r - Institut für Theoretische Elektrotechnik

TECHNISCHE UNIVERSITÄT
HAMBURG - HARBURG
Technische Universität Hamburg-Harburg
Institut für
Theoretische Elektrotechnik
Prof. Dr. sc. techn. Christian Schuster
Klausursammlung
Theoretische Elektrotechnik I
- Stand: 8. März 2016 -
Aufgabe
1
2
3
4
∑
Theoretische Elektrotechnik
Punkte maximal
6
9
10
5
30
Prof. Dr. Christian Schuster
Punkte erreicht
TU Hamburg-Harburg
Vor- und Zuname:
Note:
Matrikel-Nr.:
Schriftliche Prüfung Theoretische Elektrotechnik I
9. 3. 2012 – 14:30 Uhr – Bearbeitungszeit: 120 Minuten
Hinweise:
1. Aufgabe = „Wissensteil“: Bearbeitung ohne jegliche schriftliche oder elektronische
Hilfsmittel. Stichwortartige Antworten oder Formeln genügen. Abgabe auf Extrablatt
nach 10 Minuten!
2. – 4. Aufgabe = „Rechenteil“: Bearbeitung mit schriftlichen Hilfsmitteln und
einfachem Taschenrechner erlaubt. Abgabe nach weiteren 110 Minuten.
Alle anderen Hilfsmittel sind untersagt, insbesondere müssen Handys und Laptops
ausgeschaltet und verstaut sein.
Bitte schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer!
1. Aufgabe
Bearbeiten Sie folgende Fragen bzw. Aufgaben:
a) Wie lauten die Maxwell-Gleichungen in differentieller Form?
b) Welche Ladungsdichte gehört zu dem elektrostatischen Potential ( a, b  Konstante):
 ( x, y, z)  (a  xy  b  z 2 )  0 ?
c) Die Stärke des Erdmagnetfeldes in Europa wird mit ca. 50 T angegeben.
Wie viel A/m entspricht dies (+/- 5%)?
d) Wie lautet das Poisson-Integral (Coulomb-Integral) im Vakuum (Formel)?
e) Nennen Sie mindestens vier Methoden, um das Magnetfeld stationärer Stromdichten
zu berechnen!
f)
In einem von einer Magnetfeldstärke HF durchsetzten Ferritmaterial (r = 1000)
existiert ein ausgedehnter Hohlraum (r = 1) mit Grenzflächen ausschließlich
senkrecht zum Magnetfeld. Wie groß ist die Magnetfeldstärke im Hohlraum HH im
Vergleich zu HF?
Vor- und Zuname:
Matrikel-Nr.:
2. Aufgabe
Gegeben ist eine Anordnung von drei unendlich langen, parallel zur z-Achse ausgerichteten
Linienladungen im Vakuum. Die Linienladungen sind gemäß folgender Abbildung auf der
x-Achse angeordnet:
y
2
3
1
x
a
a
Für die Linienladungen gilt hierbei: λ1 = -λ0, λ 2 = +λ0 und λ 3 = +λ0 mit λ0 > 0.
Bearbeiten Sie folgende Fragen bzw. Aufgaben:
a) Berechnen Sie die x- und y-Komponenten der elektrischen Feldstärke auf der
y-Achse als Funktion von a, y und λ0!
b) Skizzieren Sie den prinzipiellen Verlauf des Betrages der elektrischen Feldstärke auf
der positiven y-Achse (ohne Rechnung möglich)!
Nehmen Sie im Folgenden an, dass das elektrostatische Potenzial  x, y  der Linienladungen im Punkt 0, a  null ist (Bezugspotential).
c) Berechnen Sie das elektrostatische Potential als Funktion von a, y, x und λ0!
d) Berechnen Sie das elektrostatische Potential auf der x-Achse als Funktion von a, x
und λ0 und bestimmen Sie seine Nullstellen!
3. Aufgabe
Gegeben sind zwei in z-Richtung unendlich ausgedehnte konzentrische Zylinderflächen mit
Radien a und b gemäß untenstehender Abbildung. Zwischen den Zylinderflächen befindet
sich Vakuum (keine Raumladung). Auf der inneren Zylinderfläche ist ein elektrostatisches
Potential   0  sin aufgeprägt, auf der äußeren ein Potential von null.
y
r

z
a
x
b
0
Bearbeiten Sie folgende Fragen bzw. Aufgaben:
a) Wie lautet die allgemeine Lösung für das elektrostatische Potential zwischen den
Zylinderflächen?
b) Berechnen Sie die spezielle Lösung für das elektrostatische Potenzial als Funktion
der gegebenen Parameter durch Anpassen an die Randbedingungen!
c) Überprüfen Sie Ihre Lösung explizit durch Einsetzen in die Laplace-Gleichung!
d) Skizzieren Sie die Äquipotentiallinien für   0 und    0 2 und mindestens vier
elektrische Feldlinien zwischen den Zylinderflächen (ohne Rechnung möglich)!
e) Berechnen Sie das elektrische Feld zwischen den Zylinderflächen als Funktion der
gegebenen Parameter!
f) Berechnen Sie die Oberflächenladungsdichte auf der inneren und der äußeren
Zylinderfläche und die zugehörigen Gesamtladungen pro Länge in z-Richtung als
Funktion der gegebenen Parameter!
4. Aufgabe
Gegeben ist ein konstantes, statisches Magnetfeld H0 in z-Richtung, das innerhalb eines in
y- und z-Richtung unendlich ausgedehnten Körpers im Bereich -d ≤ x ≤ +d eine Abschwächung gemäß folgender Skizze erfährt. Alle elektrischen Felder sind hierbei null und
es gilt r = 1 im gesamten Raum.
y
H0
H0
z
d
x
d
Für -d ≤ x ≤ +d gilt mit  als konstanten Parameter mit Wert größer null:


1
x
H  H 0  ez  cosh  
   coshd  
Bearbeiten Sie folgende Fragen bzw. Aufgaben:
a) Berechnen Sie alle Komponenten der entsprechende Stromdichte im Körper!
b) Berechnen Sie das entsprechende magnetische Vektor-Potential! Nehmen Sie
hierfür Ax = Az = 0 und Ay x  0  0 an!
c) Berechnen Sie den magnetischen Fluss durch folgende Fläche im Körper und
vergleichen Sie ihn mit dem Fluss durch eine gleich große und gleich orientierte
Fläche außerhalb des Körpers! Was ergibt sich für d >> ?
 d, d 
 d ,0
y
 d, d 
 d ,0
x
Anmerkung:
Solche Abschwächungen von statischen Magnetfeldern können z.B. in Supraleitern
auftreten. Zur Lösung der Aufgabe ist dies aber unwesentlich.
TU Hamburg-Harburg
Theoretische Elektrotechnik
M U S T E R L Ö S U N G
Prof. Dr. Christian Schuster
Schriftliche Prüfung Theoretische Elektrotechnik I
9. 3. 2012 – 14:30 Uhr – Bearbeitungszeit: 120 Minuten
Lösung zur 1. Aufgabe
a)
Maxwell-Gleichungen in differentieller Form:


B
rot E  
t


 D
rot H  J 
t

div D  
b)
 ( x, y, z)   0 r   ( x, y, z)   0 r  2b  0
c)
H  B / 0  (50 10 6 / 4 107 ) A / m  40 A / m
d)
Poisson-Integral für das elektrostatische Potential:

 (r ) 
e)
4 0 r

 (r ' )
    dV '
r  r'
V
Methoden, um das Magnetfeld stationärer Stromdichten zu berechnen sind z.B.:






f)
1

div B  0
Ampèresches Gesetz (bei geeignter Symmetrie des Problems)
Greensche Funktion(en), z.B. das Biot-Savart-Gesetz
Superposition bekannter Lösungen
Direkte Integration (bei effektiv eindimensionalen Problemen)
Separation der Variablen
Konforme Abbildung
Die Normalkomponente des magnetischen Fluss tritt stetig durch Grenzflächen,
deshalb:
F H F  H H H
bzw.
H H / H F   F / H  1000
Lösung zur 2. Aufgabe
a)
Aus dem Gauß’schem Gesetz (siehe z.B. Skript) kann man folgende Formeln für
die elektrische Feldstärke auf der y-Achse um unendlich lange Linienladung
parallel zur z-Achse ableiten:
y

 0 1

E1 0, y  
 2  y  e y 
2 0 r1

E3




1
E2 0, y   0  2  a  ex  y  e y 
2 0 r2




1
E3 0, y   0  2   a  ex  y  ey 
2 0 r3

E2
r2

E1 r1
2
1
r3
3
x
Mit r1  y, r2  r3  a 2  y 2 folgt nach Superposition:
Ex 0, y   0
b)
bzw.
E y 0, y  
0
2 0
 2y
1
  2
 
2
y
a  y
Überlegungen zur elektrischen Feldstärke:
Auf Grund der Symmetrie der Anordnung ist die x-Komponente immer null. Die
y-Komponente muss im Ursprung gegen -∞ gehen und sich weit weg vom Ursprung analog zu einer einfachen positiven Linienladung verhalten (Abnahme
invers proportional zum Abstand). Dazwischen müssen Nullstellen existieren
(aus Teilaufgabe a: bei y=±a)
Daraus:
E
a
y
c)
Unendlich lange Linienladungen besitzen ein logarithmisches Potential (siehe
z.B. Skript). Man kann deshalb ansetzen:
 ( x, y)  
o


 ln r1   0  ln r2   0  ln r3   C
2 0
2 0
2 0
( r1  x2  y 2 , r2  ( x  a)2  y 2 , r3  ( x  a)2  y 2 ) bzw. kürzer:
 ( x, y )  
r r 
0
 ln  2 3   C
2 0
 r1 
Die Integrationskonstante C ergibt sich aus der Forderung:
 2 a 2  2a 2
0
 0, a   
 ln 

2 0
a


C 0



C
0
 ln 2a 
2 0
Somit ( r1  x2  y 2 , r2  ( x  a)2  y 2 , r3  ( x  a)2  y 2 ):
 ( x, y ) 
d)
0
2 0

 r r 
 ln( 2a)  ln  2 3 
 r1 

Daraus folgt das Potential auf der x-Achse:

 x,0  0
2 0

xa xa 
0 
x2  a2 
ln( 2a)  ln

ln( 2a)  ln

x 
x

 2 0 
Ermittlung der Nullstellen (a > 0)
ln( 2a)  ln
x2  a2
0
x

x 2  a 2  2a x
2
2
Für x ≥ a damit x  a  2ax  x1  (1  2 )  a .
2
2
Für a > x ≥ 0 damit  x  a  2ax  x2  ( 2  1)  a .
Und aus Symmetriegründen: x3  ( 2  1)  a bzw. x4  (1  2 )  a .
Lösung zur 3. Aufgabe
a)
Laut Skript lautet die allgemeine Lösung der Laplace-Gleichung nach Separation
der Variablen in Zylinderkoordinaten für ein Potential  , das unabhängig von z
ist (ebenes Feld):
 r ,    R p r   p  
p
R p r   Ap  r p  B p  r  p
mit:


 p0
p    C p  sin  p   D p  cos p  

bzw.:
Rp r   Ap  Bp  ln r  

 p0
p    C p  Dp  

In der gegebenen Aufgabe ist r zu beschränken auf a ≤ r ≤ b.
b)
Diese allgemeine Lösung muss nun den Randbedingungen angepasst werden:
 a,   0  sin
und
 b,   0
Es wird unmittelbar deutlich, dass nur für p  1 die Intergrationskonstanten
ungleich null sein können. Darüber hinaus muss D1  0 gelten. Somit bleibt als
Ansatz:


 r ,    A1  r 
B1 
B

  C1  sin   A  r    sin
r 
r

Einsetzen der Randbedingungen ergibt die Bestimmungsgleichungen:
B

 A  a    sin  0  sin
a

und
B

 A  b    sin  0
b

Nach Wegstreichen des Sinus folgt aus der letzten Gleichung B   A  b2 , was in
die erste Gleichung eingesetzt
 a 2  b2 
b2
  0
A  a  A   A  
a
a


ergibt und schlussendlich auf die folgenden Lösungen führt:
A
a
 0
2
a  b2
und
B
ab 2
 0
a2  b2
Somit:
 r ,  
c)
a
2
a  b2

b2 
  r    0  sin
r 

Explizites Überprüfen durch Einsetzen in die Laplace-Gleichung in Zylinderkoordinaten:
d 2 1 d 1 d 2 d 2
 
 

0
dr 2 r r r 2 d 2 dz 2
Ausführen der partiellen Ableitungen nach Wegstreichen der Konstanten:

2b 2 
1  b2 
1
 0  3   sin   1  2   sin  2
r 
r  r 
r

 2b 2   1 b 2   1 b 2 
  3     3     3   0
 r  r r  r r 

b2 
  r    sin  0 
r 

Somit ist die gefundene Lösung bestätigt.
d)
Skizze (Äquipotentiallinien in blau, Feldlinien in rot):
y
x
e)
Das elektrische Feld ergibt sich aus Gradientenbildung in Zylinderkoordinaten
(keine z-Abhängigkeit):

   1 
E r ,   grad  r ,   er 
 e 
r
r 
Daraus:

E r ,   
f)
   b2 

a
 0  er  1  2   sin  e
2
2
a b
  r 

 b2 
 1  2   cos 
 r 

Die Oberflächenladungsdichten folgen aus den Normalkomponenten (hier gleich
den Radialkomponenten) der elektrischen Flussdichten:
 a,    0  Er a,    0 
a 2  b 2 0
  sin
a2  b2 a
 b,    0  Er b,    0 
2a
 0  sin
a  b2
2
Integriert über den Winkel  ergibt sich beides Mal null, somit sind
beide Gesamtladungen pro Länge null.
Lösung zur 4. Aufgabe
a)


Aus der Maxwell-Gleichung J  rot H (elektrische Felder sind null) folgt für die
Stromdichte innerhalb des Körpers:
Jx  0
Jy  
H z H 0
1
x

 sinh  
x

   coshd /  
Jz  0
Sie zeigt also ausschließlich in y-Richtung.
b)


Für das magnetische Vektorpotential gilt B  rot A . Mit der Vorgabe Ax = 0 und
Az = 0 folgt deshalb der Ansatz im Körper:
1
x
Ay   0  H z dx   0 H 0   sinh  
C
   coshd /  
Die Integrationskonstante folgt aus Ay x  0  0 zu C  0 und deshalb:
1
x
Ay   0 H 0   sinh  
   coshd /  


Wie zu sehen, gilt A  0 J .
c)
Der magnetische Fluss im Körper folgt z.B. aus (alternativ über das Vektorpotential):
 
d d
   B  dF  0    H z dxdy  20 H 0 d 
0
d
d
1
x
  cosh dx
0
cosh d /  

d

1
 x 
d 
 2  0 H 0 d 
 sinh   20 H 0d  tanh 
cosh d /   
   0

Außerhalb des Körpers gilt für eine gleich große und gleich orientierte Fläche
0  20 H 0d 2
Somit ist der magnetische Fluss im Körper um folgenden Faktor kleiner:
 
d  
  tanh   (d   )
0 d
 d
Aufgabe
1
2
3
4
∑
Theoretische Elektrotechnik
Punkte maximal
6
10
8
6
30
Prof. Dr. Christian Schuster
Punkte erreicht
TU Hamburg-Harburg
Vor- und Zuname:
Note:
Matrikel-Nr.:
Schriftliche Prüfung Theoretische Elektrotechnik I
20. 8. 2012 – 9:00 Uhr – Bearbeitungszeit: 120 Minuten
Hinweise:
1. Aufgabe = „Wissensteil“: Bearbeitung ohne jegliche schriftliche oder
elektronische Hilfsmittel. Stichwortartige Antworten oder Formeln genügen.
Abgabe auf Extrablatt nach 10 Minuten!
2. – 4. Aufgabe = „Rechenteil“: Bearbeitung mit schriftlichen Hilfsmitteln und
einfachem Taschenrechner erlaubt. Abgabe nach weiteren 110 Minuten.
Alle anderen Hilfsmittel sind untersagt, insbesondere müssen Handys und Laptops
ausgeschaltet und verstaut sein.
Bitte schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer!
1. Aufgabe
Bearbeiten Sie folgende Fragen bzw. Aufgaben:
a) Wie lauten die vier Maxwellschen Gleichungen in differentieller Form?
b) Nennen Sie drei Klassen elektromagnetischer Felder bzw. elektromagnetischen
Feldverhaltens!
c) Wie lautet das grundlegende (fundamentale) Problem der Elektrostatik
(Formel)?
d) Welche allgemeinen Randbedingungen (Formeln) gehören zum grundlegenden
Problem der Elektrostatik ?
e) Wie kann man aus Kenntnis des elektrischen Widerstand eines Körpers
(Leitfähigkeit ) einfach die Kapazität eines Körpers gleicher Gestalt
(Dielektrizitätszahl r) berechnen (Formel)?
f) Wie lautet das grundlegende (fundamentale) Problem für Magnetfelder
stationärer Stromdichten (Formel)?
Vor- und Zuname:
Matrikel-Nr.:
2. Aufgabe
Zwei unendlich dünne, kreisförmige Linienladungen und mit Radius sind
jeweils in einem Abstand vom Ursprung entfernt konzentrisch auf der z-Achse und
parallel zur xy-Ebene angeordnet, siehe auch folgende Skizze.
𝜆
𝑎
𝑧
𝑦
𝑥
𝑎
𝜆
𝑅
Im Folgenden sei λ1 = λ2 = λ > 0 und der umgebende Raum Vakuum.
a) Berechnen Sie das elektrostatische Potential
auf der z-Achse in
Abhängigkeit der gegeben Parameter für die gesamte Anordnung!

b) Berechnen Sie die elektrische Feldstärke Eges ( z ) auf der z-Achse in
Abhängigkeit der gegeben Parameter für die gesamte Anordnung!
c) Skizieren Sie das elektrostatische Potential
und den Betrag der

elektrischen Feldstärke Eges ( z ) in Abhängigkeit von !
d) Berechnen Sie das Verhältnis von a zu R, für das die zweite Ableitung des
Potentials  2 ges ( z ) / z 2 im Ursprung verschwindet!
3. Aufgabe
Gegeben ist eine entlang der z-Achse unendlich ausgestreckte Elektrode (geladener,
metallischer Körper) mit einem unbekannten elektrostatischen Feld. Die Elektrode
weist einen rechten Winkel gemäß folgender Skizze auf und erstreckt sich entlang der
positiven x-Achse und entlang der negativen y-Achse jeweils ins Unendliche.
P

y
𝑎
ψ
Φ
135
Φ
x
Elektrode mit
Potential Φ
V
Die Elektrode befindet sich auf dem Potential 0 V, der umgebende Raum weist ein
Potential kleiner null auf, insbesondere gilt im Punkt P (siehe Skizze)
< 0 V.
Der die Elektrode umgebende Raum ist Vakuum.
a) Welche Differentialgleichung beschreibt das Potential im Raum um die
Elektrode und wie lautet ihre allgemeine Lösung?
b) Passen Sie die allgemeine Lösung an die vorliegenden Randbedingungen an!
c) Berechnen Sie die elektrostatische Feldstärke im Raum um die Elektrode!
d) Zeichnen Sie mindestens drei Äquipotentiallinien und vier Feldlinien in die
obige Skizze ein (in dem Bereich
und
)!
4. Aufgabe
Gegeben ist ein unendlich langer, im Wesentlichen gerader, von einem Gleichstrom
durchflossener Leiter entlang der positiven x-Achse. Um den Koordinatenursprung
herum besitzt der Leiter in einem Fall eine halbkreisförmige, im anderen Fall eine
rechteckige Ausbuchtung gemäß der folgenden Skizzen:
𝐼
𝑅
𝑦
𝑥
𝑏
𝐼
𝑎
𝑦
𝑥
a) Wie groß ist die magnetische Feldstärke ⃗ (Betrag und Richtung) im
Koordinatenursprung für die halbkreisförmige Ausbuchtung?
b) Wie groß ist die magnetische Feldstärke ⃗ (Betrag und Richtung) im
Koordinatenursprung für die rechteckige Ausbuchtung?
c) Wie groß ist die die magnetische Feldstärke ⃗ (Betrag und Richtung)
näherungsweise auf der positiven y-Achse in einem Abstand
bzw.
vom Koordinatenursprung in beiden Fällen?
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Theoretische Elektrotechnik
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Prof. Dr. Christian Schuster
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20. 08. 2012 – 9:00 Uhr – Bearbeitungszeit: 120 Minuten
Lösung zur 1. Aufgabe
a)
Maxwell-Gleichungen in differentieller Form:


B
rot E  
t
b)


 D
rot H  J 
t

div D  

div B  0
Drei Nennungen aus:
- statische Felder, z.B. elektrostatische und magnetostatische Felder
- stationäre Felder, z.B. elektrisches Strömungsfeld und Magnetfelder
stationärer Ströme
- quasistationäre Felder (langsam veränderliche Felder), z.B. induzierte
elektrische Felder und Wirbestromfelder
- voll dynamische Felder (schnell veränderliche Felder), z.B. Wellen

 0 r
c)
  
d)
Dirchlet:  (Rand)  gegeben
e)
R C 
f)


A  0 r  J
 0 r
1 
bzw. C   0 r

R 
Neumann:

 gegeben
n Rand
Lösung zur 2. Aufgabe
a)
Das elektrostatische Potential Φ(𝑟⃗) wird hier am einfachsten über das CoulombIntegral berechnet. Für einen unendlich dünne Ringladung geht dabei die Raumladungsdichte in die Linienladungsdichte 𝜆 über und das Volumenintegral in ein
ein Linienintegral. In Zylinderkoordinaten (𝜓 = Azimutwinkel) für das Potential
auf der Achse:
𝑧
𝑠
Φ(𝑧) =
2𝜋
1
𝜆
∫
∙ 𝑅 𝑑𝜓
4𝜋𝜀0 0 𝑠
𝑅
Für das Potential einer Ringladung im Koordinatenursprung folgt:
2𝜋
1
𝜆
1
𝜆
𝜆
𝑅
∫
Φ(𝑧) =
∙ 𝑅 𝑑𝜓 =
∙
∙ 2𝜋𝑅 =
∙
4𝜋𝜀0 0 √𝑧 2 + 𝑅2
4𝜋𝜀0 √𝑧 2 + 𝑅2
2𝜀0 √𝑧 2 + 𝑅2
Das Gesamtpotential Φges (𝑧) beider Ringladung auf der z-Achse berechnet sich
dann aus der Superposition zu:
 ges ( z ) 
b)
R 

2 0 

1
z  a 2  R 2



2
2 
z  a   R 
1
Die elektrische Feldstärke auf der z-Achse folgt durch Gradientenbildung aus
dem Potential (nur z-Komponente ungleich null):

Eges  grad  ges  


R 
E ges ( z ) 
2 0 

za
z  a 2  R 2

 

 ez
3 
2
2 
z  a   R 
za
3
c)
Skizzen für a  R / 2 :
Φ(𝑧)
a
0
a
|𝐸⃗ (𝑧)|
a
0
a
Skizzen für a  R / 2 :
Φ(𝑧)
𝑎
0
𝑎
|𝐸⃗ (𝑧)|
𝑎
0
𝑎
d)
Zweite Ableitung des Potentials nach z liefert:
 2  ges
z 2

R 

2 0 

1
z  a 2  R 2
3

3z  a 
z  a 2  R 2
3

z  a 2  R 2



5 
z  a 2  R 2 
3z  a 
2
1
2
5
An der Stelle 𝑧 = 0 dann:
 2  ges
z 2

z 0

R 
2
6a 2


5
2
2 
2 0  a 2  R 2 3
a R 

Für das Verschwinden der zweiten Ableitung ist also zu fordern:
2
a2  R2
3

6a 2
a2  R2
5
 2  ( a 2  R 2 )  6a 2
 2 R 2  4a 2
a
1
 
R
2
Lösung zur 3. Aufgabe
Im Folgenden wird mit der Methode der Separation der Variablen in zylindrischen
Koordinaten gearbeitet.
a)
Gemäß Skript lautet die allgemeine Lösung der Laplace-Gleichung in Zylinderkoordinaten (Sonderfall ebenes Feld, keine z-Abhängigkeit):
(r , )   R p (r )  p ( )
wobei
p


 Separationskonstante ≠ 0
p ( )  C p  sin( p )  Dp  cos( p ) 

R p (r )  Ap  r p  B p  r  p
R0 (r )  A0  B0  ln (r ) 
 Separationskonstante = 0
0 ( )  C0  D0  
b)
Die Randbedingungen für dieses Problem lauten:
(I): Φ(0°) = 0
(II): Φ(270°) = 0
(III): Φ(𝑎, 135°) = Φ0 < 0
Die Lösung mit Separationskonstante = 0 kann diese Randbedingungen (außer
für den Trivialfall Φ = 0) nicht erfüllen. Somit können nur die Lösungen mit
Separationskonstante ≠ 0 in Frage kommen. Es folgt:
- wegen der Endlichkeit des Potentials im Ursprung:
Bp  0
- wegen (I):
Dp  0
- wegen (II) und des Potentials kleiner null im Raum:
p
3
 
2
Wir wählen p = 2/3 und finden folgendes Zwischenergebnis:
(r, )  A2 / 3  r 2 / 3  C2 / 3  sin(2 / 3)  K  r 2 / 3  sin(2 / 3)
Hierbei ist K der einzige unbekannte Parameter, der über (III) bestimmt wird:
(a,3 / 4)  K  a 2 / 3  sin(6 / 12)  K  a 2 / 3 1  0  K  0 / a 2 / 3
Somit lautet die spezielle Lösung:
(r , )   0  (r / a) 2 / 3  sin(2 / 3)
c)
Die elektrische Feldstärke folgt durch Gradientenbildung aus dem Potential. In
Zylinderkoordinaten gilt:
grad() =
𝜕Φ
1 𝜕Φ
𝜕Φ
⋅ 𝑒⃗𝑟 +
⋅ 𝑒⃗𝜓 +
⋅ 𝑒⃗
𝜕𝑟
𝑟 𝜕𝜓
𝜕𝑟 𝑧
Damit folgt:

 2
 
 2
E (r , )  2 / 30    r 1/ 3  sin(2 / 3)  er   r 1/ 3  cos(2 / 3)  e 
a
3
3



2 
1
   2 /03  3  sin(2 / 3)  er  cos(2 / 3)  e 
3 a
r
d)
Φ
E⃗
Lösung zur 4. Aufgabe
Dies Aufgabe wird sinnvollerweise mit dem Biot-Savart-Gesetz gelöst:
𝐻⃗ =
a)
𝐼
𝑑𝑙⃗ × 𝑠⃗
∫
4𝜋
𝑠3
Die Größen 𝑠⃗, 𝑑𝑙⃗ und 𝑠 sind hier wie folgt definiert (P = Koordinatenursprung):
𝑑𝑙⃗
𝑅
𝐼
𝑠⃗
𝑃
Auf Grund des Kreuzproduktes trägt nur der Halbkreisbogen zum Integral bei.
Mit 𝑑𝑙⃗ × 𝑠⃗ = −𝑅𝑑𝜓 ⋅ 𝑠 ∙ 𝑒⃗𝑧 und 𝑠 = 𝑅 folgt in Zylinderkoordinaten:


I 
RR
I  1
I 
H ( P)  
 ez   3 d  
 ez     
 ez
4
4

R
4
R
R
0
b)
Auf Grund des Kreuzproduktes trägt auch hier nur die Ausbuchtung zum Integral
bei. Für dessen Berechnung ist es sinnvoll, diese in vier gleiche Abschnitte zu
unterteilen (Skizze links) und die magnetische Feldstärke einzeln im
Koordinaten-ursprung (Punkt P) zu berechnen.
𝑏
2
𝐼
1
3
𝑦
𝑃
𝑑𝑙⃗
4
𝑎
𝑥
Für das Teilstück 1 kann man finden (Skizze rechts):
𝑠⃗
𝑏
𝑃
0
𝑏
2
2
⃗
𝑠⃗1 = (−𝑦) , 𝑠 = √𝑏 + 𝑦 und 𝑑𝑙 = (𝑑 𝑦)
0
0
Weiterhin ergibt sich für das Kreuzprodukt:
𝑑𝑙⃗ × 𝑠⃗ = −𝑏𝑑𝑦 ⋅ 𝑒⃗𝑧
Somit berechnet sich die magnetische Feldstärke für das Teilstück 1 zu:
a
a


I 
b
Ib  
y
H1 ( P)  
 ez  
dy



e



z
3
2
2
2
2
2
4
4

b
b

y

 0
0
b y



Ib  
a
I
a
 ez  
 0  

 ez
2
2
2
4
4 b b 2  a 2
b b  a



Auf Grund der Symmetrie gilt: H1 ( P)  H 4 ( P) . Für die beiden anderen
Teilstücke muss man b und a vertauschen und erhält:



I
b
H 2 ( P)  H 3 ( P)  

 ez
2
2
4 a a  b
Insgesamt also:





H ( P)  H1 ( P)  H 2 ( P)  H 3 ( P )  H 3 ( P)

 
a
b


 ez
2
2
2
2 
b
b

a
a
a

b


I
a b  

     ez
2 b 2  a 2  b a 

c)
I
2
Im Fall eines auf der positiven y-Achse in einem Abstand 𝑦0 ≫ 𝑅 bzw. 𝑦0 ≫ 𝑎
vom Koordinatenursprung weit entfernt liegenden Punktes spielt in beiden Fällen
die Ausbuchtung keine Rolle mehr und kann durch ein gerades Leiterstück durch
den Ursprung angenähert werden. Es gilt dann wie für einen komplett geraden
Leiter (siehe z.B. Skript):

H ( P) 
I 
 ez
2y0
Aufgabe
1
2
3
4
∑
Theoretische Elektrotechnik
Punkte maximal
6
7
10
7
30
Prof. Dr. Christian Schuster
Punkte erreicht
TU Hamburg-Harburg
Vor- und Zuname:
Note:
Matrikel-Nr.:
Schriftliche Prüfung Theoretische Elektrotechnik I
8.03.2013 – 9:00 Uhr – Bearbeitungszeit: 120 Minuten
Hinweise:
1. Aufgabe = „Wissensteil“: Bearbeitung ohne jegliche schriftliche oder
elektronische Hilfsmittel. Stichwortartige Antworten oder Formeln genügen.
Abgabe auf Extrablatt nach 10 Minuten!
2. – 4. Aufgabe = „Rechenteil“: Bearbeitung mit schriftlichen Hilfsmitteln und
einfachem Taschenrechner erlaubt. Abgabe nach weiteren 110 Minuten.
Alle anderen Hilfsmittel sind untersagt, insbesondere müssen Handys und Laptops
ausgeschaltet und verstaut sein.
Bitte schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer!
1. Aufgabe
Bearbeiten Sie folgende Fragen bzw. Aufgaben:
a) Wie lauten die vier Maxwellschen Gleichungen in differentieller Form
(d.h. ausgedrückt mit Ableitungen)?
b) Welche räumliche Eigenschaft (Formel) gilt für stationäre Stromdichten?
c) Wie lautet die Formel für die magnetische Energiedichte?
d) Entscheiden und begründen Sie, ob  ( x, y, z)  0  cos(ax)  cos(ay)  exp(2az) mit
a als konstanten Parameter > 0 eine globale Lösung der Laplace-Gleichung ist!
e) Welches Abstandsverhalten (Proportionalität zu welcher Funktion von r) zeigt
die magnetische Feldstärke eines unendlich langen, geraden und von Gleichstrom durchflossenen Leiters?
f) Wie lautet das Biot-Savart Gesetz (Formel)?
Vor- und Zuname:
Matrikel-Nr.:
2. Aufgabe
Gegeben ist eine Ladungsdichteverteilung im Bereich 0 ≤ x ≤ x2, die in y- und zRichtung jeweils unendlich ausgedehnt ist (siehe Abbildung). An den Grenzen x = 0
und x = x2 ist das elektrische Potential zu null vorgegeben.
 0  0
 I  0  x / x0
y
z
0
x1
x2
x
Es gilt im Folgenden:   0,  r  1, x0  0, und  0  0.
a) Welche Differentialgleichung beschreibt das elektrische Potential im Bereich
0 ≤ x ≤ x2 und wie lautet ihre allgemeine Lösung?
b) Passen Sie die allgemeine Lösung an die vorliegenden Randbedingungen an!
Nehmen Sie dabei zur Vereinfachung an, dass x1 = π/2α und x2 = π/α.
c) Skizzieren Sie den prinzipiellen Verlauf von Ladungsdichte, elektrischer
Feldstärke in x-Richtung und elektrischem Potential als Funktionen von x im
Bereich 0 ≤ x ≤ x2!
3. Aufgabe
Es befinden sich zwei gleiche, in z-Richtung unendlich ausgedehnte Linienladungen
jeweils mit Abtand h zur z-Achse im Raum:
𝑦
𝜆
𝜆
ℎ
𝑥
ℎ
Es gilt im Folgenden:   0 und  r  1.
a) Bestimmen Sie das elektrische Potential  ( x, y) der Linienladungen in der xyEbene! Nehmen Sie dazu an, dass im Koordinatenursprung   0V gilt!

b) Berechnen Sie die zugehörige elektrische Feldstärke E ( x, y) !
c) Skizzieren Sie in der Abbildung oben mindestens 3 Äquipotentiallinien und 4
elektrische Feldlinien ein und machen Sie diese als solche kenntlich!
d) Näheren Sie die in Teilaufgabe b berechnete Lösung für den Fall an, dass der
betrachtete Aufpunkt eine sehr viel größere Distanz zum Ursprung hat als die
beiden Linienladungen! Welcher Ladungsverteilung entspricht dieses Feld?
Im Folgenden wird zusätzlich zu dem Feld der Linienladungen ein konstantes
elektrisches Feld in y-Richtung mit der Amplitude E0 > 0 angelegt.
e) Bestimmen Sie das entsprechende gesamte Potential  ( x, y) ! Wie verhält sich
das Potential auf der y-Ache bei y   und y   ? Berechnen Sie die yPositionen aller lokalen Extremstellen als Funktion der gegebenen Parameter!
4. Aufgabe
Gegeben ist eine vom Gleichstrom I durchflossene Leiterschleife in der xy-Ebene in
Form eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge a (siehe Abbildung). Die
Koordinaten der Eckpunkte sind wie angegeben (h ist hierbei die Höhe des Dreiecks).
y
(0, 2h/3)
I
P1(0,0)
(-a/2,-h/3)
.
P2(a/2, h/3)
x
(a/2, -h/3)
a
a) Berechnen Sie als Funktion von I und h die magnetische Feldstärke nach Betrag
und Richtung im Punkt (Schwerpunkt des gleichseitigen Dreiecks)!
b) Berechnen Sie als Funktion von I und h die magnetische Feldstärke nach
Betrag und Richtung im Punkt P2 (Punkt auf der Winkelhalbierenden)!
c) Skizieren Sie qualitativ die z-Komponente der magnetischen Feldstärke auf der
Winkelhalbierenden (Start in (-a/2,-h/3))!
Hz
P1
P2
TU Hamburg-Harburg
M U S T E R L Ö S U N G
Theoretische Elektrotechnik
Prof. Dr. Christian Schuster
Schriftliche Prüfung Theoretisch Elektrotechnik I
8.03.2013 – 09:00 Uhr – Bearbeitungszeit: 120 Minuten
Lösung zur 1. Aufgabe
a)


B
rot E  
t


 D
rot H  J 
t

div D  
b)

Räumliche Eigenschaft stationärer Stromdichten: div J  0
c)
1  
Magnetische Energiedichte: wm   B  H
2
d)
Einsetzen in die Laplace-Gleichung führt auf:

div B  0
 ( x, y, z)  a 2   ( x, y, z)  a 2   ( x, y, z)  4a 2   ( x, y, z)  2a 2   ( x, y, z)
Dies ist nur lokal null,  ( x, y, z) ist deshalb keine globale Lösung.
e)
Abstandsverhalten der magnetischen Feldstärke: H ~ 1 / r
f)
Biot-Savart Gesetz für das Magnetfeld eines Linienstromes:
 

I
dl  s
H

4  s 3

dl  gerichtete s Leiterelem ent
mit

s  Abstandsvektor Aufpunkt  Leiterelement
Lösung zur 2. Aufgabe
Diese Aufgabe lässt sich durch direkte Integration der hier geltenden PoissonGleichung lösen. Im Folgenden wird zwischen folgenden Bereichen unterschieden:
Bereich I: 0 ≤ x ≤ x1
a)
Bereich II: x1 ≤ x ≤ x2
Poisson-Gleichungen:
I  
 I ( x)
 x
 0 
0
 0 x0
II  
 II ( x)

  0  sin(x)
0
0
Allgemeine Lösungen:
0 x3
I  
  K1  x  K 2
 0 x0 6
II 
0 sin(x)

 C1  x  C2
0
2
Die Integrationskonstanten K1,2 und C1,2 sind zunächst unbekannt. Zur späteren
Verwendung werden hier noch die Ableitungen notiert:
dI
0 x 2

  K1
dx
 0 x0 2
b)
dII 0 cos(x)
 
 C1
dx  0

Randbedingungen aus der Aufgabenstellung:
(A)
I 0  0
(B)
II x2   0
Randbedingungen aus der Stetigkeit des Potentials und der elektrischen
Flussdichte:
(C)
I x1   II x1 
(D)
I
x
x  x1
Mit x1 = π/2α und x2 = π/α folgt
.. aus (A):
K2  0
.. aus (B):
C1  ( /  )  C2  0
bzw. C2  C1  ( /  )

II
x
x  x1
.. aus (D):

0 ( / 2 )2
 0

 K1  0   C1 bzw.
 0 x0
2
0 
K1  C1 
0 ( / 2 )2

 0 x0
2
.. aus (C) unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse:

0 ( / 2 )3

 0 x0
6

 ( / 2 )2 
 1
  ( / 2 )  0  2  C1  ( / 2 )  C1  ( /  )
  C1  0 
 0 x0
2
0 


0 ( / 2 )3
 1

 C1  ( / 2 )  0  2  C1  ( / 2 )
 0 x0
3
0 
C1  ( /  ) 

C1 
0 1
 ( / 2 )3
 2 0 
 0   0 x0
3
 0  1 ( / 2 )3 

 

  0   2
3x0 
Damit sind alle Integrationskonstanten bestimmt.
c)
Skizzen (hier x0 = x1 gewählt, dadurch  stetig):
Lösung zur 3. Aufgabe
a)
Das elektrische Potential einer unendlich langen, positiven Linienladung auf der
z-Achse im Vakuum lautet (siehe z.B. Skript):
( x, y)  

 ln( r )  C
2 0
r  x2  y2
Dies muss durch Superposition für die gegebene Situation angepasst werden:
𝑦
⃗
𝜆
𝜆
ℎ
( x, y)  
𝑥
ℎ

 ln( r1 )  ln( r2 )  C
2 0
mit
r1, 2  ( x  h) 2  y 2
Bestimmung der unbekannten Konstanten C durch die gegebene Randbedingung
im Koordinatenursprung:
0

 ln( h)  ln( h)  C
2 0
Somit:
( x, y)  
b)

 r r 
 ln  1 2 2 
2 0  h 

mit
C

 ln( h 2 )
2 0
r1, 2  ( x  h)2  y 2
Das elektrische Feld wird durch Bildung des Gradienten bestimmt (nur x- und yKomponenten sind hierbei ungleich null). Mit:
 ln( r1, 2 )
x

 ln( r1, 2 )
y
ergibt sich:
1
1
xh
 
 2  ( x  h)  2
2
2
r1, 2
( x  h)  y 2 ( x  h)  y
1
2

2
1
1
1
y
 
2 y  2
r1, 2
( x  h ) 2  y 2 2 ( x  h) 2  y 2


E ( x, y )  grad  ( x, y ) 
 grad ln( r1 )  ln( r2 )  ln( h 2 )
2 0





 grad ln( r1 )   grad ln( r2 )  
2 0

 x  h 
 x  h
 1 

 1 

  2  y   2  y  
2 0 r1 
 r2  0  

 0 


Hierbei sind die Abstände r1, 2 wie in der Lösung zur Teilaufgabe a definiert.
c)
Skizze (Äquipotentiallinien rot, Feldlinien blau):
𝑦
𝜆
𝜆
ℎ
d)
𝑥
ℎ
Näherungen für Aufpunkt weit weg vom Ursprung (
ℎ
,
ℎ):
ℎ
Damit vereinfacht sich wie folgt:


 1
E ( x, y ) 

2 0  r 2

 x
  1
 y  2
0 r
 
 x 
 x
   1  
 y  
 2  y
 0    0 r  0 
 
 
mit
r  x2  y2
Das Feld entspricht dem einer Linienladung auf der z-Achse mit einer
Linienladung, die der Summe der beiden einzelnen Linienladungen entspricht.
e)
Das elektrische Potential eines konstanten elektrischen Feldes in y-Richtung
lautet  0 ( x, y)   E0  y , wie sich leicht aus der Gradientenbildung zeigen lässt.
Damit lautet das gesamte Potential:
( x, y)  

 r r 
 ln  1 2 2   E0  y
2 0  h 
mit
r1, 2  ( x  h) 2  y 2
Auf der y-Achse dann:
( x  0, y )  
 h2  y 2 

  E0  y
 ln 
2
2 0
 h

Es folgt:
( x  0, y  )  
( x  0, y  )  
Für die Berechnung der Extremstellen wird das Potential einmal abgeleitet:
d( x  0, y )

2y

 2
 E0
dy
2 0 h  y 2
Nullsetzen ergibt quadratische Gleichung:

E0  y  E0 h 
y0
 0
2
2
2
  

  h 2
y1, 2  
 
2 0 E0
 2 0 E0 
Aus der Anschauung muss y1 ein lokales Maximum sein, y2 ein lokales
Minimum. Beide existieren nur für:

h
2E0
Skizze (nicht verlangt):
Φ(x=0,y)
0
y
Lösung zur 4. Aufgabe
Die Aufgabe wird am einfachsten unter Anwendung des Gesetzes von Biot-Savart:
 

I
dl  s
H

4  s 3

dl  gerichtete s Leiterelem ent
mit

s  Abstandsvektor Aufpunkt  Leiterelement
und Superposition der Felder gelöst. Für ein endliches Leiterstück in der xy-Ebene
findet man aufgrund der Anordnung nur eine z-Komponente des H-Feldes. Diese wird
hier mit den folgenden Definitionen berechnet:
y0
θ
θ2

θ1
x1
x0

I 1 dx  s  sin
I 1 dx  cos 
I 2 cos  d





4 x0
s3
4 x0
s2
4 1 y0
x
H z (0, y0 ) 
 H z (0, y0 ) 
x
I
 sin( 2 )  sin(1 )
4  y0
Die Substitution erfolgt hierbei über:
dx  d ( y0  tan )  y0 
1
s2
s2

d


y


d


 d
0
cos 2 
y02
y0
Alternativ kann man z.B. von einer Formel im Skript ausgehen, die auf
kartesischen Koordinaten beruht.
a)
Im Punkt P1 tragen alle Leiterschleifenseiten gleich zur Feldstärke bei, es genügt
also z.B. den Einfluss der unteren zu berechnen. Für diese gilt:
sin(1 )  sin(600 )  
3
2
sin( 2 )  sin(600 ) 
3
2
Somit ( y0  h / 3 ):
H z ( P1 )  3 
 3
I
3 9 3I



4  h / 3  2
2  4  h
Die Feldstärke zeigt in die positive z-Richtung.
b)
Im Punkt P2 trägt die obere rechte Leiterschleifenseite wie in Teilaufgabe a bei,
nur mit umgekehrtem Vorzeichen:
H z ,obenrechts ( P2 )  
 3
I
3
3 3I



4  h / 3  2
2 
4  h
Die beiden anderen Leiterschleifen tragen auf Grund der Symmetrie gleich bei
(und zwar positiv). Für die untere gilt z.B.:
sin(1 )  sin(600 )  
3
2
sin( 2 )  sin(00 )  0
Somit ( y0  2h / 3 ):
H z ,unten ( P2 ) 

I
3 3 3I
 0 

4  2h / 3 
2  16  h
In der Summe:
H z ( P2 )  
c)
3 3I
3 3I
3 3I
 2

4  h
16  h
8  h
Skizze:
Hz
HP1
HP2
P1
P2
Aufgabe
1
2
3
4
∑
Theoretische Elektrotechnik
Punkte maximal
6
9
8
7
30
Prof. Christian Schuster
Punkte erreicht
TU Hamburg-Harburg
Vor- und Zuname:
Note:
Matrikel-Nr.:
Schriftliche Prüfung Theoretische Elektrotechnik I
02.08.2013 – 14:00 Uhr – Bearbeitungszeit: 120 Minuten
Hinweise:
1. Aufgabe = „Wissensteil“: Bearbeitung ohne jegliche schriftliche oder
elektronische Hilfsmittel. Stichwortartige Antworten oder Formeln genügen.
Abgabe auf Extrablatt nach 10 Minuten!
2. – 4. Aufgabe = „Rechenteil“: Bearbeitung mit schriftlichen Hilfsmitteln und
einfachem Taschenrechner erlaubt. Abgabe nach weiteren 110 Minuten.
Alle anderen Hilfsmittel sind untersagt, insbesondere müssen Handys und Laptops
ausgeschaltet und verstaut sein.
Bitte schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer!
1. Aufgabe
Bearbeiten Sie folgende Fragen bzw. Aufgaben:
a) Wie lauten die Maxwellschen Gleichungen in differentieller Form?
b) Wie lautet die Poisson-Gleichung?
c) Aus welchen Gleichungen wird die Poisson-Gleichung abgeleitet?
d) Wie lautet der Ladungserhaltungssatz in differentieller Form?
e) Aus welchen Gleichungen wird der Ladungserhaltungssatz abgeleitet?
f) Zwei metallische Kugeln „1“ und „2“ (in weitem Abstand und deshalb ohne
Einfluss aufeinander) seien jeweils auf dasselbe Potential in Bezug auf einen
unendlich fernen Punkt aufgeladen. Welche Beziehung gilt dann zwischen ihren
Ladungen Q1 ,Q2 und Radien R1 , R2 ?
Vor- und Zuname:
Matrikel-Nr.:
2. Aufgabe
Gegeben ist die in der nachstehenden Abbildung gezeigte Anordnung von zwei halbunendlichen Elektroden und einer unendlich großen, ebenen Membran im Vakuum
(  r  1 ). Die erste Elektrode schließt mit der yz-Ebene ab, für welche x = 0 gilt. Die
Membran befindet sich an der Position x = t+∆x (∆x entspricht einer Auslenkung), hat
eine vernachlässigbare Dicke und trägt die Oberflächenladungsdichte   0 . Die
zweite Elektrode beginnt ab der Ebene mit x = 2t. Randeffekte sind vernachlässigbar.
Im Folgenden sei das elektrostatische Potential auf der Oberfläche der linken Elektrode  a und die Ableitung des Potentials d / dx auf der Oberfläche der rechten
Elektrode sei K . Zu bestimmen ist der Verlauf  (x) zwischen den Elektroden.
a) Welche Differentialgleichungen beschreiben das elektrostatische Potential und
wie lauten ihre allgemeinen Lösungen zwischen den Elektroden links und
rechts der Membran? Wie lauten die Rand- und Stetigkeitsbedingungen?
b) Bestimmen Sie Verlauf  (x) zwischen den Elektroden als Funktion aller
gegebenen Parameter!
c) Es sei nun a  0 , x  0 und die Potentialdifferenz b  a der Elektroden 0 V.
Bestimmen Sie daraus K ! Welches maximale Potential wird erreicht und wo?
d) Berechnen Sie mit den Ergebnissen aus Teilaufgabe c die Größe der Auslenkung x  0 in mm, welche eine Potentialdifferenz zwischen den beiden
Elektroden von 1 V bei  = 1,6  109 As/m2 verursacht!
e) Skizzieren Sie das Potential im Bereich zwischen den Elektroden für den Fall
der Membran an zentraler Position zwischen den Elektroden ( x  0 ) und für
den Fall der verschobenen Membran ( x  0 ).
3. Aufgabe
Gegeben ist das in der Abbildung links gezeigte Rechteckprofil (hohle Struktur
quaderförmigen Querschnitts mit unendlicher Ausdehnung in z-Richtuing) mit einer
Ausdehnung von a in horizontaler und b in vertikaler Richtung. Auf jeder der vier
Seitenflächen ist jeweils ein elektrostatisches Potential  eingeprägt, welches einer
bestimmten Funktion folgt (siehe Kanten des Profils in der Skizze, graphisch
dargestellt durch grau gefüllte Kurven). Der Innenraum des Profils sei ladungsfrei und
mit Luft (  r  1 ) gefüllt.
Bearbeiten Sie folgende Fragen bzw. Aufgaben:
a) Geben Sie die Differentialgleichung für das elektrostatische Potential des
Innenraums, deren allgemeine Lösung, sowie die Randbedingungen als
Funktion der Koordinaten x, y und z an!
b) Passen Sie die allgemeine Lösung an die Randbedingungen des gegebenen
Problems an!
c) Zeigen Sie, dass die gefundene Lösung die Ladungsfreiheit im Inneren des
Profils erfüllt!
d) Zeichnen Sie in die Skizze des Querschnitts links in der Abbildung mindestens
4 Äquipotentiallinien und mindestens 4 Feldlinien ein! Machen Sie letztere mit
Pfeilen kenntlich, wobei die Richtung zu beachten ist!
4. Aufgabe
Vier unendliche lange, parallele, jeweils von einem Gleichstrom der Stärke I0 durchflossene Drähte sind in der xz-Ebene angeordnet. Die Richtungen der Ströme und die
Abstände der einzelnen Drähte zum Koordinatenursprung sind der folgenden Skizze
zu entnehmen.
y
P2
a
a
P1
-3a
1
P3
-a
a
3a
2
3
4
x
Bearbeiten Sie folgende Fragen bzw. Aufgaben:
a) Geben Sie die magnetische Feldstärke nach Betrag und Richtung in den
Punkten P1, P2 und P3 in Abhängigkeit von a und I0 an!
b) Stellen Sie eine Formel für den Verlauf der y-Komponente der magnetischen
Feldstärke entlang der x-Achse in Abhängigkeit von x, a und I0 auf!
c) Zeichnen Sie (vorzeichenrichtig) die y-Komponente der magnetischen
Feldstärke entlang der x-Achse für -5a < x <5a in das unten abgebildete
Diagramm!
Hy
-5a
-3a
-a
a
3a
5a
x
TU Hamburg-Harburg
Theoretische Elektrotechnik
M U S T E R L Ö S U N G
Prof. Christian Schuster
Schriftliche Prüfung Theoretische Elektrotechnik I
02.08.2013 – 14:00 Uhr – Bearbeitungszeit: 120 Minuten
Lösung zur 1. Aufgabe
a)
Maxwell-Gleichungen in differentieller Form:


B
rot E  
t


 D
rot H  J 
t

div D  

div B  0
b)
Poisson-Gleichung:
    /  0 r
c)
… abgeleitet aus:

E   grad 
d)
Ladungserhaltungssatz:
 
div J 
0
t
e)
… abgeleitet aus:


 D
rot H  J 
t
f)
Die Kapazität eines Kugelkondensators im Vakuum gegen Unendliche lautet:
C
und
Q
 4 0 R
U
Also gilt Q1, 2  4 0 R1, 2 U und somit:
Q1 R1

Q2 R2


div D  div( 0 r  E )  
und

div D  
Lösung zur 2. Aufgabe
Diese Aufgabe ist effektiv eindimensional lässt sich deshalb am einfachsten durch
direkte Integration der Laplace-Gleichung lösen. Dazu wird für die Bereiche links und
rechts der Membran ( 0  x  t  x bzw. t  x  x  2t ) jeweils die eindimensionale
Laplace-Gleichung aufgestellt und dann zweifach integriert.
a)
Die Gleichungen für die beiden Bereiche sowie die durch direkte Integration
berechneten allgemeinen Lösungen lauten:
Bereich 1 (links der Membran)
1 
Bereich 2 (rechts der Membran)
d 21
0
dx 2
2 
 1  A  x  B
d 22
0
dx 2
 2  C  x  D
Die Integrationskonstanten A, B, C und D sind aus den Rand- und
Stetigkeitsbedingungen zu berechnen:
Aus der Stetigkeit des Potentials an der Membran folgt:
1 (t  x)  2 (t  x)
(I)
Aus der Stetigkeitsbedingung der Normalkomponenten der elektrische Flussdichte an der Membran Dn, 2  Dn,1   folgt für das Potential (Vorzeichen
beachten!):
d1
dx

x  t  x
d2
dx

x  t  x

0
(II)
Randbedingung auf der linken Elektrode:
1 ( x  0)  a
(III)
Randbedingung auf der rechten Elektrode:
d2
dx
K
x 2 t
(IV)
b)
Aus (III):
B  a
Aus (IV):
CK
Daraus und aus (II) kann nun A bestimmt werden zu:
AC 

0

A

K
0
Aus (I) unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse:


  K   (t  x)   a  K  (t  x)  D
 0

 D

 (t  x)  a
0
Damit ist das Potential in beiden Bereichen bestimmt.
Bereich 1 (links der Membran)
Bereich 2 (rechts der Membran)


 K   x  a
 0

 2 ( x)  K  x 
1 ( x)  
c)

 (t  x)  a
0
Wir setzen a  0 und x  0 und finden aus der Lösung für Bereich 2:
2 (2t )  K  2t 

t
0
Da 1 (0)  0  2 (2t ) sein soll, folgt:
K

2 0
Für das Maximum des Potentials (bei x = t) gilt:
max  1 (t )  2 (t ) 

t
2 0
d)
Mit den Ergebnissen aus Teilaufgabe c folgt:
b  a  2 (2t )  1 (0) 



 2t   (t  x)   x
2 0
0
0
Und schließlich ( für b  a ) :
x 
0
0
 (b  a ) 
1 V  5,534 mm

9 C
1,6 10
m2
e)
Skizzen (    0 , b  a  0 ):
Lösung zur 3. Aufgabe
Diese Aufgabe ist effektiv zweidimensional lässt sich deshalb am einfachsten durch
Anwendung der Separation der Variablen auf die Laplace-Gleichung lösen.
a)
Differentialgleichung für das elektrostatische Potential:
 ( x, y)  0
Allgemeine Lösung unter Verwendung eines Separationsansatzes in kartesischen
Koordinaten:
 ( x, y)   X p ( x)  Yp ( y)
p
Lösungen (siehe z.B. im Vorlesungsskript):
Für p  0 :
X p  Ap  sinh( px)  B p  cosh( px)
Yp  C p  sin( py )  D p  cos( py )
oder
X p  Ap  sin( px)  Bp  cos( px)
Yp  C p  sinh( py )  Dp  cosh( py )
X p  Ap  B p  x
Für p  0 :
Yp  C p  D p  y
Welche der Lösungsfunktionen zu wählen ist, und wie die Koeffizienten
(Integrationskonstanten) lauten, muss aus den Randbedingungen bestimmt
werden. Diese lauten hier:
(I)
(II)
(III)
(IV)
b)
 (0, y )  0
 ( x,b / 2)  U 0  sin( x / a)
 ( a, y )  0
 ( x, b / 2)  U 0  sin( x / a)
Für das vorliegende Problem kann nur folgende Wahl in Frage kommen, um alle
Randbedingungen (insbesondere jene an unterem und oberem Rand) zu erfüllen:
 ( x, y)   Ap  sin( px)  Bp  cos( px) C p  sinh( py)  Dp  cosh( py)
p 0
Die Koeffizienten Ap , Bp , C p und Dp und die Separationskonstante p werden wie
folgt bestimmt (vergleiche auch Übung):
p   / a wegen (I) bis (IV)
B p  0 wegen (I)
C p  0 wegen (II) und (IV)
Es verbleibt:
 x 
 y 
 x 
 y 
  D / a  cosh
  K  sin
  cosh

 a 
 a 
 a 
 a 
 ( x, y)  A / a sin
K lässt sich aus (II) oder (IV) einfach bestimmen zu:
K
U0
cosh b / 2a 
Somit lautet die gesuchte Lösung:
 ( x, y ) 
c)
U0
 x 
 y 
 sin
  cosh

cosh b / 2a 
 a 
 a 
Berechnung der elektrischen Feldstärke aus dem Potential über
Gradientenbildung:
Ex  
U0

 
 x 
 y 

    cos
  cosh

x
cosh  b / 2a   a 
 a 
 a 
U0

 
 x 
 y 

    sin 
  sinh 

y
cosh  b / 2a   a 
 a 
 a 

Ey  
0
z
Ey  
Für Ladungsfreiheit muss gelten:
  E   E y   Ez 
  
div E   x   
0
 x   y   z 
Hier:
E y
E x
U0
 
 x 
 y 

    sin
  cosh

x cosh b / 2a   a 
y
 a 
 a 
2
und
E z
0
z
Somit ist Ladungsfreiheit bewiesen.
d)
Folgender Verlauf des elektrischen Feldes (gestrichelte Linien) und der
Äquipotentiallinien (durchgezogene Linien) wird gefunden:
Ergänzende Abbildung für das Potential (nicht gefragt):
Lösung zur 4. Aufgabe
a)
Der Betrag der magnetischen Feldstärke an den Punkten P1, P2 und P3 lässt sich
durch Superposition der Magnetfelder der vier einzelnen Ströme unter Beachtung der Stromrichtungen und Abstände berechnen. Der Beitrag eines einzelnen
Stromes zum Magnetfeld lässt sich z.B. aus dem Ampèreschen Durchflutungsgesetz bestimmen (siehe auch Skript). Für einen Strom im Koordinatenmittelpunkt in positiver z-Richtung findet man:
y
0
 sin 
2  r

H y   0  cos 
2  r
Hx  
r

x
z
P1:
Aufgrund der Symmetrie gibt es auf der gesamten x-Achse (y = 0) nur eine yKomponente des H-Feldes. Das magnetische Feld der Leiter bei 2 und 3 ist dabei
gleich groß und damit ( r  a und cos(α) = 1 bzw. - 1):
H y 23 
 0


 (1)  0  (1)   0
2  a
2  a
a
Das magnetische Feld der Leiter 1 und 4 ist ebenfalls gleich groß und damit
( r  3a und α = 0° bzw. 180°, cos α = 1 bzw. -1):
H y14 
0
 0

 (1) 
 (1)  0
2  3a
2  3a
3a
Das gesamte magnetische Feld in P1 berechnet sich dann zu:
H P1  H y 23  H y14 
0

2 
 0   0
3a a
3 a
P2:
Im P2 erhalten wir aufgrund der Symmetrie auf der gesamten y-Achse (x = 0) nur
eine y-Komponente des H-Feldes, da sich die x-Komponenten der inneren Leiter
2 und 3 sowie jene der äußeren Leiter 1 und 4 genau aufheben. Für die Leiter 2
und 3 berechnet sich das Feld dann zu ( r  a  2 und cos(α) =  1 / 2 ):
H y 23 
 0
0

 1 
 1 



 0
2a
2  a 2  2  2  a 2 
2
Das magnetische Feld der Leiter 1 und 4 verhält sich analog und damit
( r  a  10 und cos(α) =  3 / 10 ):
H y14 
0
 0
 3 
 3  3 0
 
  
 
  
2  a 10  10  2  a 10  10  10 a
Das gesamte magnetische Feld in P2 berechnet sich dann zu:
H P2  H y 23  H y14 


3 0
  0  0
10 a 2a
5a
P3:
Auch hier existiert wiederum nur eine y-Komponente. Für die beiden Leiter 3
und 4 erhält man ( r  a und cos(α) = 1 bzw. -1):
H y 34 
0
 0

 (1) 
 (1)  0
2  a
2  a
a
Für Leiter 1 ( r  5a und cos(α) =1):
H y1 
0
2  5a
Für den Leiter 2 ( r  3a und cos(α) =1):
H y2 
 0
2  3a
Das gesamte magnetische Feld in P3 berechnet sich dann zu:
H P3  H y 34  H y1  H y2 
b)
14  0

15 a
Die y-Komponente der Feldstärke entlang der x-Achse (y = 0) ergibt sich zu aus
den Beiträgen der einzelnen Ströme (i = 1,2,3,4):
H yi 
 0i
 0i
x  xi

x  xi
 cos  i 

 0 
2
2
2  ri
2 | x  xi |2
2 ( x  xi )
( x  xi )
Dabei ist xi die Position des jeweiligen Drahtes. Ausgeführt:
Draht 1: H y1 
0
x  3a

2 | x  3a |2
Draht 2: H y 2 
 0 x  a

2 | x  a |2
Draht 3: H y 3 
0
xa

2 | x  a |2
Draht 4: H y 4 
  0 x  3a

2 | x  3a |2
Die gesamte Feldstärke nach Superposition der einzelnen Felder:
H y ges ( x, a, I 0 )  H y1  H y 2  H y 3  H y 4
c)
Skizze:
Hy
-3a
-a
a
3a
x
Aufgabe
1
2
3
4
∑
Theoretische Elektrotechnik
Punkte maximal
6
8
8
8
30
Prof. Christian Schuster
Punkte erreicht
TU Hamburg-Harburg
Vor- und Zuname:
Note:
Matrikel-Nr.:
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4. 3. 2014 – 9:00 Uhr – Bearbeitungszeit: 120 Minuten
Hinweise:
1. Aufgabe = „Wissensteil“: Bearbeitung ohne jegliche schriftliche oder
elektronische Hilfsmittel. Stichwortartige Antworten oder Formeln genügen.
Abgabe auf Extrablatt nach 10 Minuten!
2. – 4. Aufgabe = „Rechenteil“: Bearbeitung mit schriftlichen Hilfsmitteln und
einfachem Taschenrechner erlaubt. Abgabe nach weiteren 100 Minuten.
Alle anderen Hilfsmittel sind untersagt, insbesondere müssen Handys und Laptops
ausgeschaltet und verstaut sein.
Bitte schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer!
1. Aufgabe
Bearbeiten Sie folgende Fragen bzw. Aufgaben:
a) Wie lauten die Maxwellschen Gleichungen in differentieller Form?
b) Wie lauten die Maxwellschen Gleichungen in integraler Form?
c) Wie lautet der Ladungserhaltungssatz in differentieller Form?
d) Welchen Zahlenwert (+/- 5%) und welche Einheit hat die elektrische
Feldkonstante  0 ?
e) Wie ist die gesamte elektromagnetische Energiedichte definiert (Formel)?
f) Beurteilen Sie: Beim Übergang magnetischer Felder von Luft (  r  1 ) in ein
hoch permeables Material (  r  1 ) werden die Feldlinien zum Lot hin
gebrochen – richtig oder falsch?
Vor- und Zuname:
Matrikel-Nr.:
2. Aufgabe
Eine positiv geladene metallische Kugel mit Radius R K im Zentrum des Koordinatensystems ist umgeben von einer Ladungsdichte  (r )  0 . Die Kugel trägt die GesamtLadung Q0  0 :
 (r )  
A
r4
( A  0)
RK
r
 r  1 überall
Bearbeiten Sie die folgenden Aufgaben bzw. Fragen:
a) Bestimmen Sie den Wert von A in Abhängigkeit der gegebenen Parameter, für
den die Gesamtladung des Systems Kugel + Außenraum gleich null ist!
b) Berechnen Sie mit diesem Wert von A den Radialteil des elektrischen Feldes
Er (r ) und das elektrostatische Potential  (r ) jeweils als Funktion des Abstands
r vom Mittelpunkt des Kerns für 0  r   ! Für das elektrostatische Potential
soll folgende Randbedingung gelten:  (r  )  0 .
c) Welche maximale Feldstärke bzw. welches maximale Potential ergibt sich und
wo jeweils?
d) Skizzieren Sie Er (r ) und  (r ) jeweils als Funktion des Abstands r vom
Mittelpunkt der Kugel für 0  r   !
e) Berechnen Sie die elektrische Gesamtenergie des Systems Kugel + Außenraum!
3. Aufgabe
Gegeben sei der abgebildete Hohlzylinder mit konstanter Flächenladungsdichte   0
auf dem Mantel. Zu berechnende Ausdrücke sind in Abhängigkeit der abgebildeten
Größen anzugeben.
z
R
y
 r  1 überall
h2
x
h 2
Bearbeiten Sie die folgenden Aufgaben bzw. Fragen:
a) Geben Sie die Gesamtladung Q0 des Zylinders an!
b) Berechnen Sie das elektrostatische Potenzial  (z ) auf der gesamten z -Achse!
Nehmen Sie dabei an, dass  ( z  )  0 !
c) Berechnen Sie die z -Komponente der elektrischen Feldstärke E z (z ) auf der
gesamten z -Achse!
d) Skizzieren Sie  (z ) und E z (z ) jeweils als Funktion von z auf der gesamten
z -Achse!
4. Aufgabe
Gegeben sind zwei in x - und z -Richtung unendlich ausgedehnte, metallische Platten
der Dicke d mit den elektrischen Leitfähigkeiten  1 und  2 . Die Platten befinden sich
im Vakuum und liegen wie illustriert direkt aufeinander. Es gelte   1   2  0 .
Weiterhin existiert im gesamten Raum ein konstantes elektrisches Feld E 0 in
z -Richtung.
E0
Bearbeiten Sie die folgenden Aufgaben bzw. Fragen:
a) Bestimmen Sie die Stromdichte J z ( y) für  d  y  d , die sich aufgrund des
elektrischen Feldes einstellt!

b) Bestimmen Sie das resultierende magnetische Feld H ( y) für    y   !
Welche Werte nimmt das magnetische Feld auf den Oberflächen der Platten
und auf der Fläche zwischen den Platten an? Wo ist es null?

c) Skizzieren Sie alle Komponenten ungleich null von H ( y) als Funktion von y
für    y   !
d) Die Platten haben nun die Länge l in z -Richtung und die Breite a in x Richtung. Es wird angenommen, dass die Felder dadurch nicht gestört werden.
Berechnen Sie den Gesamtwiderstand in z-Richtung!
TU Hamburg-Harburg
M U S T E R L Ö S U N G
Theoretische Elektrotechnik
Prof. Christian Schuster
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4. 3. 2014 – 9:00 Uhr – Bearbeitungszeit: 120 Minuten
Lösung zur 1. Aufgabe
a)
Differentielle Maxwell-Gleichungen:

  D
rot H  J 
t


B
rot E  
t

div B  0

div D  
b)
Integrale Maxwell-Gleichungen:
 
  
 
H

d
r

J

d
A

D
 dA


t 
 
 
d
E

d
r


B
 dA

dt 
 
B
  dA  0
 
D
  dA    dV
 
div J 
0
t
c)
Differentieller Ladungserhaltungssatz:
d)
Elektrisch Feldkonstante:
 0  8,854187..  1012
e)
Gesamte Energiedichte:
w
f)
Falsch, die magnetischen Feldlinien werden vom Lot weg gebrochen.
Begründung: Da die Normalkomponente der magnetischen Flussdichte stetig ist,
folgt für das Verhältnis der Normalkomponenten der magnetischen Feldstärke:
H n 2  (1 / 2 )  H n1 . Mit 1  2 d.h. H n 2  H n1 und stetiger Tangentialkomponente ergibt sich die Aussage oben.

F
As
bzw.
m
Vm




1     1
 E  D  H  B    0 r E 2   0  r H 2
2
2

Lösung zur 2. Aufgabe
Diese Aufgabe wird am einfachsten durch Superposition gelöst (Ladung Q0 auf Kugel
und verteilter Ladung mit gegebener Dichte) im Kugelkoordinatensystem.
a)
Berechnung der gesamten verteilten Ladung QV durch Integration:


1 2
4A
 1
r dr  4A     
4
r
RK
 r  RK
RK
QV    (r ) dV  4πA  
V
Aus QV  Q0  0 folgt damit:
A
b)
Q0 RK
4
Berechnung der elektrischen Feldstärke aus dem Gauß’schen Satz unter
Ausnützung der Symmetrie des Problems. Für r  RK :
r
QR
A Dr (r ) dA  Dr (r )  4r  Q0  V  (r ) dV  Q0  40 K  4 
1
r
2
4
r 2 dr
RK


1 1 
 1
     

 r  RK  r RK 
r
 Dr (r ) 
 1 1   Q0   RK  
1 

Q

Q
R

 1 
 1 
0
0
K
 
  
4r 2 
r
R
4r 2   r

K 

 Er (r ) 
Q0 RK
4 0r 3
(r  RK )
Das elektrostatische Potential folgt dann unter Beachtung der Randbedingung
 (r  )  0 zu:
1 Q0 RK
2 4 0 r 2
 (r )   Er (r ) dr  konst.  
(r  RK )
Für r  RK gilt allerdings:
Er (r )  0
Q0
1
2 4 0 RK
 (r )   ( RK )  
(r  RK )
c)
Aus der Anschauung ergibt sich, dass Feldstärke und Potential jeweils auf der
Kugeloberfläche maximal werden:
max Er (r )  Er ( RK ) 
d)
Q0
1
max  (r )   ( RK )  
2 4 0 RK
Q0
4 0 RK2
Skizzen:
 (r )
Er (r )
~
1
r2
~
r
RK
e)
1
r3
0
r
RK
Die elektrische Gesamtenergie ergibt sich aus dem Volumenintegral:
2
 Q R 
We   we (r ) dV    E (r ) dV  0   0 K   4 
2 V
2  4 0 
V
0
2
r

1
r
6
r 2 dr
RK




1 
 1 
   3    0 3 
3 RK 
 3 r  RK 
 We 
Q02
1

2 12 0 RK
Lösung zur 3. Aufgabe
Diese Aufgabe wird am einfachsten über das Poisson-Integral im Zylinderkoordinatensystem gelöst.
a)
Die Gesamtladung ergibt sich durch das Integral über die Mantelfläche. Da die
Ladung konstant verteilt ist, entspricht dies der Mantelfläche multipliziert mit der
Ladungsdichte:
Q0  2Rh
b)
Ansatz über das Poisson-Integral (siehe Skript):
 ( z) 
1
4 0
h / 2 2

R
1
Rddz ' 
 
dz '
2 0  h / 2 ( z ' z ) 2  R 2
( z ' z ) 2  R 2
 

h / 2 0
h/2
Hierbei ist die Integrationskonstante schon so gewählt, dass  ( z  )  0 (lässt
sich an der Lösung zeigen). Aus:



 x
dx  ln x  x 2  a 2  arcosh 
a
x a
1
2
2
folgt dann mit x  ( z ' z ) :
 ( z) 

R
 ln x  x 2  R 2
2 0

h / 2 z
 h / 2 z

 (h / 2  z )  (h / 2  z ) 2  R 2 
R
 ln 

2 0
 (h / 2  z )  (h / 2  z ) 2  R 2 
Anmerkung:
Bis auf den Vorfaktor entspricht dies dem Potential einer Linienladung im
Ursprung, das in einer Entfernung R betrachtet wird.
c)
Das elektrische Feld wird durch Gradientenbildung aus dem Potential bestimmt.
Auf der z -Achse gibt es nur eine Abhängigkeit von z . Deshalb:
Ez ( z )  

R 

 ln (h / 2  z ) 
2 z
 ( z )
R 

 ln (h / 2  z )  (h / 2  z ) 2  R 2
z
2 0 z
0

(h / 2  z ) 2  R 2

Daraus:
R   1  (h / 2  z ) / (h / 2  z ) 2  R 2 


2 0  (h / 2  z )  (h / 2  z ) 2  R 2 


R   1  (h / 2  z ) / (h / 2  z ) 2  R 2 



2 0  (h / 2  z )  (h / 2  z ) 2  R 2 


Ez ( z )  
d)
Skizzen:
Lösung zur 4. Aufgabe
a)
Das elektrische Feld liegt in z -Richtung an, damit muss auch die Stromdichte


in z -Richtung zeigen. Mit J  E folgt:
 J zoben  1 E0
J z ( y )   unten
 J z   2 E0
b)
(0  y  d )
(d  y  0)
Auf Grund der homogenen, unendlich ausgedehnten Stromverteilung verfügt das
magnetische Feld nur über eine x -Komponente, die über das Ampèresche Gesetz
berechnet werden kann. Sinnvollerweise wird zunächst die Lösung für eine
einzelne, konstante Stromdichte gesucht und das Ergebnis für zwei Stromdichten
dann aus der Superposition gewonnen. Zunächst also eine Stromschicht der
Dicke , welche symmetrisch zum Ursprung positioniert wird:
x
Integration entlang des rot gepunkteten Pfades im Gegenuhrzeigersinn für
 d / 2  y  d / 2 ergibt:
 
 
H
d
s


x

H
(

y
)


x

H
(
y
)

J
x
x

 dA  J z  x  2 y
Aus Symmetriegründen gilt H x ( y)   H x ( y) und damit:
 2  x  H x ( y)  J z  x  2 y
Daraus ergibt sich für den Bereich in den Platten:
H x ( y)   J z  y
(d / 2  y  d / 2)
Außerhalb der Platten ist das Feld jeweils konstant:
H x ( y)   J z  d / 2
H x ( y)   J z  d / 2
( y  d / 2)
( y  d / 2)
Diese Teillösung wird jeweils an die Position der beiden gegebenen Stromschichten verschoben und superponiert:
H xges ( y)  H xoben ( y  d / 2)  H xunten ( y  d / 2)
Hierbei wirken entsprechend die Stromdichten wie in Teilaufgabe a berechnet.
Es ergibt sich:
 E0 d
 2  (1   2 )
 Ed
d
 0   2  E0  1  y  
 2
2

H x ( y)  
 E0 d  1  E0   2  y  d 
2
 2

 E0 d
 (1   2 )

 2
(y  d)
(0  y  d )
(d  y  0)
(y  d)
Daraus Werte auf den Oberflächen bzw. der Zwischenfläche:
H x (d ) 
E0 d
 1   2 
2
H x (0) 
E0 d
1   2 
2
H x (d ) 
E0 d
1   2 
2
Wie zu sehen tritt das magnetische Feld stetig durch diese Flächen und die
Beträge der Feldstärken sind auf beiden Oberflächen gleich groß. Da aber
 1   2 liegt die Nullstelle des magnetischen Feldes nicht auf der Zwischenfläche
sondern in der oberen Platte:

c)
Skizze:
E0 d
d

  2  E0  1  y    0!
2
2


y
d 1   2

2
1
d)
Berechnung des Gesamtwiderstandes der Anordung:
l
R
ges
U
 
I
 E dz
0
a d
0
 J
z

( y )dy dx
E0l
l

E01  da  E0 2  da (1   2 )  da
0 d
In Worten: Der Gesamtwiderstand ergibt sich aus der Parallelschaltung der
Widerstände der einzelnen Platten:
R oben 
l
1  da
R unten 
l
 2  da
Aufgabe
1
2
3
4
∑
Theoretische Elektrotechnik
Punkte maximal
6
6
13
5
30
Prof. Christian Schuster
Punkte erreicht
TU Hamburg-Harburg
Vor- und Zuname:
Note:
Matrikel-Nr.:
Schriftliche Prüfung Theoretische Elektrotechnik I
7. 8. 2014 – 9:00 Uhr – Bearbeitungszeit: 120 Minuten
Hinweise:
1. Aufgabe = „Wissensteil“: Bearbeitung ohne jegliche schriftliche oder
elektronische Hilfsmittel. Stichwortartige Antworten oder Formeln genügen.
Abgabe auf Extrablatt nach 10 Minuten!
2. – 4. Aufgabe = „Rechenteil“: Bearbeitung mit schriftlichen Hilfsmitteln und
einfachem Taschenrechner erlaubt. Abgabe nach weiteren 110 Minuten.
Alle anderen Hilfsmittel sind untersagt, insbesondere müssen Handys und Laptops
ausgeschaltet und verstaut sein.
Bitte schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer!
1. Aufgabe
Bearbeiten Sie folgende Fragen bzw. Aufgaben:
a) Wie lauten die Maxwellschen Gleichungen in integraler Form?

b) Wie lauten die Integralsätze von Gauss und Stokes für ein Vektorfeld E ?
c) Welche spezifische elektrische Leitfähigkeit  findet sich typischerweise bei
Metallen (Größenordnung in S/m angeben)?
d) Welchen Zahlenwert (+/- 5%) und welche Einheit hat 0 ?


e) Gegeben sei die elektrische Flussdichte D( x, y, z )  D0  sin(kx)  ey mit D0 und k
als konstanten Parametern > 0. Wie lautet die entsprechende elektrische
Ladungsdichte?
f) Geben Sie fünf nicht-numerische Methoden an, um das Grundproblem der
Elektrostatik zu lösen!
Vor-und Zuname
Matrikel-Nr.
2. Aufgabe
Eine zweidimensionale, kugelschalenförmige Oberflächenladungsdichte mit dem
Radius R befindet sich im Vakuum und ruft bei r  R das elektrostatische Potential
 (r  R)  0  cos  mit 0  0 und  (r  , , )  0 hervor:
z
 (r  )  0
y
x
Bearbeiten Sie hierzu folgende Fragen bzw. Aufgaben:
a) Wie lautet die allgemeine Lösung für das elektrostatische Potential    (r, , )
in Kugelkoordinaten an einem beliebigen Punkt P außerhalb der Kugel?
b) Bestimmen Sie mit Hilfe der gegebenen Randbedingungen die spezielle Lösung
für das elektrostatische Potential!
c) Bestimmen Sie die Oberflächenladungsdichte  als Funktion von θ!
d) Fügen Sie qualitativ (keine Rechnung nötig) die elektrischen Feldlinien in der
yz-Ebene außerhalb der Kugel in die Skizze unten ein!
z
y
3. Aufgabe
Gegeben ist folgende Anordnung mit drei in z-Richtung unendlich ausgedehnten,
elektrisch geladenen, parallelen Leitern im Vakuum. Die auf den Leitern verteilten
Ladungen sollen als Linienladungen im jeweiligen Zentrum angenommen werden.
(I)
(II)
1
2
0
Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf Zeichnung (I), in der zunächst nur die
Linienladungen betrachtet werden (keine Leiter vorhanden,   0 ):
a) Berechnen Sie das elektrostatische Potential  auf der y-Achse (y ≥ 0) für die in
der Zeichnung angegebenen Linienladungen! Es gelte  ( y  )  0 .

b) Berechnen Sie die elektrische Feldstärke E auf der y-Achse (y ≥ 0) für die in
der Zeichnung angegebenen Linienladungen!
c) Skizzieren Sie qualitativ (keine Rechnung nötig) den Verlauf des Potentials und
der elektrischen Feldstärke mit Bezug auf die y-Achse im Bereich 0 < y < 2a!
Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf Zeichnung (II), in der die Leiter nun
vorhanden sind (Radius = R). Die Linienladungen der Leiter 1 und 2 sind variabel und
unabhängig voneinander, die des Leiters 0 durch die beiden anderen vorgegeben (siehe
Skizze). Nehmen Sie im Folgenden vereinfachend an, dass das elektrostatische
Potential jeweils auf einer Leiteroberfläche konstant ist und:
d) Bestimmen Sie die Potentiale 0 , 1, 2 auf den Oberflächen der Leiter 0, 1 und 2
als Funktion der Linienladungen 1 und 2 !
e) Bestimmen Sie für eine Leiterlänge   0 die Matrix der Koppelkapazitäten:
 Q1  C11 C12   U1 
   
   
 Q2  C21 C22  U 2 
mit U1  1  0 , U 2  2  0 , Q1  1   Q2  2   !
4. Aufgabe
Gegeben ist folgendes, von einem Gleichstrom I durchflossenes Leiterelement der
Länge 2a (a > 0) im Vakuum.
z
(a, -a, a)
I
y
(a, -a, -a)
x
Das Leiterelement beginnt im Punkt (a, -a, a) und endet im Punkt (a, -a, -a) wie
eingezeichnet. Beantworten Sie dazu folgende Frage:

a) Welche magnetische Feldstärke H wird durch dieses Leiterelement im Ursprung
des Koordinatensystems erzeugt (Formel)?
Nun wird die gesamte Anordnung um weitere fünf Leiterelemente identischer Länge
wie folgt erweitert, die alle denselben Strom I führen (Richtung wie eingezeichnet):
4 I
z
(-a, -a, a)
(-a, a, a)
5
(a, -a, a)
3
(a, a, a)
6
1
2
y
(-a, -a, -a)
(a, -a, -a)
x
Beantworten Sie dazu folgende Frage:

b) Welche magnetische Feldstärke H wird durch diese Leiterschleife im Ursprung
des Koordinatensystems erzeugt (Formel)?
TU Hamburg-Harburg
Theoretische Elektrotechnik
M U S T E R L Ö S U N G
Prof. Christian Schuster
Schriftliche Prüfung Theoretische Elektrotechnik I
7. 8. 2014 – 9:00 Uhr – Bearbeitungszeit: 120 Minuten
Lösung zur 1. Aufgabe
a)
Integrale Maxwell-Gleichungen:
 
B
  dA  0
 
D
  dA    dV
b)
 
  
 
H

d
r

J

d
A

D
 dA


t 
 
 
d
E

d
r


B
 dA

dt 
Integralsätze von Gauss und Stokes:
 

E

d
A

div
E
dV


 
 
E

d
r

rot
E

  dA
S
S
..7 107
m
m
c)
Typische elektrische Leitfähigkeit von Metallen:   1 106
d)
Magnetische Feldkonstante: 0  4 107
e)
Wegen div D   folgt  ( x, y, z)  0 hier. Dieses Feld kann nicht mit einer
Ladungsdichte ungleich null verknüpft sein!
f)
Fünf Nennungen aus:

- Gauss’scher Satz
- Superposition bekannter Lösungen
- eindimensionale Integration
- Greensche Funktion
- Methode der Spiegelladungen
- Separation der Variablen
- Konforme Abbildungen
H
H
Vs
 1,2566.. 10 6
bzw.
m
m
Am
Lösung zur 2. Aufgabe
a)
Die allgemeine Lösung der Laplace-Gleichung mittels Separation der Variablen
in Kugelkoordinaten für azimutale Symmetrie (keine Abhängigkeit von  ) lautet
(siehe z.B. Skript oder Folien):


 (r ,  , )    Al  r l 
l
Bl 
  Cl  Pl (cos  )  Dl  Ql (cos  ) 
r l 1 
Hierbei sind die Pl Legendre-Funktionen erster Art und die Ql LegendreFunktionen 2. Art. Da Letztere für cos   1 divergieren, sind sie üblicherweise
auszuschließen.
b)
Für das vorliegende Problem existieren folgende Randbedingungen:
 (r  R, )  0  cos 
 (r  , )  0
I:
II:
Wegen Regularität bei cos   1 folgt für alle Dl  0 . Aus der zweiten Randbedingung folgt ebenfalls unmittelbar für alle Al = 0. Es verbleibt als Ansatz:
 (r ,  )  
l
Bl Cl
 Pl (cos  )
r l 1
Wegen P1 ( x)  x und der ersten Randbedingung müssen alle Terme in der Summe
bis auf denjenigen für l  1 verschwinden. Es folgt somit die Forderung:
 (r  R,  ) 
B1C1
 cos   0  cos  (!)
R2
bzw. B1C1  R2  0 . Die spezielle Lösung für das Potential lautet somit:
 (r ,  )  0 
c)
R2
 cos 
r2
Die Oberflächenladungsdichte lässt sich aus der Normalkomponente =
Radialkomponente auf der Kugelschalenoberfläche des elektrischen Feldes
berechnen. Für r  R ist diese:
Er  

R2
 (r ,  )  20  3  cos  .
r
r
Die Oberflächenladungsdichte berechnet sich dann zu:
 ( )   0  Er (r  R)   0 
20
 cos 
R
Wie zu sehen ist diese oberhalb der xy-Ebene positiv, darunter negativ und exakt
auf der xy-Ebene null. Integriert ergibt sich eine gesamte Ladung von null.
d)
Das elektrische Feld außerhalb der Kugelschale entspricht dem eines elektrischen
Dipols. Es ergibt sich ungefähr:
z
+ +
y
- -
Lösung zur 3. Aufgabe
a)
Das elektrostatische Potential einer Linienladung im Vakuum an einem Punkt
mit dem Abstand s zur Ladung ist (siehe z.B. Skript):
 ( s) 

1
 ln    konst.
2 0  s 
Das Potential aller drei Linienladungen erhält man am einfachsten aus der Superposition der Einzelpotentiale. Dazu Bestimmung der Abstände in Bezug auf
einen beliebigen Punkt auf der y-Achse:
Linienladung im Ursprung: s0  y
2
3 
a 
Linienladungen oberhalb des Ursprunges: s1, 2      y 
a
2 
2 
2
Das gesamte Potential lautet somit:
 ( y) 

 1  
1
1
   ln      ln    2  ln   
2 0 
 s1 
 s2 
 s0   0
1




 ln  y
 0 

  s 
 ln  0 


  s1, 2 
2 
2
3  
 a  
a
  y
2  
2 

Hierbei wurde die Randbedingung  ( y  )  0 schon berücksichtigt.
b)
Das elektrische Feld kann aus dem Gradienten des elektrischen Potentials
abgeleitet werden. Auf Grund der Symmetrie der Anordnung ist lediglich eine yKomponente zu erwarten. Nebenrechnung:
f ( y) 
y
3 
 a  
a
  y
2 
2 
2
df ( y )

dy
2


y
 1
  
 2 y  3a
3
2
2
2
2


2
3 
 a  
3 
 a  
a 
  y
y
a


2 
2 
2 
2 
1


df ( y )

dy
1
2
3 
 a  
a
  y
2 
2 
2


3  

y   y 
a  
2


 
 1 
2
2
  a    y  3 a  
  2  
2  


Es folgt:
Ey ( y)  
 ( y )
 d

1 df ( y )

 ln  f ( y )   


y
 0 dy
 0 f ( y ) dy


3  


y  y 
a  
2
 1 

  

  1 
2
 0 y   a 2 
3    0


  2    y  2 a  

 



3


y
a


1
2

 
2
2
y
  a    y  3 a 


 2  

2 



c)
Der Verlauf des elektrischen Potentials und des elektrischen Feldes lassen sich
wahlweise an Hand der Formel oder direkt aus der Anschauung skizzieren. Für
  0 wie angegeben:
d)
Die elektrischen Potentiale auf den Leiteroberflächen werden nach dem gleichen
Ansatz wie in Teilaufgabe a berechnet. Dabei beträgt der Abstand einer Leiteroberfläche zu ihrer eigenen Linienladung:
sR
und der Abstand zu einer anderen Linienladung (in der einfachsten Version):
s  aR
Damit lassen sich die Potentiale aller Leiter bestimmen (siehe auch Skript).
Leiter 1:

1
 1 
 1 
 1  ln    2 ln 
  (1  2 ) ln 

2 0 
R
aR
 a  R 
1 

aR
 a  R 
aR

 1  ln 
  2  ln 
  1  ln 

2 0 
 R 
 a  R  2 0  R 
1
1 
Leiter 2:
2 
2
aR
 ln 

2 0  R 
(aus Symmetriegründen)
Leiter 0:

 1 
 1 
 1 
 1  ln 
  2  ln 
  (1  2 )  ln  
2 0 
aR
aR
 R 
  2  a  R 
1 
 R 
 R 

 1  ln 
 ln 
  2  ln 
   1

2 0 
2 0
aR
 a  R 
 R 
0 
e)
1
Für eine Leiterlänge   0 ergeben sich mit Q1  1   und Q2  2   die
Spannungen als:
U1 
1
 a  R  Q1  Q2  a  R 
aR
 ln 
 ln 
 ln 


  2Q1  Q2 
2 0  R  2 0
 R  2 0  R 
U2 
1
 a  R  Q1  Q2  a  R 
aR
 ln 
 ln 
 ln 


  Q1  2Q2 
2 0  R  2 0
 R  2 0  R 
Q1
Q2
In Matrixdarstellung:
 U1 
1
 a  R  2 1  Q1 
  
 ln 

   
U 2  2 0  R  1 2  Q2 
1
2 1 
1  2  1
Wegen 
folgt:
 

3  1 2 
1 2 
 Q1 
 2 / 3  1 / 3  U1 
2 0
  

  U  ,
a

R
Q

1
/
3
2
/
3


  2
 2  ln 
 
 R 
woraus sich die Matrix der Koppelkapazitäten direkt ablesen lässt.
Lösung zur 4. Aufgabe
a)
Die magnetische Feldstärke berechnet sich für das Leiterelement am einfachsten
aus dem Biot-Savart-Gesetz:
 

I
dl  s
H

4  s 3


Hierbei ist s der Abstandsvektor von Stromelement I  dl zum Aufpunkt. Hier:
(a,-a, a)
 a
 0 
 

  
2
2
s   a , s  2a  z , dl   0 
 z
  dz 
 


dl
s
z
y
x
(a,-a,-a)
Ausführen des Kreuzproduktes liefert:
 a  dz 
  

dl  s   a  dz 
 0 


Damit bleibt zu lösen:
1
a

  Ia 
I
a  dz
H

 1 

3  
4  a 2a 2  z 2   4  2a 2 
0
1
  I
Ia
a

2
 1 

4
2a 2  2a 2  a 2   4
0
1
a
  
  1
2a 2  z 2   a  
0
1
1
1   I
1  
  1 

 1
3a 2   4a 3  
0
0
z
Hierbei wurde Gebrauch gemacht von:

1
x b
2
2
3
dx 
x
b2  x2  b2
 konst.
b)
Für die gesamte Anordnung aus sechs Leiter berechnet sich das Feld am
einfachsten über das Superpositionsprinzip:







H ges  H 1  H 2  H 3  H 4  H 5  H 6

H 1 ist hierbei aus Teilaufgabe a bekannt. Da alle sechs Leiterelemente gleich lang

sind und in ähnlicher Lage zum Ursprung liegen, kann von H 1 auf die anderen
Feldbeiträge geschlossen werden. Aus der Symmetrie der Anordnung ergibt sich
schließlich:
 1   0    1   1  0   1 

I
1            
H ges 

 1   1    1    0    1    0 
4a 3            
 0    1  0    1   1   1
 0 
0
I
1   I 1  


 4  

 1 
4a 3   a 3  
  4
  1
Aufgabe
1
2
3
4
∑
Theoretische Elektrotechnik
Punkte maximal
6
9
8
7
30
Prof. Christian Schuster
Punkte erreicht
TU Hamburg-Harburg
Vor- und Zuname:
Note:
Matrikel-Nr.:
Schriftliche Prüfung Theoretische Elektrotechnik I
6. 3. 2015 – 9:00 Uhr – Bearbeitungszeit: 120 Minuten
Hinweise:
1. Aufgabe = „Wissensteil“: Bearbeitung ohne jegliche schriftliche oder
elektronische Hilfsmittel. Stichwortartige Antworten oder Formeln genügen.
Abgabe auf Extrablatt nach 10 Minuten!
2. – 4. Aufgabe = „Rechenteil“: Bearbeitung mit schriftlichen Hilfsmitteln und
einfachem Taschenrechner erlaubt. Abgabe nach weiteren 110 Minuten.
Alle anderen Hilfsmittel sind untersagt, insbesondere müssen Handys und Laptops
ausgeschaltet und verstaut sein.
Bitte schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer!
1. Aufgabe
Bearbeiten Sie folgende Fragen bzw. Aufgaben:
a) Wie lauten die Maxwellschen Gleichungen in differentieller Form?
b) Wie lauten die Namen und Einheiten der Felder E, D, B und H?
c) Wie lauten Formel und Einheit für den Poynting-Vektor?
d) Welchen Zahlenwert (+/- 5%) und welche Einheit hat  0 ?
e) Wie verhält sich die elektrische Feldstärke als Funktion des Abstandes r von
einer unendlich großen, ebenen, homogenen Ladungsschicht?
f) Wie lautet der Laplace-Operator in kartesischen Koordinaten?
Vor-und Zuname:
Matrikel-Nr.:
2. Aufgabe
Im Folgenden werden drei verschiedene Ladungsverteilungen im Vakuum betrachtet:
(I) Eine gleichmäßige Linienladung  der Länge 2a auf der x -Achse.
(II) Zwei Punktladungen Q0 auf der x -Achse bei x =  a bzw.  a .
(III) Eine Punktladung 2Q0 im Koordinatenursprung.
(I)
(II)
(III)
Es sei Q0 > 0 und   a  Q0 . Bearbeiten Sie hiermit folgende Fragen bzw. Aufgaben:
a) Skizzieren Sie die y-Komponente des elektrischen Feldes für alle drei Fälle (I),
(II) und (III) als Funktion der y-Koordinate (keine Rechnung nötig):
b) Berechnen Sie als Formel das elektrische Feld entlang der y -Achse in
Abhängigkeit der gegebenen Parameter für den Fall (I)!
c) … für den Fall (II)!
d) … und für den Fall (III)!
3. Aufgabe
Es wird ein Kugelkondensator im Vakuum bestehend aus zwei konzentrischen
Kugelschalen der Radien R1 und R2 betrachtet. Die innere Kugelschale befindet sich
auf einem vorgegebenen Potential von 1 , die äußere auf einem Potential von  2 :
Bearbeiten Sie hierzu folgende Fragen bzw. Aufgaben:
a) Wie lautet die allgemeine Lösung für das elektrostatische Potential  (r ) für die
drei Bereiche r  R1 , R1  r  R2 und R2  r im vorliegenden Fall
(Rotationssymmetrie)?
b) Passen Sie die allgemeine Lösung für das elektrostatische Potential  (r ) mit
0  r   für den gegebenen Fall als Funktion von R1 , R2 , 1 ,  2 und r an!
c) Bestimmen Sie die Ladungen Q1 und Q2 auf den Kugelschalen als Funktion von
R1 , R2 , 1 ,  2 !
d) Skizzieren Sie den prinzipiellen Verlauf des Potentials als Funktion des
Abstandes für 1  1V,2  2V in folgendem Diagramm!
4. Aufgabe
Die stationäre elektrische Stromverteilung in einer Leuchtstoffröhre verläuft im
Querschnitt parabelförmig mit dem Abstand r von der z-Achse. Am äußeren Rand ist
die Stromdichte J ( R)  0 und auf der Achse maximal J (0)  J 0  0 .
Bearbeiten Sie hierzu folgende Fragen bzw. Aufgaben:

a) Bestimmen Sie die Stromdichte J (r ) als Funktion des Abstandes r zur Achse!
b) Bestimmen Sie den Betrag der magnetische Feldstärke innerhalb und außerhalb
der Leuchtstoffröhre als Funktion des Abstandes r zur Achse!
c) Bestimmen Sie Ort und Wert des Maximums des Betrages der magnetischen
Feldstärke!
d) Bestimmen Sie den Wert J hom derjenigen homogen über den Querschnitt
verteilten Stromdichte, die außerhalb der Röhre dieselbe magnetische
Feldstärke aufweist!
TU Hamburg-Harburg
M U S T E R L Ö S U N G
Theoretische Elektrotechnik
Prof. Christian Schuster
Schriftliche Prüfung Theoretisch Elektrotechnik I
6. 3. 2015 – 09:00 Uhr – Bearbeitungszeit: 120 Minuten
Lösung zur 1. Aufgabe
a)
Maxwell-Gleichungen in differentieller Form:


B
rot E  
t


 D
rot H  J 
t

div D  
b)
E: elektrische Feldstärke, Einheit V/m
D: elektrische Flussdichte, Einheit As/m2
H: magnetische Feldstärke, Einheit A/m
B: magnetische Flussdichte, Einheit Vs/ m2 (T)
c)
Poynting-Vektor: S  E  H , Einheit W/ m2
d)
 0  8,854187... 10-12 As/Vm
e)
Sie bleibt konstant, d.h. ist unabhängig vom Abstand.
f)
Laplace-Operator in kartesischen Koordinaten:




2
2
2


x 2 y 2 z 2

div B  0
Lösung zur 2. Aufgabe
Die Potentiale zu den Ladungsanordnungen sind im Wesentlichen im Skript zu finden.
Für alle drei Fälle ergibt sich auf Grund der Symmetrien der Anordnungen, dass dabei
nur y-Komponenten auf der y-Achse für das elektrische Feld existieren.
Potential Fall (I):
 ( y) 
 a  a2  y2

 ln 
  a  a2  y2
4  0


 

    ln a  a 2  y 2  ln  a  a 2  y 2
 4  0


Potential Fall (II):
 ( y) 
Q0
4 0 y  a
2
2

Q0
4 0 y 2   a 
2

1
4 0

2Q0
y2  a2
Potential Fall (III):
 ( y) 
a)
1
4 0

2Q0
y
Skizze:
(III)
(II)
b)
(I)
Das elektrische Feld wird im Folgenden am einfachsten über Gradientenbildung
aus den Potentialen bestimmt. Für den Fall I:


 
y
y




2
2
2
2
y
4 0  a  a 2  y 2  a 2  y 2


a

a

y

a

y

  a  a2  y2  a  a2  y2 

y
1
2a





4 0
a 2  y 2  a  a 2  y 2  a  a 2  y 2  4 0 y  a 2  y 2


E y ( y)  

c)


Für den Fall II:
E y ( y)  
d)


2Q0 
2Q0  y

  1
1
 



3
2
2
y
y  4 0
y  a  4 0
y2  a2

Für den Fall III:
E y ( y)  

  2Q 1 
1 2Q0 y
  0  


y
y  4 0 y  4 0 y 2 y
Anmerkungen:
Wie zu sehen, bleibt die Feldstärke nur für den Fall II endlich bei y = 0. Für y →  
zeigen alle Felder prinzipiell dasselbe Verhalten wie Fall III.
Lösung zur 3. Aufgabe
a)
Ansatz über Separation der Variablen in Kugelkoordinaten bei Vorliegen von
Rotationssymmetrie (siehe z.B. Skript):
I r   AI  BI 
r  R1 :
b)
1
r
R1  r  R2 :
II r   AII  BII 
R2  r :
III r   AIII  BIII 
1
r
1
r
Bereich I:
Da I r  0 endlich sein muss, folgt B1 = 0 und aus I R1   1 folgt AI  1 .
Somit:
I r   1
Bereich II:
Es gelten die Randbedingungen II R1   1 und II R2   2 . Daraus folgt:
(1) AII  BII 
1
 1
R1
1
 2
R2
und
(2) AII  BII 
bzw.
BII  (1  2 ) 
(1) – (2) ergibt:
1
1 
 
 R1 R2 
1  2  BII 
R1 R2
R2  R1
Dies eingesetzt in (1) ergibt:
AII  1  (1  2 ) 
Somit:
II r  
Bereich III:
R1 R2 1 2 R2  1 R1
 
R2  R1 R1
R2  R1
2 R2  1 R1
R2  R1

1  2 R1 R2
R2  R1

r
Da III r    0 vorgegeben ist, folgt AIII  0 und aus III R2   2 folgt BIII  2 R2 .
Somit:
III r   2 
c)
R2
r
Bestimmung der Ladung auf der inneren Kugelschale über den Gauss’schen Satz
(Integration über die Flussdichte bei R1). Unter Ausnützung der Kugelsymmetrie
gilt dann:
Q1   0 
II
r
r  R1
   R R 
RR
 4 R12   0    1 2  1 2 2   4 R12  4 0  (1  2 )  1 2
R2  R1
 R2  R1 R1 
Analoge Bestimmung der Ladung auf der äußeren Kugelschale unter Beachtung
der Ladung auf der inneren:
Q1  Q2   0 
III
r
r  R2

R 
 4 R22   0    2  22   4 R22  4 0  2  R2
R2 

Somit:
Q2  4 0  2  R2  4 0  (1  2 ) 
R1 R2
R2  R1
Anmerkung:
Diese Ergebnisse kann man auch erhalten, indem man die Kapazität eines
Kugelkondensators bzw. einer Kugel gegen Unendlich ansetzt:
C  4 0 r 
d)
Skizze:
R1 R2
R2  R1
bzw.
C  4 0 r  R
Lösung zur 4. Aufgabe
a)
Der Stromfluss erfolgt ausschließlich entlang der z-Achse. Mit J z (0)  J 0 und
J z ( R)  0 folgt für r  R :
 r2 
J z (r )  J 0  1  2 
 R 
Für r  R gilt natürlich J z (r )  0.
b)
Berechnung über das Ampèresche Gesetz. Auf Grund der Zylindersymmetrie der
Anordnung gilt für einen Umlauf in einer Ebene senkrecht zur Achse mit
Abstand r  R :
r
r
  
 ~
r2 ~ ~

 r dr
H
(
r
)
d
r

2

r

H
(
r
)

J
(
r
)
dA

2

J

1

0 
2 

0 z
R

0



 r2 r4 
  2 
 2 4 R 
Somit:
r
J0  r 2
r4 
r3 
H (r )     2   J 0    2 
r  2 4R 
 2 4R 
( r  R)
Für r  R :
R
  
 R2 R4 
R2
 H (r ) dr  2 r  H (r )  0 J z (r ) dA  2J 0   2  4R 2   2J 0  4
Somit:
H (r ) 
c)
J0 R2

r 4
( r  R)
Außerhalb der Röhre fällt der Betrag der magnetischen Feldstärke monoton.
Somit ist das Maximum in diesem Bereich auf dem Rand und mit H ( R)  J 0 R / 4
bekannt. Zu untersuchen bleibt, ob es innerhalb der Röhre einen größeren Wert
gibt. Dazu wird gefordert:
 1 3r 2 
H (r )
 J0    2   0
r
 2 4R 

rmax 
2
R
3
Dass es sich hierbei um ein (zumindest lokales) Maximum handeln muss, ergibt
sich unmittelbar aus der Anschauung. Berechnung des Feldwertes an dieser
Stelle:
H (rmax ) 
Da
d)
3 J 0  2R 2
4R 4 
3 J0  R2 R2 
6
 


    
 J0R
2
2 R  3  2 9  4R 
2 R  3
9  9
6 / 9  0,2722  0,25 folgt, dass dies auch das globale Maximum ist.
Der gesamte über den Querschnitt fließende Strom wurde schon in Teilaufgabe b
berechnet:
I 0  2J 0 
R2
R2
 J 0 
4
2
Dieser muss – unabhängig von seiner Verteilung über den Querschnitt – nach
dem Ampèreschen Gesetz immer dieselbe magnetische Feldstärke außerhalb der
Röhre hervorrufen. Es kann deshalb einfach gefolgert werden:
J hom 
I0
J
 0
2
R
2
Aufgabe
1
2
3
4
∑
Theoretische Elektrotechnik
Punkte maximal
6
10
10
4
30
Prof. Christian Schuster
Punkte erreicht
TU Hamburg-Harburg
Vor- und Zuname:
Note:
Matrikel-Nr.:
Schriftliche Prüfung Theoretische Elektrotechnik I
27. 7. 2015 – 8:00 Uhr – Bearbeitungszeit: 120 Minuten
Hinweise:
1. Aufgabe = „Wissensteil“: Bearbeitung ohne jegliche schriftliche oder
elektronische Hilfsmittel. Stichwortartige Antworten oder Formeln genügen.
Abgabe auf Extrablatt nach 10 Minuten!
2. – 4. Aufgabe = „Rechenteil“: Bearbeitung mit schriftlichen Hilfsmitteln und
einfachem Taschenrechner erlaubt. Abgabe nach weiteren 110 Minuten.
Alle anderen Hilfsmittel sind untersagt, insbesondere müssen Handys und Laptops
ausgeschaltet und verstaut sein.
Bitte schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer!
1. Aufgabe
Bearbeiten Sie folgende Fragen bzw. Aufgaben:
a) Wie lauten die Maxwellschen Gleichungen in differentieller Form?
b) Wie lautet die Formel für die Ladungserhaltung in differentieller Form?
c) Nennen Sie drei Klassen elektromagnetischer Felder bzw. elektromagnetischen
Feldverhaltens!
d) Wie lautet das grundlegende (fundamentale) Problem der Elektrostatik?
Formulieren Sie in Worten (Formeln nicht nötig)!
e) Nennen Sie vier Methoden, um das grundlegende Problem der Elektrostatik zu
lösen!
f) Welche Formel charakterisiert das räumliche Verhalten einer stationären
elektrischen Stromdichte?
Vor-und Zuname:
Matrikel-Nr.:
2. Aufgabe
Zwei metallische Rohre kreisförmigen
Querschnitts mit Radien R1 und R2  R1 haben
R1
r
R2
die gleiche Achse (koaxiale Anordnung).
Beide werden als unendlich lang angenommen. Die jeweilige Wanddicke ist vernachlässigbar. Auf dem inneren Rohr befindet sich eine Oberflächenladungsdichte
  0 , auf dem äußeren   0 . Zwischen den
Rohren befindet sich ein Dielektrikum mit
relativer dielektrischer Permittivität  r und
einer Raumladungsdichte  (r ) . Das äußere
Rohr hat das elektrische Potential 2  0V .
Bearbeiten Sie folgende Fragen bzw. Aufgaben wobei zunächst  (r ) = 0 gelten soll:
a) Berechnen Sie die radiale Komponente der elektrische Feldstärke Er (r ) als
Funktion des Radius für 0  r   !!
b) Berechnen Sie das elektrische Potential  (r ) als Funktion des Radius für
0r !
c) Skizzieren Sie den Verlauf von elektrischer Feldstärke Er (r ) und Potential  (r )
als Funktion des Radius für 0  r   !
Im Folgenden sei die Raumladungsdichte im Dielektrikum  (r )   0 R1 / r (bei
unveränderten Oberflächenladungsdichten auf den Rohren):
d) Berechnen Sie die elektrische Feldstärke Er (r ) als Funktion des Radius für
R1  r  R2 !
e) Berechnen Sie das elektrische Potential 1   ( R1 ) des inneren Rohres!
3. Aufgabe
Ein unendlich langer Draht mit vernachlässigbar kleinem Radius trage eine Linienladungsdichte   0 . Der Draht verläuft senkrecht zur x-y-Ebene im Vakuum und
befindet sich an der Position x = A und y = B im ersten Quadranten des Koordinatensystem. Eine perfekt leitende Wand erstreckt sich wie unten gezeigt entlang der xzund yz-Koordinatenebenen. Auf der Wand ist das elektrische Potential   0 V vorgegeben.
y
B

A
x
Bearbeiten Sie folgende Fragen bzw. Aufgaben:
a) Bestimmen Sie die x- und y-Komponenten der elektrischen Feldstärke im
Koordinatenursprung (keine Rechnung nötig, Begründung reicht)!
b) Bestimmen Sie das elektrische Potential  ( x, y) dieser Anordnung für x  0 und
y  0!

c) Bestimmen Sie die elektrische Feldstärke E ( x, y) dieser Anordnung für x  0
und y  0 !
d) Bestimmen Sie die dazugehörige Oberflächenladungsdichte  ( x  0, y  0) bzw.
 ( x  0, y  0) auf der Wand!
e) Skizzieren Sie in der Zeichnung oben 3 Äquipotentiallinien und 5 Feldlinien
des elektrischen Feldes so, dass die elektrostatischen Eigenschaften für den
Bereich zwischen Linienladung und der Wand deutlich werden!
4. Aufgabe
Gegeben ist eine Anordnung von zwei stromführenden Leitern im Vakuum: Ein
massiver Innenleiter mit Radius R1 wird homogen von einem Strom mit Stromdichte
J  I 0 / R12 entlang der z-Achse durchflossen. Der Außenleiter hat den Radius R2 , ist
unendlich dünn und führt eine homogene Oberflächenstromdichte von C  I 0 / 2R2
entgegen der z-Achsenrichtung. Für den Innenleiter liegt die Achse senkrecht zur x-yEbene bei x  y  0 . Die beiden Achsen der Leiter sind so gegeneinander verschoben,
dass die Achse des Außenleiters durch den Punkt mit x = a und y = 0 verläuft.
y
z
x
a
Bearbeiten Sie folgende Fragen bzw. Aufgaben:


a) Welchen Wert hat  H  dr für einen Weg außerhalb beider Leiter?
b) Berechnen Sie H y (x) auf der x-Achse für x  0 !
c) Skizzieren Sie H y (x) auf der x-Achse für x  0 !
TU Hamburg-Harburg
Theoretische Elektrotechnik
M U S T E R L Ö S U N G
Prof. Christian Schuster
Schriftliche Prüfung Theoretische Elektrotechnik I
27. 7. 2015 – 8:00 Uhr – Bearbeitungszeit: 120 Minuten
Lösung zur 1. Aufgabe
a)
Maxwell-Gleichungen in differentieller Form:


B
rot E  
t


 D
rot H  J 
t
b)
Ladungserhaltungssatz in differentieller Form:
c)
Drei Nennungen aus:

div D  

div B  0
 
div J 
0
t
- statische Felder, z.B. elektrostatische und magnetostatische Felder
- stationäre Felder, z.B. elektrisches Strömungsfeld und Magnetfelder
stationärer Ströme
- quasistationäre Felder (langsam veränderliche Felder), z.B. induzierte
elektrische Felder und Wirbelstromfelder
- voll dynamische Felder (schnell veränderliche Felder), z.B. Wellen
d)
Das grundlegende Problem der Elektrostatik besteht in der Berechnung des
elektrostatischen Potentials (eines elektrostatischen Feldes) in einem vorgegebenen Volumen in Abhängigkeit von einer Ladungsdichte in diesem
Volumen und Randbedingungen auf der Oberfläche des Volumens (Potential
oder Normalenableitung des Potentials).
e)
Vier Nennungen aus:
- Satz von Gauß (integrale Maxwell-Gleichung)
- Superposition bekannter Lösungen
- direkte Integration
- Greensche Funktion (Poisson/Coulomb-Integral)
- Methode der Bildladungen (oder Spiegelladungen)
- Separation der Variablen (mit Reihenentwicklung)
- konforme Abbildung
- numerische Methoden
f)

div J  0 (Quellenfreiheit der Stromdichte)
Lösung zur 2. Aufgabe
Die Aufgabe kann vollständig über den Gauß’schen Satz gelöst werden. Das
entsprechende Oberflächenintegral vereinfacht sich auf Grund der Zylindersymmetrie
dabei zu:
 
D
  dA   0 r 
Länge
a)
 
E
  dA   0 r Er (r )  2r  
(r  Abstand von der Achse)
Länge
Mit diesem Ansatz folgt die elektrische Feldstärke im Innenraum des inneren
Rohres:
Er (r )  0 (für r  R1 )
Im Zwischenraum der beiden Rohre:
 0 r Er (r )  2r      2R1    Er (r ) 
R1 1

(für R1  r  R2 )
 0 r r
Im Außenraum des äußeren Rohres entsprechend:
Er ( r ) 
b)
 ( R1  R2 ) 1

(für r  R2 )
0
r
Das elektrische Potential ist im Innenraum des inneren Rohres konstant:
 (r )  1 (für r  R1 )
1 ergibt sich hierbei aus der Anpassung an die Randbedingung (siehe unten). Im
Zwischenraum der beiden Rohre erhält man aus der Feldstärke allgemein:
 (r )   Er (r ) dr  
R1
 ln( r )  konst.
 0 r
Um  ( R2 )  0 V zu gewährleisten muss gelten:
 (r )  
Daraus:
1  
 r 
R1
 ln   (für R1  r  R2 )
 0 r  R2 
R1  R1  R1  R2 
 ln   
 ln  
 0 r  R2   0 r  R1 
Im Außenraum des äußeren Rohres folgt entsprechend:
 (r )  
c)
 ( R1  R2 )  r 
 ln   (für r  R2 )
 0 r
 R2 
Skizzen (hier für den Fall  r  1):
r
r
d)
Im Zwischenraum der Leiter gilt nun (Zylinderkoordinaten, R1  r  R2 ):

r

R1
 0 r  Er (r )  2r      2R1  2   0

e)
Er (r ) 

R1
 r  dr     2    R1  0 R1  (r  R1 )
r

R1  0 R1  (r  R1 ) R1  0 R12 0 R1


 0 r  r
 0 r  r
 0 r
Im Zwischenraum der beiden Rohre erhält man aus der Feldstärke allgemein:
R1  0 R12
R
 (r )   Er (r ) dr  
 ln( r )  0 1  r  konst.
 0 r
 0 r
Anpassen an  ( R2 )  0 V liefert ( R1  r  R2 ):
 (r )  
R1   0 R12  r   0 R1
 ln   
 (r  R2 )
 0 r
 R2   0 r
Und somit:
1  ( R1 )  
R1   0 R12  R1   0 R1
 ln   
 ( R1  R2 )
 0 r
 R2   0 r
Lösung zur 3. Aufgabe
Diese Aufgabe wird am einfachsten mit der Methode der Spiegelladungen (und Superposition der Lösung für das Potential einer Linienladung) gelöst. Die Randbedingung
der perfekt leitenden Wand kann dabei ersetzt werden durch Anbringen von drei
Spiegelladungen:
y
-λ
+λ
B
s2
P
s1
A
x
s3
s4
+λ
-λ
Eine Spiegelladung mit der gleichen Linienladung befindet sich bei ( A, B) . Zwei
Spiegelladungen mit Ladung umgekehrten Vorzeichens bei ( A, B) und ( A, B) .
a)
Aus Symmetriegründen ist die elektrische Feldstärke auf der z-Achse null:

E (0,0, z )  0
Dies lässt sich z.B. damit begründen, dass sich immer zwei diagonal gegenüberliegende Linienladungen in diesem Punkt sich in ihren Wirkungen zu null
kompensieren.
b)
Alle Punkte P, für welche die Berechnung von Interesse ist, befinden sich im
ersten Quadranten, d.h. sie haben Koordinaten x  0 und y  0 . Unter Verwendung der Lösung für eine unendlich lange Linienladung (siehe z.B. Skript)
folgt unter Beachtung der Randbedingung:
 ( P) 
Hierbei:

1
s s 
1
1
 1 

    ln      ln      ln      ln    
 ln  2 4 
2 0 
 s1 
 s2 
 s4   2
 s3 
 s1s3 
1
c)
s1  ( x  A) 2  ( y  B) 2
s2  ( x  A) 2  ( y  B) 2
s3  ( x  A) 2  ( y  B) 2
s4  ( x  A) 2  ( y  B) 2
Im Folgenden wird der Einfachheit halber von dieser Darstellung des Potentials
ausgegangen:
 ( x, y) 
  1
     ln ( x  A) 2  ( y  B) 2   ln ( x  A) 2  ( y  B) 2 
2 0  2 

 
 ln ( x  A) 2  ( y  B) 2  ln ( x  A) 2  ( y  B) 2

Es folgen für x  0 und y  0 :
E x ( x, y )  



x 4 0

2( x  A)
2( x  A)


2
2
2
2
 ( x  A)  ( y  B) ( x  A)  ( y  B)

E y ( x, y )  



y 4 0

2( x  A)
2( x  A)

2
2
2
2
( x  A)  ( y  B) ( x  A)  ( y  B) 

2( y  B)
2( y  B)


2
2
2
2
 ( x  A)  ( y  B) ( x  A)  ( y  B)


2( y  B)
2( y  B)

2
2
2
2
( x  A)  ( y  B) ( x  A)  ( y  B) 
Ez ( x, y )  
d)

0
z
Die Oberflächenladungsdichte ergibt sich aus dem Ansatz   Dnorm   0 Enorm .
Für den Wandteil in der xz-Ebene unter Benützung des Ergebnisses aus
Teilaufgabe e also:
 ( x  0, y  0)   0 E y ( x  0, y  0) 

 
B
B
 

2
2
2
2
  ( x  A)  B ( x  A)  B 
Für den Wandteil in der yz-Ebene analog:
 ( x  0, y  0)   0 Ex ( x  0, y  0) 

 
A
A
  2
 2
2
2
  A  ( y  B) A  ( y  B) 
Skizze:

y-Koordinate
e)



x-Koordinate

Lösung zur 4. Aufgabe
a)
Das Integral für Integrationswege außerhalb beider Leitern ist gleich Null, da
sich dann die Wirkung der beiden Ströme aufhebt:


 H  dr  0
b)
Es werden im Folgenden drei Bereiche getrennt betrachtet: Der Bereich innerhalb
des Innenleiters, der Bereich zwischen Innen- und Außenleiter, sowie der
Bereich außerhalb beider Leiter. Die Berechnung des Magnetfeldes erfolgt
jeweils über das Ampèresche Gesetz, wobei außerhalb beider Leiter korrekt
superponiert werden muss. Auf Grund der Symmetrie der Anordnung existieren
auf der x-Achse nur y-Komponenten der Feldstärke.
Bereich innerhalb des Innenleiters:
H  2r 
I0
 r 2
2
 R1

H y ( R1  x  0, y  0) 
I0
x
2 R12
Bereich zwischen Innen- und Außenleiter:
H  2r  I 0 
H y (a  R2  x  R1, y  0) 
I0
2x
Bereich außerhalb beider Leiter (Anteil Innenleiter):
H y ,innen ( x  a  R2 , y  0) 
I0
2x
Bereich außerhalb beider Leiter (Anteil Außenleiter):
H y ,außen ( x  a  R2 , y  0)  
I0
2 ( x  a)
Somit insgesamt:
H y ( x  a  R2 , y  0) 
I0  1
1 
 
.
2  x x  a 
Außerhalb beider Leiter gilt x  a  x und somit ist das magnetische Feld dort auf
der x-Achse in negativer y-Richtung orientiert (Sprung bei x  a  R2 ).
c)
Die folgende Zeichnung zeigt auf der linken Seite den speziellen Fall a = 0 und
auf der rechten den bearbeiteten Fall mit a > 0:
y
y
x
x
Hy
r
r