mikromagnetische simulation der keimbildung in se

DIPLOMARBEIT
MIKROMAGNETISCHE SIMULATION DER
KEIMBILDUNG IN SE-MAGNETEN
ausgeführt am Institut für
Angewandte und Technische Physik
der Technischen Universität Wien
unter der Anleitung von
Univ. Doz. Dr. Thomas Schrefl
durch
Dieter Süss
Rathausplatz 18, 3130 Herzogenburg
Matr. Nr. 9426424
Wien, am 19. Oktober 1999
2
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung ....................................................................................................... 6
2 Überblick hartmagnetischer Werkstoffe.........................................................8
2.1 Grundlegende magnetische Eigenschaften.........................................................................8
2.2 Überblick über SE-Magnete ................................................................................................13
2.3 Magnete mit Körneren im Mikrometerbereich ................................................................13
2.3.1 Nukleationsmagnete ..................................................................................................14
2.4 Nanokristalline Magnete ......................................................................................................19
3 Mikromagnetismus........................................................................................21
3.1 Grundlegendes.......................................................................................................................21
3.2 Energiebeiträge......................................................................................................................22
3.2.1 Austauschenergie........................................................................................................22
3.2.2 Zeeman Energie .........................................................................................................24
3.2.3 Streufeldenergie ..........................................................................................................25
3.2.4 Anisotropieenergie.....................................................................................................26
3.3 Statischer Mikromagnetismus..............................................................................................26
3.3.1 Variation der Energie.................................................................................................27
3.3.1.1 Kurz und klar: Funktionale .........................................................................27
3.3.1.2 Zeeman Energie............................................................................................28
3.3.1.3 Streufeldenergie............................................................................................ 30
3.3.1.4 Austauschenergie ......................................................................................... 33
3.3.1.5 Anisotropieenergie ...................................................................................... 33
3.3.1.6 Zusammenfassung....................................................................................... 34
3.3.2 Beispiel: Hysterese eines Eindomänenteilchens ....................................................34
3.4 Dynamischer Mikromagnetismus .......................................................................................36
3.4.1 Beispiel: Dynamische Betrachtung des Eindomänenteilchens aus 3.3.2 ...........37
4
Methode der finiten Elemente mit Bespielen aus dem Mikromagnetismus 40
4.1 Grundlagen der Methode.....................................................................................................40
4.1.1 Elementenweise Beschreibung der FEM................................................................42
4.1.1.1 Beispiel: Berechnung der Austauschenergie............................................ 42
4.1.1.2 Beispiel: Berechnung der Ableitung der Austauschenergie................... 45
4.2 Ritz-Verfahren........................................................................................................................46
4.2.1 Beispiel: Minimumformulierung der Poissongleichung .......................................47
4.3 Schwache Formulierung, Galerkin-Verfahren ..................................................................48
4.3.1 Beispiel: Poissongleichung ........................................................................................49
4.3.2 Elementweises Lösen von Ritz-Galerkin-Systemen .............................................50
3
5 Methoden zur Lösung der Mikromagnetischen Gleichungen..................... 54
5.1 Überblick ................................................................................................................................54
5.2 Das Streufeldproblem...........................................................................................................54
5.2.1 Hybrid FE/RE - Methode........................................................................................57
5.3 Lösung der Brownschen Gleichungen...............................................................................59
5.3.1 Analyse und Test der Algorithmen..........................................................................62
5.4 Minimierung der totalen Gibbsschen freien Energie ......................................................63
5.4.1 Test des Algorithmus - µMAG Problem #3..........................................................66
6 Untersuchungen zur Nukleationsbildung in SE-Magneten........................ 70
6.1 Einleitung ...............................................................................................................................70
6.2 Einflüsse auf die Koerzitivität.............................................................................................71
6.2.1 Modell der mikrostrukturellen Parameter ..............................................................73
6.2.2 Der Mikrostrukturparameter αk ..............................................................................73
6.2.3 Der Mikrostrukturparameter αθ ..............................................................................74
6.3 Mikromagnetische Simulationen.........................................................................................76
6.3.1 Ideale Korngrenzen ..................................................................................................80
6.3.2 Störungen an Kanten.................................................................................................82
6.3.3 Störungen an den Grenzflächen zweier Körner....................................................85
6.3.3.1 Bedeutung der Kristallanisotropie der interg. Zwischenschicht ...........85
6.3.3.2 Einfluß der Fehlorientierung der Körner auf das Nukleationsfeld .....91
6.3.4 Nd-reiche Phasen an Kanten und Flächen ............................................................98
7 Zusammenfassung.......................................................................................101
7.1 Lösungsmethoden der Mikromagnetischen Gleichungen ............................................101
7.2 Simulation der Keimbildung in SE - Magneten..............................................................101
8 Anhang .........................................................................................................103
8.1 Kurzbeschreibung des Computerprogrammes...............................................................103
8.1.1 Variation der Materialparameter nahe von Korngrenzen ..................................103
9 Referenzen...................................................................................................107
4
Kurzfassung
Dieser Arbeit liegt die Kontinuumstheorie des Mikromagnetismus zugrunde. Gleichgewichtszustände der magnetischen Polarisation werden durch die Minimierung der totalen Gibbsschen freien Energie bestimmt. Die Minimierung der Energie erfolgt mit Hilfe einer
konjugierten Gradienten Methode. Das Energiefunktional wird durch die Methode der finiten Elemente und der Randelementmethode diskretisiert. Das Energiefunktional wird somit
zu einer Funktion, abhängig von den Werten der magnetischen Polarisation an den Eckpunkten des finiten Elementgitters. Speziell wird die Hybrid Finitelement/Randelement Methode
(FE/RE) für die Lösung des unbeschränkten Streufeldproblems angewandt.
Durch die sukzessive Berechnung von Gleichgewichtszuständen der magnetischen Polarisation, für verschiedene Stärken des äußeren Magnetfeldes, kann die Hysteresekurve bestimmt
werden. Die materialabhängigen, intrinsischen Parameter werden von Experimenten oder
von ab initio Computersimulationen entnommen. Es können beliebig geformte Magnete
simuliert werden. Da die Größe der finiten Elemente nicht wesentlich die typische Domänenwandbreite des betrachteten Materials übersteigen darf, um realistische Ergebnisse gewährleisten zu können, ist die Größe des Magneten durch die maximale Anzahl der finiten Elemente
beschränkt, die in einer angemessenen Zeit simuliert werden können.
Das Computerprogramm wurde angewandt um die Nukleationsbildung in SE-Magneten zu
simulieren. Speziell wurde der Einfluß von nicht idealen Korngrenzen auf die Koerzitivität
untersucht. Es stellte sich heraus, daß gestörte Korngrenzen die Koerzitivität um bis zu 80%
verringern können. Auch die Diskrepanz zwischen den theoretischen und den experimentell
beobachteten Nukleationsfeldern kann auf die intergranulare Phase zurückgeführt werden.
Sind bei idealen Korngrenzen vorwiegend Nukleationsprozesse für die Koerzitivität verantwortlich, kann im Fall von gestörten Korngrenzen dem Pinningmechanismus eine tragende
Rolle während des Ummagnetisierungsprozesses zugesprochen werden.
Wurde in der intergranularen Phase die Kristallanisotropie reduziert, konnte das aus Experimenten bekannte Phänomen, nämlich eine Erhöhung der Koerzitivität mit steigender Fehlorientierung der Körner, bestätigt werden.
5
Abstract
This thesis is based on the theory of micromagnetics, which describes the magnetic polarization as a continuous function of space. The minimization of the total Gibbs’ free energy,
implemented by a conjugate gradient method, leads to local equilibrium states of the magnetic polarization. Both, the finite element method and the boundary element method are
used to transform the energy functional into a function, depending on the magnetic polarization at the node points of the finite element mesh. The hybrid finite element/boundary element method is used to solve the magnetostatic boundary problem, which can be assigned to
the open boundary problems.
The hysteresis loop is obtained by subsequent minimization of the total energy for different
external fields. The intrinsic properties which define the magnetic material are taken from
experiments or from ab inito computer simulations. Magnets of arbitrary shape can be simulated. The size of each finite element may not exceed the thickness of the typical domain wall
width of the material, to provide an accurate solution. Hence the size of the magnet is limited
by the maximum number of elements, which can be simulated within reasonable time.
The computer program was used to simulate nucleation processes in RE-magnets. Respectively, the influence of defects and magnetic inhomogeneities on the coercive field was investigated. As a result of the computer simulations it has been found that intergranular areas with
reduced anisotropy may decrease the coercive field by about 80%. Also Brown’s paradox can
by attributed to the assumption of ideal grain boundaries. In this ideal case the coercivity is
determined by nucleation processes, whereas due to softmagnetic areas near grain boundaries
the pinning of domain walls becomes increasingly important.
Also the experimental result, that better alignment of the grains decreases the coercivity, will
be explained if the anisotropy is reduced near grain boundaries.
EINLEITUNG
6
1
EINLEITUNG
Schätzungsweise 50 - 60% der weltweit erzeugten elektrischen Energie wird für die Betreibung von Elektromotoren verwendet [38]. Motoren mit den höchsten Leistungsdichten werden durch die Verwendung von SE-Magneten, die zur Zeit besten Magneten, erreicht.
Motoren auf der Basis von SE-Magneten zeichnen sich weiters durch eine hohe Effizienz aus,
da keine Wärmeverluste bei der Erzeugung des Magnetfeldes auftreten.
Für kostengünstige magnetische Produkte werden vorwiegend die keramischen Ferrite verwendet, die mit 60% Marktanteil die weit aus gebräuchlichsten Magnete sind. Die magnetische Güte, die durch das maximale Energieprodukt (BH)max angegeben werden kann, ist bei
SE-Magneten um bis zu eine Zehnerpotenz größer als bei Ferriten. Daraus ergibt sich, daß
für die Erzeugung eines vergleichbaren magnetischen Feldes, das Volumen eines Ferriten
zehn mal dem eines SE-Magneten entsprechen muß. Nd-Fe-B Magnete, Vertreter von SEMagneten, die 1994 von Sagawa [45] und Croat [8] unabhängig eingeführt wurden, finden
ihre Hauptanwendung (57%) in Festplattenlaufwerken, für die Positionierung des Schreib/
Lesekopfes (“voice coil motor”). Neben der Anwendung in Elektromotoren (17%) werden
11% der SE-Magnete in Kernspintomographen eingesetzt. Die Bedeutung dieses Marktsektors liegt in der Tatsache, daß für einen Kernspintomographen mit dem ein Ganzkörperscan
durchgeführt werden kann, annähernd 4000 Kilogramm von Nd-Fe-B Magneten benötigt
werden. Durch das hohe Energiedichteprodukt von SE-Magneten ergeben sich neue Anwendungsmöglichkeiten und Technologien für Magnetwerkstoffe. So können zum Beispiel kleine
Hochleistungselektromotoren produziert werden, die direkt in die Räder eines Elektrofahrzeuges eingebaut werden können. Reibungsverluste durch das Getriebe, die Masse des Autos
und Kosten können somit reduziert werden. Ein Elektroauto [44] auf dieser Basis gewann
1996 die “World Solar Challenge”. Eine andere zukunftsträchtige Technologie ist die der
linearen Generatoren mit Permanentmagneten. Hier werden lineare Bewegungen, wie zum
Beispiel Vibrationen, das Drücken eines Knopfes, das Einführen einer Karte oder eines
Schlüssels in elektrische Energie umgewandelt. Diese Energie kann leistungsarmen Anwendungen, wie zum Beispiel Sicherheitsabfragen, zur Verfügung gestellt werden. Der Vorteil
gegenüber batteriebetriebenen, portablen Anlagen sind der geringe Wartungsaufwand, die
Langlebigkeit und die Umweltverträglichkeit.
EINLEITUNG
Nd-Fe-B Magnete finden sogar in der Freizeitindustrie ihre Anwendung. So sind bereits Schi
im Handel, bei denen Nd-Fe-B Magnete und eine elektrisch leitende Platte am Schi derart
angebracht werden, daß Induktionsströme, verursacht durch die Bewegung der elektrisch leitende Platte im Magnetfeld, Vibrationen des Schis dämpfen [57].
Bei allen diesen Anwendungen kann durch eine Erhöhung des maximalen Energieproduktes,
der SE-Magnete nicht nur die gewünschte Miniaturisierung, sondern auch ein geringerer
Preis, durch die Einsparung an den teuren seltenen Erden, erreicht werden.
Für Anwendungstemperaturen ab zirka 100 °C muß den teuren SmCo Magneten gegenüber
den Nd-Fe-B Magneten, die eine schlechte Temperaturstabilität des Koerzitivfeldes aufweisen, der Vorzug gegeben werden. Der Preis der einzelnen seltenen Erden hängt wegen der
gemeinsamen Gewinnung vorallem von der Nachfrage am Weltmarkt und vom Gesamtvorkommen in der Erdkruste ab. Nd kommt schätzungsweise fünf mal so häufig vor wie Sm.
Intensive Forschung wird daher betrieben um die Koerzitivität der vergleichbaren, billigen
Nd-Fe-B Magnete zu steigern, um somit Einsatzgebiete bei höheren Temperaturen erschließen zu können. Durch den Herstellungsprozeß kann die Mikrostruktur von Nd-Fe-B Magneten beeinflußt werden. Die Mikrostruktur beschreibt die verschiedenen magnetischen Phasen
aus denen der Magnet zusammengesetzt ist. Ziel der Untersuchungen ist, die Zusammensetzung der Mikrostruktur zu optimieren, um Magnete nach Maß herstellen zu können.
Maßgebend für die Koerzitivität eines Nd-Fe-B Magneten ist die hartmagnetische Nd2Fe14B
Phase. Der Grenzwert der Koerzitivität dieser Phase wurde von Brown abgeschätzt. Selbst
die modernsten Nd-Fe-B Magnete erreichen nur 50% dieses Grenzwertes. Diese Diskrepanz
ist unter dem Namen “Brownsches Paradoxon” bekannt, und muß vorallem der Mikrostruktur zugeschrieben werden. Ein anderer Effekt, der, wie in dieser Arbeit gezeigt wird, ebenfalls
nur unter Berücksichtigung der Mikrostruktur erklärt werden kann, ist der Anstieg des Koerzitivfeldes mit steigender Fehlorientierung der Körner. Dies steht im Einklang mit experimentellen Ergebnissen, im Widerspruch jedoch zu Theorien die den Einfluß der
Mikrostruktur nicht in Betracht ziehen.
Realistische Untersuchungen von Ummagnetisierungsprozessen unter Berücksichtigung der
Mikrostruktur können wegen der komplexen Geometrie nur numerisch erfolgen. In dieser
Arbeit wurde die Methode der finiten Elemente verwendet, um das Problem in eine für Computer lösbare Form zu bringen. Wegen der weiten Verbreitung der Methode der finiten Elemente stehen viele bewährte Programme, die als Grundlage verwendet werden können, zur
Verfügung.
7
ÜBERBLICK HARTMAGNETISCHER WERKSTOFFE
8
2
ÜBERBLICK HARTMAGNETISCHER WERKSTOFFE
2.1 Grundlegende magnetische Eigenschaften
Bei ferromagnetischen Stoffen besteht weder ein linearer, noch ein eindeutiger Zusammenhang zwischen der magnetischen Polarisation J und dem angelegten äußeren Feld H . Eine
typische Art, um diesen Zusammenhang zu beschreiben, ist die zum Feld parallele Komponente der magnetischen Polarisation als Funktion der Feldstärke darzustellen.
ext
Abbildung 2.1 zeigt die äußerste Hysteresekurve, die Remanenz
Sättigunspolarisation J das Keimbildungsfeld H und das Koerzitivfeld H .
s
,
N
Jr,
die
c
Mit einer entsprechenden Vorgeschichte des äußeren Feldes kann in dem Gebiet, das durch
die sogenannte Hysteresekurve eingeschlossen ist, jeder Punkt erreicht werden. Die im
Ursprung startende Kurve wird als Neukurve bezeichnet. Der Anstieg wird mit größer werdendem Feld immer kleiner und verschwindet schließlich, zumindest näherungsweise [1],
wenn die Sättigungspolarisation J erreicht ist. Die Sättigungspolarisation ist eine intrinsische
Eigenschaft des Materials und somit unabhängig von der Probengeometrie. Die Temperaturabhängigkeit der Sättigungspolarisation ist in Abbildung 2.2 dargestellt. In dieser Abbildung
ist die Temperatur auf die sogenannte Curietemperatur normiert. Überhalb der Curietemperatur
verschwindet die Sättigungspolarisation, falls kein äußeres Feld angelegt wird. Wird die Temperaturabhängigkeit in dieser normierten Darstellung gezeichnet, weicht sie für verschiedene
Ferromagnetische Stoffe kaum ab. Weitere Kenngrößen, die aus der Hysteresekurve abgeles
9
Js(T)/Js(0)
ÜBERBLICK HARTMAGNETISCHER WERKSTOFFE
Abbildung 2.2: Temperaturabhängigkeit der Sättigungsmagnetisierung [1].
sen werden können, sind das Koerzitivfeld Hc, das angibt bei welchem äußeren Feld die
magnetische Polarisation auf null abgenommen hat, und die Remanenz J . Von Brown [4]
wurde das Nukleationsfeld H eingeführt und als der Feldwert definiert, bei dem die magnetische Polarisation von der anfänglich homogenen Magnetisierungskonfiguration parallel zur
magnetischen leichten Richtung abzuweichen beginnt.
Bei Magneten, die aus mehreren Körnern bestehen und eine Verteilung der leichten Richtungen aufweisen oder inhomogene Streufelder besitzen, existiert eine homogene Magnetisierungskonfiguration nur im Grenzfall eines unendlich großen äußeren Feldes. Bei kleiner
werdendem Feld rotiert die Magnetisierung reversibel in Richtung der leichten Achse. Ab
einem bestimmten Wert des angelegten Gegenfeldes beginnt sich die Magnetisierung irreversibel in Feldrichtung zu drehen, was sich im allgemeinen als Knick in der Hysteresekurve
bemerkbar macht. Dieser kritische Feldwert bestimmt die neue Definition des Nukleationsfeld H .
Eine weitere Größe zur Beschreibung von irreversiblen Magnetisierungsprozessen ist das kritische Feld Hcrit [36]. Es bezeichnet die maximale Änderung der Magnetisierung im zweiten
oder dritten Quadranten der Hysteresekurve. Also den Wert des Feldes, bei dem die Suszeptibilität
r
N
N
dJ
χ = --------zdH z
(2.1)
maximal ist.
Nach Rave et al. [41] können kritische Punkte bestimmt werden indem lokal, in Bereichen in
denen die Nukleation erwartet wird, die transversale Suszeptibilität beobachtet wird. Die
ÜBERBLICK HARTMAGNETISCHER WERKSTOFFE
10
transversale Suszeptibilität wird als Ableitung der transversalen Komponente der Magnetisierung bezüglich der Feldrichtung eingeführt.
(2.2)
dJ ⊥
χ t = --------dH\\
Trägt man 1/χt2 als Funktion des angelegten Feldes auf, entspricht ein kritischer Punkt einer
Unstetigkeitsstelle.
Neben der oben erwähnten Art (J(Hext)) kann die Hysterese dargestellt werden, indem die
magnetische Induktion als Funktion des internen Feldes H , wobei H die Summe aus dem
Entmagnetisierungsfeld H (=das Streufeld im Inneren des Magneten) und dem äußeren Feld
H ist, angegeben wird.
m
m
d
ext
B = µ 0 H m + J = µ0 ( H m + M ) = µ 0 ( Hd + H ext + M ) ,
(2.3)
Das Entmagnetisierungsfeld kann mit Hilfe eines von der Geometrie abhängigen Faktors
abgeschätzt werden. Für eine homogen magnetisierte Kugel beträgt der Entmagnetisierungsfaktor N exakt 1/3. Im allgemeinen gilt
J
Hd ≈ – N ----µ0
,
(2.4)
Bei Hysteresemessungen, zum Beispiel mit einem Vibrationsmagnetometer, ist das interne
Feld nicht direkt meßbar. Bei Ellipsoiden kann bei bekanntem externem Feld das interne Feld
berechnet werden. Somit kann die Hysterese in der Form B(H ) angegeben werden. Dieser
Vorgang wird Entscheren genannt.
Das Problem des Entscherens kann vollkommen umgangen werden, wenn die Probe in
einem geschlossenen Kreis gemessen wird. Hier verschwindet der Entmagnetisierungsfaktor
und das äußere Feld entspricht dem inneren Feld. Abbildung 2.3 zeigt, wie die Hysteresekurve in einem geschlossenem Fluß gemessen werden kann. Im einfachsten Fall sind um eine
torusförmige Probe zwei isolierte Spulen gewickelt. Bei einer der beiden Spule wird ein Wechselstrom angelegt der ein H in der Probe erzeugt. Der zeitlich veränderliche Fluß induziert
in der zweiten Spule eine Spannung U(t). Die Integration der Spannungskurve U(t) liefert
einen zur magnetischen Induktion proportionalen Wert. In der Praxis erfolgen Hysterese
Messungen nicht an torusförmigen Proben, die bei vielen Verfahren gar nicht hergestellt werm
ext
ÜBERBLICK HARTMAGNETISCHER WERKSTOFFE
11
V
1.Spule
2.Spule
Abbildung 2.3: Theoretisch mögliche Anordnung zur Messung der Hysteresekurve in
einem geschlossenen magnetischen Kreis. Die magnetische Probe wird von zwei Spulen
umwickelt.
den könnten. (Komplizierte Geometrien können mit gebundenen Magneten erzeugt werden.
Diese haben aber den Nachteil schlechterer magnetischer Eigenschaften im Vergleich zu den
kompakten Ausgangsmaterialien) Die Messung erfolgt meist an länglichen Proben, bei denen
das Entmagnetisierungsfeld vernachlässigt werden kann.
Zu beachten ist, daß ein Permanentmagnet in der Praxis immer in einem offenen magnetischen Kreis arbeitet. Daraus ergibt sich ein Entmagnetisierungsfeld, das beispielsweise die
Remanenz des Magneten verglichen mit dem in einem geschlossenen Kreis gemessenen Wert,
erniedrigt. Für den Magneten in Abbildung 2.4 soll nun bei bekanntem Materialgesetz B(Hm)
das Entmagnetisierungsfeld abgeschätzt werden. Dies kann mit Hilfe der Maxwell Gleichungen geschehen.
Abbildung 2.4: Im linken Bild ist ein offener Magnetkreis zu sehen. Rechts wird durch
den Schnittpunkt der Loadline OC mit der Hysteresekurve der Arbeitspunkt P und
somit das Entmagnetiserungsfeld bestimmt [9].
ÜBERBLICK HARTMAGNETISCHER WERKSTOFFE
12
Aus,
und ∇ × H = 0 ,
folgen, bei Vernachlässigung von Streufeldverlusten, die zwei Gleichungen,
(2.5)
∇B = 0
Bg A = Bm A
und Hg lg
= – Hm l m .
(2.6)
Da die magnetische Polarisation von Luft vernachlässigt werden kann, ist Bg = µ0Hg. Es
ergibt sich die sogenannte Loadline.
l mö
B m ( H m ) = æè – ---- µ H ,
lg ø 0 m
(2.7)
Einerseits muß diese Gleichung gelten, um die Maxwellgleichungen für die bestimmte Geometrie erfüllen zu können, andererseits kennt man den allgemeinen Zusammenhang Bm(H )
aus der Hysteresekurve. Wird diese in einem geschlossenen Kreis gemessen, ist
B (H )=B (H ), da zu dem im Magneten wirksamen Feld H keine Streufelder hinzukommen.
Der Schnittpunkt der Loadline mit der äußersten Hysteresekurve ergibt den Arbeitspunkt des
Magneten. Wird die äußerste Hysteresekurve für die Bestimmung des Arbeitspunktes verwendet, wird vorausgesetzt, daß der Magnet zuvor gesättigt wurde. Der Arbeitspunkt gibt die
Remanenz und das Entmagnetisierungsfeld bei verschwindendem äußeren Feld an.
Multipliziert man die Gleichungen in (2.6) miteinander folgt:
ext
m
ext
m
m
m
µ0 H g2 Vg = ( B m Hm )Vm .
(2.8)
V und V beschreiben das Volumen des Spaltes beziehungsweise des Magneten. Um also
ein bestimmtes Feld in einem großen Spaltvolumen erzeugen zu können, muß entweder das
Volumen des Magneten oder das Energieprodukt B H groß genug sein. Der Name Energieprodukt kommt daher, daß Hg2 Vg direkt proportional zu der im Spalt gespeicherten Energie ist. Der maximale Wert des Energieprodukts ( Bm Hm )max kann aus der Hysteresekurve
bestimmt werden. Wird die Geometrie so gewählt, daß der Arbeitspunkt, der B und H
bestimmt, gleich dem ( Bm Hm ) max Punkt ist, wird das Material optimal ausgenutzt.
g
m
m
m
m
m
ÜBERBLICK HARTMAGNETISCHER WERKSTOFFE
13
2.2 Überblick über SE-Magnete
Die wichtigsten Kenngrößen von Permanentmagneten sind die Remanenz, das Koerzitivfeld,
die Curietemperatur und das maximale Energieprodukt. Um diese Faktoren zu erhöhen, müssen einerseits Materialien mit hohen Kristallanisotropien und hohen Sättigungspolarisationen
gesucht werden, andererseits spielt die Mikrostruktur, die durch den Herstellungsprozeß
beeinflußt werden kann, eine wichtige Rolle. Die Einführung kleiner hartmagnetischer Körner als dominierender Teil der Mikrostruktur führte zu einer bemerkenswerten Verbesserung
der magnetischen Eigenschaften [33]. Ein weiterer Meilenstein war die Entdeckung der
Nd2Fe14B durch Sagawa et al. [45]. 1987 wurde mit Nd-Fe-B Magneten zum ersten Mal das
maximale Energieprodukt von 400 kJ/m3 überschritten[47]. Abbildung 2.5 stellt die magnetischen Eigenschaften moderner hartmagnetischer Materialien gegenüber.
Abbildung 2.5: Magnetische Eigenschaften gängiger magnetischer Materialien [13]
Prinzipiell können Hartmagnete in zwei Hauptgruppen unterteilt werden: Einerseits in die
nanokristallinen Magnete und andererseits in Magnete mit Korngrößen im Mikrometerbereich, die beispielsweise durch das Sinterverfahren hergestellt werden können.
2.3 Magnete mit Körnern im Mikrometerbereich
Magnete, deren typische Korngrößen im Mikrometerbereich liegen, können in die Nukleationsmagnete und in die Pinningmagnete unterteilt werden. Der Unterschied dieser beiden
Typen kann am besten anhand der Neukurve erklärt werden. Startet man vom entmagnetisierten Zustand, gekennzeichnet durch viele Domänen die im Mittel kein Magnetfeld erge-
ÜBERBLICK HARTMAGNETISCHER WERKSTOFFE
14
ben, können beim Nukleationsmagnet diese Domänen leicht verschoben werden. Das führt
zu einem steilen Anstieg in der Neukurve. Die dauermagnetischen Eigenschaften kommen
hier nur zu Geltung, wenn die ursprünglichen Domänen durch ein großes äußeres Feld parallel ausgerichtet werden. Reduziert man das äußere Feld entstehen erst relativ spät Nukleationen, die sich aber leicht ausbreiten können und zur Entmagnetisierung führen.
Im Gegensatz dazu wird das Wachsen von Domänen in Pinningmagneten durch sogenannte
Pinningzentren gebremst. In Pinningzentren sind Domänenwände energetisch begünstigt
und werden somit festgehalten. Beispiele können nichtmagnetische Einschlüsse und Inhomogenitäten in der Kristallstruktur sein. In der Neukurve sind Pinnigmagnete an einem flachen
Anstieg erkennbar. Beispiele für Pinningmagnet sind die Sm(Co,Fe,Cu,Zr)7.5-8 Magnete [11].
Die Pinningzentren sind fein verteilte Sm(Co,Cu,Zr)5-7 Ausscheidungen mit reduzierter Sättigungspolarisation und reduzierter Austauschkonstante.
Kronmüller et al. [32] konnten zeigen, daß bei Magneten auf der Basis von Nd-Fe-B das Pinningfeld eines inhomogenen Bereichs stets kleiner als das Nukleationsfeld ist. Somit
bestimmt das Nukleationsfeld die Koerzitivität eines gesinterten Nd-Fe-B Magneten [32].
2.3.1 Nukleationsmagnete
Hn
Hc
Hn
Abbildung 2.6: (a) Hysteresekurve eines Nukleationsmagneten, (b) Hysterese eines
Pinningmagneten
Wie oben erwähnt, werden Nd-Fe-B Magnete üblicherweise den Nukleationsmagneten zugeordnet. Nd-Fe-B Magnete können durch das Sinterverfahren hergestellt werden. Bei diesem
Verfahren wird das hartmagnetische Ausgangsmaterial zuerst gemahlen. Anschließend wer-
ÜBERBLICK HARTMAGNETISCHER WERKSTOFFE
15
den die gemahlenen Körner in einem äußeren Feld ausgerichtet und unter Druck bei einer
Temperatur von über 1000°C verdichtet.
Um hohe Koerzitivfelder zu erhalten wäre optimal, wenn die hartmagnetischen Körner in
einer nichtmagnetischen Phase eingebettet wären. Unterschiedliche Kopplungen zwischen
den Körnern wurden in 2-dimensionalen Rechnungen anhand von Nd2Fe14B Körner untersucht [51]. Die Erhöhung des Koerzitivfeldes, falls die Körner nicht austauschgekoppelt sind,
Abbildung 2.7 zeigt das Koerzitivfeld in Abhängigkeit von der Zwischenkornwechselwirkung. (A) Isoliertes Korn (B) Durch eine 5nm dicke nichtmagnetische
Zwischenschicht isolierte Körner (C) Austauschgekoppelte Körner [51]
konnte festgestellt werden.
Da die Korngröße bei Nukleationsmagneten ungefähr um einen Faktor 100 größer ist, als die
typische Größe von Eindomänenteilchen, bilden sich Domänen innerhalb eines Kornes während des Entmagnetisierungsprozesses. Abbildung 2.8 zeigt eine kerrmikroskopische Aufnahme der Domänen in einem NdFeB Magnet. Die leichte Richtung steht senkrecht zur
Bildfläche. Das linke Bild stellt den thermisch entmagnetisierten Zustand dar. Aus Abbildung
2.9 kann geschlossen werden, daß die Körner (die am besten an den unterschiedlichen Graustufen im rechten Bild in Abbildung 2.8 erkannt werden können) nicht austauschgekoppelt
sind [25]. Dies kann an dem schwarz-weiß Übergang, der eine antiparallele Magnetisierungskonfiguration bedeutet, an der Korngrenze gesehen werden. Die antiparallele Orientierung
wird von dem Streufeld verursacht. Wären die Körner austauschgekoppelt, so würde sich
ÜBERBLICK HARTMAGNETISCHER WERKSTOFFE
16
Abbildung 2.8: Domänen in einem gesinterten NdFeB Magnet. (a) Der thermische
entmagnetisierte Zustand (b) Teilweise entmagnetisierte Zustand (c) Remanenter Zustand
nachdem kurze Zeit ein Feld von 4 T angelegt wurde. [25]
zumindest teilweise eine parallele Ausrichtung der Magnetisierung an der Korngrenze ergeben [25].
Abbildung 2.9: Vergrößerter Ausschnitt des linken
Bildes aus Abbildung 2.8. [25]
Das mittlere Bild in Abbildung 2.8 zeigt den entmagnetisierten Zustand, den man erhält,
wenn man von dem gesättigten Zustand ausgeht und ein Gegenfeld etwas größer als das
Koerzitivfeld anlegt.
Nach Fidler et al. [12] enthält die Mikrostruktur von Nd-Fe-B Magneten neben der hartmagnetischen Nd2Fe14B Phase mindestens noch fünf weitere Phasen. Die bevorzugten Zusammensetzungen der intergranularen Zwischenphasen bestehen aus Mischungen von Nd und
Fe. In Abbildung 2.10 sind die unterschiedlichen intergranularen Phasen zu erkennen. GB1
bezeichnet die Korngrenze ohne intergranulare Phase, GB2 eine Nd-reiche Phase.
Die Nd-reiche Zwischenkornphase ist für gute magnetische Eigenschaften des Magneten
maßgeblich verantwortlich.
Erstens führt sie wegen den nichtmagnetischen beziehungsweise paramagnetischen Eigenschaften zu der gewünschten Entkopplung der Körner, die wie oben erwähnt die Koerzitivi-
ÜBERBLICK HARTMAGNETISCHER WERKSTOFFE
17
Abbildung 2.10: (a) Multiphasen Mikrostruktur eines Nd-Fe-B Magneten nach Fidler et al.
[12] (b) [20]
tät des Magneten steigert. (Voraussetzung dafür ist eine feine homogene Verteilung an den
Korngrenzen.) Zweitens können eventuelle Defekte an der Korngrenze durch die Nd-reiche
Zwischenphase eliminiert werden, was zu einer weiteren Erhöhung des Koerzitivfeldes führt.
Wegen des niedrigen Schmelzpunktes der Nd-reichen Phase wird sie während des Sintervorganges verflüssigt. Das ist von Bedeutung, da der Kapillardruck neben der Oberflächenspannung die treibende Kraft für die Verdichtung des Magneten beim Sinterprozeß ist. Die Dichte
wiederum ist annähernd linear mit der Remanenz verbunden. Falls die Dichte nicht ca. 97%,
bezogen auf die theoretische Dichte des Materials, übersteigt, wirken sich hohe Dichten positiv auf die Koerzitivität aus (Abbildung 2.11).
Die Nd-reiche Phase oxydiert leicht. Deshalb muß unbedingt darauf geachtet werden, daß das
Sintern in einer sauerstoffarmen Umgebung durchgeführt wird.
Bei der Wahl der optimalen Korngröße ist zu beachten, daß zwar prinzipiell das Koerzitivfeld
mit kleiner werdener Korngröße steigt (Abbildung 2.12), jedoch gleichzeitig das Problem der
Oxydation, wegen des steigenden Verhältnisses von Kornoberfläche zu Kornvolumen, an
Bedeutung gewinnt.
Neben der Dichte ist für eine hohe Remanenz eine gute Ausrichtung der leichten Achsen und
ein hoher Anteil der magnetischen Phase nötig. Eine große Nd-reiche Phase wirkt sich somit
negativ auf die Remanenz und folglich auf das maximale Energieprodukt aus. Die Abhängigkeit der Remanenz und des Koerzitivfeldes von dem Volumenanteil der hartmagnetischen
Nd-Fe-B Phase ist in Abbildung 2.13 dargestellt.
Die beste Ausrichtung der Körner, die als Verhältnis von J /J angegeben wird, kann
momentan durch RIP (Rubber Isostatic Pressing) erreicht werden. Im Gegensatz zu Techniken, wo nur längs einer Achse gepreßt wird, und Ausrichtungen von 88% bis 92% erreicht
werden, wird beim RIP die Probe von einem Gummi umgeben. Nach dem Anlegen eines
r
sat
ÜBERBLICK HARTMAGNETISCHER WERKSTOFFE
Nd14,5 Fe 79B6,5
)
(T
Br
)
m
/
A
k
(
H
c
relative Dichte ( %)
Abbildung 2.11: Einfluß der relativen Dichte (ρ/ρmax) auf die Remanenz und das
Koerzitivfeld eines Nd14,5Fe79B6,5 Magneten. [28]
)
m
/
A
M
(c
)
T
(r
B
H
Volumenanteil von Nd2Fe 14B (% )
Abbildung 2.13: Die Remanenz B und das Koerzitivfeld
Volumenanteiles der hartmagnetischen Nd Fe B Phase. [28]
r
2
14
H
c
als Funktion des
18
ÜBERBLICK HARTMAGNETISCHER WERKSTOFFE
19
Nd 14,5Fe 79B6,5
)
m
/
A
k
(
H
c
mittlere Korngröße (µm)
Abbildung 2.12: Abhängigkeit des Koerzitivfeldes von der mittleren Korngröße der
hartmagnetischen Phase. [28]
starken äußeren Magnetfeldes wird der Gummibehälter, der seitlich von fixen Wänden
beschränkt ist, parallel zu den Seitenflächen komp. Es entsteht ein gleichmäßiger Druck auf
die Probe, der die ausgerichteten Körner nur wenig stört.
2.4 Nanokristalline Magnete
Bei nanokristallinen Magneten sind die Körner genügend klein (bis ca. 100 nm), daß sich
innerhalb eines hartmagnetischen Korns keine Domänen ausbilden können. Die ersten nanokristallinen Magnete waren die Alnico Legierungen die von T. Mishima 1931 eingeführt wurden und bis heute die temperaturstabilsten Magnete sind. Diese Magnete bestehen aus FeCo
Legierungen (große magnetische Polarisation, kleine Kristallanisotropie) die in eine nichtmagnetische NiAl Matrix eingebettet sind. Durch spezielle Abkühlungstechniken lagern sich die
FeCo-Legierungen in nadelförmigen Bereichen ab, deren Richtungen annähernd parallel sind.
Somit kann auf Grund der Formanisotropie der nadelförmigen magnetischen Bereiche ein
relativ hohes Koerzitivfeld erreicht werden.
Einige Techniken können verwendet werden, um aus hartmagnetischen großkörnigen Ausgangsmaterialien nanokristalline Magnete herzustellen. (rapid quenching, mechanical alloying,
HDDR). Alle diese Methoden erzeugen ein feines Pulver, das anschließend zu einem nanokri-
ÜBERBLICK HARTMAGNETISCHER WERKSTOFFE
20
stallinen Magneten gepreßt wird. Die dafür verwendeten Methoden sind unter den Namen,
resin bonding, hot pressing und die-upsetting, bekannt.
Coehoorn et al. [7] entdeckten, daß durch Einbetten eines weichmagnetischen Materials mit
großer magnetischer Polarisation eine Remanenzerhöhung in nicht orientierten nanokristallinen Magneten erreicht werden kann. Wegen den zufälligen Anisotropierichtungen in den
hartmagnetischen Körnern zeigt im remanenten Zustand die magnetische Polarisation bevorzugt in Richtung der anfänglichen Sättigung. (Anisotropieenergie ist bei uniaxialen Materialien
180° periodisch). Da die hartmagnetischen und die weichmagnetischen Körner austauschgekoppelt sind, wird die Magnetisierung der magnetischen Körner in Richtung der ursprünglichen Sättigung gedreht. Die Remanenz wird somit erhöht.
Abbildung 2.14: Qualitatives Bild, das die Erhöhung der Remanenz durch den
weichmagnetischen (dunkelgrau) Phasenanteil veranschaulicht. Die hart-magnetische Phase
(hellgrau), deren leichte Richtungen zufällig verteilt sind und somit bevorzugt in Richtung
der anfänglichen Sättigung zeigen, richtet die weichmagnetische Phase aus.
MIKROMAGNETISMUS
21
3
MIKROMAGNETISMUS
3.1 Grundlegendes
Der Mikromagnetismus, der von Landau und Lifshitz [35] sowie Brown [3] begründet wurde,
ist eine Kontinuumstheorie. Das heißt, die diskreten magnetischen Momente an den Atompositionen werden durch die kontinuierliche Funktion der Magnetisierung ersetzt. Daraus
wird ersichtlich, daß der Mikromagnetismus nicht zur Untersuchung von magnetischen Phänomenen im atomaren Bereich herangezogen werden kann. Der Mikromagnetismus kann
angewandt werden, um die Ortsabhängigkeit oder auch die dynamische Entwicklung der
Magnetisierung bei bekannten Materialparametern (Austauschkonstante, Kristallanisotropiekonstante, magnetische Polarisation) bestimmen zu können.
Mit Hilfe der Thermodynamik kann gezeigt werden, daß der wahrscheinlichste Zustand des
magnetischen Systems die freie Enthalpie
ò
1
Etot = U – TS + pV – ----- H ext J s dV ,
µ0
(3.1)
minimiert. U ist die innere Energie, T die absolute Temperatur, S die Entropie, p der Druck
und V das Volumen des Magneten. Werden magnetoelastische Prozesse vernachlässigt und
somit das Volumen konstant gehalten reduziert sich Glg. 3.1 bei T=0 auf,
1
Etot = U – ----- H ext J s dV + konst .
µ0
ò
(3.2)
Die innere Energie kann aus der Streufeldenergie Es, der Austauschenergie Eex und der Kristallanisotropieenergie Eani zusammengesetzt werden. Die totale Gibbssche freie Energie
setzt sich somit aus den vier Energiebeiträgen,
Etot = E H + Es + Eex + E ani ,
(3.3)
zusammen, die im Rahmen des Mikromagnetismus als Funktion der Magnetisierung dargestellt werden können. Der Hollstein-Primakoff-Effekt [26], also die Abhängigkeit des Betra-
MIKROMAGNETISMUS
22
ges der Magnetisierung vom angelegten äußeren Feld, wird dabei vernachlässigt. Beim
statischen Mikromagnetismus wird der Gleichgewichtszustand der Magnetisierungskonfiguration bestimmt, indem ein lokales Minimum der Energie gesucht wird.
3.2 Energiebeiträge
3.2.1 Austauschenergie
Der mikromagnetische Energieterm für die Austauschenergie kann aus der Quantenmechanik abgeleitet werden. Der Ausgangspunkt ist der Hamiltonoperator
N
N
H =
å
i=1
1 1
H i + --- -----------2 4πε 0
å e----r 2
iàj
ij
,
(3.4)
wobei
h2
H i = – --------- ∆ i + V i .
2m e
(3.5)
N entspricht der Anzahl der Elektronen. Vi ist das Potential das von den M Ionen an der
Position des i-ten Elektrons verursacht wird. Diesem Modell liegt die Annahme zugrunde,
daß die inneren Elektronen fest an den Kern gebunden sind und nur die Wellenfunktion der
Elektronen der äußersten Schale miteinander wechselwirken. Die inneren Elektronen werden
mit ihrem zugehörigen Kern als Ion zusammengefaßt. Wie aus Glg. 3.4 und Glg. 3.5 ersichtlich, hängt der Hamiltonoperator bei Vernachlässigung der Spin-Bahn Kopplung nicht direkt
vom Spinanteil der Wellenfunktion ab. Der Gesamtzustand kann also als Produkt des Ortsvektors und des Spinvektors dargestellt werden. Da aber der Gesamtzustand für Elektronen,
also für Fermionen, antisymmetrisch sein muß, bedingt ein symmetrischer Ortsteil einen antisymmetrischen Spinvektor und umgekehrt, ein antisymmetrischer Spinteil einen symmetrischen Ortsteil. Somit ändert der Spin auf Grund des Pauli Prinzips die Ortswellenfunktion,
was eine Änderung der Energie wegen der elektrostatischen Wechselwirkung bewirkt. Eine
mathematische Vorgangsweise um die Spinabhängigkeit der Energie zu zeigen, kann gemäß
dem Hartree-Fock Verfahren durchgeführt werden. Die Gesamtwellenfunktion kann mit
Hilfe einer Slater-Determinante
MIKROMAGNETISMUS
ϕ 1 ( q1 ) … ϕ 1 ( q N )
1
Ψ ( q 1, q 2, …, q n ) = ---------N!
… … …
ϕ N ( q 1 ) … ϕ N ( qN )
23
(3.6)
angesetzt werden. Dadurch wird die Antisymmetrie der Gesamtwellenfunktion gewährleistet.
Vertauschen zweier Spalten, was dem Vertauschen zweier Elektronen entspricht, ändert das
Vorzeichen der Wellenfunktion. Somit handelt es sich tatsächlich um einen fermionischen
Zustand. Die Einteilchenzustände
ϕ k ( q i ) = ϕ k ( r i ) |s z, kñ
, i=1,....,N
(3.7)
sind ein Produkt aus Orts- und Spinteil. Da
E0 = min áψ|H |ψñ , mit áψ|ψñ = 1
(3.8)
kann aus der Variation
æ
æ
è
è
δ ç áψ|H |ψñ – ç
åε
ij áϕ i|ϕ jñ
öö
+ δ ij÷ ÷ = 0
i, j
øø
(3.9)
eine Näherungslösung für die Gesamtwellenfunktion bestimmt werden. Dazu werden plausible Ansätze für die N Einteilchenwellenfunktionen für die Berechnung des Hartree-Potential
angesetzt. Durch Lösen der Hatree-Fock Gleichungen können die Einteilchenwellenfunktionen für die nächste Iteration bestimmt werden.
Der zweite Term in Glg. 3.9 gewährleistet die Orthogonalität der Einteilchenzustände und die
Erhaltung der Norm. ε ist der Lagrangeparameter. Aus
ij
áψ apr |H |ψ aprñ
1
= α – --2
å
i, j
iàj
δ s zi, s zj
òò
e2
ϕ i ( r )ϕ j ( r′ ) --------------- ϕ j ( r )ϕ i ( r′ ) dr dr′
r – r′
(3.10)
läßt sich die Spinabhängigkeit der Gesamtenergie erkennen. α ist ein spinunabhängiger Energieterm. Der letzte Term in Glg. 3.10 ist die Austauschenergie. Der spinabhängige, sogenannte Heisenberg Hamiltonoperator kann für ein Spin 1/2 System [24] geschrieben werden
als
MIKROMAGNETISMUS
H
spin
24
åJ S S ,
(3.11)
e2
ϕ i ( r )ϕj ( r′ ) --------------- ϕ j ( r )ϕ i ( r′ ) dr dr′ ,
r – r′
(3.12)
= –2
ij i j
i>j
wobei
J i, j = 2
òò
das Austauschintegral bezeichnet. Der Heisenberg Hamiltonoperator ist vollkommen isotrop,
somit hängen die Energiezustände nicht von der Magnetisierungsrichtung ab.
Aus der Heisenbergschen Austauschenergie nach Glg. 3.11 läßt sich ein Kontinuumsausdruck
ableiten[4], falls die benachbarten Spins einen hinreichend kleinen Winkel miteinander einschließen. Für den Fall eines hexagonalen oder tetragonalen Kristalls mit nur einer leichten
Magnetisierungsrichtung gilt:
Eex =
ò J----- [ A ( ∇J )
1
2
s
⊥
x
2
+ A⊥ ( ∇J y ) 2 + A// ( ∇J z ) 2 ] dV
(3.13)
und A// bezeichnet die Austauschkonstante normal beziehungsweise parallel zur c-Achse.
Experimente haben gezeigt, daß normalerweise nicht zwischen A ⊥ und A // unterschieden
werden muß. Die Austauschkonstante hängt mit dem Austauschintegral J und dem Spin S wie
folgt zusammen:
A⊥
2
2
A = cJS
----------- = bJJ
----------- = βJ 2
a
a
,
(3.14)
wobei a die Gitterkonstante ist. c, b und β sind Proportionalitätskonstanten.
3.2.2 Zeeman Energie
EH ist die Zeeman Energie, die minimal wird, wenn die magnetische Polarisation in Richtung
des äußeren Feldes H zeigt. Der Energieausdruck lautet,
ext
ò
E H = – JH ext dV
.
(3.15)
MIKROMAGNETISMUS
25
3.2.3 Streufeldenergie
Die Streufeldenergie ist gegeben durch:
1
Es = – --2
ò
1
JH s dV = --- µ 0 Hs2 dV ,
2
(3.16)
ò
∞
Probe
wobei H das durch die magnetische Polarisation verursachte Streufeld ist. H ist gegeben
durch:
s
s
1
H s = -----------4πµ 0
( r – r′ )ρ ( r′ )
( r – r′ )σ ( r′ )
- dV – ------------------------------ dF
ò ----------------------------r – r′
°ò r – r′
V
,
(3.17)
F
mit,
(3.18)
(3.19)
ρ( r ) = –∇J ( r )
in
σ ( r ) = nJ ( r )
n bezeichnet den Normalvektor auf der Oberfläche F. Wird Glg. 3.17 zum Beispiel mit Hilfe
der finiten Element Methode diskretisiert, kann die k-te Komponente des Streufeldes in der
Form
N
H s, k =
åD J
(3.20)
ij j
j=1
geschrieben werden. D ist eine vollbesetzte NxN Matrix, wobei N die Anzahl der Gitterpunkte, auf denen das Feld ausgewertet wird, bezeichnet. Der Rechenaufwand ist somit von
der Ordnung N . Effizientere Methoden werden im Kapitel 5.2 vorgestellt. Diese gehen von
einer differentiellen Formulierung des Streufeldproblems aus.
ij
2
(3.21)
H s = – ∇u
∇J
∆u = ---------s ,
µ0
1
u ∝ --r
für r → ∞
(3.22)
Aus Glg. 3.22, die im gesamten Raum gültig ist, folgen die Übergangsbedingungen an der
Grenze des magnetischen Bereichs.
MIKROMAGNETISMUS
J
( ∇u out – ∇u in )n = n ----µ0
26
(3.23)
Rand
(3.24)
u out = u in
3.2.4 Anisotropieenergie
Der Grund für die magnetokristalline Anisotropie ist die Spin-Bahn Kopplung. Die Elektronenverteilung ist mit der Kristallstruktur gekoppelt und die Wechselwirkung mit den Spins
läßt diese bevorzugt in bestimmte kristallographische Achsen zeigen. Die Kristallanisotropieenergie ist also von der Orientierung der magnetischen Polarisation abhängig. Der Energieterm muß invariant gegenüber Symmetrieoperationen sein, die den Kristall in sich selbst
überführen, wie zum Beispiel eine 90° Drehung eines kubischen Kristalles um seine Kristallachse. Die Kristallanisotropie ist meist klein, verglichen mit der Austauschenergie.
Für magnetische Materialien mit hexagonalem Gitter nimmt der Energieausdruck die folgende Form an:
Eani = K 1 ( sin α ) 2 + K 2 ( sin α ) 4 + … ,
(3.25)
wobei α der Winkel der Polarisation zur leichten Richtung ist. Bezeichnet man die Richtung
der leichten Achse mit k, kann Glg. 3.25 geschrieben werden als,
J 2
J 2
Eani = K 1 1 – æè ---- köø + K 2 1 – æè ---- köø
Js
Js
2
+ …,
(3.26)
wobei |k|=1.
3.3 Statischer Mikromagnetismus
Beim statischen Mikromagnetismus werden lokale Minima der totalen Gibbsschen freien
Energie gesucht, wobei der Weg den die Magnetisierung in das Minimum nimmt nicht näher
bestimmt wird und vom Lösungsverfahren abhängt. Abhängig vom äußeren Feld ändert sich
die Lage des Minimums. Das äußert sich in der Magnetisierungskonfiguration durch reversible Drehprozesse. Bei bestimmten Feldwerten kann jedoch das Minimum zu einem Sattelpunkt werden und das System strebt gegen ein anderes Minimum. Diese Punkte nennt man
Verzweigungs- oder Bifurkationspunkte. Ein Beispiel für einen Verzweigungspunkt ist der
MIKROMAGNETISMUS
27
Übergang von einem Flower- zu einem Vortexzustand bei einem Würfel mit der Kantenlänge
12.4Lex und einem äußeren Feld von 0.09 H/Ms [37]. Ein anderes Beispiel ist das Nukleationsfeld.
Welchem Minimum das System zustrebt, kann von der Minimierungsmethode abhängen.
(Wird beispielsweise das Newtonverfahren an Sattelpunkten angewandt, kann die Lösung von
einer Iteration zur nächsten einen großen Sprung machen, da die Ableitung der Energie sehr
klein ist.)
Prinzipiell kann unterschieden werden ob direkt die Energie minimiert wird, wie zum Beispiel
mit der Methode der konjugierten Gradienten, oder ob die Gleichung
δE tot
------------ = 0, mit
δJ
(3.27)
J = Js
gelöst wird. Die Funktionalableitung mit der Nebenbedingung der Erhaltung der Norm von
J, also der linke Ausdruck in Glg. 3.27, kann, wie im folgenden gezeigt wird, analytisch
berechnet werden. Die resultierenden Gleichungen werden Brownsche Gleichungen genannt.
3.3.1 Variation der Energie
Im folgenden wird der Übersichtlichkeithalber jeder Energieterm einzeln variiert, wobei stets
im Auge zu behalten ist, daß um die Brownschen Gleichungen zu erhalten, die gesamte Energie variiert werden muß. Wie im Kapitel 3.3.1.4 noch näher erklärt wird, erhält man das
gesamte effektiven Feld, indem man die Summe der einzelnen effektiven Felder bildet.
3.3.1.1 Kurz und klar: Funktionale
Ein Funktional ist eine Abbildung aus einem Funktionenraum in die reellen oder komplexen
Zahlen,
Φ : f ∈ X → Φ [ f] ∈ C
Die Funktionalableitung oder auch Frechetableitung
werden:
æ Φ[f
è
δΦ
+ h ] – Φ [ f ] – æ -------, hö ö = o ( h )
è δf
øø
,
δΦ
------δf
(3.28)
kann im L2 wie folgt definiert
(3.29)
MIKROMAGNETISMUS
28
wobei o ( h ) schneller als linear in der L2- Norm verschwindet. Das heißt man ändert das
Argument um einen additiven Beitrag f → f + h und entwickelt, wenn möglich das Funktional in eine Taylorreihe nach h. Der Koeffizient vor dem linearen Term entspricht der Funktionalableitung.
ò
Φ [ f + h ] ≈ ( α + βh + … ) dx
β = δΦ
------δf
(3.30)
3.3.1.2 Zeeman Energie
Gesucht ist die Magnetisierungskonfiguration bei der die Zeeman Energie mit der Nebenbedingung der Erhaltung der Norm der magnetischen Polarisation einen Extremwert annimmt.
In diesem Extrempunkt darf eine kleine Änderung der Magnetisierung die Energie erst in
zweiter Ordnung ändern. Das heißt,
δE H
---------- = 0, mit
δJ
J = Js
ò
EH = – JH ext dV
(3.31)
(3.32)
Die Nebenbedingung der Erhaltung der Norm von J kann mit Hilfe eines Lagrangemultiplikators realisiert werden. Einfachheitshalber werden im folgenden die Rechnungen nur in zwei
Dimensionen durchgeführt. Die Erweiterung ins Dreidimensionale birgt weiters keine Probleme.
ò
E˜H = – J H ext + λ ( J 12 + J 22 – J s2 ) dV
J = Js u
ò
E˜H = – J s u H ext + λJ s2 ( u 12 + u22 – 1 ) dV
(3.33)
MIKROMAGNETISMUS
29
δẼ H
---------- = 0
δu 1
(3.34)
δẼ H [ u 1, u 2, λ ] = 0 ⇔ δẼ
---------H- = 0
δu 2
δẼ
---------H- = 0
δλ
Um die Funktionalableitungen bestimmen zu können, addiert man zu den Unbekannten der
Energie beliebige Funktionen und entwickelt jeweils in eine Taylorreihe.
u 1 ( x ) = u˜1 ( x ) + δu 1 ( x )
(3.35)
u 1 ( x ) = u˜1 ( x ) + δu 1 ( x )
λ ( x ) = λ̃ ( x ) + δλ ( x )
ò [ …] + [ –J H + 2J λ̃u˜ ]δu + [ … ]δu
E˜ [ u˜ , u˜ + δu ( x ), λ̃ ] = [ … ] + [ – J H + 2J λ̃u˜ ]δu + [ … ]δu
ò
E˜ [ u˜ , u˜ , λ̃ + δλ ( x ) ] = [ … ] + J ( u˜ + u˜ – 1 )δλ + [ … ]δλ
ò
E˜H [ u˜1 + δu1 ( x ), u˜2, λ̃ ] =
H
1
2
H
1
2
1
2
s
s
1
2
s
1
1
1
s
2
2
s
2
2
2
2
1
2
2
2
2
(3.36)
2
(3.37)
(3.38)
Durch Koeffizientenvergleich folgen aus den Gleichungen (3.36) bis (3.38) die Funktionalableitungen.
δẼ
---------H- = – J s H 1 + 2J s2 λ̃u˜1 = 0
δu 1
δẼ H
---------- = – J s H 2 + 2J s2 λ̃u˜2 = 0
δu 2
(3.39)
δẼ H
---------- = J s2 ( u˜1 2 + u˜2 2 – 1 ) = 0
δλ
Das Gleichungssystem (3.39) kann auch in der Form,
J × Hext = 0
(3.40)
MIKROMAGNETISMUS
30
(3.41)
J = Js
geschrieben werden. Wie später noch zu sehen ist, können alle Energieterme nach der Variation in der Form
(3.42)
(3.43)
J × Heff = 0
J = Js
geschrieben werden. Hext ist der Beitrag vom äußeren Feld zum sogenannten effektiven Feld.
Wie aus Glg. 3.39 zu erkennen ist, kann dieser Beitrag berechnet werden, indem die negative
Funktionalableitung, ohne Berücksichtigung der Erhaltung der Norm von J gebildet wird
(λ=0).
δE mag
– -------------- = Hext
δJ
(3.44)
Analoges kann bei allen anderen Energietermen durchgeführt werden.
3.3.1.3 Streufeldenergie
Mit Hilfe des allgemeinen Theorems,
ò HBdV = 0 ,
(3.45)
∞
wobei über den gesamten Raum zu integrieren ist, folgt aus dem mittleren Term in Glg. 3.16
( u ↔ φ ) und B=µ0H+J,
µ0
ES = ----- ( ∇φ ) 2 dV
2
ò
.
(3.46)
Der Energieausdruck (Glg. 3.46) wird im folgenden mit der Nebenbedingung der Erhaltung
der Norm von Js variiert. Außerdem wird die Poissongleichung (Glg. 3.22) für das magnetische Potential, mit Hilfe eines Lagrangemultiplikators berücksichtigt.
E˜S =
ò
J s ∇u
( ∇φ ) 2
µ 0 -------------- + τ ∆φ – ----------- + λJ s2 ( u 12 + u 22 – 1 ) dV
2
µ0 (3.47)
MIKROMAGNETISMUS
31
Ersetzt man in Glg. 3.47 die Variablen nacheinander, durch die Variablen plus der Variation,
folgt:
E˜s [ u˜1 + δu 1, u˜2, φ̃, τ̃, λ̃ ] =
E˜s [ u˜1, u˜2 + δu 2, φ̃, τ̃, λ̃ ] =
ò
J ∂
[ … ] + – τ -----s ----- + 2λJ s2 ũ 1 δu 1 + [ … ]δu 1 2 dV
µ 0 ∂x
(3.48)
ò
J ∂
[ … ] + – τ -----s ----- + 2λJ s2 ũ 2 δu 2 + [ … ]δu 1 2 dV
µ 0 ∂y
(3.49)
µ
[ … ] + -----0 ( 2 ∇φ̃∇ + λ̃∆ ) δφ + [ … ]δφ 2 dV
2
Js
[ … ] + ∆φ̃ – ----- ∇u˜ δτ + [ … ]δτ 2 dV
µ0
(3.50)
+ u˜2 2 – 1 ) ]δλ + [ … ]δλ 2 dV
(3.52)
ò
E˜ [ u˜ , u˜ , φ̃, τ̃ + δτ, λ̃ ] =
ò
E˜ [ u˜ , u˜ , φ̃, τ̃, λ̃ + δλ ] = [ … ] + [ J ( u˜
ò
E˜s [ u˜1, u˜2, φ̃ + δφ, τ̃, λ̃ ] =
s
1
2
s
1
2
2
s
1
2
(3.51)
Glg. 3.50 wurde unter Beachtung von, ( ∇( φ̃ + δφ ) ) 2 = ∆φ̃ + 2∇φ̃∇δφ + ∆δφ , umgeformt.
Glg. 3.48 bis Glg. 3.50 enthalten Ableitungen der Variationen. Um δu1 bzw. δu2 von der
Ableitung zu befreien, muß partiell integriert werden. Die daraus resultierenden Oberflächenterme verschwinden, weil die magnetische Polarisation im Unendlichen null ist. Somit können
Glg. 3.48 und Glg. 3.49 nach Potenzen von δu1 beziehungsweise δu2 entwickelt werden.
Der Koeffizient vor dem linearen Term entspricht jeweils der Funktionalableitung.
J ∂τ̃
δẼ s
-------- = -----s ----- + 2J s2 λ̃u˜1 = 0
µ 0 ∂x
δu 1
(3.53)
J s ∂τ̃
δẼ
--------s = ----- ----- + 2J s2 λ̃u˜2 = 0
µ 0 ∂y
δu 2
(3.54)
Sowohl der Gradient als auch der Laplace-Operator in Glg. 3.50 können mit der Beziehung
Glg. 3.55 auf den jeweils anderen Faktor gebracht werden ( ∆ = ∇∇ ). Die Oberflächenintegrale verschwinden, da die Variation δφ und ∇δφ = δ∇φ an der Oberfläche im Unendlichen verschwinden muß, um die Randbedingung φ̃ = 0 und ∇φ̃ = H = 0 im
Unendlichen stets zu erfüllen.
ò Ψ ∇fdV = – ò ∇Ψ f dV + ò ΨnfdA
v
Glg. 3.50 wird zu,
v
A
(3.55)
MIKROMAGNETISMUS
E˜s [ u˜1, u˜2 + δu 2, φ̃, τ̃, λ̃ ] =
ò ( ∆τ̃ – µ ∆φ̃ )δφdV +konst. und quad. Terme.
0
32
(3.56)
Aus Glg. 3.56 folgt
δẼ
--------s = ∆τ̃ – µ 0 ∆φ̃ = 0
δφ
(3.57)
Die Variationsableitungen nach τ und λ können einfach berechnet werden und lauten:
δẼ s
∇J-ö = 0
-------- = æè ∆φ̃ – -----µ0 ø
δτ̃
(3.58)
δẼ s
-------- = J s2 ( u˜1 2 + u˜2 2 – 1 ) = 0
δλ
(3.59)
Aus Glg. 3.53, Glg. 3.54 und Glg. 3.57 ergibt sich,
∂φ̃
∂φ̃
J s æè ------ u 2 – ------ u 1öø = 0 = Hs xJ
∂x
∂y
∇J
∆φ̃ = -----µ0
, wobei
(3.60)
(3.61)
Hätte man die Summe (=Zeeman Energie plus Streufeldenergie) variiert, müßte der Koeffizient vor δu1 in Glg. 3.48 und in Glg. 3.36 addiert werden. Der Term mit dem Lagrangeparameter λ muß einmal weggelassen werden, da bei der Variation der gesamten Energie
natürlich nur einmal der Lagrangeterm zur Erhaltung der Norm eingeführt werden muß.
Analoges gilt für Glg. 3.47 und Glg. 3.37. Alle anderen Funktionalableitungen können und
müssen einzeln null gesetzt werden, da sie linear unabhängig sind. Somit folgt aus der Variation der Zeeman Energie plus der Streufeldenergie unter Beachtung der Erhaltung der Norm
von J .
s
( H H + H s )xJ = 0
(3.62)
MIKROMAGNETISMUS
33
3.3.1.4 Austauschenergie
Die Austauschenergie ist gegeben durch
ò A[ ( ∇u )
E ex =
1
2
ò
[ u˜ + δu ] = A [ ( ∇u˜ ) + ∇ ( u˜ + δu ) ] + λJ [ u˜ + ( u˜ + δu )
ò
[ λ̃ + δλ ] = A [ ( ∇ũ ) + ∇ũ ] + ( λ̃ + δλ )J [ ũ + ũ – 1 ] dV
ò
Ẽ ex [ u˜1 + δu 1 ] =
Ẽ ex
(3.63)
+ ( ∇u 2 ) 2 ] dV
A [ ( ∇ ( u˜1 + δu 1 ) ) 2 + ∇u˜2 2 ] + λJ s2 [ ( u˜1 + δu 1 ) 2 + u˜2 2 – 1 ] dV
2
2
2
2
1
Ẽ ex
1
2
2
2
2
s
2
2
2
s
2
1
2
1
2
2
2
– 1 ] dV
2
2
Behält man nur die Terme erster Ordnung bei und wendet man Glg. 3.55 an, folgt:
ò
ò
ò
Ẽ [ u˜ + δu ] = – 2A∆u˜ δu dV + 2∇u˜ δu dA + 2λJ u˜ δu dV
ò
ò
ò
Ẽ [ λ̃ + δλ ] = J ( 1 – ( u˜ + u˜ )δλ ) dV
ò
Ẽex [ u˜1 + δu 1 ] = – 2A∆u˜1 δu 1 dV + 2∇u˜1 δu 1 dA + 2λJ s2 u˜1 δu 1 dV
ex
2
ex
2
2
2
s
2
2
2
1
2
2
2
2
s 2
2
(3.64)
(3.65)
(3.66)
Aus Glg. 3.64 und Glg. 3.65 folgt im Inneren des Magneten,
A∆u 2
A∆u
- ⇔ æ – 2A
------- ∆u × Jö = 0
------------1- = -----------2
è
ø
2
Js
Js u2
Js u1
für r ∈ Ωin
(3.67)
und an der Oberfläche,
æ n∇J 1ö
è n∇J 2ø
∂J
= ------ = 0 , für r ∈ ∂Ω in
∂n
(3.68)
3.3.1.5 Anisotropieenergie
Die Variation der Kristallanisotropieenergie (3.69),
J 2
E ani = K 1 1 – æè ---- köø
Js
(3.69)
MIKROMAGNETISMUS
34
kann analog zur Variation der Zeeman Energie durchgeführt. Man erhält:
2æ --K ( uk )köø
èJ 1
s
(3.70)
×J = 0
3.3.1.6 Zusammenfassung
Die Variation der totalen Energie mit der Nebenbedingung der Erhaltung der Norm von J,
δEtot
------------ = 0, mit
δJ
Etot =
ò
J = Js
æ A [ ( ∇u ) 2
1
è
führt auf
Heff × J = 0
und
J 2 1
+ ( ∇u 2 ) 2 ] + K 1 1 – æ ---- kö – --- JHs – JH extö dV ,
èJ ø
ø
2
s
in r ∈ Ω in , wobei
2A
2
Heff = – ------- ∆u + ---- K 1 ( uk )k + HS + H ext ,
Js
Js
(3.71)
(3.72)
(3.73)
(3.74)
und
∂J
------ = 0 , auf r ∈ ∂Ω in
∂n
(3.75)
Andererseits kann H erhalten werden, wenn die negative Funktionalableitung der Energie,
ohne der Nebenbedingung der Erhaltung der Norm von J, gebildet wird. Also
eff
– δE
------ = H eff
δJ
(3.76)
3.3.2 Beispiel: Hysterese eines Eindomänenteilchens
Wie im Kapitel “Untersuchungen zur Nukleationsbildung in SE-Magneten” auf Seite 70
beschrieben wird, ist für sehr kleine kugelförmige Teilchen die homogene Rotation die
Ummagnetisierungsmode mit dem betragsmäßig kleinsten Koerzitivfeld. Das heißt, obwohl
auch andere Moden wie das Curling oder Buckling Lösungen der Brownschen Gleichungen
MIKROMAGNETISMUS
35
sind, diese aber erst bei negativeren Feldwerten vorkommen, können sie nicht beobachtet
werden.
Betrachtet werden also kugelförmige Teilchen, die klein genug sind, daß die Austauschwechselwirkung eine parallele Stellung der Magnetisierung erzwingt. Der Austauschterm bleibt
somit während des ganzen Ummagnetisierungsprozesses konstant und trägt zur Lage der
Gleichgewichtszustände nicht bei. Es wird eine uniaxiale Anisotropie angenommen, wobei
das Teilchen in Richtung dieser Achse gesättigt wird. Das äußere Feld wird parallel zu dieser
Achse angelegt. Es handelt sich somit um einen Spezialfall aus dem Stoner-Wohlfahrt Modell.
Die Energie in Abhängigkeit vom Winkel ϕ, der zwischen der leichten Achse und der Magnetisierung gemessen wird kann geschrieben werden als:
(3.77)
E = K 1 sin2 ( ϕ ) – H ext J s cos ( ϕ )
In Abbildung 3.1 ist die Energie für verschiedene Feldwerte dargestellt. Ist der Betrag des
äußeren Feldes größer als 2K /J gibt es nur ein Minimum. Unabhängig vom Startwert wird
immer dieses eine Minimum bei der statischen Berechnung gefunden. In Bereichen jedoch, in
denen
1
s
2K 1
H ext < --------- ,
Js
(3.78)
ist die Vorgeschichte des äußeren Feldes von Bedeutung. Startet man bei einem großen positiven Feld, das auf null reduziert wird und schließlich in die entgegengesetzt Richtung zeigt,
bleibt der Winkel ϕ solange null, bis das Feld den Wert -2K /J erreicht. Genau bei -2K /J
wird das Minimum zu einem Sattelpunkt. Das System ist somit in einem labilen Gleichgewicht. Hier ist die notwendige Bedingung für ein Minimum, eine positiv definite Hessematrix,
nicht erfüllt. Da bei großen Problemen die Definitheit der Hessematrix kaum bestimmbar ist,
wurde von Schabes [50] vorgeschlagen, zur Lösung kleine zufällige Störungen hinzuzufügen.
Befindet sich das System auf einem Sattelpunkt wird durch diese Störung das System aus dem
labilen Gleichgewicht gebracht und strebt, womöglich abhängig von der Minimierungsmethode und den zufälligen Störungen, andere Minima in der Umgebung an.
Wird diese Methode der kleinen Störungen in dem einfachen Beispiel der homogen magnetisierten Kugel angewandt, magnetisiert das Teilchen beim Feldwert -2K /J um, falls es zuvor
durch ein stark positives Feld gesättigt wurde. Das Minimum in dem sich das Teilchen befin1
s
1
1
s
s
MIKROMAGNETISMUS
Ε(ϕ)
36
Ε(ϕ)
Hext= 0
Hext= -0.5 2K1/Js
ϕ(°)
180
90
Ε(ϕ)
ϕ(°)
180
90
Ε(ϕ)
Hext= -2 2K1/Js
Hext= -1 2K1/Js
ϕ(°)
180
90
ϕ(°)
90
180
Abbildung 3.1: Änderung der Energiekurve mit dem Anlegten eines äußeren Feldes, als
Funktion des Winkels ϕ, der zwischen der Magnetisierungrichtung und der leichten
Achse gemessen wird. Das äußere Feld wird stets parallel zur leichten Achse angelegt.
det muß nicht das energetisch tiefste sein, wie in Abbildung 3.1 links und rechts oben zu
sehen ist, sondern hängt von der Startkonfiguration ab.
3.4 Dynamischer Mikromagnetismus
Die zeitliche Entwicklung der Magnetisierung kann mit Hilfe der Gilbert Gleichung bestimmt
werden [1,3]
α
∂J
∂----J
= – γ J × H eff + ---- J × ----- .
Js
∂t
∂t
(3.79)
Der erste Term in Glg. 3.79 beschreibt die Präzession der Polarisation um das effektive Feld
und kann aus der Quantenmechanik abgeleitet werden. γ ist das gyromagnetische Verhältnis.
Der zweite Term beschreibt phänomenologisch die Dämpfung, die schließlich die magnetische Polarisation parallel zu H zeigen läßt. α ist die Dämpfungskonstante. Große Untereff
MIKROMAGNETISMUS
37
schiede zwischen statischen und dynamischen Rechnungen konnten in dünnen Filmen
nachgewiesen werden. So wurde von Zhu [57] und Victora [55] gezeigt, daß bei Vernachlässigung des Präzessionsterm bei dünnen Filmen der Betrag des Koerzitivfeldes um bis zu 30%
steigen kann. Hayashi et al. [23] zeigten, daß der Präzessionsterm für die Bildung des Vortexzustandes in einem ferromagnetischen Würfels verantwortlich ist. Die Kosten dafür sind
beträchtlich höhere Rechenzeiten, verglichen mit statischen Rechnungen. Giles at al. [21]
zeigten, daß um einen Gleichgewichtszustand zu erhalten, die Integration der Gilbertgleichung ungefähr 10 mal so lange dauert, als die Energieminimierung mit Hilfe der konjugierten Gradienten.
Es kann leicht gezeigt werden [1], daß die Gilbertgleichung äquivalent zur Landau-Lifshitz
Gleichung (3.80) ist,
α ( J s, α, γ )
∂----J
- J × ( J × Heff )
= – γ ( J s, α, γ ) J × Heff + ------------------------Js
∂t
(3.80)
3.4.1 Beispiel: Dynamische Betrachtung des Eindomänenteilchens aus Kapitel 3.3.2
Analog zu Kapitel 3.3.2 wird ein Teilchen betrachtet, das durch ein starkes äußeres Feld gesättigt wurde, das dann reduziert wird und schließlich antiparallel zur Magnetisierung zeigt. Die
Achse der leichten Richtung soll parallel zur y-Achse sein. Einfachheitshalber wird das Beispiel auf zwei Dimensionen beschränkt. Das effektive Feld kann als Funktion des Winkels ϕ
geschrieben werden.
2K 1
H eff = --------- cos ( ϕ ) 0
Js
1
Js + H ext – N ----- sin ϕ
µ 0 cos ϕ
(3.81)
Der Term
αα
--J × ( J × Heff ) = ---- ( J ( JH eff ) – H eff J s2 )
Js
Js
(3.82)
in der Landau-Lifshitzgleichung dreht die Magnetisierung in Richtung des effektiven Feldes.
Da J × J = 0 , hängt das Drehmoment nicht von der Komponente des effektiven Feldes ab,
die parallel zur Magnetisierung steht. Der letzte Term in (3.81) trägt zum Drehmoment also
MIKROMAGNETISMUS
38
nicht bei. Genau so, wie bei der statischen Rechnung magnetisiert das Teilchen nicht um
wenn die Magnetisierung exakt parallel zum äußeren Feld und somit zur leichten Richtung ist,
da das Drehmoment verschwindet. Die Richtung der Magnetisierung muß also auch hier
gestört werden, um ein realistisches Koerzitivfeld bestimmen zu können. Wie in Abbildung
3.2 zu sehen ist, wird eine von der leichten Achse wenig ausgelenkte Magnetisierung so lange
zurückgedreht, bis das äußere Feld größer als das Anisotropiefeld ist und antiparallel zu diesem orientiert ist. Ist dieser Feldwert erreicht, magnetisiert das Teilchen um, da das Anisotropiefeld mit größer werdendem Winkel ϕ abnimmt. In Abbildung 3.1 ist zu sehen, daß erst bei
diesem Feldwert das lokale Minimum verschwindet. Selbst dieses einfache Beispiel zeigt, daß
ein stabiler Zusand auch dann gewährleistet sein kann, wenn die Magnetisierung antiparallel
zum effektiven Feld orientiert ist. In diesem Beispiel ist das der Fall, wenn das äußere Feld
entgegen dem Anisotropiefeld zeigt, aber ein wenig schwächer ist. Würde das Koerzitivfeld
mit einer LaBonte-artigen Methode bestimmt bei der die Magnetisierung in das effektive Feld
gedreht wird, würde das Teilchen ummagnetisieren, wenn
J
2K
H z, ext < – ---------1 + N -----s .
µ0
Js
(3.83)
In der Abbildung 3.1 ist zu sehen, daß man in diesem Fall die Energiebarriere überspringen
würde. Auch wenn bei LaBonte-artigen Methoden relaxiert wird, also nur ein Stück in Richtung des effektiven Feldes gedreht wird, können Konvergenzprobleme auftreten, da bei antiparalleler Orientierung des effektiven Feldes und der Magnetisierung, diese stets gedreht
wird.
MIKROMAGNETISMUS
Hani
39
J
Hext (negativ)
Hd
2K
Hext > – ---------1
Js
J
Heff
2K
H ext < – ---------1
Js
J
Heff
Abbildung 3.2: Die Magnetisierung bleibt so lange nach oben ausgerichtet, bis das
äußere Feld negativer als -2K1/Js ist. Es ist zu beachten, daß nicht das Verschwinden des
effektiven Feldes das Koerzitivfeld bestimmt. Links unten ist ein stabiler Zustand zu
sehen, bei dem das effektive Feld anitiparallel zur Magnetisierung zeigt.
METHODE DER FINITEN ELEMENTE MIT BESPIELEN AUS DEM MIKROMAGNETISMUS 40
4
METHODE DER FINITEN ELEMENTE
MIT BESPIELEN AUS DEM MIKROMAGNETISMUS
4.1 Grundlagen der Methode
Das Grundkonzept der FEM ist die Unterteilung des Grundgebietes des betrachteten Problems in kleine Bereiche, genannt finite Elemente. Die Lösung des Problems, wie zum Beispiel die Temperaturverteilung, Druckverteilung oder wie in dieser Arbeit die
Magnetisierungkonskonfiguration, wird dann durch Polynome in diesen Elementen angenähert.
u(x)
1
2
3
4
5
x
Abbildung 4.1: Eindimensionales Beispiel für einen linearen Polynomansatz
In Abbildung 4.1 ist der einfachste, aber häufig benutzte, lineare Polynomansatz zu sehen.
Den Bereich auf der x-Achse, der zum Beispiel durch die Punkte 1 und 2 begrenzt ist, nennt
man ein finites Element. Wie noch später ersichtlich, erweist es sich als zweckmäßig, sogenannte Basisfunktionen einzuführen um diese Approximation durchzuführen zu können.
Diese erfüllen, wie aus Abbildung 4.2 zu sehen ist, die Bedingung ϕi ( x j ) = δij . Die Näherungslösung kann also im gesamten Gebiet als Linearkombination von den Basisfunktionen
geschrieben werden.
n
uh( x ) =
å u ϕ (x)
i i
i=1
(4.1)
METHODE DER FINITEN ELEMENTE MIT BESPIELEN AUS DEM MIKROMAGNETISMUS 41
u(x)
1
ϕ1
1
ϕ4
2
3
Abbildung 4.2: Beispiel für lineare Basisfunktionen
4
5
x
ist die Anzahl der Knotenpunkte. u entspricht der Lösung am Knotenpunkt i (zum Beispiel
die Temperatur). Zur Bestimmung der Werte an diesen Punkten werden abhängig von der
Formulierung des Problems unterschiedliche Verfahren, wie die Ritz oder die Galerkin
Methode, die in den folgenden Unterkapiteln beschrieben werden, angewendet. Was beiden
Verfahren zu Grunde liegt ist, daß durch den Ansatz (4.1) die Lösung des Problems von dem
unendlichdimensionalen Raum der quadratintegrierbaren Funktionen auf einen n-dimensionalen, durch die Basisfunktionen aufgespannten Raum V , reduziert wird, wobei n die
Anzahl der Knotenpunkte und somit auch die Anzahl der Basisfunktionen ist.
n
i
FEM
VFEM =
u h ( x ):uh ( x )
ui ϕi ( x ) i=1
n
=
å
(4.2)
Es läßt sich zeigen, daß sowohl durch den Ritzschen-, als auch durch den Galerkin Ansatz die
Näherungslösung u , aus dem Raum V , den Fehler zur exakten Lösung bezüglich der
Energienorm minimiert. Das heißt,
FEM
( u exakt – u FEM )
FEM
E
≤ ( u exakt – u )
E
, für beliebiges u ∈ VFEM ,
(4.3)
wobei
v
E
=
ò ( ∇v ) dV
2
(4.4)
METHODE DER FINITEN ELEMENTE MIT BESPIELEN AUS DEM MIKROMAGNETISMUS 42
4.1.1 Elementenweise Beschreibung der FEM
In jedem größeren FEM-Programm wird die finite Element Methode so formuliert, daß das
Problem elementweise gelöst werden kann. Was das bedeutet wird im folgenden anhand der
Berechnung der Austauschenergie (3.13) veranschaulicht.
4.1.1.1 Beispiel: Berechnung der Austauschenergie
Die elementweise Berechnung der mikromagnetischen Energie wurde in dem Programm, das
im Rahmen dieser Diplomarbeit entwickelt wurde, benötigt, um mit Hilfe der konjugierten
Gradientenmethode die Energie zu minimieren. Die Werte der Magnetisierung wurden dabei
an den Knotenpunkten angesetzt. Die Basisfunktionen in Glg. 4.1 definieren, ausgehend von
den Werten der Magnetisierung an den Knotenpunkten, eine kontinuierliche Funktion der
Magnetisierung im gesamten Bereich des Magneten. Somit geht das Funktional
Eex [ J x, J y, J z ] =
ò ----J - [ ( ∇J )
A
x
2
s
2
(4.5)
+ ( ∇J y ) 2 + ( ∇J z ) 2 ] dV
über in die Funktion
Eex [ J x, i, J y, i, J z, i ] =
ò
2
n
A- ---∇
J x, i ϕ x, i ( x )
2
Js
i=1
å
+
2
n
∇
J y, i ϕ y, i ( x )
i=1
å
+ … dV
(4.6)
Um diese Funktion elementweise auswerten zu können, wobei die 3n Werte der Magnetisierung (an jedem der n Knotenpunkte gibt es drei Magnetisierungskomponenten) bekannt sind,
müssen lokale Koordinaten, wie in Abbildung 4.3 dargestellt, eingeführt werden. Der Zusammenhang zwischen den lokalen und globalen Knoten wird mit der Connectivity-Matrix C hergestellt.
u i = u e k , i = C ( e, k )
(4.7)
Der Verlauf der magnetischen Polarisation innerhalb des Elements i läßt sich somit als Funktion der magnetischen Polarisationen an den Knotenpunkten des betrachteten Elements
interpolieren.
J i x ( x ) = J i x, 1 ϕ i 1 ( x ) + J i x, 2 ϕ i 2 ( x ) .
(4.8)
METHODE DER FINITEN ELEMENTE MIT BESPIELEN AUS DEM MIKROMAGNETISMUS 43
ϕ
1
ϕ
1
(ξ)=...=ϕ (ξ)=Formfunktion
1
4
1
1
(ξ)=...=ϕ (ξ)
4
2
2
x=x(ξ,x ,x )
j
ξ
1
ϕ
1
xglobale Knotennummer
x
Element
l okale Knotennummer
x
x
1
(x)
ϕ
2
x
1
1
1
1
2
2
ξ=ξ(x,Element)
(x)
ϕ
3
x
2
x =x
1
1
j
1
2
(x)
2
1
2
1
(x)=ϕ (x(ξ,x ))
x
4
3
3
x =x
2
ϕ
3
1
4
2
i
j
x
x =x
3
3
1
1
x
5
x
4
2
Abbildung 4.3 Zusammenhang von lokalen und globalen Koordinaten
Führt man für jedes Element die entsprechende Koordinatentransformation1, nach Glg. 4.9,
durch
i
x = x ( x i 1, x i, j2, ξ ) = x i 1 + ξ ( x i 2 – x i 1 ) = x i 1 + J i ξ = x i 1 ϕ i 1 ( ξ ) + x i 2 ϕ i 2 ( ξ )
(4.9)
so läßt sich die magnetische Polarisation in jedem Element i, mit der lokalen Koordinate ξ
schreiben, als,
J i x ( ξ ) = J i x, 1 ϕ i 1 ( ξ ) + J i x, 2 ϕ i 2 ( ξ )
,
(4.10)
wobei jeweils 0 ≤ ξ ≤ 1 ist. Es ist nicht zwingend für die Koordinatentransformation (Glg.
4.9), also für die Interpolation der globalen Koordinaten mittels lokaler Variablen, und zur
Darstellung der Lösung (Glg. 4.10) dieselben Formfunktionen zu wählen, also isoparametrische Elemente zu verwenden. Im allgemeinen unterscheidet man zwischen den globalen geometrischen Knoten, die zur Beschreibung der Geometrie und somit für die
Koordinatentransformation verwendet werden, und den globalen Knoten zur Interpolation
der Lösung.
Entsprechend folgt in Analogie zu Glg. 4.10 in 3 Dimensionen, wobei im folgenden als finite
Elemente Tetraeder verwendet werden:
1. Werden zum Beispiel quadratische Formfunktionen gewählt, können Geometrien, deren Ränder durch Polynome 2. Ordnung beschrieben werden, exakt in der Rechnung berücksichtigt werden.
METHODE DER FINITEN ELEMENTE MIT BESPIELEN AUS DEM MIKROMAGNETISMUS 44
J i x ( x, y, z ) = J i x, 1 ϕ i 1 ( x, y, z ) + J i x, 2 ϕ i 2 + J i x, 3 ϕ i 3 + J i x, 4 ϕ i 4 ( x, y, z )
(4.11)
und mit der Koordinatentransformation
x i1
x
ξ
i
y = J ζ + x i2
z
υ
x i3
(4.12)
kann die Lösung wieder mittels lokaler Koordinaten dargestellt werden.
J i x ( ξ, ζ, υ ) = J i x, 1 ϕ 1 ( ξ, ζ, υ ) + J i x, 2 ϕ 2 + J i x, 3 ϕ 3 + J i x, 4 ϕ 4 ( ξ, ζ, υ )
(4.13)
Setzt man Glg. 4.11 in Glg. 4.6 ein, wobei zuvor das Integral über den gesamten Körper in
eine Summe von Integralen über die finiten Elemente aufzuspalten ist, so folgt,
el
Eex =
å ò ----JA- [ ( ∇J
i = 1∆
el
Eex =
Eex =
i
2
s
x)
2
+ ( ∇J i y ) 2 + ( ∇J i y ) 2 ] dV
2
4
J i x, k ∇ϕ i k ( x, y, z ) + …
k = 1
i = 1∆
2
el 4
A- ---i
i
J x, k ∇ϕ k ( ∆ ) + … V ∆
J2 s i=1
k=1
åò
A---J s2
å
å
å
dV
(4.14)
(4.15)
(4.16)
Setzt man für die Basisfunktionen lineare Funktionen an, so ist der Gradient innerhalb
eines Elements konstant. Das Intergral kann also durch das Produkt von Integranden und
Elementvolumen ersetzt werden. Für die Berechnung von Glg. 4.15 benötigt man also
lediglich das Volumen jedes Elements, die Magnetisierungswerte an den Knoten als Funktion
der lokalen Knotennummern und die Ableitungen der Basisfunktionen. Die Ableitungen der
Basisfunktionen sind nur von der Geometrie des Gitters abhängig und müssen somit nur einmal bestimmt werden. Gespeichert werden sie in der sogenannten Elementmatrix oder Elementsteifigkeitsmatrix.
EM ( el, m, n ) = ∇ϕ el m ( x, y, z )∇ϕ el n ( x, y, z ) 1
(4.17)
(4.18)
METHODE DER FINITEN ELEMENTE MIT BESPIELEN AUS DEM MIKROMAGNETISMUS 45
Natürlich könnte man auch zur Auswertung von Glg. 4.15 für jedes Element die Koordinatentransformation (Glg. 4.12) durchführen und somit mit lokalen Koordinaten rechnen. Zu
beachten ist, daß
ò ( … )dV = ò ( …) det ( J ) dζdξ dυ
(4.19)
∂ ∂ζ ∂ ∂ξ ∂ ∂υ
∂
----= ------ ------ + ------ ------ + ------ -----∂ζ
∂x ∂ξ ∂x ∂υ ∂x
∂x
(4.20)
e
∆
1
(entsprechend für die anderen Komponenten)
4.1.1.2 Beispiel: Berechnung der Ableitung der Austauschenergie
Im folgenden wird die erste Ableitung der Austauschenergie nach der magnetischen Polarisation an einem Knotenpunkt bestimmt. Die Berechnung erfolgt wieder elementweise.
y
6
5
4 Jx,10
3
1
Jx,10=J x,2 , ....
Jx
1
2
y
x
Jx
x
global
Jx,10
lokal
J1x,2, J2x,3, J3x,2, J4x,1, J5x,1, J6x,1
Abbildung 4.4: Veranschaulichung der
x-Komponente der magnetischen Polarisation.
Diese wird durch eine stetige nicht differenzierbare Fläche beschrieben. Innerhalb eines
Dreiecks wird linear interpoliert.
Wie in Abbildung 4.4 zu sehen ist, hat eine Änderung des globalen Entwicklungskoeffizienten Jx,10, auch eine Änderung der Polarisation im Inneren der Elemente 1 bis 6 (weiße Elemente) zur Folge. Berechnet man hingegen die Änderung der Energie, wenn der lokale
1. In Kapitel 4.3.2 wird bei der Elementmatrix noch die Integration über ein Element ausgeführt. Beides wird in
der Literatur als Elementmatrix oder Elementsteifigkeitsmatrix bezeichnet. In dem Computerprogramm
wurde die Elementmatrix gemäß Glg. 4.18 verwendet
METHODE DER FINITEN ELEMENTE MIT BESPIELEN AUS DEM MIKROMAGNETISMUS 46
Entwicklungskoeffizient J1x,2 der Polarisation variiert wird (wird im folgenden als lokale
Ableitung der Energie bezeichnet), hat das nur auf das Element 1 einen Einfluß. Somit müssen alle lokalen Ableitungen addiert werden, die den gleichen globalen Punkt betreffen, um
die globale Ableitung in diesem Punkt zu erhalten. In diesem Fall heißt das,
∂E = -------------∂E - + -------------∂E - + -------------∂E - + -------------∂E - + -------------∂E - + -------------∂E -------------1
2
3
4
5
∂J x, 10
∂J x, 2 ∂J x, 3 ∂J x, 2 ∂J x, 1 ∂J x, 1 ∂J 6x, 1
(4.21)
Die lokalen Ableitungen auf der rechten Seite von Glg. 4.21 sind leicht zu berechnen und
betreffen jeweils nur ein Element.
Aus
el
Eex =
åò
i = 1∆
A---J s2
4
J i x, k ∇ϕ i k ( x,
k = 1
å
y,
z )
2
(4.22)
+ … dV
folgt,
∂Eex
-------------- =
∂J a x, b
ò
∆a
4
A- ---2
J s2 å
k = 1
Ja
x, k
∇ϕ a
k ( x,
y,
z ) ∇ϕ a b ( x,
y, z ) dV
(4.23)
4.2 Ritz-Verfahren
Dieses Verfahren kann angewendet werden, um eine Näherungslösung eines Variationsproblems zu bestimmen. Dazu wird das Funktional J[v], das zu minimieren beziehungsweise
maximieren ist, mit Hilfe eines Ansatzes für die Lösung u
D+N
u(x) =
å u ϕ (x) ,
(4.24)
i i
i=1
zu einer algebraischen Extremwertsaufgabe umgeformt, wobei D die Anzahl der Knoten ist,
auf denen Dirichletsche Randbedingungen (=wesentliche Randbedingungen oder Randbedingungen 1. Art) vorgegeben sind und somit die Werte u =g bekannt sind. N ist die Anzahl
der restlichen sogenannten aktiven Knoten.
Aus dem Funktional J [ w ] = min J [ v ] wird eine Funktion J ( u1, …, un ) , wobei die Argumente u bis u aus den n Gleichungen
i
1
n
i
METHODE DER FINITEN ELEMENTE MIT BESPIELEN AUS DEM MIKROMAGNETISMUS 47
dJ ( u 1, …, u n )
--------------------------------- = 0
du i
(4.25)
bestimmt werden können.
4.2.1 Beispiel: Minimumformulierung der Poissongleichung
Das Potential u einer Ladungsverteilung ρ(r) kann durch Lösen der Poissongleichung
ρ
∆u = – ---ε0
(4.26)
bestimmt werden. Als Randbedingung sei das Potential u am Rand ΓD null. Eine alternative
Methode, um das zu ρ(r) gehörige Potential zu bestimmen, ist, das Funktional
I [ v] =
ò
ε
----0- ( ∇v ) 2
2
(4.27)
– vρ dV
zu minimieren, wobei über den Raum ΩD zu integrieren ist und v am Rand null sein muß.
Für die Lösung u des Minimierungsproblems wird das Funktional zur Selbstenergie. Um die
Minimierung mit Hilfe des Ritzschen Ansatzes durchführen zu können, wird in Glg. 4.27 der
Ansatz nach Glg. 4.24 eingesetzt. Es folgt, da die Entwicklungskoeffizienten u konstant sind
und somit vor den Gradienten geschrieben werden können,
i
I ( u1, …, u n ) =
ò
N + D
ε
----0- u i ∇ϕ i ( x )
2
i=1
å
2
N+D
–
ui ∇ϕi ( x ) ρ dV
i=1
å
(4.28)
Bildet man nun, um diese Funktion zu minimieren, die Ableitungen
dI ( u1, …, u n )
--------------------------------- = 0 ,
duj
(4.29)
so folgen die N linearen Gleichungen
N+D
å u ò ( ∇ϕ )( ∇ϕ ) dV = ò ε----ρ- ϕ dV , wobei
i
i=1
i
j
0
j
j=
1,...,N
(4.30)
METHODE DER FINITEN ELEMENTE MIT BESPIELEN AUS DEM MIKROMAGNETISMUS 48
für die zu bestimmenden Knotenwerte u ,...,u 1. Wegen der speziellen Definition der Basisfunktionen verschwinden alle ϕ bis ϕ an den Knoten, wo Dirichletsche Randbedingungen,
also das Potential null gesetzt wurde, vorgegeben sind. Bezeichnet man den Raum, der durch
die Funktionen ϕ bis ϕ aufgespannt wird, mit V , so ist Glg. 4.30 und Glg. 4.32 äquivalent. ΓD ist der Rand, auf dem Dirichlet-Bedingungen vorgegeben sind, und M die Menge
der aktiven (restlichen) Knoten.
1
1
1
N
n
n
0,Basis
aktiv
N
V0, Basis = v Basis ( x ): v Basis ( x ) =
vi ϕi ( x ) =
vi ϕi ( x ) i ∈ M aktiv
i=1
N+D
ρ
u i ( ∇ϕ i ) ( ∇v Basis ) dV = ----- v Basis dV , mit v Basis ∈ V0, Basis
ε0
å
å ò
ò
i=1
oder mit Hilfe von u
ò ( ∇u
N+D
å u ϕ (x) + å
gi ϕi ( x ) =
i i
i=1
(4.31)
(4.32)
FEM
N
u FEM =
å
ρ
ò ε----- v
=
0
ui ϕi ( x ) +
i ∈ M a ktiv
i=N+1
FEM ) ( ∇v Basis ) dV
å
Basis dV
, mit
å g ϕ (x)
i i
i ∈ ΓD
v Basis ∈ V 0, Basis
(4.33)
(4.34)
4.3 Schwache Formulierung, Galerkin-Verfahren
Möchte man allgemein eine partielle Differentialgleichungen mit Hilfe der FEM lösen, von
der das äquivalente Minimumproblem (falls bekannt Lösung durch Ritzansatz) nicht bekannt
ist, muß sie zuerst in die schwache Formulierung (Glg. 4.36) oder Variationsformulierung
übergeführt werden. Dazu wird die Differentialgleichung mit einer Testfunktion multipliziert
und über das Grundgebiet integriert. Beim Galerkin Ansatz (Glg. 4.37) werden als Testfunktionen die gleichen Funktionen verwendet nach denen auch die Näherungslösung entwickelt
wird, also die Basisfunktionen ϕ .
Die Differentialgleichung
j
PDG = 0
(4.35)
1. Wegen einer übersichtlicheren Schreibweise wird im folgenden angenommen, daß die Dirichletknoten die
Nummern N+1 bis D haben und die aktiven Knoten 1 bis N. In der Praxis wäre das ungeeignet, weil die Steifigkeitsmatrix keine Bandstruktur aufweisen würde.
METHODE DER FINITEN ELEMENTE MIT BESPIELEN AUS DEM MIKROMAGNETISMUS 49
kann in der schwache Formulierung dargestellt werden als
ò (PDG.Testfunktionen) = 0, für alle Testfunktionen ∈ H ( Ω )
1
1
(4.36)
Ω
Der Galerkinansatz für die schwache Formulierung führt auf
N + D
PDG u i ϕ i ϕ j
i
Ω
ò PDGϕ = ò
j
Ω
å
= 0 , ϕ =1 bis N
j
(4.37)
In der Entwicklung der Lösung in Glg. 4.37 werden Dirichletsche Randbedingungen an den
Knoten N+1 bis N+D schon eingesetzt. An diesen Punkten müssen außerdem alle Testfunktionen verschwinden.
Offensichtlich ist die exakte Lösung auch Lösung der schwachen Formulierung. Umgekehrt
ist das im allgemeinen nicht der Fall. Setzt man die Näherungslösung, die durch den Galerkinansatz erhalten wurde, in die linke Seite von Glg. 4.35 ein, so wird sich ein Wert ungleich null,
das sogenannte Residuum, ergeben. Die schwache Formulierung fordert, daß das Residuum
also der Fehler im räumlichen Mittel verschwindet. Daraus folgen N Gleichungen für die N
Unbekannten u .
i
4.3.1 Beispiel: Poissongleichung
Führt man die Poissongleichung (4.26) in die schwache Formulierung über so folgt:
ò
∆u
Ω
wobei
ΓD
ρ
+ ----- v ( x ) dV = 0
ε0
, für alle
v ∈ H1 ( Ω )
mit
v(x) = 0 für x ∈ Γ D = Γ
(4.38)
den Rand bezeichnet, auf dem das Potential vorgegeben ist. Partielle Integration
führt auf
ò
– ∇u ( x )∇v ( x ) dV +
Ω
ρ(x)
- v ( x ) dV = 0
ò ∇u( x )v( x) dA + ò ---------ε
ΓD
Ω
(4.39)
0
1. H 1 ( Ω ) = Menge der L2-Funktionen, deren erste verallgemeinerte Ableitung existiert und ebenfalls Elemente des Raumes L2 ( Ω ) ist.
METHODE DER FINITEN ELEMENTE MIT BESPIELEN AUS DEM MIKROMAGNETISMUS 50
Beachtet man, daß das Oberflächenintegral verschwindet, weil die Testfunktionen am Rand
mit Dirichletschen Bedingungen null sind, und führt man den Galerkin Ansatz durch, also
ersetzt man v(x) durch v (Glg. 4.31) beziehungsweise u mit uFEM (Glg. 4.33), so ergibt sich
Basis
N+D
å u ò ( ∇ϕ )( ∇v
i
i
Basis ) dV
i=1
=
ρ
ò ε----- v
0
Basis dV
, mit
v Basis ∈ V0, Basis ,
(4.40)
also genau das selbe Gleichungssystem, das sich auch mit Hilfe des Ritzschen-Ansatzes ergeben hat. Probleme, die sowohl als Minimumproblem als auch mit Hilfe der schwachen Formulierung äquivalent dargestellt werden können, führen nach der Diskretisierung mit Hilfe
des Ritzschen-Ansatzes beziehungsweise mit dem Galerkin-Ansatz auf das selbe Gleichungssystem, das dann Ritz-Galerkin-System genannt wird.
4.3.2 Elementweises Lösen von Ritz-Galerkin-Systemen
Im folgenden wird die Poissongleichung mit allgemeinen Randbedingungen in die schwache
Formulierung übergeführt und anschließend das durch die Diskretisierung entstandene RitzGalerkin-System (Der Name Ritz-Galerkin-System ist gerechtfertigt, da das Problem äquivalent als Minimumproblem formuliert werden könnte) elementweise gelöst. Gegeben ist
ρ∆u = – ---ε0
(4.41)
mit den Randbedingungen
u ( x ) = g1 ( x )
u---------(x) = g (x)
2
∂n
u---------( x ) + α ( x )u ( x ) = α ( x )g ( x )
3
∂n
für alle
für alle
x ∈ ΓD
x ∈ ΓN
(4.42)
(4.43)
für alle
x ∈ ΓG
(4.44)
Im ersten Schritt wird die Poissongleichung analog zu Glg. 4.39 in der schwache Formulierung dargestellt. Die Randbedingungen zweiter Art (Neumannsche Randbedingung),(Glg.
4.43) und dritter Art (Robin Randbedingung),(Glg. 4.44) werden in das Oberflächenintegral
der schwache Formulierung eingesetzt.
METHODE DER FINITEN ELEMENTE MIT BESPIELEN AUS DEM MIKROMAGNETISMUS 51
ò ∇u ( x )v( x )dA = ò ∇uvdA + ò g vdA + ò ( αg
2
Γ
ΓD
ΓN
3
(4.45)
– αu )v dA
ΓA
Da v am Rand ΓD verschwindet, folgt
ò
– ∇u∇v dV +
Ω
ò g vdA + ò ( αg
2
ΓN
3
ΓA
ρ
– αu )v dA + ----- v dV = 0
ε0
ò
für alle
v ∈ H1
(4.46)
Ω
Durchführen des Galerkinansatzes führt auf folgende Gleichung
–
ò
∇u
FEM
∇v
Basis
dV +
Ω
ò
ò
g v
dA +
2 Basis
ΓN
( αg – αu
)v
dA +
3
FEM Basis
ΓA
ò
Ω
ρ
----dV = 0
v
ε 0 Basis
(4.47)
wobei u1 bis uN so gewählt werden müssen, daß Glg. 4.47 für alle vBasis ∈ V 0, Basis gültig
bleibt. In Matrixform geschrieben:
E11 …
E 1, N + D
u1
f1
( v 1, …v N + D ) … …
= ( v 1, …v N + D ) … ,
…
…
… … E N + D, N + D u N + D
fN + D
ìï ï ï í ï ï ï î
ìí î
fi
Eij
(4.48)
für beliebige v1 bis vN. vN+1 bis vN+D sind null.
Die Matrix Eij wird globale Steifigkeitsmatrix und der Vektor f1 globale Lastvektor genannt.
Im folgenden wird für den ersten Term in Glg. 4.47 beschrieben, wie dieser elementweise
berechnet werden kann und die erhaltenen Elementmatrizen zur globalen Steifigkeitsmatrix
zusammengefügt werden können.
el
ò ∇u
Ω
Fem ∇v Basis dV
=
4
åòå
i = 1 ∆i k = 1
4
ui
k
∇ϕ i
k ( x,
y, z )
å v ∇ϕ ( x, y, z )
i
l=1
l
i
l
(4.49)
METHODE DER FINITEN ELEMENTE MIT BESPIELEN AUS DEM MIKROMAGNETISMUS 52
ò ∇ϕ
el
=
å
( v i 1, v i 2, v i 3, v i 4 )
i
i
1 ∇ϕ 1 dV
…
∆i
i=1
ò ∇ϕ
i
i
1 ∇ϕ 4 dV
∆i
…
…
…
…
u i2
…
ò ∇ϕ
i
u i1
u i3
i
4 ∇ϕ 4 dV
(4.50)
u i4
∆i
Die Matrix E in Glg. 4.50 ist die Elementsteifigkeitsmatrix. Zur Berechnung kann die Koordinatentransformation nach Glg. 4.12 durchgeführt werden.
Als nächsten Schritt müssen die Elementmatrizen zur globalen Steifigkeitsmatrix zusammengefügt werden, wobei die Zuordnung von der globalen und der lokalen Knotennumerierung,
also die Connetivity-Matrix, benötigt wird.
Entspricht zum Beispiel der lokale Punkt u101 dem globalen Punkt u23 und v104 entspricht v50,
dann muß der Matrixeintrag E104,1 in der 50 Zeile und der 23 Spalte der globalen Steifigkeitsmatrix stehen. Elemente der Elementmatrix, die auf der gleichen Position der Steifigkeitsmatrix eingefügt werden, müssen offensichtlich addiert werden.
Analog können die Elementlastvektoren zum globalen Lastvektor zusammengefügt werden.
Auch die Vorgangsweise für den zweiten und dritten Term in Glg. 4.47 ist ganz ähnlich. Die
entsprechenden Elementmatrizen beziehungsweise Elementlastvektoren haben wegen des
Oberflächenintegrals die Dimension 3x3 bzw. 1x3. Dies ändert aber nichts an der Vorgangsweise zur Assemblierung zur globalen Steifigkeitsmatrix bzw. zum globalen Lastvektor.
Als letzten Schritt wird die Gleichung Glg. 4.48 auf ein Gleichungssystem mit N-Gleichungen
übergeführt, wobei die Dirichletschen Randbedingungen eingearbeitet werden. An den Knotenpunkten, an denen Dirichletsche Randbedingungen vorgegeben sind, einfachheitshalber
seien dies wieder die Knoten N+1 bis N+D, verschwinden definitionsgemäß alle Testfunktionen. Somit ist Glg. 4.48 äquivalent zu
e
ij
( v 1, …v N )
E 11 … E1, N + D
u1
f1
= ( v 1, …v N ) …
… …
…
…
… … E N, N + D
uN + D
fN
ìï ï ï í ï ï ï î
ìí î
fi
Eij
Da Glg. 4.51 für einen beliebigen Vektor vBasis ∈ V0, Basis gültig ist, muß auch
(4.51)
METHODE DER FINITEN ELEMENTE MIT BESPIELEN AUS DEM MIKROMAGNETISMUS 53
E11 … E1, N + D
u1
f1
= …
… …
…
…
… … E N, N + D u N + D
fN
(4.52)
gelten. An den Knoten uN+1 bis uN+D müssen die bekannten Werte eingesetzt werden. Somit
erhält man N lineare Gleichungen für die Unbekannten an den N aktiven Knoten.
Wegen der speziellen Wahl der Basisfunktionen, die nur lokal ungleich null sind, ist die globale
Steifigkeitsmatrix schwach besetzt und weist, bei richtiger Wahl der globalen Knotennumerierung, eine Bandstruktur auf. Somit ist der Aufwand zum Lösen des Gleichungssystems
(4.52) gering, das einen großen Vorteile der FEM gegenüber der BEM bedeutet.
METHODEN ZUR LÖSUNG DER MIKROMAGNETISCHEN GLEICHUNGEN
54
5
METHODEN ZUR LÖSUNG
DER MIKROMAGNETISCHEN GLEICHUNGEN
5.1 Überblick
In diesem Abschnitt werden verschiedene Methoden zur Lösung der mikromagnetischen
Gleichungen vorgestellt. Außerdem werden die Ergebnisse und Probleme der Alogorithmen
dokumentiert, die im Rahmen dieser Arbeit verwendet wurden. Ein wesentlicher Teil bei
mikromagnetischen Simulationen ist die Berechnung des magnetischen Streufeldes. Die
Berechnung der Streufeldenergie nimmt sowohl die meiste Rechenzeit als auch den meisten
Speicherplatz in Anspruch. Der Grund dafür ist die weitreichende magnetische Wechselwirkung, die zu einem nichtlokalen Problem führt.
5.2 Das Streufeldproblem
Wie in Kapitel 3.2.3 schon erwähnt wurde, ist der Rechenaufwand zur Bestimmung des Streufeldes an N Punkten bei einer integralen Formulierung des Streufeldproblems von der Ordnung N . Für die effiziente, differentielle Formulierung erweist es sich als zweckmäßig die
Maxwellgleichungen der Magnetostatik,
2
und ∇ × H
umzuformen auf
∇B = 0
∆u = ∇
------Jµ0
und H
= 0
= – ∇u .
(5.1)
(5.2)
Die zweite Gleichung in (5.2) gewährleistet die, durch die zweite Gleichung in (5.1) geforderte, Wirbelfreiheit des magnetischen Feldes. Um die erste Gleichung in (5.2) zu erhalten
wurde B=µ0H+J in die erste Gleichung in (5.1) eingesetzt.
Aus (5.1) folgen die Übergangsbedingungen,
METHODEN ZUR LÖSUNG DER MIKROMAGNETISCHEN GLEICHUNGEN
( B 1 – B 2 )n = ( ( – µ 0 ∇u 1 + J 1 ) – ( – µ0 ∇u 2 + J 2 ) )n = 0
und
55
(5.3)
( H1 – H2 ) × n = 0 ,
(5.4)
die an der Korngrenze erfüllt sein müssen. (B beschreibt im Korn 1 den Grenzwert des BFeldes an der Korngrenze. Entsprechendes für B2, H1 und H2). Ist das Potential u stetig,
1
u1 – u2 = 0 ,
(5.5)
gilt stets Glg. 5.4. Für die Beschreibung der Grenzbedingungen an der Oberfläche wird
anstatt 1 und 2, in und out geschrieben. J verschwindet auf der Oberfläche. Daraus ergeben
sich die Übergangsbedingungen (3.23) und (3.24), die aus Glg. 3.22 abgeleitet wurden.
Führt man Glg. 5.2 in die schwache Formulierung über, wobei über den gesamten Raum zu
integrieren ist, ergibt sich:
out
ò
∆uv dV =
∇J
(5.6)
- v dV
ò -----µ
0
V m + V ext
Vm
Im weiteren wird ein Magnet mit zwei Körnern, deren Volumen mit V und V bezeichnet
werden, angenommen (Abbildung 5.1). Um den Gaußschen Satz in Glg. 5.6 anwenden zu
können, muß das Integral in drei Integrale, V , V und V , aufgespalten werden, deren Integranden somit stetig sind.
1
ext
A2
n
V2, J1
Am
1
2
2
n
V1, J1
A1
=0
J
Abbildung 5.1: Magnet mit zwei Körnern
–
ò
V ext + V 1 + V 2
∇u ∇v dV +
ò
A1 + A2
( ∇u in – ∇u out )v ndA +
ò ( ∇u
Am
1
– ∇u 2 )nv dA =
(5.7)
METHODEN ZUR LÖSUNG DER MIKROMAGNETISCHEN GLEICHUNGEN
= –
ò
J
----- ∇v dV +
µ0
V1 + V2
J in – J out
--------------------- vn dA +
µ0
ò
A1 + A 2
ò
J1 – J2
---------------- nv dA
µ0
56
(5.8)
Am
Das negative Vorzeichen im Oberflächenintegral Am in Glg. 5.7 und Glg. 5.8 ergibt sich, weil
die Normalvektoren von den Oberflächenintegralen über V1 und V2 auf Am antiparallel orientiert sind. Setzt man in Glg. 5.7 die Grenzbedingung (Glg. 5.3) ein, ergibt sich:
–
ò
V ext + V 1 + V 2
∇u ∇v dV = –
ò
J
----- ∇v dV
µ0
(5.9)
V 1 + V2
Die Grenzbedingung des stetigen Übergangs der Tangentialkomponente des H-Feldes (Glg.
5.4) also die Stetigkeit des Potentials u, wird durch den stetigen Ansatz für das Potential bei
der FEM erfüllt.
Um Glg. 5.9 lösen zu können, müßte im Prinzip das Potential im gesamten Raum bestimmt
werden. Die Methode der finiten Elemente kann jedoch nur in begrenzten Raumgebieten
angewandt werden. Eine Möglichkeit, das durch die Randbedingung im Unendlichen entstandene open boundary Problem (5.9) zu lösen, ist, nur in einer begrenzten Umgebung um den
Magneten finite Elemente zu definieren und am Rand der äußersten Elemente das Potential
null zu setzen. Um eine ausreichende Genauigkeit zu erreichen, gilt als Faustformel, daß die
Größe des äußeren Bereichs zirka fünf mal so groß wie die Länge des Magneten sein sollte
[6].
Eine effizientere Methode ist die Methode der “asymptotic boundary conditions”. Hier
werden näherungsweise die Dirichletschen Randbedingungen im Unendlichen auf Robinsche
Randbedingungen auf der vorgegebenen Begrenzungsfläche transformiert [30]. Bei Robinschen Randbedingung kann die Lösung als Funktion ihrer Ableitung dargestellt werden. Im
Rahmen einer Diplomarbeit [54] wurde diese Methode für dynamische mikromagnetische
Berechnungen erfolgreich angewandt. Die Ergebnisse sind auf der Homepage vom NIST
Zentrum für Theoretical and Computational Materials Science [27], für das µMAG Problem Nummer 2 dargestellt.
Eine andere Methode, bei der der Außenraum des Magneten mittels einer Koordinatentransformation auf einen endlichen Bereich beschränkt wird, ist die “parallelepipedic shell transformation” [2]. Dadurch kann das Integral in Glg. 5.9 prinzipiell exakt durchgeführt werden.
METHODEN ZUR LÖSUNG DER MIKROMAGNETISCHEN GLEICHUNGEN
57
Diese Methode wurde erfolgreich in statischen mikromagnetischen Simulationen angewandt
[51].
Im Gegensatz zu den beiden zuerst erwähnten Methoden wird bei der “parallelepipedic shell
transformation”-Methode kein systematischer Fehler begangen, jedoch ist allen gemeinsam,
daß zusätzliche finite Elemente eingeführt werden müssen um die Randbedingung im Unendlichen berücksichtigen zu können. Außerdem muß als Nachteil angeführt werden, daß die
erwähnten Methoden unflexibel unterschiedliche Geometrien der Körper berücksichtigen.
Eine prinzipiell exakte Methode, bei der keine finiten Elemente im Außenraum benötigt werden und beliebige Geometrien berechnet werden können, ist die Hybrid FE/Boundary Element Methode. Diese Methode wurde im Rahmen dieser Diplomarbeit verwendet um das
Streufeldproblem zu lösen.
5.2.1 Hybrid FE/RE - Methode
Diese Methode verknüpft die Vorteile der Randelementmethode (Boundary Element
Methode) und der finiten Element Methode. Die Randbedingung im Unendlichen wird mit
der Randelementmethode berücksichtigt, wobei keine Elemente im Außenraum benötigt werden. Die Berücksichtigung der Volumsdivergenzen des Streufeldes erfolgt effizient mit der
finiten Element Methode, die zu dünn besetzten Matrizen führt.
Die Grundidee [14] ist das Potential u in u=u1+u2 aufzuspalten. Für u1 wird eine Neumannsche Randwertaufgabe angesetzt.
u 1out = 0
(5.10)
∇J
∆u 1in = ---------s
µ0
(5.11)
Mit den Übergangsbedingungen, wobei u1out
Js
∂u 1out ∂u1in
∂u 1in
------------ – ---------- = – --------- = ----- n
µ0
∂n
∂n
∂n
u 1out – u 1in = – u 1in
= 0
berücksichtigt wird.
(5.12)
(5.13)
Glg. 5.11 kann mit der Randbedingung (5.12) mit Hilfe der finiten Element Methode gelöst
werden. Damit das gesamte Potential u, das durch die Superposition von u1 und u2 erhalten
METHODEN ZUR LÖSUNG DER MIKROMAGNETISCHEN GLEICHUNGEN
58
wird, die Poissongleichung (5.2), die Sprungbedingung Mn für die Normalableitung des
Potential (5.3) und die Stetigkeitsbedingung für das Potential (5.5) erfüllt, muß für u2 gelten:
(5.14)
(5.15)
∆u 2out = 0
∆u 2in = 0
mit den Übergangsbedingungen,
∂u 2out ∂u2in
------------- – ---------- = 0
∂n
∂n
u 2out – u 2in = u1in
(5.16)
(5.17)
Die Gleichungen für u2 beschreiben das Potential einer Doppelschicht mit der bekannten
Dipolbelegung u1in . In integraler Form kann dafür geschrieben werden,
in
1 u 1 ( y ) ( x-y -)
u 2 ( x ) = ------ --------------------------n dΓ y .
4π
x-y 3
ò
(5.18)
Prinzipiell könnte mit Glg. 5.18 u2 im gesamten Raum bestimmt werden. Um den Speicheraufwand, der in diesem Fall von der Ordnung N5/3 wäre, zu reduzieren, wird u2 nur auf der
Dipolschicht also auf dem Rand des Magneten berechnet. Die daraus erhaltenen Werte dienen als Dirichletsche Randbedingungen für die Laplacegleichung (5.15), die mit der finiten
Element Methode gelöst werden kann. Der Speicheraufwand kann somit auf N4/3 reduziert
werden. Wird u2 am Rand Γy berechnet, wird das Integral in Glg. 5.18 singulär. Der Grenzübergang für x0 → x ∈ Γy von innen führt auf
u 1in ( y ) ( x 0 – y )
Ω ( x 0 ) ö in
1
- n dΓ y + æ -------------u 2 ( x 0 ) = ------ --------------------------------- – 1ø u1 ( x 0 ) ,
3
è
4π
4π
x0 – y
ò
(5.19)
wobei Ω ( x0 ) den Raumwinkel bezeichnet, der die Randfläche im Punkt x0 umschließt. Für
glatte Flächen gilt
Ω ( x 0 ) = 2π .
Wird die Dipolbelegung am Rand nach den lokalen Basisfunktionen ϕki ( y ) entwickelt
(5.20)
METHODEN ZUR LÖSUNG DER MIKROMAGNETISCHEN GLEICHUNGEN
N
u 1in ( y ) =
å u ϕ (y) ,
i
1
59
(5.21)
i
i=1
und in Glg. 5.19 eingesetzt, ergibt sich,
N
Ω ( x0j ) ö j
u 2 ( x 0j ) = æè -------------- – 1ø u1 +
4π
ele
i( y )( x j – y)
1- ϕ
0
----------------------------------- n dΓ y u 1i
j
4π
( x0 – y )3
å å ò
i=1 e=1
,
(5.22)
∆e
wobei u2 an den N Punkten auf dem Oberflächengitter ausgewertet wurde. Das Integral
wurde in eine Summe von Integralen über die einzelnen Oberflächenelemente aufgespaltet.
ele ist die Anzahl der finiten Elemente und N die Anzahl der Knotenpunkte. In Glg. 5.22
wurde
N
u 1in ( x0j ) =
å u ϕ (x ) = u
i
1
i
j
0
j
1
(5.23)
i=1
verwendet. Glg. 5.22 kann in der Form
u 2j = Bij u 1i
(5.24)
geschrieben werden. Die N x N Matrix B ist vollbesetzt, muß jedoch nur einmal berechnet
werden, da sie nur von der Geometrie des Körpers und dem finiten Element Gitter abhängt.
Außerdem kann die vollbestzte Matrix B kann durch eine Wavelet Transformation auf eine
dünnbesetzte Matrix transformiert werden [22].
5.3 Lösung der Brownschen Gleichungen
Im Rahmen dieses Arbeit wurde ein schnelles und effizientes Lösungsverfahren gesucht um
die mikromagnetischen Gleichungen für möglichst große Geometrien, wie zum Beispiel für
Sintermagnete, lösen zu können. Der erste Algorithmus der entwickelt wurde, basiert auf dem
numerischen Lösungsversuch der Brownschen Gleichungen mit Hilfe der finiten Element
Methode. Ausgangspunkt war die Gleichung (3.73),
J × H eff = 0
(5.25)
METHODEN ZUR LÖSUNG DER MIKROMAGNETISCHEN GLEICHUNGEN
60
die im Gleichgewicht gilt und aus der Variation der totalen Gibbsschen freien Energie folgt,
wobei am Rand des magnetischen Bereichs die Bedingung,
∂J- = 0
----∂n
(5.26)
erfüllt sein muß. Glg. 5.25 bedeutet, daß im Gleichgewicht die magnetische Polarisation parallel sein, aber nicht unbedingt in die Richtung (siehe Abbildung 3.2, Seite 39) des effektiven
Feldes zeigen muß, also,
Heff = αJ .
(5.27)
Die Proportionalitätskonstante α kann bestimmt werden, indem Glg. 5.27 mit der magnetischen Polarisation J multipliziert wird und J 2 = Js2 berücksichtigt wird. Daraus folgt,
H eff J
α = ------------.
J s2
(5.28)
Eingesetzt in Glg. 5.27 lautet diese,
1
Heff = ----2- ( H eff J )J .
Js
(5.29)
Die Gleichgewichtsbedingung (5.29) kann auch aus der Landau-Lifshitz Gleichung erhalten
werden, wenn berücksichtigt wird, daß im Gleichgewicht gilt,
d-----J- = 0
dt
(5.30)
und der Präzessionsterm nicht berücksichtigt wird. Daraus folgt, daß der Dämpfungsterm
(zweite Term) in der Landau-Lifshitz Gleichung (3.80), der die Drehung der Polarisation in
Richtung des Feldes beschreibt, null sein muß. Wird der zweite Term null gesetzt folgt, wie
aus Glg. 3.82 ersichtlich, die Gleichgewichtsbedingung (5.29).
Im Rahmen dieser Arbeit wurde für die Lösung der Gleichung (5.29) die Methode der finiten
Elemente angewandt. Das Streufeldproblem wurde mit der Hybrid FE/Randelement Methode (Kapitel 5.2.1) behandelt. Bei dieser Methode wird u1 in differentieller Form angegeben. u2 folgt aus einer integralen Formulierung. Für u1 ergibt sich eine schwach besetzte
Steifigkeitsmatrix, da die Lösung u1 an jedem Gitterpunkt nur von den Werten der Lösungen
METHODEN ZUR LÖSUNG DER MIKROMAGNETISCHEN GLEICHUNGEN
61
an den angrenzenden Punkten abhängt. u2 wird mit Hilfe der Randelementmethode berechnet. Das führt zu einer vollbesetzten Matrix B (5.24).
Wird Glg. 5.29 mit der Methode der finiten Elemente gelöst, kann jedoch nur u1 implizit
berücksichtigt werden, indem neben der Glg. 5.29 die Gleichung ∆u1in = ∇M mit der Randbedingung –∂u1in /∂n = Mn simultan gelöst wird. Beachtet man, daß Glg. 5.29 eine Vektorgleichung mit drei Komponenten ist, wird ein System mit vier Differentialgleichungen gelöst.
u2 kann wegen der integralen Form nicht implizit berücksichtigt werden. Für die Lösung des
Anfangsbedingung
FEM
Berechnung von
u1
BEM
Berechnung von
u2
am Rand
FEM
Berechnung von
u2 im
Inneren
FEM
1 Newtonschritt zur simultanen Lösung der
Brownschen Gleichung mit u 1.
u 2 wird konstant gehalten.
max (|Jalt -Jneu|) > tol
i
falsch
reduziere Hext
wahr
Abbildung 5.2: Flußdiagramm für eine halbimplizite FE/Randintegral - Methode zur
Lösung der Brownschen Gleichungen.
nicht linearen Gleichungssystem, das aus der schwachen Formulierung der Brownschen Gleichungen und der Poissongleichung für u1 entsteht wird die Newton-Raphson Methode angewandt. Das daraus resultierende, lineare Gleichungssystem wird mit einer vorkonditionierten
konjugierten Gradienten Methode gelöst. Nach jedem Newtonschritt wird u2 neu berechnet.
Der genaue Ablauf ist im Flußdiagramm in Abbildung 5.2 dargestellt.
METHODEN ZUR LÖSUNG DER MIKROMAGNETISCHEN GLEICHUNGEN
62
Neben der oben erwähnten Methode wurde auch ein explizites Verfahren implementiert. Bei
diesem wurde sowohl u1 als auch u2 während eines Newtonschrittes zur Lösung der Brownschen Gleichungen konstant gehalten und erst danach wurden die Potentiale neu berechnet.
Das Konvergenzverhalten war aber schlechter als das der halbimpliziten Methode.
5.3.1 Analyse und Test der Algorithmen
Das explizite Verfahren wurde für einen Pr9Fe85B6 Würfel mit der Kantenlänge 40nm getestet. Das minimale äußere Feld H bei dem die Newtoniteration noch konvergierte hing von
der Schrittweite von H ab. Bei einer Schrittweite von 0.01 2K /J war das kleinste erreichte
Hext 0.68 2K /J . Ein Versuch die Konvergenz zu verbesseren war, nicht die aus dem letzten
Schritt berechnete Magnetisierungskonfiguration als neuen Startwert für die Newtoniteration
zu wählen, sondern ein gewichtetes Mittel aus der neuen und alten Konfiguration.
ext
ext
1
1
s
s
J start = ( 1 – ω )J n – 1 + ωJ n
(5.31)
Damit sollte ein Wegdriften der Lösung durch das konstant gehaltene Streufeld vermieden
werden. Auch in diesem Fall konnte nicht die gesamte Entmagnetisierungskurve durchlaufen
werden. Das minimale äußere Feld, bei dem die Newton Iteration noch konvergierte, war 0.2
2K1/Js. Eine starke Verbesserung der Konvergenz konnte mit dem halbimpliziten Algorithmus erreicht werden, bei dem die gesamte Entmagnetisierungskurve durchlaufen werden
konnte. Konvergenzprobleme traten jedoch unteranderem bei sehr einfachen Geometrien
auf. Bei der Berechnung der Entmagnetisierungskurve einer Kugel mit uniaxialer Anisotropie,
die genügend klein ist, daß die homogene Rotation die relevante Ummagnetisierungsmode ist,
konnte das Nukleationsfeld nicht bestimmt werden. Wird bei dem erwähnten Eindomänenteilchen das äußere Feld und die anfängliche Magnetisierung parallel zur leichten Achse angelegt, zeigt auch das effektive Feld stets in Richtung dieser Achse. Daraus folgt, daß der
Anfangszustand für alle Werte des angelegten Feldes Lösung der Gleichung ist. Das Nukleationsfeld kann somit nicht bestimmt werden. Um dieses Problem zu umgehen wurde nach
jeder Änderung des äußeren Feldes die Magnetisierung in Richtung des äußeren Feldes
gedreht, wobei der Dämpfungsterm aus der Landau-Lifshitz Gleichung die Drehung
bestimmte.
J neu = ωJ × ( J × Heff ) + J alt
(5.32)
METHODEN ZUR LÖSUNG DER MIKROMAGNETISCHEN GLEICHUNGEN
63
Dieses Verfahren entspricht dem Gauss-Seidel Verfahren für die Minimierung eines nicht
linearen Funktionals [40], das für einen genügend kleinen Relaxationsparameter stets konvergiert. Die Anpassung des Relaxationsparameters erwies sich jedoch als schwierig und die versuchten Methoden brachten gegenüber der Integration der Landau-Lifshitz-Gleichung keinen
Geschwindigkeitsvorteil.
5.4 Minimierung der totalen Gibbsschen freien Energie
Wie in Kapitel 3.3 diskutiert wurde, kann ein Gleichgewichtszustand der magnetischen Polarisation berechnet werden, indem die totale Gibbssche freie Energie mit der Nebenbedingung
der Erhaltung der Norm von J minimiert wird. Die Erhaltung der Norm kann durch einen
Lagrangemultiplikator realisiert werden, wobei zu berücksichtigen ist, daß in diesem Fall die
Nebenbedingung nicht linear ist. Konvergenzprobleme können die Folge sein. Um dies zu
vermeiden, kann bei der Minimierung der Energie die magnetische Polarisation in Kugelkoordinaten dargestellt werden. In diesem Fall kann die Nebenbedingung leicht berücksichtigt
werden, indem die Koordinate also die Länge der Polarisation, konstant gehalten wird. Die
Anzahl der Unbekannten wird somit von 3 auf 2 reduziert. Dies führt zu einer Verminderung der Rechenzeit.
Verschiede Methoden wurden im Mikromagnetismus angewandt, um die Energie zu minimieren. Die meist verbreitete ist die Methode der konjugierten Gradienten. Von Konvergenzprobleme wurden bei der Verwendung der Newtonmethode [56] und der Gauss-Seidel [15]
Methode berichtet.
Im Rahmen dieser Arbeit wurde für die Minimierung der Energie die sogenannte “pre-conditioned, limited memory quasi-Newton conjugate gradient method”, die aus der NAG-Library
zur Verfügung stand, benutzt. Dieser NAG Routine muß eine Subroutine übergeben werden,
die als Funktion der 2N Winkel der Polarisation die Energie und die Ableitung der Energie
nach den 2N Winkel berechnet.
Die Berechnung der Energie erfolgt mit der Methode der finiten Elemente (siehe Kapitel
4.1.1.1), wobei der Streufeldterm mit der Hybrid FE/RE- Methode behandelt wird. Diese
Vorgangsweise ermöglicht die Berechnung magnetischer Körper beliebiger Geometrien.
Außerdem können räumlich getrennte Körper ohne einem finiten Elementgitter im Zwischenraum simuliert werden. Für die Energieberechnung wird die magnetische Polarisation
an den Knoten in kartesischen Koordinaten vorgegeben und mit Hilfe der Ansatzfunktion
s
r,
N
N
N
METHODEN ZUR LÖSUNG DER MIKROMAGNETISCHEN GLEICHUNGEN
64
innerhalb der finiten Elemente interpoliert. Es muß somit die magnetische Polarisation an
den Knotenpunkten vor der Berechnung der Energie in kartesische Koordinaten umgewandelt werden. Der Grund, warum nicht die des öfteren angegebene einfachere Form der totalen Gibbsschen freien Energie in Kugelkoordinaten benutzt wurde, ist, daß der
Austauschterm in dieser Darstellung
Eex =
ò A ( ∇ϑ )
2
+ ( ∇ϕ ) 2 sin2 ϑ dV
(5.33)
V
360° Domänen falsch beschreibt. Bei der Ableitung wurde unter anderem für den Ausdruck
∇ ( cos ϕ ) die Kettenregel angewandt und geschrieben als,
∇ ( cos ϕ ) = – sin ϕ ∇ϕ .
(5.34)
Bei einer 360° Domäne sind aber die Voraussetzungen für die Kettenregel, nämlich die Existenz der Ableitung der inneren und der äußeren Funktion, nicht erfüllt. Betrachtet man eine
360° Domäne in 2-Dimensionen, nimmt der Winkel ϕ , der die Richtung der magnetischen
Polarisation beschreibt, die Werte 0 bis 360° an. In diesem Fall existiert zwar im gesamten
betrachtetem Gebiet der Gradient der linken Seite von Glg. 5.33, nicht aber der Gradient des
Winkels ϕ , da ϕ an einer Stelle eine Unstetigkeit von 360° aufweist.
Die Ableitung der Energie nach der in kartesischen Koordinaten dargestellten magnetischen
Polarisation wurde, wie in Kapitel 4.1.1.2 beschrieben, durchgeführt. Um die für die konjugierte Gradienten Methode benötigten 2N Ableitungen der Energie nach den Winkel ϑi und
ϕ i in jedem Knotenpunkt zu erhalten wurde die Koordinatentransformation
∂E ∂J i
∂E
= -------- ------∂J i ϑ i
∂ϑi
(5.35)
∂J
∂E = ∂E
-------- -------i
∂J i ϕ i
∂ϕi
(5.36)
durchgeführt, wobei die magnetische Polarisation
J x, i = J s cos ( ϕ i ) sin ( ϑi )
J y, i = J s sin ( ϕ i ) sin ( ϑi )
J z, i = J s cos ( ϑi )
(5.37)
(5.38)
(5.39)
METHODEN ZUR LÖSUNG DER MIKROMAGNETISCHEN GLEICHUNGEN
65
in Kugelkoordinaten dargestellt wurde [37].
In Abbildung 5.3 ist der Ablauf des Computerprogrammes dargestellt. Das finite Elementgitter wird mit dem Programm
erzeugt. Als finite Element müssen Tetraeder, mit linearen
Patran
Einlesen des finiten Elementgitters und der Materialparam-
, K1,A und k für jedes
eter Js
Korn
Berechnen der Matrix
B für die
hybrid FE/RE - Methode
Erkennung der Korngrenzen
und Modifikation der Materialparameter an den
Korngrenzen
Initialisierung der
Startkonfiguration Js
Minimierung der Energie
J ϑ, i, J ϕ, i → J x, i, J y, i, J z, i
Berechnung der Energie und des
Minimierung der Energie
E ( J ϑ, i, J ϕ, i ) , mit einer vorkonditionierten quasi Newton konjungierten Gradienten-Methode
Gradienten. Für das Streufeld-
E ( J ϑ, i, J ϕ, i )
∂E ( J ϑ, i, J ϕ, i ) ∂E ( J ϑ, i, J ϕ, i )
---------------------------------- ---------------------------------,
∂ϑ i
∂ϕ i
problem wird die Hybrid FE/RE
- Methode verwendet.
Ausgabe von Js und H
Ja
Reduziere H ext
Nein
Ende
Abbildung 5.3: Flußdiagramm des statischen Programms, das im Rahmen dieser Arbeit
entwickelt wurde, um die Gibbssche totale freie Energie zu minimieren. Das Streufeld wird
mit der Hybrid FE/RE Methode berechnet.
METHODEN ZUR LÖSUNG DER MIKROMAGNETISCHEN GLEICHUNGEN
66
Ansatzfunktionen, verwendet werden. Wegen der Randelementmethode die bei der Streufeldberechnung angewandt wird, muß auf der Oberfläche ein Gitter mit Dreieckselementen
erzeugt werden. In Patran können verschiedene Bereiche definiert werden, denen bei der
Simulation unterschiedliche Materialparameter zugeordnet werden können. Diese Bereiche
entsprechen unterschiedlichen magnetischen Körnern. Ferner können bei den Simulationen
die Materialparameter abhängig von dem Abstand zu den Korngrenzen variiert werden. Es
wird zwischen Korngrenzen unterschieden, bei denen entweder vier, drei oder zwei Körner
zusammentreffen.
Die Ausgabe der Magnetisierungskonfiguration in jedem Gleichgewichtszustand erfolgt in
einem Format, das von dem Programm AVS gelesen werden kann.
5.4.1 Test des Algorithmus − µMAG Problem #3
Um den Algorithmus zu testen wurde das, vom NIST Zentrum für Theoretical and Computational Materials Science vorgeschlagene, µMAG Problem Nummer 3 [27] gerechnet. Bei diesem
Problem ist die Größe eines magnetischen Würfels so zu bestimmen, daß der sogenannte
Flowerzustand und der Vortexzustand (Abbildung 5.4) die selbe Energie haben. Diese
gesuchte Größe des Würfels beschreibt die Eindomänengrenze. Die leichte Achse der
Magnetisierung zeigt parallel zu einer Würfelkante. Es wird kein äußeres Feld angelegt. Die
Ausgabe der Länge erfolgt in Vielfachen von der Austauschlänge lex = ( A/Km )1 / 2 , wobei
Km
2A 1 / 2
K m = ( A/K m )1 / 2 = æè -------------2-öø
= 10K 1
µ0Ms
(5.40)
die magnetostatische Energiedichte beschreibt und K1 die erste Kristallanisotropiekonstante
für uniaxiale Materialien.
Abhängig von der initialisierten Magnetisierungskonfiguration erhält man den Vortex beziehungsweise den Flowerzustand. Für den Flowerzustand wurde die Magnetisierung parallel zu
einer Würfelachse vorgegeben. Für den Vortexzustand wurden zwei unterschiedliche Startkonfigurationen der Magnetisierung gewählt, die in Abbildung 5.4 dargestellt sind. Falls der
homogene Zustand initialisiert wurde (Abbildung 5.4 rechts), betrug die Rechenzeit auf einer
Alpha Workstation mit 330 MHz 5000 Sekunden, wobei 6987 finite Elemente (entsprach 1484
METHODEN ZUR LÖSUNG DER MIKROMAGNETISCHEN GLEICHUNGEN
67
Knotenpunkten) verwendet wurden. Wurde die Anfangsmagnetisierung wie in Abbildung 5.4
links zu sehen ist gewählt, betrug die Rechenzeit zirka 1000 Sekunden. Die Berechnung der
Energie wurde mit linearen Ansatzfunktionen durchgeführt. Die kritische Länge für den
magnetischen Würfel wird durch den Schnittpunkt der Geraden in Abbildung 5.5 bestimmt.
Tabelle 5.41. Vergleich der Ergebnisse für Vortex und Flowerzustand
Allgemein
Rave [27]
Hertel [27]
FEM(DIPLOM)
Etot[2 Ms ]
0.3027
0.2937
Länge[lex]
8.47
8.4073
0.300a
8.376
0.2794
0.2699
0.2750
0.0177
0.0056
0.971
0.0180
0.0057
0.9703
1000
0.0193
0.0058
0.970
1483
π
2
Flower
Est
Eex
Eani
<Jz/Js>
Gitterpunkte
CPU(s)
1300b
Vortex
Est
Eex
Eani
<Jy/Js>
Gitterpunkte
CPU(s)
0.0783
0.1723
0.0687
0.1736
0.0728
0.1740
0.0521
0.352
0.0513
0.3385
0.5289
0.346
1000
1483
1010
a. Lineare Interpolation für die Energieberechnung, gemäß Glg. 4.11
b. Digital Alpha Workstation mit 330MHz
METHODEN ZUR LÖSUNG DER MIKROMAGNETISCHEN GLEICHUNGEN
Vortexzustand
Flowerzustand
Jz/Js
-1
-0.5
0
1
0.5
Abbildung 5.4: Zu sehen sind Schnitte durch den Mittelpunkt des Würfels, parallel zu
einer Seitenfläche. Durch die Farben ist die Komponente der magnetischen Polarisation
normal zur Bildebene, dargestellt.
0,3
2
) 0,298
s
M0,296
(2
E 0,294
vortex
0,292
8,36
8,38
8,4
8,42
8,44
8,46
8,48
flower
Länge(lex)
Abbildung 5.5: Abhängigkeit der Energie von der Austauschlänge beim Vortex- und
beim Flowerzustand
68
METHODEN ZUR LÖSUNG DER MIKROMAGNETISCHEN GLEICHUNGEN
69
J
leichte
B
Richtung
J
J
J
A
Abbildung 5.6: Sowohl bei der in (A) als auch der in (B) gezeigten initialisierten
Magnetisierungsverteilung wurde ein Vortexzustand erhalten
B
UNTERSUCHUNGEN ZUR NUKLEATIONSBILDUNG IN SE-MAGNETEN
70
6
UNTERSUCHUNGEN ZUR NUKLEATIONSBILDUNG
IN SE-MAGNETEN
6.1 Einleitung
Das Nukleationsfeld wurde erstmals von Brown eingeführt[4]. Er betrachtet einen ferromagnetischen Körper, der durch ein äußeres Feld in Richtung seiner leichten Achse gesättigt
wurde. Bei Reduzierung des Feldes wird bei einem kritischen Feld die Magnetisierungskonfiguration instabil. Dieser Feldwert wird nach Brown Nukleationsfeld genannt. Der Name
Nukleationsfeld ist, wie Brown selbst bedauerte, irreführend, da nicht immer ein lokaler Keim
sondern auch eine globale Änderung der Magnetisierung, wie die homogene Rotation (siehe
später), beim Nukleationsfeld auftreten kann. Nukleationsfelder können für einfache Geometrien analytisch berechnet werden. Als Beispiel wird ein Ellipsoid betrachtet, dessen uniaxiale
leichte Richtung parallel zu einer Hauptachse liegt. Das äußere Feld wird parallel zu dieser
Achse angelegt. Das Material ist homogen und besitzt keine Oberflächenanisotropie.
Werden all diese Voraussetzungen in die Brownschen Gleichungen (Glg. 3.73) eingesetzt,
zusätzlich Jx und Jy homogen angesetzt, also eine homogene Rotation der Magnetisierung
vorausgesetzt und die quadratischen Terme weggelassen, können die Brownschen Gleichungen geschrieben werden als,
2K
æ ---------1 µ
0
è J
s
2K
+ µ0 H ext + ( N x – N z )J sö J x = æ ---------1 µ0 + µ 0 H ext + ( N y – N z )J sö J y = 0 . (6.1)
ø
è J
ø
s
Ni beschreibt den Entmagnetisierungsfaktor in Richtung . Beim Nukleationsfeld muß definitionsgemäß die magnetische Polarisation von der Anfangsrichtung (z-Richtung) abweichen.
Daraus folgt, daß entweder die y - oder die x Komponente der magnetischen Polarisation
ungleich null ist. Um die Glg. 6.1 dennoch erfüllen zu können, muß der Klammerausdruck
vor Jx bzw. Jy verschwinden. Daraus kann das äußere Feld bestimmt werden, bei dem die
Nukleation beginnt. Ist die x-Achse des Ellipsoides länger als die y-Achse, also x < y,
erfolgt die Rotation in Richtung der x-Achse bei dem Feld,
i
N
N
UNTERSUCHUNGEN ZUR NUKLEATIONSBILDUNG IN SE-MAGNETEN
Js
2K
Hn = – ---------1 + ( N z – N x ) ----µ0
Js
71
(6.2)
Es muß betont werden, daß die Linearisierung der Brownschen Gleichungen keine Näherung
für die Bestimmung des Nukleationsfeld bedeutet. Da lediglich der Feldwert gesucht wird, bei
dem eine Änderung der Magnetisierungskonfiguration auftritt, können die qudratischen und
höheren Terme weggelassen werden.
Wird in Glg. 6.2 Nz gleich Nx gesetzt, also eine Kugel betrachtet, erhält man das gleiche
Koerzitivfeld wie in Kapitel 3.3.2 und 3.4.1, in denen ebenfalls eine homogene Rotation für
das kugelförmige Teilchen vorausgesetzt wurde.
Brown [5] und Frei et al.[17] konnten zeigen, daß für Kugeln, die eine bestimmte Größe übersteigen, eine andere Magnetisierungsmode ein betragsmäßig kleineres Koerzitivfeld hat. Diese
Mode wird Curling genannt. Das Nukleationsfeld ist gegeben durch
2K
1J
26 A H n = – ---------1 + --- -----s + ------ ---------3 µ0 3 R 2 Js
Js
.
(6.3)
Aus dem Vergleich mit Glg. 6.2 ergibt sich für den Kugelradius, ab dem die Curling Mode
begünstigt ist
26µ0 A
-.
R > --------------J s2
(6.4)
6.2 Einflüsse auf die Koerzitivität
Die Nukleationsfelder, die durch die Glg. 6.2 oder Glg. 6.3 beschrieben werden geben eine
untere Schranke für das theoretische Koerzitivfeld an. ( HN ≤ Hc ) Selbst diese untere
Schranke für das theoretische Koerzitivfeld ist bei weitem höher als als die experimentellen
Koerzitivfelder. Diese Diskrepanz ist unter dem Namen Brownsches Paradoxon bekannt.
Wie aus Abbildung 6.1 zu entnehmen ist, konnten erst in den letzten Jahren, durch die Entwicklung der Nd2Fe14B und der (CoFeCu)17(ZrSm)2 Magnete, Koerzitivfelder erreicht werden die “nur” zirka 60% unterhalb der theoretischen Grenzwerte liegen.
Die hohe Koerzitivität wird durch große Kristallanisotropie erreicht. Als Gründe für das
Brownsche Paradoxon werden vor allem magnetische und mikrostrukturelle Inhomogenitäten angeführt, die in den idealisierten theoretischen Modellen nicht berücksichtigt werden.
UNTERSUCHUNGEN ZUR NUKLEATIONSBILDUNG IN SE-MAGNETEN
72
Abbildung 6.1: Vergleich von theoretischen und experimentellen Koerzitivfeldern [31].
So können Streufelder an Ecken und Kanten, also an realistischen Kornoberflächen, weit
höhere Werte annehmen, als dem in den theoretischen Modellen mit dem Entmagnetisierungsfaktor Rechnung getragen wird.
An der Oberfläche der Körner kann, durch den Herstellungsprozeß oder durch Spannungen
die an jeder Phasengrenze eines Festkörpers auftreten, die Kristallstruktur gestört sein
(Abbildung 6.2). Weiters kann auch die Diffusion von Fremdatomen an der Phasengrenze die
Abbildung 6.2: Schematische Darstellung der gestörten Kristallstruktur an der
Kornoberfläche, die zu einer Abnahme der magnetischen Anisotropie führt [31].
Stöchiometrie der hartmagnetischen Phase stören und somit zu einer Verminderung der Kristallanisotropie an der Oberfläche eines Kornes führen.
Die idealen Koerzitivfelder wurden für einzelne Körner bestimmt. Reale Sintermagneten
bestehen aus mehreren Körnern, deren leichte Richtungen stets eine Fehlorientierung aufweisen. Abhängig davon, ob für die magnetische Härte der Pinning - oder Nukleationenprozeß verantwortlich ist, steigt bzw. sinkt das Koerzitivfeld mit größerer Fehlorientierung der
Körner.
UNTERSUCHUNGEN ZUR NUKLEATIONSBILDUNG IN SE-MAGNETEN
73
Weiters kann die Koerzitivität durch nichtmagnetische Körner vermindert werden, falls
diese große Entmagnetisierungsfelder verursachen.
6.2.1 Modell der mikrostrukturellen Parameter
Um die im letzten Kapitel erwähnten Einflüsse auf das Koerzitivfeld zu berücksichtigen,
wurde die Glg. 6.2 insofern erweitert, als Parameter eingeführt wurden, die von der Mikrostruktur des Magneten abhängen.
2K
J
HcExp = – α k α θ ---------1 + N eff -----s
Js
µ0
(6.5)
Der Parameter αk berücksichtigt die reduzierte magnetische Anisotropie an der Korngrenze,
N die erhöhten lokalen Streufelder, verursacht von Kanten und Ecken an den Kornrändern,
und α θ die Fehlorientierung der Körner und die Richtung des angelegten äußeren Feldes
[32].
Zur experimentellen Bestimmung der Parameter wurde das Koerzitivfeld bei verschiedenen
Temperaturen gemessen und als Funktion von dem bekannten temperaturabhängigen Faktor
2K /J aufgetragen[32]. Bei hohen Temperaturen, bei denen K2 gegenüber K1 vernachlässigbar ist, besteht ein linearen Zusammenhang zwischen H Exp und 2 1/ s. Aus diesen Messungen kann α = αk α θ und eff bestimmt werden.
eff
1
s
c
K
J
N
6.2.2 Der Mikrostrukturparameter αk
Abhängig davon, ob der Pinning - oder der Nukleationsprozeß für das Koerzitivfeld maßgeben ist, wurden von Kronmüller et al. [32] zwei analytische Formeln für den Mikrostrukturparameter αk angegeben.
Das Nukleationsfeld wurde für eine ebene, eindimensionale Störung der Anisotropiekonstante der Form
∆K - ,
K 1 ( x ) = K 1 ( ∞ ) – ----------------------x
( ch ) 2 æ ----ö
èr ø
0
(6.6)
UNTERSUCHUNGEN ZUR NUKLEATIONSBILDUNG IN SE-MAGNETEN
74
berechnet. ∆K bezeichnet die maximale Reduzierung der Anisotropiekonstante, bezogen auf
den Wert 1 des ungestörten Kristalls. 2 0 ist die Breite des gestörten Bereiches. Daraus ergibt
sich für
K
αknuc
δ B2
= 1 – ------------4π 2 r 02
r
4∆Kr 2
1 + ----------------0 – 1
A
2
, wobei
AδB = π ----K1
(6.7)
(6.8)
Für den Fall, daß Domänenwände verankert sind (Pinning), wurden ebenfalls ebene Inhomogenitäten angenommen. Die Abhängigkeit des Mikrostrukturparamters αk von der Dicke der
Störung ist in Abbildung 6.3 zu sehen. Aus dem Vergleich mit den experimentellen Daten
wurde die Dicke der Inhomogenitäten für FeNdAlB Magnete mit 0,5 nm bis 12 nm abgeschätzt.[32]
Abbildung 6.3: Der Mikrostrukturparamter αk in Abhängigkeit von der Dicke der
Störung. Sowohl für den Fall, daß Pinningzentren die Koerzitivität bestimmen, als auch
im Falle von Nukleation. ∆K = K1
6.2.3 Der Mikrostrukturparameter αθ
Die Winkelabhängigkeit des Parameters αθ kann für ein Eindomänenteilchen mit uniaxialer
Anisotropie, wobei nur die erste Anisotropiekonstante K1 berücksichtigt wird, mit Hilfe der
Stoner-Wohlfahrt Theorie [53] angegeben werden als,
UNTERSUCHUNGEN ZUR NUKLEATIONSBILDUNG IN SE-MAGNETEN
1
1
α θnuc = ---------------- ------------------------------------------cos ( θ ) ( 1 + tan2 / 3 ( θ ) ) 3 / 2
.
75
(6.9)
θ ist der Winkel zwischen der leichten Achse und dem äußeren Feld. Zu beachten ist, daß bei
einer Fehlorientrierung von mehr als 45°, das Koerzitivfeld, das Nukleationsfeld und das kritische Feld von ellipsenförmigen Eindomänenteilchen nicht mehr übereinstimmen. So verschiebt sich das kritische Feld und das Nukleationsfeld weiter nach links in der
Hysteresekurve, wo hingegen das Koerzitivfeld sinkt. Das bedeutet, daß bei größerer Fehlorientierung das Koerzitivfeld in Glg. 6.5 durch das kritische Feld ersetzt werden muß, wenn
Glg. 6.9 verwendet wird.
Im Fall der Pinning-Theorie folgt,
1
α θpin = ---------------cos ( θ )
.
(6.10)
ΗΝ(θ)/ΗΝ(0)
In Abbildung 6.4 werden Mikrostrukturparameter dieser beiden Theorien mit experimentellen Daten verglichen. Es ist zu sehen, daß keine dieser Theorien die experimentelle Abhängigkeit des Nukleationsfeldes mit dem Winkel θ erklären vermag.
θ[°]
Abbildung 6.4 zeigt das normierte Nukleationsfeld als Funktion des Winkel zwischen
der leichten Achse und dem äußeren Feld. (1) Pinning-Theorie (2) Experiment mit
Fe75Nd18,5B6,5[36] (3) Experiment mit Fe75Nd18,5B6,5+Al2O3[36] (4) Stoner-WohlfahrtTheorie
Berücksichtigt man hingegen, daß in realen Magneten die Körner nicht perfekt ausgerichtet
sind, erhält man, wie in Abbildung 6.5 zu sehen ist, einen Verlauf von α θnuc als Funktion von
θ , der besser mit den experimentellen Daten übereinstimmt. Für die Berechnung wurde eine
UNTERSUCHUNGEN ZUR NUKLEATIONSBILDUNG IN SE-MAGNETEN
76
gewichtete Gaußverteilung der leichten Achsen um die mittlere Richtung der leichten Achsen
angenommen[43].
θ 2-ö sin ( θ )
P 0 ( θ ) = N exp æ – ----è σ 2ø
αθ
(6.11)
θ(°)
Abbildung 6.5 zeigt den Mikrostrukturparameter αθnuc als Funktion des Winkel θ . θ
wird zwischen dem äußeren Feld und der mittleren Richtung der leichten Achsen
gemessen. Die leichten Richtungen sind mit einer Standardabweichung von σ = 20°
gaußförmig um die mittlere Achse gestreut.[43]
6.3 Mikromagnetische Simulationen
Das Ziel dieser Arbeit war, mit Hilfe von mikromagnetischen Simulationen das Verständnis
von Magnetisierungsprozessen in SE-Magneten zu verbessern. Speziell sollten die möglichen
Ursachen für das Brownsche Paradoxon untersucht werden.
Während für nanokristalline Magnete mikromagnetischen Simulationen durchgeführt wurden, die auch Störungen in der Zwischenkornschicht berücksichtigten [16], liegen für Sintermagnete vorwiegend nur 2-dimensionale Untersuchungen vor [51]. Der Grund dafür ist, daß
für die Simulation von Sintermagneten eine sehr große Anzahl von finiten Elementen nötig
ist. Durch die Methode der finten Elemente entsteht ein wesentlicher Diskretisierungsfehler,
falls in Bereichen in denen Domänenwände zu erwarten sind, die Elemente größer als die
typische Domänenwandbreite (einige nm) δB = π A/K1 sind [42]. Andererseits sind die
Körner von Sintermagneten einige µm groß. Daraus ergibt sich bei einem homogenen Gitter
eine Elementanzahl von einer Milliarde Elemente. Die momentane Obergrenze von finiten
Elementen - bezüglich einer angemessenen Rechenzeit - kann mit ca. 100 000 Elementen
UNTERSUCHUNGEN ZUR NUKLEATIONSBILDUNG IN SE-MAGNETEN
77
angegeben werden. Die Rechenzeit hängt stark von der Mikrostruktur ab. Sind weichmagnetische Einschlüsse vorhanden, führt dies zu einer drastischen Erhöhung des Rechenaufwandes.
Die Berechnung eines Ummagnetisierungsprozesses mit 100 000 finiten Elementen dauert,
mit dem im Rahmen dieser Arbeit entwickelten Computerprogramm, zirka eine Woche.
(Digital Alpha Workstation 533MHz). Um den Rechenaufwand zu reduzieren wurden einerseits die Simulationen mit einem statischen Programm durchgeführt. Andererseits konnte die
Anzahl der finiten Elemente und somit auch die Rechenzeit reduziert werden, indem die
Feinheit des finite Element Gitters lokal den Erfordernissen angepaßt wurde. Da angenommen wurde, daß die Nukleationen am Rand beginnen, wurde in der Mitte der hartmagnetischen Körner ein gröberes Gitter verwendet. Weiters wurde nur ein Ausschnitt eines
Sintermagneten untersucht. Um einen möglichst repräsentativen Teil zu betrachten, wurde
der Bereich ausgewählt, wo vier Körner zusammentreffen. Als Vorlage dienten die in Abbildung 6.6 zu sehenden elektronenmikroskopische Aufnahmen eines Nd-Fe-B Magneten.
10nm
Abbildung 6.6: Elektronenmikroskopische Aufnahme eines Nd-Fe-B Magneten. Zu
sehen ist die Korngrenze drei Körner.
Abbildung 6.7 zeigt die Geometrie die den Rechnungen zu Grunde gelegt wurde. Um die einzelnen Körner besser erkennen zu können, sind sie in Abbildung 6.7 versetzt dargestellt. Die
leichten Richtungen werden in Kugelkoordinaten dargestellt. Falls nicht anders angegeben,
wird bei den Simulationen eine Verteilung ϕ - Komponente der leichten Richtungen, wie in
Abbildung 6.7 rechts unten dargestellt, angenommen. Die leichte Richtung des ersten Kornes
ist parallel zur z-Achse. Diese Verteilung der ϕ - Komponente wird im weiteren konusförmig
UNTERSUCHUNGEN ZUR NUKLEATIONSBILDUNG IN SE-MAGNETEN
78
genannt. In den Körnern 2 bis 4 wird, falls nicht anders angegeben, die gleiche θ - Komponente der leichten Richtungen angenommen. Diese wird mit θ bezeichnet.
Für die intrinsischen Parameter der vier Körnern wurden die von Sagawa et al.[46] angegebenen Werte verwendet, die in Tabelle 6.12. zusammengefaßt sind.
Tabelle 6.12. Die für die Rechnung verwendeten intrinsischen Parameter
Js(T)
K1(J/m3)
A(J/m)
4.5 106
12.5 10-12
1.612
Die durchgeführten Rechnungen können in zwei Gruppen unterteilt werden. Bei den Rechnungen der ersten Gruppe wurde der berechnete Ausschnitt als ein kleiner SE-Magnete interpretiert. Die auf der Oberfläche entstehenden Ladungen führen zu dem Entmagnetisierungsfeld. Diese Berechnungen liefern Informationen über den Entmagnetisierungsprozeß an der Oberfläche eines SE-Magneten. Um aber auch das Verhalten im Inneren
eines SE-Magneten studieren zu können, wurden Rechnungen durchgeführt, bei denen die
Inhomogenitäten des Streufeldes, die durch die Geometrie verursacht werden, so weit als
möglich
wurden. Abbildungen oder Grafen die diese Gruppe von Rechnungen beschreiben werden mit einem markiert.
Für beide Gruppen wurde sowohl der Einfluß von gestörten Zwischenkornschichten als auch
der Einfluß der Verteilung der leichten Richtungen auf den Magnetisierungsprozeß untersucht. Die intrinsischen Eigenschaften an der Korngrenze werden mit A g, K1g und Jsg
bezeichnet. Das Verhältnis der intrinsischen Eigenschaften an der Korngrenze und innerhalb
des entsprechenden Kornes wird durch die Faktoren,
vernachlässigt
A ga = ----,
A
(6.13)
Kg
k 1 = ------1 ,
K1
(6.14)
Jg
j s = ----s- ,
Js
(6.15)
angegeben.
UNTERSUCHUNGEN ZUR NUKLEATIONSBILDUNG IN SE-MAGNETEN
z-Achse
Korn 2
Korn 3
z-Achse
140nm
Korn 4
Korn 1
ϕ-Komponente
der leichten Richtung
y
x
Abbildung 6.7: Die den Simulationen zugrunde gelegte Geometrie des Magneten. Die
vier Körner sind farblich unterschiedlich dargestellt. Das rechte untere Bild zeigt die
Verteilung der ϕ Komponente der leichten Richtung. Der Winkel θ wird zwischen der
leichten Richtung und der z-Achse gemessen. Falls nicht anders angegeben, wird diese
Verteilung den Rechnungen zugrunde gelegt und als konusförmig bezeichnet.
79
UNTERSUCHUNGEN ZUR NUKLEATIONSBILDUNG IN SE-MAGNETEN
6.3.1
80
Ideale Korngrenzen
In diesem Kapitel wird der Einfluß der Orientierung der leichten Richtungen auf den Ummagnetisierungsprozeß von Nd-Fe-B Magneten untersucht, wobei die Korngrenzen als ideal
angenommen werden. Das heißt die intrinsischen Parameter in der Nähe der Korngrenze
entsprechen denen des restlichen Magneten.
In Abbildung 6.8 sind die Nukleationsfelder der Computersimulation mit den Werten aus der
SW - Theorie
Simulation
θ
1
0,9
)° 0,8
0( 0,7
N
H
/)
( 0,6
HN
0,5
0,4
0,3
0
4
8
12
16 20
θ(Grad)
24
28
32
Abbildung 6.8: Vergleich der Nukleationsfelder nach der Theorie von Stoner und
Wohlfahrt mit denen der Computerexperimente. θ beschreibt den maximalen Winkel
zwischen dem exterenen Feld und der leichten Richung.
Stoner-Wohlfahrt Theorie verglichen. Bei den Simulationen für θ=8°, 12° und 16° wurde eine
konusförmige Verteilung der leichten Richtungen angenommen. Der zugehörige Winkel θ
entspricht somit dem Winkel θ in den Körnern 2 bis 4, da das äußere Feld parallel zur zAchse angelegt wurde. Die Entmagnetisierungskurven für diese Simulationen sind in Abbildung 6.9 dargestellt. Die Anzahl der finiten Elemente beträgt 13600, wobei an dem Punkt, wo
vier Körner zusammentreffen, das Gitter feiner (Elementgröße zirka 3,5 nm) als am Rand
(zirka 7 nm) ist. Das durch die Oberflächenladungen resultierende Streufeld wurde berücksichtigt.
Bei der Simulation θ=32° wurden die leichten Richtungen zufällig verteilt. Die Azimutwinkel
der leichten Richtungen betragen in den einzelnen Körnern θ =0°, 7°, 9°, 32°. Der maximale
Winkel θ=32° tritt nur im vierten Korn auf. Die Anzahl der finiten Elemente beträgt zirka
i
UNTERSUCHUNGEN ZUR NUKLEATIONSBILDUNG IN SE-MAGNETEN
Js
/
J
-0,7
-0,6
-0,5
-0,4
-0,3
H (2K /J )
ext
1
-0,2
-0,1
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
81
0
s
Abbildung 6.9: Abhängigkeit des Koerzitivfeldes von der Fehlorientierung der Körner.
(grob strichliert: θ = 8°, durchgezogen: θ = 12°, fein strichliert: θ = 16°)
50000, wobei ein homogenes Gitter verwendet wurde. Aus dem Vergleich mit einer Simulation mit 13600 Elementen stellte sich heraus, daß sich das Nukleationsfeld durch die Verminderung der Anzahl der Elemente kaum ändert und somit 13600 Elemente ausreichend sind.
Außerdem wurde eine Simulation durchgeführt bei der nur in einem Korn θ ungleich null,
nämlich θ=16°, angenommen wurde. Das Nukleationsfeld entsprach annähernd dem
Nukleationsfeld der Simulation, bei der die leichten Richtungen konusförimg angeordnet
wurden (Abbildung 6.13). Abbildung 6.10 vergleicht die Magnetisierungskonfiguration dieser
beiden Simulationen. Das äußere Feld beträgt H =-3140 kA/m = 0,56 2K /J . Es sind also
Zustände kurz vor dem Ummagnetisieren zu sehen. Die gelben Blasen repräsentieren die
Gebiete mit der kleinsten z-Komponente der magnetischen Polarisation. Zu beachten ist, daß
diese Gebiete stets in der Mitte der Oberfläche eines Kornes liegen. Verantwortlich dafür ist
vermutlich die Austauschkopplung, die eine stabilisierende Wirkung auf die gegeneinander
leicht verkippten Magnetisierungsrichtungen an den Korngrenzen ausüben kann.
Die Tatsache, daß die Nukleationsfelder der Computersimulationen stets unterhalb der Werte
aus der Stoner-Wohlfahrt Theorie liegen, kann durch das inhomogene Streufeld der Körper,
das Nukleation begünstigt, erklärt werden. Genaue Untersuchungen wurden von Schrefl [51]
für würfelförmige Körper vorgenommen. Für Kantenlängen im nm Bereich ist der Einfluß
gering. Werden hingegen kugelförmige oder elliptische Körper, wie bei der SW-Theorie,
ext
1
s
UNTERSUCHUNGEN ZUR NUKLEATIONSBILDUNG IN SE-MAGNETEN
82
betrachtet, ist das Streufeld stets parallel zur Magnetisierung und hat somit keinen Einfluß auf
das Nukleationsfeld.
Korn 2
Korn 3
Korn 4
Korn 1
Jz/ Js
-1
-0.5
0
0.5
1
Abbildung 6.10: Die gelben Blasen stellen die Bereiche mit der kleinsten z-Komponente
der Magnetisierung (J/J =0.7), dar. Hier entsteht der Nukleationskeim. Im linken Bild
beträgt die Fehlorientierung der leichten Richtung in jedem Korn, ausgenommen im
ersten, 16°. Im rechten Bild wurde nur im 1. Korn die leichte Richtung um 16° zur zAchse verkippt.
s
6.3.2 Störungen an Kanten
Wie in Kapitel 2.3.1 gezeigt wurde, besteht ein gesinterter Nd-Fe-B Magnet nicht nur aus der
hartmagnetische Nd2Fe14B Phase. Fidler et al.[12] zeigten, daß in SE Magnete speziell an der
Kante, wo drei Körner zusammentreffen, sich eine Nd-reiche Phase ausbilden kann. In
Abbildung 6.11 ist links eine elektronenmikroskopische Aufnahme eines Nd-Fe-B Magneten
zu sehen. Der dreieckige Bereich in der Mitte des Bildes ist ein Nd-reicher Einschluß. Die
Realisierung Nd-reicher Kanten in den Simulation ist in Abbildung 6.11 rechts zu sehen. Der
Radius der Kante ist zirka 3,5 nm und enthält zwei finite Elemente. Der Einfluß der Kanten
hängt stark von der Verteilung der leichten Richtungen ab. Wurde eine konusförmige Verteilung der leichten Richtungen angenommen, hatte eine Reduktion der Austauschkonstante
keinen Einfluß auf das Koerzitivfeld. Es wurden annähernd die gleichen Entmagnetisierungskurven erhalten, wie bei an den Kanten ungestörten intrinsischen Parameter (Abb. 6.12).
UNTERSUCHUNGEN ZUR NUKLEATIONSBILDUNG IN SE-MAGNETEN
100nm
Abbildung 6.11: (links) Aufnahme der Korngrenze eines gesinterten Nd-Fe-B Magneten
mit einem Transmissionselektronenmikroskop. In der Mitte des Bildes ist die Nd-reiche
Phase zu sehen. (rechts) Die Geometrie die den Simulationen zu Grunde gelegt wurde.
1
A=0 auf Kante
A=A auf Kante
0,9
0,8
0,7
0,6
Js
/
J
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-0,6
-0,5
-0,4
-0,3
H (2K /J )
ext
1
-0,2
-0,1
0
s
Abbildung 6.12 zeigt den Einfluß einer Reduktion der Austauschkonstante an den
Kanten auf den Entmagnetisieurngsprozess. Die restlichen intrinsischen Parameter
entsprachen denen von Nd2Fe14B. Nur in einem Korn wurde die leichte Richung um
16° von der z-Achse ausgelenkt.
83
UNTERSUCHUNGEN ZUR NUKLEATIONSBILDUNG IN SE-MAGNETEN
84
Dies trifft auch dann zu, wenn neben der Austauschkonstante A noch J und K null gesetzt
werden (Abbildung 6.13). Der Grund ist, daß die Körner 1 bis 3 die gleiche Fehlorientierung
haben und somit jedes Korn das gleiche Nukleationsfeld besitzt. Eine starke oder schwache
Kopplung der Körner untereinander hat in diesem Fall keinen Einfluß auf das Koerzitivfeld.
Wurde hingegen nur in einem Korn eine Fehlorientierung der leichten Achse von 16° angenommen, hatte die Wahl der Austauschkonstante einen kleinen Einfluß auf den Entmagnetisierungsprozeß wie in Abbildung 6.12 und Abbildung 6.13 zu sehen ist. Die Änderung des
Koerzitivfeldes betrug ∆Hc = 0, 012 ( 2K1 /Js ) = 67kA/m .
s
0,6
1
1 f ehlorientiertes Korn
0,595
konusförmige Fehlo.
0,59
)J 0,585
/
K
2( 0,58
s
1
H0,575
c
0,57
0,565
0,56
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
a,k 1 ,j s
Abbildung 6.13: Gegenüberstellung des Einflusses von nichtmagnetischen Kanten auf
das Koerzitivfeld, bei einer konusförigen Anordnung der leichten Richtungen (θ =16°)
und in dem Fall, bei dem nur ein Korn um 16° fehlorientiert ist.
UNTERSUCHUNGEN ZUR NUKLEATIONSBILDUNG IN SE-MAGNETEN
85
6.3.3 Störungen an den Grenzflächen zweier Körner
In diesem Abschnitt wird der Einfluß einer intergranularen Zwischenphase auf den Entmagnetisierungsprozeß untersucht. Kronmüller et al. [32] schätzten die Dicke einer Zwischen-
Abbildung 6.14: In dem blauen Bereich wurden die intrinsischen Parameter variiert. Die
Dicke des Bereichs ist 7nm. Links ist zusätzlich das finite Elementgitter abgebildet.
phase mit reduzierter Anisotropie ab, indem sie, den aus einem analytischen Modell
bekannten Parameter α knuc , siehe Glg. 6.7, mit experimentellen Daten verglichen ( αknuc ist
eine Funktion der Dicke der Zwischenschicht). Es ergaben sich Dicken von 0.5 bis 12 nm für
FeNdAlB Magnete. In Abbildung 6.14 ist die Zwischenschicht zu sehen, die den Computersimulationen zugrunde gelegt wurde. Die Dicke der Schicht beträgt zirka 7 nm. Die Materialparameter in der Zwischenschicht wurden variiert. Die Anzahl der finiten Elemente, die in
Abbildung 6.14 rechts eingezeichnet sind, beträgt 39.397. Das finite Elementgitter wurde in
der Umgebung der Zwischenphase verfeinert.
6.3.3.1 Bedeutung der Kristallanisotropie der intergranularen Zwischenschicht
Aus Abbildung 6.15 ist zu sehen, daß durch eine Verminderung der Anisotropiekonstante in
der intergranularen Zwischenschicht das Koerzitivfeld stark absinkt. Die grob strichlierte
Linie in Abbildung 6.15 entspricht der Entmagnetisierungskurve eines idealen Magneten. Das
heißt, die intrinsischen Parameter in der Nähe von Korngrenzen entsprechen denen der hartmagnetischen NdFeB Phase. Die fein strichliert Entmagnetisierungskurve wurde erhalten,
indem in einer 7nm dicken Zwischenschicht (Abbildung 6.14) die Anisotropiekonstante null
UNTERSUCHUNGEN ZUR NUKLEATIONSBILDUNG IN SE-MAGNETEN
H
-0,626
-0,537
-0,447
(2
ext
-0,358
86
K1/Js)
-0,268
-0,179
-0,089
-1500
-1000
-500
0
K1=K1
K1=0
Experiment
Js
/
J
-3500
-3000
-2500
-2000
H
ext
0
(kA/m)
Abbildung 6.15: (K1=K1) In diesem Fall, wurde keine Störung in der Zwischenschicht
angenommen. Hc = 0,573 2K1/Js = 3203 kA/m. (K1=0) In einer 7nm dicken
Zwischenschicht wurde die Anisotropiekonstante K1 null gesetzt, Hc = 0,171 2K1/Js =
955 kA/m. (Experiment) Gesinterter Nd-Fe-B Magnet, Sasaki et al. [49], Hc = 0,153
2K1/Js = 855 kA/m
gesetzt wurde. Die Fehlorientierung der Körner wurde konusförmig angenommen und
beträgt maximal 16°. Die experimentelle Entmagnetisierungskurve wurde an einem Nd-Fe-B
gemessen, der durch das Sinterverfahren hergestellt wurde [49]. Durch isostatisches Pressen
mit der RIP-Technik konnte eine hohe Ausrichtung von 96,6% erreicht werden. Dies entspricht einer mittleren Fehlorientierung von 15°.
In Abbildung 6.16 fällt auf, daß die experimentelle Meßkurve, rechteckiger als die Entmagnetisierungskurve der Simulation (K1=0) ist. Dies ist darauf zurückzuführen, daß in der Simulation nur ein kleiner Ausschnitt eines Nd-Fe-B Magneten berechnet wurde. Die
hartmagnetische Phase nimmt somit einen beiweiten kleineren Volumenanteil ein, als bei realen Sintermagneten.
Werden die Entmagnetisierungskurven der Computersimulationen miteinander verglichen, so
ist eine starke Abnahme des Koerzitivfeldes, durch die weichmagnetische Zwischenphase zu
erkennen. Die mikromagnetische Ursache ist in Abbildung 6.16 zu sehen. Das Streufeld, verursacht durch magnetische Oberflächenladungen, nimmt am Rand des Körpers seinen größten Wert an (Abbildung 6.17 rechts). Folglich entstehen in der weichmagnetischen
Zwischenphase, nahe der Oberfläche, Nukleationen. Mit steigendem äußeren Feld wachsen
UNTERSUCHUNGEN ZUR NUKLEATIONSBILDUNG IN SE-MAGNETEN
Hext= 0
87
Hext= -0,126 2K1/Js = -704 kA/m
Jz/Js
-1
-0.5
0
0.5
1
Abbildung 6.16 zeigt die Keimbildung in einem Nd-Fe-B mit einer Fehlorientierung
von 16° in den Körnern 2-4. Das inhomogene Streufeld, verursacht durch die
Geometrie, begünstigt die Keimbildung nahe der Oberfläche.
die Nukleationen bis sie schließlich in der Mitte der weichmagnetischen Schicht völlig ummagnetisieren. Wegen der Austauschwechselwirkung führt diese Störung zu einer Nukleationsbildung in der hartmagnetischen Nd-Fe-B Phase, die folglich wegen ihrer kleinen
Ausdehnung homogen ummagnetisiert. Dieser Prozeß kann in einem Nd-Fe-B Magneten in
der Nähe der Oberfläche auftreten. Zu beachten ist, daß die Körner von gesinterten Nd-Fe-B
Magneten die Eindomänengrenze übersteigen. Anstatt der kollektiven Ummagnetisierung der
hartmagnetischen Phase können sich Domänen innerhalb eines Kornes bilden.
Um den Einfluß des inhomogenen Streufeldes, das unter anderem durch die magnetischen
Oberflächenladungen verursacht wird, zu reduzieren, wurde in dem Bereich nahe der Oberfläche die Magnetisierung in Richtung der leichten Achse festgehalten. Dadurch steigt der
Betrag des Koerzitivfeldes von Hc = 0,171 2K1/Js = 955 kA/m auf 0,24 2K1/Js = 1341 kA/
m. Dieser Unterschied entspricht zirka der Differenz des Streufeldes am Rand des Magneten
und am Rand der Kugel, außerhalb derer, die Magnetisierung festgehalten wurde. Die magnetischen Oberflächenladungen initiieren also auch hier die Nukleationsbildung.
Um den Effekt der Oberflächenladungen weiter zu reduzieren wurden Rechnungen mit dem
Streufeld H˜ s durchgeführt.
UNTERSUCHUNGEN ZUR NUKLEATIONSBILDUNG IN SE-MAGNETEN
88
Hext= - 0.12 2K1/Js = -672 kA/m
J z/Js
-1
-0.5
H
0
-0.5
-1
0
0.30
0.61
-0.91
1.22
Abbildung 6.17(linkes Bild) Außerhalb einer Kugel deren Durchmesser 0.8 mal der
Höhe des Magneten entspricht, wurde die Magnetisierung in Richtung der leichten
Achse festgehalten. (rechtes Bild) Zeigt den Betrag des Streufeld in reduzierten
Einheiten, bei einer in z-Richtung homogenen Magnetisierung.
(6.16)
H˜ s = H s – H h
Hs ist das Streufeld, das sowohl Volumsdivergenzen der Magnetisierung als auch magnetische
Oberflächenladungen berücksichtigt. Dieses Streufeld wurde den vorangegangenen Rechnungen zu Grunde gelegt. H ist das Streufeld des homogen in z-Richtung magnetisierten Körpers. Solange die Magnetisierung an der Oberfläche nur wenig von der z-Achse abweicht,
werden durch H˜ s vorwiegend Volumsdivergenzen und das makroskopische Entmagnetisierungsfeld beschrieben. Da die Keimbildung meist in der Mitte des weichmagnetischen
Bereichs startet und der Rest des Magneten aus hartmagnetischen Phasen besteht, wird die
Voraussetzung gut erfüllt.
Die Rechnungen können auch interpretiert werden, indem gedanklich H vom äußeren Feld
abgezogen wird und das Streufeld H auf den Körper wirkt.
h
h
s
˜
H
ext = Hext – Hh
(6.17)
Bei dieser Interpretation wirkt ein inhomogenes äußeres Feld auf ein kleines Stück eines NdFe-B Magneten.
UNTERSUCHUNGEN ZUR NUKLEATIONSBILDUNG IN SE-MAGNETEN
89
Grafen und Abbildungen die Rechnungen darstellen, bei denen Hh abgezogen wird, um die
Inhomogenitäten des Streufeldes, verursacht durch die Geometrie, zu reduzieren, werden mit
einem markiert.
Mit den voran beschriebenen Simulationen wurde das Verhalten der Nukleationsfelder untersucht, wenn die Anisotropiekonstante K1 in der 7nm dicken Zwischenschicht variiert wird.
Die Fehlorientierung der Körner wurde konusförmig angenommen und beträgt maximal 16°.
In Abbildung 6.18 ist das Nukleationsfeld als Funktion der magnetischen Härte in der Zwi0,7
0,6
0,5
)Js
/1 0,4
K
2(n 0,3
H
0,2
0,1
0
0
0,25
0,5
0,75
1
k1
Abbildung 6.18: Abhängigkeit des Nukleationsfeldes von dem Verhältnis k1 = K1g /K 1
in der intergranularen Schicht.
schenschicht dargestellt. Wird in der intergranularen Schicht die Anisotropiekonstante reduziert, entsteht in dieser magnetisch weicheren Phase ein Nukleationskeim, der die
Ummagnetisierung der hartmagnetischen Phase einleitet. Der Vergleich mit dem Nukleationsfeld, das in Abbildung 6.15 für K1=0 dargestellt ist und unter Berücksichtigung der
magnetischen Oberflächenladungen erhalten wurde, zeigt, daß durch die magnetischen Oberflächenladungen das Nukleationsfeld stark reduziert wird. Der Grund ist das inhomogene
Streufeld, das Nukleationen an der Oberfläche verursacht.
Für k1 gleich 1, also für ideale Korngrenzen, wird das Nukleationsfeld durch einen homogenen Ummagnetisierungsprozeß der hartmagnetischen Phase bestimmt. Wie aus Abbildung
6.18 ersichtlich, ist für den Fall von idealen Korngrenzen, das Nukleationsfeld 0.7 2K /J . Das
Nukleationsfeld HN0 nach der Theorie von Stoner und Wohlfahrt, für eine Fehlorientierung
von 16°, beträgt jedoch nur 0,61 2K /J . Der Grund für die Diskrepanz ist, daß bei den Simu1
1
s
s
UNTERSUCHUNGEN ZUR NUKLEATIONSBILDUNG IN SE-MAGNETEN
90
lationen das Streufeld Hh , vom äußeren Feld abgezogen wird (6.17). Um die Nukleationsfelder der Simulation mit den Resultaten nach der Stoner Wohlfahrt Theorie vergleichen zu
können, muß das mittlere Streufeld, das mit 1/3 J/µ0 abgeschätzt wird, vom externen Feld
abgezogen werden.
(6.18)
1J
H ′ ext = H ext – --- ----3 µ0
In Abbildung 6.19 sind die Nukleationsfelder H’N, die gemäß Glg. 6.18 angegeben werden,
SW - Theorie
Simulation
θ
1
0,9
)° 0,8
0(
N 0,7
H
/)
(N 0,6
H́0,5
0,4
0,3
0
4
8
12
16 20
θ(Grad)
24
28
32
Abbildung 6.19: Vergleich der Nukleationsfelder nach der Theorie von Stoner und
Wohlfahrt mit denen der Computersimulationen, wobei die inhomogenen Streufelder,
verursacht durch Oberflächenladungen, nicht berücksichtigt werden. θ ist der maximale
Winkel zwischen der leichten Richtung und dem externen Feld.
für verschiedene Fehlorientierungen der Körner dargestellt. Im Gegensatz zu den Nukleationsfelder HN, die in Abbildung 6.8 zu sehen sind und unter Berücksichtigung der Streufelder
durch magnetische Oberflächenladungen berechnet wurden, liegen die Nukleationsfelder
H’N nicht unterhalb der SW-Werte. Dies zeigt, daß die inhomogenen Streufelder, die für die
kleineren Nukleationsfelder in Abbildung 6.8 verantwortlich sind, durch den Ansatz (6.16)
bzw. (6.17) größtenteils eliminiert werden können.
UNTERSUCHUNGEN ZUR NUKLEATIONSBILDUNG IN SE-MAGNETEN
91
6.3.3.2 Einfluß der Fehlorientierung der Körner auf das Nukleationsfeld
Im Gegensatz zur Theorie von Stoner und Wohlfahrt wurde in Laborexperimenten an NdFe-B Magneten - mit wenigen Ausnahmen - stets ein Anstieg des Betrages von
Hc mit größe-
rer Fehlorientierung der Körner beobachtet. Ein Beispiel dafür sind Messungen von Kim et
0,22
0,2
0,18
)J
/
K2 0,16
(
s
1
H0,14
c
0,12
0,1
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
σ
Abbildung 6.20: (links) Hysteresekurven von Nd-Dy-Fe-Co-B Magneten (A und B) und
Nd-Fe-B Magneten (D und C). Die Ausrichtung der Körner ist in B bzw. C besser als in
A bzw. D [29].
(rechts) Messungen an gesinterten Nd-Fe-B Magnete von Gao et al. [18]. σ ist ein Maß
für die Ausrichtung der Körner. Je größer σ desto größer ist die Streuung der leichten
Richtungen.
al. [29], die eine Erhöhung des Koerzitivfeldes, mit bessere Ausrichtung der Körner in Nd-FeB Magneten nachweisen konnten (Abbildung 6.20 links, Kurven D und C). Im Gegensatz
dazu zeigten Messungen an Nd-Dy-Fe-Co-B ein Verhalten, das mit der Stoner Wohlfahrt
Theorie erklärt werden kann. Hier führte eine größere Fehlorientierung der Körner zu kleineren Koerzitivfeldern.
Auch Gau et al.[18] erhielten höhere Koerzitivfelder mit schlechterer Ausrichtung der Körner
(Abbildung 6.20 rechts). Die Ausrichtung der Körner wurde variiert indem die Stärke des
Magnetfeldes während des Preßvorganges entsprechend gewählt wurde. Die Messungen wurden an Nd-Fe-B Magneten durchgeführt. Für die Verteilung der leichten Richtungen kann
eine “tan(θ)-Typ” Gauß Verteilung angenommen werden.
1
– tan2 ( θ )-ö
P ( θ ) = --- --2- exp æè --------------------σ π
2σ 2 ø
(6.19)
UNTERSUCHUNGEN ZUR NUKLEATIONSBILDUNG IN SE-MAGNETEN
92
θ ist der Winkel zwischen der leichten Achse und dem äußeren Feld. Der Parameter σ ist ein
Maß für die Streuung der leichten Richtungen um die gemittelte Achse. In den Experimenten
wurde die Richtung des äußeren Feldes so gewählt, daß mit steigendem σ auch θ wächst.
Bei den folgenden Ergebnissen der Computersimulationen wurde in der intergranularen
Phase die Anisotropiekonstante null gesetzt. Die Verteilung der leichten Richtungen wurde
konusförmig angenommen. Der Winkel θ in den Körnern zwei bis vier wurde variiert und
der Einfluß auf den Entmagnetisierungsprozeß untersucht. In Abbildung 6.21 ist zu sehen,
1
0,9
0,8
0,7
0,6
Js
/
J
θ = 8°
θ = 12°
θ = 16°
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
H (2K /J )
ext
1
-0,1
0
s
Abbildung 6.21: Vergleich der Nukleationsfelder nach der Theorie von Stoner und
Wohlfahrt mit den Computerexperimenten, wobei die Inhomogenitäten des Streufeldes,
verursacht durch magnetische Oberflächenladungen, nicht berücksichtigt werden. θ
beschreibt den maximalen Winkel zwischen dem exterenen Feld und der leichten
Richtung.
daß auch in den Simulationen eine größere Fehlorientierung der Körner zu höheren Koerzitivfeldern führt. In Abbildung 6.21 ist der Sprung in der Entmagnetisierungskurve, bei Hext =
0,17 2K1/Js und einer Fehlorientierung von 8°, auffallend. Die Magnetisierungskonfiguration
kurz vor dem irreversiblen Ummagnetisierungsprozeß ist in Abbildung 6.22 links zu sehen.
Der rote Bereich in der Schnittfläche, die farblich die normierte z-Komponente der magnetischen Polarisation darstellt, zeigt, daß die magnetische Polarisation in der hartmagnetischen
Phase gut ausgerichtet ist und annähernd parallel zur leichten Richtung orientiert ist. Es ist
ferner zu sehen, daß die Keimbildung in der weichmagnetischen Zwischenphase beginnt.
Nach Erhöhung des äußeren Feldes magnetisiert annähernd die gesamte Zwischenphase um.
In Abbildung 6.22 rechts, sind die Magnetisierungskonfigurationen bei den gleichen Feldwer-
UNTERSUCHUNGEN ZUR NUKLEATIONSBILDUNG IN SE-MAGNETEN
Hext= -0,172 2K1/Js = -961 kA/m
θ = 8°
θ = 16°
Hext= -0,178 2K1/Js = -995 kA/m
θ = 8°
θ = 16°
Jz/ Js
0.7
0.775
0.850
0.925
1
Abbildung 6.22: Vergleich der z - Komponente der magnetischen Polarisation, bei einer
Fehlorientierung der Körner von 8° bzw. 16°. Auf Grund der größeren Streufelder bei
einer besseren Ausrichtung der Körner ist der Nukleationskeim im Fall θ = 8° größer als
bei θ = 16°.
93
UNTERSUCHUNGEN ZUR NUKLEATIONSBILDUNG IN SE-MAGNETEN
94
ten, für eine Fehlorientierung von 16°, dargestellt. Der Vergleich zeigt, daß vor allem nach
aber auch vor dem irreversiblen Entmagnetisierungsprozeß, der Keim in der weichmagnetische Phase bei einer besseren Ausrichtung größer ist. Dies ist auf das größere Streufeld in zRichtung bei einer besseren Ausrichtung der Körner zurückzuführen. Dieser Nukleationskeim leitet die Ummagnetisierung der hartmagnetischen Phase ein.
In Abbildung 6.24 ist zu sehen, daß bei Hext= -0,435 2K1/Js die magnetischen Keime für eine
mittlere Fehlorientierung der Körner, von 12° beziehungsweise 16°, annähernd gleich groß
sind. Der Unterschied der z - Komponente der magnetischen Polarisation ist, wie aus den
Entmagnetisierungskurven in Abbildung 6.21 zu erkennen ist, bedeutend größer bei Hext=0.
Das heißt, daß im Fall θ=16° die Magnetisierung der hartmagnetischen Phase von der leichten Richtung ausgelenkt sein muß. Die daraus entstehende Zunahme der Kristallanisotropieenergie ist in Abbildung 6.23 zu sehen. Die Bereiche der hartmagnetischen Phase in denen die
Magnetisierung von der leichten Richtung am meisten abweicht, sind in Abbildung 6.24 an
der grünen Färbung zu erkennen.
Der Keim in der weichmagnetischen Phase bleibt solange in der Zwischenschicht verankert,
bis das äußere Feld einen kritischen Wert überschreitet. Aus der Rechteckigkeit der Entmagnetisierungskurve ist zu sehen, daß dieser kritische Wert gleich dem Koerzitivfeld ist. Neben
dem Effekt der höheren Streufelder bei einer besseren Ausrichtung der Körner, der die
Keimbildung in der Zwischenphase begünstigt kann somit auch ein pinningartiger Mechanismus für das Sinken des Koerzitivfeldes mit besserer Ausrichtung der Körner, verantwortlich
gemacht werden.
UNTERSUCHUNGEN ZUR NUKLEATIONSBILDUNG IN SE-MAGNETEN
)
K
2/
(J
E
0,01
0,05
0,008
0,04
1
0,006
s
0,004
s
95
-0,4
-0,3
H
ext
-0,2
0
0,01
-0,002
0
-0,1
0
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
)1
K
2
/
s
(J
i
n
a
E
-0,4
x
e
E
0
(kA/m)
0,1
-0,5
K
2
/
s
(J
0,02
0,002
-0,5
)1
0,03
-0,3
-0,2
0,5
0,08
0,4
0,06
0,3
0,04
0,2
0,02
0,1
0
0
-0,1
-0,5
0
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0,5
0,4
)
K
2/
J(
E
0,3
1
s
θ = 12°
θ = 16°
0,2
t
o
t
0,1
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
H (2K /J )
ext
1
-0,1
0
0
s
Abbildung 6.23: Vergleich der Energiebeiträge für eine maximale Fehlorientierung von
12° (durchgezogene Linien) und und 16° (strichliert). Die Inhomogenitäten des
Streufeldes, verursacht durch die Geometrie des Magneten, werden nicht berücksichtigt.
)1
K
2/
J(s
EH
0
UNTERSUCHUNGEN ZUR NUKLEATIONSBILDUNG IN SE-MAGNETEN
96
Hext= -0,435K1/Js
θ = 12°
θ = 16°
Jz/Js
-1
-0.5
0
θ = 12°
0.5
1
θ = 16°
Jz/ Js
0.5
0.625
0.750
0.875
1
Abbildung 6.24: (oben) Zeigt die Keimbildung, die in der weichmagnetischen
Zwischenphase entsteht, für verschiedene Fehlorientierungen der Körner.
(unten) Farbliche Darstellung der z - Komponente der magnetischen Polarisation in der
Schnittebene.
UNTERSUCHUNGEN ZUR NUKLEATIONSBILDUNG IN SE-MAGNETEN
97
Die Entmagnetisierungskurven in Abbildung 6.25 repräsentieren Simulationen bei denen die
inhomogenen Streufelder, verursacht durch die magnetischen Oberflächenladungen, berücksichtigt wurden. Auch in diesem Fall ist zu erkennen, daß das Koerzitivfeld für θ = 16°, also
für die schlechteste Ausrichtung am größten ist. Aufgrund des inhomogenen Streufeldes, das
am Rand den größten Wert annimmt, entstehen die Nukleationen in der weichmagnetischen
Schicht nahe der Oberfläche (Abbildung 6.16 links) und breiten sich danach in der gesamten
Zwischenschicht (Abbildung 6.16 rechts) durch reversible Drehprozesse aus. Das hohe Koerzitivfeld bei schlechter Ausrichtung der Körner wird in diesem Fall, vorallem durch den pinningartigen Mechanismus, der die Ausbreitung des Keimes hemmt, verursacht. Nach der
Pinningtheorie steigt das kritische Feld, gemäß 1/cos(θ), mit steigender Fehlorientierung der
Körner.
s
J
/
J
-0,2
-0,15
-0,1
H (2K /J )
ext
1
-0,05
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
θ = 8°
θ = 12°
θ =16°
0
s
Abbildung 6.25: Abhängigkeit des Koerzitivfeldes von der Fehlorientierung der Körner.
Die Anisotropiekonstante wurde in der Zwischenschicht null gesetzt. Die Rechnung
erfolgte unter Berücksichtigung der inhomogenen Streufelder, verursacht durch
magnetische Oberflächenladungen.
UNTERSUCHUNGEN ZUR NUKLEATIONSBILDUNG IN SE-MAGNETEN
98
6.3.4 Nd-reiche Phasen an Kanten und Flächen
Wie Fidler et al. [12] zeigten, weist ein Nd-Fe-B Magnet im allgemeinen eine Multiphasenmikrostruktur auf (Abbildung 2.10). In diesem Kapitel wird der Einfluß von nichtmagnetischen
und paramagnetischen Phasen an den Kanten, wo drei Körner zusammentreffen (Abbildung
6.26 rechts), untersucht. In der Zwischenphase zweier Körner (Abbildung 6.26 links) wird
stets die Anisotropiekonstante null gesetzt. Die Rechnungen erfolgen unter Berücksichtigung
des inhomogenen Streufeldes, verursacht durch die magnetischen Oberflächenladungen. Das
Verwendete finite Elementgitter ist in Abbildung 6.14 zu sehen. Wie aus den Entmagnetisie-
Abbildung 6.26: (links) Blau ist der Bereich markiert, indem die
Kristallanisotropiekonstante K1 null gesetzt wurde. Die Dicke ist ca 3,5nm.
(rechts) Im blauen Bereich wurde für die Rechnungen eine paramagnetische Phase
(A=K1=0, Js<>0) beziehungsweise eine nichtmagnetische Phase (A=K1=Js=0)
gewählt.
rungskurven in Abbildung 6.27 zu entnehmen ist, wird durch eine paramagnetische Phase an
der Kante das Koerzitivfeld kaum beeinflußt. Einfachheitshalber wurde für die magnetische
Polarisation der Wert von Nd2Fe14B verwendet.
Im Gegensatz dazu führt eine nichtmagnetische Phase an den Kanten, zu einer Erhöhung des
Koerzitivfeldes, um zirka 13%. In Kapitel 6.3.2 wurde ebenfalls der Einfluß von nichtmagnetischen Kanten auf das Koerzitivfeld untersucht. Da aber in diesem Kapitel die Kristallanisotropiekonstante an den Korngrenzen nicht reduziert wurde, entsprachen die Koerzitivfelder
der einzelnen Körnern den idealen Werte nach der Theorie von Stoner und Wohlfahrt. Im
Falle einer konusförmigen Anordnung der leichten Richtungen, konnte somit kein Einfluß
UNTERSUCHUNGEN ZUR NUKLEATIONSBILDUNG IN SE-MAGNETEN
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
Js
/
J
-0,25
-0,2
-0,15
-0,1
H (2K /J )
ext
1
-0,05
99
(N) nichtmagnetische Kante
(A) Kante K1=0
(P) paramagnetische Kante
0
s
Abbildung 6.27: Entmagnetisierungkurven für verschiedene Phasen an den Kanten, wo
drei Körner zusammentreffen. (A): An der Kante werden die gleichen intrinsischen
Parameter angesetzt, wie an den intergranularen Flächen (K1=0, A und Js von
Nd2Fe14B). (P): An der Kante wird A=K1=0 angesetzt. Js von Nd2Fe14B (N): An der
Kante ist, A=K1=Js=0.
durch die unterschiedlichen magnetischen Phasen an den Kanten festgestellt werden.
In Abbildung 6.28 ist zu sehen, daß durch die nichtmagnetischen Kanten (N), die Ausbreitung des Keimes (Ka) vermindert wird. Dies führt zu einer Erhöhung des Koerzitivfeldes. Im
Fall (P), führt das Streufeld und das äußere Feld zur Ummagnetisierung in den paramagnetischen Bereichen. Da diese Bereiche nur über das Streufeld, nicht aber durch die Austauschkopplung, mit dem restlichen Magneten wechselwirken, wird die Koerzitivität des Magneten
nicht vermindert. Wegen der Ausbildung des Keimes (Ka) wird nicht das Koerzitivfeld von
(N) erreicht. Da sowohl im Fall (N) als auch im Fall (P), die Austauschkonstante und die Anisotropiekonstante null gesetzt werden, können die entsprechenden Energieterme keinen Beitrag liefern. Der Grund für die Ausbildung des Keimes (Ka), muß somit das unterschiedliche
Streufeld sein.
UNTERSUCHUNGEN ZUR NUKLEATIONSBILDUNG IN SE-MAGNETEN
(N) nichtmagnetische Phase an den Kanten
100
(A) K1=0 an den Kanten
Keim Ka
(P) paramagnetische Phase an den Kanten
Jz/Js
-1
-0.5
0
0.5
1
Abbildung 6.28:
Magnetisierungskonfiguration für die drei Fälle, deren
Entmagnetisierungskurven in Abbildung 6.27 dargestellt sind. Das äußere Feld beträgt
-0,149 2K1/Js. In den blauen Bereichen ist die z-Komponente der magnetischen
Polarisation -0,68 Js.
ZUSAMMENFASSUNG
101
7
ZUSAMMENFASSUNG
7.1 Lösungsmethoden der Mikromagnetischen Gleichungen
Die Methode der konjugierten Gradienten stellte sich als ein äußerst effizientes Verfahren
heraus, um die totale Gibbssche freie Energie zu minimieren und somit Gleichgewichtszustände der magnetischen Polarisation zu erhalten. Der Geschwindigkeitsvorteil gegenüber
dynamischen Rechnungen, mit expliziten Zeitintegrationsalgorithmen, hängt stark von der
Mikrostruktur ab, beträgt im allgemeinen jedoch mindestens einen Faktor 10.
Neben der direkten Minimierung der totalen Gibbsschen freien Energie wurde versucht,
Gleichgewichtszustände durch das Lösen der Brownschen Gleichung zu bestimmen. Diese
Methode lieferte nur in wenigen Fällen die gewünschten Ergebnisse. Ein Grund dafür ist, daß
das Kriterium der Parallelität zwischen der magnetischen Polarisation und dem effektiven
Feld, sowohl in lokalen Minima als auch in lokalen Maxima erfüllt ist. Die Bedingung, daß in
einem lokalen Minimum die magnetische Polarisation in Richtung des effektiven Feldes zeigen muß, ist jedoch zu strikt und schränkt die Anzahl der lokalen Minima wesentlich ein.
Außerdem traten Konvergenzprobleme auf. Diese sind darauf zurückzuführen, daß in Bereichen mit kleinen effektiven Felder die Feldrichtungen von einer Iteration (Newtonverfahren)
zur nächsten starken Fluktuationen unterworfen sind.
7.2 Simulation der Keimbildung in SE - Magneten
Die mikromagnetischen Simulationen zeigten, daß durch die Reduktion der Kristallanisotropie in intergranularen Bereichen, der Ummagnetisierungsprozeß wesentlich beeinflußt wird.
Vergleichbare Änderungen der Mikrostruktur können im Fall von idealen Korngrenzen zu
besseren magnetischen Eigenschaften führen, wogegen sie die Qualität des Magneten im Fall
von gestörten Korngrenzen reduzieren können. Deshalb werden die Abhängigkeiten der
magnetischen Eigenschaften von der Mikrostruktur - für diese beiden Gruppen - im folgenden getrennt zusammengefaßt.
ZUSAMMENFASSUNG
102
Perfekte Kristallanisotropie im gesamten Magneten:
• Im Fall von idealen Korngrenzen wird das Koerzitivfeld von Nd-Fe-B Magneten durch
das am meisten fehlorientierte Korn bestimmt.
• Wird der Winkel zwischen der leichen Achse und dem äußeren Feld variiert, ergibt sich
ein Verhalten der Koerzitivfelder, das mit der Stoner Wohlfahrt Theorie erklärt werden
kann. Der Grund, warum die Koerzitivfelder der Computersimulationen ein wenig unter
denen der Stoner Wohlfahrt Theorie liegen, kann den Inhomogenitäten des Streufeldes,
nahe der Oberfläche, zugeschrieben werden.
• Nichtmagnetische Phasen an Kanten, wo drei Körner zusammentreffen, führen zu einer
Erhöhung des Koerzitivfeldes.
Gestörte Kristallanisotropie in Bereichen wo zwei Körner zusammentreffen:
• Wird in einer 7nm dicken Zwischenschicht, die Anisotropiekonstante null gesetzt führt
dies zu einer Verminderung der Koerzitivität um 80%.
• Wird der Winkel zwischen der leichten Achse und dem äußeren Feld variiert, ergibt sich
ein Verhalten der Koerzitivfelder, das qualitativ im Einklang zu experimentellen Ergebnissen steht, im Widerspruch jedoch zur Stoner Wohlfahrt Theorie. Zwei unabhängige
Mechanismen sind für die schlechteren Koerzitivfelder bei besserer Ausrichtung der Körner verantwortlich.
Zum einen führt eine gute Ausrichtung der Körner zu hohen Entmagnetisierungsfeldern
in z-Richtung. Diese führen zu einer verstärkten Nukleationsbildung in der weichmagnetischen Phase. Dieser Effekt tritt vorallem bei betragsmäßig kleinen äußeren Feldern auf.
Zum anderen wird die Ausbreitung der in der weichmagnetischen Phase vorhandenen
Keime mit steigender Fehlorientierung stärker gehemmt. Dieser Effekt, der in dieser
Arbeit als pinningartiger Effekt bezeichnet wird, überwiegt bei betragsmäßig hohen äußeren Feldern.
• Nichtmagnetische Phasen an Kanten, wo drei Körner zusammentreffen, erhöhen die
Koerzitivität um 14%.
ANHANG
103
8
ANHANG
8.1 Kurzbeschreibung des Computerprogrammes
Die notwendigen Schritte für die Simulation eines Mehrphasenmagneten, sind in dem Textfile
“usr/users/suess/vecudszw/doc/UsrGuide.txt” auf der Workstaion atp330.tuwien.ac.at
beschrieben.
Das Hauptprogramm, das mit Hilfe der Methode der finiten Elemente und einem konjugierten Gradientenverfahren die totale Gibbssche freie Energie minimiert, heißt vecudszw.f
vecudszwbulk.f wird verwendet, falls die Inhomogenitäten des Streufeldes, verursacht durch
magnetischen Oberflächenladungen, reduziert werden sollen (Ansatz (6.16)). Im folgenden
wird das Programm vecudszw.f beschrieben. Der Aufbau des Programmes vecudszwbulk.f ist
ganz analog, es muß lediglich in den Routinennamen zw durch zwbulk ersetzt werden.
Das Grundkonzept von beiden Programmen wurde von einem bestehenden Programm
(vecurx.f), das dynamisch die Landau-Lifshitz-Gleichung löst, übernommen. Anstatt der
Zeitintegrationsroutine (rkf.f) wird die NAG - Routine E04DGF aufgerufen. Dieser Routine
muß eine Subroutine übergeben werden, die für eine bestimmte Magnetisierungskonfiguration die totale Energie und die Ableitung der Energie berechnet. Dieses Unterprogramm
heißt objfunzw und ist in der Datei obj_e04zw.f gespeichert. Der Programmkopf von objfunzw wird in der NAG Beschreibung von E04DGF definiert. Innerhalb dieser Routine
erfolgt die Berechnung der Energie durch das Programm calc_hex. Die Berechnung der
Ableitung der Energie erfolgt in den Programmen calc_hexzw und calc_heff.
.
8.1.1 Variation der Materialparameter nahe von Korngrenzen
Mit dem Programm vecudszw.f bzw. vecudszwbulk.f können die intrinsischen Materialparameter, nahe von Korngrenzen, variiert werden. Die Körner werden bei der Erzeugung des
finiten Elementgitters definiert. Die Routine distance bestimmt für jeden Gitterpunkt die
Anzahl der Körner, die in dem betrachteten Punkt zusammentreffen. Es wird zwischen
Punkten unterschieden, in denen zwei, drei und mehr als drei Körner zusammentreffen. Für
jedes finte Element wird der minimale Abstand zu diesen drei Arten von Korngrenzen
ANHANG
104
bestimmt und in den Listen dist2g(el), dist3g(el) und dist4g(el) gespeichert. In der Liste dist2o
ist der Abstand von jedem Element zum Ursprung gespeichert. Es kann zwischen zwei Arten
der Distanzberechnung (Abbildung 8.2) gewählt werden abhängig vom Parameter NW in der
example.vec Datei. Ein Muster dieser Datei, die den Programmablauf steuert, ist in “usr/
users/suess/vecudszw/doc/example.vec” auf der Worksation atp330.tuwien.ac.at zu finden.
Der Beginn dieser Datei ist in Abbildung 8.1 abgebildet.
1
1
1
ISTART Start:
IMAT
Start:
ISTATIC Start:
1: saturated state, 3: *.000
1: reread *.mat, *.krn, 0: use prestored values
1: quasi static calculation, 0: change field with time
1d9
0d0
2
0.0001
-0.1
RTOL
TQREF
NW
TQS
MTOL
refine if error indicator greater RTOL
allow refinement if tq smaller than tqref
=1 dist of center to gb, <>1 dist of nodepoint to gb
diameter of disturbed layer tqs*scale[nm]
hstep=0.005 if mtol is reached
100
IOUTCNT Log:
1: print VEMP02 information
0d0
0d0
-1d0
THETA0
PHI0
HFINAL
azimuth angle external field
polar angle external field
last field to calculate
Ref:
Ref:
Ref:!!!
Ref:!!!
Ref:
Hext:
Hext:
Hext:
.
.
.
Abbildung 8.1: Auschnitt aus der Datei example.vec, in der die Steuerungsparameter für
die Simulation definiert werden. Die mit Rufzeichen markierten Parameter werden für
die Definition der intergranularen Schicht verwendet.
NW=1: In diesem Fall wird für jedes Elemente der Mittelpunkt (m) bestimmt. Danach wird
ausgehend von diesem Punkt (m) der minimale Abstand zu den drei Arten von Korngrenzen
berechnet und in den Listen dist2g(el), dist3g(el) und dist4g(el) gespeichert.
NW<>1: Für jedes Element werden die vier minimalen Abstände von den Eckpunkten zu
einer der Korngrenzen bestimmt. Von diesen vier Abständen wird der kleinste ausgewählt
und in der entsprechenden Distanzliste (dist2g(el), dist3g(el), dist4g(el)) gespeichert. Zu verwenden ist diese Parametereinstellung, wenn nur in Elementen direkt an der Korngrenze die
intrinsischen Eigenschaften geändert werden sollen.
In der Datei set_intrinsic.f können die Materialparameter als Funktion des Abstandes zu den
Korngrenzen definiert werden. Die Funktionsweise soll anhand des in Abbildung 8.3 dargestellten Beispiels erklärt werden. Die Distanzlisten werden standardmäßig mit einem negativen Wert initialisiert. Sind somit zum Beispiel keine Korngrenzen vorhanden, wo drei Körner
ANHANG
105
n
m
Abbildung 8.2: Abhängig vom Parameter NW in der .vec - Datei wird der Abstand der
finiten Elemente zu den Korngrenzen unterschiedlich definiert. Bei NW=1 wird der
Abstand vom Mittelpunkt (m) des finiten Elements zur Korngrenze berechnet. Bei
NW<>1 wird der minimale Abstand der vier Eckpunkte (n) zu der Korngrenze für die
Distanzbestimmung ausgewählt. Für Elemente an der Korngrenze ist der Abstand somit
null.
zusammentreffen, sind alle Einträge in dist3g negativ. Deshalb muß stets die Abfrage
“distxg(nel).ge.0“ durchgeführt werden. Unter (4) in set_intrinsic.f wird K1 so gewählt, daß es
an Punkten, wo mindestens vier Körner zusammentreffen, null ist und linear mit dem
Abstand auf K1 der hartmagnetischen Phase (in muster.krn definiert) ansteigt. Voraussetzung
dafür ist eine ausreichend Zahl von finiten Elementen nahe der Korngrenze, da innerhalb
eines finiten Elements die Materialparameter stets konstant sind. tqs wird in der Datei
muster.vec definiert. Unter (3) werden an den Kanten, an denen drei Körner zusammentreffen,
in einem Umkreis von tqs alle Materialparameter null gesetzt und somit eine nichtmagnetische
Phase eingeführt. Unter (2) wird in den Zwischenkornbereichen zweier Körner, die Anisotropiekonstante null gesetzt, falls der Abstand vom Ursprung kleiner als 0,4 scale [nm] ist. scale
wird in der Datei muster.mat definiert.
ANHANG
subroutine set_intrinsic(dist4g,dist3g,dist2g,dist2o,
& tqs,K1,Js,A)
implicit none
real*8
dist4g,dist3g,dist2g,dist2o,k1,js,a,tqs
c---------------------------------------------------------------------c (4) Bereiche wo mindestens 4 Körner zusammentreffen
if ((dist4g.le.tqs).and.(dist4g.ge.0.)) then
k1=k1/tqs*dist4g
endif
c (3) Bereiche wo 3 Körner zusammentreffen
if ((dist3g.le.tqs).and.(dist3g.ge.0.)) then
A=0.d0
Js=0.d0
k1=0.d0
endif
c (2) Bereiche wo 2 Körner zusammentreffen
if ((dist2g.le.tqs).and.(dist2g.ge.0.)) then
if (dist2o.le.0.4) then
k1=0
endif
endif
return
end
Abbildung 8.3: Musterbeispiel für die Routine set_intrinsic.f mit der die Materialparamter,
als Funktion des Abstandes der finiten Elemente zur Korngrenze speziell gewählt
werden können.
106
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107
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[57] J. P. Yonnet, A. C. Patton, P. Arnould und Chritophe Bressan, “Magnetic Damping of Ski
Vibrations” in proceedings of the fifteen international workshop on rare-earth magnets
and their applications, Dresden, 1998, Editor L. Schultz, K. -H. Müller, Werkstoff Informationsgesellschaft, Frankfurt pp. 841-852 J.-G. Zhu and H. N. Bertram, J. Appl.
Phys. 63, pp. 3248, 1988.
[58] J.-G. Zhu und H. N. Bertram,”Micromagnetic studies of thin metallic films”, J. Appl.
Phys.,vol.63, no.8, pp. 3248, 1988.
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Danksagung
oder besser Danke das ehrlicher und herzlicher klingt.
Es ist mir wirklich eine Freude und ein Anliegen, mich bei der Mikromagnetismusarbeitsgruppe rund um Professor Fidler zu bedanken. Mein Dank gilt Doz. Thomas Schrefl, Dipl.
Ing. Werner Scholz und Prof. Josef Fidler.
Thomas Schrefl war nicht nur der, der vor zwei Jahren aufgrund seiner ehrlichen und begeisterten Art mein Interesse für dieser Arbeit geweckt hat. Er war während der gesamten Zeit
ein Betreuer, dem keine Antwort und Diskussion zu langwierig war und der mir stets Unterstützung jeglicher Art geboten hat.
Ebenso möchte ich mich bei meinem Freund Werner Scholz bedanken, und meine Freude
ausdrücken, gemeinsam mit ihm die Diplomarbeit gemacht zu haben. Das war nicht nur fachlich produktiv sondern war einfach eine schöne Zeit. (Außerdem konnte ich sicher sein, daß
die Linuxcomputer immer funktionieren.) Ich möchte mich wirklich auch für deine Hilfsbereitschaft bedanken.
Bei Prof. Fidler, ohne den es diese Arbeitsgruppe gar nicht geben würde und bei dem das persönliche Engagement für die Gruppe unübersehbar ist, bedanke ich mich ebenfalls gerne. Als
Beispiel für sein persönliches Engagement möchte ich die von Prof. Fidler betreute Homepage erwähnen, auf der wir, und unsere Arbeiten stets aktuell und professionell präsentiert
werden.
Meinen Eltern, die mir eine Universitätsausbildung so selbstverständlich erscheinen haben
lassen, daß ich fast vergessen hätte sie zu erwähnen, möchte ich nun auch an dieser offiziellen
Stelle ein Danke sagen.
Meine Freundin Katharina soll nicht nur durch den Keim Ka im letzten Kapitel dieser Arbeit
erwähnt sein. Danke Katharina, daß du mir während der stressigen Zeit der wichtige Keim
der Ruhe und Gelassenheit warst.
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Lebenslauf
15. 12. 1975
1982 - 1986
1986 - 1994
ab Sep. 1994
Juni 1997
Sep. 1998
Okt. 1999
Als Sohn von Rudolf und Elisabeth Süss in Wien geboren.
Volksschule in Herzogenburg
Bundesrealgymnasium in Krems
Studium der Technischen Physik in Wien
Gestaltung eines Beitrags über Magnetismus für die virtuelle
Ausstellung der Österreichischen Akademie der
Wissenschaften, anlässlich ihrer 150-Jahr Feier
Vorstellung eines Posters auf der EMMA ´98 in Zaragoza
und Publikation einer Arbeit über Magnetismus
Einreichung der 2. Diplomprüfung