Lösungen - KIT - Fakultät für Mathematik

Aufgabe E 1 (8 Punkte)
Die Seiten eines Dreiecks seien 6, 8 und x.
Für welche Werte von x ist das Dreieck spitzwinklig?
Lösung: Die Ecken des Dreiecks seien A, B, C und die Länge der Seite [A, B] sei 8, die
von [A, C] 6 wie im Bild.
C.
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.....x
6 ..
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8
A
B
Der Winkel bei A muss kleiner als 90◦ sein, also ist x kleiner als die Hypotenuse eines
rechtwinkligen Dreiecks mit Katheten 6 und 8 . Es folgt nach Pythagoras
x<
√
82 + 62 = 10.
Aber auch der Winkel bei C muss kleiner sein als 90◦ , also analog
√
√
x > 82 − 62 = 2 7.
In diesem Bereich ist dann auch der Winkel bei B immer kleiner als 90◦ , die Seite mit
Länge 6 ist nicht die längste, kann also auch keinem stumpfen Winkel gegenüberliegen.
√
Also ist genau für 2 7 < x < 10 das Dreieck spitzwinklig.
Aufgabe E 2 (8 Punkte)
Zum Tag der Mathematik möchten die Organisatoren einen Riesenpfannkuchen für alle
Helfer backen.
Wie oft muss man diesen Pfannkuchen mindestens durchschneiden, damit jeder der 46
Anwesenden ein Stück erhält? Und wieso ist das so?
Hinweis: Der Pfannkuchen soll natürlich als kreisrund angenommen werden, die Schnitte
sind geradlinig, und bis zum letzten Schnitt bleibt der Pfannkuchen liegen. Insbesondere
werden nicht aus vorher geschnittenen Stücken Türme gebastelt. . .
Lösung: Mit dem ersten Schnitt entstehen 2 Stücke, mit dem zweiten 3 oder 4, je nachdem,
ob der zweite Schnitt durch den ersten hindurchgeht oder nicht.
Dies nimmt man zum Anlass, um zu überlegen, dass – wenn der k -te Schnitt im Inneren
des Pfannkuchens durch genau m der vorhergehenden Schnitte durchgeht – höchstens
m + 1 neue Stücke entstehen, und dies genau dann, wenn sich in keinem Schnittpunkt
mehr als 2 Schnitte schneiden.
Denn: Der neue Schnitt wird von den alten in höchstens m + 1 Stücke unterteilt, und zu
jedem Stück gehören zwei Flächen links und rechts des neuen Schnittes, die vorher eine
Fläche waren.
Folglich ist nach k Schnitten die Maximalzahl der Stücke
1 + 1 + 2 + 3 + 4 + ··· + k = 1 +
k(k + 1)
.
2
Die 1 am Anfang ist der ursprüngliche ganze Pfannkuchen, der beim nullten Schnitt schon
da ist.
Dies wird für k = 9 gerade 46, und damit ist die Antwort: man braucht mindestens 9
Schnitte.
Mit 9 kommt man auch wirklich aus, denn man kann die Schnitte der Reihe nach so
platzieren, dass der jeweils nächste Schnitt jeden der vorhergehenden im Pfannkuchen
trifft, und sich niemals mehr als 2 Schnitte in einem Punkt treffen.
Um das zu sehen, nimmt man ein regelmäßiges Neuneck und verlängert die Seiten zu
Geraden. Die Richtungen sind paarweise verschieden, also schneiden sich alle Geraden.
Durch keinen Punkt laufen mehr als 2 Geraden, denn das Neuneck ist konvex. Nun muss
man den Pfannkuchen so groß backen (oder das Neuneck so klein wählen), dass alle
Schnittpunkte im Inneren des Pfannkuchens liegen.
Eine Illustration hierfür sehen wir umseitig.
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Ist das jetzt fair geteilt???
Aufgabe E 3 (8 Punkte)
Eine vollkommene Zahl ist eine natürliche Zahl n , deren Teiler sich zu 2n aufsummieren.
Dabei sind 1 und n selbst auch Teiler.
Zum Beispiel 6 ist vollkommen: 12 = 1 + 2 + 3 + 6.
a) Zeige für jede natürliche Zahl a die Gleichheit
1 + 2 + 4 + · · · + 2a−1 = 2a − 1.
b) Nun sei 2a − 1 eine Primzahl. Zeige, dass 2a−1 · (2a − 1) vollkommen ist.
c) Gib zwei vollkommene Zahlen an, die größer sind als 6.
Lösung: a) Die Aussage stimmt für a = 1, denn
20 = 1 = 21 − 1.
Wenn sie für a wahr ist, so folgt für a + 1 sofort
1 + 2 + 4 + 8 + · · · + 2a = 2a − 1 + 2a = 2a+1 − 1.
Daher stimmt sie für alle natürlichen Zahlen.
b) Es sei nun p = 2a − 1 eine Primzahl. Dann sind die Teiler der Zahl
N = 2a−1 · p
genau die Zweierpotenzen 1, 2, . . . , 2a−1 und deren p -fache p, 2p, 4p, . . . , 2a−1 p.
Als Summe der Teiler ergibt sich also
1 + 2 + 4 + · · · + 2a−1 + p + 2p + 4p + · · · + 2a−1 p = (2a − 1) · (1 + p) = p · 2a = 2 · N,
also ist N perfekt.
c) Hier muss man nun nur noch Primzahlen der Gestalt 2a − 1 finden und die Zahl N
aus dem b)-Teil bilden.
Für a = 2 haben wir p = 3 und N = 6 – Mööp! – das ist zu klein.
Für a = 3 haben wir p = 7 und N = 28, das ist gut.
Für a = 4 ist p = 15 keine Primzahl (und tatsächlich ist 8 · 15 = 120 nicht perfekt: Die
Summe der Teiler ist 15 · (1 + 3 + 5 + 15) = 360 ).
Aber a = 5 liefert p = 31, und damit die perfekte Zahl N = 16 · 31 = 496.
Aufgabe E 4 (8 Punkte)
Drei 10-ct-Münzen (Radius r = 1 cm) liegen so auf einem Tisch, dass eine Münze die beiden anderen berührt.
Der Abstand dieser beiden anderen Münzen sei d . Die
Mittelpunkte der Münzen bilden ein Dreieck ∆ .
a) Wie groß kann d maximal werden?
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b) Wie groß kann der Flächeninhalt von ∆ maximal
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Lösung: a) Der Abstand d kann höchstens der doppelte Radius des mittleren“ Geldstücks
”
sein, also maximal 2 cm.
b) Das Dreieck ∆ ist immer gleichschenklig mit Schenkellänge 2cm und hat deshalb
Flächeninhalt sin2 α (2cm)2 , wobei α der Winkel zwischen den beiden Schenkeln ist. Der
Flächeninhalt wird also für α = 90◦ maximal, und das liefert den Flächeninhalt 2cm2 .