Continuous System Modeling

Lösung nichtlinear Gleichungssysteme
• In dieser Vorlesung werden wir uns mit der
gemischt symbolischen und numerischen Lösung
algebraisch gekoppelter nichtlinear Gleichungssysteme befassen.
• Die Aufschneidemethode eignet sich auch zur
effizienten Behandlung nichtlinear Gleichungssysteme.
• Die numerische Iteration nichtlinear Gleichungssysteme kann auf die Schnittvariablen begrenzt
werden.
10. November, 2004
Anfang Präsentation
Übersicht
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10. November, 2004
Nichtlineare Gleichungssysteme
Newton Iteration
Newton Iteration mit Aufschneiden
Newton Iteration linearer Gleichungssysteme
Anfang Präsentation
Nichtlineares Gleichungssystem: Ein Beispiel I
10. November, 2004
Anfang Präsentation
Nichtlineares Gleichungssystem: Ein Beispiel II
q
1
Schleuse
Stausee
p
p
1
q
2
3
Verbraucher I
Verbraucher II
q
2
p
0
10. November, 2004
Umgebungsdruck
Anfang Präsentation
Nichtlineares Gleichungssystem: Ein Beispiel III
q
q
p
q: Durchflussrate
p: Druckabfall
10. November, 2004
p
q = k · sign(p ) · p
 p = sign(q) · q2 / k
Anfang Präsentation
Nichtlineares Gleichungssystem: Ein Beispiel IV
q
1
Schleuse
Stausee
p
p
1
q
2
3
Verbraucher I
Verbrau cher II
q
2
p
0
10. November, 2004
Umgebungsdruck
p2 = 100
p0 = 1
fS(q1 ,p1 ,p2) = 0
fI(q2 ,p0 ,p1) = 0
fII(q3 ,p0 ,p1) = 0
q1 = q2 + q3
Anfang Präsentation
Nichtlineares Gleichungssystem: Ein Beispiel V
p2 = 100
p0 = 1
fS (q1 ,p1 ,p2 ) = 0
fI (q2 ,p0 ,p1 ) = 0
fII (q3 ,p0 ,p1 ) = 0
q1 - q2 - q3 = 0

p2 = 100
p0 = 1
fS (q1 ,p1 ,p2 ) = 0
fI (q2 ,p0 ,p1 ) = 0
fII (q3 ,p0 ,p1 ) = 0
q1 - q2 - q3 = 0
Nichtlineares Gleichungssystem
in 4 Unbekannten
10. November, 2004
Anfang Präsentation
Newton’sches Iterationsverfahren I
xn
fn
Nichtlineares
Gleichungssystem:
f(x) = 0
Anfangsschätzwert:
x0
Iterationsformel:
x i+1 = x i - x i
x   n
Inkrement:
x i = H(x i )-1 · f(x i )
H   nn
Hess’sche Matrix:
 f(x)
H(x) =
x
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Anfang Präsentation
Newton’sches Iterationsverfahren: Beispiel I
x=
p1
q1
q2
q3
f(x) =
H(x) =
10. November, 2004
p2 - p1 - sign(q1) · q12 / k1
p1 – p0 - sign(q2) · q22 / k2
=0
p1 – p0 - sign(q3) · q32 / k3
q1 - q2 - q3
-1 - 2|q1 |/k1 0
0
1
0 - 2|q2 |/k2 0
0 - 2|q3 |/k3
1
0
-1
-1
0
1
Anfang Präsentation
Newton’sches Iterationsverfahren II
Bestimmung des Inkrements:
x i = H(x i )-1 · f(x i )
 H(x i ) · x i = f(x i )

Lineares Gleichungssystem
in den Unbekannten x

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x   n
Anfang Präsentation
Newton Iteration mit Schneideverfahren I
p2 = 100
p0 = 1
fS (q1 ,p1 ,p2 ) = 0
fI (q2 ,p0 ,p1 ) = 0
fII (q3 ,p0 ,p1 ) = 0
q1 - q2 - q3 = 0

p2 = 100
p0 = 1
fS (q1 ,p1 ,p2 ) = 0
fI (q2 ,p0 ,p1 ) = 0
fII (q3 ,p0 ,p1 ) = 0
q1 - q2 - q3 = 0

p2 = 100
p0 = 1
fS (q1 ,p1 ,p2 ) = 0
fI (q2 ,p0 ,p1 ) = 0
fII (q3 ,p0 ,p1 ) = 0
q1 - q2 - q3 = 0
Wahl
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Anfang Präsentation
Newton Iteration mit Schneideverfahren II
p2 = 100
p0 = 1
fS (q1 ,p1 ,p2 ) = 0
fI (q2 ,p0 ,p1 ) = 0
fII (q3 ,p0 ,p1 ) = 0
q1 - q2 - q3 = 0

p2 = 100
p0 = 1
q1 = q2 + q3
p1 = f1 (q1 ,p2 )
q2 = f2 (p0 ,p1 )
q3 = f3 (p0 ,p1 )
q1 = f2 (p0 ,p1 ) + f3 (p0 ,p1 )
= f2 (p0 , f1 (q1 ,p2 ) ) + f3 (p0 , f1 (q1 ,p2 ))
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Anfang Präsentation
Newton Iteration mit Schneideverfahren III
q1 = f2 (p0 ,p1 ) + f3 (p0 ,p1 )
= f2 (p0 , f1 (q1 ,p2 ) ) + f3 (p0 , f1 (q1 ,p2 ))
x = q1
f(x) = q1 - f2 (p0 , f1 (q1 ,p2 ) ) - f3 (p0 , f1 (q1 ,p2 )) = 0

H(x i ) · x i = f(x i )

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Lineares Gleichungssystem
in den Unbekannten x
 x   1
Anfang Präsentation
Newton’sches Iterationsverfahren: Beispiel II
p2 = 100
p0 = 1
q1 = q2 + q3
p1 = p2 - sign(q1 ) · q12 / k1
q2 = k2 · sign(p1 - p0 ) ·  p1 - p0
q3 = k3 · sign(p1 - p0 ) ·  p1 - p0
pq1q1 = 1
pp1q1 = - 2|q1| / k1
pq2q1 = k2 / ( 2 ·  p1 - p0 ) · pp1q1
pq3q1 = k3 / ( 2 ·  p1 - p0 ) · pp1q1
f = q1 - q2 - q3
h = pq1q1 - pq2q1 - pq3q1
10. November, 2004

Das Substituieren von Ausdrücken lohnt sich kaum je.
Es ist besser, über alle Gleichungen zu iterieren und bei
der Ermittlung der partiellen
Ableitungen jede Gleichung
separat abzuleiten.
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Newton’sches Iterationsverfahren: Beispiel III
q1 = Anfangsschätzwert
dx = 1
while dx > dxmin
p1 = p2 - sign(q1 ) · q12 / k1
q2 = k2 · sign(p1 - p0 ) ·  p1 - p0
q3 = k3 · sign(p1 - p0 ) ·  p1 - p0
pp1 = - 2|q1| / k1
pq2 = k2 / ( 2 ·  p1 - p0 ) · pp1
pq3 = k3 / ( 2 ·  p1 - p0 ) · pp1
f = q1 - q2 - q3
h = 1 - pq2 - pq3
dx = h \ f
q1 = q1 – dx
end
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 Es
wird über alle
Gleichungen
iteriert.
Das interne lineare
Gleichungssystem muss
jedoch nur für die
Schnittvariablen gelöst
werden.
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Newton Iteration für lineare Systeme
Lineares System:
A·x = b
 f(x) = A·x – b = 0
 H(x) = f(x)/  x = A
 A·x = A·x – b
 x = x – A-1·b
 x 1 = x 0 – (x 0 – A-1·b) = A-1·b

10. November, 2004
Die Newton Iteration konvergiert
in einem Schritt
Anfang Präsentation
Zusammenfassung
• Das Schneideverfahren eignet sich genau so gut für nichtlineare
wie für lineare Systeme.
• Die Νewton’sche Iteration eines nichtlinearen Gleichungssystems
führt
intern
zur
Lösung
eines
linearen
Gleichungssystems.
Die Hess’sche Matrix dieses Gleichungssystems erstreckt sich nur über die Schnittvariablen.
• Die Νewton’sche Iteration kann auch sehr effizient im Falle
grösserer linearer Systeme eingesetzt werden, da sie (bei
korrekter Berechnung der H(x) Matrix) in einem einzigen Schritt
konvergiert.
• In Praxis wird die H(x) Matrix jedoch häufig numerisch ermittelt
und nur angenähert.
• Es ist aber möglich, symbolische Formelmanipulationstechniken zu entwickelt, welche symbolische Ausdrücke für die
Elemente der Hess’schen Matrix ermitteln.
10. November, 2004
Anfang Präsentation