Fachwissenschaftliches Seminar zur Zahlentheorie

Fachwissenschaftliches Seminar
zur Zahlentheorie
Vortragsunterlagen zum Thema:
Irrationalität von Wurzeln und der Euler’schen Zahl“
”
√
Aus der Schule ist bekannt, dass sich 2 nicht als Bruch darstellen läßt, also eine Irrationalzahl ist, und dies wird mit einem einfachen Widerspruchsbeweis gezeigt. Wir
gehen hier der Frage nach, unter welchen Bedingungen im Allgemeinen die Wurzeln
ganzer Zahlen irrational sind. Im zweiten Teil wird für die berühmte Euler’sche Zahl
e ≈ 2, 71 deren Irrationalität nachgewiesen.
I. 5 Irrationalitätsbeweise
Eine interessante Anwendung des Satzes von der eindeutigen Primfaktorzerlegung ergibt sich beim Beweis der Irrationalität gewisser reeller Zahlen. Hierzu
wollen wir einige Beispiele angeben.
Beispiel 1: Ist die natürliche Zahl n nicht k-te Potenz einer natürlichen Zahl,
dann ist {n irrational.
Beweis: Gibt es Zahlen a,b g IN mit ffi,: f,, also n'bk : a,k,dann gilt für die
Exponenten a;,9; und u; in der kanonischen Primfaktorzerlegung der Zahlen a,
bundn
u i * k f r ;: l c a ;
( i : I , 2 , 3 , .. . ) .
Es folgtklu;(i - 1,2,3...),alsoist n einek-tePotenz. n
Beispiel
2: Ist u eine reelle Lösung der Polynomgleichung
# + c r n k - L+
"r*k-t
+"'+
c*-rn { cp- Q
mit garrzzahligenKoeffizienten crrczr. . . tck, dann ist u entwedereine Sanzeoder
- 0 und ck: -n ergibt sich die
eineirrationaleZahl. (Für ct : cz:...ck-r
1*
"i -!F
I TeilbarkeitganzerZahlen
36
Aussage in Beispiel 1.)
Beweis: Wir nehmen an, u sei rational, also u : t mit a,b € Z und b + 0.
Einsetzen in obige Gleichung und Multiplikation mit äft liefert
ok + ctak-rb+ czak-zbz+ ... * c*-r abk-l + ,r,bk- 0.
Da I'die k letzten Summanden der Summe teilt, muß b auch aft teilen. Jeder
Primteiler von ö ist daher auch ein Primteiler von c. Setzt man in der Darstellung u _ t den Bruch als voll gekürzt voraus, so muß also ö - 1 gelten, die
Zahl u ist also garrz. n
Dieses Beispiel zeigt, daß es nützlich ist, den Begriff der Teilbarkeit nicht auf
die natürlichen Zahlen zu beschränken, sondern diesen Begriff von vornherein
in der Menge Z der ganzen Zahlen zu definieren.
Als einfache Anwendung der Aussage in Beispiel 2 ergibt sich, daß die Zahl
u
,fr + r,/3 itru.tional ist: Wegen 3, 1
0.
und damit u4- 10u2*1F e r n e r g i l t u 2 - 5 + 2 t ß , a l s o( u ' - S ) ' : 2 4
Das kann man natürlich auch schneller einsehen: /2 + .16 itt irrational, weil
tß irrutional ist.
Beispiel 3: Für m)n € II{ mit m,fr } 2 ist der Logarithmus log,, m inational,
wenn von den beiden Zahlen m und n die eine einen Primteiler hat' den die
andere nicht besitzt.
B e w e i s : A u s l o g ,m
" : f m i t a r b e N f o l g t n t - m , a l s o v 1 , a :r n b , w o r a u s s i c h d i e
Behauptung ergibt. Insbesondereerkennt matrt,daß lognm genau dann rational
ist, wenn eine positive rationale Zahl r existiert, so daß für die Exponenten
p;tu; in der kanonischen Primfaktorzerlegung von tn und n gilt:
F; - u;:0
p;
oder
:r
(i:Lr2,
U;
)
tr
Bemerkung: Die Irrationalität von Quadratwurzelnläßt sich auch ohne die
Primfaktorzerlegung beweisen:Ist {E nicht ganz und ]rt| der Ganzteil von
,/8., dann gilt 0
natürliche Zahl rrrit m{E € N, dann wäre auch
mlc- ^t{nrlk e I'1, also @{E - n'Lt'/ilr/E€ N.
Wegen 0 < mrt - n'Ltt/El1 m widerspricht dies der Minimalität von m. Die
Irrationalität der EurERschenZahl
oo-t
a-l
\"-L;1
d=0"'
beweist ma^nmit einem ähnlichen Gedankengang: Für jedes rn e N gilt
mle -
S-!
I-l
;l
d-o
a'
*r*
mit
rm:
1.6Der größtegemeinsame
Teiler
Wegen
o(r-.#ä(rb)'- ffi.'
kann mt e für kein m e N ganz sein.
37
NNN.I*Nffi-$
Einige i rrationaleTahlen
Kapitel6
$
Dies geht auf Aristoteles zurück, der behauptethaben soll, dass Durchmesserund Umfang eines Kreises nicht kommensurabelseien. Der erste
Beweis wurde 1766 von Johann Heinrich Lambert gegeben.Im BUCH
findet sich jedoch das Datum 1947: ein extrem eleganter Ein-seitenBeweis von Ivan Niven, für den man nur elementareAnalysis braucht.
Man kann aber noch viel mehr aus Nivens Methode herausholen.wie Iwamoto bzw. Koksma gezeigthaben:
. 12 it irrational und
o er ist irrationalfür rationalesr 10.
Die Methode von Niven hat jedoch ihre Wurzeln und Vorgänger: Die
historischeSpurführt zu einem klassischenAufsatz ausdem Jahr 1873von
CharlesHermite, der als Erster bewiesenhat, dasse sogartranszendentist,
das heißt, dasse nicht Nullstelle einesPolynoms mit ganzzahligenKoeffizientenist. Bevor wir uns um fl-kümmern,beschäftigenwir uns deshalbmit
e und seinenPotenzenund zeigen,dassdieseirrational sind: Dies ist viel
einfacher,und wir entsprechendamit auch der historischenReihenfolgein
der Entwicklung der Resultate.
Es ist zunächsteinmal sehr leicht zu sehen(wie Fourier im Jahr 1815 bemerkte),dasse : Dr>o fr inational ist. Wäre nämlich
t,für ganze
":
ZahIeno und b > 0. so müsste
nl.be :
nl.a
gelten, für jedes n ) 0. Das kann aber nicht sein, weil auf der rechtenSeite
eine ganzeZahl steht,während wir die linke Seite mit
/
-
'
'---
\-
i
'
I
1r
rl-..,
1! 2!
|
,,
_r
nl/
r
I
I
'
1
1
j.-r-:-_--:---T
\(r+1)!
( n * 2 ) r . '( n + 3 ) !
\
' "'
)
folgendermaßen
aufteilenkönnen.Siebestehtauseinemganzzahligen
Teil
unr(t*i* *.
.*)
und einemTeil
1
,/
\n * 1
DI
_F
(n+1)(n+2)
(n+1)(n+2)(n+3)
+
),
Charles Hermite
1'l'1'1,1
t-rT-rr-r6-124
2,718287828...
Einige irrationale Zahlen
a A
J+
derungefihr I ist,alsofür großen ebennicht ganzzahlig
seinkann.Er ist
nämlichgrößerals fr undkleinerals f,, wie manausdemVergleichmit
einerseometrischen
Reihesieht:
Eine geometrische Reihe
Für die geometrischeReihe
,
Q:1+*+*+.
q'q
mitq>lgiltoffenbar
:I+Q
qQ:1+;+#+.
und damit
Q:
q-
t
n*I
1
n*I
I
+ "
@+r)(o+2)(n+U
( n + 1 ) ( n+ , +
1
_+
(n+ I)2
I
..
L
JOURI{AL
rq2
----1 1'
n*l
Man könnte denken,dassdiesereinfachemultipliziere-mit-nl-Trick nicht
einmal ausreicht,um zu zeigen,dasse2 irrational ist. Das ist eine stärkere
Aussage: J2 ist ein Beispiel einer Zahl, die irrational ist, ihr Quadrat aber
nicht.
DE }IATHE}IATIQUES
S U R L , I R R A T I O N N A L I T ED T i N O M B R E
e:
21118.,.1
John Cosgraveverdankenwir den Hinweis, dassman mit zwei hübschen
Ideen/Beobachtungen(nennenwir sie ,,Tricks") doch zwei Schritte weiter
kommen kann: Jederder Tricks reicht aus,um die Inationalität von e2 zu
zeigefi,die Kombination beider ergibt auch,dassea irrational ist. Der erste
Trick findet sich in einem 1-seitigenAufsatz von J. Liouville aus dem Jahr
1840 - und der zweite in dem 2-seitigen,fusatz", den Liouville gleich
auf den beiden darauffolgendenZeitschriftenseitenpubliziert hat.
Pnn J. LIOUVILLE.
On prouve dans les dlömentsque le oombre e, base cleslogarithnes
rröpöriens, n'a pas une valerrr rationnelle. On devrait, ce me semble,
a,jouter que la mime m€thode prouve aussi que e ne peut pas €tre racine d'une €qrrationdu seconddegr{ ä coefficientsrationnels,etr sorte
b-:
c, 4 6tant un entier positifet ,, c,
que l'on ne peut pa, ^roi, n" +
des enticrs positifs orr nigatifs, En effet, si I'on femplace daDs cette
Warum ist e2 irrational? Was folgt aus e2 :
dies als
,
Oe :
ft? Lautliouville solltenwir
-t
O,e
schreiben,die Reihenentwicklunsen
equation e et I ou e-' par leurs döveloppementsdäduitsde celui de e",
puis cJu'onrnultiplie les deux membres par L r.3
arseolenr
:-'t44+r.
--L+...
/
-!-,
n+t \
--l--F...
4+r
I
f
I_I_I-I/
_b
soit positif; il sufÄra de suppose" Ul" ,, , est < o et z impair si 6 esr
"
>o; €u prenant de plus z rös grand, l'öqration que nous venons
d'öcrire condrrira dis lors ä une altsurditd; car son prcnrier membre
6tmt essentiellementpositif et trös petit, sera conlpris entre o et r,
et ne pourra pas ötre ögal ä un entier 1'r. Donc, etc.
- T - - - T . . .
1c)n
12624
:&.
u öhnt un entier. On peut toujours faire en sorte que le facteur
Der Aufsatz von Liouville
1111
. .2, on trouvera
und
-t
e
-
.1
1 1- 1' -1
T
- l
t - 6 - 2 4 720
r ...
einsetzen,und wieder mit n! multiplizieren, für ein hinreichend großesn.
Dann sehenwir, dassntbe fast ganzzahligist:
nru(t*
1*i.
. #)
ist eine ganzeZahl,undderRest
nb(--]-+
\(n+r)r
1
*
\
("+2y-r-"')
ist ungefähr*. Er ist größerals fr aberkleinerals 9, wie wir schonoben
gesehen
haben.
-1
Gleichzeitigist auchnlae fast ganzzahlig.
Wir erhalteneinenganzzahlrgenAnteil,unddanneinenRest
- 'h.
(-1)'+1nr"(@fu
1,+rI+ ),
Eini ge irrationale Zahlen
und der ist ungefähr(- 1)n+l
ff. Genauerist für geradesn derRestgrößer
als - f , aber k l e i n e ra l s
-n
11
I
_
\n*1
1
1
(n+I)2
(n+1)3
und das kann nicht sein, denn für großesgeradesn folgt, dass
nlae-l
krupp kleiner als eine ganzezahl, nlbe aberknapp größei als eine
eganze
Zahlist, alsontae-r : nlbe nicht geltenkann.
r
i