Übungen zu Experimentalphysik 2 - Technische Universität München

Physik Department, Technische Universität München, PD Dr. W. Schindler
Übungen zu Experimentalphysik 2
SS 13 - Lösungen zu Übungsblatt 4
1 Schiefe Ebene im Magnetfeld
~ = 0.5 T
In einem vertikalen, homogenen Magnetfeld mit |B|
sind zwei leitende Schienen im Abstand d = 10 cm mit dem
Neigungswinkel α = 30° gegen die Horizontale aufgestellt.
Auf ihnen kann ein Leiter der Masse m reibungsfrei gleiten. Der Leiter hat den ohmschen Widerstand R1 = 0.30 Ω.
Der Widerstand der Schienen wird vernachlässigt. Der Leiter
bleibt stets parallel zur Strecke CD, d.h. stets senkrecht zur
Längsachse beider Schienen.
(a) An den Punkten C und D wird eine Spannungsquelle mit U0 = 0.30 V angeschlossen.
Der Leiter bleibt in Ruhe.
(i) Wie muss die Spannung gepolt sein?
(ii) Welche Masse hat der Leiter?
(b) Die Spannungsquelle wird entfernt und dafür an den Punkten C und D ein hochohmiges
Voltmeter angeschlossen. Zum Zeitpunkt t0 = 0 s wird der Leiter auf der schiefen Ebene
losgelassen.
(i) Wie lautet U (t) mit den gegebenen Werten für d, B und α?
(ii) Welche Spannung zeigt das Voltmeter nach t1 = 0.30 s an?
(c) In einem neuen Versuch wird durch einen Widerstand R2 = 0.20 Ω zwischen C und D
der Stromkreis geschlossen. Der Leiter wird aus der Ruhe heraus von P nach Q (Abstand
0.20 m) mit der konstanten Beschleunigung a = 2.5 m/s2 bewegt. Zum Zeitpunkt t2
erreicht er Q.
Wie groß ist die Stromstärke im Stromkreis zum Zeitpunkt t2 ?
(d) Das Schienenpaar wird horizontal gelegt und R2 = 0.20 Ω bleibt angeschlossen. Der
Leiter befindet sich zum Zeitpunkt t0 = 0 s in Ruhe.
(i) Welche äußere Kraft F ist zur konstanten Beschleunigung a = 2.5 m/s2 des Leiters
jeweils zu den Zeitpunkten t0 = 0 s und t3 = 2.0 s notwendig?
(ii) Wie sieht der zeitliche Verlauf der Kraft aus (F-t-Diagramm)?
Konstante: g = 9.81 m/s2
(a) Die Gewichtskraft auf den Leiter lässt sich in eine Normalkraft senkrecht zu den Schienen und eine Hangantriebskraft parallel zu den Schienen zerlegen. Damit der Leiter
in Ruhe bleibt, muss die Hangabtriebskraft durch eine entgegengesetzte Komponente
1
der Lorentzkraft, die der stromdurchflossene Leiter im Magnetfeld erfährt, kompensiert
werden.
(i) Polung der Spannung:
Damit die Lorentzkraft entgegen der Hangabtriebskraft zeigt, muss der Strom in
der Skizze von vorne nach hinten fließen (technische Stromrichtung), d.h. bei C
muss der Pluspol, bei D der Minuspol der Spannungsquelle angeschlossen werden.
(ii) Masse des Leiters:
Hangabtriebskraft (Betrag) auf Leiter:
FH = mg sin α
(1.1)
~
Lorentzkraft (Betrag) auf Leiter, senkrecht zu B:
FL = I · B · d
Komponente der Lorentzkraft parallel zu den Schienen (d.h. entgegengesetzt zu
FH ):
FL,k = I · B · d · cos α
(1.2)
Gleichsetzen von (1.1) und (1.2):
mg sin α = I · B · d · cos α
U ·B·d
m=
cot α
gR
= 8.8 g
(b) Aus
Uind = −N
dΦ(t)
dt
folgt wegen B = const. und N = 1
Uind = −B
dA⊥ (t)
,
dt
Die vom Leiter der Länge d auf der schiefen Ebene überstrichene Fläche ist A(t) =
d · 0.5at2 , mit der Beschleunigung a = g sin α (Hangabtrieb). Die für den magnetischen
Fluss relevante Fläche senkrecht zum Magnetfeld ist A⊥ (t) = A(t) cos α. Eingesetzt:
d
1 2
Uind (t) = −B
d · · t · g sin α · cos α
dt
2
= −B · d · t · g · sin α cos α
= −0.21 V s−1 · t
Damit
Uind (t1 = 0.30 s) = −0.063 V
(c) Aus a = 2.5 m/s2 und sP Q = 12 at22 erhält man
r
t2 =
2sP Q
= 0.4 s.
a
2
Die Induktionsspannung hängt wieder von der zeitliche Änderung der Fläche ab, d.h.
d
1
2
Uind (t) = −B
d · · a · t · cos α
dt
2
= −B · d · a · t · cos α
= 0.043 V
Mit dem Gesamtwiderstand des Stromkreises R = R1 + R2 = 0.5 Ω erhält man für die
Stromstärke zu diesem Zeitpunkt
I(t2 ) =
Uind (t2 )
= 0.086 A
R
(d) Mit m = 8.8 g ist am Anfang die beschleunigende Kraft
F (t0 = 0 s) = ma = 0.022 N
erforderlich.
Wenn sich der Leiter bewegt, wird wieder eine Spannung induziert. Da der Stromkreis
geschlossen ist (durch den Widerstand) fließt auch ein Strom, der gemäß Lenz’scher
Regel seiner Ursache (der Bewegung des Leiters) entgegenwirkt. Das heißt die Lorentzkraft, die der stromdurchflossene Leiter im Magnetfeld erfährt, ist entgegengesetzt
zur beschleunigenden Kraft. Zur beschleunigenden Kraft muss also ein (zeitabhängiger)
Term addiert werden, der betragsmäßig gleich der Lorentzkraft ist:
F (t) = ma + I(t) · d · B
Uind (t)
= ma +
·d·B
R
(1.3)
Die für Uind relevante Änderung der überstrichenen Fläche ist:
dA(t)
d 1 2
=
at · d = a · t · d
dt
dt 2
Einsetzen in (1.3) liefert
ad2 B 2
t
R
= 0.022 N + 0.0125 N s−1 · t
F (t) = ma +
d.h. im F-t-Diagramm erhält man eine Gerade.
Zum Zeitpunkt t3 = 2.0 s ist die beschleunigende Kraft F (t3 = 2.0 s) = 0.047 N nötig.
2 Fahrraddynamo
Eine eisenlose flache zylindrische Spule mit N Windungen und dem Durchmesser d rotiert
mit konstanter Drehzahl f in einem homogenen Magnetfeld der magnetischen Flussdichte B.
Die Rotationsachse läuft entlang des Durchmesser des Zylinders und steht senkrecht auf den
magnetischen Feldlinien.
(a) Induzierte Spannung
(i) Wie hängt der Scheitelwert Û der induzierten Spannung Uind (t) von den vier oben
angegebenen Größen ab?
3
(ii) Wie groß ist der Effektivwert Ueff der induzierten Spannung für eine Spule mit
N = 700 Windungen und dem Durchmesser d = 3.0 cm, die mit der Frequenz
f0 = 127 Hz in einem Magnetfeld mit B = 50 mT rotiert?
(b) Die elektrischen Eigenschaften der Spule werden untersucht: Bei der Gleichspannung
U0 = 6.3 V wird die Stromstärke I = 0.7 A gemessen. Beim Anlegen einer sinusförmigen
Wechselspannung mit Ueff = 10 V hat die Stromstärke den Effektivwert Ieff = 0.39 A.
Die Zeitverschiebung zwischen Strom und Spannung beträgt ∆t = 1.52 · 10−3 s.
Wie groß sind Gleichstromwiderstand R0 , Wechselstromwiderstand Z und die SelbstInduktivität L der Spule? Wie groß ist die Frequenz f0 der angelegten Wechselspannung?
(c) An eine sinusförmige Wechselspannung U∼ (t) mit f0 = 127 Hz und Ueff = 14.0 V
werden eine Spule (Induktivität L = 30 mH, ohmscher Widerstand R0 = 9.0 Ω) und
zwei parallelgeschaltete Glühlämpchen (Nennspannungen / -ströme: G1 : 6 V / 0.1 A;
G2 : 6 V / 0.4 A ) angeschlossen.
Wie groß sind der induktive Widerstand RL der Spule, der Gleichstromwiderstand R und
der Wechselstromwiderstand Z der gesamten Anordnung, sowie die Gesamtstromstärke
Ieff ?
(d) In der Anordnung aus der vorherigen Teilaufgabe wird die Wechselspannung U∼ (t) nun
wie in Teilaufgabe (a) durch Induktion in der sich mit f0 = 127 Hz drehenden Spule
erzeugt. Das Ganze kann dann als Modell eines Fahrraddynamos mit der dazugehörigen
Lichtanlage angesehen werden.
(i) Wie groß sind Ueff , induktiver Widerstand RL der Spule, Wechselstromwiderstand
Z der Anordnung sowie Stromstärke Ieff für die Frequenzen 41 f0 , f0 , 2f0 , 3f0 ?
(ii) Welchen Vorteil bietet diese Lichtanlage für die Stromstärke im Bereich hoher
Drehzahlen des Fahrraddynamos?
Die Glühlämpchen sind überlastbar, ihr Widerstand sei stromunabhängig.
(a) Induzierte Spannung
(i) Wegen B = const. gilt wieder
Uind (t) = −N B
dA(t)
dt
Die von B durchsetzte Fläche A(t) ist, je nach Winkel α = ωt zwischen Zylinderquerschnitt  = π(d/2)2 und Magnetfeld,
A(t) = Â sin ωt = π
so dass man
Uind (t) = −N · B · π
d2
sin ωt ,
4
d2
ω cos ωt = Û cos ωt
4
mit dem Scheitelwert (mit ω = 2πf )
Û =
π2
N d2 Bf
2
erhält.
(ii) Effektivwert
Da es sich um eine sinusförmige Wechselspannung handelt, gilt Ueff =
Û
√
,
2
π2
Ueff = √ · 700 · (3 · 10−2 m)2 · 50 · 10−3 T · 127 s−1 ≈ 14 V
2 2
4
also
(b) Elektrische Eigenschaften der Spule:
Gleichstromwiderstand R0 :
U0
6.3 V
=
= 9Ω
I0
0.7 A
R0 =
Wechselstromwiderstand Z:
q
2 = Ueff = 10 V = 25.6 Ω
Z = R02 + RL
Ieff
0.39 A
p
Damit ist RL = ωL = Z 2 − R02 ≈ 24 Ω.
Für den Phasenwinkel zwischen Strom und Spannung erhält man damit aus
tan φ =
RL
24 Ω
=
≈ 2.66
R0
9Ω
den Wert φ ≈ 69.45°. Da sich φ zum vollen Kreis wie die Zeitverschiebung ∆t zur
Umlaufdauer T verhält, also
φ
∆t
=
,
360°
T
resultiert daraus T ≈ 7.88 ms und f = 1/T ≈ 127 Hz. Aus RL = ωL folgt somit für
die Induktivität
RL
≈ 30 mH
L=
2πf
(c) Da L = 30 mH, R0 = 9 Ω und f0 = 127 Hz wieder die für die Spule in (b) berechneten
Werte sind, gilt wieder
RL ≈ 24 Ω
(2.1)
Für die Widerstände der Lämpchen errechnet man aus den Nenngrößen
R1 =
6V
= 60 Ω
0.1 A
R2 =
6V
= 15 Ω
0.4 A
Der Gesamtwiderstand der parallelgeschalteten Lämpchen ist damit
RG =
1
1
+
R1 R2
−1
= 12 Ω
Daraus resultiert für den Gleichstromwiderstand der gesamten Anordnung:
R = R0 + RG = 21 Ω
Wechselstromwiderstand der gesamten Anordnung:
q
2 + R2 ≈ 31.9 Ω
Z = RL
Effektive Stromstärke:
Ieff =
Ueff
≈ 0.44 A
Z
(d) Fahrraddynamo
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(i) Werte für verschiedene Rotationsfrequenzen der Spule
Es gelten die Formeln
Û
π2
Ueff = √ = √ N d2 Bf ,
2
2 2
RL = 2πf L ,
q
2 mit R = 21 Ω
Z = R2 + RL
Ieff =
Ueff
.
Z
Damit erhält man die folgende Tabelle:
f
Ueff /V
RL /Ω
Z/Ω
Ieff /A
f0 /4
f0 = 127 Hz
2f0
3f0
3.5
14
28
42
6
24
48
72
21.48
31.9
52.4
75
0.16
0.44
0.53
0.56
(ii) Vorteil für die Stromstärke im Bereich hoher Drehzahlen des Fahrraddynamos:
Aus der Tabelle oben und aus dem Ieff − f -Diagramm unten wird ersichtlich, dass
sich die Stromstärke im Bereich hoher Drehzahlen nur langsam ändert.
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