Mathematik Jahrgangsstufe 11 Mathematik Jahrgangsstufe 11 Funktionen II – Ganzrationale Funktionen 6. Plenum 6.11.2009 Ganzrationale Funktionen Mathematik Jahrgangsstufe 11 Mathematik Jahrgangsstufe 11 Funktionen II – Ganzrationale Funktionen Was sind noch mal Potenzfunktionen? Funktionen der Form x a x n mit n N und a R nennt man Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten. Mathematik Jahrgangsstufe 11 Mathematik Jahrgangsstufe 11 Funktionen II – Ganzrationale Funktionen . . . in der Übersicht Graphen von einfachen Potenzfunktionen (a=1) mit geraden Exponenten y x2 mit ungeraden Exponenten 3 y x x3 x4 2 2 x5 x6 3 1 x7 1 -3 -2 -1 1 -1 -3 -2 -1 1 -1 2 3 x -2 -3 2 3 x Mathematik Jahrgangsstufe 11 Mathematik Jahrgangsstufe 11 Funktionen II – Ganzrationale Funktionen Lernangebot 1. Ein neuer Funktionstyp: Ganzrationale Funktionen 2. Verhalten für x —› ± ∞ mit Übungen 3. Symmetrie: allgemein bei ganzrationalen Funktionen Mathematik Jahrgangsstufe 11 Mathematik Jahrgangsstufe 11 Funktionen II – Ganzrationale Funktionen Anwendungsbeispiel Volumen einer Schachtel Term zur Volumenberechnung : (30-2x)(21-2x)x Funktion zur Volumenberechnung in Abhängigkeit von x V(x) = 4x3 - 102x2 + 630x Definitionsmenge D = {x| x є R, 0< x < 10,5} Mathematik Jahrgangsstufe 11 Mathematik Jahrgangsstufe 11 Funktionen II – Ganzrationale Funktionen Definitionen Neue Funktionsterme 4x3 - 102x2 + 630x -7x5 + 2x3 – 4,2 3x6 –x5 + 6x4 – 9x3 – 88x2 + 10x -7 Terme der Form anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 mit n є N und an≠ 0 nennt man Polynome Der höchste Exponent n heißt Grad des Polynoms. Die reellen Zahlen an bis a0 heißen Koeffizienten. Mathematik Jahrgangsstufe 11 Mathematik Jahrgangsstufe 11 Funktionen II – Ganzrationale Funktionen Definitionen Ganzrationale Funktionen Eine Funktion f mit einem Polynom als Funktionsterm nennt man eine ganzrationale Funktion. f(x) 7x4 - 5x 1 Grad 4 a4 7, a3 a2 0, a1 - 5, a0 1 g(x) x(x - 4) - x2 g(x) -4x x2 h(x) x 1 Grad 1, a1 -4, a0 0 Der Funktionsterm ist kein Polynom → h ist keine ganzrationale Funktion Mathematik Jahrgangsstufe 11 Mathematik Jahrgangsstufe 11 Funktionen II – Ganzrationale Funktionen 3. Grades unter der Lupe Ganzrationale Funktionen unter der Lupe f(x)= x3 - x y y 1000 800 3 600 2 400 1 200 -10 -8 -6 -4 -2 4 2 -200 4 6 8 10 x -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 -1 -400 2.5 x -2 -600 -3 -800 -4 -1000 f(x)= x3 + x2 - 2x -2 y 4 yy 400 3 300 2 200 1 100 -2.5 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -100 -200 -300 1 2 3 4 5 6 7 x x -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 -1 -2 -3 -4 1.0 1.5 2.0 x Mathematik Jahrgangsstufe 11 Mathematik Jahrgangsstufe 11 Funktionen II – Ganzrationale Funktionen 4. Grades unter der Lupe Ganzrationale Funktionen unter der Lupe f(x)= x4 - 2x3 - x2 + 2x y 3 y 300 2 200 1 100 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 x x -100 -1 -200 -2 f(x)= x4 - 3x3 - x2 + 3x y y 10 600 8 500 6 400 4 300 2 200 -1.5 100 -4 -3 -2 -1 -100 -200 -200 -1.0 -0.5 0.5 -2 1 2 3 4 5 6 x -4 -6 -8 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 x Mathematik Jahrgangsstufe 11 Mathematik Jahrgangsstufe 11 Funktionen II – Ganzrationale Funktionen 5. Grades unter der Lupe Ganzrationale Funktionen unter der Lupe f(x)= x5 - x3 -5 -5 -4 -4 -3 -3 -2 -2 yy 3000 3000 y 0.3 2000 2000 0.2 1000 1000 0.1 -1 -1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 xx -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 -1000 -1000 -0.1 -2000 -2000 -0.2 -3000 -3000 -0.3 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 x f(x)= -x5 + 1,27x3 – 0,15x2 + 0,2376x y 0.2 y 3000 2000 0.1 1000 -1.2 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 -0.1 -1000 -2000 -3000 -0.2 -0.3 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 x Mathematik Jahrgangsstufe 11 Mathematik Jahrgangsstufe 11 Funktionen II – Ganzrationale Funktionen Direkter Vergleich Potenzfunktionen - ganzrationale Funktionen aus der Nähe f(x)= x3 g(x)= x3 aus der Ferne y y 1.0 0.8 -x 20 0.6 0.4 g -1.0 10 0.2 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x -3 -2 -1 1 2 3 x -10 -0.4 -0.6 f -20 -0.8 -1.0 f(x)= x4 g(x)= x4 y 1.0 y 12000 0.8 - 2x3 – x2 +2x 10000 0.6 0.4 8000 0.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 -0.2 6000 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x 4000 -0.4 2000 -0.6 -0.8 -1.0 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 x Mathematik Jahrgangsstufe 11 Mathematik Jahrgangsstufe 11 Funktionen II – Ganzrationale Funktionen Kurvenverlauf f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion f vom Grad n wird für x ∞ bzw. x - ∞ vom Summanden anxn bestimmt. Ist an > 0 und n gerade so folgt für f(x): für x - ∞ gilt: f(x) + ∞. für x + ∞ gilt: f(x) + ∞. Ist an < 0 und n gerade so folgt für f(x): für x - ∞ gilt: f(x) - ∞. für x + ∞ gilt: f(x) - ∞. Mathematik Jahrgangsstufe 11 Mathematik Jahrgangsstufe 11 Funktionen II – Ganzrationale Funktionen Kurvenverlauf f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 Ist an > 0 und n ungerade so folgt für f(x): für x - ∞ gilt: f(x) - ∞. für x + ∞ gilt: f(x) + ∞. Ist an < 0 und n ungerade so folgt für f(x): für x - ∞ gilt: f(x) + ∞. für x + ∞ gilt: f(x) - ∞. Mathematik Jahrgangsstufe 11 Mathematik Jahrgangsstufe 11 Funktionen II – Ganzrationale Funktionen Casting - Beispiel Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = -x4 +3x3 +x2 -3x Mathematik Jahrgangsstufe 11 Mathematik Jahrgangsstufe 11 Funktionen II – Ganzrationale Funktionen Casting 1A Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 2x5 +3x4 –7x Mathematik Jahrgangsstufe 11 Mathematik Jahrgangsstufe 11 Funktionen II – Ganzrationale Funktionen Casting 1B Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 2x5 +3x4 –7x Mathematik Jahrgangsstufe 11 Mathematik Jahrgangsstufe 11 Funktionen II – Ganzrationale Funktionen Casting 2A Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 7x4 –7x5 +x2 Mathematik Jahrgangsstufe 11 Mathematik Jahrgangsstufe 11 Funktionen II – Ganzrationale Funktionen Casting 2B Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 7x4 –7x5 +x2 Mathematik Jahrgangsstufe 11 Mathematik Jahrgangsstufe 11 Funktionen II – Ganzrationale Funktionen Casting 3A Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 10 -x +x2 -x3 +4x4 -10x5 +x6 -x7 +x8 Mathematik Jahrgangsstufe 11 Mathematik Jahrgangsstufe 11 Funktionen II – Ganzrationale Funktionen Casting 3B Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 10 -x +x2 -x3 +4x4 -10x5 +x6 -x7 +x8 Mathematik Jahrgangsstufe 11 Mathematik Jahrgangsstufe 11 Funktionen II – Ganzrationale Funktionen Casting 4A Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 5x6 –50x5 +75x4 +1280x3 +580x2 -6480x +14240 Mathematik Jahrgangsstufe 11 Mathematik Jahrgangsstufe 11 Funktionen II – Ganzrationale Funktionen Casting 4B Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 5x6 –50x5 +75x4 +1280x3 +580x2 -6480x +14240 Mathematik Jahrgangsstufe 11 Mathematik Jahrgangsstufe 11 Funktionen II – Ganzrationale Funktionen Symmetrie y Achsensymmetrie zur y-Achse: 5 4 zu –x und zu x gehört derselbe y-Wert 3 2 1 -2 -1 1 2 -1 x f(-x) = f(x) -2 y Punktsymmetrie zum Ursprung: 5 4 3 2 1 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 x die zu –x und zu x gehörige y-Werte unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen f(-x) = -f(x) Mathematik Jahrgangsstufe 11 Mathematik Jahrgangsstufe 11 Funktionen II – Ganzrationale Funktionen Symmetrie – einfach zu erkennen Bei ganzrationalen Funktionen erkennt man eine vorhandene Symmetrie sehr schnell. f(x)= -3x6 + 5x2 g(x)= x400 - 3x78 – 77 Enthält der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion nur Potenzen mit geraden Hochzahlen, so ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse. Solche ganzrationalen Funktionen heißen gerade. h(x)= 4x7 - 5x3 + 9x k(x)= -22x431 - 3x91 Enthält der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion nur Potenzen mit ungeraden Hochzahlen, so ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. Solche ganzrationalen Funktionen heißen ungerade. Mathematik Jahrgangsstufe 11 Mathematik Jahrgangsstufe 11 Funktionen II – Ganzrationale Funktionen Die drei Fragen 1. Erkläre die Begriffe: „ Polynom“ und „ganzrationale Funktion“. 2. Welchen Verlauf haben die Graphen der ganzrationalen Funktionen im Vergleich zu den Potenzfunktionen? 3. Wie erkenne ich, welche dieser Funktionen Symmetrieeigenschaften besitzen? Mathematik Jahrgangsstufe 11 Mathematik Jahrgangsstufe 11 Funktionen II – Ganzrationale Funktionen Aufgaben Stunde 1 2 BASIC´s LS11 Seite 91: A 3 Seite 91: A 4 Seite 91: A 5 LS11 Seite 93: A 2c,f,i A3 TOP´s LS11 Seite 99: A 4 LS11 Seite 93: A 4 A5 LS11 Seite 99: A 8 LS11 Seite 93: A 7 Viel Erfolg!