Plakat 1

Was sind Fraktale?
Die beiden obigen Bilder zeigen jeweils ein Fraktal. Doch was macht diese
Bilder zu Fraktalen? Falls du ein Passfoto von dir betrachtest, so wirst du
sicherlich [und hoffentlich ;-) ] kein Fraktal betrachten.
Was ist nun ein Fraktal?
Betrachten wir die zwei Bilder oben etwas genauer so stellen wir fest, dass der
Computermonitor immer wieder verkleinert im Bild auftaucht. Schneidet man
einen beliebigen Monitor aus und vergrößert diesen, so erhält man wieder
genau das Anfangsbild. Man nennt solche Figuren selbstähnlich.
Selbstähnliche Figuren sind also Fraktale.
Eigentlich wird man beim Zeichnen eines Pythagorasbaumes nie fertig. Man
kann immer weiter machen. Jedoch werden die hinzugefügten Dreiecke und
Quadrate immer kleiner. Man kann sie irgendwann nicht mehr zeichnen. Als
Hilfsmittel wir in der Regel der Computer benützt. Dabei bricht der
Zeichenvorgang spätestens dann ab, wenn die Seitenlängen von Quadrat oder
Dreieck 2 Pixel unterschreiten.
Zwei Beispiele eines Pythagorasbaumes
Ganz bewusst wurde hier eine kleine Grafik vergrößert. Daran kann man sehr
schön das Auflösungsproblem erkennen.
Hinweis (nur für den „frustrationserprobten“ Leser):
Mandelbrot definiert in dem 1975 herausgebrachtem Buch „Les objects fractal, forn, hasard et dimension“ den Begriff „Fraktal“ etwas
anders:
„Ein Fraktal ist eine Menge, deren Hausdorff-Besikowitsch-Dimension größer ist als ihre topologische Dimension.“
Gott sei Dank muss man auf eine Definition nicht logisch schließen können, da es sich ja um eine Festlegung handelt. Man sollte aber
zumindest einmal über den Sinn einer Definition nachdenken. Um den Sinn dieser Definition zu erfassen müssten wir aber erst einmal ein
paar Semester Mathematik studieren!
Warum benutzt man den Begriff Fraktal für selbstähnliche Figuren?
In der Wissenschaft ist es eben schick mit lateinischen Begriffen zu spielen.
Das lateinische Wort „fractus“ bedeutet „gebrochen“.
[Beachte: „gebrochen“ hat nichts mit „erbrochen“ zu tun!]
Bei einem Fraktal kann man bestimmte Stücke abbrechen, in denen die
komplette Information über die Gesamtfigur enthalten ist. Man könnte ohne
Probleme aus diesen Teilstücken die Gesamtfigur wieder rekonstruieren.
(natürlich bis auf die Anfangsgröße)
Fraktale überall Fraktale
Auf dem ersten Blick fällt einem auf, dass der eine Baum durch eine
Achsenspiegelung aus dem anderen hervorgeht. Vergleicht man die ersten
beiden rechtwinkligen Dreiecke der beiden Bäume, so erkennt man, dass diese
nur spiegelverkehrt auf den Stamm gesetzt wurden. Die an der Hypotenuse
anliegenden Winkel sind also gleich groß, aber seitenvertauscht.
Man kann zeigen, dass die gleich liegenden Winkel zusammen je 90° ergeben:
1=2
1 =2
1 190 °=180 °
2 2 90°=180 °
}
also :
1=2
1 =2
11=90°
 2 2=90 °
}
und somit gilt :
1 2=90 °
12 =90 °
Der achsensymmetrische Pythagorasbaum
In de
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In der Geometrie: Kochsche Schneeflocke
Kuns
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Stammbasis ist das Quadrat mit der Seitenlänge a (1. Ebene). Darauf befindet
das gleichschenklige rechtwinklige Dreieck, an dessen Katheten sich die
Quadrate mit der Seitenlänge b befinden (2. Ebene). Die 3. Ebene besteht aus
den Quadraten der Seitenlänge c. Die Quadrate mit der Seitenlänge d sind in
der 4. Ebene.
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Führt man den Baum in der gleichen Weise fort, so erhält man den
achsensymmetrischen Pythagorasbaum.
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In der 9.Klasse: Pythagorasbaum
Pythagorasbaum – genauer untersucht
Ein Pythagorasbaum ist eine besondere Art eines Fraktals. In ihm tauchen
immer wieder zueinander ähnliche rechtwinklige Dreiecke auf.
Die Konstruktion beginnt mit einer Grundlinie, die zu einem Quadrat ergänzt
wird (Stamm des Pythagorasbaumes) (Bild 1). Auf diesem „Stamm“ wird auf
der Oberseite ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck gesetzt (Bild 2). Auf die
beiden Schenkel des Dreiecks wird wieder jeweils ein Quadrat konstruiert
(Bild 3). Auf jedem dieser Quadrate wird nun ein zum anfänglichen
rechtwinkligen Dreieck ähnliches Dreieck, wie in Bild 4 gezeigt, gesetzt.
Dabei ist jeweils die Hypotenuse genau so lang wie eine Quadratseite. Bei
jedem dieser Dreiecke werden wieder die Quadrate konstruiert. Es wird in
dieser Weise fortgefahren (Bild 5).
Bild 1
Bild 2
Bild 3
Bild 4
Bild 5
Beim Zeichnen werden auf die Dreiecke Quadrate gesetzt. Man nennt diese
Blätter. Der Baum in Bild 3 hat zwei Blätter, in Bild 5 sind es acht Blätter.
Wie zeichnet man einen Pythagorasbaum?
Fraktale kann man eigentlich gar nicht zeichnen, da sie selbstähnlich sind. In
geeigneten Bruchstück steckt die komplette Information des Aufbaus. Dies ist
auch beim Pythagorasbaum so. Angenommen der Zeichenvorgang wäre
endlich. Brechen wir dann ein Bruchstück des Baumes ab, so stellen wir fest,
dass es nicht ähnlich zum Baum sein kann, da es weniger Quadrate bzw.
Dreiecke enthält wie der Baum selbst.
Die Bilder in der Überschrift zeigen zwei Fraktale, die mit Hilfe einer Kamera
und eines Computers erzeugt wurden. Man schließt dazu die Kamera direkt an
den Computer an. Einen Pythagorasbaum kann man mit Hilfe eines
Computerprogramms zeichnen.