Der Baum des Pythagoras

Kölner Mathematikturnier
Der Baum des Pythagoras
Eine Trophäe mit mathematischem Hintergrund
2010 erwartete das Siegerteam des Kölner Mathematikturniers
erstmalig der „Wanderpokal“ des Kölner Mathematikturniers, den es
seither zu verteidigen gilt.
Es handelt sich hierbei um eine kunstvoll gearbeitete Skulptur,
angelehnt an den so genannten symmetrischen Pythagorasbaum, auf
den im Jahre 1942 erstmals ein holländischer Mathematiklehrer
(Albert E. Bosman) aufmerksam wurde.
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Ein Pythagorasbaum ist eine besondere Art eines Fraktals. Fraktale
haben die Besonderheit, dass sie bis in unendliche Bereiche exakte
Selbstähnlichkeit aufweisen. Anders formuliert: Bei exakter Selbstähnlichkeit enthält jeder beliebige Ausschnitt aus dem Gesamtobjekt
eine exakte Kopie des gesamten Gebildes.
Das ursprüngliche Verfahren zum Erstellen eines Pythagorasbaums
basiert auf dem Satz des Pythagoras, in dem auf ein Quadrat zwei
weitere, kleiner Quadrate im rechten Winkel angeordnet werden.
Durch rekursives Aufrufen dieser Konstruktionsvorschrift, wird ein
Fraktal erzeug, das im Grenzfall der Form eines Baumes ähnelt. Durch
den rechten Winkel des eingeschlossenen Dreiecks bleibt die
Gesamtfläche jeder Ebene gleich, daher ist die Fläche des
Grundelements (Stammes) genauso groß wie die Summe der Fläche
aller äußeren Elemente.
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Konstruktion:
Aus einer Grundlinie wird ein Quadrat
konstruiert. Auf diesem Grundelement (Stamm) wird auf der
Oberseite ein Thaleskreis gezeichnet und dieser beliebig geteilt. Der
entstehende Punkt wird mit dem
Grundelement verbunden (Bild 1),
sodass ein rechtwinkliges Dreieck
entsteht. Aus den beiden entstandenen Schenkeln des Dreiecks wird
wieder jeweils ein Quadrat konstruiert (Bild 2), ein Thaleskreis
aufgezeichnet, dieser
geteilt, ein rechtwinkliges Dreieck konstruiert (Bild 3) und so
wieder zu einem Quadrat erweitert (Bild 4).
Dieser Vorgang wird
beliebig oft wiederholt.
Bei unserer Trophäe
handelt es sich um die
künstlerisch
ausgeformte Skulptur eines
symmetrischen Pythagorasbaums, einem Spezialfall den man erhält, wenn das eingeschlossene rechtwinklige Dreieck gleichschenklig ist.1
1
Vgl. für diese Ausführungen: Benesch, Thomas, Mathematik im Alltag, Oldenbourg (2007), S. 72-74 und
Brefeld, Werner, Mathematik – Hintergründe im täglichen Leben, verblüffende Mathematikrätsel (2005). Im
Internet finden sich viele schöne Applets und Internetseite zum Thema Pythagorasbaum, so z.B.
http://www.matheplanet.com oder http://www.lehrer-online.de/pythagoras-baum.php.