Von den Kegelschnitt..
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Von den Kegelschnitten zur Himmelsmechanik Gliederung ≈ 360 ≈ 200 Menaichmos Apollonius 0 ≈ 150 Ptolemäus 15./16 Jhd. 16./17. Jhd. Kopernikus Kepler Gliederung ≈ 360 ≈ 200 Menaichmos Apollonius 0 ≈ 150 Ptolemäus 15./16 Jhd. 16./17. Jhd. Kopernikus Kepler Parabel Kreis Ellipse Menaichmos (um 360 v. Chr.) • Problem der Würfelverdoppelung führt zu ersten Kurven • Zeichnung war aufgrund von Faden- und Punktkonstruktion sehr ungenau • Menaichmos visualisiert Kurven an Kegelschnitten Hyperbel Parabel Kreis Ellipse Hyperbel Bedingungen für Menaichmos Kegelschnitte Der Kegel sollte von einer Ebene senkrecht zur Mantellinie geschnitten werden. Das kann nur mit unterschiedlichen Winkeln der Kegelspitze realisiert werden. Aufgabe: Überlegt, welche Winkel der Kegel bei den jeweiligen Schnitten haben muss. Parabel Kreis Ellipse Hyperbel Winkel α der Kegelspitze: α = 90° 90° < α < 180° 0° < α < 90° Gliederung ≈ 360 ≈ 200 Menaichmos Apollonius 0 ≈ 150 Ptolemäus 15./16 Jhd. 16./17. Jhd. Kopernikus Kepler Parabel Kreis Ellipse Hyperbel Apollonius von Perga (265-190 v. Chr.) • Schreibt „Konika“ – ein Werk von 8 Büchern über die Kegelschnitte • Bezieht sich auf Euklid • Neu ist das Schneiden eines Kegels in unterschiedlichen Winkeln • Definiert den Scheitelpunkt der Parabel folgendermaßen: Parabel Kreis Ellipse Hyperbel „Als Durchmesser einer ebenen Kurve bezeichne ich eine Gerade, die irgendeine Schar paralleler Sehnen halbiert, als Scheitel der Kurve bezeichne ich den auf der Kurve liegenden Endpunkt des Durchmessers; jene Parallelen aber bezeichne ich als zum Durchmesser geordnet gezogen.“ Czwalina 1967: 2 Parabel Kreis Ellipse Hyperbel „Als Durchmesser einer ebenen Kurve bezeichne ich eine Gerade, die irgendeine Schar paralleler Sehnen halbiert, als Scheitel der Kurve bezeichne ich den auf der Kurve liegenden Endpunkt des Durchmessers; jene Parallelen aber bezeichne ich als zum Durchmesser geordnet gezogen.“ Czwalina 1967: 2 Parabel Kreis Ellipse Hyperbel „Als Durchmesser einer ebenen Kurve bezeichne ich eine Gerade, die irgendeine Schar paralleler Sehnen halbiert, als Scheitel der Kurve bezeichne ich den auf der Kurve liegenden Endpunkt des Durchmessers; jene Parallelen aber bezeichne ich als zum Durchmesser geordnet gezogen.“ Czwalina 1967: 2 Parabel Kreis Ellipse Hyperbel „Als Durchmesser einer ebenen Kurve bezeichne ich eine Gerade, die irgendeine Schar paralleler Sehnen halbiert, als Scheitel der Kurve bezeichne ich den auf der Kurve liegenden Endpunkt des Durchmessers; jene Parallelen aber bezeichne ich als zum Durchmesser geordnet gezogen.“ Czwalina 1967: 2 Parabel Kreis Ellipse Hyperbel Beschreibung und Kennzeichnung der Parabel Quelle: „Konika“: §11 Parabel Kreis Ellipse Hyperbel Parabel Kreis Ellipse Hyperbel Parabel Kreis Ellipse Hyperbel Apollonius als Astronom Geozentrisches • Erde = Zentrum des Universums Weltbild: • Himmelskörper bewegen sich gleichförmig • Bewegungen auf perfekten Kreisbahnen Beobachtungen: • Schleifenbahnen der Planeten • rückläufige Bewegung • periodischen Helligkeitsschwankungen Gliederung ≈ 360 ≈ 200 Menaichmos Apollonius 0 ≈ 150 Ptolemäus 15./16 Jhd. 16./17. Jhd. Kopernikus Kepler Parabel Kreis Ellipse Hyperbel Ptolemäus (ca. 100 – 160 n. Chr.) • Kreisbewegungen nicht mehr gleichförmig gemäßigte Geozentrik • bis zu 40 Epizykel • Probleme: einheitliches System für die Veränderung von Position und Helligkeit der Planeten • vorherrschende astronomische Theorie für ca. 1300 Jahre Gliederung ≈ 360 ≈ 200 Menaichmos Apollonius 0 ≈ 150 Ptolemäus 15./16 Jhd. Kopernikus 16./17. Jhd. Kepler Parabel Kreis Ellipse Hyperbel Nikolaus Kopernikus (1473 – 1543) • Sonne im Mittelpunkt • Erde rotiert um die eigene Achse Heliozentrisches / Kopernikanisches Weltbild • Epizykeltheorie (!) Gliederung ≈ 360 ≈ 200 Menaichmos Apollonius 0 ≈ 150 Ptolemäus 15./16 Jhd. Kopernikus 16./17. Jhd. Kepler Parabel Kreis Ellipse Hyperbel Johannes Kepler (1571 – 1630) • Studium Apollonius‘ Kegellehre • Monate lange astronomische Rechnungen • Auswertung des Beobachtungsmaterials von Tycho Brahe • Widerlegung der Epizykeltheorie Parabel Kreis Ellipse Hyperbel Kepler´ sche Gesetze 1. Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren Brennpunkt die Sonne steht. 2. Der Radiusvektor (Verbindungslinie Sonne – Planet) überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen (= Flächensatz). 3. Die Quadrate der Umlaufzeiten verschiedener Planeten verhalten sich wie die Kuben ihrer großen Bahnachsen. Parabel Kreis Ellipse Hyperbel Kepler´ sche Gesetze 1. Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren Brennpunkt die Sonne steht. 2. Der Radiusvektor (Verbindungslinie Sonne – Planet) überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen (= Flächensatz). 3. Die Quadrate der Umlaufzeiten verschiedener Planeten verhalten sich wie die Kuben ihrer großen Bahnachsen. Parabel Kreis Ellipse Hyperbel Zweites Kepler´ sches Gesetz y 5 4 ? 3 2 1 1 -1 -1 -2 -3 -4 -5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 x Parabel Kreis Wie wirken die Kräfte? • Zentralfeld Ellipse Hyperbel Parabel Kreis Ellipse Hyperbel Welche Größen müssen bei der Berechnung des Flächeninhalts berücksichtigt werden? Drehimpuls Das war die Reise von den Kegelschnitten zur Himmelsmechanik
