
Wiener Prozess
Geometrisch Brownsche Bewegung
Binomialprozesse sind zur Modellierung von positiven
Zufallsvariablen bzw. Prozessen nur bedingt geeignet, da auch
negative Realisationen möglich sind, und die Größe der
Zuwächse unabhängig vom momentanen Wert sind, was
empirischen Erfahrungen widersprechen kann (z.B. Aktienkurse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
Geometrische Binomialprozesse sind durch eine multiplikative
Rekursion definiert:
t
X t  X t 1  R t  X 0   R k
k 1
Anfangswer t : X 0  0
relative Zuwächse : R 1 , R 2 , R 3 ,...
ΡZt   u   p
ΡZt   d   1  p
mit t  1,2,3,...und
u 1
0  d 1
12
Stochastische Prozesse
Einführung
Grundlegendebegriffe
Random Walk
Geometrische Irrfahrten
Allgemeine Irrfahrten
Markov-Eigenschaften
Wiener Prozess
Geometrisch Brownsche Bewegung
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
Aus der Linearität des Erwartungswertes und der
Unabhängigkeit der Zufallsvariablen folgt:
t


 X t    X 0   Rk 
k 1


 t

  X 0     Rk 
 k 1 
t
  X 0    Rk 
k 1
  X 0   R1 
t
  X 0    t
Dabei gilt:
μ  ΕR1   u  p  d  1  p  p  u  d  d
Wiederholung:
t
X t  X t 1  R t  X 0   R k
k 1
13
Stochastische Prozesse
Einführung
Grundlegendebegriffe
Random Walk
Geometrische Irrfahrten
Durch Logarithmieren erhält man einen Binomialprozess
(=Random Walk):
Allgemeine Irrfahrten
Markov-Eigenschaften
Wiener Prozess
Geometrisch Brownsche Bewegung
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
t
X t  X 0   Rk
k 1
t
t


 t

 ln  X t   ln  X 0   Rk   ln  X 0   ln   Rk   ln  X 0    ln Rk 
k 1
k 1


 k 1 
t
 ln  X t   ln  X 0    ln Rk 

  k 1 
Yt
Y0
Zk
Für große t ist Yt approximativ normalverteilt (Zentraler
Grenzwertsatz!) und somit Xt approximativ lognormalverteilt.
14
Stochastische Prozesse
Einführung
Grundlegendebegriffe
Random Walk
Geometrische Irrfahrten
Allgemeine Irrfahrten
Allgemeinere Irrfahrten ergeben sich zum Beispiel, wenn die
Zuwächse weiterhin als unabhängig und identisch verteilt
angenommen werden,
Markov-Eigenschaften
Wiener Prozess
Geometrisch Brownsche Bewegung
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
Eine Gaußsche Irrfahrt erhalten wir, wenn wir normalverteilte
Zuwächse annehemen:

Z t ~ N μ, σ 2

Wenn der Startwert X0 gleich Null ist, folgt:

X 0  0  Xt  ~ N μ  t, σ 2  t

Wegen des zentralen Grenzwertsatzes gilt für beliebig identisch
verteilte Zuwächse:
a

X t ~ N μ  t, σ 2  t

mit μ  ΕZ1 , σ 2  Var Z1 
15
Stochastische Prozesse
Einführung
Grundlegendebegriffe
Random Walk
Geometrische Irrfahrten
Allgemeine Irrfahrten
Markov-Eigenschaften
Stochstische Prozesse mit unabhängigen Zuwächsen, besitzen
die Markov-Eigenschaft:
Ρa  Xt 1  b X t  x t ,..., X1  x1 , X0  x 0   Ρa  Xt 1  b X t  x t 
Wiener Prozess
Geometrisch Brownsche Bewegung
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
Bei bekannter Gegenwart sind Zukunft und Vergangenheit
(bedingt) unabhängig.
Insbesondere Irrfahrten der Form Xt   Xt 1  Zt sind
stochstische Prozesse mit unabhängigen Zuwächsen.
Geometrische Irrfahrten sind zwar keine Prozesse mit
unabhängigen Zuwächsen, sie besitzen jedoch gemäß ihrer
Definition offensichtlich die Markov-Eigenschaft:
Zt  X t  X t 1  X t 1  R t  1
16
Stochastische Prozesse
Einführung
Grundlegendebegriffe
Random Walk
Geometrische Irrfahrten
Ein stochastischer Prozess {X(t), t0} heißt geometrische
Brownsche Bewegung, wenn gilt:
Allgemeine Irrfahrten
Markov-Eigenschaften
Wiener Prozess
Geometrisch Brownsche
Bewegung
a) X(0)=1
b) Für 0<st sind die Zufallsvariablen X(t)/X(s) und X(s)
unabhängig
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
c) Für 0<st sind die logarithmierten Quotienten der
Zufallsvariablen normalverteilt:
 X t  
 ~ N   t  s ,  2  t  s 
ln 
 X s  

d) Die Pfade sind stetig
21

Stochastische Prozesse
Einführung
Grundlegendebegriffe
Random Walk
Geometrische Irrfahrten
Allgemeine Irrfahrten
Markov-Eigenschaften
Wiener Prozess
Geometrisch Brownsche
Bewegung
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
22
Die geometrische Brownsche Bewegung ist auch Lösung der
speziellen stochastischen Differentialgleichung der Form:
dXt   μ  Xt   dt  σ  Xt   dW t 
dXt 
 μ  Xt 
dt
dXt 

 σ  Xt 
dW t 



σ2 
 Xt   X0   exp      t  σ  W t 
2 


?
http://de.wikipedia.org/wiki/Geom
etrische_brownsche_Bewegung,
31.05.2008
23
https://www.cortalconsors.de/
euroWebDe/-, 31.05.2008
24
Aktienkurs von Henkel AG &Co. KGAA
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Unternehmenswert
Bilanz
Black-Scholes-Modell
Lognormalverteilung
Aktiva
Standardnormalverteilung
Herleitung der
Ausfallwahrscheinlichkeit
Passiva
Vermögen = A
Barwert einer Nullkuponanleihe
Eigenkapital = S
Fremdkapital = K
Einführung in das Einfaktormodell
Nebenrechnungen
Quantil
Assetkorrelation
Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit
Mehrdimensionaler Zufallsvektor
Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit
Chauchy-Schwarz
Wertebereich Korrelationskoeffizient
Zusammenhang zwischen Asset
und Ausfallkorrelation
Zerlegung der latenten Variablen
Anwendungen des Faktormodells
25
Unternehmenswert zum Zeitpunkt T = AT:
A T  Max 0; A T  K   K  Max 0; K  A T 



AT  K 


Zahlungsanspruch EK  Geber
 K  K  A T 



Zahlungsanspruch FK  Geber
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Unternehmenswert
Black-Scholes-Modell
Lognormalverteilung
Standardnormalverteilung
Im Zeitpunkt T sind folgende Fälle zu unterscheiden:
a) ATK
Herleitung der
Ausfallwahrscheinlichkeit
•
Das Fremdkapital K wird zurückgezahlt
Barwert einer Nullkuponanleihe
•
Der Restwert des Unternehmens für die Aktionäre
beträgt AT-K 0
Einführung in das Einfaktormodell
Nebenrechnungen
Quantil
Assetkorrelation
Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit
b) AT<K
•
Die Fremdkapitalgeber erhalten den Restwert des
Unternehmens. D.h., dass die Schuld nicht vollständig
getilgt werden kann. Ein Ausfall ist somit eingetreten
•
Die Eigenkapitalgeber (Aktionäre) erhalten nichts, die
Aktien sind wertlos
Mehrdimensionaler Zufallsvektor
Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit
Chauchy-Schwarz
Wertebereich Korrelationskoeffizient
Zusammenhang zwischen Asset
und Ausfallkorrelation
Zerlegung der latenten Variablen
Anwendungen des Faktormodells
26
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Unternehmenswert
Black-Scholes-Modell
Lognormalverteilung
Standardnormalverteilung
Herleitung der
Ausfallwahrscheinlichkeit
Barwert einer Nullkuponanleihe
Einführung in das Einfaktormodell
Nebenrechnungen
Quantil
Assetkorrelation
Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit
Mehrdimensionaler Zufallsvektor
Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit
Chauchy-Schwarz
Das Auszahlungsprofil ist in der Abbildung dargestellt.
Links: aus Sicht der Eigenkapitalgeber
Rechts: aus Sicht der Fremdkapitalgeber
Wertebereich Korrelationskoeffizient
Zusammenhang zwischen Asset
und Ausfallkorrelation
Zerlegung der latenten Variablen
Anwendungen des Faktormodells
27
Put- und Calloption
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Unternehmenswert
Black-Scholes-Modell
Lognormalverteilung
Annahmen im Modell von Black-Scholes:
Standardnormalverteilung
a) Markt lässt keine Arbitragemöglichkeit zu
Herleitung der
Ausfallwahrscheinlichkeit
b) Keine Dividenden
Barwert einer Nullkuponanleihe
c) Zinssatz r bekannt und fest
Einführung in das Einfaktormodell
Nebenrechnungen
d) Volatilität des Underlyings bekannt und fest
Quantil
Assetkorrelation
e) Keine Transaktionskosten
Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit
Mehrdimensionaler Zufallsvektor
f) Zeitlich kontinuierlicher Handel möglich
Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit
g) Beliebig kleine Stückelung des Underlyings
Chauchy-Schwarz
Wertebereich Korrelationskoeffizient
h) Leerverkauf des Underlyings möglich
Zusammenhang zwischen Asset
und Ausfallkorrelation
i) Geldleihe
Zerlegung der latenten Variablen
Anwendungen des Faktormodells
28
j) Lognormalverteilung des Aktienkurses
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Unternehmenswert
Black-Scholes-Modell
Lognormalverteilung des Aktienkurses
Lognormalverteilung
Standardnormalverteilung
Herleitung der
Ausfallwahrscheinlichkeit
Barwert einer Nullkuponanleihe
Einführung in das Einfaktormodell
Nebenrechnungen
Quantil
Assetkorrelation
Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit
Mehrdimensionaler Zufallsvektor
Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit
Chauchy-Schwarz
Wertebereich Korrelationskoeffizient
Zusammenhang zwischen Asset
und Ausfallkorrelation
Zerlegung der latenten Variablen
Anwendungen des Faktormodells
29
A 
ln  T  ~ N μ  T; σ 2  T
 A0 


2
  A 


  ln  T   μ  T  
 
   A 0 
1

f A T  
exp 

2
2

σ

T
2 πT σ






Black-Scholes-Merton-Formel: (Herleitung: Lemm, J. (2006): „Binomialmodell für
Optionen“)
A 0  Aktienkurs heute
rc  risikolose r Zins
K  Strike
T  Laufzeit der Option
C 0  Wert der Option
C 0  A 0  Φd1   e  rC T  K  Φd 2 
2
 A 0  e rC T  σ 2
A0  
σ2 

A
σ


0
   T ln 
ln 
   rC    T
  rC  T   T ln 
K
2
K
2 

 
K 
2

d1  
 

σ T
σ T
σ T
2
 A 0  e rC T  σ 2
A0  
σ2 

A
σ


0
   T ln 
ln 
   rC    T
  rC  T   T ln 
K
2
K
2 

 
K 
2

d2  
 

 d1  σ  T
σ T
σ T
σ T
x
z2

1
Φx  
  e 2  dz
2  π 
30
Stochastische Prozesse
Satz 3
Vorbereitungen für das Faktormodell
Unternehmenswert
Black-Scholes-Modell
Erwartungswert der Lognormalverteilung:
Lognormalverteilung
Standardnormalverteilung
Herleitung der
Ausfallwahrscheinlichkeit
Barwert einer Nullkuponanleihe
 σ2 
Ex   exp μ  
2

Einführung in das Einfaktormodell
Nebenrechnungen
Quantil
Assetkorrelation
Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit
Mehrdimensionaler Zufallsvektor
Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit
Chauchy-Schwarz
Wertebereich Korrelationskoeffizient
Zusammenhang zwischen Asset
und Ausfallkorrelation
Zerlegung der latenten Variablen
Anwendungen des Faktormodells
31
r  normalvert eilte Rendite
x  lognormalv erteilter Kurs
 r  μ 2 
1
pr  
 exp 
2 
2π σ
 2σ 
x  e r  r  ln x   dr 
pr   dr  px r  
1
 dx
x
dr
 dx
dx
1
pr   dr  px r    dx
x
 ln x   μ 2 
1
px  
 exp 

2
2

σ
2π σx


Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Unternehmenswert
Black-Scholes-Modell
Lognormalverteilung
Standardnormalverteilung
Herleitung der
Ausfallwahrscheinlichkeit
Barwert einer Nullkuponanleihe
Einführung in das Einfaktormodell
Nebenrechnungen
Quantil
Assetkorrelation
Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit
Mehrdimensionaler Zufallsvektor
Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit
Eine besondere Rolle spielt die Standardnormalverteilung.
Oftmals führt man normalverteilte Zufallsvariablen auf ihr
standardisiertes Analogon zurück. Dies ist in der Regel ohne
Informationsverlust möglich, da die Standardisierung lediglich
eine lineare Transformation ist.
 x  μ 2 
1
X ~ N μ, σ  f x  
 exp 
2 
2

σ
2 πσ



2

 z2 
X μ
1
Z
 f z  
 exp  
σ
2 π
 2
Z ~ N0,1
Chauchy-Schwarz
Wertebereich Korrelationskoeffizient
Zusammenhang zwischen Asset
und Ausfallkorrelation
Zerlegung der latenten Variablen
Anwendungen des Faktormodells
33
Zur Transformation der Log-Renditen in eine
standardnormalverteilte Zufallsvariable definieren wir Z durch:
A 
ln  T   μ  T
 A0 
 Z ~ N0;1
σ T
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Unternehmenswert
Black-Scholes-Modell
Lognormalverteilung
Standardnormalverteilung
Damit lässt sich die Verteilungsfunktion F einer N(,2)-verteilten
Zufallsvariable X durch die Verteilungsfunktion  der
Standardnormalverteilung ausdrücken:
Herleitung der
Ausfallwahrscheinlichkeit
Barwert einer Nullkuponanleihe
Einführung in das Einfaktormodell
Nebenrechnungen
Quantil
Assetkorrelation
Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit
Mehrdimensionaler Zufallsvektor
Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit
Chauchy-Schwarz
Wertebereich Korrelationskoeffizient
Zusammenhang zwischen Asset
und Ausfallkorrelation
Zerlegung der latenten Variablen
Anwendungen des Faktormodells
34
X μ
σ
Z ~ N0,1
Z
 X μ x μ 
FX   ΡX  x   Ρ


σ 
 σ
x μ 

 x μ 
 Ρ Z 
  Φ

σ 

 σ 
Für die risikoneutrale Ausfallwahrscheinlichkeit gilt im Merton-Modell bei einem zur
Zeit 0 noch nicht ausgefallenen Unternehmen:
PD  1  d2    d2 
1
0,75
F(x)
0,4
0,5
0,3
f(x)
0,25
0,2
0
0,1
-3
-1
1
x
0
-4
-2
0
x
2
4
Φx ist streng monoton steigend
Deshalb existiert Φ -1 x 
Man beachte, dass es sich hierbei um risikoneutrale Ausfallwahrscheinlichkeiten
handelt.Die Distance to Default –d2 gibt einen Abstand bis zum Ausfall des
Unternehmens an. Dies ist ein zentraler Parameter im Merton-Modell
35
3
Satz 4
Überlebens wahrschein lichkeit :

ΡA T  K    f A T   dA T 
K

  z  dz
 K
ln 
 A0
σ

 μ T

T
z y
 

   y  dy
A
ln  0
 K
σ

  μ T

T
A
ln  0
 K
σ
   y   y 


  μ T

T
  A0 

 ln 
  μ T 
  K 




y

dy

Φ



σ T




Ausfallwah rscheinlic hkeit :
  A0 



A 
 ln 
 ln  0   μ  T 
  μ T 
K 
  Φ   K 
  Φ d 
ΡA T  K   1  ΡA T  K   1  Φ 
2




σ T
σ T








Man beachte, dass es sich hierbei um risikoneutrale
Ausfallwahrscheinlichkeiten handelt. Die Distance to default –d2 gibt einen
Abstand bis zum Ausfall des Unternehmens an
37
Stochastische Prozesse
Satz 5
Vorbereitungen für das Faktormodell
Unternehmenswert
Black-Scholes-Modell
Lognormalverteilung
Der Barwert der Kreditrisikobehafteten Nullkuponanleihe PT=K(K-AT)+ zum Zeitpunkt t[0;T] ist:
Standardnormalverteilung
Herleitung der
Ausfallwahrscheinlichkeit
Barwert einer Nullkuponanleihe
Einführung in das Einfaktormodell
Nebenrechnungen
Quantil
Assetkorrelation
Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit
Mehrdimensionaler Zufallsvektor
Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit
Chauchy-Schwarz
Wertebereich Korrelationskoeffizient
Zusammenhang zwischen Asset
und Ausfallkorrelation
Zerlegung der latenten Variablen
Anwendungen des Faktormodells
43
Pt  A t  Φ d1 t, T   K  exp  r  T  t  Φ d 2 t, T 
i 1

 A t    1
ln     r 
 σ 2A   T  t 
2
K 

mit : d i t, T  
σA  T  t
Stochastische Prozesse
Beweis 5
Vorbereitungen für das Faktormodell
Unternehmenswert
Black-Scholes-Modell
Lognormalverteilung
Standardnormalverteilung
Herleitung der
Ausfallwahrscheinlichkeit
Barwert einer Nullkuponanleihe
Einführung in das Einfaktormodell
Nebenrechnungen
Quantil
Assetkorrelation
Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit
Per Konstruktion ist Pt bei Fälligkeit die Differenz aus einem
Zerobond mit Nominal K und einer Put-Option auf den
Firmenwert mit Strike K. Dann ist Pt zur Zeit tT damit gleich der
Differenz der Barwerte dieser Instrumente:
d i  d i t, T 
Pt  K  exp  r  T  t  K  exp  r  T  t  Φ d 2   A t  Φ d1 
 K  exp  r  T  t 1  Φ d 2   A t  Φ d1 
 A t  Φ d1   K  exp  r  T  t Φd 2 
Mehrdimensionaler Zufallsvektor
Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit
Chauchy-Schwarz
Wertebereich Korrelationskoeffizient
Zusammenhang zwischen Asset
und Ausfallkorrelation
Zerlegung der latenten Variablen
Anwendungen des Faktormodells
Wiederholung:
C 0  A 0  Φd1   e  rC T  K  Φd 2 
44
?
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Unternehmenswert
Black-Scholes-Modell
Lognormalverteilung
Standardnormalverteilung
i  1,2,3,..., m
p i  ΡR i  ci 
R i  ρi  Y  1  ρi  ε i
Herleitung der
Ausfallwahrscheinlichkeit
Barwert einer Nullkuponanleihe
Einführung in das
Einfaktormodell
Nebenrechnungen
Quantil
Assetkorrelation
Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit
Mehrdimensionaler Zufallsvektor
Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit
Chauchy-Schwarz
Wertebereich Korrelationskoeffizient
Zusammenhang zwischen Asset
und Ausfallkorrelation
Zerlegung der latenten Variablen
Anwendungen des Faktormodells
48
Y, ε1 , ε 2 ,..., ε m ~ N0;1identicall y independen t distribute d i.i.d. 
https://www.cortalconsors.de/,
31.05.2008
Blau: Bear Stearns Cos. Inc.
49
https://www.cortalconsors.de/,
31.05.2008
Grün: DAX
Blau: Deutsche Bank
50
https://www.cortalconsors.de/,
31.05.2008
Grün: SMI
Blau: Novartis
51
https://www.cortalconsors.de/,
31.05.2008
Grün: Dow Jones Industrial Average
Blau: General Electrics
52
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Unternehmenswert
Black-Scholes-Modell
Lognormalverteilung
Aus den getroffenen Normalverteilungsannahmen erhalten
wir:
Standardnormalverteilung
Herleitung der
Ausfallwahrscheinlichkeit
Barwert einer Nullkuponanleihe
Einführung in das
Einfaktormodell
Nebenrechnungen
Quantil
Assetkorrelation
Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit
Mehrdimensionaler Zufallsvektor

 
ΕR i   Ε ρ i  Y  Ε 1  ρ i  ε i

Y   1  ρi  Ε
ε i   0
 ρi  Ε

0



0
Var R i   Var ρ i  Y  Var 1  ρ i  ε i

 ρ i  Var Y   1  ρ i   Var ε i   1


1
1
Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit
Chauchy-Schwarz
Wertebereich Korrelationskoeffizient
Zusammenhang zwischen Asset
und Ausfallkorrelation
Zerlegung der latenten Variablen
Anwendungen des Faktormodells
Wiederholung:
R i  ρi  Y  1  ρi  ε i
53
Stochastische Prozesse
Satz 6
Vorbereitungen für das Faktormodell
Unternehmenswert
Black-Scholes-Modell
Lognormalverteilung
Standardnormalverteilung
Herleitung der
Ausfallwahrscheinlichkeit
Barwert einer Nullkuponanleihe
Einführung in das Einfaktormodell
Nebenrechnungen
Quantil
Assetkorrelation
Die Variable Ri ist als Linearkombination zweier unabhängiger
standardnormalverteilter Zufallsvariablen ebenfalls
standardnormalverteilt:
zxy
x2

1
f x  
e 2
2 π
2
Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit
Mehrdimensionaler Zufallsvektor
Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit
Chauchy-Schwarz
Wertebereich Korrelationskoeffizient
Zusammenhang zwischen Asset
und Ausfallkorrelation
Zerlegung der latenten Variablen
Anwendungen des Faktormodells
55
y

1
f y  
e 2
2 π
2
z

1
f z  
e 2
2 π
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Unternehmenswert
Black-Scholes-Modell
Lognormalverteilung
Standardnormalverteilung
Herleitung der
Ausfallwahrscheinlichkeit
Barwert einer Nullkuponanleihe
Einführung in das Einfaktormodell
Nebenrechnungen
Quantil
Assetkorrelation
Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit
Mehrdimensionaler Zufallsvektor
Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit
Chauchy-Schwarz
Wertebereich Korrelationskoeffizient
Zusammenhang zwischen Asset
und Ausfallkorrelation
Zerlegung der latenten Variablen
Anwendungen des Faktormodells
57
Als Quantil der Ordnung p (oder p-Quantil)wird in der Statistik
ein Merkmalswert bezeichnet unterhalb dessen ein vorgegebner
Anteil p aller Fälle der Verteilung liegt. Dabei ist p eine reelle
Zahl zwischen 0 und 1.
Allgemeiner wird in der Mathematik das p-Quantil wie folgt
definiert:
Sei X eine Zufallsvariable und F ihre Verteilungsfunktion, so
heißt für p{0; 1} die durch unten angegebene Funktion
definierte Funktion F-1 Quantilfunktion. F-1(p) wird als p-Quantil
von F bezeichnet
http://de.wikipedia.org/wiki/Qu
antil, 31.05.2008
58
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Unternehmenswert
Black-Scholes-Modell
Lognormalverteilung
Der Schwellenwert ci ist folglich ein Quantil der
Standardnormalverteilung:
Standardnormalverteilung
Herleitung der
Ausfallwahrscheinlichkeit
Barwert einer Nullkuponanleihe
Einführung in das Einfaktormodell
Nebenrechnungen
Quantil
Assetkorrelation
2
x

1
 x  
e 2
2 π
x
x
2
y

1
Φx     y   dy 
  e 2  dy
2  π 

ci  Φ -1 p i 
Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit
Mehrdimensionaler Zufallsvektor
Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit
Chauchy-Schwarz
Wertebereich Korrelationskoeffizient
Zusammenhang zwischen Asset
und Ausfallkorrelation
Zerlegung der latenten Variablen
Anwendungen des Faktormodells
Wiederholung:


X ~ N μ, σ 2  f x  
Z
 z2 
X μ
1
 f z  
 exp  
σ
2 π
 2
Z ~ N0,1
59
 x  μ 2 
1
 exp 
2 
2 πσ
 2σ 
Stochastische Prozesse
Satz 7
Vorbereitungen für das Faktormodell
Unternehmenswert
Black-Scholes-Modell
Lognormalverteilung
 
Var x   Ε x 2  Εx 
Covx, y   Εx  Εx   y  Εy 
 Εx  y  y  Εx   x  Εy   Εx   Εy 
Standardnormalverteilung
 Εx  y   Εx   Εy 
Herleitung der
Ausfallwahrscheinlichkeit
Barwert einer Nullkuponanleihe
Einführung in das Einfaktormodell
2
Corr x, y  
Covx, y 
Var x   Var y 
Nebenrechnungen
Quantil
Assetkorrelation
Mehrdimensionaler Zufallsvektor
Die Korrelation der latenten Variablen zweier verschiedener
Kreditnehmer ist:
Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit
i j
Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit
Chauchy-Schwarz
Corr R i , R j   ρ i  ρ j
Wertebereich Korrelationskoeffizient
Zusammenhang zwischen Asset
und Ausfallkorrelation
Zerlegung der latenten Variablen
Anwendungen des Faktormodells
60
Man spricht bei dieser Korrelation auch von Assetkorrelation
zweier Kreditnehmer
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Unternehmenswert
Black-Scholes-Modell
Ausfallwahrscheinlichkeit im Einfaktormodell
Lognormalverteilung
Standardnormalverteilung
Herleitung der
Ausfallwahrscheinlichkeit
pi  ΡR i  ci 
Barwert einer Nullkuponanleihe
Einführung in das Einfaktormodell
Nebenrechnungen
Quantil
Assetkorrelation
Bedingte
Ausfallwahrscheinlichkeit
Mehrdimensionaler Zufallsvektor
Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit
Chauchy-Schwarz
Wertebereich Korrelationskoeffizient
Zusammenhang zwischen Asset
und Ausfallkorrelation
Zerlegung der latenten Variablen
Anwendungen des Faktormodells
62
Erwähnenswert ist die Eigenschaft der bedingten
Unabhängigkeit der Kreditnehmer, gegeben eine Realisierung
Y=y des systematischen Faktors Y. Die Unabhängigkeit der
Kreditausfälle – gegeben Y=y – legt nahe die bedingten
Ausfallwahrscheinlichkeiten etwas näher zu betrachten:
Ρ1D i  1 Y  y
Di 
 ρ Y 
i
1  ρ i  ε i  ci

p i y   ΡR i  ci Y  y 

 Ρ ρi  Y  1  ρi  ε i  ci Y  y


c  ρi  Y
 Ρ ε i  i
Y  y


1  ρi


ε i ist normalvert eilt
 c  ρi  y 

 Φ i

1  ρ i 


Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Unternehmenswert
Black-Scholes-Modell
Lognormalverteilung
Standardnormalverteilung
Herleitung der
Ausfallwahrscheinlichkeit
Die unbedingte Ausfallwahrscheinlichkeit geht in die bedingte
Ausfallwahrscheinlichkeit über folgenden Zusammenhang ein:
ci  Φ 1 pi 
Barwert einer Nullkuponanleihe
Einführung in das Einfaktormodell
Nebenrechnungen
Quantil
Assetkorrelation
Bedingte
Ausfallwahrscheinlichkeit
Mehrdimensionaler Zufallsvektor
Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit
Chauchy-Schwarz
Ein gemeinsamer Ausfall tritt dann und nur dann ein, wenn am
Evaluierungshorizont T die Ausfallereignisse für beide
Kreditnehmer eingetreten sind. Stochastisch gesprochen hängt
also die Wahrscheinlichkeit für das simultane Ausfallereignis von
der gemeinsamen Verteilung von Ri und Rj ab.
Wertebereich Korrelationskoeffizient
Zusammenhang zwischen Asset
und Ausfallkorrelation
Zerlegung der latenten Variablen
Anwendungen des Faktormodells
Wiederholung:
i j
CovR i , R j   ρ i ρ j
63
Die Mehrdimensionale Normalverteilung ist ebenso wie ihr eindimensionales Pendant
eine stetige Verteilung, so dass eine Dichte existiert:
f X  
 1

T
 exp   X  μ   Σ 1  X  μ 
 2

2  π p  Det Σ 
1
Für p=2 sprechen wir von einer bivarianten Normalverteilung:

1
f x1 , x 2  
 exp 
2
2  π  σ1  σ 2  1  ρ 2
 2  1  ρ
1


2
 x  μ  2
x1  μ1 x 2  μ 2  x 2  μ 2   
1
1
  2  ρ 
  
 

 
σ1
σ2
σ
 σ1 
2

  
Für den Fall, dass X1 und X2 standardnormalverteilt sind, vereinfacht sich die Dichte
der bivarianten Normalverteilung:
Φ 2 x1 , x 2 , ρ  
66




1
 exp 
 x12  2  ρ  x1  x 2  x 22 
2
2  π  σ1  σ 2  1  ρ 2
 2  1 ρ

1

http://de.wikipedia.org/wiki/Stand
ardnormalverteilung, 31.05.2008
67
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Unternehmenswert
Black-Scholes-Modell
Lognormalverteilung
Standardnormalverteilung
Herleitung der
Ausfallwahrscheinlichkeit
Barwert einer Nullkuponanleihe
Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit:


Ρ 1Di  1,1D j  1  ΡR i  ci , R j  c j 

 Φ 2 ci , c j , ρi  ρ j

Einführung in das Einfaktormodell
Nebenrechnungen
Quantil
Assetkorrelation
Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit
Mehrdimensionaler Zufallsvektor
Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit
Chauchy-Schwarz
Wertebereich Korrelationskoeffizient
Zusammenhang zwischen Asset
und Ausfallkorrelation
Zerlegung der latenten Variablen
Anwendungen des Faktormodells
68
Da ci und cj über ci=-1(pi) und cj=-1(pj) von den
Ausfallwahrscheinlichkeiten abhängen, hängt auch die
gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit von den
Ausfallwahrscheinlichkeiten pi und pj ab. Als dritter Parameter
geht in die gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit die
Assetkorrelation zwischen den betrachteten Kreditnehmern ein.
Eine analoge Gleichung kann für die gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit für k der m Kreditnehmer im Portfolio
(km) hergeleitet werden.
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Unternehmenswert
Black-Scholes-Modell
Lognormalverteilung
Standardnormalverteilung
Herleitung der
Ausfallwahrscheinlichkeit
Umrechnung von Assetkorrelationen ij in Ausfallkorrelationen
Corr(1Di,1Dj):


Einführung in das Einfaktormodell
Quantil
Assetkorrelation
Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit
Mehrdimensionaler Zufallsvektor
Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit
Chauchy-Schwarz

   
Zerlegung der latenten Variablen
Anwendungen des Faktormodells

 Φ 2 ci , c j , ρi  ρ j
  


Ε 1Di  Ε 1D j  p i  p j

 Εp1  11 p Ε 1p 1Ε1p 
Corr 1Di ,1D j 
Di
i

Wertebereich Korrelationskoeffizient
Zusammenhang zwischen Asset
und Ausfallkorrelation

 Ρ 1Di  1,1D j  1
Barwert einer Nullkuponanleihe
Nebenrechnungen

Ε 1Di 1D j  1  Ρ 1Di  1,1D j  1  0  1  Ρ 1Di  1,1D j  1


Dj
i
Di
Dj
j
j

Φ 2 ci , c j , ρ i  ρ j  pi  p j
p i  1  p i   p j  1  p j 


Φ 2 Φ 1 p i , Φ 1 p j , ρ i  ρ j  p i  p j
p i  1  p i   p j  1  p j 
Wiederholung:
Ρ1  1,1  1  ΡR  c , R
Di

Dj
 Φ 2 ci , c j , ρi  ρ j
74

i
i
j
 cj
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Unternehmenswert
Black-Scholes-Modell
Lognormalverteilung
Standardnormalverteilung
Herleitung der
Ausfallwahrscheinlichkeit
Barwert einer Nullkuponanleihe
Die Faktordarstellung erlaubt die Zerlegung der latenten
Variablen Ri in eine systematische Komponente (gegeben durch
die Variable Y) und einen kreditnehmerspezifischen Effekt i.
Man kann die (quadrierte) Schwankung der latenten Variablen
eines Kreditnehmers wie folgt zerlegen
Einführung in das Einfaktormodell
Nebenrechnungen
Quantil
Assetkorrelation
Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit
Mehrdimensionaler Zufallsvektor
Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit




Var R i   Var ρ i  Y  Var 1  ρ i  ε i
 
systematisch
spezifisch
 ρ i  Var Y   1  ρ i   Var ε i   1


1
1
Chauchy-Schwarz
Wertebereich Korrelationskoeffizient
Zusammenhang zwischen Asset
und Ausfallkorrelation
Zerlegung der latenten Variablen
Anwendungen des Faktormodells
Wiederholung:
R i  ρi  Y  1  ρi  ε i
75
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
Analytische Herleitung der
Verlsutverteilung
Mehrfaktormodell
Wir betrachten ein Portfolio mit m Kreditnehmern:
Beispiel
i  1,2,3,..., m
Y, ε1 , ε 2 ,, ε m ~ N0,1identicall y independen t distribute d iid 
Ratingklassenübergänge
R i  ρi  Y  1  ρi  ε i
Vergleich von CreditMetrics mit
CreditRisk+
R i  ρ  Y  1  ρ  εi
Ausfallwahrscheinlichkeiten im
Mehrfaktormodell
Wir nehmen also vereinfachend an, dass die Assetkorrelation für
alle Kreditnehmer gleich ist. Im Weiteren nehmen wir an, dass
für alle Kreditnehmer die Kredithöhe (Exposure) Li=1 und die
Schwellenwerte gleich sind: ci=c. Mit Hilfe des Satzes der
Totalen Wahrscheinlichkeit, erhalten wir für die
Wahrscheinlichkeit für genau n Ausfälle:

ΡX  n    ΡX  n Y  y  y   dy

76
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
Analytische Herleitung der
Verlsutverteilung
Mehrfaktormodell
Ausfallwahrscheinlichkeiten im
Mehrfaktormodell
Beispiel
Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit
CreditRisk+
Bei gegebenem treibendem Faktor Y=y ist die
Wahrscheinlichkeit für genau n Ausfälle in dem Portfolio, wenn
wir annehmen, dass pi=pj für alle i,j{1,2,…,m}

m
n
mn
ΡX  n Y  y     py   1  py 
n

Hier ist auch die bedingte Unabhängigkeit der Ausfälle im
Portfolio eingegangen (Unabhängig bis auf die Ausprägung von
Y)
77
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
Analytische Herleitung der
Verlsutverteilung
Mehrfaktormodell
Ausfallwahrscheinlichkeiten im
Mehrfaktormodell
Beispiel
Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit
CreditRisk+
78
Die bedingte Aufallwahrscheinlichkeit eines einzelnen
Kreditnehmers ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass der Wert
der Firma Ri unter den Schwellenwert c sinkt, unter der
Bedingung, dass Y=y ist.

py   ΡR i T   c Y  y  Ρ ρ  Y  1  ρ  ε i  c Y  y


c ρ y
c  ρ Y

 Ρ ε i 
Y  y  Φ


1 ρ


 1 ρ 

Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
Analytische Herleitung der
Verlsutverteilung
Mehrfaktormodell
Ausfallwahrscheinlichkeiten im
Mehrfaktormodell
Beispiel
Ratingklassenübergänge

ΡX  n    ΡX  n Y  y  y   dy


m
n
mn
ΡX  n Y  y     py   1  py 
n

c ρ y

p  y   Φ
 1 ρ 


Vergleich von CreditMetrics mit
CreditRisk+
mn
n

 c  ρ  y  
 m    c  ρ  y  
     y   dy
ΡX  n       Φ
 1  Φ



 


n
1

ρ
1

ρ

 
 

 
 

mn
n

 c  ρ  y  
 m     c  ρ  y  
     y   dy
ΡX  a         Φ
 1  Φ
 1 ρ  
 1 ρ  
n 0  n    
 

 

a
79
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
Analytische Herleitung der
Verlsutverteilung
Mehrfaktormodell
Ausfallwahrscheinlichkeiten im
Mehrfaktormodell
Beispiel
Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit
CreditRisk+
In einem Portfolio mit sehr vielen Kreditnehmern (m) liefert
das Gesetz der großen Zahlen, wobei X jetzt die relative
Häufigkeit der Ausfälle darstellt.
ΡX  py Y  y  1
Somit kommen wir zu:




ΡX  x    ΡX  x Y  y  y   dy   ΡX  py   x Y  y  y   dy

  1p  y  x   y   dy


y z

   y   dy      z   dz
 y
y
    z   dz

y

   z   z  y

  z  dz  Φy 


Wir haben y so gewählt, dass p(-y)=x und p(y)x für y>y
80
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
Analytische Herleitung der
Verlsutverteilung
Mehrfaktormodell
Ausfallwahrscheinlichkeiten im
Mehrfaktormodell
Beispiel
Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit
CreditRisk+
p  Φc   c  Φ 1 p 
c ρ y

p  y   Φ
 1 ρ 


 c  ρ  y 

x  Φ

1  ρ 

Φ x  
1
c  ρ  y
1 ρ
1  ρ  Φ 1 x   c  ρ  y
ρ  y  1  ρ  Φ 1 x   c

y 

y 
1  ρ  Φ 1 x   c
ρ
1  ρ  Φ 1 x   Φ 1 p 
ρ
Wiederholung:
c ρ y

p  y   Φ
 1 ρ 


 
p - y*  x
81
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
Analytische Herleitung der
Verlsutverteilung
Mehrfaktormodell
Ausfallwahrscheinlichkeiten im
Mehrfaktormodell
Beispiel
Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit
CreditRisk+
Mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse, erhalten wir für die
Verlustfunktion, des realtiven Verlustes X
 1  ρ  Φ 1 x   Φ 1 p  

Fx   ΡX  x   Φ


ρ


f x  


2
1

1 ρ
1
Fx  
 exp   Φ 1 x  
 Φ 1 p   1  ρ  Φ 1 x  
x
ρ
2ρ
2

Wiederholung:
y 
1  ρ  Φ 1 x   Φ 1 p 
ρ
 
ΡX  x   Φ y
82

Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
Analytische Herleitung der
Verlsutverteilung
Mehrfaktormodell
Die bisherigen Ergebnisse können auf mehrere treibende
Faktoren Yj der Assetwerte der Kreditnehmer erweitert werden
Ausfallwahrscheinlichkeiten im
Mehrfaktormodell
Beispiel
Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit
CreditRisk+
Die Assetwerte (asset values) eines Kreditnehmers (einer Firma)
werden duch einen Faktor Y von J möglichen treibenden
Faktoren beeinflusst. Jeder treibende Faktor beeinflusst den
Wert des Assets der n-ten Firma mit einem Gewicht nj. n nennt
man den Gewichtsvektor der n-ten Firma.
J
R n   β nj  Yj  ε n
j1
Y ~ N0, Ω Y 

ε n ~ N 0, ω 2n

Y, ε1 , ε 2 ,..., ε m sind unabhängig
Die n-te Firma ist genau dann ausgefallen, wenn der Firmenwert
unter die kritische Schranke cn.
83
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
Analytische Herleitung der
Verlsutverteilung
Mehrfaktormodell
Ausfallwahrscheinlichkeiten im
Mehrfaktormodell
Eine weitere Verallgemeinerung des Modells erhalten wir, wenn
wir Ratingklassen einführen, die es uns ermöglichen
Veränderungen im Marktwert der Werte im Portfolio vor einem
Ausfall zu modellieren.
Beispiel
Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit
CreditRisk+
Wir führen Ratingklassen-Übergänge ein, die beeinflusst werden
durch Veränderungen der Vermögenswerte (asset values) Rn,
wenn die Firmenwerte bestimmte Schwellenwerte ckl
unterschreiten.
ckl ist der Schwellenwert für einen Übergang von Ratingklasse k
zu Ratingklasse l.
Wenn sich das Rating des Obligors (Kreditnehmers) n von der
Ratingklasse k zu l verändert, dann verliert der Kredit (die
Anleihe) den Wert (Ln=Exposure=Höhe des Kredits) kl·Ln:
90
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
Analytische Herleitung der
Verlsutverteilung
Mehrfaktormodell
Ausfallwahrscheinlichkeiten im
Mehrfaktormodell
Beispiel
Von der bedingten Wahrscheinlichkeit der
Ratingklassenübergänge und der dazugehörigen
Wertveränderung der Anleihe kl, können wir den bedingten
Erwartungswert und die bedingte Varianz des Wertes der
Anleihe des Kreditnehmers n angeben:
Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit
CreditRisk+
μ n y    L n  π kl  p kln y 
l
σ y    L n  π kl  μ n y   p kln y 
2
2
n
l
92
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
Analytische Herleitung der
Verlsutverteilung
Mehrfaktormodell
Ausfallwahrscheinlichkeiten im
Mehrfaktormodell
Wir nehmen für die bedingte Verteiteilung (bedingt bezüglich
einer Realsiation der Zufallsvariablen Y) des Portfoliowerts eine
Normalverteilung mit folgendem Mittelwert und Varianz an:
Beispiel
Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit
CreditRisk+
N
μ y    μ n y 
n 1
N
σy    σ 2n y 
n 1
Wenn die Anzahl der Kredite (Anleihen) in dem Portfolio
groß ist, ist dies eine gute Approximation
94
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
Analytische Herleitung der
Verlsutverteilung
Mehrfaktormodell
Ausfallwahrscheinlichkeiten im
Mehrfaktormodell
Beispiel
Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit
CreditRisk+
Bei Verwendung dieser Approximation wird die bedingte
Verteilung des Portfoliowertes eine Standard-normalverteilung
 x  μ y  

ΡX  x Y  y   


σ
y


 x  μ y  

ΡX  x Y  y  Φ


σ
y


Die unbedingte Verteilungsfunktion des Portfolio Wertes ist:
 x  μ y  
   y Ω Y  dy
ΡX  x    Φ


σ
y


Integriert wird über alle möglichen Realisatio nen von y
Wiederholung:
μ n y    L n  π kl  p kln y 
l
σ y    L n  π kl  μ n y   p kln y 
2
2
n
l
95
VIELEN DANK
UND
VIEL ERFOLG!
101