Repetitorium B: Lagrangesche Mechanik

Fakultät für Physik
T1: Klassische Mechanik, SoSe 2015
Dozent: Jan von Delft
Übungen: Katharina Stadler, Frauke Schwarz, Dennis Schimmel, Lukas Weidinger
http://homepages.physik.uni-muenchen.de/~vondelft/Lehre/15t1/
Repetitorium B: Lagrangesche Mechanik
Mo-Fr, 21-25.09.2015; Tutor: Tobias Stirner
Aufgabe 1: Zentralpotential [9]
Wir betrachten ein Teilchen der Masse m in 3 Dimensionen, das sich unter dem Einfluss eines
Zentralpotentials U (r) bewegt.
(a) [2] Erklären Sie in ein bis zwei Sätzen warum sich das Teilchen in einer Ebene bewegt. Diese Ebene parametrisieren wir duch Polarkoordinaten (ρ, φ). Bestimmen Sie die LagrangeFunktion des Teilchens.
(b) [1] Zeigen Sie, dass φ zyklisch ist und bestimmen Sie die zugehörige Erhaltungsgröße `.
(c) [1] Begründen sie ferner warum die Energie erhalten ist und zeigen sie, dass sie von der
Form
1 `2
1
+ U (ρ)
(1)
E = mρ̇2 +
2
2 ρ2 m
ist.
(d) [1] Bestimmen Sie die Bewegungsgleichung für ρ. Vereinfachen Sie diese mit Hilfe von `
und bringen Sie sie auf die Form
mρ̈ = −∂ρ Veff (ρ) = −∂ρ (U (ρ) + D(ρ)) ,
wobei D(ρ) die Drehimpulsbarriere darstellt.
(e) [2] Nehmen Sie im Folgenden an, dass U (ρ) von der Form U (ρ) = α ρ1n ist. Wie ist die Form
des Potentials, d.h. wie sind α und n zu wählen, damit es einem Teilchen mit Energie E
und Drehimpuls ` möglich ist bis zum Ursprung zu gelangen?
Hinweis: Am Ursprung selbst treten Aufgrund der Singularität des Potentials stetig behebare Definitionslücken in Drehimpuls und Energie auf. Für unsere Fragestellung hier,
sowie für Teilaufgabe (e), führen diese Lücken aber zu keinen Problemen und können
ignoriert werden.
1
(f) [2] Nehmen Sie nun an, dass man für ein
solches Potential, das das Durchlaufen des
Zentrums erlaubt, nebenstehende Trajektorie erhält, d.h. das Teilchen läuft auf einer
Kreisbahn mit Mittelpunkt M durch den Ursprung O. Eine Parametrisierung hierfür ist
gegeben durch ρ(φ) = 2a cos(φ). Hieraus
folgt insbesondere, dass ρ̇ = −2aφ̇ sin φ.
Für U (ρ) = α ρ1n ist eine solche Trajektorie nur für eine besondere Wahl der Potenz n und
der Energie E mit dem Energieerhaltungssatz (1) verträglich. Finden sie diese besonderen
Werte von n und E.
Aufgabe 2: 2-Dimensionaler harmonischer Oszillator [8]
Ein Punkt der Masse m bewegt sich in der xy-Ebene in einem zweidimensionalem harmonischen Potenzial
mit ω = konst.
V (x, y) = 12 mω 2 x2 + y 2 ,
Seine Energie sei E, sein Drehimpuls bezüglich des Ursprungs sei L. Verwenden Sie im Folgenden Zylinderkoordinaten, mit x = ρ cos φ und y = ρ sin φ.
(a) [1] Geben Sie die Lagrange-Funktion L(ρ, φ) des Massenpunkts an.
(b) [1] Nutzen Sie Euler-Lagrange-Gleichung für die Winkelvariable φ(t), um φ̇ durch den
erhaltenen Drehimpuls L auszudrücken.
(c) [3] Nutzen Sie Energieerhaltung, um eine Differenzialgleichung für die Radialvariable ρ(t)
aufzustellen. Geben Sie das effektive Potential Veff (ρ) für die Radialbewegung explizit an,
und skizzieren Sie es.
(d) [1] Zeigen Sie, dass die Umkehrpunkte der Bewegung, ρ1 und ρ2 , durch folgenden Ausdruck
gegeben sind:
2 i
p
E h
ρ1
2 ω 2 /E 2 .
1
±
1
−
L
=
ρ22
mω 2
(e) [2] Bestimmen Sie, welchen Wert das Verhältnis E/L haben muß, damit die Bahnkurve
perfekt kreisförmig ist. Bestimmen Sie den entsprechenden Kreisradius ρ◦ und die Winkelgeschwindigkeit φ̇ als Funktionen von E, m und ω.
(f) [2] Zeigen Sie, dass sich für Kreisbahnen die Werte von E/L, ρ◦ und φ̇ auch alternativ
auf folgende Weise bestimmen lassen: Für Kreisbahnen ist die Geschwindigkeit entlang
der Bahnkurve durch v = ρ◦ φ̇ gegeben. Ferner wird die radiale Komponente der Kraft Fρ
genau durch die Zentrifugalkraft Fcf kompensiert. Bestimmen Sie, ausgehend von |Fρ | =
Fcf , zunächst φ̇ als Funktionen von ω, danach ρ◦ als Funktion von L und ω, und setzen
Sie die Ergebnisse in E ein. Was bekommen Sie nun für E/L?
2
Aufgabe 3: Pendel an parabolischem Draht [10]
Im Schwerefeld der Erde sei eine Punktmasse m [mit Koordinaten (x2 , z2 )] über einen masselosen Faden der Länge l [mit
Ausschlagswinkel θ] an einer Punktmasse 3m [mit Koordinaten
(x1 , z1 )] aufgehängt, die sich reibungsfrei auf einer Parabel der
Form z1 = 2l1 x21 bewegt (siehe Skizze). Ziel dieser Aufgabe ist
es, die Eigenfrequenzen kleiner Schwingungen dieses Systems zu
bestimmen. Betrachten Sie somit im Folgenden ausschliesslich
den Limes θ 1, und wählen Sie q1 := x1 und q2 := lθ als
verallgemeinerte Koordinaten.
(x 1, z 1)
3m
z
x
θ l
(x 2, z 2)
m
(a) [2] Drücken Sie x1 , z1 , x2 und z2 sowie ẋ1 , ż1 , ẋ2 und ż2 durch q1 und q2 sowie q̇1 und
q̇2 aus. Hinweis: Entwickeln Sie sin θ und cos θ bis zu (und einschließlich!) der zweiten
Ordnung in θ.
(b) [3] Zeigen Sie, dass die Lagrangefunktion L(q1 , q2 , q̇1 , q̇2 ) im Limes kleiner Schwingungen
folgende Form hat:
mit Ω2 = g/l .
(2)
L = 21 m 4q̇12 + 2q̇1 q̇2 + q̇22 − Ω2 (4q12 + q22 − 2l2 ) ,
Hinweis: Terme höherer als quadratischer Ordnung in q1 , q2 , q̇1 und q̇2 (d.h. Produkte von
mehr als zwei dieser Variablen) sollten vernachlässigt werden.
(c) [3] Nutzen Sie Matrixnotation, um die Eigenfrequenzen ω1 und ω2 des Systems zu finden.
(d) [2] Berechnen Sie die entsprechenden Eigenmoden und skizzieren Sie qualitativ die Eigenschwingungen als Funktion der Zeit für jede der beiden Eigenmoden.
Aufgabe 4: Perle an schwingendem Reifen [8]
Im Schwerefeld der Erde sei ein Ring der Masse
M und des Radius R, so aufgehängt, dass er frei
in der Ringebene schwingen kann (siehe Skizze).
Das Trägheitsmoment IP des Ringes bezüglich
der Rotation um den Aufhängepunkt P ist durch
IP = 2M R2 gegeben. Eine Perle der Masse m kann
reibungslos entlang des Rings gleiten.
P
M
θ1 R
Q
R
θ2
m
(a) [3] Finden Sie die Lagrange-Funktion des Systems. Wählen Sie dazu die in der Skizze
angedeuteten Winkel θ1 und θ2 als verallgemeinerte Koordinaten.
3
(b) [2] Zeigen Sie, dass die Bewegungsgleichungen im Limes kleiner Schwingungen folgende
Form haben:
0 = θ¨1 + Aθ1 + B θ¨2
0 = θ¨1 + Cθ2 + θ¨2
M +m g
m
g
mit A =
, B=
und C = .
2M + m R
2M + m
R
(3)
(4)
Hinweis: Zur Herleitung der Bewegungsgleichungen können Sie bereits die Lagrangefunktion im Limes kleiner Schwingungen betrachten.
(c) [3] Nehmen Sie nun m = M an. Finden Sie die Eigenfrequenzen ω1 und ω2 des Systems.
Berechnen und skizzieren Sie die entsprechenden Eigenmoden.
Aufgabe 5: Geladener Massepunkt im Magnetfeld eines geraden Leiters [6]
Das Magnetfeld außerhalb eines unendlich langen, geraden, von einem Strom I durchflossenen
Leiters hat die Form B(r) = c(x22I+y2 ) (−y, x, 0)T .
2 2
I
(0, 0, 1)T eine mögliche Wahl für das entsprechende
(a) Zeigen Sie, dass A(r) = − c log x R+y
2
Vektorpotential darstellt, wobei R eine beliebige Länge ist.
(b) Die Lagrange-Funktion eines geladenen Massenpunktes (Masse m, Ladung q) lautet L (r, ṙ) =
m 2
ṙ − A · ṙ. Drücken Sie diese in Zylinderkoordinaten (ρ, φ, z) aus.
2
(c) Zeigen Sie, dass Rotationen um die z-Achse, Translationen in z-Richtung und Zeittranslationen Symmetrien des Systems sind. Wie lauten die entsprechenden Erhaltungsgrößen
Lz , pz und E?
(d) Drücken Sie φ̇ und ż in dem Ausdruck für die Energie E durch Lz und pz aus und reduzieren Sie das Problem effektiv auf ein eindimensionales Problem mit dem Freiheitsgrad
ρ.
(e) Finden Sie die effektive potentielle Energie für die radiale Bewegung, Veff (ρ). Skizzieren
Sie diese als Funktion von ρ und diskutieren Sie die möglichen Bewegungsarten.
(f) Welcher Bewegung im 3-dimensionalen Raum entspricht es, wenn der Massenpunkt im
Minimum der effektiven potentiellen Energie ruht?
[Gesamtpunktzahl Aufgaben: 41]
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