Satz des Pythagoras
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Satz des Pythagoras
Für orthogonale Vektoren u~ und ~v gilt
|~
u + ~v |2 = |~
u |2 + |~v |2 .
Satz des Pythagoras
1-1
Satz des Pythagoras
Für orthogonale Vektoren u~ und ~v gilt
|~
u + ~v |2 = |~
u |2 + |~v |2 .
Der Satz ist heute als Satz des Pythagoras (569-475 v. Chr.) bekannt,
obwohl ihn bereits die Babylonier 1000 Jahre früher kannten.
Möglicherweise war aber Pythagoras der erste, der ihn bewiesen hat.
Satz des Pythagoras
1-2
Beweis:
Linearität des Skalarprodukts
=⇒
|~
u + ~v |2 = (~
u + ~v ) · (~
u + ~v )
= u~ · u~ + |u~ · ~v {z
+ ~v · u~} +~v · ~v
2
~⊥~
=0, da u
v
2
= |~
u | + |~v |
Satz des Pythagoras
2-1
Beispiel:
Pythagoräisches Tripel:
Satz des Pythagoras
3-1
Beispiel:
Pythagoräisches Tripel:
`, m, n ∈ N :
`2 + m2 = n2 ,
d.h. ganzzahlige Seitenlängen für rechtwinklige Dreiecke
Satz des Pythagoras
3-2
Beispiel:
Pythagoräisches Tripel:
`, m, n ∈ N :
`2 + m2 = n2 ,
d.h. ganzzahlige Seitenlängen für rechtwinklige Dreiecke
Anwendung durch die Ägypter: Konstruktion rechter Winkel via Ergänzung
ungerader Zahlen ` durch m = (`2 − 1)/2 und n = (`2 + 1)/2 zu einem
Pythagoräischen Tripel:
`4 + 2`2 + 1
`4 − 2`2 + 1
=
=
` +
4
4
2
`2 + 1
2
Satz des Pythagoras
2
3-3
Beispiel:
Pythagoräisches Tripel:
`, m, n ∈ N :
`2 + m2 = n2 ,
d.h. ganzzahlige Seitenlängen für rechtwinklige Dreiecke
Anwendung durch die Ägypter: Konstruktion rechter Winkel via Ergänzung
ungerader Zahlen ` durch m = (`2 − 1)/2 und n = (`2 + 1)/2 zu einem
Pythagoräischen Tripel:
`4 + 2`2 + 1
`4 − 2`2 + 1
=
=
` +
4
4
2
Multiplikation der Tripel mit 2
`2 + 1
2
2
Tripel für jede gerade Zahl ` ≥ 6
Satz des Pythagoras
3-4
allgemeineres Konstruktionsprinzip mit Hilfe der dritten Binomischen
Formel
c 2 − b 2 = (c − b)(c + b) = a2
Satz des Pythagoras
3-5
allgemeineres Konstruktionsprinzip mit Hilfe der dritten Binomischen
Formel
c 2 − b 2 = (c − b)(c + b) = a2
ganzzahlige Lösung, wenn a2 in zwei unterschiedliche Faktoren
zerlegbar ist, die eine gerade Differenz (= 2b) aufweisen
Satz des Pythagoras
3-6
allgemeineres Konstruktionsprinzip mit Hilfe der dritten Binomischen
Formel
c 2 − b 2 = (c − b)(c + b) = a2
ganzzahlige Lösung, wenn a2 in zwei unterschiedliche Faktoren
zerlegbar ist, die eine gerade Differenz (= 2b) aufweisen
Für ungerades a = ` gilt dies für die Aufteilung a2 = a2 · 1 mit
b=
a2 − 1
,
2
c=
a2 + 1
2
Satz des Pythagoras
3-7
allgemeineres Konstruktionsprinzip mit Hilfe der dritten Binomischen
Formel
c 2 − b 2 = (c − b)(c + b) = a2
ganzzahlige Lösung, wenn a2 in zwei unterschiedliche Faktoren
zerlegbar ist, die eine gerade Differenz (= 2b) aufweisen
Für ungerades a = ` gilt dies für die Aufteilung a2 = a2 · 1 mit
b=
a2 − 1
,
2
c=
a2 + 1
2
obiger Spezialfall
Satz des Pythagoras
3-8
