Dielektrische Eigenschaften - Institut für Energieforschung und

Institut für Physik und Physikalische Technologien der TU Clausthal
Experimentalphysik VI (Festkörperphysik) WS 2002/2003
8
Jan. 2003
Dielektrische Eigenschaften
Die dielektrische n Eigenschaften von Festkörpern werden durch die Dielektrizitätskonstante
oder auch dielektrische Funktion ε beschrieben. Interessant ist dabei insbesondere die
Frequenzabhängigkeit von ε, die unter anderem die optischen Eigenschaften der Materialien
bestimmt. Die dielektrische Funktion ε beschreibt den Zusammenhang zwischen
dielektrischer Verschiebung und elektrischem Feld:
v
) v
D = ε0 ε E
v
v
mit D als elektrische Flussdichte und E als elektrisches Wechselfeld der Frequenz ω. In
dieser Darstellung ist εˆ ein Tensor 2. Stufe; für isotrope Materialien wird ε zum Skalar.
Entscheidend für die Materialkonstante ε ist die Polarisierbarkeit eines Festkörpers. Für das
Vakuum gilt ε = 1 und für Festkörper wird ε ≥ 1. Die verschiedene n Beiträge zur
Polarisierbarkeit eines Materials sind die elektronische Polarisation gebundener Elektronen,
die ionische Polarisation und die Orientierungspolarisation vorhandener Dipole. Für Metalle
und Halbleiter kommt noch eine Polarisation freier Ladungsträger hinzu.
8.1
Polarisation und lokales Feld
Entscheidend für die Polarisation eines Gitteratoms ist das lokale elektrische Feld am Ort des
Atoms:
v
v
v
E lokal = E ext + E Pr obe
v
v
Hier ist E ext ein äußeres Feld und E Probe das durch die Probe verursachte Feld mit
v
v
v
v v
E Pr obe = E N + E L + E ( r )
v
v
v
v
wobei E N das Entelektrisierungsfeld durch Polarisation der Probe ist mit E ext ↑↓ E N . E L ist
das Lorentz-Feld, das die Änderung des Feldes am Ort desv Gitteratoms beschreibt, wenn man
v
es aus der Probe herausnimmt. Ferner berücksichtigt E (r ) das (Nah-) Feld am Ort des
Gitteratoms und ist abhängig von der jeweiligen Kristallstruktur.
r
Das makroskopische Feld E wird über die Elementarzelle gemittelt:
v v
v
E = E ext + E N
v
v
Für E gelten die Maxwell- Gleichungen. Für die elektrische Polarisation P gilt die
Beziehung:
v
v
v v
D = ε ε 0 E = ε0 E + P
v
v
v
P = (ε −1) ε 0 E = χ ε 0 E
mit der elektrische n Suszeptibilität χ .
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Für einen Festkörper mit Nv Teilchen pro Volumeneinheit erhält man mit der
r
r
Polarisierbarkeit α eines Teilchens das elektrische Dipolmoment p und die Polarisation P :
r
r
p = ε 0 α E lokal
r
v
P = ε 0 N V α E lokal
v
Die Größe des Entelektrisierungsfeldes E N ist abhängig von der jeweiligen Probengeometrie
v
v
1
EN = −
NP
ε0
mit
 1 : Ellipsoid
1/3 : Kugel

v
N=
1 : dünne Scheibe ⊥ E
v
 0 : dünne Scheibe || E

v
Für die Größe von E L ergibt sich aufgrund der Kugelsymmetrie mit N = 1/3 der Wert
v
1 v
EL =
P
3ε0
v v
Zur Berechnung des Nahfeldes E (r ) führt man eine Summation über alle Ladungen des
Gitters durch. Für isotrope Materialien mit kubisch primitiver, mit bcc oder fcc Gitterstruktur
v r
erhält man E (r ) = 0 . Das lokale Feld für isotrope oder kubische Materialien lautet damit
v
v v
v
1 v
Elokal = E + EL = E +
P
3ε0
v
mit dem makroskopischen Feld E . Damit erhält man für die Polarisation
v
 v
1 v
P = ε 0 NV α  E +
P 
3
ε

0

v
P = ε0
v
v
NV α
E = ε0 χ E
1
1 − NV α
143243
χ
oder
ε = χ + 1=1+
NV α
1
1 − NV α
3
Durch Umstellen ergibt sich hieraus die Clausius-Mossottische Gleichung
1
ε −1
NV α =
3
ε+2
v
Die Gleichung gilt für quasi-statische elektrische Felder E .
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Für optische Felder entspricht diese Gleichung der Lorentz- Lorenz-Beziehung
1
n 2 −1
NV α = 2
3
n +2
wo für optische Frequenzen ε = n2 gesetzt wird. Beide Beziehungen erlauben die Bestimmung
der Polarisierbarkeit aus den Messwerten ε bzw. n.
8.2
Dielektrizitätskonstante
8.2.1
Elektrische Polarisation
Zur Beschreibung der elektronischen Polarisation wird das Oszillatormodell eines
schwingenden Elektrons mit der Auslenkung x aus der Ruhelage x 0 = 0 betrachtet. Die
zugehörige Bewegungsgleichung lautet
me
d x2
dx
0
+ me β
+ m e ω 02 x = − e E lokal
exp (−i ω t )
2
1442443
dx
dt
E
lokal
{
anregende Kraft
Hier ist me die Elektronenmasse, β = τ-1 die Dämpfungskonstante mit der Relaxationszeit τ
und ω0 die Resonanzfrequenz ohne Dämpfung. Die Lösung für die Auslenkung x lautet
x=−
e
1
E
2
m e (ω −ω 02 ) − i β ω lokal
Die komplexe Darstellung berücksichtigt eine Phasenverschiebung zwischen x und E lokal .
Das zugehörige Dipolmoment des Gitteratoms ist p = − e x = ε 0 α E lokal . Für die elektronische
Polarisierbarkeit bekommt man als Ergebnis
α el (ω ) =
e2
1
2
ε 0 m e (ω 0 −ω 2 ) − i β ω
Die dielektrische Funktion lautet danach
NV α el (ω )
1
1 − NV α el (ω )
3
N e2
1
=1 + V
2
ε 0 me
1
e
2
2
(ω 0 − ω ) − i β ω − NV
3
ε 0 me
ε =1 +
=1 +
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NV e 2
1
2
ε 0 me ( ω1 − ω 2 ) − i β ω
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mit der durch die elektronische Polarisation abgeänderten Resonanzfrequenz
ω12 = ω 02 −
1
e2
NV
3
ε 0 me
Typische Resonanzfrequenzen liegen im UV-Bereich bei ω 1 ≈ 10 16 Hz. Bisher wurde nur
eine einzelne Resonanzfrequenz berücksichtigt. Freie Atome besitzen immer mehrere
Frequenzen ω1 entsprechend den jeweiligen Elektronenübergängen. Für Festkörper hat man
die Übergänge zwischen verschiedenen Bändern (Isolatoren) bzw. innerhalb von teilweise
gefüllten Bändern (Metalle) zu berücksichtigen.
Die dielektrische Funktion ist komplex, berücksichtigt also eine Phasenverschiebung
zwischen Polarisation und elektrischen Feld:
ε (ω ) = ε ' (ω ) + i ε " (ω )
mit
ε ' (ω ) = 1 +
und
ε " (ω ) =
(ω 12 − ω 2 )
NV e 2
ε 0 me (ω 21 − ω 2 ) 2 + β 2 ω 2
NV e 2
βω
2
ε 0 me (ω 1 − ω 2 ) 2 + β 2 ω 2
Für den Bereich der optischen Frequenzen ω s im Bereich ωs < ω1 ist ε (ω ) gerade das
Quadrat des komplexen Brechungsindex ~
n:
2
ε (ω ) = ( ~
n (ω ) )
oder
ε ' (ω ) + i ε " (ω ) = ( n + i κ
)2
Hier ist n der (reelle) Brechungsindex und κ eine Dämpfungskonstante.
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Betrachtet man eine ebene elektromagnetische Welle mit einer Ausbreitung entla ng der
z-Richtung:
v v
~
E = E 0 exp (i k z ) exp ( − i ω t )
~
mit der komplexen Wellenzahl k = 2 π ~
n / λ , so folgt hieraus der Absorptionskoeffizient α
für die Dämpfung der Intensität I ~ E
2
der Welle:
v v
2π
E = E0 exp ( i k z ) exp ( −
κ z ) exp ( − i ω t )
1λ23
α /2
I ( z ) = I 0 exp ( −α z )
8.2.2
Ionische Polarisation
Eine zusätzliche Polarisation bei Ionenkristallen erfolgt durch die Schwingung von
verschiedenen Ionen des Kristalls, also durch die Anregung von optische n Phononen des
Gitters.
Wie in Kapitel 3 wird eine zweiatomige Basis betrachtet, aber zusätzlich die Ladung der
Ionen mit berücksichtigt. Die Gitterschwingung erzeugt dann ein elektrisches Feld E lokal und
damit eine zusätzliche zurücktreibende Kraft. Für den eindimensionalen Fall lauten die
Bewegungsgleichungen für die Auslenkungen ui
M1
d2u1
= − 2 f ( u 1 − u 2 ) + q E lokal
dt 2
M2
d 2 u2
= + 2 f (u 1 − u 2 ) − q E lokal
dt 2
Durch Einführung der relativen Auslenkung u = u1 − u2 und der reduzierten Masse µ
µ=
M1 M 2
M1 + M 2
erhält man die Bewegungsgleichung
µ
d2 u
+ µ ω 02 u = q E lokal
2
dt
Die Resonanzfrequenz ω 0 für neutrale Gitteratome liegt in der Größenordnung 1014 s-1 .
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Gesucht ist nun die Größe von E lokal in Abhängigkeit von der Auslenkung u. Die gesamte
elektronische Polarisation lautet
P el = ε 0 NV (α el
pos. Ionen
+ α el
neg. Ionen
) Elokal = ε 0 NV α el Elokal
und die ionische Polarisation
Pion = NV q u
Damit gilt für die gesamte Polarisation die Beziehung
P = Pel + Pion = NV ( ε 0 α el Elokal + q u )
Für die weitere Beschreibung wird zwischen longitudinal optische n Wellen (LO) und
transversal optischen Wellen (TO) unterschieden, da die jeweiligen Entelektrisierungsfelder
verschieden sind und man daher ein unterschiedliches Resonanzverhalten der Schwingungen
erhält. Für eine longitudinale optische Welle (LO)
v stehen die gleichmäßig polarisierten
Netzebenen (‚Scheiben’) senkrecht zur Polarisation P .
Das lokale Feld (mit E ext = 0 ) lautet daher
2
N qu
2
3ε0 V
=−
P=
2
3ε 0
1 + NV α el
3
−
Elokal
Hieraus ergibt sich eine ionische Polarisierbarkeit
Pion = ε 0 α ion Elokal = q u
α ion =
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qu
ε 0 Elokal
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Für den statische n Fall ω = 0 mit u& = u&& = 0 erhält man die statische Auslenkung
ustat =
q Elokal
µ ω02
und hierüber die statische ionische Polarisierbarkeit
α ion (0) =
q u stat
q2
=
ε 0 Elokal ε 0 µ ω02
so dass das lokale Feld lautet
Elokal
2
N α ( 0)
µ ω 02 3 V ion
=−
u
q 1+ 2 N α
V
el
3
Einsetzen in die Bewegungsgleichung liefert die Resonanzfrequenz der longitudinal optischen
Schwingung
ω L = ω0
2
NV α ion (0)
3
1+
2
1 + NV α el (0)
3
wobei α el ( ω ≈ ω0 ) = α el (0) der quasi-statische Wert für Frequenzen deutlich unterhalb der
elektronischen Resonanz ω1 ist.
Für eine transversale optische Welle (TO) liegt die Polarisation parallel zur Scheibenebene
mit dem Entelektrisierungsfaktor N = 0. Das lokale Feld ist daher nun
Elokal =
1
P
3ε 0
Eine analoge Rechnung wie zuvor liefert die transversale Resonanzfrequenz
ωT = ω0
1
NV α ion ( 0)
1− 3
< ωL
1
1 − NV α el ( 0)
3
Bildet man den Quotientenω L2 / ω T2 , so erhält man die Lyddane-Sachs- Teller-Relation:
ωL2
ε ( 0)
=
2
ωT
ε (ωs )
Hier meint ωs ≈ 10 15 s −1 wieder optische Frequenzen, also den Bereich ω L < ωs < ω 1 .
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8.2.3
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Orientierungspolarisation
Sind im Kristall außerdem permanente elektrische Dipole vorhanden, so kommt es gegen die
Gitterkräfte zu einer Ausrichtung der Dipole im äußeren elektrischen Feld. Eine theoretische
Beschreibung ist i. Allg. kompliziert, da die genaue Beschreibung der Gitterkräfte schwierig
ist. Bei hohen Temperaturen, d.h. wenn die Energie zur Ausrichtung der Dipole klein ist
gegen die thermische Energie k BT, folgt die zugehörige Suszeptibilität einem Curie-Gesetz
χ dip ( 0) = NV
2
p dip
1
C
=
3ε 0 k B T
T
mit dem permanenten Dipolmoment pdip und der Curie-Konstante C. Es sei τ die notwendige
Zeit zur Ausrichtung eines Dipols. Dann nimmt pdip mit der Frequenz ω ab, d.h. es gibt eine
Abschneidefrequenz ω~ ≈ τ − 1 .
Die zeitliche Entwicklung bei der Ausrichtung der Dipolmomente lässt sich durch den
folgenden Relaxationsprozess für die ionische Polarisation Pdip beschreiben
d Pdip (ω )
P (0) exp ( − i ω t ) − Pdip (ω )
= dip
dt
τ
Hier ist Pdip ( 0) exp ( − i ω t ) die Polarisation für τ ≡ 0 , d.h. für den Fall, dass die Polarisation
dem elektrischen Feld instantan folgen kann (‚Sollwert’). Die tatsächliche Polarisation ist
Pdip (ω) (‚Istwert’). Die Änderungsgeschwindigkeit P& dip hängt also ab von der Differenz von
Istwert und Sollwert und wird immer geringer, je weiter sie sich dem stationären Wert nähert.
Zusätzlich ist wie zuvor auch eine Phasenverschiebung zwischen anregendem Feld
E = E 0 exp ( − i ω t ) und der Polarisation zu berücksichtigen:
Pdip (ω ) = ε 0 ( χ ' dip (ω ) + i χ "dip (ω ) ) E 0 exp (− i ω t )
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Einsetzen in die Differentialgleichung liefert über
− i ω ( χ 'dip (ω ) + i χ "dip (ω ) ) =
χ dip (0) − ( χ 'dip (ω ) + i χ "dip (ω ) )
τ
mit Pdip ( 0) = ε 0 χ dip ( 0) E 0 die Größen des Real- und Imaginärteils der Suszeptibilität durch
Orientierung von Dipolen
χ 'dip (ω ) =
1
χ dip (0)
1 + ω 2τ 2
χ " dip (ω ) =
ωτ
χ dip (0)
1 + ω2 τ 2
Man beobachtet ein typisches Resonanzverhalten mit starker Absorption im Bereich ω = τ-1 .
ω << τ
ω =τ
−1
−1
ω >> τ
−1
:
χ 'dip (ω ) = χ dip (0) , χ "dip (ω ) = 0
:
χ " dip (ω ) =
:
χ 'dip (ω ) = χ "dip (ω ) = 0
1
χ dip ( 0) = χ " dip (ω )
2
8.3
Optische Eigenschaften
8.3.1
Ionenkristalle
keine Phasenverschiebung
maximale Verluste
keine Polarisation
Eine Wechselwirkung mit optischen Photonen ist nur für transversale Phononen möglich. Aus
der Bedingung zur Energieerhaltung folgt damit eine Kopplung mit infrarotem Licht, da die
maximale Frequenz der Phononen bei etwa 1013 s-1 liegt. Weiter ergibt sich aus der
Impulserhaltung, dass die beteiligten Phononen aus dem Zentrum der Brillouin- Zone
stammen müssen.
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Das lokale Feld ist die Summe aus dem makroskopische n Feld E und dem Lorentz-Feld
Elokal = E +
1
P
3ε0
Für die Polarisation des Ionenkristalls ergibt sich dann
P = ε 0 NV α el Elokal + NV q u
und mit
α ion (0) =
Elokal =
q2
ε 0 µ ω0
1
1−
1
NV α el
3
E+
1
NV α ion (0)
µ ω02
u
1
q
1 − NV α el
3
Dieses Feld wird in die Differentialgleichung eingesetzt
µ
d2u
q
+ µ ωT2 u =
E
2
1
dt
1 − NV α el (0)
3
Die zugehörige Lösung lautet
u=
q
1
1
E
2
2
µ 1 − 1 N α ( 0) ω T − ω
V
el
3
Der ionische Beitrag χ ion zur Suszeptibilität ist dann
Pion = NV pion = NV q u = ε 0 χ ion E
χion =
NV q u NV q 2
1
1
=
2
ε0 E
ε 0 µ 1 − 1 N α (0) ωT − ω 2
3 V el
Durch Einführen des statische n Werts für ω = 0 erhält man
χion =
χion ( 0) ω T2
ω T2 − ω 2
Die gesamte Dielektrizitätskonstante ist die Summe aus elektronischen und ionischen
Beiträgen
ε = 1 + χ el + χ ion
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Der statische Wert für ω = 0 und der dynamische Wert der Dielektrizitätskonstante lauten
dann
ε (0) = 1 + χ el ( 0) + χ ion (0)
= ε (ωs ) + χ ion ( 0)
und
( ε (0) − ε (ω s ) ) ω T2
ε (ω ) = 1 + χ el +
= ε (ωs ) +
ω T2 − ω 2
( ε (0) − ε (ωs )) ω T2
ω T2 − ω 2
mit ωs für die Frequenzen des sichtbaren Frequenzspektrums. Benutzt man weiter die
Lyddane-Sachs-Teller-Beziehung, so lässt sich die dielektrische Funktion schreiben als (siehe
Abb. 4.4)
ω L2 − ω 2
ε = ε (ω s ) 2
ωT − ω 2
Offensichtlich wird für ω T < ω < ω L die dielektrische Funktion negativ. Schreibt man ε als
komplexen Brechungsindex in der Form
ε = (n + iκ
)2
⇒ n=0 , κ =
−ε
so wird als Ergebnis eine elektromagnetische Welle in diesem Frequenzbereich am Kristall
vollständig reflektiert. Die Fresnel-Formeln liefern den zugehörigen Reflexionskoeffizient R
für senkrechten Lichteinfall
R=
(n − 1) 2 + κ
( n + 1) 2 + κ
2
2
=1
Für andere Frequenzbereiche ω < ω T , ω > ω L gilt ε > 0 und daher n =
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ε , κ = 0.
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Berücksichtigt man zusätzlich eine Strahlungsdämpfung, so bedeutet dies eine hohe
Absorption für ω ≈ ω T ; die Reflexion R für ω T < ω < ω L wird in diesem Fall etwas kleiner
als eins. Typische Zahlenwerte für ω T , ω L sowie die entsprechenden Wellenlängen sind:
NaCl :
ω T = 3.1 ⋅ 10 13 s −1 =ˆ λ T = 60 µm
ω L = 5 ⋅ 10 13 s −1
MgO :
=ˆ λ L = 39 µm
ω T = 7.5 ⋅ 10 13 s −1 =ˆ λ T = 26 µm
ω L = 14 ⋅ 10 13 s − 1 =ˆ λ L = 13.7 µm
Diese Reflexionseigenschaften finden ihre Anwendung als Monochromator für infrarotes
Licht durch Mehrfachreflexionen an den entsprechenden Kristalloberflächen.
8.3.2
Metalle und Halbleiter
In Metallen und Halbleitern sind nur Übergänge von besetzten in unbesetzte Zustände
möglich. Hierbei unterscheidet man einerseits Interbandübergänge mit einer scharfen
Absorptionskante bei der Energie hω = Eg mit Eg als Energie des Bandabstandes (siehe
Kap. 6.1). Andererseits sind für die optischen Eigenschaften bei Wellenlängen λ = hc/E g
Intrabandübergänge entscheidend. Intrabandübergänge lassen sich als Beschleunigung eines
Leitungselektrons durch ein makroskopisches Feld E verstehen. Die zugehörige
Bewegungsgleichung lautet
m*
d2 x
1 dx
+ m*
+ 0 = − e E 0 exp (−i ω t )
2
τ
dt
dt
mit m* als effektive Masse, welche die Eigenschaften des Kristallgitters berücksichtigt, und τ
als Zeitkonstante, die die Dämpfung durch Elektron-Phonon-Streuung enthält. Die Null
verdeutlicht die Eigenschaft freier Elektronen, d.h. das Fehlen einer rücktreibenden Kraft. Als
Lösung erhält man
x=
e
1
E
2
m * ω + iω /τ
Die Polarisation bei NL Leitungselektronen pro Volumeneinheit lautet
PL = − e N L x = −
e2 N L
1
E
2
m* ω + iω /τ
Damit erhält man den Beitrag zur elektrischen Suszeptibilität
χL =
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PL
e2 N L
1
=−
2
ε0 E
m * ω + i ω /τ
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Die gesamte die lektrische Funktion durch die Kristall- und Leitungselektronen ist dann
ε = 1 + χ el + χ L
123
ε el

e2 N L
1
= ε el  1 −
2
ε 0 ε el m* ω + i ω / τ




Man erhält offensichtlich eine Nullstelle ε = 0 bei der Frequenz
ω = ωp =
e2 N L
ε 0 ε el m*
Dies ist die Eigenfrequenz einer Longitudinalschwingung des Elektronengases. Dann ist
2

ωp

ε = ε el 1 − 2

ω





Unterhalb der Plasmafrequenz ω p ist ε < 0, d.h. die Reflexion ist maximal mit R = 1.
Für Frequenzen oberhalb von ωp , d.h. gewöhnlich im ultravioletten Spektralbereich, werden
Metalle durchlässig für elektromagnetische Wellen. Die Plasmafrequenz ωp ist eine kollektive
Schwingung der Leitungselektronen; die zugehörigen Energiequanten sind die Plasmonen mit
typischen Energien h ω p ≈10 eV. Eine Anregung von Plasmonen ist durch die
Wechselwirkung mit schnellen Teilchen möglich.
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In Halbleitern kann die Dotierungskonzentration NL über einen weiten Bereich variiert
werden. Damit lässt sich die Plasmafrequenz über den Zusammenhang ω p ~ N L so
einstellen, dass dünne Halbleiterbeschichtungen zur Wärmeisolation genutzt werden können.
Ein Beispiel ist das Material In2 O3 :Sb, welches eine hohe Transparenz im sichtbaren
Spektralbereich besitzt, aber gleichzeitig Wärmestrahlung effektiv reflektiert.
8.4
Ferroelektrika
Ferroelektrische Materialien bzw. Kristalle weisen auch ohne die Einwirkung eines äußeren
elektrischen Feldes eine spontane Polarisation Ps auf. In Analogie zu den Ferromagneten tritt
auch für Ferroelektrika eine Hysterese auf. Wird ein ausreichend großes äußeres elektrisches
Feld in Richtung der spontanen Polarisation angelegt, so klappt die spontane Polarisation um.
Das zugehörige Feld Ek wird Koerzitivfeld genannt. Ferroelektrika zeigen unter anderem
Eigenschaften wie den Pyroeffekt, den Piezoeffekt oder nichtlineare optische Effekte.
Oberhalb der Curie-Temperatur Tc verlieren Ferroelektrika ihre typischen Eigenschaften und
zeigen nur noch paraelektrisches Verhalten. Die Suszeptibilität folgt dann für T > Tc einem
Curie-Gesetz mit der paraelektrischen Konstante Cp :
χ =
Cp
T − Tc
Die Größe der spontanen Polarisation zeigt ebenfalls eine Temperaturabhängigkeit und nimmt
mit steigender Temperatur ab, d.h. dPs/dT < 0. Bei Erwärmung oder Abkühlung eines
ferroelektrischen Kristalls ändert sich somit die Oberflächenladungsdichte auf den
Kristalloberflächen in Richtung der spontanen Polarisation. Diese Ladungen sind im
stationären Fall durch freie Ladungen kompensiert, z.B. Ionen aus der Umgebungsluft. Bei
einer schnellen Temperaturänderung folgt diese Ladungskompensation den veränderten
Verhältnissen nicht instantan; als Folge bauen sich elektrische Spannungen auf. Dieser Effekt
wird als Pyroeffekt bezeichnet und erlaubt durch die Messung des Vorzeichens der Spannung
die Bestimmung der Richtung von Ps.
Ein Beispiel für ein Ferroelektrikum ist der Kristall BaTiO 3 (siehe auch Kap. 3.2). Bei der
Temperatur Tc = 128 °C zeigt BaTiO 3 einen Phasenübergang von der kubischen
paraelektrischen Hochtemperaturphase in die tetragonale ferroelektrische Phase. Beim
Phasenübergang verschieben sich die Ti-Ionen und auch die Ba-Ionen relativ zum
Sauerstoffgitter, verbunden mit einer Änderung der Gitterkonstante, so dass c ≠ a = b ist. Der
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positive und negative Ladungsschwerpunkt fallen dann nicht mehr zusammen und man erhält
permanente Dipole. Für die Orientierung vo n Ps gibt es sechs gleichwertige Richtungen;
ausschlaggebend sind letztlich vorhandene Gitterfehler oder Verspannungen des Materials. Es
kommt zur Ausbildung von größeren Domänen, die im Einzelfall durch Anlegen starker
äußerer elektrische Felder einheitlich ausgerichtet werden können und so zu einem
eindomänigen (‚gepolten’) Kristall führen.
8.5
Untersuchungsmethoden
Eine Bestimmung der dielektrischen Funktion ε (ω) ist z.B. durch die Aufnahme von
Absorptionsspektren, Reflexionsspektren oder durch Energieverlustspektroskopie mit Hilfe
von Elektronen möglich. Bei allen Verfahren nutzt man aus, dass der Realteil und
Imaginärteil der dielektrischen Funktion über die Kramers-Kronig-Relationen miteinander
verknüpft sind:
ε ' (ω ) = 1 +
2 ∞ x ε ' ' (x )
Η
dx
π ∫0 x 2 − ω 2
2 ω ∞ ε ' ( x) −1
ε ' ' (ω ) = −
Η∫ 2
dx
π
x −ω 2
0
Hier meint H den Hauptwert des Integrals ohne die Polstelle bei x = ω, den man durch
Anwendung des Residuensatzes gewinnt.
Für eine Bestimmung der dielektrischen Funktion kann z.B. die Aufnahme eines
Reflexionsspektrums R(ω) über einen größeren Frequenzbereich genutzt werden. Eine solche
Messung liefert dann über die Ausnutzung der Kramers-Kronig- Relationen die gesamte
dielektrische Funktion.
Die Energieverlustspektroskopie als alternatives Verfahren hat den Vorteil, dass sie nicht von
der Oberflächenbeschaffenheit der Proben abhängt. Benutzt werden dünne Metallfolien, die
mit Elektronen bestrahlt werden. Die Bremskraft dE/dx ist hier eine Funktion des Realteils
des Kehrwerts der dielektrischen Funktion, dE/dx = f(ε-1 )’. Über die Kramers-KronigRelationen kann man dann wiederum die gesamte dielektrische Funktion berechnen.
Vorlesung FP Kap.8 Version 1.0.doc
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20.02.03