Wellenfunktion und Wahrscheinlichkeitsinterpretation

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◮ Quantenphysik | Wellenfunktion und Wahrscheinlichkeitsinterpretation
Skript
Wellenfunktion und Wahrscheinlichkeitsinterpretation
Übersicht
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1 Einführung
1
2 Was bisher geschah
1
3 Die Schrödingergleichung und ihre Lösung
2
4 Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation
4
5 Zeigermodell
6
6 Schrödingers-Katze
7
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◮ Quantenphysik | Wellenfunktion und Wahrscheinlichkeitsinterpretation
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1 Einführung
Die Quantenhypothese von Planck und Einsteins Erklärung
des photoelektrischen Effekts zogen der klassischen Physik
den Boden unter den Füßen weg. Die Vorstellung nur mithilfe der klassischen Physik das Verhalten von Licht zu beschreiben, versagte bei der Erklärung des „Welle-TeilchenDualismus“. Je nach Betrachtungsweise zeigen Quantenobjekte Eigenschaften von Welle oder von Teilchen. Sie sind
aber weder das eine, noch das andere. Sie entziehen sich
Abbildung 1: Ob die berühmteste
komplett unserer alltäglichen Vorstellung und sind damit nicht
vereinbar mit der klassischen Physik.
Katze der Welt noch
lebt, wird in diesem
Skript geklärt.
Um die beobachteten Phänomene richtig beschreiben zu können, musste demnach der Grundstein für eine „neue“ Physik
wikipedia.org – Anarkman (CC BYSA 3.0)
gelegt werden: die Quantenphysik.
Diese stellte sich als besonders erfolgreich bei der Vorhersage von Beobachtungen heraus,
doch musste man dazu die Anschaulichkeit der klassischen Physik hinter sich lassen und akzeptieren, dass die Physik über das menschliche Vorstellungsvermögen hinaus betrachtet
werden muss.
2 Was bisher geschah
Zu der wissenschaftlichen Krise zu Beginn des 20. Jahrhunderts kam zusätzlich, dass Niels Bohr, ein junger dänischer
Physiker, ab 1913 das nach ihm benannte Atommodell entwickelte. Hierzu verband er die von Einstein und Planck aufgestellten Theorien der Quantenphysik mit der klassischen Physik und stellte das erste weithin akzeptierte Atommodell auf.
Dieses besagt, dass Elektronen nur ganz bestimmte Zustände zu ganz bestimmten Energien einnehmen können. Anschaulich werden diese Zustände als Bahnen um den Atomkern beschrieben. Bei Absorption der Energiedifferenz zweier Zustände „springen“ Elektronen von einem Energieniveau
auf ein höheres, also von einer tieferen Bahn auf eine höhere. Sie befinden sich dann in einem angeregten Zustand. Fällt
Abbildung 2: Niels Bohr (18851962) im Jahr seines
Nobelpreisgewinns
1922.
wikipedia.org
–
Erlendaakre
(public domain)
ein solches angeregtes Elektron auf ein tieferen Zustand zurück, so wird die Energiedifferenz als Strahlung frei (mehr dazu findest du im ChemieLV-Skript Atommodell). Mithilfe dieses Bohrschen Atommodell schaffte man die Erklärung des
Wasserstoffspektrums, der Röntgenlinien sowie die Erklärung des Aufbaus des Periodensystems der Elemente.
Allerdings versagte es bereits bei dem Anregungsspektrum von Helium und allen weiteren
Elementen. Das Atommodell war also noch nicht ausgefeilt und ließ kaum Vorhersagen zu.
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Nach Niels Bohrs Atommodell kreist ein Elektron um den Atomkern
wie die Erde um die Sonne. Auf Grund der Coulomb-Kraft sollte sich
v - Fel
das Teilchen auf einer Kreisbahn bewegen und nicht in den Atomkern stürzen. Hierzu wäre allerdings eine Zentripetalbeschleuni-
+
gung nötig. Jedoch bauen beschleunigte Ladungen ein elektromagnetisches Feld auf und strahlen Energie in Form von elektromagnetischen Wellen ab. Das Elektron sollte also folglich an Energie
verlieren, würde dadurch langsamer werden und schlussendlich
auf einer Spiralbahn in den Kern fallen.
Mit unsere Vorstellung, dass ein Elektron ein klassisches Teilchen
ist, kommen wir also nicht weiter.
Abbildung 3: Nach
der
klassischen
Physik ist ein
Atom
nicht
stabil.
Louis de Broglie erklärte schließlich in seiner 1924 veröffentlichten Theorie der Materiewelle (siehe PhysikLV-Skript Welle-Teilchen-
-
Dualismus) die Stabilität der Atome, indem er die Bohrschen Atombahnen als stehende Elektronenwellen auffasste. Diese stehenden
+
Wellen übertragen keine Energie im Raum und bilden sich nur bei
λ
Abbildung 4: De
Broglie
erklärt
die
Atombahnen
als
Elektronenwellen.
3
ganz bestimmten Bedingungen aus.
Seine zuerst kühne Vorstellung davon, dass nicht nur Licht, sondern auch Materie (Elektronen, Protonen,...) einen Wellencharakter
aufweisen kann, war der letzte Tropfen, der das Fass zum überlaufen brachte und die Hoffnung, Atome mit der klassischen Physik
beschreiben zu können, zerstörte.
Die Schrödingergleichung und ihre Lösung
Die moderne Quantenmechanik entstand Mitte der Zwanziger Jahre mit den Arbeiten von Heisenberg, Born und Jordan zur Matrizenmechanik, sowie mit der gleichzeitigen Forschung von Erwin Schrödinger zur Wellenmechanik. Beide
Ansätze lassen sich ineinander umformen, wie Schrödinger
weniger später zeigte, und beschreiben die Mechanik der
Quanten. Sie legten somit die Grundlage für die Quantenmechanik.
Die Wellenmechanik Schrödingers machte sich den Ansatz
von de Broglies Materiewellen zu Nutze und beschreibt mithilfe der berühmten Schrödingergleichung ganz abstrakt
die Dynamik eines quantenmechanischen Zustands eines Systems, an dem keine Messung vorgenommen wird. Dies klingt
zuerst einmal sehr kompliziert, doch brauchst du dir keine
Sorgen zu machen, denn Erwin Schrödinger selbst wusste
Abbildung 5: Erwin
nicht genau was seine berühmte Gleichung zu bedeuten hatte. Die Lösung dieser Differentialgleichung wird als Wellen-
Schrödinger
(1887-1961), Nobelpreisgewinner 1933.
wikipedia.org
–
Pieter
Kuiper
funktion Ψ() bezeichnet und beschreibt den quantenmechanischen Zustand eines Elementarteilchens oder eines Systems im Raum.
(public domain)
Der quantenmechanische Zustand eines Elektrons in einem Atom und damit die Borschen
Atombahnen können mit dem so genannten „unendlichen Potentialtopf“ nachvollzogen
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werden.
Das Elektron befindet sich dabei in einem
E
eindimensionalen Topf mit dem Durchmesser . Im Inneren des Topfes gilt für die poE pot = ∞
tentielle Energie des Teilchens:
E pot = ∞
Epot () = 0 für 0 <  < 
Am Rand des Topfes geht das Potential dagegen gegen den Wert unendlich:
-
Epot () = ∞ für  < 0 und  > 

E pot = 0
Das Teilchen kann also weder in die Topfwand eindringen, noch kann es über die-

se Wand springen, da dafür zu viel Arbeit
notwendig wäre. Es ist demnach im Topf
gefangen.
In einem solchen Potentialtopf pflanzen sich verschiedene Wellenfunktionen Ψn () fort. Einige davon werden am Rand des Topfes vollständig so reflektiert, dass sich eine stehende
Welle ausbildet. Diese Wellen geben keine Energie an die Umgebung ab und sind daher die
einzigen sich stabil ausbildenden Wellen. Im Folgenden sind links diese Wellenfunktionen
Ψn () dargestellt und rechts deren Betragsquadrat |Ψn ()|2 . Diese spielen bei der Interpretation der Wellenfunktion eine entscheidende Rolle.
E
E
Ψ4 ()
Ψ2 4 ()
n=4
Ψ3 ()
Ψ2 3 ()
n=3
Ψ2 ()
Ψ2 2 ()
n=2
Ψ1 ()
Ψ2 1 ()
n=1



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
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4 Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation
Mit der Wellenfunktion gelang es Erwin Schrödinger zwar den quantenmechanischen Zustand eines Teilchens oder des gesamten Systems vorherzusagen, doch eine klare Deutung
bzw. Interpretation gelang ihm selbst nicht. Seine Wellenfunktion war zunächst nur ein mathematischer Formalismus, der den Welle-Teilchen-Dualismus beschreibt und vorhersagen
kann, jedoch keine Erklärung für die quantenmechanischen Phänomene liefert.
Dies gelang schließlich 1926 dem Göttinger Physiker Max
Born. Seine Wahrscheinlichkeitsinterpretation werden wir
mithilfe des Doppelspaltversuchs nachvollziehen. Hierzu
schicken wir Quantenobjekte, z.B. Photonen, einzeln durch
einen Doppelspalt. Diese Objekte treffen, analog zum Photoeffekt, in ganzen Portionen am Schirm auf. Was jedoch
verwunderlich ist, ist, dass die Quantenobjekte wie in Abbildung 6 scheinbar wahllos irgendwo auf dem Schirm auftreffen. Hier scheint keine Regelmäßigkeit vorzuliegen und
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Abbildung 6: Verteilung der Treffer.
nur der Zufall scheint über den Ort des Auftreffens zu entscheiden. Die Bewegung des Quantenobjekts folgt also Wahrscheinlichkeitsgesetzen.
Dies war ein großer Schlag für die klassische Physik, die
die Auffassung vertritt, dass alle zukünftigen Ereignisse durch Vorbedingungen eindeutig festgelegt sind. Diese Auffassung nennt man Determinismus. In der klassischen Physik geht man davon aus, dass man z.B. die Augenzahl eines Würfels vorhersagen kann, wenn man alle
Rahmenbedingungen, wie z.B. das Gewicht des Würfels,
Abbildung 7: Wie
die
Würfel
fallen,
die Unterlage, die Schnelligkeit der Drehung,etc. , nur
gut genug abschätzen könnte. Dies scheint allerdings in
hängt in der klassischen
der Quantenmechanik nicht zu gelten! Denn bei exakt
Physik nur von den Gegebenheiten ab und kann
gleichem Versuchsaufbau treffen einzelnen Photonen an
verschiedenen Stellen am Schirm auf.
theoretisch
vollständig
berechnet werden.
pixabay.com – kungmats (public domain)
Dass die Bewegung von Quantenobjekten nicht vorhersagbar ist, sondern nur von Wahrscheinlichkeitsgeset-
zen abhängt, wollte Albert Einstein sein Leben lang nicht
glauben. Dies veranlasste ihn, in einem Brief an Max Born, zu einem seiner berühmtesten
Zitate:
„Die Quantenmechanik ist sehr achtunggebietend. Aber eine innere Stimme sagt mir,
dass das noch nicht der wahre Jakob ist. Die Theorie liefert viel, aber dem Geheimnis des
Alten bringt sie uns kaum näher. Jedenfalls bin ich überzeugt, dass der (Gott) nicht
würfelt.“
(Albert Einstein 1926)
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Lassen wir jedoch den Versuch, wie in Abbildung 8, über eine längere Zeit weiter laufen,
so fällt auf, dass sich die Treffer an bestimmten Orten häufen. Es entsteht das typische
Interferenzbild des Doppelspalts.
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. ...................... ........ ................................ .... .. ..................... ...
. .......... . .. . . .................... . ............. .
t
Abbildung 8: Mit zunehmender Zeit häufen sich die Treffer an bestimmten Orten.
Statistisch gesehen, kommen also an den Maxima des Interferenzbildes mehr Photonen an,
als an den Minima. Die Auftreffwahrscheinlichkeit an diesen Stellen ist demnach größer.
Ist die Anzahl der ankommenden Photonen groß genug, so bildet sich das Interferenzbild
des Doppelspalts mit Licht aus. Viele einzelne Photonen verhalten sich demnach wie ein
Lichtstrahl.
Wahrscheinlichkeit
Du kannst allerdings nur eine statistische Aussage darüber treffen, an welchem Ort die meisten Photonen ankommen werden. Eine Aussage darüber, wohin sich
das einzelne Photon bewegt, ist nicht möglich, da
Abbildung 9: Die statistische Verteilung
der Quantenobjekte ergibt
das Interferenzbild des Doppelspalts.
dies ganz alleine von der Wahrscheinlichkeit bestimmt
ist. Das violette Photon aus Abbildung 9 beispielsweise trifft mit einer hohen Wahrscheinlichkeit in der Mitte auf. Das bedeutet allerdings nicht, dass es da auch
wirklich auftreffen muss. Denn zu einer bestimmten,
kleineren Wahrscheinlichkeit trifft dieses Photon auch weiter rechts oder weiter links von
der Mitte auf. Diese Unvorhersagbarkeit der Bewegung eines einzelnen Photons war das,
was Einstein sein Leben über nie akzeptieren wollte.
Max Borns Leistung war es nun, die Wellenfunktion Ψ als sogenannte Wahrscheinlichkeitswelle zu deuten. Ihre Struktur hängt zwar laut Schrödingergleichung von den Randbedingungen der Versuchsanordnung (Anzahl Spalte, Abstand der Spalte,...) und dem Quantenobjekt selbst (Art, Energie,...) ab, ihr selbst wird aber keine weitere reale Bedeutung beigemessen. Das Amplitudenquadrat der Wahrscheinlichkeitswelle Ψ2 jedoch hat eine reale
Bedeutung und ist proportional zur Wahrscheinlichkeit ein Quantenobjekt in einem
bestimmten Raumgebiet anzutreffen. An der Stelle, an der also Ψ2 groß ist, da wird
sich das Quantenobjekt mit einer großen Wahrscheinlichkeit befinden.
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5 Zeigermodell
Analog zu klassischen Wellen kannst du dir die meisten quantenmechanischen Sachverhalten gut durch das Zeigermodell illustrieren. Anstatt der Elongation der Wasserwelle
verdeutlicht der Zeiger die Amplituden der Wahrscheinlichkeitswelle Ψ, die Lösungen der
Schrödingergleichung sind. Die Wellenfunktion ordnet jedem Punkt im Raum ein sich mit
der Zeit drehender Zeiger zu. Daher hängt Ψ vom Ort  und der Zeit t ab.
Ψ
Ψ
θ (x1,t1 )
π
Ψ (x,t)
π
2π
2π
x,t
x1,t1
Bei klassischen Wellen spricht man davon, dass Wellenzüge im Raum hinter dem Doppelspalt interferieren und dadurch das bekannte Interferenzmuster entsteht. In der Quantenphysik existieren solche Wellenzüge nicht. Sie werden durch so genannte Zustände ersetzt, die ein Quantenobjekt annehmen kann. Beim Doppelspalt ist ein solcher Zustand die
Wellenfunktion, die von der Quelle kommt, durch einen der Spalte führt und am Schirm
ankommt. Der andere Zustand wird durch die Wellenfunktion beschrieben, die durch den
anderen Spalt geht. Ein Zustand beschreibt also einen möglichen Verlauf in Raum und Zeit.
Für den Durchgang eines einzelnen Photons durch den Doppelspalt bedeutet dies, dass das
Photon, das tendenziell durch beide Spalten fliegen kann, zwei Zustände annehmen kann.
Am Schirm interferien diese beiden Zustände Ψ1 und Ψ2 :
Ψges = Ψ1 + Ψ2
Alle möglichen Wege, also alle möglichen Zustände des Quants, werden an dessen Ziel
addiert. Dieses Prinzip nennt man Superpositionsprinzip. Folglich bleibt völlig unbestimmt, welchen Weg das Quantenobjekt genommen hat. Wichtig ist nur, dass es alle
möglichen Wege hätte nehmen können.
Man kann auch sagen: „Jedes Quant interferiert mit sich selbst.“
Die Antreffwahrscheinlichkeit des Quants ist wiederum
proportional zum Amplitudenqua
2 drat dieser überlagerten Wellenfunktion Ψges , also Ψges . Der Betrag ist aus rechnerischen
Gründen nötig, da die Amplituden auch negativ sein können. Es ergibt sich das Quadrat der
Zeigerlänge, welches die Wahrscheinlichkeit, ein Quant an einem bestimmten Ort anzutreffen, festlegt.
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6 Schrödingers-Katze
Max Borns Interpretation der Wellenfunktion als Wahrscheinlichkeitsfunktion und das Superpositionsprinzip versuchte Erwin Schrödinger mit seinem Katzen-Paradoxon aus dem Jahre
1935 auf die makroskopische Ebene anzuwenden. Er verdeutlichte damit das Problem, dass
man sich die Quantenmechanik nicht vorstellen kann.
Nach Schrödinger lebe eine Katze in einem abgeschlossenen Kasten, in den niemand hinein sehen
kann, zusammen mit einem radioaktiven Präparat.
Dieses emittiert etwa jede Stunde ein α-Teilchen, welches von einem Geigerzähler registriert wird. Erhält
dieser Zähler ein Signal, so wird eine Zyankapsel
zerbrochen, welche eine tödlichen Gas freigibt. Dieses tötet die Katze.
Das Leben der Katze hängt also davon ab, ob das
α-Teilchen bereits emittiert wurde oder nicht. Hier-
Abbildung 10: Das Leben der berühmtesten
bei handelt es sich um einen unbestimmten, nicht
vorhersehbaren Quantenvorgang.
Katze der Welt ist ein Paradoxon.
wikipedia.org – Anarkman (CC BY-SA 3.0)
◮ Lebt Schrödingers Katze noch?
Nach der Quantenmechanik lautet auf diese Frage nicht „Ja“
oder „Nein“, sondern „Ja und Nein zugleich“. Denn wie am
Doppelspalt Ψges = Ψ1 + Ψ2 superpositionieren die beiden
Möglichkeiten ΨJ und ΨNen zu:
Ψlebendig
Ψlebendig + tot
Ψges = ΨJ + ΨNen
Den mit der klassischen Physik nicht verständlichen Zustand
des Quantenobjekts α-Teilchen verkoppelt Schrödinger über
den Geigerzähler und das Gift in der Zyankapsel mit dem
Ψtot
Abbildung 11: Das
Superpositi-
onsprinzip.
Makroobjekt Katze. Er verschränkt damit beide in der Weise,
dass die absurde und paradoxe Aussage gilt:
„Schrödingers Katze ist tot und lebendig zugleich.“
Erst wenn der Kasten nach einer Stunde geöffnet wird, wird aus dem unbestimmten Zustand wieder ein bestimmter und man findet die Katze entweder lebend oder tot vor.
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