Theoretische Physik fürs Lehramt: L1

Theoretische Physik fürs Lehramt: L1
Beatrix C. Hiesmayr
Faculty of Physics, University Vienna
[email protected]
SS 2008
Inhaltsverzeichnis
Vorwort: Warum soll sich eine angehende Lehrkraft mit Theoretischer Physik “quälen”? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Die Newtonsche Mechanik
1.1 Was versteht man unter einem Teilchen (Massenpunkt)? . . .
1.2 Wie sehen Newtons 3 Axiome aus? . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Zu Newtons Axiomen und ihren Zusätzen . . . . . . .
1.3 Die Newtonschen Gleichungen im Detail . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Die Mathematik hinter den Newtongleichungen oder
wie Theoretiker gerne analysieren . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Und wenn der Theoretiker weiter in diesem Sinne analysiert: Newtonschen Gleichungen für N Teilchen . . .
1.4 Was versteht man unter einem Feld? . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Ist die Masse träger als schwer oder schwerer als träg? . . . . .
1.6 Beispiele gegebener Kräfte à la Newton . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Ein Massenpunkt im homogenen Schwerefeld oder im
homogenen elektrischen Feld . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Freie Schwingung oder Federkraft . . . . . . . . . . . .
1.6.3 Was kann für Kräfte, die nur vom Ort abhängen, ausgesagt werden? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Für welche Kräfte gilt die Energieerhaltung? . . . . . . . . . .
1.8 Warum macht es Sinn sich mit Potentialen “herumzuschlagen”?
1.9 Noch ein wichtiger Spezialfall: Zentralpotentiale und Kepler–
Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Weitere Erhaltungssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11 Schwarze Löcher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.12 Welches Raum-Zeit Konzept steckt hinter den Newtonschen
Gleichungen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.13 Beschleunigte Bezugssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.13.1 Linear beschleunigtes Bezugssystem . . . . . . . . . . .
1.13.2 Rotierende Bezugssysteme . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Lagrangesche Mechanik
2.1 Einleitung/Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Generalisierte Koordinaten und deren Geschwindigkeiten .
2.3 Wie erfolgt eine Bewegung? . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Wie “errät” man die Lagrangefunktion? . . . . . . . . . .
2.5 Erhaltungssätze und Symmetrien . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Welche Eigenschaften erleichtern das Erraten von L noch?
2.7 Der Lagrange– und Hamiltonformalismus . . . . . . . . . .
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3 Relativistische Mechanik
3.1 Die Lorentztransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Wie schaut das Raum–Zeit Konzept der Lorentztransformationen aus? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Auswirkungen des veränderten Raum–Zeit Konzepts: Lorentzkontraktion und Zeitdilatation . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Wie sehen Impuls– und Energiebegriff für ein relativistisches
Teilchen aus? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Äquivalenz von Masse und Energie . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Wie behandelt man Teilchen mit Ruhemasse 0? . . . . . . .
3.7 Anwendungen: Teilchenphysik . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1 Der Zerfall von einem Teilchen . . . . . . . . . . . . .
3.7.2 Wie sieht die Kinematik der Teilchenerzeugung aus? .
3.8 Um den Kreis zu schließen: Wie sieht der relativistische Kraftbegriff aus? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Elektrodynamik: Ein Paradebeispiel einer relativistischen Theorie
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4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2 Die Lagrangefunktion der Elektrodynamik . . . . . . . . . . . 90
4.2.1 Wie sieht die Lagrangefunktion für ein freies relativistisches Teilchen aus? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.2.2 Wie sieht die Lagrangefunktion für geladene Teilchen
aus? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.3 Die Lorentzkraft und ihr nichtrelativistischer Limes . . . . . . 97
4.4 Die Maxwell Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Vorwort:
Warum soll sich eine angehende Lehrkraft
mit Theoretischer Physik “quälen”?
Womit beschäftigt sich die Theoretische Physik?
Der “klassische” Zyklus, wie er auch an dieser Universität gelesen wird, umfasst die Mechanik, die Elektrodynamik, die Quantenmechanik und die Thermodynamik. In ihnen werden die Grundgedanken entwickelt, die die Unzahl
an experimentellen Phänomenen, die wir aus Experimenten kennen, beinhaltet, und in ein auf wenigen Prinzipien fußenden Gedankengebäude zusammengefasst. Es bietet das Grundgerüst, für die Allgemeine Relativitätstheorie, die Teilchenphysik, die theoretische Festkörperphysik, die mathematische
Physik, . . . die gegenwärtige Forschungsgebiete sind.
Durch Abstraktion erhält man einen anderen Einblick in die Naturgesetze,
über die Entstehung und Dynamik unseres Universums,. . . , aber natürlich
erhöht ein besseres Verständnis immer die Aussicht auf neue Anwendungen
und Fortschritt.
Die Mechanik war das erste Teilgebiet der Physik, in dem ein mathematischer Zugang zu einem weitreichenden Verständnis der beobachteten
Phänomene und Vorgänge geführt hat. Die im Verlauf der Entwicklung dieses
Gebietes eingeführten Begriffe und Methoden haben sich von außerordentlich großer Tragweite erwiesen und werden heute in allen übrigen Gebieten
der Physik verwendet, mehr noch sie öffnet das Tor, mit dem die moderne Physik erst verstanden werden kann. Zum Beispiel werden wir in dieser
Vorlesung über den Lagrangeformalismus bzw. Hamiltonformalismus sprechen, der zunächst möglicherweise nicht sinnvoll erscheint, da er “nur” eine
andere Betrachtungweise darstellt, aber ohne das Verständnis eines so genannten Hamilton’s kann die Schrödinger Gleichung, die das Verhalten von
Quantenteilchen beschreibt, nicht verstanden werden und Erwin Schrödinger
hätte sie wahrscheinlich nie “finden” können, hätte er sich nicht mit diesem
Formalismus beschäftigt.
Die klassische Mechanik wird manchmal auch als “das Paradies des Physikers 1 ” genannt, da hier Klarheit herrscht, da genau festgelegte Ursachen zu
genau festgelegten Wirkungen führen (wir werden allerdings durchaus unsere
liebe Mühe haben und des Öfteren ziemlich schwitzen :-)). Vor der Vertreibung aus dem Paradies haben William Thomson und Lord Kelvin ja noch
gemeint, die Physik sei beinahe vollständig verstanden, nur zwei offene Dinge
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Original Ton: Bernhard Baumgartner
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gäbe es noch: der “Äther” des Lichtträgers und die Wärmestrahlung. Wie
wir wissen haben genau diese Dinge sich zu der Notwendigkeit geführt, unser
Weltbild, unser Gedankengebäude neu zu entwickeln, im Besonderen unsere
Vorstellung von Ort und Zeit. Eines der ungelösten derzeitigen Probleme ist,
wir haben keine Idee wie die zwei modernen Theorien, Relativitätstheorie und
Quantentheorie, zusammenpassen sollen. Beide sind sehr gut experimentell
bestätigt. Immerhin widersprechen sich beide Theorien nicht in ihren Aussagen!
Die Mechanik ist bis heute die exemplarische Disziplin geblieben, an der
man die Denkweisen der theoretischen Physik gut verstehen lernt. Die Mechanik befasst sich mit der Bewegung von Gegenständen (Körpern). Über eine
Beschreibung der Bewegung gelangt man zu einer Analyse ihrer Ursachen.
Das führt zu einer bedeutenden Verständnis- Ökonomie: eine Vielfalt möglicher Bewegungen kann auf wenige Ursachen zurückgeführt werden. Sind die
Ursachen einer Bewegung bekannt, so kann diese im Prinzip aus Anfangsdaten und mechanischen Charakteristika des bewegten Körpers vorausberechnet werden. Je nach dem Aufbau der untersuchten Körper unterscheidet man
zwischen der Mechanik von Teilchen bzw. aus solchen aufgebauten Systemen
und der Mechanik von Kontinua. Diese Unterscheidung ist sehr alt, hat aber
immer noch ihre Bedeutung. Zwar ist es heute angesichts des Aufbaus jeglicher Materie aus Atomen und deren Bestandteilen klar, dass jeder Körper
streng genommen ein Teilchensystem und kein Kontinuum ist. In vielen Anwendungen ist es jedoch möglich und auch zweckmäßig, von der atomaren
Struktur abzusehen und die Materie als kontinuierliche Verteilung von Masse
zu beschreiben.
Bewegung bedeutet eine Ortsveränderung im Laufe der Zeit. Die zu ihrer Untersuchung entwickelten Methoden erweisen sich als tragfähig genug,
um viel allgemeinere zeitliche Veränderungen zu erfassen: die mechanische
Dynamik wird zum Modellfall von Dynamik schlechthin (Lagrange– bzw.
Hamiltonformalismus). Die Untersuchung eines zusammengesetzten Systems
durch Analyse seiner Teile und ihrer Wechselwirkungen, das Aufsuchen der
relevanten Freiheitsgrade sowie die Bedeutung von Erhaltungsgrößen sind
weitere Züge, die über die Mechanik hinaus von Wichtigkeit sind und wir
werden uns damit befassen. Auch die verwendeten mathematischen Methoden und Techniken sind im gesamten Bereich der theoretischen Physik (und
weit über diese hinaus) von Nutzen.
Will man die große Bedeutung der Theoretischen Physik und damit der
Modernen Physik erfassen und diese Disziplin verstehen, so muss man zuerst
die Mechanik gründlich studieren. Die vorliegende Vorlesungsausarbeitung
gibt einen kurzen Einblick in diese und sollte einer Lehrkraft die Fähigkeit
geben,
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• den Schulstoff von einer abstrakteren Sicht zu verstehen,
• mit den wichtigsten Begriffsbildungen und Methoden soweit vertraut
gemacht werden, dass er/sie damit umgehen kann und den Überblick
über das behält, worauf es für das Verständnis physikalischer Sachverhalte ankommt,
• er oder sie soll in die Lage versetzt werden, sich über den Vorlesungsstoff
hinausreichende Kenntnisse aus der Literatur selbst anzueignen und
sich gegenwärtige und neue Entwicklungen in der Modernen Physik
aneignen zu können.
Damit wünsche ich viel Spass, weil auch das soll Physik sein!
Beatrix C. Hiesmayr
Wien, März 2008
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Kapitel 1
Die Newtonsche Mechanik
Hier werden wir uns mit der Welt, wie sie von Newton gesehen wurde,
beschäftigen. Wir werden uns das Raum–Zeit Konzept, das dieser Welt unterliegt, erarbeiten und als Anwendung die Keplergesetze herleiten.
1.1
Was versteht man unter einem Teilchen
(Massenpunkt)?
Als Teilchen (Massenpunkt) bezeichnen wir ein Objekt, dessen Abmessungen
man bei der Beschreibung der Bewegung vernachlässigen kann. Teilchen ist
also ein Näherungskonzept, eine Idealisierung. Aus der hier gegebenen Definition ist ersichtlich, dass man dabei nicht nur an die Teilchen denken muss,
aus denen die Materie zusammengesetzt ist. Zwar entsprechen z.B. Elektronen oder Protonen der Definition in fast allen Fällen, unter Umständen tun
es auch Atome oder Moleküle oder auch größere Objekte wie ein Auto. Das
Konzept ist also in einem viel größeren Bereich praktisch bzw. brauchbar.
Zur Verdeutlichung betrachten wir die folgenden einfachen Beispiele:
(1) Bewegung von Protonen (Protonradius ∼ 10−13 cm) in großen Kreisbeschleunigern (z.B. CERN-Beschleuniger bei Genf, dort gerade (2008)
der LHC (Large Hadron Collider) in Betrieb). Bahnradius 102 − 103 m,
Abweichungen von der Kreisbahn durch Schwingungen ∼ 1 cm. Im
Vergleich dazu spielt der Radius des Protons keine Rolle.
(2) Bewegung eines Satelliten (Abmessung einige m) um die Erde (Erdradius ∼ 6.000 km). Der Bahnradius betrage 3 Erdradien (∼ 18.000 km).
Im Vergleich dazu spielt die Abmessung des Satelliten sicher keine Rolle. Über den Einfluss der Abmessung der Erde muss man hingegen
nachdenken.
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Kapitel 1. Die Newtonsche Mechanik
(3) Bewegung der Erde (r ∼ 6 · 103 km) um die Sonne (r ∼ 6.9 · 105 km).
Der mittlere Bahnradius beträgt ∼ 1.5 · 108 km; Unterschied größte kleinste Entfernung von der Sonne ∼ 6 · 106 km. Im Vergleich zu beiden
Bahndaten spielt die Abmessung der Erde keine Rolle.
Es kommt also auf die Abmessungen des Objektes im Vergleich zu charakteristischen Abmessungen für die Bewegung (Bahndaten) an. Die Modellvorstellung “Massenpunkt” ist also eine Idealisierung, die annimmt, dass
die Bahnkurve ohne Berücksichtigung der anderen Freiheitsgrade behandelt
werden kann. Die Anwendung des Modells ‘Massenpunkt” kann aber auch
fehlerhaft sein! (Beispiel: Die Drehung einer Billardkugel kann einen wesentlichen Einfluss auf die Bahn haben! Der Reiz des Billardspiels!)
Aber bereits bei der Bewegung eines Teilchens kann man zwischen zwei
Auffassungen unterscheiden. Man kann sich zunächst dafür interessieren, wie
die Bewegung zu beschreiben ist (Kinematik), ohne dass man fragt, warum
sie so und nicht anders erfolgt. Die vom Teilchen beschriebene Bahn wird
dann als vorgegebene Kurve im Raum aufgefasst, die zunächst rein geometrisch untersucht wird. Aus der Untersuchung, wie sie vom Teilchen durchlaufen wird (wo es sich in verschiedenen Zeitpunkten befindet), also aus der
Bahnkurve


x(t)
~r(t) = x(t) ~e1 + y(t) ~e2 + z(t) ~e3 =  y(t)  ,
(1.1)
z(t)
erhält man weitere mechanische Charakteristika der Bewegung, z.B. die Geschwindigkeit


ẋ(t)
d
~v (t) := ~r(t) = ~r˙ (t) = ẋ(t) ~e1 + ẏ(t) ~e2 + ż(t) ~e3 =  ẏ(t) 
(1.2)
dt
ż(t)
und die Beschleunigung


ẍ(t)
d
~a(t) := ~v (t) = ~r¨(t) = ẍ(t) ~e1 + ÿ(t) ~e2 + z̈(t) ~e3 =  ÿ(t)  .
dt
z̈(t)
(1.3)
Hier beschreiben ~e1/2/3 Einheitsvektoren im kartesisches Koordinatensystem.
Hinweis: Um viel Schreibarbeit zu vermeiden und eine Verallgemeinerung in
beliebige Dimensionen zu erleichtern, bedient sich der Theoretiker oft einer
Kurzschreibweise. Z.B. für die Bahnkurve kann man schreiben
~r(t) = xi (t) ~ei ,
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(1.4)
1.2. Wie sehen Newtons 3 Axiome aus?
wobei man bei gleichen Indizes
immer eine Summe über alle Koordinaten
P3
versteht, also xi (t) ~ei ≡
ei , und hier sind x1 (t) ≡ x(t), x2 (t) ≡
i=1 xi (t) ~
y(t), x3 (t) ≡ z(t).
Anstatt sich die Kinematik anzuschauen kann man sich für die Dynamik
interessieren, um die Ursachen zeitlicher Änderungen und damit der Bewegung überhaupt. Man fragt nach dem Warum und nimmt die Bahnkurve
nicht einfach als vorgegeben hin: man trachtet, sie aus möglichst einfachen
Ursachen zu berechnen. Es ist einleuchtend, dass die Kinematik eine Vorstufe zur Dynamik ist: man lernt aus ihr, auf welche Bestimmungstücke es
ankommt. Auch historisch war die Kinematik eine wesentliche Vorstufe:
Keplers Gesetze gaben eine rein kinematische Beschreibung der Planetenbewegung; erst mit Newtons Dynamik war es möglich, die Bewegung der Planeten (und anderer Himmelskörper) aus der Schwerkraft als universeller Ursache zu berechnen.
Achtung: Die vertraute Beschreibung der Bahnkurve (1.1) ist in
keiner Weise trivial!
Sie setzt ganz wesentliche Dinge voraus, nämlich ein Längenmessung, eine Zeitmessung und eine physikalische Annahme über die Struktur unseres
Raumes.
Die Längen- und Zeitmessung erfolgt durch die Festlegung eines Verfahrens zur Messung. Ein kartesischen Koordinatensystems (KS) existiert nur
im euklidischen oder ebenen Raum. Der Gegensatz dazu ist ein gekrümmter
Raum, definiert dadurch, dass in ihm kein kartesisches Koordinatensystem
möglich ist (Beispiel: zweidimensionaler Raum der Kugeloberfläche). Allerdings kann man im euklidischen Raum natürlich auch gekrümmte Koordinaten (wie Kugelkoordinaten oder Zylinderkoordinaten) verwenden, was wir
natürlich immer dann machen, wenn die physikalische Situation dadurch einfacher zu beschreiben ist, z.B. Bewegung einer Masse auf einer Kreisbahn.
1.2
Wie sehen Newtons 3 Axiome aus?
Jede physikalische Theorie muss von gewissen unbewiesenen, grundlegenden
Gesetzen ausgehen, die man aus (endlich) vielen Beobachten gewinnt. Durch
Vorhersagen kann das Gesetz verifiziert, aber nicht bewiesen werden. Durch
eine einziges Experiment kann es falsifiziert werden.
In der (klassischen) Mechanik können Newtons Axiome (mit einigen Ergänzungen) als Naturgesetze aufgefasst werden.
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Kapitel 1. Die Newtonsche Mechanik
1. Axiom: Es existieren Bezugssysteme (BS), so genannte Inertialsysteme (IS), in denen die kräftefreie Bewegung durch
~r˙ (t) = ~v = const (daher: ~a = ~r¨ = 0) geschrieben werden
kann.
Es ist klar, dass die beobachteten Bewegungen vom spezifizierten BS abhängt:
Ein Billardspieler wird ganz andere Beobachtungen machen, wenn sich der
Tisch auf einem Karussell befindet.
Achtung: Natürlich kann man auch mit nicht IS arbeiten und das ist auch
oft der Fall (wir wohnen ja auf einem rotierenden Planeten), aber es treten
dann noch zusätzliche Kräfte auf (siehe Abschnitt 1.13)!
In einem IS sind die physikalischen Gesetze besonders einfach: die gleichförmige Bewegung oder Ruhe ist ein Zustand, in dem der Körper verharrt. Ohne
Kräfte bewegen sich die Körper also gleichförmig, d.h. die Integration von
˙
~r(t)
= ~v = const ergibt:
~r(t) = ~v t + ~r(0) .
(1.5)
Falls Kräfte gelten, dann führt dies zu einer nicht gleichförmigen Bewegung,
die zum 2. Axiom führt:
2. Axiom:
d(m ~v )
dt
=
d~
p
dt
:= F~ im IS
Es beinhaltet die Definition der Masse und Kraft als Messgrößen und weiters
die physikalische Aussage über die Bahnbewegung.
Achtung: Für Geschwindigkeiten vergleichbar mit der Lichtgeschwindigkeit
c gilt diese Axiom nicht, es ist falsifiziert (siehe Kapitel 3)! Aber da es für
weite Bereiche korrekte Vorhersagen macht, arbeitet man weiterhin damit,
es ist sozusagen nützlich und brauchbar.
Das letzte Axiom lautet:
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1.3. Die Newtonschen Gleichungen im Detail
3. Axiom: Der Kraft, mit der die Umgebung auf einem Massenpunkt wirkt, entspricht stets eine gleich große, entgegengesetzte Kraft, mit der der Massenpunkt auf seine Umgebung
wirkt:
F~actio = −F~reactio
1.2.1
Zu Newtons Axiomen und ihren Zusätzen
Für Systeme aus Massenpunkten braucht man zusätzliche Annahmen über
die auftretenden Kräfte:
1. Zusatz: Die Kräfte, die zwischen zwei Massenpunkten auftreten, wirken entlang der Verbindungslinie:
(~r1 − ~r2 ) × F~12 = 0
2. Zusatz: Wirken mehrere Kräfte F~i auf einen Massenpunkt, so
ist die Gesamtkraft F~ die Summe der Einzelkräfte:
X
F~i
F~ =
i
Die Zusätze gelten beispielsweise für die Newtonschen Gravitationskräfte
oder die Coulombkräfte, sie schränken aber die möglichen Kraftansätze ein.
Magnetische Kräfte zwischen bewegten Ladungen verletzen Zusatz 1, nichtlineare elektromagnetische Feldeffekte in einem Medium verletzen Zusatz 2.
1.3
Die Newtonschen Gleichungen im Detail
Ausgangspunkt für die Dynamik in der von Newton gegebenen Form ist das
Trägheitsprinzip von Galilei:
Ein Körper, der eine konstante Geschwindigkeit hat, ändert diese nicht, sofern er keinen äußeren Einwirkungen unterliegt (Axiom 1).
Das wesentliche Neue an diesem Prinzip war, dass zur Aufrechterhaltung
13
Kapitel 1. Die Newtonsche Mechanik
einer (geradlinigen und gleichförmigen) Bewegung keine Ursachen notwendig sind. Diese sind nur erforderlich, wenn die Geschwindigkeit (nach Betrag
und/oder Richtung!!) geändert werden soll. Unserer Alltagserfahrung und
der der Schüler entspricht das nicht gerade, da z.B. eine Kugel sehr schnell
zur Ruhe kommt (natürlich meist auf Grund der Reibung).
Aber mit der Modernität kennen wir mittlerweile solche Situationen: es
ist bekannt, dass man den Raketenantrieb eines Raumschiffes nur zum Starten, Bremsen und Manövrieren braucht. Nach Brennschluss bewegt sich das
Raumschiff mit der zuletzt erreichten Geschwindigkeit weiter, ohne dass dafür
ein Antrieb nötig ist.
Zu Galileis Zeiten war ein beträchtliches Maß an Abstraktion nötig, um
diesen Zusammenhang zu erkennen: man kannte nur Bewegungen, die unter
dem Einfluss von Reibungskräften verlaufen, wodurch die Geschwindigkeit
verändert wird (wie meist in unserem Alltag); daher hatte man lange Zeit
hindurch (zurecht) geglaubt, dass auch zur Aufrechterhaltung von Bewegung
Kräfte nötig sind (wenn ein Wagen nicht vom Pferd gezogen wird, bleibt er
stehen).
Eine Dynamik wird daher so zu fassen sein, dass Kräfte als Ursache von
Geschwindigkeitsänderungen anzusehen sind. Um zu einer quantitativen Beziehung zu kommen, braucht man ein Maß für die Trägheit des Körpers, dessen Geschwindigkeit sich ändern soll: es ist einleuchtend, dass dieselbe Kraft
auf verschieden schwere Körper verschieden wirkt. Für ein Teilchen (das per
definitionem keine innere Struktur hat) sollte eine einzige Zahl als mechanisches Charakteristikum ausreichen, um seine Trägheit zu beschreiben. Wir
nennen sie die träge Masse m und nehmen zur Kenntnis, dass verschiedene
Teilchen durch verschiedene Massen unterschieden werden können.
Mit Newton benützen wir zur Formulierung der Dynamik anstelle der
Geschwindigkeit des Teilchens den Impuls
p~ = m~v .
(1.6)
Dass diese Größe zweckmäßiger ist, wird sich später zeigen (Seite 38).
Newtons Bewegungsgleichungen zur Bestimmung der Bahn ~r(t) lauten dann (vergleiche Axiome)
m ~r˙ (t) = p~ (t)
p~˙ (t) = F~
(1.7)
(1.8)
Die auf das Teilchen wirkende Kraft F~ kann als Ursache der Bewegung angesehen wird.
14
1.3. Die Newtonschen Gleichungen im Detail
Im Allgemeinen reicht es in der Mechanik anzunehmen, dass die Kraft F~
vom Ort ~r(t) und der Geschwindigkeit ~v (t) und manchmal auch explizit von
t abhängt oder mathematisch hingeschrieben:
F~ = F~ (~r(t), ~v (t), t) .
(1.9)
Man schließ damit zum Beispiel aus, dass die Kraft von der Beschleunigung
oder von höheren Ableitungen oder der Bewegung des Teilchens zu früheren Zeiten abhängt. Geschwindigkeitsabhängige Kräfte sind zum Beispiel die
Lorentzkraft, mit der wir uns noch beschäftigen werden, und die Reibungskraft.
Soll die Bahnkurve durch Lösung der Newtonschen Gleichungen berechnet
werden, so muss die Kraft als Funktion seiner Argumente bekannt sein. Die
Bestimmung der Bewegung ist damit auf die Ermittlung der Kraft zurückgeführt. Man kann dabei phänomenologisch vorgehen: man macht einen Ansatz für die Kraft und untersucht, welche Bahnen damit aus den Newtongleichungen herauskommen; stimmen sie mit beobachteten Bahnen überein, so
ist man zufrieden; andernfalls verändert man den Ansatz solange, bis Übereinstimmung erreicht wird. Damit erreicht man eine gewisse erkenntnistheoretische “Ökonomie”, da ein einziger Ansatz für F~ sehr viele verschiedene
Bewegungen als Konsequenzen hat.
Schon Newton hat erkannt, dass aus einem einzigen Ansatz für die Schwerkraft die Bahnen aller Himmelskörper des Sonnensystems folgen (wie praktisch)! Die Schwerkraft auf den durch ~r(t) beschriebenen Himmelskörper wird
dabei durch alle übrigen Himmelskörper hervorgerufen. Die Sonne dominiert
dabei so stark, dass es in sehr guter Näherung genügt, die von ihr ausgeübte
Schwerkraft zu betrachten. Das werden wir noch genauer in Abschnitt 1.9
untersuchen.
1.3.1
Die Mathematik hinter den Newtongleichungen
oder wie Theoretiker gerne analysieren
Mathematisch sind die Newtongleichungen (1.7) und (1.8) ein System von
Differentialgleichungen 1. Ordnung für 6 Funktionen (3 Komponenten von
~r (t), 3 von p~ (t)). Die Bahn ist dadurch in Termen von 6 Anfangswerten,
~r (t0 ) und p~ (t0 ), festgelegt. Im Allgemeinen sind diese Differentialgleichungen nichtlinear. Ein lineares System resultiert nur, wenn F~ eine Linearkombination von ~r und p~ ist, d.h. nur für einen sehr speziellen Kraftansatz
(Fällt jemandem dazu eine physikalische Situation ein?). Für die Schwerkraft F~ ∼ r13 ~r (oder Coloumbkraft) ist das System bereits nichtlinear.
15
Kapitel 1. Die Newtonsche Mechanik
Man kann natürlich die erste Gleichung (1.7) in die zweite (1.8) einsetzen
und erhält ein System von drei Differentialgleichungen 2. Ordnung für ~r(t):
F~ = m ~r¨(t)
Dies ist natürlich die bekannte Formel für die Kraft “Kraft=Masse×Beschleunigung”!
Eine Voraussetzung dafür ist, dass die Masse m konstant ist, sonst kann man
die erste Gleichung nicht in die zweite einsetzen! Nur unter dieser Bedingung
gilt diese Formel!
1.3.2
Und wenn der Theoretiker weiter in diesem Sinne analysiert: Newtonschen Gleichungen für N
Teilchen
Die Verallgemeinerung der Newtongleichungen für N Teilchen ist leicht anzugeben. Die Massen der Teilchen können voneinander verschieden sein, m(n) ,
ebenso kann auf jedes Teilchen n eine andere Kraft F~ (n) wirken. Damit haben
wir die folgenden zwei Gleichungen für N Teilchen:
m(n) ~r˙ (n) (t) = p~ (n) (t)
p~˙ (n) (t) = F~ (n)
(1.10)
(1.11)
wobei n = 1, 2, . . . , N das jeweilige Teilchen bezeichnet. Um die N Bahnkurven durch Lösung dieser Gleichungen bestimmen zu können, müssen alle
Kräfte als Funktionen der Koordinaten und Geschwindigkeiten und unter
Umständen auch explizit von der Zeit bekannt sein. Die Newtongleichungen
sind dann (wie für ein Teilchen) ein (i.a. nichtlineares) System von Differentialgleichungen erster Ordnung für 6N Funktionen. Die Bahnen werden
dadurch in Termen von 6N Anfangswerten festgelegt (3N Anfangsorte, 3N
Anfangsimpulse).
Sind alle Massen konstant, so kann man die zwei Gleichungen wieder in
3N Differentialgleichungen 2. Ordnung umschreiben
m(n)~r¨ (n) (t) = F~ (n) .
(1.12)
Für numerische Lösungsverfahren sind Differentialgleichungen 1. Ordnung
oft von Vorteil, sonst macht es natürlich keinen Unterschied.
Jedoch sehr wichtig für die Struktur der Gleichungen ist, von welchen
Variablen die Kräfte wirklich abhängen. Würde man annehmen, dass in F~ (n)
nur Ort und Geschwindigkeit des n–ten Teilchens (und allenfalls die Zeit t)
vorkommen, so wäre das unrealistisch. Man könnte dann das Teilsystem für
16
1.3. Die Newtonschen Gleichungen im Detail
(~p (n) , ~r (n) ) für jeden einzelnen Wert von n lösen, also jedes Teilchen separat
betrachten, ohne sich um die übrigen Werte N − 1 kümmern zu müssen. Die
Teilchen würden voneinander nichts spüren, jedes würde sich auf einer Bahnkurve bewegen, die davon unabhängig ist, ob die übrigen Teilchen überhaupt
vorhanden sind oder nicht. Statt eines Einteilchenproblems hätte man also
N Einteilchenprobleme formuliert, d.h. man würde damit nur die Bewegung
von Teilchen ohne Wechselwirkung erfassen, eine wirklich fade oder wie der
Theoretiker so gerne sagt “triviale” Situation.
In Wirklichkeit oder was uns mehr interessiert ist natürlich die Wechselwirkung der Teilchen untereinander: ein herausgegriffenes Teilchen (Nr. n)
erfährt Kräfte von allen übrigen, d.h.
F~ (n) = F~ (n) (~r (1) , ~r (2) , . . . , ~r (N ) ; p~ (1) , p~ (2) , . . . , p~ (N ) , t) .
(1.13)
Dadurch werden die Newtonschen Gleichungen zu einem gekoppelten System
von Differentialgleichungen: in den Gleichungen für (~r (n) , p~ (n) ) kommen über
F~ (n) alle übrigen Orts– und Geschwindigkeitsvektoren vor und umgekehrt;
man muss das System als Ganzes betrachten.
Die Kräfte sind in der Newtonschen Mechanik als die Ursachen aufzufassen, auf die die Bewegungen zurückgeführt werden kann. Wie bereits für
ein Teilchen festgestellt wurde, können die Kräfte nicht “berechnet” werden,
sondern man muss sie in Form eines Ansatzes für die funktionale Abhängigkeit von F~ (n) von seinen Variablen in die Bewegungsgleichungen “hineinstecken”. Der “richtige” Kraftansatz resultiert mitunter erst nach einem längeren Erkenntnisprozess, by trial and error. D.h. man untersucht die aus einem
bestimmten Ansatz folgenden Bewegungen durch Lösung der Newtonschen
Gleichungen, vergleicht das Resultat mit beobachteten Bewegungen und korrigiert den Ansatz so lange, bis Theorie und Experiment übereinstimmen.
Dadurch lernt man etwas über die Ursachen der Bewegung, also über den
Mechanismus, der einem Bewegungsphänomen zugrunde liegt. Das Ziel dieses Prozesses ist es, auf phänomenologischem Weg zu immer “tieferen” Ursachen vorzudringen. Ein Kraftansatz ist dabei als “besser”, “tiefer” anzusehen, wenn er in dem Sinn “allgemeiner” ist, dass aus weniger zugrunde
liegenden Annahmen mehr Konsequenzen gezogen werden können, wenn also mehr Phänomene auf weniger Ursachen zurückgeführt werden.
Albert Einstein formulierte das etwa so: “Eine Theorie ist umso eindrucksvoller, je größer die Einfachheit ihrer Prämissen ist, je verschiedenartigere
Dinge sie verknüpft und je weiter ihr Anwendungsbereich ist.”
Übungsaufgabe: Es gibt nur 4 fundamentale Kräfte oder Wechselwirkungen (nach derzeitigem Stand des Wissens), die die Moderne Physik kennt: die
17
Kapitel 1. Die Newtonsche Mechanik
starke, die schwache, die elektomagnetische Wechselwirkung und die Gravitation (die schwache und elektromagnetische Wechselwirkung kann zur einer
Theorie vereinheitlicht werden, die elektroschwache Wechselwirkung). Überlege wie die Herkunft der folgenden Kräfte erklärt werden kann: Muskelkraft, Zwangskräfte (z.B. Körper auf Tischplatte), Rückstellkräfte (z.B. Feder, Festkörper möchte nach Verformung in ursprünglichen Zustand zurück),
Haftreibung, Gleitreibung, Scheinkräfte (siehe auch Kapitel 1.13), Druckkräfte (z.B. Auftrieb),. . .
1.4
Was versteht man unter einem Feld?
Das Gravitationsgesetz
~r1 − ~r2
,
F~12 = G m1 m2
|~r1 − ~r2 |3
(1.14)
lässt sich auf zweierlei Art interpretieren: Einerseits kann man sich vorstellen, dass die auf m1 wirkende Kraft F12 den zwischen den Massenpunkten m1
und m2 befindlichen Raum einfach überspringt und direkt auf m1 wirkt (und
natürlich umgekehrt). Die Frage nach einem Mechanismus der Kraftübertragung wird hier nicht gestellt. Die zur Newtons Zeit vertretene Auffassung
hieß Fernwirkungstheorie. Eine moderne Auffassung der Kraftübertragung
ist beim Studium der elektromagnetischen Phänomene entwickelt worden,
die so genannte Nahwirkungstheorie und kann in gleicher Weise auch auf die
Newton Theorie angewendet werden. Hier erzeugt die Masse m2 ein Feld, ein
materiefreies Medium, im ganzen Raum. Es existiert auch falls m1 nicht vorhanden ist. Bringt man m1 aus dem Unendlichen in einen endlichen Abstand
zu m2 , so wird durch das Feld auf die Masse m1 eine Kraft F~12 ausgeübt.
Dabei gilt: Das von m2 erzeugte Feld existiert im ganzen unendlichen Raum,
eine Kraftwirkung aber nur an Stellen im Raum, an denen sich Massen befinden. Siehe auch Seite 66.
Noch eine sehr praktische Eigenschaft: Das Gravitationsfeld einer kugelförmigen Masse mit dem Radius R außerhalb des Körpers bleibt gleich,
wenn man sich das Volumen des Körpers unverändert, die Gesamtmasse jedoch im Kugelmittelpunkt konzentriert vorstellt. (Beweis: siehe Literatur)
18
1.5. Ist die Masse träger als schwer oder schwerer als träg?
1.5
Ist die Masse träger als schwer oder schwerer als träg?
Betrachten wir die fundamentalen Gleichungen der Mechanik, die Newtonsche Bewegungsgleichung (Index t für träge)
F~ = mt ~r¨
(1.15)
und das Gravitationsgesetz
~ 2 = G m2 ~r ,
G
|~r|3
~2 .
F~12 = m1 G
(1.16)
(1.17)
In allen 3 Gleichungen kommen Massen vor allerdings im Zusammenhang mit
verschiedenen Eigenschaften. In (1.15) kommt zum Ausdruck, dass sich die
Masse unter dem Einfluss einer Kraft bewegt, wobei diese Bewegung gewissermaßen “träge” erfolgt: Starke Änderungen von F~ übertragen sich direkt
nur auf ~r¨, nicht jedoch auf die durch zweimalige Integration “geglättete”
Bewegung ~r. Masse besitzt sozusagen Trägheit und mt ist die träge Masse.
Das ist aber nur eine Seite der Medaille! Nach (1.16) ist die Masse auch
“felderzeugend” (siehe Abschnitt 1.4). Darüber hinaus wird durch (1.17) auf
einen Massenpunkt durch das Feld eine Kraft übertragen. Ein Körper im Gravitationsfeld der Erde drückt mit einem Gewicht m ~g (~g . . . Erdbeschleunigung)
auf die Erdoberfläche. Diese Gewichtseigenschaft (“Schwere”) stellt demnach
eine zur Trägheit unterschiedliche Eigenschaft dar. Die 3 Gleichungen beschreiben jeweils unterschiedliche Eigenschaft (Trägheit, Fähigkeit zur Felderzeugung, Schwere).
Aufgrund des 3. Axioms, “actio=reactio”, können wir (1.16) und (1.17)
als gleichartig auffassen und haben damit
~r1 − ~r2
F~12 = G m1 m2
,
|~r1 − ~r2 |3
(1.18)
wobei hier m1/2 die schwere Masse ist. Aber sind diese zwei Arten von Massen
identisch?
Experimente finden keinen messbaren Unterschied zwischen träger Masse
und schwerer Masse! Daher kommen wir durch Angabe eines einzigen skalaren
Wertes m aus, wie praktisch!!
Im Rahmen der Newtonschen Mechanik und der Gravitationstheorie ist
die Gleichheit der Massen ein Zufall. Dagegen nimmt sie die Allgemeine Relativitätstheorie zum zentralen Ausgangspunkt (Einsteinsches Äquivalenzprinzip)!
19
Kapitel 1. Die Newtonsche Mechanik
1.6
Beispiele gegebener Kräfte à la Newton
Wir beschäftigen uns nun mit Problemen, die sich in einer Dimension darstellen lassen, und kommen so auf den sehr praktischen Begriff “Potential”.
Dieser bildet die Grundlage der Diskussion sehr vieler verschiedener physikalischer Situationen auf eine einfache und einheitliche Weise ohne auf zu
viele Details, die einer speziellen physikalischen Situation entsprechen, eingehen zu müssen.. . .
1.6.1
Ein Massenpunkt im homogenen Schwerefeld oder
im homogenen elektrischen Feld
Die Kraft ist in diesem Fall gegeben durch
F = m z̈ = −m g ,
(1.19)
wobei g die Erdbeschleunigung ist und in der Nähe der Erdoberfläche als
konstant angesetzt werden kann. Die Kraft ist also weder von Ort, noch Geschwindigkeit, noch Zeit abhängig. Einmal integrieren ergibt (Warum kürzt
sich die Masse heraus?)
vz (t) := ż = −g t + vz (0) ,
wobei vz (0) die Integrationskonstante, bzw. die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0 ist. Ein weiteres Mal integrieren ergibt
g
z(t) = − t2 + vz (0) t + z(0) ,
2
wobei z(0) wieder die Integrationskonstante, bzw. der Ort des Massenpunktes
zum Zeitpunkt t = 0.
Ein analoger Kraftanzatz ist für die Beschreibung eines geladenen Teilchens in einem homogenen elektrischen Feld, wie gegeben zwischen den Platten eines geladenen Kondensators. Hier ist die Masse durch die Ladung zu
ersetzen und g durch den Betrag der elektrischen Feldstärke. Im Gegensatz
zur Masse kann die Ladung natürlich positive oder negativ sein, daher kann
es sich nach oben oder unten bewegen.
1.6.2
Freie Schwingung oder Federkraft
Stellen wir uns eine Feder mit einer Masse vor, die in der x–Richtung ausgelenkt wird. Hier ist die Kraft proportional zur Auslenkung x aus der Ruhelage
m ẍ(t) = −k x(t)
und k ist die Federkonstante, die im Experiment zu bestimmen ist.
20
(1.20)
1.6. Beispiele gegebener Kräfte à la Newton
Die Bewegungsgleichung ist eine homogene lineare1 (gewöhnliche) Differentialgleichung (siehe Mathematik Vorlesung), deren allgemeine Lösung eine
Linearkombination von zwei linear unabhängigen Lösungen ist, d.h.
x(t) = A cos(ω t) + B sin(ω t)
(1.21)
q
k
mit ω = m
. Das lässt sich sofort verifizieren, indem man diese Lösung zweimal nach t differenziert und in die obige Bewegungsgleichung einsetzt. Die
Integrationskonstanten A und B erhält man durch einsetzen der Anfangsbedingungen x(0) = x0 und ẋ(0) = v0 , also lautet die Lösung
v0
x(t) = x0 cos(ω t) +
sin(ω t) .
(1.22)
ω
Dass bei der Lösung der sin oder cos auftritt sollte uns nicht verwundern,
eine Masse die sich auf einer rotierenden Scheibe befindet und von der Seite
betrachtet wird, führt genau die Bewegung aus, die eine Masse an einer Feder
ausführt.
1.6.3
Was kann für Kräfte, die nur vom Ort abhängen,
ausgesagt werden?
Der Theoretiker: Können wir allgemeiner Aussagen über Kräfte treffen, die
nur vom Ort abhängen, wie die Federkraft?
Wir suchen also die Lösung für die folgende Bewegungsgleichung
m ẍ(t) = F (x(t)) .
(1.23)
Multiplizieren wir beide Seiten mit ẋ(t), so kann die obige Gleichung auch
so geschrieben werden
d
md
ẋ(t) = − U (x(t)) ,
(1.24)
2 dt
dt
wobei U eine Funktion nur vom Ort ist und gewöhnlich Potential oder potentielle Energie (ahha!) genannt wird und sich allgemein so schreiben lässt
Z
U (x) = − dx F (x) + const ,
(1.25)
1
Die Kraft hängt nur linear von x ab.
21
Kapitel 1. Die Newtonsche Mechanik
wobei die Integrationskonstante ohne Bedeutung für die Bewegungsgleichung
ist (fällt beim Differenzieren weg!). Umgekehrt errechnet man klarerweise bei
gegebenen Potential die Kraft durch
F (x) = −
d
U (x)
dx
(1.26)
oder im 3–dimensionalen Fall
~ (~r)
F~ (~r) = −gradU (~r) = ~ei ∇i U (~r) = ∇U
 ∂

U (~r)
∂x
∂
∂
U (~r) =  ∂y U (~r)  ,
= ~ei
∂xi
∂
U (~r)
∂z
(1.27)
worauf wir später näher darauf eingehen.
Integrieren wir nun die die Bewegungsgleichung (1.23) nach der Zeit, erhalten wir
m
ẋ(t)2 = −U (x(t)) + E.
2
(1.28)
Die Integrationskonstante E ist hier nichts anderes als die Summe der potenziellen Energie und —richtig!!— der kinetischen Energie! Damit haben wir
ganz allgemein gezeigt, dass für Kräfte die nur vom Ort abhängen und als
Gradient eines Potentials geschrieben werden können, die Energieerhaltung
gilt.
Lösen wir die obige Gleichung nach ẋ auf, erhalten wir
dt = q
dx
(1.29)
2(E−U (x))
m
und integrieren
Z
x
q
t − t0 =
x0
dx0
2(E−U (x0 ))
m
.
(1.30)
Mit den Anfangsbedingungen x(t0 ) und ẋ(t0 ) haben wir die Lösung t = t(x)
gefunden und damit implizit x = x(t).
Nur in sehr speziellen Fällen kann man das Integral analytisch lösen,
wie für den harmonischen Oszillator U (x) = kx2 /2, bzw. der Federkraft
d
U (x) = −F (x) = kx) oder das Potential U (r) ∼ 1r . Der harmonische
( dx
Oszillator ist übrigens das “Lieblingsobjekt” eines Theoretikers (warum?).
22
1.6. Beispiele gegebener Kräfte à la Newton
Der harmonische Oszillator und der Potentialbegriff
2
Für das harmonische
Potential U (x)√= kx
/2 wollen wir jetzt das Integral
R
√
2
(1.30) lösen ( 1/(1 − ax ) = arcsin ax/ a) und nach x auflösen mit x0 =
0, t0 = 0:
r
x(t) =
2E
sin(
k
r
k
t) = ω −1
m
r
2E
sin(ωt) .
m
(1.31)
Dies ist natürlich dieqgleiche Lösung wie (1.22) für die gegebenen Randbe, die Anfangsgeschwindigkeit bei t0 = 0.
dingungen und v0 = 2E
m
Die Geschwindigkeit erhalten wir durch Differenzieren
v(t) = ẋ(t) = v0 cos(ωt)
(1.32)
und damit lautet die Energieerhaltung für alle Zeiten t
m v(t)2 k x(t)2
+
= E = const .
2 } | {z
2 }
| {z
Ekin =
p(t)2
2m
(1.33)
U (x)
Dies legt eine andere Betrachtungsweise nahe, da die Gleichung allgemein als
eine Funktion vom Ort und Impuls aufgefasst werden kann, d.h.
H(x, p) = Ekin + U =
p2
k x2
+
.
2m
2
(1.34)
Hier ist H die berühmte Hamilton-Funktion. Fassen wir Ort und Impuls als
Koordinaten auf, ein solcher Raum wir dann Phasenraum genannt, dann beschreibt diese Formel für verschiedene Zeiten die Bahn im Phasenraum. Da
die Funktion in unserem Falle konstant ist, ergibt die Bahn eine Ellipse oder
einen Kreis, siehe Fig. 1.2 (mit geeigneter Skalierung kann man immer einen
Kreis erreichen). Damit kann der harmonische Oszillator auch charakterisiert werden. Man erkennt sehr schön die formale Symmetrie, nämlich eine
Drehsymmetrie im Phasenraum. Allgemein wird die Bewegung damit zur
Geometrie von Phasentrajektorien und führt zum Verständnis struktueller
Eigenschaften der zugrundeliegenden Theorie.
Wir werden in den Übungen auch den gedämpften harmonischen Oszillator berechnen und später nochmals auf die Hamilton-Funktion zurückkommen, die auch der Ausgangspunkt für die Quantenmechanik ist.
23
Kapitel 1. Die Newtonsche Mechanik
Abbildung 1.1: Die Lösungen des harmonischen
x(t), ẋ(t), Ekin (ẋ(t)), U (x(t)), E in Abhängigkeit der Zeit t.
Oszillators:
Wie behandelt man ortsabhängige Kräfte?
Ganz allgemein führt eine nur ortsabhängige Kraft zur Energieerhaltung und
damit zu der Möglichkeit einer graphischen Diskussion der Lösung. Diese Vorgehensweise ist auch bei komplizierteren Problemen eine bewährte Methode,
wie wir im Weiteren sehen werden.
1.7
Für welche Kräfte gilt die Energieerhaltung?
Starten wir mit der Newtonschen Bewegungsgleichung und multiplizieren
diese skalar mit ~r˙ , also
m ~r¨ · ~r˙ = F~ · ~r˙ ,
(1.35)
so können wir diese Gleichung auch in der Form
d m~r˙ 2
= F~ · ~r˙ = P ,
dt 2
24
(1.36)
1.7. Für welche Kräfte gilt die Energieerhaltung?
Abbildung 1.2: Der so genannte Phasenraum des harmonischen Oszillators:
Äußerste Kurve für E, innere für E/2. Wie ändert sich die Bahn eines Oszillators, falls E geändert wird?
25
Kapitel 1. Die Newtonsche Mechanik
Abbildung 1.3: Die eindimensionale Bewegung eines Teilchens, das nur einer ortsabhängigen Kraft ausgesetzt ist, kann mit Hilfe des Energiesatzes
E = mẋ2 /2 + U (x) = const. graphisch diskutiert werden. Der vertikale Abstand zwischen U (x) und der Horizontalen E ergibt die kinetische Energie mẋ2 /2. Man kann weiters die Bewegungsrichtung wählen ẋ > 0 oder
< 0 und so die Änderung von ẋ2 anhand des vertikalen Abstandes ablesen. Die Schnittpunkte von E mit U (x) werden Umkehrpunkte genannt.
Warum? Verläuft die Bewegung zwischen zwei Umkehrpunkten kann dadurch
die Schwingungsdauer einer Periode bestimmt werden.
26
1.8. Warum macht es Sinn sich mit Potentialen “herumzuschlagen”?
wobei P klarer Weise eine skalare Größe ist und physikalisch nichts anderes
als die an das System übertragene Leistung. Teilen wir jetzt die Kraft in
einen so genannten konservativen und dissipativen Anteil auf (werden gleich
verstehen warum)
F~ = F~kons + F~diss ,
(1.37)
wobei wir den konservativen Anteil definieren durch alle Anteile der Kraft,
die sich auf die folgende Form bringen lassen:
d U (~r)
F~kons · ~r˙ = −
.
dt
(1.38)
Setzen wir diese Definition in die obigen Gleichungen ein, erhalten wir
Ã
!
d m~r˙ 2
+ U (~r)
= F~diss · ~r˙ .
(1.39)
dt
2
Daraus sieht man, haben wir keine dissipativen Kräfte, d.h. energieverlierenden Kräfte, nur konservative, energieerhaltende Kräfte ergibt sich der Energiesatz:
Kräfte konservativ −→
m~r˙ 2
+ U (~r) = E = konst.
2
(1.40)
Dissipative Kräfte führen also zur Umwandlung von mechanischer Energie
Ekin +U des betrachteten Teilchens in andere Energieformen, z.B. in Wärmeenergie.
Noch allgemeiner ist das Potential einer konservativen Kraft gegeben
durch
~ (~r) + ~r˙ × B(~
~ r, t) ,
F~kons = −∇U
(1.41)
~ ein beliebiges Vektorwie wir in Übungen nachprüfen werden. Hierbei ist B
feld, z.B. das Magnetfeld für ein geladenes Teilchen mit Geschwindigkeit ~r˙
( qc = 1 und damit die berühmte . . . . . . . . . -Kraft).
1.8
Warum macht es Sinn sich mit Potentialen “herumzuschlagen”?
Zusammenfassend können wir also “nur” konservative Kräfte durch ein Potential beschreiben, warum macht es trotzdem Sinn?
27
Kapitel 1. Die Newtonsche Mechanik
1. Die wichtigsten physikalische Kräfte sind konservative Kräfte (welche?).
Für diese Kräfte kann eigens eine andere Betrachtungsweise entwickelt
werden, beruhend auf der Potentialidee, einerseits der Hamilton– und
andererseits der Lagrange–Formalismus (siehe Kapitel 2). Wir werden
sehen, dass der Formalismus aber viel allgemeiner ist, man kann nicht
nur mechanische Systeme damit beschreiben, er ist die Grundlage, um
die z.B. die 4 Grundkräfte zu beschreiben.
2. Wir müssen für eine physikalische Situation nicht mehr ein Kraftanzatz erraten (einen Vektor!!), sondern nur einen Ansatz für das skalare
Potential U (~r), das eine skalare Größe ist und damit mathematisch
einfachere Größe als der Kraftvektor. Deswegen sind qualitative Überlegungen für U leichter durchzuführen als für F~ . Kennt man U für
ein System aus N Teilchen in der Umgebung einer bestimmten Stelle
(~r (1) , . . . , ~r (N ) ), so lässt sich der Verlauf von F~ (n) sofort angeben: die
Kraft zeigt in Richtung des steilsten Abfalls von U , mathematisch gerade gegeben durch Gradient (siehe auch Gl. (1.26))!! Natürlich ist ein
Preis dafür zu bezahlen: durch die Physik ist U nur bis auf eine Konstante bestimmt (= Integrationskonstante). Ändert man U um eine
Konstante U + C, so ändern sich die Bewegungsgleichungen nicht, weil
in ihnen nur die Kräfte = Gradienten des Potentials vorkommen und C
beim Differenzieren wegfällt. Die Änderung von U um eine Konstante
bedeutet, das man die Energie von einem anderen Wert an zählt. Die
Wahl des Energienullpunktes ist willkürlich. Sie hat keine Konsequenzen für die Newtonschen Bewegungsgleichungen, wie wir gesehen haben
und daher äquivalent zu den Newtonschen Bewegungsgleichungen.
3. Das “echte” skalare Potential U (~r), das man vielleicht gar nicht kennt,
kann man oft gut durch einen einfacheren funktionellen Zusammenhang
(z.B. harmonisches Potential) ersetzen und kann dann qualitative oft
erstaunlich gut die Physik des Problems beschreiben (z.B. graphische
Diskussion in Fig. (1.3)).
4. Der harmonischer Oszilator gibt für viele Potentiale und Probleme eine
erste, oft schon sehr gute Lösung.
5. In der Quantentheorie kann man ein Analogon zur Newtonkraft nicht
konstruieren, da auf Grund der Heisenbergschen Unschärferelation, wir
entweder den Ort genau bestimmen, dann ist aber der Impuls unscharf,
sogar noch schlimmer: unbestimmt, also nicht einmal prinzipiell durch
irgendeine Messung bestimmbar! Oder man bestimmt den Impuls genau, dann ist der Ort unbestimmt. Man muss also einen ganz anderen
28
1.9. Noch ein wichtiger Spezialfall: Zentralpotentiale und Kepler–Gesetze
Ansatz verfolgen, um die Bewegungsgleichung für Quantenteilchen aufstellen zu können, die berühmte Schrödingergleichung:
i~
d
ψ = Hψ
dt
(1.42)
wobei H die Hamiltonfunktion ist und meist durch
H =
p2
+ U (x)
2m
(1.43)
gegeben ist, wobei U (x) das Potential ist.
6. Aber es kommt in Zuge der Quantentheorie noch schlimmer: Schickt
man Elektronen durch einen Doppelspalt, deren Spalte so weit auseinander liegen, dass dahinter die beiden Elektronenwellen nicht überlappen können, also eine wellenfreie Region entsteht, und bringt man dort
eine sehr lange, dicht gewickelte Spule an. Diese erzeugt im Inneren
ein konstantes Magnetfeld, das Streufeld außerhalb kann verschwindend klein angenommen werden. Nach den Gesetzen der klassischen
~ das auf das elektronenfreie Gebiet
Physik kann dieses Magnetfeld B,
beschränkt ist, nicht die Bewegung der Elektronen beeinflussen. Quantenmechanisch beschreibt man das Magnetfeld durch das dazugehörige
~ dass außerhalb der Spule nicht Null ist, daher die
Vektorpotential A,
Bahn der Elektronen sehr wohl beeinflussen kann. 1959 schlugen Aharanov und Bohm dieses Experiment vor, das auch realisiert wurde. Das
Experiment zeigte, dass die Interferenzstreifen sich verschieben falls das
Magnetfeld einschaltet ist! Damit ist einerseits die quantenmechanische
Beschreibung die Richtigere, aber mehr noch das Potential muss in der
~ angesehen werQuantenphysik als fundamentaler als das Kraftfeld B
den! Es ist also nicht wie in der klassischen Physik und wie wir es hier
verwenden nur eine Hilfsgröße!
1.9
Noch ein wichtiger Spezialfall: Zentralpotentiale und Kepler–Gesetze
Allen sind die drei Kepler–Gesetze bekannt. Wir wollen sie hier als Folge der
Gravitationsanziehung mit Hilfe der in den vorigen Abschnitten erarbeiteten
Konzeptes des Potentials berechnen. Dabei werden wir bisweilen verallgemeinern, um erkennen zu können, welche spezielle Lösung von der Natur in
unserem Sonnensystem vorherrscht.
29
Kapitel 1. Die Newtonsche Mechanik
Das 1. Kepler–Gesetz lautet “Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen mit
der Sonne in einem Brennpunkt”.
Wir haben es hier mit einem 2 Körperproblem (Sonne+Planet) zu tun. Wir
wählen den Koordinatenurspursprung im Massenmittelpunkt von Erde und
Sonne (das kann man immer tun, da die Schwerpunktbewegung und die Relativbewegung getrennt erhalten sind, was wir hier nicht beweisen). Somit
müssen wir uns nur mit den relative Koordinaten beschäftigen und haben
mM
die reduzierte Masse µ = m+M
einzusetzen, die aber bei Sonne und Planet
mM
im Wesentlichen m+M ≈ m ist, da m ¿ M .
Erfolgt die Bewegung in 3 Dimensionen reicht im Allgemeinen der Energiesatz für die analytische Lösung der Newtonschen Gleichungen nicht aus.
Die Integration gelingt allerdings, wenn auch der Drehimpuls
~ := ~r × p~
L
(1.44)
erhalten ist.
Multiplizieren wir die Bewegungsgleichungen für die Bahnkurve ~r(t) vektoriell mit ~r(t):
m ~r(t) × ~r¨(t) = ~r(t) × F~
(1.45)
~ durch
und definieren, das auf das Teilchen wirkende Drehmoment D
~ = ~r × F~
D
(1.46)
~ als auch D
~ ändern sich bei Verschiebung des Ursprungs,
(Achtung: Sowohl L
im Gegensatz zu F~ , p~) Da ~r˙ ×~r˙ immer Null ist, können wir die Gleichung (1.45)
so schreiben:
d~
~ .
L = D
(1.47)
dt
Die zeitliche Änderung des Drehimpulses ist also gleich dem Drehmoment.
Damit gilt, falls das Drehmoment verschwindet ist der Drehimpuls erhalten:
d~ ~
~
~ = (const)
~ = ~0 −→
L = 0 =⇒ L
.
(1.48)
D
dt
Für Kräfte F~ ungleich Null ist das Drehmoment nur Null, wenn die Kraft parallel oder antiparallel zu ~r ist, also muss die Kraft in Richtung zum Zentrum
des Bezugssystems wirken (oder entgegengesetzt). Für ein Teilchen unter dem
Einfluss einer so genannten Zentralkraft ist der Drehimpuls erhalten:
F~ k ± ~r −→
~ = ~0
D
−→
~
~ = (const)
L
(1.49)
Drehimpulserhaltung gilt daher für alle Potentiale die nur vom Betrag
von ~r abhängen.
30
1.9. Noch ein wichtiger Spezialfall: Zentralpotentiale und Kepler–Gesetze
Solche Potentiale, U = U (r), heißen Zentralpotentiale und ihre
Kraft ist gegeben durch
~ (r) = − ~r dU (r)
F~ = −∇U
r dr
(1.50)
und zeigt daher zum Zentrum (das wir als Ursprung unseres Koordinatensystems gewählt haben).
Falls der Drehimpuls erhalten ist, dann erfolgt die Bewegung immer in einer
Ebene. Wir haben damit zwei Erhaltungsgrößen
d
E = 0
dt
d~
L = 0.
dt
(1.51)
Betrachten wir zuerst den Drehimpulssatz. Erfolgt die Bewegung in der x, y–
Ebene




x(t)
px (t)
~r =  y(t) 
p~ =  py (t)  ,
(1.52)
0
0
dann zeigt der Drehimpuls in die z–Richtung. Für unser Problem werden
wir allgemein am besten die Zylinderkoordinaten bzw. Polarkoordinaten (zKoordinate ist ja Null) verwenden (sind dem Problem besser angepasst):
x(t) = r(t) cos(φ(t))
y(t) = r(t) sin(φ(t))
z(t) = 0
(1.53)
und damit sind die Geschwindigkeiten durch
ẋ(t) = ṙ(t) cos(φ(t)) − r(t) φ̇(t) sin(φ(t))
ẏ(t) = ṙ(t) sin(φ(t)) + r(t) φ̇(t) cos(φ(t))
(1.54)
gegeben. Dann ergibt sich der Betrag vom Drehimpuls zu (~r˙ 2 = ṙ2 + r2 φ̇2 )
~ = µ r2 φ̇
L = |L|
bzw. φ̇ =
L
,
µ r2
(1.55)
der so genannte Zentrifugalterm (warum?) und damit haben wir die folgende
Energieerhaltung (der Relativbewegung)
E=
µ ṙ2
µ ~r˙ 2
+ U (r) =
+ Uef f (r)
2
2
31
(1.56)
Kapitel 1. Die Newtonsche Mechanik
mit
L2
+ U (r) .
2µr2
Uef f (r) =
(1.57)
Das Gravitationspotential ist mit U (r) = − αr gegeben, wobei α = GM m,
1 q2
falls wir das Coulombpotential betrachten würden, dann wäre α = −q
.
4πε0
Weiters ist es ein 1–dimensionales Problem (Bewegung erfolgt in einer
Ebene), das heißt wir können es genauso behandeln, wie in Abschnitt 1.6. Wir
erhalten also ganz analog zu Gleichung (1.29) die Lösungen der Newtonschen
Bewegungsgleichungen durch
Z r
dr0
q
t − t0 =
,
(1.58)
0
r0 =r(t0 )
2(E−U (r ))
µ
welches als Inverses r(t) liefert und durch Integration von φ̇ =
L
dφ =
µ
Z
t
t0
dt0
,
r(t0 )2
φ0 = φ(t0 ) ,
L
,
µr2
also
(1.59)
erhält man φ(t). Damit haben wir dann die Bahnkurve (1.53) durch r(t) und
φ(t) bestimmt.
Wir interessieren uns im Folgenden nicht für die Zeitabhängigkeit direkt,
sondern mehr für die Form der Bahn (Kreis, Ellipse,. . . ), daher wählen wir
eine andere Parameterdarstellung und zwar wollen wir r(φ) bestimmen und
haben damit die Lösung in der Form (vergleiche mit (1.53)):
x(φ) = r(φ) cos(φ)
y(φ) = r(φ) sin(φ) .
(1.60)
Aus
√
q
2µ 2
r E − Uef f (r)
L
Z r
L
dr0
p
=⇒ φ − φ0 = √
,
2µ r0 r02 E − Uef f (r0 )
ṙ
dr
= =
dφ
φ̇
(1.61)
geben.
Die Newtonschen Bewegungsgleichungen lassen sich sogar analytisch Lösen,
allerdings gibt es eine elegantere Methode and die Bahnformen heranzukommen, die auch einen tieferen Einblick in die Physik des Problems gibt, den
wir daher hier wählen.
32
1.9. Noch ein wichtiger Spezialfall: Zentralpotentiale und Kepler–Gesetze
Schauen wir uns eine endliche Bewegung an, d.h. eine, bei der sich das
Teilchen in einem endlichen Raumgebiet bewegt. Damit eine solche Bewegung
möglich ist, muss es (mindestens) einen oberen und einen unteren Umkehrpunkt geben, die wir r> bzw. r< nennen. Für den unteren Umkehrpunkt r<
sorgt falls L 6= 0 im Allgemeinen das Zentrifugalpotential (warum?). Damit
es einen oberen Umkehrpunkt gibt, muss das effektive Potential für r > r<
(mindestens) ein Minimum haben. Eine endliche Bewegung wird auftreten,
wenn E richtig liegt (und die weiteren Details ergeben sich durch die Besonderheiten des exakten Potentialverlaufs), siehe Fig. 1.4.
Abbildung 1.4: Potential (hier U = V ) für radialsymmetrische Zentralpotentiale.
Für radialsymmetrische Zentralpontentiale verläuft die Bahnkurve zwischen zwei Kreisen mit den Radien r< (für Planeten heißt dieser Kreis Perihel) bzw. r> (für Planeten heißt dieser Kreis Aphel) und hat entweder die
Form einer Rosette oder einer Maanderkurve, vgl. Fig. 1.5.
Abbildung 1.5: Eine Rosettenbahn oder eine Mäanderbahn.
Wie man sieht ist eine Kreisbahn nur für sehr spezielle Werte von E und
33
Kapitel 1. Die Newtonsche Mechanik
~ möglich, nämlich dann wenn E = min Uef f entspricht, dann fallen die
|L|
zwei Umkehrpunkte r< und r> zusammen.
Wie kommt man jetzt zu den Keplerbahnen. Wir wissen die Bahnen sind
~
geschlossen. Es muss noch eine weiter Erhaltungsgrößen geben (außer E, L),
da wir wissen, dass die Bahn sich nicht dreht, d.h. wir suchen nach einer
Größe, deren Zeitkonstanz eine Drehung der Rosette verhindert. Was kann
das für ein Vektor sein?
Er wir in der Bahnebene zu suchen sein (also in der x, y–Ebene). Als
~ d (~r × L)
~ zur Verfügung. Die
“Kandidaten” haben wir nur ~r, p~, ~r × L,
dt
Zeitableitungen von Ort und Impuls kommen direkt in den Newtonschen
Bewegungsgleichungen vor, haben wir also schon behandelt. Bleibt also nur
der letzte Kandidat, seine Zeitableitung ergibt
d
~ = −∇U
~ (r) × L
~ = − α ~r × L
~
p~ × L
dt
r3
α
1
=
(~p − 2 ~r · (~r · p~)) .
r
r
(1.62)
Betrachten wir die Zeitableitung von
µα ·
d ~r
α
1
= (~p − 2 ~r · (~r · p~)) .
dt r
r
r
(1.63)
Beide Ausdrücke sind gleich, d.h. die Differenz ist Null und damit ist der
entsprechende Vektor
~ = p~ × L
~ − µα ~r
A
r
(1.64)
~ = 0 und wird Lenz–Runge–Vektor genannt.
zeitlich erhalten dtd A
~ ist es egal, an welchem Punkt der Bahn wir
Für die Berechnung von A
beginnen, wählen wir die x–Achse, dann folgt
34
1.9. Noch ein wichtiger Spezialfall: Zentralpotentiale und Kepler–Gesetze
~ · ~r = A r · cos φ
A
(1.65)
~ · ~r = L2 − µαr .
A
(1.66)
und
Durch Gleichsetzen beider Gleichung erhalten wir
2
A r · cos φ = L − µαr
=⇒
r(φ) =
1+
L2
µα
A
cos φ
µα
(1.67)
und damit die gesuchte Lösung für (1.60).
Wenn wir die Parameterdarstellungen von Kegelschnitten (Brennpunkt
im Ursprung), Fig. 1.6, betrachten, erkennen wir,—abhängig von den Werten
von E, L— ergeben sich unterschiedliche Lösungen. Ein Vergleich ergibt den
folgenden Halbparameter und die folgende Exzentrizität
L2
µα
A
ε =
µα
p =
(1.68)
• Betrachten wir den Fall α > 0, also eine anziehende Wechselwirkung
(Gravitation oder Coulombkraft mit q1 q2 < 0). Dann gilt p ≥ 0 und
ε ≥ 0 und wir haben (vgl. Fig. 1.6)
ε
0
ε
ε
=
<
=
>
0 . . . Kreis
ε < 1 . . . Ellipse
1 . . . Parabel
1 . . . Hyperbel
• Betrachten wir den Fall α < 0, also eine abstoßende Wechselwirkung
(Coulombkraft mit q1 q2 > 0), dann erhalten wir den folgenden Kegelschnitt (vgl. Fig. 1.6)
r(φ) =
|p|
.
−1 + |ε| cos φ
(1.69)
Natürlich muss der Radius positiv sein, daher −1 + |ε| cos φ > 0 und
das ist nur für |ε| > 1 der Fall. Damit haben wir eine Hyperbel Lösung.
35
Kapitel 1. Die Newtonsche Mechanik
Abbildung 1.6: Kegelschnitte
36
1.10. Weitere Erhaltungssätze
Welche Lösung gilt für das System Erde–Sonne?
Dazu müssen wir den Betrag vom Lenz–Runge Vektor bestimmen, dieser
ergibt mit
~ 2 = p~ 2 L2 ;
(~p × L)
und ~r˙ 2 = ṙ2 +
~ = (~r × p~) · L
~ = L2
~r · (~p × L)
L2
µ2 r2
p
µ2 α2 + 2µEL2 .
(1.70)
q
2
A
Damit haben wir die Exzentrizität ε = µα
= 1 + 2EL
durch die Gesamtµα2
energie und den Drehimpuls ausgedrückt.
Für eine gebundene Bewegung muss die Energie E negativ sein, der Ausdruck unter der Wurzel muss natürlich positiv sein
~ =
A = |A|
E≥
−µα2
= E min
2L2
(1.71)
und damit gilt
E min ≤ E < 0
⇔
0≤ε<1
(1.72)
und unsere Lösung ist eine Ellipse falls die Gesamtenergie nicht gleich E min
ist. Unter welchen Umständen wäre das der Fall?
1.10
Weitere Erhaltungssätze
Wie bereits bemerkt sind die Newtonschen Gleichungen nur in Ausnahmefällen (Beispiele?) linear. Eine allgemeine analytische Lösung ist daher
in der Regel nicht möglich. Unter Umständen, d.h. für bestimmte Kraftypen
kann man eine Lösung erhalten, wenn es gelingt aus Ort und Impuls Größen
zu konstruieren, die von der Zeit unabhängig sind (so genannte Erhaltungsgrößen), wie zum Beispiel der Drehimpuls, die Energie oder der Lenz–Runge–
Vektor. Hier befassen wir uns damit, welche es noch gibt?
Betrachten wir System von N Teilchen mit konstanten Massen. Für ein
einzelnes Teilchen n ist der Impuls p~ n nur erhalten, wenn die entsprechende
Kraft F~ (n) verschwindet. Nicht besonders interessant, aber wenn wir alle N
Teilchen betrachten, erhalten wir die folgende zweite Newtonsche Gleichung
N
X
n=1
p~˙ (n) =
N
N
X
d X (n)
p~
=
F~
dt n=1
n=1
37
(n)
.
(1.73)
Kapitel 1. Die Newtonsche Mechanik
Wir nennen die Summe der Impulse aller Teilchen den Gesamtimpuls
P~ =
N
X
p~
(n)
=
n=1
N
X
m (n) ~v (n)
(1.74)
n=1
und es gilt offenbar, falls die Kräfte einander insgesamt aufheben:
N
X
F~
(n)
= 0
=⇒
P~ = const.
(1.75)
n=1
Man sieht hier auch gleich, warum der Begriff des Impulses eines Teilchens
ein besseres Konzept als die Geschwindigkeit ist: die Summe der Geschwindigkeiten aller Teilchen ist nur dann erhalten, falls alle Teilchen die gleiche
Masse haben!
Die Erhaltung des Gesamtimpulses entspricht dem 3. Axiom: teilen wir
das System in zwei Teile, wobei das eine Teilsystem aus Teilchen Nr.1 bis Nr.k
besteht und das zweite aus den restlichen N −k Teilchen besteht, so bedeutet
das Verschwinden der Gesamtkraft, dass die Kraft auf das eine Teilsystem
genau entgegengesetzt gleich derjenigen ist, die auf das andere Teilsystem
wirkt. Der Erhaltungssatz für den Gesamtimpuls ist also gleichbedeutend
mit dem Verschwinden der Gesamtkraft und bildet ein Kriterium dafür, dass
das betrachtete System abgeschlossen, also als isoliert von der übrigen Welt
betrachtet werden kann.
Stellt man fest, dass für ein konkretes System der Erhaltungssatz nicht
gilt, dann kann man in der Regel darauf schließen, dass das System nicht
abgeschlossen ist. In der Teilchenphysik hat es dazu geführt, dass noch unbekannte Teilchen vorausgesagt wurden, die man später auch tatsächlich gefunden hat.
Aus der Erhaltung des Gesamtimpulses kann ein weiter wichtiger Satz
gefolgert werden. Definieren wir die Gesamtmasse unseres Systems durch
M =
N
X
m (n) ,
(1.76)
n=1
dann kann man den Gesamtimpuls so schreiben
P~ := M V~ ,
(1.77)
wobei der Geschwindigkeitsvektor V~ konstant ist (Gesamtimpuls ist ja konstant) und durch
V~
=
N
N
1 X (n) (n)
d 1 X (n) (n)
d ~
R
m ~v
=
m ~r
=:
M n=1
dt M n=1
dt
38
(1.78)
1.11. Schwarze Löcher
gegeben ist. Die auf der rechten Seite auftretende Größe ist der Ortsvektor
des Schwerpunktes des Systems. V~ ist die Geschwindigkeit, mit der sich der
Schwerpunkt bewegt. Da V~ konstant ist, können wir einfach integrieren und
erhalten
~ = R
~ 0 + V~ t .
R
(1.79)
Der Schwerpunkt bewegt sich daher geradlinig und gleichförmig, das ist der
Schwerpunktsatz.
1.11
Schwarze Löcher
Kann man Schwarze Löcher mit Hilfe von der Newtonschen Mechanik verstehen? Betrachten wir mal die Kenngrößen unserer Sonne, sie hat eine Masse
M = 1.99 · 1030 kg und einen Radius von R = 6.96 · 108 m und ist damit viel
viel größer als irgendein Planet, aber verglichen mit anderen Sonnen (Sternen) ist sie im guten Mittelfeld. Betrachten wir die Fluchtgeschwindigkeit
eines Körpers von der Sonne (siehe auch Übungen), dann gilt
r
v =
2GM
R
und hängt damit nur von der Masse und Radius der Sonne ab. An der Oberfläche der Sonne beträgt v = 6.18 · 105 m/s oder 1/500 der Lichtgeschwindigkeit c.
Halten wir jetzt die Masse fest und variieren den Radius, so folgt für
Sonnen, die einen ≈ 500 kleineren Radius haben als unsere Sonne, dass die
Fluchtgeschwindigkeit gleich c ist. Das hat 1783 Rev. John Mitchell erkannt.
Damit wurde die Idee eines schwarzen Loches geboren oder eines Objektes,
“das das gesamte Licht wieder einfangen würde”. Aus unseren Überlegungen
folgt also, dass, wenn wir in der obigen Gleichung v = c setzen, erhalten wir
, bei dem der Körper kein Licht mehr hergibt. Aber
den Radius RS = 2GM
c2
ist das korrekt?
Die Allgemeine Relativitätstheorie ergibt den gleichen Schwarzschildradius, gefunden 1916 vom Herrn Karl Schwarzschild. Wie ist das möglich?
Bei unserer Rechnung haben sich zwei Fehler kompensiert, einerseits ist die
kinetische Energie von Licht nicht mc2 /2 (sondern?) und das Gravitationspotential in der Nähe eines schwarzen Loches ist nicht U (r) = − αr .
39
Kapitel 1. Die Newtonsche Mechanik
1.12
Welches Raum-Zeit Konzept steckt hinter den Newtonschen Gleichungen?
Hier wollen wir uns damit befassen, welche Geometrie der “Newtonschen
Welt” zu Grunde liegt, in der die Bewegungsgleichungen formuliert wurden.
Zunächst haben wir mal ein vierdimensionale Welt vor uns, genauer eine
vierdimensionale Mannigfaltigkeit (t, ~r) (manche moderne Theorien gehen
durchaus davon aus, das es noch extra Dimensionen gibt, aber eindeutige
Beweise dafür gibt es noch nicht). Eine n–dimensionale Mannigfaltigkeit ist
ein Gebilde, das sich durch ein Koordinatensystem überdecken lässt, oder
anders ausgedrückt, sich lokal, also im Kleinen, wie der Rn (R . . . reelle
Zahlen) aussehen. Entspricht also unserem aus dem Alltag und der Schule geprägtem Bild unserer Welt. Der Punkt ist, dass im Großen die Gestalt
jedoch beliebig kompliziert sein kann, z.B. eine Kugel (Sphäre), ein Torus,
ein Möbiusband, eine Brezelfläche,. . . . Die Mannigfaltigkeit kann man sich
also aus lauter Punkten aufgebaut denken, wobei in jedem Punkt ein (z.B.
kartesisches) Koordinatensystem mit einer Uhr angebracht ist.
Prinzipiell erhält man Auskunft über die Struktur von Raum und Zeit,
indem man mit physikalischen Maßstäben und Uhren misst und aus den
Messdaten ein Koordinatennetz errichtet. Ob die erhaltenen Mannigfaltigkeit
euklidisch ist oder nicht, hängt von den physikalischen Gegebenheiten ab
(Beispiel einer nichteuklidischen Welt: z.B. beheizte Platte).
Solange man nur die Bewegung freier Teilchen betrachtet, sind die Galileitransformationen (siehe unten) nur Änderungen der mathematischen Beschreibung ohne Änderung der beschriebenen Physik (verschiedene Beobachter benützen nur unterschiedliche Koordinaten und beobachten das gleiche
Phänomen). Aber die Annahme, dass diese Eigenschaft auch dann noch gelten soll, wenn wir wechselwirkende Teilchen betrachten, erscheint sehr plausibel und entspricht auch der Struktur der Newtonschen Gleichungen, sie
ist aber eine nicht–triviale Hypothese und hat als Konsequenz, die Existenz
eines absoluten Raumes und einer absoluten Zeit.
Wie kommt man auf die Transformationen: Eine Lehrkraft führt
einen Versuch durch, bei dem die Bahn eines Teilchens aufgezeichnet wird.
Bob, der Eigenbrötler, besteht darauf sich ein anderes IS auszusuchen und
außerdem ist er auch noch ein Besserwisser und behauptet, dass für beliebige
IS das Relativitätsprinzip von Galilei gilt: “Alle IS sind gleichwertig”, also
darf ich mir auch ein Eigenes aussuchen! “Na gut”, sagt Anna und nimmt die
Herausforderung an. Beide beobachten die Bahn eines kräftefreien Teilchens,
Anna in ihrem KS (x, y, z, t) und Bob in seinem KS’ (x0 , y 0 , z 0 , t0 ). Anna findet
40
1.12. Welches Raum-Zeit Konzept steckt hinter den Newtonschen
Gleichungen?
folgende Bewegungsgleichungen
m ~r¨(t) = 0 ,
(1.80)
m ~r¨ 0 (t0 ) = 0 ,
(1.81)
und Bob diese
Beide haben sich ein IS ausgesucht (woran erkennt man das?). Um beide
Ergebnisse vergleichen zu können, muss man den Zusammenhang zwischen
den ungestrichenen und gestrichenen Koordinaten bestimmen, das führt dann
zu den berühmten Galileitransformationen.
Seien die beiden Koordinatensysteme wie in der folgenden Graphik gewählt,
also parallele Achsen und damit gleiche Basisvektoren und t0 = 0:
Der Ortsvektor eines bestimmten Massenpunktes P sei ~r = xi ~ei in IS und
0
0
~r = xi ~ei und der Zusammenhang ist
0
~ .
~r(t) = ~r (t) + d(t)
(1.82)
Betrachten wir ein kräftefreies Teilchen in IS, dann erhalten wir:
0
~¨ .
m ~r¨(t) = 0 = m ~r¨ (t) + m d(t)
(1.83)
Das neue Bezugssystem ist genau dann ein IS falls m ~r¨ (t) = 0 und damit
folgt
0
~¨ = ~0
d(t)
−→
~
d(t)
= ~v t + ~b ,
(1.84)
wobei ~b ein konstanter Vektor ist. Das bedeutet, dass sich IS’ gegenüber IS
mit konstanter Geschwindigkeit bewegt und um einen konstanten Vektor ~b
41
Kapitel 1. Die Newtonsche Mechanik
verschoben sein kann. Damit haben wir die Galileitransformationen hergeleitet:
0
~r = ~r − ~v t − ~b
(1.85)
t0 = t − t0 .
(1.86)
Bei Verwendung dieser Transformation bleiben Newtonsbewegungsgleichungen forminvariant oder kovariant, bzw. ändern ihre Form nicht. Galileis Relativitätsprinzip postuliert diese Kovarianz für alle grundlegenden Gesetze.
Wir haben bei der Herleitung nur eine beliebige Bewegung des Ursprungs
in Betracht gezogen, natürlich kann man auch zu einander konstant verdrehte Koordinatensysteme betrachten (zeitabhängige Rotationen würden zu Zusatztermen führen, siehe nächster Abschnitt 1.13).
Die allgemeinen Galileitransformationen lautet damit:
0
~r (t) = R ~r(t) − ~v t − ~b
t0 = t − t0 .
(1.87)
(1.88)
Sie setzt sich daher aus folgenden Transformationen zusammen:
1. Einer räumlichen Verschiebung um einen konstanten Vektor
~b,
2. einer räumlichen Verschiebung um ~v t,
3. einer Rotation, beschrieben durch die Rotationsmatrix R,
R RT = 1,
4. und einer konstanten zeitlichen Verschiebung um t0 .
Die Galileitransformationen hängt damit von 10 Parametern ab: Die Drehung wird zum Beispiel durch 3 Winkeln oder der Einheitsdrehachse plus
einem Winkel 2 + 1 = 3 beschrieben; dazu kommen dann 3 Parameter von
der Relativgeschwindigkeit ~v , 3 Parameter vom Verschiebungsvektor ~b und 1
Parameter von der Verschiebung der Zeit um t0 .
Zwei hintereinander durchgeführte Galileitransformationen IS zu IS’ und
IS’ zu IS” führen wieder zu einen IS”, sie definieren eine neue Galileitransformation von IS zu IS”. Natürlich gibt es auch die triviale Transformation von
IS zu IS. Damit bilden die Galileitransformationen ein Gruppe, sie wir auch
Galileigruppe genannt. Das interessante ist meist die Relativebewegung verschiedener IS und die kann man praktischer Weise auch nur in eine Koordinate legen, diese Transformationen, werden als spezielle Galileitransformation
bezeichnet.
42
1.13. Beschleunigte Bezugssysteme
Wann gelten die Galileitransformationen? Dieser Frage werden wir uns
dann später nochmals widmen.
1.13
Beschleunigte Bezugssysteme
Inertialsysteme (IS) haben wir dadurch definiert, dass in ihnen Newtons
Axiome gelten. Nicht IS sind also Systeme, die relative zu einem IS beschleunigt sind, es treten Zusatzterme auf, so genannte Trägheits- oder Scheinkräfte.
Achtung: Der Name Scheinkraft darf hier nicht missverstanden werden.
In beschleunigten Bezugssystemen (BS) sind diese Kräfte wirklich vorhanden
(also wirklich spürbar!). Sie unterscheiden sich von den “echten” Kräften aber
dadurch, dass sie durch den Übergang zu einem IS wegtransformiert werden
können.
Nicht-IS sind aber nicht unnötig oder gar unbrauchbar, falls sich der Beobachter in einem beschleunigten BS befindet, möchte dieser seine Beobachtungen natürlich von diesem System aus verstehen können. Wir bestimmen
hier die Zusatzterme, die auftreten falls wir zu eine IS linear beschleunigtes
BS oder ein rotiertes BS betrachten.
1.13.1
Linear beschleunigtes Bezugssystem
~
Unsere BS sei ein zu IS konstant in Richtung d(t)
= ~a2 t2 ; ~a = const.
beschleunigtes System, d.h. ein Ortsvektor in IS hat den Zusammenhang mit
dem BS durch:
~a
0
0
~
~r (t) = ~r (t) + d(t)
= ~r (t) + t2 .
2
(1.89)
Aus 1. Axiom folgt für die Bewegungsgleichung eines kräftefreien Teilchens
m ~r¨(t) =; 0 im IS und damit
0
m ~r¨ (t) = 0 = m ~r¨ (t) + m ~a
0
=⇒ m ~r¨ (t) = −m ~a im BS’ .
(1.90)
Der Zusatzterm auf der rechten Seite bedeutet, dass Newtons 1. Axiom im
BS’ (betrachten ja ein kräftefreies Teilchen) nicht gilt und entspricht einem
konstanten Kraftfeld, wenn wir die Bewegungsgleichung im BS’ mit der Form
des 2. Axioms vergleichen und werden daher Trägheitskräfte genannt. Ein
Beispiel sind die Kräfte, die ein Passagier im Flugzeug spürt.
Beispiel: “Beschleunigungsmesser”
43
Kapitel 1. Die Newtonsche Mechanik
Moderne Theorie “Allgemeine Relativitätstheorie”: Wie erwähnt
geht Einstein von der Äquivalenz von schwerer und träger Masse aus (siehe auch Abschnitt 1.5) und damit von der Äquivalenz von Trägheits– und
Gravitationskräften aus. Die Grundidee ist in etwa so: In einem lokal frei–
fallenden BS, also einem konstant beschleunigten BS (z.B. Satelliten–Labor)
laufen alle Prozesse so ab, als gäbe es keine Gravitation. Ausgehend von den
gewonnenen Gesetzen ohne Gravitation kann man durch Transformation zum
betrachteten BS, z.B. einem Labor auf der Erde, die entsprechenden Gesetze
mit Gravitation erhalten. Allerdings gibt es einen entscheidenden Unterschied
zu dem hier betrachteten Beispiel, Beschleunigungen sind im realen Gravitationsfeld ortsabhängig und man muss natürlich die relativistischen Gesetze
betrachten.
1.13.2
Rotierende Bezugssysteme
Da unsere Erde ein solches BS ist, ist dieser Fall von besonderen Interesse. Betrachten wir ein gegenüber einem IS mit der Winkelgeschwindigkeit ω
~
rotiertes BS’. Betrachten wir zunächst einen Vektor V~ , der vom BS’ aus gesehen zeitunabhängig ist, er soll konstante Länge haben und bildet konstante
Winkeln mit den Koordinatenachsen (oder Drehachsen).
Aus der obigen Abbildung kann man sehen, dass für die Änderung dieses
Vektors aufgrund der Rotation von BS’ gilt
|dV~rot | = |V~ | |d~
ϕ| sin θ, dV~rot ⊥ ω
~ , dV~rot ⊥ V~
(1.91)
und damit folgt
dV~rot = d~
ϕ × V~ = (~ω dt) × V~ .
(1.92)
Nun lassen wir den Vektor V~ von der Zeit abhängen. Im BS’ ändert er sich
während dt um dV~BS 0 und damit ist die Änderung von diesem Vektor aus IS
betrachtet
dV~IS = dV~BS 0 + dV~rot .
44
(1.93)
1.13. Beschleunigte Bezugssysteme
Mit der obigen Beziehung erhalten wir also
Ã
dV~
dt
!
Ã
=
IS
dV~
dt
!
+ω
~ × V~ .
(1.94)
BS 0
Jeder Ortsvektor eines Massenpunktes kann nach den Basisvektoren ~ei
von IS entwickelt werden, aber natürlich auch in den Basisvektoren ~e 0i (t) des
rotierten BS’
~r (t) =
3
X
xi (t) ~ei =
i=1
3
X
x0i (t) ~e 0i (t) .
(1.95)
i=1
Da wir voraussetzen, dass der Koordinatenursprung beider Systeme gleich
ist und wir Ortsvektoren betrachten, gilt ~r = ~r 0 . Die Basisvektoren des rotierten BS’ hängen von der Zeit ab, die aus IS nicht. Berechnen wir nun die
Geschwindigkeit, erhält man nach der Kettenregel
3
3
X
X
dx0i (t) 0
d~e 0i (t)
0
˙~r = d~r =
~ei (t) +
xi (t)
dt
dt
dt
i=1
i=1
= ~r˙ 0 + ω
~ × ~r 0 .
(1.96)
Wir wollen jetzt die Bewegungsgleichung eines kräftefreien Teilchens in
BS’ betrachten und beschränken uns auf eine Rotation mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω
~ = const. Dazu wenden wir Gl. 1.94 auf den Geschwin˙
digkeitsvektor ~r an und erhalten schlussendlich
Ã
d~r˙
dt
!
= r̈0 + 2 ω
~ × ~r˙ 0 + ω × (ω × ~r 0 ) .
IS
45
(1.97)
Kapitel 1. Die Newtonsche Mechanik
Damit haben wir hergeleitet, dass für ein kräftefreies Teilchen im
IS, also
µ 2 ¶
d ~r
¨
m ~r =
= 0,
(1.98)
dt2 IS
im rotierten System mit konstanter Winkelgeschwindigkeit gilt
m r̈
0
= −2 m ω
~ × ~r˙ 0 − m ω × (ω × ~r 0 ) .
(1.99)
Der erste Term auf der rechten Seite wir als Corioliskraft, der zweite
als Zentrifugalkraft bezeichnet.
Die Corioliskraft steht senkrecht zur Bewegungsrichtung (es ist
schwierig auf einem Karussell geradeaus zu gehen) und ist proportional zu ω.
Die Zentrifugalkraft ist proportional zu ω 2 und zum Abstand zur
Drehachse und zeigt von ihr weg (bei einem schnell rotierenden
Karussell muss man sich gut festhalten).
Die Coriolisbeschleunigung durch die Rotation der Erde ist zwar klein vom
Betrag her, hat jedoch deutliche Auswirkungen auf die Bewegung von Luft–
und Wassermassen (Passatwinde, stärkere Erosion des rechten Ufers auf Nordhalbkugel,. . . ).
46
Kapitel 2
Lagrangesche Mechanik
Hier entwickeln wir eine elegante und einfache Betrachtungsweise der Newtontheorie, die eine Verallgemeinerung für quantenmechanische und relativistische Systeme ermöglicht.
2.1
Einleitung/Motivation
Wir haben bis jetzt den Zugang zur Mechanik über die Newtontheorie gewählt.
Im Wesentlichen erfasst man die Bewegung eines zusammengesetzten Systems durch die Bewegung seiner Bestandteile (meist “Teilchen”) und derer
Wechselwirkung, also der Kräfte die zwischen ihnen wirken. Da wir wissen,
dass die Materie atomistisch ist, erscheint dieser Zugang für eine große Anzahl an Phänomenen realistisch. Aber sehr oft sind die Ortskoordinaten und
Impulse der Teilchen nicht wirklich zweckmäßig, um ein System zu analysieren, es gibt besser geeignete Koordinaten, um das System zu beschreiben.
Betrachten wir zum Beispiel das ebene Pendel (siehe Fig. 2.1(a)), dann
gibt es eine einzige Koordinate, die sich ändert, der Winkel. Es ist also eigentlich ein 1–dimensionales Problem, die Bewegung erfolgt zwar in 2 Dimensionen, ist aber auf einen Kreis gezwungen. Daher ist es sicher dem Problem
besser angepasst, wenn man den Winkel als Koordinate auffasst.
Bei dem Lagrange–Hamiltonschen Zugang zur Mechanik werden daher
im Allgemeinen nicht die Teilchenkoordinaten als dynamische Variable verwendet, sondern so genannte “generalisierte” Koordinaten qα (t), wobei α =
1, 2, . . . , f die f verschiedenen Freiheitsgrade bezeichnet. Im obigen Beispiel
“Pendel” wäre q = φ. Für ein Doppelpendel haben wir 2 Freiheitsgrade (siehe
Fig. 2.1(b)), q1 = φ1 , q2 = φ2 . Man versucht also wirklich nur die relevanten
und unabhängigen Variablen für die Beschreibung zu verwenden.
Im Allgemeinen stellen wir uns vor, dass es prinzipiell möglich sein sollte,
47
Kapitel 2. Lagrangesche Mechanik
(a)
(b)
Abbildung 2.1: (a) Zeigt die generalisierte Koordinate des Pendel und (b) die
generalisierten Koordinaten eines Doppelpendels.
die Teilchenkoordinaten aus den generalisierten Koordinaten und umgekehrt
berechnen zu können
qα = qα (~r (1) , ~r (2) , . . . , ~r (N ) , t)
α = 1, 2, . . . , f
(n)
(n)
~r
= ~r (q1 , q2 , . . . , qf , t)
n = 1, 2, . . . , N (f ≤ 3N ) .
(2.1)
(2.2)
Nun versucht man nicht die Bewegungsgleichungen der generalisierten
Koordinaten durch Einsetzen der Transformationen der Teilchenkoordinaten
zu gewinnen (das haben wir ja zum Beispiel beim Pendel gemacht φ̈ = − gl φ),
damit würden wir nichts Neues gewinnen, sondern man wählt einen anderen
Ausgangspunkt, das Hamiltonsche Wirkungsprinzip, das Prinzip der kleinsten Wirkung. Mathematisch ist es ein Variationsproblem. Die Bewegungsgleichungen sind die Euler–Langrangeschen Gleichungen dieses Variationsproblems. D.h. an die Stelle von Ansätzen für Kräfte tritt ein Ansatz für
eine Funktion der generalisierten Koordinaten, d.h. wir müssen eine solche
Funktion “erraten” und nicht mehr “Kräfte”. Wir werden sehen, dass dies
oft viel einfacher ist.
Aber es gibt noch viel mehr Vorteile durch diese Methode. Der Formalismus kann weit über die Mechanik hinaus verwendet werden, er gestattet eine
allgemeine Formulierung von “Dynamik” eines Systems im Laufe der Zeit.
D.h. so können z.B. quantenmechanische Systeme behandelt werden, aber
auch Systeme mit kontinuierlich unendlich vielen Freiheitsgraden (Feldtheorien) und relativistische Systeme. Alle 4 fundamentalen Wechselwirkungen
(schwache, starke, elektromagnetisch, gravitative) können mit diesem Formalismus behandelt werden!
48
2.2. Generalisierte Koordinaten und deren Geschwindigkeiten
Auch die größere Einfachheit bei einer sehr großen Klasse von Problemen
ist ein Vorteil. Weiters –wie wir sehen werden– erkennt man viel besser die
Zusammenhänge zwischen Geometrie und Physik (Symmetrien und Erhaltungssätze,. . . ).
Für manche Probleme ist aber dieser Zugang auch Newtonstheorie unterlegen. Reibungskräfte sind schwer zu behandeln.
Historisch hat sich der Hamiltonsche–Lagrangesche Formalismus durch
das Problem der Zwangskräfte ergeben. Bei einem Pendel übt der Faden die
Zwangskraft auf die Masse aus, die im Gleichgewicht mit der entsprechenden
Komponente der Gravitationskraft steht. Beim ebenen Pendel ist es noch
nicht schwer diese zu beschreiben, aber denkt man an das Doppelpendel,
dann ist es gar nicht mehr einfach, zu erkennen, wo welche Zwangskraft, die
sich ja auch noch zeitlich ändert, angreift. Also schon das Doppelpendel ist
à la Newton schwer zu lösen, mit Lagrange ist es ganz einfach (wie wir sehen
werden). Mehr noch, es ist ganz klar, wie eine Verallgemeinerung zu einem
Dreifach–, Vierfach–,. . . Pendel auszuschauen hat. Zwangskräfte treten sehr
oft auf, man denke nur an mechanische Maschinen.
Zusammenfassend ist der Hamiltonsche–Lagrangesche Zugang das Tor
zur Modernen Physik und daher denke ich, sollte eine zukünftige Lehrkraft
die Grundideen verstehen, obwohl man diesen Zugang in dieser Form in der
Schule nicht unterrichten kann. Und wenn man sich in die Materie ein wenig
“reingetigert” hat, wir man auch feststellen, dass es gar nicht so schwer ist
und vielleicht auch ihre Schönheit bewundern. :-)
2.2
Generalisierte Koordinaten und deren Geschwindigkeiten
Prinzipiell sollten generalisierte Koordinaten qα , die Lage eines Systems zum
Zeitpunkt t festlegen, stetig und mindestens 2 mal nach der Zeit t ableitbar
sein. Die erste Ableitung nach der Zeit q̇α nennt man generalisierte Geschwindigkeit. Wie wir von Newton wissen, braucht man zur Lösung seiner Differentialgleichungen die Anfangsbedingungen r(n) (t0 ) und ṙ(n) (t0 ). Genauso ist
es für die generalisierte Koordinate, wir müssen qα (t0 ) und q̇α (t0 ) kennen. Die
Angabe von 2f Zahlen qα (t0 ), q̇α (t0 ) soll damit ausreichen, das “Schicksal”
des betrachteten Systems für alle t ≥ t0 vorauszusagen, d.h. auszurechnen.
Das bedeutet, dass man die q̈α berechnen kann und die entsprechende Differentialgleichung 2. Ordnung werden wir die “Euler–Lagrangeschen” Bewegungsgleichungen nennen. Ihre Integration gibt dann die “Bahnkurven” des
Systems, wobei hier Bahnkurve oft in einem sehr abstrakten Sinne zu ver49
Kapitel 2. Lagrangesche Mechanik
Abbildung 2.2: Sphärisches Pendel
stehen ist. Denken wir an das Pendel, erhalten wir eine Bahnkurve für einen
Winkel.
Der Lagrangeformalismus liefert Differentialgleichungen 2. Ordnung für
die f Variablen qα (t). Der Hamiltonformalismus ist dazu eine Alternative,
bei der man anstatt der generalisierten Geschwindigkeiten q̇α sich geeignete
generalisierte Impuls pα definiert (haben normalerweise nichts mit dem kinetischen Impuls zu tun). Die entsprechenden Hamiltonschen Bewegungsgleichungen bilden ein System 1. Ordnung für die 2f (kein Vorteil ohne Nachteil)
Variablen (qα , pα ) (graphisch können diese im Phasenraum veranschaulicht
werden, den wir beim harmonischen Oszillator kennen gelernt haben). Beide Formalism beruhen auf dem gleichen Prinzip, sind also das Gleich nur
unterschiedlich betrachtet.
2.3
Wie erfolgt eine Bewegung?
Der Lagrange–Hamiltonsche Zugang basiert auf einem Extremalprinzip, konkret geht es um ein Minimum eines Integrals, das die Wirkung ist. Dieses
Integral über eine gewisse Funktion L, die Lagrangefunktion heißt, ist der
Ausgangspunkt, d.h. er ist nicht zu beweisen, und es gilt diese Funktion zu
“erraten”. Analog muss auch ein Kraftansatz für die Newtonsche Mechanik
erraten werden. Um eine Formulierung des Prinzips zu erhalten, gehen wir
davon aus, dass das betrachtete System durch die folgende Lagrangefunktion
gegeben ist
L(qα (t), q̇α (t), t) = L(q1 (t), q2 (t), . . . , qf (t), q̇1 (t), q̇2 (t), . . . , q̇f (t), t) . (2.3)
50
2.3. Wie erfolgt eine Bewegung?
Physiker neigen dazu sich das Leben so leicht wie möglich zu machen, daher
werden wir in Zukunft nur noch q schreiben, aber qα (t) meinen, analog q̇;
d.h. die obige Funktion schreiben wir auch so
L(q, q̇, t) .
(2.4)
Wir werden auch sehen, dass das Grundkonzept unabhängig von der Anzahl
der Freiheitsgrade f und damit Anzahl von den generalisierten Koordinaten
ist.
Das Wirkungsprinzip (Hamiltonsches Prinzip der kleinsten Wirkung) lautet dann: Die Bewegung eines Systems verläuft für Zeiten
t0 ≤ t ≤ t1 so, dass das Integral, die Wirkung,
Z t2
S=
L(q, q̇, t) dt
t1
ein Minimum annimmt.
Schauen wir uns mal ein konkretes Beispiel an, den senktrechten Wurf. Wie
wir wissen ist die Bewegungsgleichung à la Newton gegeben durch
F = m z̈ = −m g
(2.5)
ż = −g t + v0 .
(2.6)
und einmal integrieren gibt
Damit ist die Lösung der Bewegungsgleichung durch die Bahnkurve
g
(2.7)
z(t) = − t2 + v0 t + z0
2
gegeben. Die generalisierte Koordinate ist hier also einfach die Höhe, q = z.
Die graphische Bahn für die Bewegung sieht dann so aus:
51
Kapitel 2. Lagrangesche Mechanik
Stellen wir uns folgendes vor, wir müssen die obige Bahn errechnen, kennen
aber nur den Wert von z für t = t0 , also q(t0 ), und für t = t1 , also q(t1 ).
Wir können man uns viele verschiedene Bahnen vorstellen, wie wir diese zwei
Punkte verbinden können:
Für jeden Weg berechnen wir jetzt das Integral, also den Zahlenwert S. Mathematisch ist es gar nicht so schwer, das Minimum zu finden, wie es vielleicht
zunächst aussieht. Wir suchen ja nicht einen Punkt (bzw. eine Zahl), sondern
eine Kurve, die Funktion q(t), also eine Differentialgleichung. Nennen wir die
wirkliche Bahn q(t), jede andere, “falsche” Bahn, können wir durch
qF (t) = q(t) + δq(t)
(2.8)
bezeichnen. Klarerweise muss die Funktion δq(t) für t0 und t1 verschwinden,
also
δq(t0 ) = δq(t1 ) = 0 ,
(2.9)
da wir ja wollen, dass alle betrachteten Bahnen durch den betrachteten
Anfangs- bzw. Endpunkt gehen sollen. Unser Ziel ist es also, dass δq(t) immer kleiner wird, hier ein Beispiel (die Werte von δq(t) sind in der unteren
Kurve dargestellt):
52
2.3. Wie erfolgt eine Bewegung?
und hier ein besseres Beispiel:
Wenn man qF einigermaßen gut “erraten” hat, wird δq(t) im ganzen Intervall
klein gegen q(t). Und wie sieht es mit der Ableitung aus:
q̇F = q̇ + δ q̇ =
d
d
q + δq .
dt
dt
(2.10)
Auch δ q̇ wird klein gegen q̇, falls qF nicht zu “eckig” ist. Betrachten wir jetzt
den Unterschied der Wirkung
Z t1
Z t1
δS =
L(q + δq, q̇ + δ q̇, t) dt −
L(q, q̇, t) dt
(2.11)
t0
t0
und machen eine Taylorentwicklung zur 1. Ordnung (Trick: ξ = q + δq):
¾
Z t1 ½
∂L(q, q̇, t)
∂L(q, q̇, t)
δS =
L(q, q̇, t) +
δq +
δ q̇ + O(2) dt
∂q
∂ q̇
t0
Z t1
−
L(q, q̇, t) dt
t0
¾
Z t1 ½
∂L(q, q̇, t) dδq
∂L(q, q̇, t)
=
δq +
+ O(2) dt .
(2.12)
∂q
∂ q̇
dt
t0
Durch partielle Integration im letzten Term erhalten wir (O[2] wir ab jetzt
weggelassen)
¶ µ
µ
¶ ¾
Z t1 ½
d ∂L(q, q̇, t)
d ∂L(q, q̇, t)
∂L(q, q̇, t)
δq +
δq −
δS =
δq dt
∂q
dt
∂ q̇
dt
∂ q̇
t0
¯t
¾
Z t1 ½
d ∂L(q, q̇, t)
∂L(q, q̇, t)
∂L(q, q̇, t) ¯¯ 1
δq −
δq ¯ (2.13)
=
δq · dt +
∂q
dt
∂ q̇
∂ q̇
t0
t0
53
Kapitel 2. Lagrangesche Mechanik
Der letzte Term verschwindet, da wir δq(t0 ) = δq(t1 ) vorausgesetzt haben.
Wir verlangen jetzt laut Wirkungsprinzip
δS = 0
(2.14)
und da δq zwar klein, aber willkürlich ist, muss der Integrand verschwinden
∂L(q, q̇, t)
d ∂L(q, q̇, t)
−
=0.
∂q
dt
∂ q̇
(2.15)
Das ist die Euler–Lagrange Bewegungsgleichung für unser Problem! Da wir
alles ganz allgemein gehalten haben, gilt diese Differentialgleichung für q(t)
für beliebige Probleme.
Falls wir mehrere Freiheitsgrade f haben, gilt für jeden Freiheitsgrad
einzeln die obige Herleitung und damit folgt
¾
f Z t1 ½
X
∂L(qα , q̇α , t)
d ∂L(qα , q̇α , t)
δS =
−
δqα · dt + O[2] .
∂q
dt
∂
q̇
α
α
t
0
α=1
(2.16)
und wir sehen, dass in jedem Summanden alle q außer qα als gegeben aufgefasst werden müssen (partielle Ableitung).
Damit haben wir das Ziel erreicht: Für ein beliebiges Problem
mit f Freiheitsgraden gilt die folgende Bewegungsgleichung für
die verallgemeinerten Koordinaten:
∂L(qα , q̇α , t)
d ∂L(qα , q̇α , t)
−
=0
∂qα
dt
∂ q̇α
α = 1, 2, . . . , f . (2.17)
Ihre Lösungen bestimmen damit die Dynamik, also die zeitliche
Entwicklung des Systems. Aber wie “errät” man die Funktion
L?
2.4
Wie “errät” man die Lagrangefunktion?
Kommen wir zurück zu unserem Beispiel, dem senktrechten Wurf. Die Bewegungsgleichung lautet (siehe Gleichung 2.5)
m q̈ = −m g .
(2.18)
Diese soll sich ergeben durch
d ∂L(q, q̇, t)
∂L(q, q̇, t)
=
.
dt
∂ q̇
∂q
54
(2.19)
2.4. Wie “errät” man die Lagrangefunktion?
Setzen wir mal die Lagrangefunktion durch L = c1 q + c2 q̇ an, dann ergibt die
folgende Gleichung
0 = c1 .
(2.20)
Die rechte Seite wäre ja schon mal ok, falls wir die Konstant c1 = −mg
setzen. Aber die linke Seite führt sicher zu keiner Bewegungsgleichung. Wir
müssen also für L immer Potenzen in q̇ ansetzen, die mindestens größer 1
sind. Machen wir den folgenden Ansatz für
L = −m g q + c2 q̇ k
mit k ≥ 2 ,
(2.21)
Dann ergibt die Euler–Lagrangesche Bewegungsgleichung
k(k − 1) c2 q̇ k−2 q̈ = −m g .
(2.22)
Diese Gleichung stimmt mit Gleichung (2.18) überein, falls wir k = 2 (nur
dann verschwindet q̇) und c2 = m/2. Damit haben wir die Euler–Lagrangesche
Bewegungsgleichung für den senktrechten Wurf gefunden
L(q, q̇, t) =
m q̇ 2
− mg q .
2
(2.23)
Das kommt uns aber sehr bekannt vor, zur Erinnerung q = z! Der erste Term
ist nichts anderes als die kinetische Energie und der zweite Term ist die potentielle Energie!! Also die Lagrangefunktion ist die Differenz der kinetischen
Energie und der Potentiellen Energie L = Ekin − U !!
Gilt das Allgemein? Wir haben ja ein sehr spezielles Beispiel behandelt.
Aber die Antwort ist ja, im Falle von konservativen Kräfte (und nicht relativistisch), ist die obige Aussage richtig. Für nicht konservative oder relativistische Kräfte kann man aber auch den Lagrangeformalismus verwenden,
man muss das entsprechende U , das nicht (nur) die potentielle Energie ist,
erraten.
Man sieht hier gleich einen Vorteil dieses Formalismuses, man muss nicht
die 3N Kraftkomponenten für N Teilchen erraten, sondern nur die Funktion
U für die f Freiheitsgrade. Weiters ist der Formalismus so allgemein, dass
man auch für quantenmechanische und relativistische Systeme das richtige
Mittel zur Hand hat.
Bevor wir weitere allgemeine Eigenschaften von L betrachten, diskutieren
wir noch weitere Bespiele à la Lagrange.
Das ebene Pendel: Wie bereits diskutiert, kann man als generalisierte
Koordinate einfach den Winkel φ nehmen (siehe Abbildung 2.1 (a)). Die Bewegungsgleichung m l2 φ̈ = −m g l sin φ lautet (à la Newton Rückstellkraft
55
Kapitel 2. Lagrangesche Mechanik
oder über Potential (Energieerhaltung)). Schauen wir mal, ob wir das mit der
oben erworbenen Strategie hinbekommen. Die kinetische Energie ist gegeben
durch
m ẋ2 m ẏ 2 m ż 2
m l2 φ̇2
+
+
=
,
2
2
2
2
Ekin =
(2.24)
wobei wir fürs letzte Gleichheitszeichen die Polarkoordinaten eingesetzt haben. Die potentielle Energie ist durch
U (z) = m g l + m g z = m g l(1 − cos φ)
(2.25)
und damit haben wir die folgende Lagrangefunktion
L = m l φ̇2 + m g l cos φ
(2.26)
und wir berechnen den zu φ kanonisch konjugierten Impuls zu
pφ =
∂L
= m l2 φ̇ ,
∂ φ̇
(2.27)
das ist natürlich der Drehimpuls!
Mit ∂L
= −mg l sin φ folgt die Bewegungsgleichung
∂φ
d ∂L
∂L
=
dt ∂ φ̇
∂φ
−→
m l2 φ̈ = −m g l sin φ .
(2.28)
Das Doppelpendel: Diesen Fall haben wir noch nicht diskutiert und
er wäre auch sehr schwer à la Newton. Aber mit dem Lagrangeformalismus
ist es ein Kinderspiel! Zunächst ist klar, wir haben jetzt 2 Freiheitsgrade,
also 2 generalisierte Koordinaten haben, φ1 , φ2 (siehe Abbildung 2.1 (b)).
Die Polarkoordinaten für die zwei Massen m1 , m2 lauten
x1 (t)
y1 (t)
z1 (t)
x2 (t)
y2 (t)
z2 (t)
=
=
=
=
=
=
l1 sin φ1
0
−l1 cos φ1
l1 sin φ1 + l2 sin φ2
0
−l1 cos φ1 − l2 cos φ2 .
(2.29)
Die kinetische Energie ist gegeben durch
Ekin =
m2 2
m1 2
(ẋ1 + ẏ12 + ż12 ) +
(ẋ + ẏ22 + ż22 )
2
2 2
56
(2.30)
2.4. Wie “errät” man die Lagrangefunktion?
und die potentielle Energie durch
U = m1 g z1 (t) + m2 g z2 (t) .
(2.31)
Und damit nach Einsetzen haben wir bereits die Lagrangefunktion
m1 + m2 2 2 m2 2 2
L =
l1 φ̇1 +
l φ̇ + m2 l1 l2 φ̇1 φ̇2 cos(φ1 − φ2 )
2
2 2 2
+(m1 + m2 ) g l1 cos φ1 + m2 g l2 cos φ2 .
(2.32)
Aus dieser folgt durch simples Differenzieren die Bewegungsgleichung (siehe
Übungen). Nach dem gleichen Rezept folgt die Bewegungsgleichung für ein
Dreifach–, Vierfach–,. . . Pendel.
Sphärisches Pendel: Dieses kann durch 2 verallgemeinerte Koordinaten
φ, θ beschrieben werden (siehe Abbildung 2.2)
x = l sin θ cos φ
y = l sin θ sin φ
z = −l cos θ
l = const.
(2.33)
Dann ergibt sich die Lagrangefunktion zu
ml2 2
(θ̇ + sin2 θ φ̇2 ) − m g l(1 − cos θ)
(2.34)
2
Für die Bewegungsgleichung brauchen wir die verallgemeinerten Impulse
L =
∂L
= m l2 θ̇
∂ θ̇
∂L
=
= m l2 sin2 θ φ̇
∂ φ̇
pθ =
pφ
(2.35)
und
∂L
= ml2 sin θ cos θφ̇2 − m g l sin θ
∂θ
∂L
= 0.
∂φ
(2.36)
Bei der letzen Gleichung haben wir 0 erhalten, da diese verallgemeinerte
Koordinate nicht in L vorkommt, diese nennt man zyklisch und ist von physikalischer Bedeutung (siehe auch nächsten Abschnitt).
Die zwei Bewegungsgleichungen lauten damit
m l2 θ̈ = m l2 sin θ cos θ φ̇2 − m g l sin θ
d
(m l2 sin2 θ φ̇) = 0 −→ pφ = m l2 sin2 θ φ̇ = const.
dt
(2.37)
57
Kapitel 2. Lagrangesche Mechanik
Das sphärische Pendel dreht sich immer im gleichen Sinn um die z–Achse,
schneller für kleines θ. Der zu φ konjugierte Impuls ist also eine Erhaltungsgröße. Das tritt immer auf, wenn die dazugehörige verallgemeinerte Koordinate nicht explizit in der Lagrangefunktion vorkommt, also eine so genannte
zyklische Koordinate ist. Wir werden sehen, dass allgemein gilt, dass aus
einer Symmetrie eine Erhaltungsgröße folgt (hier haben wir es mit einer Rotationssymmetrie bezüglich z–Achse zu tun). Ein weiter Vorteil des Lagrange
Formalismuses.
Ein Massenpunkt im äußeren konservativen Kraftfeld: Hier sind
die kartesischen Koordinaten die besten generalisierten Koordinaten. Die Lagrangefunktion ist
L(x1 , x2 , x3 , ẋ1 , ẋ2 , ẋ3 ) =
m 2
(ẋ + ẋ22 + ẋ23 ) − U (x1 , x2 , x3 )
2 1
(2.38)
gegeben. Folglich haben wir 3 Euler–Langrange Bewegungsgleichungen
d ∂L
∂L
=
dt ∂ ẋi
∂xi
i = 1, 2, 3 .
(2.39)
Und die verallgemeinerte Impulse sind
∂L
= m ẋi = pi
∂ ẋi
(2.40)
und die rechte Seite der Euler–Langrange Bewegungsgleichungen ist
∂L
∂U
= −
= Fi ,
∂xi
∂xi
(2.41)
natürlich nichts anderes als die Kraft, damit haben wir die Newtonschen
Bewegungsgleichungen wie wir sie kennen
d
(mẋi ) = Fi .
dt
(2.42)
Perle entlang starrem Stab: Eine Perle (Kugel mit Loch) sei reibungsfrei an einem Stab gefädelt. Der Stab rotiert um eine Achse unter dem Winkel β. Um festzustellen wie viele Freiheitsgrade es gibt, betrachten wir die
Zwangsbedingungen an die Perle. Der Winkel mit der Drehachse β ist konstant, daher:
cos β = p
z
x2 + y 2 + z 2
p
−→ z − x2 + y 2 + z 2 cos β = 0 .
58
(2.43)
2.5. Erhaltungssätze und Symmetrien
Die Winkelgeschwindigkeit ist auch konstant, daher lautet die 2. Zwangsbedingung:
tan(ωt) =
y
x
−→
y
− tan(ωt) = 0 .
x
(2.44)
Wir brauchen 3 Koordinaten, um die Perle zu lokalisieren, und haben 2
Zwangsbedingungen, daher haben wir einen Freiheitsgrad. Als verallgemeinerte Koordinate bietet sich der Abstand vom Ursprung an, r(t), und wir
wählen daher die folgenden Koordinaten für unser Problem
x = r(t) sin β cos(ωt)
y = r(t) sin β sin(ωt)
z = r(t) cos β .
(2.45)
Diese Koordinaten erfüllen die zwei Zwangsbedingungen identisch (einfach
einsetzen), daher haben wir die richtigen Koordinaten für das Problem gewählt.
Damit errechnet sich die Lagrangefunktion zu
L=
m 2
(ṙ + r2 ω 2 sin2 β) − m g r cos β
2
(2.46)
und damit die Euler–Lagrange Bewegungsgleichung zu
r̈ = r ω 2 sin2 β − g cos β .
(2.47)
Diese Differentialgleichung ist vom Typ q̈ = q und uns bereits bekannt, die
Lösung ist
r(t) = Aeω sin βt +
g cos β
.
ω 2 sin2 β
(2.48)
Wer glaubt, dass dieses Beispiel à la Newton leicht ist, soll es probieren.
2.5
Erhaltungssätze und Symmetrien
Betrachten wir ein freies Teilchen in einem Inertialsystem, dessen Lagrangefunktion besteht nur aus dem kinetischen Anteil
L =
m ~r˙
2
59
2
.
(2.49)
Kapitel 2. Lagrangesche Mechanik
Wenn man nun ein Inertialsystem wählt, dass um einen konstanten Vektor
ν ~n mit |~n| = 1, ν ∈ R verschoben ist (Translation)
~r 0 (t) = Tν ~r (t) = ~r (t) + ν ~n
(2.50)
dann lautet die Lagrangefunktion in dem neuen Koordinatensystem
L0 =
m ~r˙ 0 2
m ~r˙
=
2
2
2
= L.
(2.51)
Die Lagrangefunktionen L, L0 sind identisch, daher invariant unter der Transformation Tν und damit ändern sich natürlich auch nicht die Bewegungsgleichungen.
Die Lagrangefunktion eines freien Teilchens ist auch rotationssymmetrisch, da diese nur vom Betrag der Geschwindigkeit abhängt; die Transformationsvorschrift ist in diesem Fall für kleine Winkeln ν, um die Drehachse
~n (ganz analog zu Abschnitt 1.13.2)
~r
0
= Tν ~r = ~r + ν ~n × ~r + O(ν 2 ) .
(2.52)
Ganz allgemein kann man einen Zusammenhang zwischen einer Invarianz der
Lagrangefunktion unter einer Symmetrietransformation herstellen. Nehmen
wir an wir haben eine solche Invarianzeigenschaft für die Lagrangefunktion
L(q, q̇, t), also
L(Tν q,
d
d
(Tν q), t) = L(q, q, t)
dt
dt
(2.53)
unter einer kontinuierlichen Transformation q → Tν q; Tν=0 q = q. Nun diffe60
2.5. Erhaltungssätze und Symmetrien
renzieren wir beide Seiten der obigen Gleichung nach ν, wir erhalten
¯
¯
∂
d
L(Tν q, (Tν q), t)¯¯
= 0
∂ν
dt
ν=0
¯
¯
¯
¯
∂L ∂
∂L
∂
d
−→
(Tν q)¯¯
+
(Tν q)¯¯
= 0
∂q ∂ν
∂ q̇ ∂ν dt
ν=0
ν=0
|{z}
d ∂L
dt ∂ q̇
=⇒
=⇒
½
¾¯
¯
d ∂L ∂
= 0
(Tν q) ¯¯
dt ∂ q̇ ∂ν
ν=0
¯
¯
∂L ∂
= const
(Tν q)¯¯
∂ q̇ ∂ν
ν=0
(2.54)
Wenn wir mehrere verallgemeinerte Koordinaten haben, dann haben wir einfach die Summe über alle Freiheitsgrade zu nehmen.
Kommen wir zu unserem ersten Beispiel, ein freies Teilchen unter räumlicher Translation, Gl. (2.50), zurück und wenden die obige Gleichung an (hier
gilt ~q = ~r):
¯
¯
∂
(Tν ~q)¯¯
= ~n
∂ν
ν=0
∂L
ni = m ~r˙ · ~n = m ~v · ~n = const .
(2.55)
=⇒
∂ ẋi
Da der Vektor ~n beliebig ist, folgt daraus, dass der Impuls m ~v zeitlich konstant ist. Damit haben wir aus der räumlichen Translationsinvarianz die Impulserhaltung (3 Parameter) hergeleitet!
Somit haben wir das Noether–Theorem gefunden, das die Mathematikerin
Amalie Emmy Noether (1882-1935) im Jahre 1918 (in allgemeinerer Form)
gefunden hat:
Aus der Invarianz von der Lagrangefunktion L unter einer kontinuierlichen Symmetrietransformation q → Tν q; Tν=0 q = q folgt
=⇒
¯
f
X
¯
∂L ∂
= const
(Tν q)α ¯¯
∂ q̇α ∂ν
ν=0
α=1
(2.56)
und damit aus L eine Erhaltungsgröße.
Das tolle daran ist, dass dieses Theorem im Wesentlichen genauso in der
Quantenmechanik, in der klassischen Feldtheorie und in der Quantenfeldtheorie (QFT) gilt (in der Quantentheorie gibt es zusätzlich noch diskrete Symmetrien). Dass eine Symmetrie mit einer Erhaltungsgröße verknüpft
ist, ist eine grundlegende Erkenntnis der Theoretischen Physik!
61
Kapitel 2. Lagrangesche Mechanik
Außerdem ist es ein wesentliches Hilfsmittel bei der Formulierung der
Lagrangefunktion der fundamentalen Wechselwirkungen!
Betrachten wir als weiteres Beispiel, dass L invariant unter räumlichen
Drehungen, Gl. (2.52), ist:
¯
¯
∂
= ~n × ~r
(Tν q)¯¯
∂ν
ν=0
∂L
~ = const .
=⇒
(~n × ~r)i = p~ · (~n × ~r) = ~n · (~r × p~) = ~n · L
∂ ẋi
(2.57)
~ in ~n–Richtung.
Wir erhalten damit die Komponente des Drehimpulses, ~n · L,
Da wieder ~n beliebig ist, folgt, dass der Drehimpuls zeitlich konstant ist. Damit folgt aus der Rotationsinvarianz die Drehimpulserhaltung (3 Parameter).
Beim sphärischen Pendel hatten wir gesehen, dass die Koordinate φ nicht
in L vorkommt, also eine zyklische Koordinate ist. Aus ihr folgt pφ konstant
ist. Das sieht man, auch mit Hilfe des Noether–Theorems. Wählen wir ~n
in Richtung der z–Achse und variieren φ, erkennt man das L, Gl. (2.34),
invariant bleibt und das Noether–Theorem ergibt Lz konstant.
Betrachten wir eine zeitliche Translation
Tν q(t) = q(t + ν)
(2.58)
und nehmen wir den Fall an, dass L nicht explizit von der Zeit t abhängt,
d.h.
∂L
=0,
∂t
(2.59)
dann gilt
¯
¯
¯
¯
∂
∂
¯
=
= q̇(t)
(Tν q(t))¯
q(t + ν)¯¯
∂ν
∂ν
ν=0
ν=0
∂L
q̇ = const
∂ q̇
(2.60)
und weiters
¯
X ∂L
¯
d
∂L
∂
=
L(q(t + ν), q(t + ν))¯¯
q̇α +
q̈α
∂ν
dt
∂q
∂
q̇
α
α
ν=0
α
=
62
d
L(q(t), q̇(t)) = 0 ,
dt
(2.61)
2.5. Erhaltungssätze und Symmetrien
das nichts anderes bedeutet, als dass L(q(t), q̇(t)) konstant sein muss. Damit
kann man die folgende Konstante E definieren
X ∂L
E =
q̇α − L(q(t), q̇(t))
(2.62)
∂ q̇α
α
Welche physikalische Größe ist E? Wir können zunächst mal ein Beispiel
betrachten. Die Lagrangefunktion von einem Teilchen in einem Potential U
ist gegeben durch
L=
m ~r˙ 2
− U (|~r|) .
2
(2.63)
Damit ergibt sich E zu
m~r˙ 2
m~r˙ 2
+ U (|~r|) =
+ U (|~r|)
(2.64)
2
2
und damit nichts anderes als die Energie!
Das war natürlich ein spezielles Beispiel. Um es allgemein zeigen zu
können, betrachten wir die Ableitung nach der Zeit und nach einer kurzen Rechnung sieht man (UE)
E := m~r˙ 2 −
d
∂L
E = −
.
(2.65)
dt
∂t
Damit haben wir gezeigt, dass falls die Lagrangefunktion nicht explizit von
der Zeit t abhängt, die Energieerhaltung gilt! Wir werden diese Fragestellung
noch mal im Abschnitt 2.7 aufwerfen.
Jetzt haben wir fast alle Möglichkeiten der 10 verschiedenen Galileitransformationen verwendet. Es fehlt noch der Galileiboost. Dazu müss das Noethertheorem ein wenig verallgemeinert werden. Wir haben dies bereits für die Zeitranslationssymmetrie gemacht.
Erweitertes Nöther–Theorem: Falls die Lagrangefunktion unter
der Transformation sich durch eine totale Funktion der Zeit
ändert, also:
¯
¯
d
∂
d
=
L(Tν q(t), (Tν q(t)), t)¯¯
f (q(t), q̇(t), t) ,(2.66)
∂ν
dt
dt
ν=0
dann gibt es die folgende Erhaltungsgröße:
¯
f
X
¯
∂L ∂
− f (q, q̇, t) = const.
(Tν q)α ¯¯
∂
q̇
∂ν
α
ν=0
α=1
63
(2.67)
Kapitel 2. Lagrangesche Mechanik
Genau dieses haben wir bei der Zeitranslationssymmetrie benützt bzw. hergeleitet.
Betrachten wir die folgende spezielle Galileitransformation
Tν ~r = ~r + ν ~n t ,
(2.68)
wobei ~n ein beliebiger Einheitsvektor ist und damit ~n t := ~v die Geschwindigkeit, mit der sich ein anderes Inertialsystem bewegt. Betrachten wir weiters
N Teilchen unter dem Einfluss einer Kraft, die nur vom Abstand der Teilchen
untereinander abhängt. Es gilt für den Ortsvektor des n-ten Teilchens
Tν ~r (n) = ~r (n) + ν ~n t .
(2.69)
Die Lagrangefunktion L ändert sich bei dieser Transformation
³
´2
N m(n) ~
r˙ (n) + ν ~n
X
1X
U (|~r (n) − ~r (m) |)
L(. . . , Tν ~r (n) , . . . ) =
−
2
2
n=1
n6=m
|
{z
}
unabhängig von ν
(2.70)
nur um eine totale Zeitableitung (es gilt also das erweiterte Nöther–Theorem):
¯
¯
N
N
X
X
¯
∂L ¯¯
(n) ˙ (n)
¯
⇒
=
m (~r + ν ~n) · ~n¯
=
m(n) ~r˙ (n) · ~n
∂ν ¯ν=0
ν=0
n=1
n=1
N
X
d
~n ·
m(n) ~r (n) .
=
dt n=1
Nun brauchen wir nur noch
¯
¯
∂
(n) ¯
Tν ~r ¯
= ~n t
∂ν
ν=0
für alle n = 1, . . . , N
(2.71)
(2.72)
zu berechnen und erhalten
−→
N
X
n=1
p~ (n) · ~n t − ~n ·
N
X
~
m(n) ~r (n) = ~n · (P~ t − M R(t))
= const, (2.73)
n=1
~ wie zuvor definiert haben,
wobei wir die Massenmittelpunktskoordinate R
also durch
~
R(t)
=
N
1 X (n) (n)
m ~r (t) .
M n=1
64
(2.74)
2.6. Welche Eigenschaften erleichtern das Erraten von L noch?
Da ~n beliebig war, folgt, dass aus der Geschwindigkeitstransformation die
Erhaltung des Massenmittelpunktsbewegung (3 Parameter)
~
~ 0 + 1 P~ t
R(t)
= R
M
(2.75)
führt.
Bemerkung: Da die räumliche Translationsinvarianz der potentiellen Energie die Galileiinvarianz der potentiellen Energie impliziert, ist es nicht verwunderlich, dass die Massenmittelpunktsbewegung aus der Impulserhaltung
folgt.
Zusammenfassend haben wir gezeigt, dass für die Galileigruppe mit 10
unabhängigen Parametern durch das Nöther–Theorem 10 Erhaltungsgrößen
folgen:
Invarianz
Erhaltungsgröße
zeitliche Translation
Energieerhaltung (1 Parameter)
räumliche Translation
Impulserhaltung (3 Parameter)
Drehungen
Drehimpulserhaltung (3 Parameter)
Geschwindigkeittransformation
Massenmittelpunktsbewegung (3 Parameter)
2.6
Welche Eigenschaften erleichtern das Erraten von L noch?
Hier eine Zusammenfassung:
• Wir haben bereits erkannt, damit eine Bewegungsgleichung resultiert,
q̇α in L mindestens quadratisch vorkommen muss.
• Multipliziert man L mit einer Konstanten, so ändert sich die Bewegungsgleichung nicht. Das kann man zum Skalieren verwenden.
• Addiert man zu L eine Konstante, dann ändert sich die Bewegungsgleichung nicht.
• Addiert man zu L ein totale Zeitableitung, so ändert sich die Bewegungsgleichung nicht (siehe UE):
L −→ L0 = L(q, q̇, t) +
65
d
F (q, t) .
dt
(2.76)
Kapitel 2. Lagrangesche Mechanik
• Besteht ein System aus zwei Teilsystemen A und B, die jeweils abgeschlossen sind und damit in keiner Wechselwirkung stehen, dann setzt
sich die Lagrangefunktion des Gesamtsystems additiv aus denen der
Teilsystem zusammen: LA+B = LA + LB .
• Hat man zwei Teilsystemen A und B, die miteinander wechselwirken,
dann kann man folgenden Ansatz wählen:
LA+B = LA (qA , q̇A , t) + LB (qB , q̇B , t) + LW (qA , qB , q̇A , q̇B , t) . (2.77)
Damit muss man “nur” LW erraten.
Oft kommt es vor, dass zwar System A von System B beeinflusst wird,
dass aber die Rückwirkung von A auf B vernachlässigbar ist (Beispiel:
Satellit/Erde). Aber Achtung, das bedeutet keinen Widerspruch zu actio = reactio; natürlich sind die entsprechenden Kräfte entgegengesetzt,
aber die Massen der System können sich stark voneinander unterscheiden. Daher kann man als niedrigste Lösung die Bewegung in B durch
Lösen von
∂LB
∂qB
=
d ∂LB
dt ∂ q̇B
(2.78)
(0)
erhalten und die Lösung qB = qB (t) in LA+B einsetzen. Zur Herleitung
der Bewegungsgleichung von A kann man dann
(0)
(0)
(0)
LA+B = LA (qA , q̇A , t) + LW (qA , qB , q̇A , q̇B , t) ,
(2.79)
da LB nicht mehr zur Bewegungsgleichung beiträgt. Das System A
bewegt sich daher unter dem Einfluss der Kräfte, die B “von außen”
(0)
(d.h. bei vorgegebener Bewegung qB ) auf A ausübt. Man nennt diese
Näherung eine “Bewegung im äußeren Feld”, wobei man hier schön
erkennt, dass das Wort “Feld” sich auf das von B erzeugt Potential
bzw. die zugehörigen Kräfte bezieht (siehe auch Abschnitt 1.4).
• Wie wir im vorigen Abschnitt gesehen haben, ist natürlich jede Symmetrietransformation, bei der die Bewegungsgleichungen ihre Form behalten, eine Einschränkung an L und hilft beim “Erraten” der Funktion.
2.7
Der Lagrange– und Hamiltonformalismus
Wie wir gesehen haben, sind die Lagrangegleichungen das Analogon zu den
Newtongleichungen 2. Ordnung. Wir können uns also die Frage stellen, ob es
auch ein Gegenstück zu den Newtonschen Gleichungen 1. Ordnung gibt?
66
2.7. Der Lagrange– und Hamiltonformalismus
Dazu brauchen wir ein Gegenstück zu der generalisierten Koordinate qα ,
hier bietet sich der generalisierte Impuls an
pα =
∂L
.
∂ q̇α
(2.80)
Diese Größe nennt man auch kanonischen Impuls, die Variablen qα , pα heißen
zueinander kanonisch konjugiert.
Als nächsten Punkt beschäftigen wir uns nochmals mit der Frage, welcher Ausdruck im kanonischen Formalismus der Energie entspricht und unter
welchen Umständen diese erhalten ist (vergleich auch mit Abschnitt 2.5). L
selbst kommt als Energie sich nicht in Frage, für ein konservatives System
ist sie ja L = Ekin − U und nicht L = Ekin + U , ist aber doch nahe an der
Energie dran. Betrachten wir einmal die Zeitableitung von L
µ
¶
dL
∂L X ∂L
∂L
=
+
q̇α +
q̈α
dt
∂t
∂q
∂
q̇
α
α
α
µ
¶
∂L X ∂L
+
q̇α + pα q̈α
=
∂t
∂q
α
α
∂L X
+
(ṗα q̇α + pα q̈α ) ,
(2.81)
=
∂t
α
wobei wir bei letzten Gleichheitszeichen die Bewegungsgleichung genützt haben.
Der
P letzte Term ist nichts anderes als die Zeitableitung von
α pα q̇α , d.h wir haben
dL
∂L
d X
=
+
pα q̇α
dt
∂t
dt α
=⇒
dH
∂L
= −
(2.82)
dt
∂t
X
mit H(qα , pα , t) =
pα q̇α − L(qα , q̇α , t) .
α
Die Größe H heißt Hamiltonian (wir haben sie bereits beim harmonischen Oszillator kennengelernt).
Wir sehen hier auch sehr schön, dass Ergebnis aus Abschnitt 2.5, falls L
nicht explizit von der Zeit abhängt, ist die rechte Seite gleich Null und damit
H erhalten und natürlich umgekehrt, falls H zeitlich konstant ist, dann hängt
L nicht explizit von der Zeit ab.
67
Kapitel 2. Lagrangesche Mechanik
Nun können wir auch die Bewegungsgleichungen 1. Ordnung anschreiben, die Hamiltonschen Gleichungen:
∂H
∂pα
∂H
= −
∂qα
q̇α =
(2.83)
ṗα
(2.84)
Die Hamiltonschen Gleichungen erfüllen wie L auch das Wirkungsprinzip.
Man erkennt sofort die Symmetrie von q und p (bis auf ein Vorzeichen)
in den Bewegungsgleichungen. Sie kann formal (und das kann man auch in
der Quantenmechanik) soweit getrieben werden, dass es letztlich willkürlich
erscheint, was man “Impuls” oder was man “Koordinate” nennt.
Wie wir schon beim harmonischen Oszillator gesehen haben, kann man
q und p in einem 2f –dimensionale Raum zusammenfassen, der so genannte
Phasenraum des betrachteten Systems. Er ist zum Beispiel in der statistischen Mechanik ein gutes Konzept, wo der Limes von einem mikroskopischen
System, das den Quantengesetzen gehorcht, zu einem System mit vielen Teilchen vollzogen werden soll.
68
Kapitel 3
Relativistische Mechanik
Ich habe hier eine eher formalere Zugangsweise gewählt, da die so genannten
Paradoxa selbst in Schulbüchern sehr illustrativ und verständlich dargestellt
werden. Mit diesem Rüstzeug sollte es keine großen Probleme bereiten, sich
andere relativistische Effekte, Schlussfolgerungen,. . . erarbeiten zu können.
Die Maxwellsche Theorie (1864) beschreibt die elektromagnetischen
Vorgänge in zutreffender Weise, d.h. die experimentellen Beobachtungen stimmen mit der Theorie überein. Das Licht ist ein elektromagnetischer Wellenvorgang, der sich mit großer, aber endlicher Geschwindigkeit c ≈ 300000km/s
ausbreitet. Als Medium wurde zunächst der so genannte Äther angenommen.
Alle anderen bekannten Wellen, wie Wasserwellen, Schallwellen, bewegen sich
ja auch in einem Medium, also war die Annahme eines Mediums absolut
naheliegend. In einem raffinierten Experiment haben Michelson und Morley
(1887) versucht, den Ätherwind nachzuweisen, der sich bei der Bewegung der
Erde um die Sonne (v ≈ 30km/s) ergeben müsste. Obwohl die experimentelle Genauigkeit groß genug war (≈ 5km/s), ergab sich kein Unterschied in
der Geschwindigkeit des Sonnenlichtes bei Bewegung auf die Sonne zu bzw.
von dieser weg, zur Verwunderung der damaligen Physiker.
Im Anschluss daran haben Fitzgerald und Lorentz (1892) erkannt,
q dass
2
sich dann auch Längenmaßstäbe in Bewegungsrichtung um den Faktor 1 − vc2
ändern sollten. H. A. Lorentz hat 1904 (näherungsweise) die nach ihm benannten Transformationen für die Änderung von Längen- und Zeitmaßstäben
bei Bewegung gefunden (W. Voigt kannte sie aber schon 1887, J. Larmor fand
sie 1898). Schließlich hat Poincare (1905/06) das Relativitätsprinzip aufgestellt: die Physik muß invariant gegen Lorentztransformationen formuliert
werden, wenn die Maxwelltheorie zutreffen soll.
69
Kapitel 3. Relativistische Mechanik
Diese Untersuchungen waren aber alle ziemlich formal und enthielten keine physikalische Interpretation, vor allem keine solche der Transformation
der Zeit. Der wesentliche Schritt zur Relativitätstheorie wurde von Einstein
(1905) vollzogen. Es gelang ihm, die Lorentztransformation ohne Rückgriff
auf die Elektrodynamik oder das Michelsonexperiment (und offenbar ohne
Kenntnis von Lorentzs Arbeiten) aus einer Analyse des Gleichzeitigkeitsbegriffes herzuleiten und diesen physikalisch zu interpretieren: Gleichzeitigkeit
ist nichts Absolutes, sondern relativ, d.h. vom Bezugsystem abhängig. Einstein formulierte das Relativitätsprinzip und zog daraus die Konsequenz:
die Mechanik muß abgeändert werden, um dem neuen Relativitätsprinzip zu
genügen. Die von Einstein vorgelegte relativistische Mechanik wurde 1907
von H. Minkowski in mathematisch besonders klarer Form dargestellt (die
Arbeit wurde aber erst nach Minkowskis frühem Tod 1915 veröffentlicht).
Minkowski hat in dieser Arbeit auch den entsprechend verallgemeinerten
Vektorkalkül für die relativistische Raumzeitmannigfaltigkeit entwickelt. Einsteins berühmte Arbeit ist außerordentlich klar geschrieben. Trotzdem wurde
sie von der Universität Bern als Habilitationsschrift wegen Unverständlichkeit abgelehnt.
M. Planck erkannte hingegen ihre Bedeutung sofort und propagierte die
Theorie, die sich danach relativ rasch durchsetzte. Plancks damaliger Assistent M. v. Laue veröffentlichte bereits 1911 das erste Lehrbuch zur Relativitätstheorie. Alle Aussagen der Relativitätstheorie (wie z.B. Abhängigkeit
der Masse von der Geschwindigkeit, Zeitdilatation, Konstanz der Lichtgeschwindigkeit) sind experimentell mit hoher Genauigkeit bestätigt worden.
Im Gegensatz zur Quantentheorie, bei der überraschenderweise kein genereller Limes von der “Quantenwelt” zur “klassischen” Welt gefunden werden
kann, folgt die Newtonsche Mechanik bei Betrachtung von Geschwindigkeiten, die kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sind, als gute Näherung. Daher
bleibt die Newtonsche Mechanik in weiten Bereichen der Physik Wahl Nummer 1.
Die Relativitätstheorie ist heute aus vielen Bereichen nicht mehr wegzudenken, die ohne die Kenntnis der relativistischen Mechanik unmöglich wären
(Satelliten, GPS, Beschleuniger wie LHC, Myonen Zerfall,. . . ).
In der geometrischen Struktur von Raum und Zeit unterscheidet sich die
relativistische Physik wesentlich von der nichtrelativistischen. Diese Raumzeitstruktur bildet die Grundlage für alle Bereiche der Physik und ist somit
weit über die Mechanik hinaus von Bedeutung. So hat die entsprechende relativistische Verallgemeinerung der Newtonschen Gravitationstheorie (die allgemeine Relativitätstheorie) zu einem neuen Verständnis unseres Universums
und seiner Entwicklung geführt, aus neueren Entwicklungen in der relativistischen Teilchenphysik beginnt sich ein einheitliches Bild für die Grundlagen
70
3.1. Die Lorentztransformation
der ganzen Physik abzuzeichnen.
3.1
Die Lorentztransformation
Die Lorentztransformation tritt in der relativistischen Mechanik an die Stelle
der Galileitransformation.
Das Relativitätsprinzip nach Galilei können wir auch so zusammenfassen:
A Alle Inertialsystem (IS) sind gleichwertig, d.h. alle grundlegenden physikalische Gesetze haben in allen IS die gleich
Form.
B Galilei: Newtons Axiome gelten in allen Inertialsystemen.
(Warum wurde Punkt B von Galilei nicht so formuliert? (Tipp:
Geburtsdaten)) Aus Punkt A und B folgen die in Abschnitt 1.12
besprochenen Galileitransformationen.
Aus dem Michelsonexperiment wissen wir, dass die Lichtgeschwindigkeit c
konstant ist. Diese Konstanz der Lichtgeschwindigkeit ist im Widerspruch
zur Galileitransformation. Betrachten wir eine Zug der auf einem Zug der
wieder auf einem Zug fährt, auf dem wir laufen. Nach Galilei addieren sich die
Geschwindigkeiten einfach, d.h. wir könnten uns mit Überlichtgeschwindikeit
bewegen.
Also werden wir folgende Relativitätsprinzip nach Einstein fordern:
A Alle Inertialsystem (IS) sind gleichwertig, d.h. alle grundlegenden physikalische Gesetze haben in allen IS die gleich
Form.
C Licht pflanzt sich in jedem Inertialsystem mit der Geschwindigkeit c fort.
Die Transformationen, die Punkt A und C erfüllen, sind die Lorentztransformation, die auch die Maxwellgleichungen invariant lassen. Dies impliziert
natürlich, dass wir die Newtonschen Axiome abändern müssen.
Man kann verschiedenste Ansätze zur Herleitung der Lorentztransformation verfolgen, wir geben hier der Kürze wegen nur das Ergebnis an und
diskutieren ihr Ergebnis:
71
Kapitel 3. Relativistische Mechanik
Die Lorentztransformation zwischen einem Inertialsystem IS’
und einem Inertialsystem IS lautet:
~x
0
t0
(~v · ~x) ~v
(γ − 1) − γ ~v t
v2
~v · ~x
= γ (t − 2 )
c
= ~x +
(3.1)
wobei c die Lichtgeschwindigkeit ist, v der Betrag von ~v und γ
1
γ ≡ γ(v) = p
1 − β 2 (v)
mit β(v) =
v
.
c
(3.2)
Man sieht sofort, wenn v ¿ c, dann ist γ(v) in guter Näherung 1 und wir
erhalten die Galileitransformationen. Rotationen und räumliche und zeitliche
Verschiebungen sind natürlich ebenso möglich, aber diese ändern zur die
mathematische Beschreibung. Es kommt auf die Relativgeschwindigkeit an.
3.2
Wie schaut das Raum–Zeit Konzept der
Lorentztransformationen aus?
Bei Drehungen, räumlichen oder zeitlichen Verschiebungen ergeben sich keine Unterschiede zwischen Galilei– und Lorentztransformationen (LT). Das
Relativitätsprinzip von Galilei und Einstein implizieren gleichermaßen die
Isotropie und Homogenität des Raumes und die Homogenität der Zeit. Zum
Beispiel die Gleichwertigkeit von Inertialsystemen mit verschieden orientierten Achsen. Der große Unterschied ergibt sich, wenn man Relativbewegungen
zwischen zwei Inertialsystemen betrachtet. Das wollen wir uns nun genauer
anschauen (vergleich mit Abschnitt 1.12).
Wir konzentrieren uns wie im Abschnitt 1.12 auf eine räumliche Dimension. Für t = 0 sollen sich die System IS und IS’ decken und die Uhren
der Systeme synchronisiert sein. Das Ereignis, das durch die Koinzidenz der
Ursprünge gegeben ist, hat dann die Koordinaten (c t, x, y, z) = (0, 0, 0, 0)
und (c t0 , x0 , y 0 , z 0 ) = (0, 0, 0, 0), wobei für alle Zeiten durch unsere Wahl der
Koordinatensysteme gelten soll y = y 0 = z = z 0 = 0 . Wir sehen, dass wir
es mit vierdimensionalen “Vektoren” zu tun haben, Minkowski hat diese in
einen sehr praktischen Formalismus zusammengefasst, der neben der Kürze
vor allem den Vorteil hat, falls man ein Größe in diesem Formalismus hinschreibt und einfache Regeln beachtet, dann ist diese Größe invariant unter
LT, das dann nicht mehr explizit zu zeigen ist.
72
3.2. Wie schaut das Raum–Zeit Konzept der Lorentztransformationen aus?
Im Allgemeinen wird ein Ereignis in der Raum–Zeit (ein Raum–
Zeit Punkt) durch die Raum–Zeit–Koordinaten
x = (xµ ) = (x0 , x1 , x2 , x3 ) = (c t, ~x)
(3.3)
bezeichnet. Die Komponenten von x werden mit xµ (µ =
0, 1, 2, 3) bezeichnet. Dabei gilt, verwendet man einen Griechischen Buchstaben, dann läuft der Index von 0 bis 3, verwendet
man einen Lateinischen Buchstaben, dann läuft der Index “nur”
von 1 bis 3 und bezeichnet den räumlichen Anteil. Die Menge
der Ereignisse (Punkte) wird in der speziellen Relativitätstheorie
auch als Minkowskiraum bezeichnet, benannt nach dem Mathematiker Hermann Minkowski (1864-1909). Das wir den Index µ
oben gewählt haben ist zunächst Willkür.
Die Koordinaten der Ereignisse in den zwei IS sind durch die LT verknüpft, Gl. (3.1). Betrachten wir ein Ereignis, das in IS’ im Ursprung ruht.
Was gilt für dieses Ereignis im IS? Wir erhalten aus den Gl. (3.1)
(x00 = c t0 , x01 = 0)
LT
⇐⇒
(x0 = c t, x1 = v t)
(3.4)
wobei t0 und t noch zusammenhängen. Wir betrachten nun einen Massenpunkt in IS’, der sich in positiver x Richtung mit der Geschwindigkeit
u0 =
dx0
dt0
(3.5)
bewegt. Mit welcher Geschwindigkeit bewegt er sich in IS? Für die Galileitransformationen hätten wir einfach u = u0 + v erhalten. Um diese zu finden, betrachten wir die Umkehrformel zur Lorentztransforamtion (die man
durch Vertauschen von IS mit IS’ und Ersetzen von ~v durch −~v erhält) und
schreiben diese differentiell
v u0
v dx0
0
)
=
γ
dt
(1
+
)
c2
c2
dx = dx0 + dx0 (γ − 1) + γ v dt0 = γ dx0 + γ v dt0 .
dt = γ (dt0 +
(3.6)
Durch Division erhalten wir die relativistische Geschwindigkeitsaddition
u =
dx
u0 + v
=
0 .
dt
1 + vcu2
(3.7)
Falls also u0 = c dann folgt, in Übereinstimmung mit Einstein, u = c. Man
beachte auch, dass es keine Symmetrie zwischen u und v besteht! Der Lorentzboost ist also eine Folge unseres adaptierter Raum–Zeit Konzepts, das wir auf
73
Kapitel 3. Relativistische Mechanik
Grund der Experimente ändern mussten! Es erscheint uns nicht intuitiv –kein
Wunder haben wir es im Alltag ja nicht mit relativistischen Geschwindigkeiten zu tun– , aber man kann zeigen, dass es eine überraschen einfache geometrische Interpretation der Geschwindigkeitsaddition gibt (siehe Feynman,
Band I oder homepage.univie.ac.at/Franz.Embacher/Rel/Geschwindigkeitsaddition).
Die allgemeine relativistische Geschwindigkeitsaddition ist durch
µ
¶
0
~v · ~u
d~x
1
0
−1
−1
~v + ~v
(1 − γ ) + γ ~u (3.8)
~u =
=
0
u
dt
v2
1 + ~v·~
2
c
gegeben (siehe auch ÜE).
Vertiefen wir uns weiter in die Transformationen, die Einsteins Relativitätsprinzip genügen. Betrachten wir zwei Ereignisse mit den Koordinaten
a = (aµ ) = (c t1 , x1 , y1 , z1 ) und (bµ ) = (c t2 , x2 , y2 , z2 ) in IS, dann wollen wir
folgende Größe betrachten:
s2ab := c2 (t2 − t1 )2 − (~x2 − ~x1 )2
= c2 (t2 − t1 )2 − (x2 − x1 )2 − (y2 − y1 )2 − (z2 − z1 )2 .
(3.9)
Es fällt zunächst auf, dass diese Größe negativ, positive oder Null sein kann.
Nun betrachten wir diese Größe in einem IS’, also
0
0
s0ab2 := c2 (t02 − t01 )2 − (~x2 − ~x1 )2
= c2 (t02 − t01 )2 − (x02 − x01 )2 − (y20 − y10 )2 − (z20 − z10 )2 .
(3.10)
Experimentell findet man, dass
s2ab = s0ab2 .
(3.11)
Das bestätigt sich auch wenn man die LT einsetzt (so kann sie auch gefunden werden). Physikalisch haben wir die Größe gefunden, die invariant ist
unter LT, und die wir als “Quadrat des (vierdimensionalen) Abstandes” oder
“Raum–Zeit–Abstand ” bezeichnen, in Anlehnung an die entsprechende Größe
in einem kartesischen Koordinatensystem im Rn .
Zur Vereinfachung der Schreibweise kann man zweifach indizierte Größe
definieren


1 0
0
0
 0 −1 0
0 

g = (gµν ) = g µν ) = 
(3.12)
 0 0 −1 0 
0 0
0 −1
74
3.2. Wie schaut das Raum–Zeit Konzept der Lorentztransformationen aus?
und es gilt gµν g µν = 1. Dann lässt sich der Viererabstand zweier Ereignisse
a = (aµ ) = (c t1 , x1 , y1 , z1 ) und b = (bµ ) = (c t2 , x2 , y2 , z2 ) mit Hilfe des
metrischen Tensors gµν kompakt als
s2ab = gµν (aµ − bµ )(aν − bν ) Summenkonvention!
(3.13)
schreiben.
Allgemein bezeichnet man einen Minkowskivektor mit einem oberen Index
als kontravarianten Vektor und einen Minkowskivektor mit unteren Index als
kovarianten Vektor, wobei die Umrechnung über den metrischen Tensor der
flachen Raum–Zeit erfolgt:
(xµ ) = (c t, x, y, z) kontravariant Vierervektor


ct
 −x 

(xµ ) = 
 −y  kovarianter Vierervektor
−z
mit xµ = g µν xν , xµ = gµν xν
(3.14)
und damit lässt sich das Lorentzinvariante Abstandsquadrat kompakt durch
s2ab = (aν − bν )(aν − bν )
(3.15)
schreiben.
Man kann das Abstandsquadrat s2 als eine Funktion der Koordinaten
s2 = F (t, ~x) betrachten, aber auch als eine Funktion der Koordinaten in
0
einem anderen IS s2 = F (t0 , ~v ). Die Gleichung
s2 = F (t, ~x) = (c t)2 − ~x 2 = 0
d~x
−→ ( )2 = c2
dt
(3.16)
beschreibt dann eine Hyperfläche im vierdimensionalen Raumzeitkontinuum,
die im Ursprung eine Spitze hat. Diese Hyperfläche heißt der Lichtkegel des
Ereignisses P = (0, ~0) und ermöglicht eine geometrisches Verständnis der
Lorentztransformationen und ist in Fig. 3.1 veranschaulicht. Es beschreibt
ein Objekt, das sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegt. Allgemein kann man
folgende Klassifizierung vornehmen:
75
Kapitel 3. Relativistische Mechanik
Abbildung 3.1: Der Lichtkegel.
Für infinitesimal benachbarte Ereignisse mit Koordinaten x =
(x0 , ~x) −→ x + dx = (x0 + dx0 , ~x + d~x) folgt dann, dass für den
Vierabstand zwischen diesen beiden Ereignissen gilt:
ds2 = c2 dt2 − d~x 2 = inv.
(3.17)
Der Abstand zweier Ereignisse kann in 3 Arten klassifiziert werden:
2
ds
½ = 0 lichtartig
< 0 raumartig
= c dt − d~x
> 0 zeitartig
2
2
2
(3.18)
und kann geometrisch durch den einen Kegel veranschaulicht
werden, Fig. 3.1.
Wir haben unser Raum–Zeit Konzept, also auch darin zu ändern, das es
nicht nur eine unmittelbare punktuelle Gegenwart gibt, sondern einen ganzen
Bereich, den wir als Gegenwart auffassen können.
76
3.3. Auswirkungen des veränderten Raum–Zeit Konzepts:
Lorentzkontraktion und Zeitdilatation
Abbildung 3.2: Lorentzkontraktion
3.3
Auswirkungen des veränderten Raum–Zeit
Konzepts: Lorentzkontraktion und Zeitdilatation
Auch die Abmessungen eines Objektes hängen vom Bewegungszustand ab.
Der “graphische Fahrplan” für das ganze Objekt wird offenbar durch die
Weltlinien aller Atome beschrieben, aus denen das Objekt besteht. Für einen
ausgedehnten Gegenstand erhält man eine sogenannte “Weltröhre”.
Betrachten wir wieder die Lorentztransformation in der x–Richtung und
untersuchen einen Maßstab, der in IS’ ruht und die Länge l0 hat (vgl. Abb. 3.2).
Anfangs- bzw. Endpunkt seien x01 bzw. x02 . Dann ist l0 = x02 − x01 (gemessen
zur Zeit t0 = 0). Die Weltlinien des Anfangs- bzw. Endpunktes sind parallel
zur c t0 –Achse. Der Maßstab erscheint im ursprünglichen IS kürzer.
Setzen wir in der Transformationsformel t = 0, so erhalten wir
l0 = x02 − x01 = γ(x2 − x1 )
p
−→ l = l0 1 − β 2
(3.19)
Die Lorentzkontraktion ist ein reziproker Effekt: Von IS’ aus sieht ein in
IS ruhender Maßstab kürzer aus. Quer zur Bewegungsrichtung erfolgt keine
Kontraktion.
Wie sieht es mit Zeitmaßstäben aus? Da sich bei einem Lorentzboost auch
die Zeitkoordinate ändert, gibt es kein “absolute” (d.h. vom Bezugssystem
77
Kapitel 3. Relativistische Mechanik
unabhängige) Zeit. Betrachten wir die Weltlinie eines Teilchens, dass sich
mit einer wechselnden Geschwindigkeit u in der Gegend von c bewegt, aber
natürlich ist u immer kleiner c. Diese Kurve ist eine zeitartige Linie: sie
verläuft so, dass in jedem ihrer Punkte die Tangente innerhalb des im Punkt
errichteten Lichtkegels liegt. In einem (~x, t)–Diagramm muss diese Kurve also
nach oben laufen und darf sich nirgends zu stark krümmen. Zur Bestimmung
der Bogenlänge verwenden wir das invariante Differential
0
0
ds2 = c2 dt2 − d~x 2 = c2 (dt )2 − (d~x ) 2 .
(3.20)
Für jeden Punkt der Kurve kann man ein Koordinatensystem konstruieren,
dass sich im entsprechenden Zeitpunkt mit dem Teilchen mitbewegt, i. Allg.
in jedem Punkt ein anderes Koordinatensystem. Dieses System heißt mo0
0
mentanes Ruhesystem. In diesem System gilt d~x = 0 −→ ds = c dt ,
das Bogenelement misst damit in jedem Punkt das c–fache des Zeitintervalls,
das eine von den Teilchen mitgeführte Uhr anzeigt. Man nennt diese daher
Eigenzeit
dτ :=
ds
.
c
(3.21)
Diese ist klarerweise wie ds invariant.
Vergleicht man zwei Weltlinien, z.B, die für ein ruhendes Objekt 1 und ein
ungleichförmig bewegtes Objekt 2, so entspricht der scheinbar längeren Weltlinie 2 die kürzere Bogenlänge
Z B
sAB =
ds ,
(3.22)
A
78
3.4. Wie sehen Impuls– und Energiebegriff für ein relativistisches Teilchen
aus?
da in ds2 = c2 dt2 − d~x 2 “mehr” abgezogen wird.
Für das Eigenzeitintervall als Funktion der Geschwindigkeit ~u =
man das Bogenelement
r
1
u2
dτ =
ds = dt 1 − 2 < dt
Zeitdilatation .
c
c
d~
x
dt
erhält
(3.23)
Die vonpeiner bewegten Uhr angezeigten Zeitintervalle sind daher um den
Faktor 1 − β 2 kleiner als die ruhende Uhr. Daher gehen bewegte Uhren
langsamer, wenn man das von einem ruhenden System aus beurteilt.
Experimente: Myonen der kosmischen Strahlung, Flugzeugexperimente,
Zwillinge,. . .
3.4
Wie sehen Impuls– und Energiebegriff für
ein relativistisches Teilchen aus?
Wir untersuchen hier die Mechanik eines relativistischen Teilchens und damit
den Unterschied zu Newtons Welt. Dabei ist es praktisch gleich die Vierervektoren, also den Minkowskiraum einzuführen, da es dann einfacher ist, Lorentzinvariante Größen zu definieren. Als zweites Kriterium für eine vernünftige
Größe wollen wir, dass im Limes v viel kleiner als c, die nichtrelativistische
Mechanik folgt. Wir werden sehen, dass es nicht immer eine eindeutige relativistische Verallgemeinerung gibt.
Die Bahn eines relativistischen Teilchens wird einerseits durch ~x(t), andererseits durch x0 = ct festgelegt. Damit können wir einen Vierervektor
konstruieren xµ (t). Da sich t bei Lorentztransformationen ändert, verwenden
wir lieber die Eigenzeit τ und erhalten die Weltlinie xµ (τ ). Die Tangente an
die Weltlinie
uµ : =
dxµ
dxµ
=
ds
c dτ
(3.24)
ist die Vierergeschwindigkeit, sie ist dimensionslos. Jedoch definiert man
~v :=
d~x
dt
(3.25)
µ
als relativistische Geschwindigkeit, so wird mit uµ uµ = dx(ds)dx2µ = 1:
s
µ ¶2
p
d~x
ds =
c2 (dt)2 − (d~x)2 = c dt 1 −
cdt
p
= c dt 1 − β 2 .
79
(3.26)
Kapitel 3. Relativistische Mechanik
Damit haben wir
dx0
dt
= c
= γ
ds
ds
d~x
d~x dt
~v
~u =
=
= γ,
ds
dt ds
c
u0 =
(3.27)
und damit ist die Bezeichnung von (uµ ) = γ(1, ~v /c) als Vierergeschwindigkeit
sinnvoll.
Wie sieht der nichtrelativistische Grenzfall v ¿ c aus?
Dazu entwickeln wir γ für β ¿ 1
γ = 1+
β 2 3β 4
+
+ ...
2
8
(3.28)
und sehen, dass die räumlichen Komponenten von der Vierergeschwindigkeit (uµ ) = γ(1, ~v /c) in ~u = ~v /c) übergehen, also in die nichtrelativistische
Geschwindigkeit. Weiters analog zu Newtons Theorie definieren wir einen
relativistischen Impuls durch
pµ = m c uµ = m c
(pµ ) = m γ (c, ~v ) .
dxµ
dxµ
= m
ds
dτ
(3.29)
Die räumlichen Komponenten gehen für den nichtrelativistischen Grenzfall
in den nichtrelativistischen Impuls über. Wie sieht es mit der zeitlichen Komponente aus? Der Ausdruck c p0 hat die Dimension einer Energie. Daher
E
(pµ ) = (p0 , p~) = ( , p~)
c
(3.30)
und haben so die relativistische Energie E definiert. Da uµ ein Vierervektor
ist, ist auch pµ ein Vierervektor, den wir Energie–Impulsvektor nennen, und
er erfüllt die Lorentzinvarianz:
pµ pµ = m2 c2 ,
(3.31)
das wir in Worten so ausdrücken können; der Vektor pµ liegt auf der Massenschale (Englisch: on shell), damit ist das durch diese Gleichung und p0 > 0
charakterisierte Hyperboloid gemeint.
In Termen von der relativistischen Energie und dem relativistischen Impuls p~ lautet die obige Gleichung:
p
E =
c2 p~ 2 + (m c2 )2 .
(3.32)
80
3.5. Äquivalenz von Masse und Energie
Wie sieht die Energie–Impuls-Beziehung im nichtrelativistischen
bzw. hochrelativistische Limes aus?
Wir erhalten
E =
½
p
(m c2 )2 + c2 p~ 2 ∼
m c2 +
c |~p|
p
~2
2m
³
´
2
1 − ( 2p~ m )2 + . . . für |~p| ¿ m c
für |~p| À m c
Wir erkennen im nichtrelativistischen Limes, dass die relativistische Energie
2
die Ruheenergie m c2 , die kinetische Energie 2p~ m und relativistische Korrekturen enthält. Im hochrelativistischen Limes hängt die Energie nicht mehr
quadratisch vom Impuls ab, sondern linear!
3.5
Äquivalenz von Masse und Energie
Für Prozesse in abgeschlossenen Systemen gilt die Erhaltung der relativistischen Energie als Folge der Zeittranslationsinvarianz. Das hat für Systeme
aus N Teilchen weitreichende Bedeutung. Insbesondere gilt
E =
N
X
n=1
En =
N
X
Ekin,n +
n=1
N
X
mn c2 = const,
(3.33)
n=1
wobei Ekin,n durch die Differenz der relativistischen Energie En minus der
PN
Ruheenergie mn c2 definiert ist. Die kinetische Energie
n Ekin,n und die
PN
2
Ruheenergie n mn c jeweils für sich sind im Allgemeinen nicht erhalten!
Daher kann sich in einem Prozess Ruheenergie in kinetische Energie oder
umgekehrt umwandeln.
Beispiel: Der Anfangszustand sei durch N Neutronen und Z Protonen
gegeben, der Endzustand sei dann ein Kern, dann ergibt die Energiebilanz:
(N mn + Z mp )c2 = MKern c2 + ∆E 0 ,
(3.34)
wobei ∆E 0 die kinetische Energie des Kerns und/oder die Energie, die abgestrahlt wird.
3.6
Wie behandelt man Teilchen mit Ruhemasse 0?
Photonen besitzen bekanntlich keine Masse, sie bewegen sich mit Lichtgeschwindigkeit durch unsere Welt. Man kann die Vierergeschwindigkeit uµ
81
Kapitel 3. Relativistische Mechanik
nicht mehr wie vorher definieren, γ(v = c) = ∞. Hingegen ist der Energie–
Impulsvektor pµ ein “guter” Vektor, man erhält aus der Energieformel lediglich, das er ein lichtartiger Vektor ist
pµ pµ = 0,
m = 0:
E = c |~p| .
(3.35)
Noch einmal zeigt sich der Vorteil des Impulsbegriffes gegenüber dem Begriff
der Geschwindigkeit! Und er ist physikalisch dadurch zu rechtfertigen, dass
man feststellt, dass Licht Impuls überträgt (“Lichtdruck”). Eigentlich haben
wir damit die Quantentheorie betreten: erst diese sagt aus, dass Licht aus
Photonen mit dem Impuls
ω
2π
(k µ ) = ( , ~k),
mit |~k| =
(3.36)
c
λ
besteht. Für Teilchen mit Masse 0 ist also der Energie–Impulsvektor ein lichtartiger Vektor. Die Transformationseigenschaften von k µ bei Lorentztransformationen äußeren sich im Dopplereffekt und Aberration (Richtungsänderung) des Lichtes.
pµ = ~ k µ ,
3.7
Anwendungen: Teilchenphysik
Nun sind wir gerüstet, um die Kinematik von Zerfälle von Teilchen, Streuungen oder Erzeugung von Teilchen zu berechnen.
Ganz allgemein haben wir am Anfang Ni Teilchen und nach dem Prozess
Nf Teilchen (i. . . initial, f . . . final). Wir wissen, dass die Energie–Impuls–
Erhaltung gilt, also für die einlaufenden Teilchen mit dem Viererimpuls pa
und für die auslaufenden Teilchen mit dem Viererimpuls qa gilt:
Ni
X
a=1
pa =
Nf
X
a=1
82
qa .
(3.37)
3.7. Anwendungen: Teilchenphysik
3.7.1
Der Zerfall von einem Teilchen
Wir haben also ein Teilchen im Anfangszustand und betrachten die einfachste
Möglichkeit, zwei Teilchen im Endzustand (2–Teilchen-Zerfall). Zum Beispiel
(−)
π ± −→ µ± ν µ .
Es gibt also
P = p1 + p2
→ (E/c, P~ ) = (E1 /c, p~1 ) + (E2 /c, p~2 )
(3.38)
p
p
wobei E = c P~ 2 + M 2 c2 und Ei = c p~i 2 + m2i c2 mit i = 1, 2. Wir machen uns das Leben leicht und setzen uns ins Ruhesystem des zerfallenden
Teilchens (≡ Massenmittelpunkt), hier gilt P~ = ~0:
(M c, ~0) = (
q
q
2
p~1 +
m21 c2 , p~1 )
+(
p~2 2 + m22 c2 , p~2 )
(3.39)
bzw.
q
Mc =
q
2
p~1 +
m21 c2
+
p~2 2 + m22 c2 ≥ m1 c + m2 c
~0 = p~1 + p~2
(3.40)
Wir erkennen, dass der Zerfall nur möglich ist, falls M ≥ m1 + m2 , d.h.
schwere Teilchen können in leichtere Zerfallen, aber nicht umgekehrt. Das
bedeutet aber auch, dass es Teilchen gibt, die stabil sind und nicht mehr
in leichtere zerfallen können, da es keine leichteren gibt. Aus der zweiten
Gleichung sieht man, das der Betrag der Impulse der Zerfallsprodukte gleich
sein muss und die Richtung entgegengesetzt. Umgekehrt ist falls man findet,
das zwei Teilchen genau entgegengesetzten Impuls haben, dann ist sind sie
durch einen Zerfall eines Teilchens entstanden.
83
Kapitel 3. Relativistische Mechanik
Das obige Gleichungssystem kann man jetzt natürlich lösen, indem man
p~2 = −~p1 in die erste Gleichung, der Energieerhaltung, einsetzt, daraus erhält
man dann |~p1 |, E1 , E2 . Wir können die Lösung aber auch ohne Zerlegung der
Vierervektoren in zeitliche und räumliche Komponenten erhalten (hier sehen
wir auch den Vorteil der 4er Vektorschreibweise):
P = p1 + p2 ⇒ P − p1 = p2
⇒ (P − p1 )2 = p22 ⇒ M 2 c2 + m21 c2 − 2 P · p1 = m22 c2 . (3.41)
Im Ruhesystem des zerfallenden Teilchens ist P · p1 = M E1 und damit
haben wir schon die Lösung
(M 2 + m21 − m22 ) c2
2M
2
(M + m22 − m21 ) c2
(3.42)
E2 =
2M
Ein weiteres Beispiel ist der Zerfall π 0 −→ γγ mit Mπ0 ' 135M eV /c2 .
Hier gilt m1 = m2 = mγ = 0 und damit E1 = E2 = Mπ0 c2 /2 ' 67.5M eV .
⇒ E1 =
3.7.2
Wie sieht die Kinematik der Teilchenerzeugung
aus?
In Beschleunigerexperimenten werden in der Regel zwei Teilchen aufeinander geschossen. Wir haben also zwei Teilchen im Anfangszustand und einige
Teilchen im Endzustand. Wir betrachten hier zwei Teilchen im Endzustand,
zum Beispiel e− e+ −→ µ+ µ− :
p1 + p2 = q1 + q2
bzw.
(
p
(3.43)
p
p~1 2 + m2e c2 , p~1 ) + ( p~2 2 + m2e c2 , p~2 ) =
q
q
2
2
2
( ~q1 + mµ c , ~q1 ) + ( ~q2 2 + m2µ c2 , ~q2 ) . (3.44)
84
3.8. Um den Kreis zu schließen: Wie sieht der relativistische Kraftbegriff
aus?
Im Massenmittelpunktsystem gilt p~1 + p~2 = ~0 und daraus folgt für die
Endprodukte q~1 + ~q2 = ~0 und damit
q
p
Ee± = c p~i 2 + m2e c2 = c ~qi 2 + m2µ c2 ≥ mµ c2 .
(3.45)
Damit ist dieser Prozess nur möglich falls die Energie des Elektrons und
des Positrons größer als die Ruheenergie der Myonen. Darum werden um
neue oder andere Teilchen in einem Beschleuniger zu erzeugen, die Teilchen
beschleunigt, d.h. ihre Energie erhöht.
3.8
Um den Kreis zu schließen: Wie sieht der
relativistische Kraftbegriff aus?
Wir werden hier untersuchen, wie das 2. Newtonsche Axiom relativistisch
verallgemeinert werden kann. Wir werden sehen, dass das nicht ganz so klar
ist.
Das 2. Newtonsche Axiom lautet (falls m nicht explizit von t abhängt,
was wir im weiteren annehmen)
m
d~v
= F~N ,
dt
(3.46)
wobei wir den Index N eingeführt haben, um zu betonen, dass wir die nichtrelativistische Kraft, die Newton Kraft, meinen. Das Inertialsystem, in dem
das Teilchen die Geschwindigkeit ~v (t) hat, bezeichnen wir durch IS. Das momentane Ruhesystem des Teilchens bezeichnen wir mit IS 0 . Bewegt sich zum
Zeitpunkt t0 das IS’ relativ zu IS mit der konstanten Geschwindigkeit ~v (t0 ),
dann ist die Geschwindigkeit für das kleine Zeitintervall (t0 −dt ≤ t ≤ t0 +dt)
85
Kapitel 3. Relativistische Mechanik
im IS’ beliebig klein, es ruht in guter Näherung. Wir wissen, dass das 2. Axiom für nichtrelativistische Geschwindigkeiten gut bestätigt ist, daher gehen
wir davon aus, dass das 2. Axiom im Ruhesystem IS’ exakt gilt:
m
d~v 0
= F~N
dt
relativistisch gültig in IS’ .
(3.47)
Achtung: Das Teilchen ruht zwar näherungsweise im IS’, aber die zeitliche
Ableitung von der Geschwindigkeit muss nicht null sein. Wie wir bei den
Axiomen besprochen haben, definiert das 2. Axiom die Masse m und die
Kraft F~N als Messgrößen. Wir werden diese Definitionen übernehmen, aber
sie nur auf das Ruhesystem, Gl.(3.47), beziehen! Als haben wir
m = Masse in IS’ = Ruhemasse
~
FN = Kraft in IS’ .
(3.48)
Wir haben hier die Kraft und Masse nach wie vor im Newtonschen Sinne definiert, beziehen diese Definition jetzt aber auf das momentane Ruhesystem!
Bei Newton waren diese zwei Größen unabhängig vom Inertialsystem,
für nichtrelativistische Geschwindigkeiten sollten daher keine messbaren Unterschiede auftreten. Die Bewegungsgleichungen im IS folgen dann aufgrund
Einsteins Relativitätsprinzips mittels der Lorentztransformation angewendet
auf die gültigen Gleichungen im Ruhesystem IS’.
Wir können aber, da wir uns schon mit der Viererschreibweise vertraut gemacht haben, anders vorgehen:
Wir haben die Vierergeschwindigkeit uµ analog zu Newton definiert, verfahren wir genauso für die Viererbeschleunigung
bµ :=
2 µ
d2 xµ
duµ
2 d x
=
c
=
c
dτ 2
ds2
dτ
(3.49)
und postulieren in Analogie zum 2. Newtonschen Axiom, die
relativistische Bewegungsgleichung durch
m bµ =
duµ
dpµ
= mc
:= f µ ,
dτ
dτ
wobei f µ die Viererkraft oder Minkowskikraft ist.
Den Vierervektor f µ werden wir jetzt so definieren, dass im momentanen
Ruhesystem das 2. (nichtrelativistische) Axiom gilt, wie oben besprochen.
Im momentanen Ruhesystem IS’ ist die Vierergeschwindigkeit zwar durch
86
3.8. Um den Kreis zu schließen: Wie sieht der relativistische Kraftbegriff
aus?
uµ = (c, ~v = ~0) gegeben, allerdings gilt nicht
wir durch unsere Definition fest:
0
d~v
dτ
0
= 0. Die Kraft im IS’ legen
0
du0µ
d~v
(m c
) = m (0,
) := (f 0µ ) = (0, F~N ) .
dτ
dτ
(3.50)
Durch die Lorentztransformation mit −~v , erhalten wir die Minkowiskikraft
die im IS, in dem sich das Teilchen mit ~v bewegt gilt.
Um die relativistische Bewegungsgleichung (3.50) zu erhalten, haben wir
die Vierer-Größen jeweils mit dem Hinweis eingeführt, dass diese die jeweils
“naheliegendste relativisitsche Verallgemeinerung” sei. Die Gültigkeit von
Gl. (3.50) folgt unabhängig von diesen Plausibilitätsargumenten:
1. Gl. (3.50) ist eine vierer Vektorgleichung, d.h. sie ist Lorentzinvariant
(Einteins Relativitätsprinzip).
2. Gl. (3.50) ist im momentanen Ruhesystem gültig (Forderung).
Die hieraus gewonnene Bewegungsgleichung führt zu Vorhersagen, die signifikant von den Newtonschen Bewegungsgleichungen abweichen und experimentell überprüft werden können.
Betrachten wir hier ein Beispiel, um den Zusammenhang zwischen der
Netwonschenkraft und der Minkowskikraft zu illustrieren. Für eine spezielle
Lorentztransformation (~v = v ~e1 ) erhalten wir
v
(f µ ) = (f 0 , f~) = (γ FN1 , γ FN1 , FN2 , FN3 ) .
c
(3.51)
Teilen wir die Newtonsche Kraft in einen zur Geschwindigkeit ~v parallelen
und senkrechten Anteil auf, F~N = F~N k + F~N ⊥ , dann haben wir
v
(f µ ) = (f 0 , f~) = (γ FN k , γ F~N k + F~N ⊥ ) .
c
(3.52)
Somit haben wir den Zusammenhang zwischen der im Ruhesystem spezifizierten Newtonschenkraft und der Minkowskikraft berechnet.
Aber ist der Zusammenhang auch eindeutig? Man findet in der Literatur allerdings auch einen anderen Zusammenhang: Falls man uµ uµ = 1 nach s
µ
differenziert, erhält man uµ uds = 0 und damit uµ f µ = 0. Daher ist die Minkowskikraft f µ orthogonal zu uµ bzw. pµ und damit ein raumartiger Vektor. Man kann
f 0 durch die räumlichen Komponenten f~ ausdrücken und erhält (analog zu oben)
f0 =
1
~v · f~ .
c
(3.53)
Definieren wir uns jetzt eine relativistische Kraft, die Einsteinkraft durch
d~
p
F~ =
dτ
87
(3.54)
Kapitel 3. Relativistische Mechanik
haben wir
(f µ ) = γ(
~v · F~ ~
,F) .
c
(3.55)
Allerdings im Gegensatz zu f µ transformiert sich die Einsteinkraft F~ bei Lorentztransformationen nicht sehr einfach. Die Einsteinkraft kann hier als γ F~N aufgefasst
werden. Hier haben wir jetzt den Widerspruch zu oben für die räumlichen Komponenten:
(γFN1 , FN2 , FN3 ) =
6 (γFN1 , γFN2 , γFN3 ) .
(3.56)
Im Rahmen der Newtonschen Theorie kann der “richtige” Zusammenhang nicht
entschieden werden.
88
Kapitel 4
Elektrodynamik: Ein
Paradebeispiel einer
relativistischen Theorie
Wir haben schon gesehen, dass die Coulombkraft bis auf die Möglichkeit der
Abstoßung identisch ist zur Schwerkraft. Damit gelten einige der Aussagen
aus den vorangegangen Kapiteln auch für Teilchen, die eine Ladung besitzen
gilt. Wir setzen hier den Schwerpunkt, dass die Elektrodynamik ein Paradebeispiel einer relativistische Theorie ist. Hier können leider all die anderen
interessanten Fragestellungen nicht einmal erwähnt werden.
4.1
Einleitung
Die Elektrodynamik beschäftigt sich mit allen elektrischen und magnetischen
Erscheinungen. Sie ist eine relativistische Theorie. Viel Phänomene wurden
aber bereits lang vor der Entwicklung der relativistischen Mechanik im Rahmen der klassischen Physik beschrieben (Ampere, Faraday und Maxwell).
Die Elektrodynamik ist eine Feldtheorie (Nahwirkungstheorie, siehe Ab~ x, t) und B(~
~ x, t)
schnitt 1.4), ihre Phänomene werden durch 6 Funktionen E(~
beschrieben, die nur von den Koordinaten im Raum und der Zeit abhängen
~
(eine lokale Theorie). Das E–Feld
wir von ruhenden Ladungen erzeugt und
~
das B–Feld von bewegten Ladungen hervorgerufen. Da wir immer die Freiheit
besitzen uns ein physikalischen Phänomen von einem beliebigen Bezugssystem anzuschauen, ist klar, das für einen Beobachter in einem Bezugssystem
eine Ladung ruhen kann, für einen anderen Beobachter hingegen (der sich
relativ dazu bewegt) die Ladung nicht ruht. Daher folgt, dass elektrische Felder sich bei so einem Übergang in ein anderes Bezugssystem in magnetische
89
Kapitel 4. Elektrodynamik: Ein Paradebeispiel einer relativistischen
Theorie
Felder übergehen oder umgekehrt. Die Aufspaltung in elektrische und magnetische Phänomene ist daher vom Bezugsystem (vom Bewegungszustand
des Beobachters abhängig, der die Beschreibung vornimmt) abhängig und
hat daher keine tiefere Bedeutung bzw. ist insofern willkürlich. Man kann
daher nur von elektromagnetischen Phänomenen sprechen. Es macht aber
trotzdem Sinn sich in solche besonderen Bezugssystem zu setzen, da hier die
Gesetze einfach werden und man gut sehen kann wie der Hase läuft.
Da die Felder überall im Raum vorhanden sein sollen, ist die Elektrodynamik eine Theorie eines Kontinuums. Ihre Bewegungsgleichungen, die
Feldgleichungen (Maxwellschen Gleichungen) beschreiben die Änderungen
~ und B
~ im Raum und Zeit und ihre Wechselwirkung mit
der Feldstärken E
Ladungen und Strömen.
Ebenso wie andere Naturgesetze oder Grundgleichungen der Physik sind
die Maxwellgleichungen nicht ableitbar oder beweisbar. Sie können entweder
als Postulat, Axiom, aufgestellt oder als Verallgemeinerung von Schlüsselexperimenten (etwa der Coloumbkraft) plausibel gemacht werden.
Die Maxwellsche Theorie ist ein Standardbeispiel für eine vereinheitlichte
Theorie. Darunter versteht man, dass zunächst getrennt behandelte Phänomene im Rahmen einer einzigen Theorie verstanden und beschrieben werden
können. Heute spricht man auch von der elektroschwachen Theorie, der Vereinheitlichung von elektromagnetischen Wechselwirkung und der schwachen
Wechselwirkung (Radioaktivität) von Weinberg, Salam und Glashow. Die
drei Herren sagen die Existenz von Vektorbosonen (Z 0 und W ± ) voraus, die
in den achtziger Jahren auch bei Beschleunigerexperimenten nachgewiesen
wurden.
Es ist ein Ziel der heutigen Physik, alle Wechselwirkungen, also insbesondere auch die starke Wechselwirkung und die Gravitationswechselwirkung,
im Rahmen einer vereinheitlichten Theorie zu verstehen, gelungen ist dies
allerdings noch nicht.
4.2
Die Lagrangefunktion der Elektrodynamik
Wir können jetzt das erstmal den Lagrangeformalismus anwenden, um ein
nicht klassisches Phänomen zu beschreiben. Wenn wir die Lagrangefunktion richtig erraten, dann sollten wir zu den Bewegungsgleichungen gelangen
und damit zu der Lorentzkraft. Zunächst werden wir aber ein wenig allgemeiner diskutieren, wie eine Lagrangefunktion für ein relativistisches System
aussieht.
90
4.2. Die Lagrangefunktion der Elektrodynamik
4.2.1
Wie sieht die Lagrangefunktion für ein freies relativistisches Teilchen aus?
Die Bahnkurve eines freien relativistischen Massenpunktes kann durch xi (t)
oder durch xα (τ ) beschrieben werden. Der jeweilige allgemeiner Ansatz für
die Lagrangefunktion lautet
L1 (~x, ~x˙ , t)
oder L2 (x, u) .
(4.1)
Im Argument von L2 steht, wie wir es für die relativistische Mechanik erarbeitet haben, x für x0 , x1 , x2 , x3 und die Vierergeschwindigkeit u für u0 , u1 , u2 , u3 .
Über x0 = c t kann die Lagrangefunktion L2 auch explizit von der Zeit
abhängen. Eine explizite τ Abhängigkeit in L2 muss nicht angegeben werden, da τ eine Funktion der anderen Argumente ist.
Wie wir bereits gesehen haben, führen unterschiedliche Lagrangefunktionen zu gleichen Bewegungsgleichungen. L1 und L2 müssen daher nicht gleich
sein, die Lagrangefunktion ist ja keine physikalische Größe. Damit sie zu gleichen Bewegungsgleichungen führen, muss allerdings δS = 0 gleich sein. Wir
werden uns weiter Einschränken und verlangen, dass auch die Wirkung S
selbst gleich ist, also soll gelten
Z t2
Z t2
˙
S =
L1 (~x, ~x, t)dt =
L2 (x, u)dt .
(4.2)
t1
t1
Für ein freies nichtrelativistischen Teilchen haben wir die Lagrangefunktion erraten. Hier werden wir ähnliches machen und dabei von Nöthers Theorem zu Hilfe nehmen. Denn für ein freies Teilchen gelten die allgemeinen
Raum–Zeit Symmetrien. Aus der Homogenität des Raumes wissen wir, dass
L1 nicht vom Ort ~x abhängen darf. Wegen der Homogenität der Zeit darf L1
nicht von t abhängen und wegen der Isotropie des Raumes darf L1 nur von
~v 2 abhängen. Damit können wir den folgenden Ansatz machen
L1 = f (~v 2 ) .
(4.3)
Der einfachste Ansatz L1 ∝ ~v 2 führt nicht zur richtigen nichtrelativistischen
Lagrangefunktion, wenn man den Limes nimmt. Die Lagrangefunktion, die
wir suchen, muss natürlich Einsteins Relativitätsprinzip berücksichtigen. Allerdings ist nicht klar wie wir das anstellen sollen, da ~v kein Lorenzvektor
ist. Wir verfolgen daher einen anderen Weg: Wir kennen die relativistische
Bewegungsgleichung für den Fall f µ = 0, also für ein freies Teilchen. Aus
dem Vergleich
d ∂L1
= 0
dt ∂vi
⇐⇒
91
d m~v (t)
q
= 0
dt
~v 2 (t)
1 − c2
(4.4)
Kapitel 4. Elektrodynamik: Ein Paradebeispiel einer relativistischen
Theorie
erkennen wir
r
L1 (~v ) = −const
~v 2
1 − 2 = −m c2
c
r
1−
~v 2
.
c2
(4.5)
Nochmals zur Erinnerung, verschiedene Lagrangefunktionen führen zur selben Bewegungsgleichung. Wir haben hier die Konstanten so gewählt, dass
sich im nichtrelativistischen Limes die nichtrelativistische Lagrangefunktion
L1 = m~v 2 /2, also die kinetische Energie (bis auf eine additive Konstante)
ergibt. Achtung: Die relativistische Lagrangefunktion L1 ist nicht einfach
die relativistische kinetische Energie! Nur für nichtrelativistische mechanische Systeme mit nur konservativen Kräften ist die Lagrangefunktion, die
kinetische Energie minus der potentiellen Energie.
Nun wagen wir uns an die Lagrangefunktion, die von den Vierervektoren
x und u abhängen soll, und deren Wirkung mit der von L1 übereinstimmt.
Wieder müssen die Raum–Zeit Symmetrien gelten und wir erhalten dadurch
Einschränkungen. Durch die Homogenität des Raums darf L2 nicht von xi
abhängen und durch die Homogenität der Zeit nicht von x0 = ct abhängen.
Die Isotropie des Raumes und die Relativität der Raum–Zeit verlangt, dass
die Lagrangefunktion ein Lorentzskalar sein soll, also L2 soll nur von uµ uµ
abhängen, d.h.
L2 = f (uµ uµ ) .
(4.6)
Wie sieht in dieser Formulierung das Hamiltonsche Prinzip aus? Hierzu
muss t durch die Eigenzeit τ ersetzt werden, also
Z τ2
δ
L2 dτ = 0
(4.7)
τ1
und die Euler–Lagrangen Bewegungsgleichungen lauten
d ∂L
∂L
=
.
µ
dτ ∂u
∂xµ
(4.8)
Setzen wir nun unsere Lagrangefunktion L2 ein, erhalten wir
d
(2 f 0 (uµ uµ ) uµ ) = 0 .
dτ
(4.9)
Jetzt hängen die vier Funktionen von uµ (τ ) von einander ab, den nach gilt
uµ uµ = 1. D.h. das es egal ist, welche Funktion f wir ansetzen, da ihre Variable eine Konstante ist. Wir erhalten damit die (vier)Bewegungsgleichung
d µ
u = 0
dτ
(µ = 0, 1, 2, 3) .
92
(4.10)
4.2. Die Lagrangefunktion der Elektrodynamik
Achtung: Die Bedingung uµ uµ = 1 darf nicht in L2 selbst eingesetzt
werden, da bei der Variation δS auch Bahnen uµ + δuµ zugelassen sind, die
diese Bedingung nicht erfüllen. Für alle tatsächlichen möglichen Bahnen ist
diese Bedingung erfüllt! Daher können wir sie in jede physikalische Größe,
wie die Bewegungsgleichung, einsetzen, jedoch nicht in die Lagrangefunktion!
Wir wählen jetzt f so, dass die Wirkung von L1 und L2 gleich sind, also
Gleichung (4.2) gilt:
sµ
¶2 µ ¶2
Z
Z
Z r
2
~v
d(ct)
d~x
2
1 − 2 dt = −mc
−
dτ
L1 dt = −mc
c
dτ
dτ
Z
Z
p
2
µ
= −mc
u uµ dτ = L2 (u) dτ .
(4.11)
Damit haben wir jetzt die Lagrangefunktion für L2 für ein freies relativistisches Teilchen mit den Vierervektoren gefunden:
p
L2 = −m c2 uµ uµ .
(4.12)
Hierfür ist die Wirkung gleich dem Wegintegral für die Bahn des Teilchens:
Z τ2
Z 2 p
Z τ2
p
2
µ
S =
dxµ dxµ
dτ L2 = −m c
dτ u uµ = −m c
τ1
1
τ1
Z 2
= −m c
ds .
(4.13)
1
Das ist der einfachst mögliche lorentzskalare Ausdruck für die Bahn eines
Massenpunktes in der Raum–Zeit.
Bemerkung: Wie wir schon öfters gesehen haben, ist die Wahl der Lagrangefunktion nicht eindeutig, verschiedene Lagrangefunktionen führen zur
gleichen Bewegungsgleichung und beschreiben damit die gleiche Physik. Die
Form (4.12) haben wir hier so gewählt, dass die Wirkungen von L1 und L2
gleich sind (das muss ja nicht sein!) und L1 haben wir so gewählt, dass im
2
nichtrelativistischen Grenzfall die vertraute kinetische Energie L1 −→ m~2v
herauskommt. Diese Wahl für L2 hat jedoch einen Schönheitsfehler, der verallgemeinerte Impuls
∂L
= −pµ = −mcuµ .
∂uµ
(4.14)
Also ergibt das “falsche” Vorzeichen. Man könnte dies vermeiden indem man
L2 in −L2 übergehen lässt (ist ja erlaubt, führt zur gleichen Bewegungsglei2
chung), aber dann hat man L1 −→ −L1 = − m~2v , was man wieder nicht
93
Kapitel 4. Elektrodynamik: Ein Paradebeispiel einer relativistischen
Theorie
haben will. Möglich wäre auch zu fordern, dass die Wirkungen nicht gleich
sind. Zusammenfassend erkennen wir, dass es keine eindeutige Wahl für die
Lagrangefunktion gibt. Viele Lagrangefunktionen führen zu der selben
Bewegungsgleichung und im Grenzfall müssen nicht die richtigen
Konstanten herauskommen!
4.2.2
Wie sieht die Lagrangefunktion für geladene Teilchen aus?
Nun sind wir bereit ein Teilchen im elektromagnetischen Feld relativistisch zu
betrachten. Die Lagrangefunktion wir sich aus dem kinetischen Teil zusammensetzen und einer Funktion, die die Kräfte beschreibt. Den kinetischen Teil
haben wir im vorigen Abschnitt hergeleitet. Um die Kräfte für die L2 , (4.12),
Darstellung zu berücksichtigen, benötigen wir eine relativistische Theorie der
zugrunde liegenden Kraftfelder. Wir wissen, dass die elektrischen und magnetische Kraft auf ein geladenes Teilchen eine konservative Kraft ist und so
geschrieben werden kann (siehe Seite 27):
~ x, t) + q ~x˙ × B(~
~ x, t) ,
F~kons = −∇Φ(~
c
(4.15)
wobei man das elektrische Feld durch
~
~ x, t) = −∇Φ(~
~ x, t) − 1 ∂ A(~x, t)
E(~
c ∂t
(4.16)
geschrieben werden kann und das magnetische Feld auch durch das dreidi~ sich ergibt:
mensionale Vektorpotential A
~ x, t) = ∇
~ × A(~
~ x, t) .
B(~
(4.17)
~ können auch als ViererDas skalare Potential Φ und das Vektorpotential A
vektor zusammengefasst werden:
~ x, t)) .
Aµ (x) := (c Φ, Ax , Ay , Az ) = (c Φ(~x, t), A(~
(4.18)
Wir wissen, dass wenn etwas unter den Lorentztransformationen invariant sein soll, das wir natürlich für die Lagrangefunktion fordern, dann muss
es ein Lorentzskalar sein. Aµ alleine ist kein Lorentzskalar. Wenn man ein
bisschen herumprobiert, dann kann man folgenden Zusatzterm zur freien Lagrangefunktion aufstellen:
94
4.2. Die Lagrangefunktion der Elektrodynamik
Die Lagrangefunktion der Elektrodynamik lautet
LElektrodynamik (x, u) = L2 = −mc2
p
q
uµ uµ − Aµ (x)uµ .
c
(4.19)
Im Argument dieser Lagrangefunktion kommen die Potenziale
nicht vor, da die Aµ (x) äußere gegebene Felder sind und keine
Größen, die zu variieren sind. Jedoch entspricht nicht jedes beliebe Feld, einem wirklichen elektromagnetischen Feld, wie bereits
erörtert.
Wir können die Lagrangefunktion aus oben auch so hinschreiben:
LElektrodynamik (~x, ~v , t) = L1
r
~v 2
q
~ x, t) . (4.20)
= −mc2 1 − 2 − q Φ(~x, t) + ~v · A(~
c
c
Mit der Lagrangefunktion können wir uns nach dem üblichen Rezept die
Bewegungsgleichungen ausrechnen.
Beginnen wir mit L1 . Der kanonisch konjugierte Impuls (3 dimensional)
ist durch
~ i = (~p)i =
(Π)
∂L1
q
q~
= γmvi + Ai = (~p + A)
i
∂vi
c
c
(4.21)
L
1
definiert und mit ∂x
= . . . und dtd ∂L
erhalten wir (4.25).
∂vi
i
Das gleich können wir für L2 machen, dazu benötigen wir
d ∂L2
d
m c 2 uν
q
duν
q ∂Aν dxµ
( ν) =
(− p µ − Aν (x)) = −m c2
−
dτ ∂u
dτ
c
dτ
c ∂xµ dτ
u uµ
| {z }
1
q ∂Aν µ
duν
= −m c2
−
u ,
dτ
c ∂xµ
(4.22)
wobei im 2. Schritt uµ uµ gleich c2 gesetzt werden durfte, da hier nicht mehr
die Abhängigkeit eingeht, und die andere Seite der Euler-Lagrange-Gleichungen
q ∂Aµ µ
∂L2
= −
u .
ν
∂x
c ∂xν
95
(4.23)
Kapitel 4. Elektrodynamik: Ein Paradebeispiel einer relativistischen
Theorie
Die zwei Ergebnisse können wir so zusammenfassen und erhalten, die Bewegungsgleichungen der Elektrodynamik (in manifest
kovarianter Form):
m
duν
dτ
=
q
Fνµ uµ .
c
(4.24)
Der Ausdruck Fµν ist der berühmte Feldstärketensor, der die
~ zusammenfasst:
Ableitungen des 4–Potenzials A


0
Ex
Ey
Ez
 −Ex
∂Aν
∂Aµ
0
−Bz By 
 .

(Fµν ) = ( µ −
)
=
 −Ey Bz
0
−Bx 
∂x
∂xν
−Ez −By Bx
0
Damit lauten die räumlichen Komponenten
d~p
~ + ~v × B)
~ := F~L
= q (E
dt
c
(4.25)
und zeigt das die Zeitableitung des relativistischen Impulses p~ =
mγ~v nichts anderes ist als die Lorentzkraft!
Die Lorentzinvarianz erkennt man auch gleich durch (F µν )(x0 ) = Lµα Fαβ (x)Lνβ
bzw. in Matrixschreibweise F 0 = LF L−1 (L. . . beliebige Lorentztransformation).
Damit hat man die manifest kovariante (= Gleichung, in der
nur Vierervektoren und/oder Vierertensoren auftreten, haben in
allen Inertialsystemen gleiche Form) Bewegungsgleichungen:
c
pν
dτ
= q F νµ uµ
(4.26)
gefunden. Der räumliche Anteil ist die Lorentzkraft (4.25) und
der zeitliche Teil beschreibt die zeitliche Änderung der Energie
~v ~
Erel
= q ·E
.
dt
c
96
(4.27)
4.3. Die Lorentzkraft und ihr nichtrelativistischer Limes
4.3
Die Lorentzkraft und ihr nichtrelativistischer Limes
Betrachten wir die Bewegungsgleichung der Elektrodynamik, Gl.(4.24), ihr
räumlicher Anteil ergibt die Lorentzkraft
d~p
F~L =
dt
d
m~v
q
=
dt 1 −
Im nichtrelativistischen Grenzfall
m
v
c
v2
c2
~+
= q (E
~v
~ .
× B)
c
(4.28)
¿ 1 erhalten wir
2
d~v
~ + ~v × B)
~ + O( v ) .
= q (E
dt
c
c2
(4.29)
Damit ist die Lorentzkraft bis auf höhere Ordnungen im nichtrelativistischen
Falle gleich, daher kann sie auch in der nichtrelativistischen Mechanik eingesetzt werden und jetzt ist klar, warum geschichtlich gesehen, nicht gleich
erkannt wurde, warum die Galileitransformation, also das Konzept eines absoluten Raumes und einer absoluten Zeit, nicht stimmen kann.
4.4
Die Maxwell Gleichungen
James Maxwell formulierte bereits im Jahr 1864 die nach ihm benannten
Maxwell Gleichungen, übrigens ganz ohne Vektorrechnung! Es sind die Grundgleichungen für die Elektrodynamik und können damit (noch nicht) aus allgemeineren Prinzipien abgeleitet werden und damit können wir diese Gleichungen als Axiome betrachten. Sie fassen sehr viele zunächst unterschiedlich
erscheinende experimentelle Erfahrungen zusammen, aber —und eine der bedeutendsten Leistungen der Theoretischen Physik— gehen aber weit darüber
hinaus.
Anhand dieser Gleichungen sagte Maxwell u.a. die elektromagnetischen
Wellen voraus und leitete ihre Eigenschaften ab. Insbesondere zeigte er, dass
sich diese “Verknüpfung” aus elektrischen und magnetischen Wellen mit einer
endlichen Geschwindigkeit, der Lichtgeschwindigkeit, ausbreitet. Das stand
im Gegensatz zur damaligen Ansicht, dass derartige Erscheinungen unendlich
schnell sind. Das Potential ist eine Funktion von den Raumkoordinaten von
u.a. sehr weit entfernten Teilchen, eine Änderung des Potential “erfahren”
die Teilchen unendlich schnell.
97
Kapitel 4. Elektrodynamik: Ein Paradebeispiel einer relativistischen
Theorie
Heinrich Hertz (1887) fand dann die vorhergesagten elektromagnetischen
Wellen und Hermann Minkowski dehnte die Maxwellschen Gleichungen bewegte Körper aus und machte sie damit allgemein gültig.
Für sehr kleine Entfernungen, also im atomaren Bereich, sind die Maxwell
Gleichungen nicht anwendbar. Dort gelten die Gesetze der Quantenelektrodynamik (QED).
Wir haben die messbaren elektrischen und magnetischen Felder durch ihre
~ ausgedrückt. Damit haben wir sechs Felder zu vier Feldern
Potentiale Φ, A
reduzieren können und hatten den folgenden Zusammenhang gefunden
~
~ = −∇Φ
~ − 1 ∂A
E
c ∂t
~ = ∇
~ ×A
~.
B
(4.30)
Wir wollen jetzt diese Gleichungen so umschreiben, dass nur noch elektrischen und magnetischen Felder vorkommen. Dazu betrachten wir (wer den
Epsilon Tensor nicht kennt, muss es “ausixen”, dauert zwar lang, aber man
sieht alles fällt weg):
~ := ∇
~ ·B
~ = ∇
~ · (∇
~ × A)
~ = ∇i εijk ∇j Ak
divB
= εijk ∇i ∇j Ak = 0 .
(4.31)
Da der Epsilon Tensor antisymmetrisch die Ableitungen ∇ aber symmetrisch
ist der obige Ausdruck null. Und wir betrachten die Größe
~
~ := ∇
~ ×E
~ = ∇
~ × (−∇Φ
~ − ∂A )
rotE
∂t
~
~
∂
A
∂
~ ×
~ ×A
~ = − ∂B
= −∇
= − ∇
∂t
∂t
∂t
(4.32)
Und damit haben wir die erste Gruppe der Maxwellschen Gleichungen, die homogenen Maxwell Gleichungen, gefunden:
~ x, t) = 0
divB(~
~ x, t) = −
rotE(~
~ x, t)
1 ∂ B(~
c
∂t
(4.33)
Die erste Gleichung sagt aus, dass es keine magnetischen Ladungen, keine magnetischen Ströme und insbesondere keine magnetischen Monopole gibt. Die zweite sagt aus, dass zeitliche
Änderungen des Magnetfeldes ein elektrisches Feld induziert.
98
4.4. Die Maxwell Gleichungen
Bemerkung: Man erkennt, dass elektrische und magnetische Phänomene
nicht symmetrisch sind!
Uns fehlen noch die so genannten inhomogenen Maxwell Gleichungen, sie sind gegeben durch
1
ρ(~x, t)
ε0
~
~ = 1 ~j(~x, t) + ∂ E(~x, t) .
c2 rotB
ε0
∂t
~ x, t) =
divE(~
(4.34)
Hier treten zwei neue Größen, die Quellterme ρ und ~j auf. Die
Ladungsdichte ρ(~x, t) ist die Ladung bezogen auf ein bestimmtes
Volumen und das Integral über ein beliebiges (dreidim.) Volumen
ergibt die in diesem Volumen zur Zeitpunkt t enthaltene Ladung:
Z
dx3 ρ(~x, t) = QV (t) .
(4.35)
V
Die Stromdichte ~j(~x, t) (Ladung pro Zeit und Fläche) integriert
über eine beliebige Fläche ergibt den zum Zeitpunkt t fließenden
Strom IF (Ladung pro Zeit):
Z
df~ · ~j(~x, t) = IF (t) .
(4.36)
F
~ nach der Zeit
Leitet man die inhomogene Maxwell Gleichung mit div E
ab und bilden die Divergenz der anderen inhomogenen Gleichung, ergibt
die Kombination der beiden resultierenden Gleichungen die Kontinuitätsgleichung, also den Satz von der Erhaltung der elektrischen Ladung
∂
ρ(~x, t) + div f~(~x, t) = 0 .
∂t
(4.37)
Bis heute wurde in keinem Experiment eine Verletzung der Ladungszahl gemessen, es scheint also ein Grundprinzip unserer uns umgebenden Welt zu
sein!
Die Kontinuitätsgleichung können wir auch in der vierdimensionalen Form
hinschreiben:
∂ µ
j
∂xµ
99
(4.38)
Kapitel 4. Elektrodynamik: Ein Paradebeispiel einer relativistischen
Theorie
mit (j µ ) = (c ρ, ~j). Beispiel: Ladungsverteilung in IS, ergibt Ladungsverteilung und Strom in IS’
Zum Abschluss können wir auch noch die Maxwell Gleichungen in der
Viererschreibweise und damit in manifest kovarianter Form hinschreiben:
∂ µν
1 ν
F
=
j (x) .
∂xµ
c ε0
(4.39)
Die zeitliche Komponente ergibt die inhomogene Maxwellgleichung mit dem
Quellterm ρ, die räumlichen Komponenten ergeben die inhomogene Maxwellgleichung mit dem Quellterm ~j.
Die homogenen Gleichungen erhält man mit dem dualen Feldstärketensor


0
B x By Bz
 −Bx
1
0
Ez Ey 
 ,
(4.40)
F̃ µν :=
εµνst F st · 
 −By Ez
0 Ex 
2
−Bz −Ey Ex 0
wobei εµνst ein total antisymmetrische Tensor ist und damit können die homogenen Gleichungen auch so angeschrieben werden
∂
F̃ µν = 0 .
∂xµ
100
(4.41)
Literaturverzeichnis
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Mechanik,
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über
Physik
1,
[6] Helmut Neufeld, Skriptum zur Theoretischen Physik fürs Lehramt, 2007.
[7] Feynman, Leighton und Sands, Feynman Vorlesungen über Physik,
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101