Vertiefungskurs aus ABWL: Finanzwirtschaft
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Vertiefungskurs aus ABWL: Finanzwirtschaft Wintersemester 2004 / 2005 400 026 / 6 Mag. Katarina Kocian Motivation • Investitionsrechnung – Heutige Anschaffungszahlungen – Zukünftige Rückflüsse, deren Höhe heute nicht mit Sicherheit bekannt ist • Kapitalwertkriterium, mit Kapitalkosten k T Ct RT K 0 A0 t (1 k )T t 0 (1 k ) Summe künftiger CF‘s Anschaffungsauszahlungen in t = 0 Nr. 2 Restwert in t = T Motivation • Berücksichtigung von Risiko – Risikoangepasster Kapitalkostensatz k r RP – Sicherheitsäquivalent CEQ(Ct ) E (Ct ) Risikoabsc hlag Nr. 3 Fragestellungen: • Wie groß ist der erwartete Vermögenszuwachs bzw. welche Rendite kann erwartet werden? • Wie riskant ist die Veranlagung? • Wie groß ist die Chance, dass die erwartete Rendite tatsächlich erzielt wird? • Wieviel und in welche riskante Investitionsmöglichkeiten soll veranlagt werden? • Welche Prämien dürfen für die Übernahme von Risiko erwartet werden? Nr. 4 Möglichkeiten der Beantwortung durch: Rendite, Risiko und die Risikoeinstellung von Investoren Portefeuilletheorie Moderne Kapitalmarkttheorie Inhalt und Gliederung 1. Portfoliotheorie und moderne Kapitalmarkttheorie 1.1. Renditen, Risiko und Risikoeinstellung von Investoren 1.2. Portfoliotheorie 1.3. Capital Asset Pricing Model (CAPM) Nr. 5 2. Relevante Kalkulationszinsfüße in der Investitionsrechnung 3. Bewertung mittels Netto-, Brutto- und APV-Methode Messung von Vermögensänderungen • Absolut: Wert des Vermögens am Ende des Veranlagungszeitraumes abzüglich dem Wert am Anfang des Veranlagungszeitraumes Frage: Zuwachs/Minderung in wie vielen Geldeinheiten? Vt Vt 1 Vt Vt ... Vermögen zum Zeitpunkt t ΔVt > 0 .. Vermögenszuwachs; ΔVt < 0 .. Vermögensminderung • • Nr. 6 Relativ: Prozentueller Zuwachs des Vermögens im Veranlagungszeitraum Frage: Rendite? Vt Vt 1 Vt rt Vt 1 Vt 1 oder rt Vt 1 Vt 1 Zusammenhang zw. Anfangs- und Endvermögen • Periodenspezifische Rendite • Anfangsvermögen Vo • Endvermögen rt VT VT V0 (1 rt 1 ) (1 rt 2 ) ... (1 rt T ) Oder Kurzschreibweise: T VT V0 (1 rt ) t 1 Nr. 7 Diskrete und stetige Renditen I. diskret Vt rt 1 Vt 1 stetig rt s ln d Vt Vt 1 Vt Vt 1 (1 rt d ) Vt Vt 1 e rt s Daraus ergibt sich folgender Zusammenhang: Nr. 8 rts 1. rt e 1 2. rt s ln( 1 rt d ) d Diskrete und stetige Renditen II. • Diskrete Renditen sind Renditen über eine gewisse zeitlich abgegrenzte Periode • Stetige (=kontinuierliche) Renditen gehen von einer Verzinsung zu jedem Zeitpunkt aus • - Anzahl der Zinsperioden - Länge der Zinsperioden 0 Beispiel 1: Berechnen Sie die diskreten und stetigen Renditen aus Sicht eines europäischen und US-amerikanischen Investors: Wechselkurs: 19.9.2003 18.9.2003 EUR/USD 0,8790 0,8896 Renditen Nr. 9 rt EUR St ln , S t 1 USD t r 1 St ln 1 S t 1 Wertpapierrenditen • Fall 1: es erfolgen keine zwischenzeitigen Zahlungen: rt,i • Pt -1 Pt 1 mit Pt,i ... Preis des i-ten Wertpapiers zum Zeitpunkt t mit rt,i ... Rendite des i-ten Wertpapiers zum Zeitpunkt t (vor Steuern und Transaktionskosten) Fall 2: es kommt zu zwischenzeitigen Zahlungen: Beispielsweise Dividendenzahlungen Divt,i -> Kursabschlag: exD Pt ex ,i ... Preis des i-ten Wertpapiers zu t exD: Pt cum ,i ... Preis des i-ten Wertpapiers zu t cumD: Rendite: rt,i Nr. 10 Pt,iex Div t,i Pt-1,i -1 ... Allgemein für Nebenrechte rt,i Pt,iex NRt,i Pt-1,i -1 Kursabschläge • exD ... Dividendenzahlungen – Üblicherweise Bardividenden – Dividendenaktien • exBR ... Bezugsrechte – Ordentl. Kapitalerhöhung gegen Bareinlagen – Trennung der Altaktie in Bezugsrecht und Altaktie exBR • exBA ... Berichtigungsaktien – Auch Aufstockungs- oder Zusatzaktien genannt – Umwandlung von Rücklagen in dividendenberechtigtes Grundkapital – Sinnvoll bei zu starker Rücklagenbildung, sodass der Aktienkurs zu teuer wirkt – Aktiensplitt Nr. 11 Beispiel 2: Zeit (in Jahren) t t+1 Kurs 400 460 a) Keine Nebenrechte rt ,i Vt 460 1 1 15% Vt 1 400 b) Dividendenzahlung in Höhe von 12 GE in [t,t+1] rt ,i Vt NRt 460 12 1 1 18% Vt 1 400 c) In [t,t+1] notierte Bezugsrecht BR = 3 rt ,i Vt NRt 460 3 1 1 15,75% Vt 1 400 d) Nr. 12 In [t,t+1] wurden Berichtigungsaktien im Verhältnis 5:1 ausgegeben 1 460 460 V NRt 5 rt ,i t 1 1 38% Vt 1 400 Durchschnittliche Renditen I. • Geometrische Durchschnittsrenditen T VT V0 (1 rt ) V0 (1 r ) T t 1 r T (1 r1 ) (1 r2 ) ... (1 rT ) 1 bzw. r T T (1 r ) 1 t t 1 Nr. 13 - Wiederveranlagungsprämisse - Veränderlicher Kapitaleinsatz Durchschnittliche Renditen II. • Arithmetische Durchschnittsrenditen T r1 r2 ... rT r t 1 T T Nr. 14 rt - Arithmetisches Mittel - Durchschnittlich entnommene bzw. eingezahlte Rendite - Konstanter Kapitaleinsatz Durchschnittliche Renditen III. • • Arithmetisch vs. Geometrisch - Geometrisches Mittel < Arithmetisches Mittel - Identisch NUR bei konstanten periodischen Renditen Beispiel 3: Zeit (in Jahren) t=0 t=1 t=2 Nr. 15 Kurs 100 50 100 Durchschnittliche Renditen IV. • Arithmetisch vs. Geometrisch / Diskret vs. Stetig Beispiel 4: a) Nr. 16 Zeit (in Jahren) t=0 t=1 t=2 Kurs 100 120 125 t=3 t=4 115 119 Diskrete Renditen b) Stetige Renditen • Summe 4 Jahre • Summe 4 Jahre • Arithmetisch • Arithmetisch • Geometrisch • Geometrisch Durchschnittliche Renditen IV. Annualisierung durchschnittlicher Renditen • Fall 1: Arithmetische Durchschnittsrendite ohne Berücksichtigung von Zinseszinsen (z.B. Tägliche Rendite) r m rm • Fall 2: Arithmetische und geometrische Durchschnittsrendite mit Berücksichtigung von Zinseszinsen (z.B. Tägliche Rendite) r * (1 rm ) m 1 Beispiel 5: Zeit (in Halbjahren) Kurs t=0 100 t=1 120 t=2 126 Diskrete Durchschnittsrenditen? Geometrisch/Arithmetisch? Annualisiert? Nr. 17 Ex-ante vs. ex-post Betrachtung • Ex-post Betrachtung: – Vergangenheitsorientiert – Historische Renditen – Performance-Messung • Ex-ante Betrachtung: – – – – Zukunftsorientiert Szenariotechnik Prognose von Renditen Ausgangspunkt: Investor kennt folgende Informationen: • Umweltzustände zi (i = 1,2,...,n) • Zustandsabhängige Renditen r(zi) • Eintrittswahrscheinlichkeiten für alle Zustände zi, p(zi) -> Risikosituation Nr. 18 Ex-ante Betrachtung • Erwartete Rendite – Renditen werden als Zufallsvariable interpretiert – Erwartungswert der zustandsabhängigen Renditen – Berechnung der Aktie j: E (r j ) r j ( z i ) p( z i ) i • Erwarteter Kurs E ( P1 j ) P0 j [1 E (r j )] Beispiel 6: zi Boom Normal Rezession P0 = 100 Nr. 19 r(zi) 30% 12% -5% p(zi) 20% 60% 20% Ex-post Betrachtung • Risiko – Anlageentscheidungen basieren idR nicht nur auf erwarteten Renditen – Risikomaß: wünschenswerte Eigenschaften • größere Abweichungen müssen stärker ins Gewicht fallen • Positive und negative Abweichungen dürfen sich nicht aufheben – Varianz σ(rj)² : Arithmetisches Mittel der Abweichungsquadrate • • • • Streuungsmaß, Schwankungsbreite der Renditen Standardabweichung σ(rj): Volatilität, Gesamtrisiko Historisch: ex-post Betrachtung: Heteroskedastizität: Varianz ist im Zeitablauf nicht konstant 2 n n 1 1 2 2 (r j ) r j ,t r j ,t n 1 t 1 n t 1 Beispiel 7: Monat Kurs 0 1 2 3 4 5 100 120 125 120 130 128 Varianz? Volatilität? Nr. 20 Ex-ante Betrachtung • Risiko – Varianz σ(rj)² : Arithmetisches Mittel der Abweichungsquadrate • ex-ante Betrachtung: (r j ) 2 Var(r j ) E(r j2 ) E(r j ) 2 n mit E (r j ) r j ( z i ) p ( z i ) und i 1 Beispiel 8: Zustand,zi r(zi) Boom 30% Normal 12% Rezession -5% a) Varianz? b) Volatilität? Nr. 21 p(zi) 20% 60% 20% n E (r ) r j2 ( z i ) p( z i ) 2 j i 1 Renditen und ihre Verteilungen I. • Annahme, das (stetige) Aktienrenditen normalverteilt sind: r N ( , 2 ) Wiederholung Normalverteilung: • Symmetrisch um den Erwartungswert μ • Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz (Schwankungsbreite) • Erwartungswert und Standardabweichung σ beschreiben die Normalverteilung vollständig • Die Fläche unter der Kurve ist das Maß für die Wahrscheinlichkeit (in Tabellen festgehalten) • Empirisch nicht exakt erfüllt, aber für Aktien eine brauchbare Approximation Nr. 22 Renditen und ihre Verteilungen II. • Standardisierung Ist r N(μ, σ) verteilt, so ist die (standardisierte) Zufallsvariable: r Dichtefunktion -5 -4 -3 -2 ( x) Nr. 23 -1 0 1 1 2 2 e 3 Verteilungsfunktion 4 x2 / 2 5 -5 -4 -3 -2 ( x) x -1 0 1 1 2 2 e 3 4 z2 / 2 5 dz Anwendungsbereich • Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Rendite kleiner ist als rx P(r rx ) ( x) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 rx • Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Rendite größer ist als ry -5 • Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Rendite zwischen rx und ry liegt? P(r ry ) ( y ) 1 ( y ) -4 -3 -2 -1 -5 0 -4 1 -3 ry -2 2 rx 3 -1 4 0 5 1 ry 2 P(rx r ry ) P(r ry ) P(r rx ) ( y ) ( x) Nr. 24 3 4 5 Wichtige Kennzahlen und Begriffe in der Praxis • Value-at-Risk = Geldbetrag, der mit bestimmter Wahrscheinlichkeit maximal verloren wird • Shortfall-Risk = Wahrscheinlichkeit, dass eine gewisse Rendite unterschritten wird • Tests: Nr. 25 Anwendung • Beispiel 9: Die Rendite einer Aktie sei normalverteilt mit N (0,15;0,22). Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, dass die Rendite – über 10% p.a. – unter 10% p.a. – zwischen 5 und 10% p.a. liegt? oder – Welche Rendite wird mit Wahrscheinlichkeit von 60% mindestens erzielt? – Welche Rendite wird mit Wahrscheinlichkeit von 60% nicht überschritten? Nr. 26 Portfoliotheorie • Bisher: Ein Wertpapier – Veranlagung in Aktie 1 • Erwartete Rendite von E(r1) bei Risiko von σ(r1) – Veranlagung in Aktie 2 • Erwartete Rendite von E(r2) bei Risiko von σ(r2) • Jetzt: Veranlagung in Aktie 1 und 2 – Erwartete Portfoliorendite von E(rp) – bei einem Portfoliorisiko von σ(rp) Frage: Welche Portfoliorendite kann ein Investor erwarten? bzw. Welches Risiko geht er ein? Nr. 27 Der Vater der modernen Portfoliotheorie Nr. 28 Erwartete Portfoliorendite I. • Ausgangspunkt – – – – – – Aktuelle Preise der Aktien: P0,1 und P0,2 Vermögen, das in Aktie 1 investiert wird: V0,1 Vermögen, das in Aktie 2 investiert wird: V0,2 Gesamtvermögen, das in Aktien investiert wird: V0 = V0,1 + V0,2 Erwartete Rendite der Aktien E(r1) und E(r2) Annahme der beliebigen Teilbarkeit der Titel V0,1 Aufgezinst mit Vermögen investiert in Aktie 1 zu t=0 1 + E(r1) V0 Nr. 29 V0,2 Aufgezinst mit Vermögen investiert in Aktie 2 zu t=0 1 + E(r2) Erwartetes Endvermögen VT zu t=T E (VT ) V0,1 (1 E (r1 )) V0, 2 (1 E (r2 )) Erwartete Portfoliorendite II. V0,1 Aufgezinst mit Vermögen investiert in Aktie 1 zu t=0 1 + E(r1) V0 V0,2 Aufgezinst mit Vermögen investiert in Aktie 2 zu t=0 1 + E(r2) Erwartetes Endvermögen VT zu t=T E (VT ) V0,1 (1 E (r1 )) V0, 2 (1 E (r2 )) Erwartete Portfoliorendite E(rp) E (rp ) x1 E (r1 ) x 2 E (r2 ) mit x2 1 x1 Beispiel 10: E(r1) = 10 % p.a., E(r2) = 20 % p.a. und E(rP) = 17 % p.a. Wie groß sind die Anteile x1 und x2 ? Nr. 30 Portfoliorisiko • Aktienrenditen können sich – tendenziell gleichläufig – tendenziell gegenläufig – relativ unabhängig voneinander entwickeln • gebräuchliches Beispiel Nr. 31 Portfoliorisiko: Diversifikationseffekt I. • Wichtige Kennzahlen in diesem Zusammenhang – Kovarianz Cov(r1 , r2 ) E(r1 r2 ) E(r1 ) E(r2 ) – Korrelation: Standardisierung der Kovarianz, sodass die relative Abhängigkeit der Renditen voneinander nur Werte zwischen –1 bis +1 erreichen kann (r1 , r2 ) Cov(r1 , r2 ) (r1 ) (r2 ) – Interpretation • Korrelation = +1 • Korrelation = 0 • Korrelation = -1 Nr. 32 Portfoliorisiko: Diversifikationseffekt II. • Ermittlung des Portfoliorisikos Var (rP ) x A2 A2 x B2 B2 2 Cov(rA , rB ) x A x B (rP ) Var(rP ) • Beispiel 11: Aktie A B σ(rj) 15% p.a. 20% p.a. ρ(rA,rB) = 0,25 Nr. 33 xj 40% 60% Portfoliorisiko: Diversifikationseffekt III. • Beispiel 12: Gemeinsame Betrachtung von E(rj), σ(rj) Aktie E(rj) σ(rj) A 8% p.a. 15% p.a. B 14% p.a. 20% p.a. – Stellen Sie den Zusammenhang zwischen erwarteter Rendite und Risiko graphisch dar, falls ρ(rA,rB) = 0,25. Beginnen Sie dabei bei einem Portfolio mit xA = 100% und reduzieren Sie schrittweise den Anteil von Aktie A im Portfolio bis eine 100%-ige Veranlagung in Aktie B erreicht ist. – Wiederholen Sie vorangegangene Beispiel mit ρ(rA,rB) = 1 – Wiederholen Sie vorangegangene Beispiel mit immer kleineren Korrelationskoeffizienten bis ρ(rA,rB) = -1 Nr. 34 Anteilsbestimmung bei gegebenem Portfoliorisiko Var (rP ) x A2 A2 x B2 B2 2 Cov(rA , rB ) x A x B mit xB = 1 – xA erhält man die quadratische Gleichung ax bx A c 0 2 A b b2 4 a c xA 2a Beispiel 13: Aktie A ... σ(rA) = 15% p.a. Aktie B ... σ(rB) = 20% p.a. Wie groß sind die jeweiligen Anteile der Aktien am Gesamtportfolio, wenn die Portfoliovarianz 0,0208 beträgt und die Aktien eine Korrelation von 0,5 aufweisen? Nr. 35 Zusammenfassend: • Konsequenzen – Portfolio-Möglichkeitskurve – Jede Portfoliorendite in [......] erreichbar – Jedes Portfoliorisiko in [......] erreichbar – zusätzlich sind Portfolios mit geringerem Risiko als .... erreichbar – Minimum-Varianz-Portfolio – Mehrere Kombinationen implizieren gleiches Portfoliorisiko – Effiziente Portfolios, Effizienzkurve Nr. 36 Das Minimum-Varianz-Portfolio (MVP) I. • Portfolio mit kleinstmöglichen Risiko • für spezielle Werte von ρ ist σ(rMVP) bekannt: – bei ρ(rA,rB) = +1 – bei ρ(rA,rB) = -1 Portfolio-Möglichkeitskurve 0,15 0,14 Aktie B 0,13 Erwartete Rendite 0,12 0,11 0,1 0,09 0,08 Aktie A 0,07 0,06 0 0,05 0,1 0,15 Erwartetes Risiko bei Korrelation von +1 Nr. 37 bei Korrelation von -1 0,2 Das Minimum-Varianz-Portfolio (MVP) II. • Anteilsbestimmung, bei min Var(rP): Aufgrund von xB = 1 – xA können die Anteile des MVP durch Bildung der ersten Ableitung nach x1 und anschließendes Nullsetzen bestimmt werden. Var (rP ) x A 0 Portfolio-Möglichkeitskurve 0,15 Aktie B 0,14 Extremwert = MVP Erwartete Rendite 0,13 0,12 0,11 0,1 0,09 Aktie A 0,08 0,07 0,12 Nr. 38 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 Erwartetes Risiko 0,18 0,19 0,2 0,21 Das Minimum-Varianz-Portfolio (MVP) II. • Als Lösung erhält man: x1MVP Var (rB ) Cov(rA , rB ) Var (rA ) Var (rB ) 2 Cov(rA , rB ) x BMVP 1 x AMVP • Erwartete Rendite: E (rMVP ) E (rA ) x AMVP E (rB ) x BMVP • MVP 2 2 MVP 2 2 MVP MVP Volatilität: Var (rMVP ) ( x A ) A ( x B ) B 2 Cov(rA , rB ) x A x B • Beispiel 14: Aktie E(rj) σ(rj) A 8% p.a. 15% p.a. B 15% p.a. 25% p.a. Die Renditen der beiden Aktien korrelieren im Ausmaß von +0,3. Bestimmen Sie die Zusammensetzung , Rendite und Risiko des MVP‘s. Nr. 39 Modell - Annahmen • Einperiodiges Kapitalanlagenmodell • Annahmen zum Kapitalmarkt: – Weder Steuern noch Transaktionskosten – Wertpapiere sind beliebig teilbar – Renditen sind normalverteilt • Annahmen über den Investor – Vollständige Konkurrenz – Investoren sind risikoavers und entscheiden rational – Investoren maximieren den erwarteten Nutzen des Endvermögens – Subjektive Wahrscheinlichkeitsverteilungen Nr. 40 Erwartete Portfoliorendite • 2 Wertpapiere E (rp ) x1 E (r1 ) x 2 E (r2 ) x1 x2 1 • 3 Wertpapiere E (rp ) x1 E (r1 ) x2 E (r2 ) x3 E (r3 ) x1 x2 x3 1 N • n Wertpapiere E (rP ) E (rj ) x j j 1 N x j 1 Nr. 41 j 1 Portfoliorisiko • 2 Wertpapiere Var (rP ) x A2 A2 xB2 B2 2 Cov(rA , rB ) x A xB x1 x2 1 Var (rP ) x A2 A2 xB2 B2 xC2 C2 2 Cov(rA , rB ) x A xB • 3 Wertpapiere 2 Cov(rA , rC ) x A xC x1 x2 x3 1 2 Cov(rB , rC ) xB xC N • n Wertpapiere (rP ) Cov(rj , rk ) x j xk j 1 k 1 N x j 1 Nr. 42 N 2 j 1 Modelle • Modell 1: Risikoaversion Minimierung des Portfoliorisikos bei gegebener erwarteter Portfoliorendite N N min (rP ) Cov(rj , rk ) x j xk 2 x j 1 k 1 Nebenbedingungen: N E (r ) x j j 1 N x j 1 j E (rP ) 1 x j 0, Nr. 43 j für j 1,...., N Modelle • Modell 2: Rationalität Maximierung der erwarteten Portfoliorendite bei gegebenem Portfoliorisiko N max E (rj ) x j E (rP ) x j 1 Nebenbedingungen: N N Cov(r , r ) x j j 1 k 1 N x j 1 j j xk 2 (rP ) 1 x j 0, Nr. 44 k für j 1,...., N Begriff Risiko • Naive Diversifikation: – Anteilsmäßig gleiches Investment in alle Titel (z.B. 50:50) • Gesamtrisiko σ wird aufgeteilt in: • Diversifikationseffekt: Portfoliorisiko – systematisches Risiko (nicht diversifizierbar) – unsystematisches Risiko (diversifizierbar) Anzahl der WP Nr. 45 Beispiel 15 mit 3 WP j E(rj) p.a. 8% 0,12 Cov(rj , rk ) 0,008 0,003 2 0,2 0,018 ; j , k A, B, C 0,152 A B C 15% 12% Der Investor verfügt über ein Vermögen von 25 Mio. EUR. Er investiert in Aktie A und B jeweils 10 Mio., den Rest in C. • Wie hoch ist seine erwartete Rendite? • Welches Risiko geht er ein? Nr. 46 Portfoliotheorie nach Black (1972) • Annahmen wie bei Markowitz • Aber: Leerverkäufe sind möglich, d.h. ohne Nicht-Negativitätsbedingung xi dürfen negativ werden! Short-selling Konsequenzen: Portfolio-Möglichkeitskurve 0,17 0,16 0,15 0,14 Erwartete Rendite Aktie B 0,13 0,12 0,11 0,1 0,09 0,08 Aktie A 0,07 0,12 Nr. 47 0,14 0,16 0,18 Erwartetes Risiko 0,2 0,22 0,24 Portfeuilletheorie nach Tobin (1958) • Annahmen wie bei Markowitz / Black • Zusätzlich besteht die Möglichkeit – Kapital risikolos zu veranlagen – Kapital risikolos zu borgen • Vereinfachende Annahmen Sollzinssatz = r = Habenzinssatz • Anteil α wird risikolos veranlagt und Anteil 1 - α wird riskant veranlagt Nr. 48 Portfoliorendite / -risiko • Portfoliorendite: bei riskanter Veranlagung in ein Portfolio X E (r ) r (1 ) E (r ) p • Portfoliorisiko: – Varianz und Kovarianz des risikolosen Finanzierungstitels Var(rj) = ? ; Cov(r,rj) = ? – Volatilität des Portfolios X: (rP ) (rX ) (1 ) Nr. 49 X Zusammenhang zw. Rendite und Risiko • ?? In welches Portfolio X soll investiert werden ?? (rP ) (rX ) (1 ) 1 (rP ) (rX ) für eingesetzt : E (rp ) r (1 ) E (rX ) (rP ) (rP ) r 1 1 E (rX ) E (rp ) 1 (rX ) (rX ) E (rX ) r E (rp ) r (rP ) (rX ) Marktpreis je Risikoeinheit Nr. 50 Modell nach Tobin I. E (rM ) r E (rp ) r (rP ) (rM ) • Tobin Effizienzlinie 0,15 0,14 Aktie B 0,13 Tangentialportfolio M Erwartete Rendite 0,12 0,11 mit: E (rp ) r (1 ) E (rM ) 0,1 (rP ) (rM ) (1 ) und : x j (1 ) x Mj r 0,09 0,08 Aktie A 0,07 0,12 Nr. 51 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 Erwartetes Risiko 0,18 0,19 0,2 0,21 Modell nach Tobin II. Nichtlineares Optimierungsprogramm E (rX ) r max (rX ) Unter den Nebenbedingungen N N Cov(r , r ) x j j 1 k 1 N E (r ) x j j 1 N x j 1 Nr. 52 j j k j E (rP ) 1 ; xj 0 xk 2 (rP ) Ermittlung des Tangentialportfolios • Durch Einsetzen von Hilfsvariablen wird das nichtlineare Programm in ein lineares Gleichungssystem umgewandelt, wobei so viele Hilfsvariablen yk eingesetzt werden müssen, wie riskante Wertpapiere auf dem Markt existieren: N Cov(r , r ) y k 1 j k k E (rj ) r für j 1,...., N . x M j yj N y k 1 • Voraussetzungen für das Einsetzen des linearen Gleichungssystems: – Leerverkäufe sind zulässig Nr. 53 k Beispiel 16 Ein risikoaverser Investor möchte ein Aktienportfolio aus Aktie A und B zusammenstellen. Die Renditen der Aktien sind normalverteilt mit folgenden Parametern (Angaben in % p.a.): A B E (rj) 8 15 (rj ) 10 20 • • Ermitteln Sie das Minimum-Varianz-Portfolio, wenn die Korrelation zwischen beiden Aktien AB 0,4 beträgt Der Investor hat zusätzlich die Möglichkeit, sein Kapital zu 7% p.a. risikolos zu veranlagen bzw. zu 7% p.a. einen Kredit aufzunehmen – Wie ist die Zusammensetzung, die erwartete Rendite und das Risiko des Tangentialportfolios? – Der Investor möchte eine erwartete Rendite in der Höhe von 12% p.a. erzielen. Welches Risiko muss er in diesem Fall eingehen? – Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt die Rendite des Portfolios über 6% p.a.? – Tangentialportfolio ohne Leerverkaufsmöglichkeit? Nr. 54 Beispiel mit 3 WP j A B E(rj) p.a. 8% 15% risikoloser Zinssatz r = 7% 0,12 Cov(rj , rk ) C 12% 0,008 0,003 2 0,2 0,018 ; j , k A, B, C 0,152 1. Aufteilung Marktportfolio? Erwartete Marktrendite? Marktrisiko? 2. Investor ist bereit ein Risiko von 10% p.a. einzugehen ... Lösung allgemein: Var (rA ) y A Cov(rA , rB ) y B Cov(rA , rC ) y C E (rA ) r Hilfsvariablen ermitteln Anteile im Markt-PF Cov(rA , rB ) y A Var (rB ) y B Cov(rB , rC ) y C E (rB ) r Cov(rA , rC ) y A Cov(rB , rC ) y B Var (rC ) y C E (rC ) r x Mj yj y k 1 Risiko/Rendite des Investors Nr. 55 E (rp ) r (1 ) E (rM ) N k E (rp ) r PF Aufteilung E (rM ) r (rP ) (rM ) (rP ) (rM ) (1 ) x j (1 ) x Mj Capital Asset Pricing Model (CAPM) • Bisher: Kapitalanlageverhalten privater Investoren • Jetzt: Auswirkungen auf Gleichgewichtspreise bzw. Gleichgewichtsrenditen • Annahmen Vollkommener Kapitalmarkt – wie bisher Nr. 56 • • • • Risikoaversion der Investoren (Erwartungswert, Varianz) Rationalität und kompetitives Verhalten Finanzierungstitel sind beliebig teilbar Es existiert ein risikoloser Finanzierungstitel für Kredite sowie für Veranlagung – zusätzlich • Keine Kapitalmarktbeschränkungen • alle riskanten Titel werden gehandelt • Investoren haben die gleichen, d.h. homogene Erwartungen Kapitalmarktgleichgewicht I. • Alle Investoren halten effiziente Portfolios (Tobin): – je nach Nutzenfunktion (bzw. Grad der Risikoaversion) wird mehr oder weniger risikolos veranlagt – der Rest wird riskant veranlagt – dabei wählen alle Investoren das gleiche riskante Portfolio Marktportfolio M – Separationstheorem • Das Marktportfolio M ergibt sich aus der Summe der individuellen Portfolios -> M... Ist ein effizientes Portfolio • Gesamtnachfrage = Gesamtangebot, das gilt für alle riskanten Finanzierungstitel sowie für den risikolosen Zinssatz. • Leerverkäufe an riskanten Finanzierungstitel kann es im Gleichgewicht nicht geben. Nr. 57 Kapitalmarktgleichgewicht II. • Kommen neue Titel auf den Markt, so sind diese auch im Marktportfolio M enthalten, da das Risiko von M aufgrund des Diversifikationseffektes reduziert wird. • Das Marktportfolio – wird beschrieben durch die erwartete Marktrendite E(rM) und das Marktrisiko σ(rM) und – liegt auf der Tobin-Gerade (Kapitalmarktlinie oder Capital Market Line). E (rM ) r E (rp ) r (rP ) (rM ) – λ wird oft auch als Marktpreis für das Risiko je Risikoeinheit bezeichnet. Nr. 58 Herleitung I. • Herleitung der erwarteten Rendite E(rj): – Portfolio H bestehe aus • z Teilen des Titels j und • (1 - z) Teilen des Marktportfolios E (rH ) z E (r j ) (1 z ) E (rM ) 2 (rH ) Var(rH ) z 2 2 (r j ) (1 z) 2 2 (rM ) 2 Cov(r j , rM ) z (1 z) – Im Punkt z = 0 (somit volle Veranlagung ins Marktportfolio) muss gelten: • Steigung Rendite/Risiko-Funktion des Portfolios H muss der Steigung der CML gleichen dE (rH ) E (rM ) r dz d (rH ) z 0 (r ) M CLM dz PF .. H Nr. 59 Herleitung II. • Nach Ableitung und Umformung ergibt sich die Grundrelation des Kapitalmarktmodells: E (rM ) r E (r j ) r 2 Cov(r j , rM ) (rM ) Risikoprämie für syst. Risiko Das systematische Risiko wird beschrieben durch • Wird das systematische Risiko in Beziehung zum Marktrisiko gesetzt, so ergibt sich das normierte systematische Risiko. j Nr. 60 (r j , rM ) (r j ) • systematis ches Risiko (r j , rM ) (r j ) Cov(r j , rM ) Marktrisik o (rM ) 2 (rM ) Herleitung III. • Daraus ergibt sich die Kapitalmarktlinie des CAPM in Beta-Schreibweise E (r j ) r E (rM ) r j Ändert sich die erwartete Rendite des Marktportfolios um einen Prozentpunkt, ändert sich die erwartete Rendite des WP j um βj Prozentpunkte. Erwartete Rendite • Interpretation von βj: 0,16 0,14 Kapitalmarktlinie (CLM) 0,12 E (rM ) 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Nr. 61 0 0,5 1 1,5 2 Beta 2,5 Konsequenzen für Gleichgewichtspreise I. • Bewertung unter Risiko P0, j E ( P1, j ) 1 E (rj ) • Risikoangepasste Kapitalkostensätze E (r j ) r E (rM ) r j Nr. 62 P0, j E ( P1, j ) 1 r [ E (rM ) r ] j Konsequenzen für Gleichgewichtspreise II. E (r ) r E (r j ) r 2M Cov(r j , rM ) (rM ) E ( P1, j ) P0, j E (r ) r 1 r 2M Cov(rj , rM ) (rM ) • Nach Umformulierung alternative Darstellungsform mit Sicherheitsäquivalent E (r ) r E ( P1, j ) 2M Cov( P1, j , rM ) Risikoabschlag (rM ) P0, j 1 r P0, j Nr. 63 CEQ( P1, j ) 1 r Zusammenfassend Risiko/Rendite des Investors • Investor • Aktie j … Rendite Gleichgew.Rendite j E (r j ) r E (rp ) r E (rM ) r (rP ) (rM ) E (rM ) r Cov(r j , rM ) 2 (rM ) Risikoprämie E (r j ) r E (rM ) r j Risikoabschlag • Aktie j … Preis Gleichgew.Preis j Nr. 64 E ( P1, j ) P0, j E (rM ) r Cov( P1, j , rM ) 2 CEQ( P1, j ) (rM ) 1 r 1 r Relevante Kalkulationszinsfüße in der Investitionsplanung • Investitionsentscheidung bei Unsicherheit iSv Risiko – 1. Über Risikoprämien T K 0 A0 t 1 mit E (Ct ) (1 k )t k r Risikopräm ie Alternativrendite, die z.B. am Kapitalmarkt für eine Investition mit gleichem systematischen Risiko erwartet werden kann. -> Erwartete Rendite nach CAPM k... E (r j ) r E (rM ) r j Risikoprämie Nr. 65 Relevante Kalkulationszinsfüße in der Investitionsplanung • Investitionsentscheidung bei Unsicherheit iSv Risiko – 1. Über Sicherheitsäquivalente T K 0 A0 t 1 CE (Ct ) (1 r ) t Mit CE(Ct) … Sicherheitsäquivalent des erwarteten Cash-Flows r… Nr. 66 risikoloser Zinssatz Risikoprämie und Risikoabschlag • Risikoprämie und Risikoabschlag können über das CAPM ermittelt werden • Wesentliche Erkenntnis: Risikoprämien werden nur für systematisches Risiko bezahlt • Annahme: Einjähriges Projekt – Risikoangepasster Kapitalkostensatz k r Risikoprämie r [ E (rM ) r ] C E (rM ) r r 2 Cov(rC , rM ) (rM ) – Sicherheitsäquivalent CE (C ) E (C ) Risikoabschlag E (rM ) r E (C ) Cov(C , rM ) 2 (rM ) Beide Varianten müssen im Gleichgewicht stets zum Nr. 67 selben Ergebnis (Gleichgewichtspreis) führen. Aufspaltung der Einzahlungsüberschüsse • Hohes systematisches Risiko – Künft. Variable EZÜ nach Steuern (1 s) ( pt cv ,t ) xt Kapitalkos tensatz... t rt RPt h • Kein systematisches Risiko (1 s ) C f ,t – Fixe Auszahlungen nach Steuern – Steuerersparnis infolge Abschreibung s AfAt – Restwert nach Steuern RT s ( RT BWT ) Kapitalkostensatz ... r risikoloser Zinssatz • Geringes systematisches Risiko – Zinszahlungen – Steuerersparnis infolge Kredit – Tilgungszahlungen Zt s Z t' Yt Kapitalkostensatz... kD,t rt RPt g Nr. 68 Ermittlung des Kapitalwertes von riskanten Investitionsprojekten I. • Einsteigervariante: – Der Kapitalwert ergibt sich aus dem „fairen Preis für alle zukünftigen Zahlungen“ (Bruttokapitalwert) abzüglich der sicheren Anfangsinvestition K 0 A0 BK 0 K 0 A0 " fairer Preis für alle zukünftige n Zahlungen" K 0 A0 MW Umsatzerlö se PV0 MW var. Auszahlun gen PAZ0 MW Zins - und Tilgungen D0 MW Steuerersp arnis Kredit s Z t' MW fixe Zahlungen PF0 • Annahme: reine Eigenfinanzierung, somit sind die Marktwerte der Zins- und Tilgungen sowie die Steuerersparnis aufgrund Kredit gleich 0 Nr. 69 Ermittlung des Kapitalwertes von riskanten Investitionsprojekten II. • Variable Einzahlungsüberschüsse nach Steuern – Schreibweise über Gamma cv ,t pt var .EZÜ (1 s ) pt xt (1 s ) pt xt Umsatz Var. Auszahlungen (1 s ) (1 ) pt xt • Marktwert der variablen Einzahlungsüberschüsse (nach Steuern) PVZ0 (1 s) (1 ) PV0 • Für den Kapitalwert folgt: K 0 A0 PVZ0 PF0 A0 (1 s) (1 ) PV0 PF0 A0 U 0 Nr. 70 Marktwert des EK bei reiner Eigenfinanzierung Ermittlung des Marktwertes aller künftigen Umsatzerlöse I. • Bei periodenspezifischen CE ( pt xt ) E ( pt xt ) Risikoabschlag Zinssätzen und Marktrenditen E ( pt xt ) t Cov( pt xt , rM ,t ) • Über Sicherheitsäquivalente: E (rM ,t ) rt mit ... t • Retrograde Ermittlung PVT 0 (Weil MW aller künftigen Umsatzerlöse) von PV0: CE ( pT xT ) PVT PVT 1 1 rT 1 rT 2 (rM ,t ) CE ( pt 1 xt 1 ) PVt 1 PVt 1 rt 1 1 rt 1 Nr. 71 PV0 t 1 CE ( pt xt ) t 1 r t r 1 PV0 T CE ( p1 x1 ) PV1 1 r1 1 r1 Ermittlung des Marktwertes aller künftigen Umsatzerlöse II. • Bei periodenspezifischen Zinssätzen und Marktrenditen • Über (noch unbekannten) Kalkulationszinsfuß: t rt Risikoprämie für in t • Retrograde Ermittlung PVT 0 (Weil MW aller künftigen Umsatzerlöse) von PV0: E ( pT xT ) PVT PVT 1 1 T 1 T E ( pt 1 xt 1 ) PVt 1 PVt 1 t 1 1 t 1 Nr. 72 PV0 t 1 E ( pt xt ) t 1 r 1 PV0 T E ( p1 x1 ) PV1 1 1 1 1 t Bestimmung der Risikoprämie für in t bzw. der periodenspezifischen Kapitalkostensätze für die Umsatzerlöse • Marktwerte PVt müssen bei beiden Vorgehensweisen (Risikoprämie vs. Sicherheitsäquivalent) gleich sein. • Daher muss gelten: E ( pt 1 xt 1 ) PVt 1 CE ( pt 1 xt 1 ) PVt 1 1 t 1 1 t 1 1 rt 1 1 rt 1 E ( pt xt ) CE ( pt xt ) • Die Risikoprämie erhält man aus: RPt PVt 1 • Bzw. den risikoangepassten Kapitalkostensatz aus: E ( pt xt ) PVt t 1 PVt 1 Nr. 73 t Ermittlung des Marktwertes aller künftigen fixen Zahlungen • Da diese Zahlungen annahmegemäß keinem Risiko unterliegen, dann deren Diskontierung mit den periodenspezifischen risikolosen Zinssätzen erfolgen. • Retrograde Ermittlung von PF0: PFT 0 PFT 1 (Weil MW aller künftigen Zahlungen) (1 s ) C f ,T ) s AfaT 1 rT RT s ( RT BWT ) PFT 1 rT 1 rT PFt 1 1 rt 1 PFt (1 s ) C f ,t 1 ) s Afat 1 1 rt 1 PF0 Nr. 74 (1 s ) C f ,1 ) s Afa1 1 r1 PF1 1 r1 Beispiel 18 Zweiperiodiges Projekt mit A0 = 100 und folgenden zustandsabhängigen Entwicklungen: • Für t = 1: Zustand, zi P(zi) C(zi) rM(zi) A 30% 900 6% B 50% 1000 10% C 20% 1100 14% risikoloser Zinssatz 8% p.a.; fixe Auszahlungen 300 • Für t = 2: Zustand, zi P(zi) C(zi) rM(zi) A 20% 900 5% B 50% 1000 10% C 30% 1100 15% risikoloser Zinssatz 9% p.a.; fixe Auszahlungen 400 • Für t =1 und t = 2 gilt: Nr. 75 – Verkaufspreis / Einheit: p1 = p2 = 1 – = 0,5 Lineare steuerrechtliche Abschreibung über 2 Jahre, der Steuersatz ist für beide Perioden 40%, Restwert RT = 20 Bewertung mit einem einheitlichen (risikoangepassten Kapitalkostensatz) • Bis jetzt: Unterschiedlich riskante Zahlungen wurden mit unterschiedlichen Kapitalkostensätzen diskontiert. • Jetziges Vorhaben: Diskontierung der unterschiedlich riskanten Zahlungen mit einem einheitlichen, risikoangepassten, periodenspezifischen Kapitalkostensatz, t • Zusammenfassung der zu berücksichtigenden Zahlungen – Für jede Periode t = 1,….., T. (1 s )(1 ) E ( pt xt ) (1 s ) C f ,t s Afat Erw. EZÜ Fixe Zahlungen – Für die letzte Periode t = T zusätzlich: – In Summe also RT s ( RT BWT ) RT s( RT BWT ) für t T E (Ct ) s[ E (Ct ) Afat ] sonst 0 E (OCFt ) Nr. 76 Ermittlung des Marktwertes aller künftigen Zahlungen • Ermittlung des Marktwertes (reine Eigenfinanzierung!): U 0 PVZ 0 PF0 • Retrograde Ermittlung von PV0: UT 0 (Weil MW aller künftigen Zahlungen) E (OCFT ) UT U T 1 1 T 1 T t ... Kapitalkostensatz für das EK bei reiner Eigenfinan zierung E (OCFt 1 ) U t 1 Ut 1 rt 1 1 t 1 E (OCF1 ) U1 U0 1 1 1 1 Nr. 77 !!! Beide Lösungsvarianten müssen zum gleichen Ergebnis führen Diskontierung mit t und rt ... oder t Leverage Effekte • Operating Leverage – Statische Betrachtung – Dynamische Betrachtung • Financial Leverage – Statische Betrachtung – Dynamische Betrachtung Nr. 78 Operating Leverage I. • Statisch: Wie stark verändert sich der OCF, wenn sich der Umsatz um ein Prozent ändert % Änderung des OCF % Änderung des Umsatzes U dOCF dOCF U OL OCF dU dU OCF U OL (1 s) ( p cv ) x (1 s) ( p cv ) x OL (1 s)[( p cv ) x C f ] s Afa OCF Nr. 79 Operating Leverage II. • Dynamisch Wie stark verändert sich der Wert einer rein eigenfinanzierten Unternehmung, wenn sich der Barwert der künftigen Umsatzerlöse um ein Prozent ändert % Änderung des Wertes des OLdyn t EK bei reiner Eigenfinan zierung % Änderung des Wertes der künftigen Umsatzerlö se zu Periondenb eginn OLdyn t Nr. 80 dU t 1 U t 1 dU t 1 PVt 1 dPVt 1 dPVt 1 U t 1 PVt 1 U t 1 PVZt 1 PFt 1 Operating Leverage III. • Dynamisch Zusammenhang: dyn t (1 s ) (1 ) PVt 1 U t 1 dyn t U t 1 PFt 1 PFt 1 1 U t 1 U t 1 OL OL ODER: Bewertung einer unverschuldeten Unternehmung mit einem einheitlichen Kalkulationszinsfuss t OL t (1 OL ) rt dyn t Nr. 81 dyn t Relevante Kalkulationszinsfüße in der Investitionsplanung (bei teilweise Fremdfinanzierung) • Nettokapitalwert K 0 A0 BK 0 BK 0 ... Marktwert zukünftige r Zahlungen zu t 0 BK 0 MW Umsatzertl öse • Bestandteile des Bruttokapitalwertes bei reiner Eigenfinanzierung PV0 - MW var. Auszahlun gen PAZ0 MW fixe Zahlungen PF0 BK 0 U 0 BK 0 PV0 PAZ0 PF0 • Bestandteile des Bruttokapitalwertes bei teilweise Eigenfinanzierung Nr. 82 - MW Zins - u.Tilg.Zah lungen D0 MW Steuerersp . Zinsaufw. SEZ 0 Kapitalwert bei tlw. Fremdfinanzierung I. BK 0 A0 PV0 PAZ0 PF0 SEZ0 D0 U0 V0 E0 mit U 0 ... SEZ 0 ... MW des EK bei reiner EK - Finazierun g MW Steuerersp arnis inf.Zinsau fw. V0 ... MW d. tlw. fremfinanz ierten Projektes D0 ... MW Zins - und Tilgungsza hlugen E0 ... MW d. EK bei tlw. Fremdfinan zierung • Kapitalkostensatz: Je nachdem, ob der Kredit risikolos oder nicht, wird ein unterschiedlicher Kapitalkostensatz herangezogen (kD,t = i oder r) Nr. 83 Kapitalwert bei tlw. Fremdfinanzierung II. s E ( Z t' ) T • Marktwert der künftigen Steuerersparnis SEZ 0 t 1 T (1 k 1 T • Marktwert der künftigen Zinsund Tilgungszahlungen D0 t 1 Nr. 84 ) E ( Z t Yt ) T (1 k 1 • Marktwert des EK bei tlw. Fremdfinanzierung D , D , ) Et U t SEZ t Dt V E0 U 0 SEZ 0 D0 0 Fortsetzung Beispiel 18: • Angaben bleiben gleich • Zusätzlich: Kredit von 60 zur tlw. Fremdfinanzierung mit Ratentilgung ohne Freijahre und ohne Agio bzw. Disagio – Kredit sei risikolos, d.h. dass in allen Zuständen und allen Perioden Zt und Yt gedeckt sind – Kapitalkostensatz: r1 = 8% p.a. und r2 = 9% p.a. Nr. 85 Financial Leverage I. • Statisch: Wie stark verändert sich der NCF, wenn sich der Operating Cash Flow um ein Prozent ändert % Änderung des NCF FL % Änderung des OCF dNCF dNCF OCF FL NCF dOCF dOCF NCF OCF mit NCF OCF (1 s ) Z 1.Ableitun g nach OCF dNCF 1 dOCF somit : OCF OCF FL OCF (1 s ) Z NCF Nr. 86 Financial Leverage II. • Dynamisch Wie stark verändert sich der Wert des EK bei einer tlw. fremdfinanzierten Unternehmung, wenn sich der Barwert des EK einer rein eigenfinanzierten Unternehmung um ein Prozent ändert % Änderung des Wertes des FLdyn t EK zu Periondenb eginn bei tlw. Fremdfinan zierung % Änderung des Wertes des EK zu Periondenb eginn bei reiner Eigenfinan zierung FLdyn t Nr. 87 dEt 1 E dEt 1 U t 1 t 1 dU t 1 dU t 1 Et 1 U t 1 s E ( Z t'1 ) Et U t Dt (1 k D,t 1 ) mit dEt 1 dU t somit FLdyn t U t 1 Et 1 Financial Leverage III. – dynamisch Darstellung als Abhängigkeit vom Verschuldungsgrad • ft = Verhältnis des Wertes der zukünftigen Zinsaufwendungen zum Wert des FK E ( Z t'1 ) t 1 (1 k D ,t 1 ) T ft Et U t s f t Dt Dt Et U t (1 s f t ) Dt Dt * • Angestrebter Verschuldungsgrad vt dyn t FL dyn t FL Nr. 88 1 s f t 1 vt*1 1 vt*1 * t 1 * t 1 v 1 (1 s f t 1 ) 1 v Dt Vt Angestrebtes Zielverhältnis zwischen Wert des FK und wert des EK zu Periodenbeginn Dt 1 Et 1 Berücksichtigung Fremdfinanzierung bei einheitlicher Diskonierung • Für teilweise fremdfinanzierte Projekte gilt: Vt U t SEZ0 E (OCFt 1 s Z t'1 ) Vt 1 Vt 1 kG ,t 1 1 kG ,t 1 • Aufgelöst nach kG,t+1 kG ,t (1 vt 1 ) k E ,t vt 1 k D ,t Nr. 89 Berücksichtigung Fremdfinanzierung bei einheitlicher Diskontierung WACC Ansatz • Für den risikoangepassten Kalkulationszinssatz kD,t+1 wird die Effektivverzinsung des FK verwendet k D ,t i • Bei den Cash Flows wird die Steuerersparnis infolge Zinsaufwand ignoriert • Demnach gilt: E (OCFt 1 ) Vt 1 Vt 1 kG ,t 1 1 kG ,t 1 • Der Kapitalkostensatz ergibt sich aus: kG ,t (1 vt 1 ) k E ,t vt 1 i (1 s) Nr. 90 Berücksichtigung Fremdfinanzierung bei einheitlicher Diskontierung Modigliani-Miller-Approximation • Bei den Cash Flows wird die Steuerersparnis infolge Zinsaufwand ignoriert • Der Kapitalkostensatz ergibt sich aus: kG,t t (1 s vt*1 ) • Exakte Ergebnisse falls: - Konstante risikolose Zinssätze rt = r - Risikoloses, Ewiges Fremdkapital Nr. 91 Bewertung mit einem einheitlichen (risikoangepassten) Kapitalkostensatz • Bis jetzt: Unterschiedlich riskante Zahlungen wurden mit unterschiedlichen (risikoangepassten) Kapitalkostensätzen diskontiert. • Jetziges Vorhaben: Diskontierung der unterschiedlich riskanten Zahlungen mit einem einheitlichen, risikoangepassten, periodenspezifischen Kapitalkostensatz, k E ,t • Zusammenfassung der zu berücksichtigenden Zahlungen – Für jede Periode t = 1,….., T. (1 s) [(1 ) E ( pt xt ) C f ,t ] s Afat E ( NCFt Yt )' ( Z t Yt s Z t' ) – Für die letzte Periode t = T zusätzlich: – In Summe also RT s ( RT BWT ) RT s( RT BWT ) für t T E ( NCFt Yt ) E ( NCFt Yt )' sonst 0 Nr. 92 Marktwert des EK und Diskontierung mit einheitlichem Kapitalkostensatz I. • Retrograde Ermittlung von E0: ET 0 E ( NCFT YT ) ET ET 1 1 k E ,T 1 k E ,T Et E ( NCFt 1 Yt 1 ) Et 1 1 k E ,t 1 1 k E ,t 1 E ( NCF1 Y1 ) E1 E0 1 k E ,1 1 k E ,1 Nr. 93 k E ,t ... Kapitalkostensatz für das EK bei teilweise Fremdfinan zierung Marktwert des EK und Diskontierung mit einheitlichem Kapitalkostensatz II. • Allgemein muss gelten: E ( NCFt 1 Yt 1 ) Et 1 U t SEZ t Dt 1 k E ,t 1 1 k E ,t 1 Et • Aufgelöst nach kE,t+1 -> ergibt sich: 1 k E ,t U t 1 U t 1 k D ,t 1 t 1 Et 1 Et 1 bzw. dyn k E ,t FLdyn ( 1 FL t t t ) k D ,t mit dyn t FL Nr. 94 U t 1 Et 1 Risikoangepasste Kapitalkostensätze und normierte systematische Risiken I. • Umsatz-Beta t rt Risikopräm ie E ( pt xt ) CE ( pt xt ) rt PVt 1 rt E ( pt xt ) [ E ( pt xt ) Risikoabschlag t ] PVt 1 rt [ E (rM ,t ) rt ] Cov( pt xt , rM ,t ) 2 (rM ,t ) 1 PVt 1 rt [ E (rM ,t ) rt ] VZ ,t Risikoabschlag E (rM ,t ) rt (rM ,t ) 2 VZ ,t ... Umsatz - Beta Nr. 95 Cov( pt xt , rM ,t ) Risikoangepasste Kapitalkostensätze und normierte systematische Risiken II. • Projekt-Beta dyn t OLdyn ( 1 OL t t t ) rt t ersetzt durch t rt [ E (rM ,t ) rt ] VZ ,t t rt [ E (rM ,t ) rt ] VZ ,t OLdyn t t rt [ E (rM ,t ) rt ] IP ,t IP ,t ... Projekt - Beta Nr. 96 Risikoangepasste Kapitalkostensätze und normierte systematische Risiken III. • Equity-Beta dyn kE ,t FLdyn ( 1 FL t t t ) k D ,t t ersetzt durch dyn t OLdyn ( 1 OL t t t ) rt dyn k E ,t rt [ E (rM ,t ) rt ] FLdyn OL t VZ ,t t k E ,t rt [ E (rM ,t ) rt ] E ,t E ,t ... Equity - Beta Nr. 97 Zusammenfassung VZ ,t ... Umsatz - Beta t rt [ E (rM ,t ) rt ] VZ ,t IP ,t ... Projekt - Beta IP,t VZ ,t OLdyn t E ,t ... Equity - Beta dyn E ,t FLdyn OL t VZ ,t t E ,t FLdyn IP ,t t Nr. 98 Empirische Ermittlung • Schätzung historischer Equity-Betas auf Grund: – historischer Aktienrenditen – und entsprechender historischer Indexstände -> Normierte systematische Risiken des EK bei tlw. Fremdfinanzierung • Ermittlung der Asset-Betas durch: A E FLdyn v0 dyn FL 1 (1 s ) wobei der FL approximiert wird durch: 1 v0 -> Normierte systematische Risiken des EK bei reiner Eigenfinanzierung Nr. 99 Adjusted Present Value Methode (APV) K 0 A0 T t 1 E (OCFt ) t (1 ) E(OCF) -> nach Steuern !! Ohne Berücksichtigung des Steuerersparnis aufgrund Kredit!! 1 RT s ( RT BWT ) T Restwert nach Steuern (1 ) 1 E ( Z t' ) s t t 1 (1 i ) T Nr. 100 Steuerersparnis aufgrund Kredit
