atomos

Die Suche nach dem Unteilbaren
Atome - Seltsame Quantenwelt
Max Camenzind
Senioren Uni Würzburg
April 2014
Inhalt Kapitel 1+2
• Von Demokrit bis Schrödinger – von
Molekülen bis zu Quarks und Elektronen
• Das Rutherford Experiment  „PlanetenModell“ des atomaren Aufbaus.
• Welche Kräfte waren vor 100 Jahren
bekannt?  Feldbegriff ist fundamental!
• Das Problem der Stabilität der Atome.
• Einstein 1905: EM Wellen sind auch Teilchen
– Photonen.
• Elektronen verhalten sich auch wie Wellen?
• Schrödinger löst 1925 das Problem
 nur Aufenthaltswahrscheinlichkeiten
Ein Universum voller Teilchen
Woraus ist die Welt, woraus sind wir selbst gemacht?
Gedanken der griechischen Philosophen:
Demokrit (460-371 v.Ch.) u.a.:
Materie besteht aus unteilbaren,
kleinen Bausteine = atomos () = unteilbar
Aber auch:
Aristoteles u.a.:
Der Raum ist
kontinuierlich
mit Materie ausgefüllt
Elementares mit Symmetrien (Platon u.a.)
Die Suche nach dem Unteilbaren
-500
EMPEDOKLES: Luft, Feuer, Wasser, Erde
DEMOKRIT: „Atomos“
EPIKUR: „Chem. Bindung“
ARISTOTELES: „4 Elemente: Feuer, Wasser, Erde, Luft“
0
500
2000 Jahre „Kirchenvakuum“:
322 v. Chr. – 1632 n. Chr.
Aristotelisches Weltbild wird dogmatisch
übernommen, „Ketzer“ werden hingerichtet.
1000
1500
KEPLER, GALILEI
DALTON: 1. und 2. Verbindungsgesetz
AVOGADRO: Gase, Moleküle
FARADAY, MAXWELL: elektrische Natur der Atome, Feldbegriff
2000
RUTHERFORD: experimentelle Beweise
nach AkadOR W. Wagner, BOHR;
Didaktik der
Chemie, Universität
Bayreuth, verändert
Folie 4
PLANCK,
HEISENBERG:
Orbitaltheorie
Aristoteles gegen
Demokrit
2400 Jahre Atomismus
Der Aufbau der Materie aus
heutiger Sicht
1/10.000.000
>
<
0,01 m
Kristall
10-9 m
Molekül
1/10
1/10.000
10-10 m
Atom
1/1.000
1/10
10-14 m
Atomkern
10-15 m
Proton
Stecknadelkopf:
10-3 m = 1 mm
<10-18 m
Quark,
Elektron
Elektron & Quarks sind elementar:
< 10-18 m = 1 Attometer
punktförmig?
X-Strahlen erkunden Strukturen
Max von Laue 1912  Nobelpreis 1914
Analog zur Lichtbeugung an optischen Gittern können Feststoffe mit
regelmäßig angeordneten Atomen, also Kristalle, als Beugungsgitter für
Röntgenstrahlen benutzt werden.
 regelmäßige Anordnung der Atome in Kristallen (Laue-Diagramm)
Hier wurden Röntgenstrahlen durch einen ZinkSulfid-Kristall geschickt (Max von Laue).
Röntgenstrahlen
sind Wellen
2 Konsequenzen:
 Auch RöntgenStrahlen verhalten
sich wie Wellen;
 Kristalle
bestehen aus
Substrukturen.
Mikroskopische Interpretation
 Beugungsphänomen: Im elektromagnetischen Feld der
einfallenden Strahlung werden die Elektronen der Atome zu
erzwungenen Schwingungen angeregt und beginnen selbst
Strahlung in Form von kugelförmigen Wellen abzustrahlen.
Da die Wellen der einzelnen Elektronen sich in erster
Näherung zu Wellen der zugehörigen Atome aufsummieren
und weiterhin die Abstände im Kristallgitter und die
Wellenlänge der Röntgenstrahlung von ähnlicher
Größenordnung sind, treten Interferenzerscheinungen auf.
Modernes Röntgendiffraktometer
zur Strukturanalyse
Ernest
Rutherford
Cambridge
1871-1937
* Neuseeland
Herausragender
Experimentalphysiker
Untersucht 1912
Atomstrukturen
RosinenModell
J.J. Thomson
PlanetenModell
Rutherford
Rutherford Streuversuch 1911-1913
mit alpha Teilchen an Goldfolie
 Teilchen sind He-Kerne
Winkelverteilung
Rutherford
 Nur wenige
Teilchen
werden
umgelenkt,
die meisten
gehen einfach
durch.
Atome
sind leer
Atome sind „leer“
 Rutherfords Atom-Modell
10-14 m
Kern : Atom = 1 : 10.000
10-10 m
 das Atom ist leer !
 Das Atom ist nicht unteilbar – es besteht aus Elektronen und dem Kern
und voraus bestehen die…?
Welche Kräfte sind vor
100 Jahren bekannt ?
Isaac
Newton
1687
Newtonsche Gesetze
1687 + Gravitation
1. Gesetz: Trägheitsprinzip





F  ma  mv  mr
Ein Körper bleibt in Ruhe oder
bewegt sich mit konstanter Ge- Definition der Krafteinheit 1 Newton:
schwindigkeit, wenn keine Kraft

m

auf ihn wirkt.
F  ma
1 N  1 kg 2
s

 
dv  
F 0 
a 0
3. Gesetz: actio = reactio
dt
Bei Wechselwirkung zweier Körper
2. Gesetz: Aktionsprinzip
ist die Kraft, die auf den ersten Körper
Die zeitliche Änderung des
wirkt umgekehrt gleich der Kraft, die
Impulses ist proportional zur
der zweite auf den ersten ausübt.
äußeren Kraft, die auf den


F2
Körper wirkt.
F1




Impuls : p  m v
F2   F1
Isaac Newton 
Gravitation 1687
Alle Körper ziehen sich an
Gravitationskraft
gilt auch im Sonnensystem  Kepler-Gesetze
Messung
GravitationsKonstante G
Torsionswaage
Cavendish 1797
G = 6,67384x10-11
m³/kg s²
Maxwell (1861-1864)
2 weitere Kräfte sind
damals bekannt:
 elektrische Kraft
(Katzenfell)
 magnetische Kraft
(Kompassnadel)
Maxwell zeigte, dass
beide Phänomene
verwandt sind:
Bewegte Ladungen
 Magnetfelder
 Begriff des Feldes zentral
In der Physik beschreibt ein Feld die räumliche
Verteilung einer physikalischen Größe. Dabei
kann es sich um ein Skalarfeld handeln wie z. B.
das Gravitationspotential F oder das
elektrostatische Potential, oder um ein Vektorfeld
wie z. B. das Gravitationsfeld oder das elektrische
Feld. Der Wert eines Feldes an einem bestimmten
Ort wird in manchen Fällen Feldstärke genannt.
Das elektrische Feld E wird durch seine
Kraftwirkung F auf eine Probeladung q definiert:
Fe = q E analog Fg = mg , g = GM/r²
Der Ursprung des Konzeptes des Feldes liegt im 18. Jahrhundert (in der
Kontinuumsmechanik ). Es wurde nicht als eigenständige Entität angesehen
und die Dynamik der Felder wurde mittels der Newtonschen TeilchenMechanik aus den Eigenschaften der dem Feld zugrundeliegenden
Moleküle oder Volumenelemente abgeleitet. Eine komplett neue
Bedeutung bekam der Feldbegriff durch die aufkommende Elektrodynamik
am Ende des 19. Jahrhunderts, da das elektromagnetische Feld nicht als
makroskopischer Zustand aufgebaut aus mikroskopischen Untersysteme
erklärt werden konnte. Das elektromagnetische Feld wurde zu einer neuen
irreduziblen Entität. Michael Faraday und James Clerk Maxwell waren noch
der Meinung, dass das elektromagnetische Feld nur ein angeregter Zustand
des Äthers ist und führten damit das Feld auf Bewegung oder mechanische
Spannungen in einer Materieform, dem Äther zurück. Nach dem
Michelson-Morley-Experiment wurde die Existenz des Äthers, der den
leeren Raum ausfülle, fortan in der Physik verworfen. Die Beobachtung,
dass das elektromagnetische Feld auch im Vakuum, ohne Trägermaterie,
ohne eine unsichtbare Trägersubstanz wie den Äther existiert, führte dazu,
das elektrische Feld als eigenständiges physikalisches System aufzufassen.
Der leere Raum kann sowohl Materie als auch Felder enthalten. In der
Quantenfeldtheorie schließlich werden auch die Materieteilchen als
Feldquanten, d. h. gequantelte Anregungen von Feldern angesehen.
Vektorfeld auf einer Sphäre
In jedem Punkt setzt ein Vektor an
E = (Ex,Ey,Ez)
E
Elektrische Dipolfelder
E
E = (Ex,Ey,Ez)
Erde erzeugt Dipolmagnetfeld
B
Felder und Wechselwirkung
Die newtonsche Gravitationstheorie ist eine Fernwirkungstheorie, da in
dieser Theorie nicht erklärt wird, wie ein von Körper A entfernter Körper B
die Anwesenheit von A spürt, wie also die Gravitationswechselwirkung
durch den leeren Raum transportiert wird. Außerdem ist die
Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wechselwirkung in dieser feldlosen
Theorie unbegrenzt. Laut der Relativitätstheorie gibt es aber eine obere
Grenze der Ausbreitungsgeschwindigkeit für alle Wechselwirkungen und
zwar die Lichtgeschwindigkeit. Wechselwirkungstheorien müssen, um die
Kausalität von Ereignissen nicht zu verletzen, lokal sein. Mit Hilfe des
Feldbegriffs können Wechselwirkungen lokal beschrieben werden.
Der Körper A ist vom Gravitationsfeld umgeben und reagiert auf die
Änderungen des Feldes in seiner Umgebung und nicht direkt auf die
Verschiebung anderer Körper, die das Feld erzeugen. Das Feld ist also Träger
der Wechselwirkung. Feldgleichungen beschreiben, wie und mit welcher
Geschwindigkeit sich Störungen in einem solchen Wechselwirkungsfeld
ausbreiten. Die Feldgleichungen der Gravitation sind die Einsteinschen
Feldgleichungen, die Feldgleichungen des Elektromagnetismus die MaxwellGleichungen.
Die Maxwell-Gleichungen für E & B
• Gauß Gesetz: Ladungen erzeugen elektrische
Felder – div E = 4pe0r; el. Feldlinien Ansatzpunkt
• Gauß Gesetz Magnetismus: Es gibt keine
magnetischen Ladungen (Monopole) - div B = 0;
magnetische Feldlinien sind immer geschlossen.
• Faraday Induktionsgesetz: zeitlich veränderliche
Magnetfelder erzeugen elektrische Felder
senkrecht zu B-Feld (Prinzip Generator).
• Ampère Gesetz: stromdurchflossene Leiter
erzeugen magnetische Felder, ebenso zeitabhängige elektrische Felder (Zusatz von Maxwell).
Maxwell: Licht = elektromag Wellen
Zeitabhängige elektrische und magnetische Felder
c  3 10 ms  const.
8
-1
Das elektromagnetische Spektrum
im Universum
ln=c
Sonnenstrahlung:
l = 100 nm - 4 m
Terrestrische
IR-Strahlung:
l = 4 m - 100 m
Interferenz – typisch für Wellen
Doppelspalt-Versuch
Doppelspalt-Experiment Laser/CCD
Natur elektromagnetischer
Strahlung
• Welle-Teilchen-Dualismus:
elektromagnetische Strahlung erscheint
entweder als Welle oder als Teilchen.
• Geschwindigkeit elektromagnetischer
Strahlung im Vakuum (Einstein 1905):
c  3 10 ms  const.
8
-1
Max Planck 1900
Wirkungsquantum h
Der Schwarze Körper
 Planck postuliert h 1900
Absorbiert sämtliche Strahlung
 Keine Transmission oder Reflexion
 Thermische Emission mit bestimmter
Intensität und spektraler Verteilung

Plancksches
Strahlungsgesetz:
Wie sieht die EnergieVerteilung u(l) aus?
u(l)?
1900: Plancks grundlegende
Annahme  Oszillatoren
im Hohlraum nur diskrete Frequ
E  h n
Planksche Wirkungsquantum:
h  (6,6256  0,0005) 10
27
Js
Energie  Zeit
Plancksches Strahlungsgesetz
• ein schwarzer Körper der Temperatur T
emittiert Strahlung der Frequenz n mit der
Intensität  2 Naturkonstanten: h und k
2hn
1
Bn (T )  2 hn / kT
.
c e
1
3
• Max Planck (1900): Energie kann nur
gequantelt abgegeben bzw. aufgenommen
werden (sonst  „UV-Katastrophe”).
 Plancksches
Strahlungsgesetz
h nmax = 2,8 kT
2hn
1
Bn (T )  2 hn / kT
.
c e
1
3
Einstein
1905
Photoeffekt
Licht besteht ebenfalls aus Quanten. Es setzt
je nach seiner Wellenlänge mehr oder
weniger Elektronen frei, wobei kurze Wellen
mit höherenergetischen Quanten auch
höherenergetische Elektronen erzeugen.
E  h n
hc = 1,26 eV µm
h = 4,1 x 10-15 eV s
CCDs sind Photonenzähler
CCDs werden wie Computer Chips auf Silizium-Wavers produziert
mittels photolithographischer Techniken. CCDs sind heute die
wichtigen Detektoren im Optischen und können beträchtlich groß
ausfallen, was sie natürlich auch teuer macht.
CCDs beruhen auf Photoeffekt
Increasing energy
The effect is fundamental to the operation of a CCD. Atoms in a silicon crystal have electrons arranged in
discrete energy bands. The lower energy band is called the Valence Band, the upper band is the Conduction
Band. Most of the electrons occupy the Valence band but can be excited into the conduction band by heating
or by the absorption of a photon. The energy required for this transition is 1.26 electron volts. Once in this
conduction band the electron is free to move about in the lattice of the silicon crystal. It leaves behind a ‘hole’
in the valence band which acts like a positively charged carrier. In the absence of an external electric field
the hole and electron will quickly re-combine and be lost. In a CCD an electric field is introduced to sweep
these charge carriers apart and prevent recombination.
Leitungs-Band
1.26eV
Valenz-Band
Loch
Electron
Thermally generated electrons are indistinguishable from photo-generated electrons . They constitute a
noise source known as ‘Dark Current’ and it is important that CCDs are kept cold to reduce their number.
1.26eV corresponds to the energy of light with a wavelength of 1m. Beyond this wavelength silicon becomes
transparent and CCDs constructed from silicon become insensitive.
Natürliche Einheiten für Teilchen
• Mikrowelt Größen:
1 fm = 1 Femtometer („Fermi“) = 10-15 m ~ 1 Proton
(1 µm = 1.000.000.000 fm)
• Mikrowelt Energie:
1 ElektronVolt = 1eV = 1,602 x 10-19 J
1 KiloElektronVolt = 1 keV = 1000 eV
1 MegaElektronVolt = 1 MeV = 1.000.000 eV
1 GigaElektronVolt = 1 GeV = 1.000.000.000 eV
• 1 TeraElektronVolt = 1 TeV = 1 Billion eV = 1000 GeV
•  Massen in Energieäquivalent: me = 511,0 keV/c²
Protonenmasse: mp = 938,27 MeV/c²
Diskrete Emissionslinien
 Photonen werden nur in
diskreten Einheiten emittiert
Zusammenfassung 1. Teil
• Max von Laue und Rutherford erkunden experim
die Struktur der Materie und Aufbau der Atome
 Atome sind leer, schwerer Kern + geladen.
• Newton begründet die Gravitationskraft und
Maxwell führt den Begriff des Feldes ein,
zunächst noch an Äther gebunden, später jedoch
als selbständige Entität erkannt – Feld existiert
an jedem Raumpunkt, kann zeitabhängig sein.
• Licht besteht aus elektromagnetischen Wellen
• Planck und Einstein: Photonen verhalten sich als
Welle oder als Teilchen  dies begründete den
Teilchen-Welle-Dualismus der Mikrowelt.
Warum sind Atome stabil?
Warum sind Atome stabil?
1913 Bohr Quantisierung
Wirkungsintegral
Bohr Radius
Kräftegleichgewicht:
El. Kraft = Zentrifugal
Niels Bohr
und Albert
Einstein
1913 Bohr Atom-Modell
Elektronen können nur auf
ganz bestimmten Bahnen
(sog. Schalen) existieren.
1913 Bohr-Atom Energie
Quantisierung der Energie:
 Energiedifferenzen sind diskret!
 erklärt Wasserstoff-Spektren: Lyman, Balmer
 erklärt nicht He-Spektrum!  Modell falsch
Termschema
Wasserstoff
Atom

funktioniert
aber nicht für
kompliziertere
Atome,
wie He, …
1924 - De Broglie-Wellen
Praktisches Beispiel – „langsame“ Elektronen
p  m0v 
p2
E
2m0
h
l

E  12 m0v 2
p  2m0 E
h
h
h
l 

p
2m0 E
2m0eU
12.24
l
10 10 m ; U in V
U
Wellenlänge der Elektronen im Elektronenmikroskop
Elektronen können sich wie Wellen verhalten
Elektronen verhalten
sich auch wie Wellen
1927 Davisson & Germer Experiment
Elektronen verhalten sich
wie Wellen
Die Bohrsche Quantisierung
 Warum ist das Atom stabil ?
Es passen genau drei Wellen in einen Orbit
Die Bohrsche Quantisierung
Die Unschärferelation
Werner Heisenberg
p  x  h / 4p
p
E  t  h / 4p
l2
 2 l  x  h  x 
l
l
h
l
 p  
h
l
2
l
h
Eine weitere Eigenheit der Quantenwelt tritt auf, wenn man
bestimmte Eigenschaften eines Teilchens gleichzeitig misst.
Gewisse physikalische Größen – Ort und Impuls –
lassen sich nicht gleichzeitig exakt angeben,
egal wie genau man auch zu messen trachtet.
Das heißt etwa:
Ist die Position eines Teilchens sehr genau bekannt,
ist seine Geschwindigkeit weitgehend unbestimmt.
Umgekehrt wissen wir kaum etwas von seinem Aufenthaltsort,
wenn wir seine Geschwindigkeit sehr genau kennen.
Erwin Schrödinger
5. Solvay Konferenz 1927 / Brüssel
1926 Schrödinger-Gleichung
2
p
E
 V ( x, t )
2m
Quantisierung
E und p
 Operatoren
  



V
(
x
,
t
)


i

2
2m x
t
2
2
Interpretation Wellenfunktion
 Kopenhagener Interpretation
(t,x) kann keine physikalische Welle (Feld)
darstellen, da die Funktion komplex ist.
 Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen am Ort
x zur Zeit t im Intervall dx zu finden:
 ( x, t ) ( x, t )dx   ( x, t ) dx  P( x, t )dx
*
2
*(t,x) (t,x) : ist reell  Wahrscheinlichkeitsdichte pro Länge (Volumen in 3D).
Komplexe Zahlen z = x +iy
 bestehen aus Vektor und Phase
 nur Vektorlänge von  ist messbar
Interpretation Wellenfunktion
 Länge Vektor + Phase an jedem Punkt
Gaußsches Wellenpaket
 ( px )  e
( px  po )2 /  2
 Breite des Wellenpakets ,   px /2
Fouriertransformation  Wellenfunktion
( x)  (2)
  0: ebene Welle
1/ 2
e
ip0 x /   2 x 2 / 2  2
e
Teilchen realisiert als
Gaußsches Wellenpaket
Gaußsches Wellenpaket
x  4 / 
p  2
xp  8
Je breiter die Impulsverteilung,
desto schmaler die OrtsVerteilung und umgekehrt.
 Unschärferelation
Heisenbergsche Unschärfe (folgt aus Schrödinger):
xp   / 2
Ebenso:
Et   / 2
Drehimpuls
des
Elektrons
im Atom
z || B
ist quantisiert:
L = [l(l+1)]1/2
h/2p
Lz = m h/2p
Bsp.: l = 2: m = -2, -1, 0, +1, +2
Der Spin S
ist quantisiert
Stern-Gerlach Versuch 1922
Der Spin kann als Rotation des Elektrons um die eigene Achse aufgefasst
werden (links), wobei das Elektron allerdings punktförmig ist! Im Magnetfeld
kann sich der Spin in zwei Positionen ausrichten (rechts). Dann bewirkt das
Drehmoment eine Präzessionsbewegung.
Elektron: Wellenfunktion + Spin
 Länge Vektor + Spin an jedem Punkt
Das Wasserstoffatom
Eigenwerte  Die Quantenzahlen
Interpretation:
n: Hauptquantenzahl  Elektronenschale  Energie
l: Drehimpulsquantenzahl  Unterschale s, p, d, f, g, …
m: magnetische Quantenzahl  Drehimpuls Lz = m h/2p
Auschließungsprinzip von Pauli
 Periodensystem Elemente
Zwei Teilchen mit halbzahligem
Spin (Fermionen) können sich nie
im selben Zustand befinden.
 Elektronen in einem Atom
können nicht in allen
Quantenzahlen (n,l,m,s)
übereinstimmen, Schalenbau
 salopp: Fermionen sind
Einzelgänger.
H-Atom: Radiale Wellenfunktion
Kein Knoten
s: l = 0
1 Knoten
2 Knoten
Allgemein: n-l-1 Knoten
Das Wasserstoffatom
Aufenthaltswahrscheinlichkeit Elektronen
(5,0,0)
(5,1,0)
(5,1,1)
(5,3,1)
(5,2,0)
(5,4,0)
Orbitale: Stehende Wellen einer Trommel
1s
2p
3d
2s Sphärisch
Frequenz:
2pE/h ~ 1016 Hz 3p
3s
Dipole
4p
4d Quadrupole
5d
Grafik: Wikipedia
He-Atom
B-Atom
Be-Atom
Li-Atom
C-Atom
Atomarer Schalenaufbau
Zusammenfassung
• Photonen verhalten sich als Welle oder als
Teilchen  Teilchen-Welle-Dualismus
• Elektronen verhalten sich als Teilchen (im
Beschleuniger z.B.) oder als Welle 
Schrödinger erklärt den Aufbau der Atome.
• Ort und Impuls sind nicht gleichzeitig
messbar, ebenfalls Zeit und Energie nicht.
• Nur Wahrscheinlichkeiten für Aufenthalt des
Elektrons im Atom  keine Bahnen!