{N}ichtklassische {L}ogiken

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Nichtklassische Logiken
P. H. Schmitt
Sommer 1997
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Abbildungsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1 Wiederholung
6
1.1 Wiederholung des Pradikatenkalkuls . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Mehrwertige Logiken
2.1 Einfuhrung in die mehrwertige Logik .
2.1.1 Historie . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Partielle Logik . . . . . . . . .
2.1.3 Eine dreiwertige Logik . . . . .
2.1.4 U bungsaufgaben . . . . . . . .
2.2 Funktionale Vollstandigkeit . . . . . .
2.2.1 Die Postsche Logiken . . . . . .
2.2.2 U bungsaufgaben . . . . . . . .
2.3 Kalkule . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Allgemeine Tableaukalkule . . .
2.3.2 Ein Tableaukalkul fur L3 . . . .
2.3.3 U bungsaufgaben . . . . . . . .
2.4 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Unabhangigkeitsbeweise . . . .
2.4.2 Logik mit partiellen Funktionen
1
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15
16
16
17
19
27
31
35
39
44
44
49
63
66
66
71
2.5 Unendlichwertige Logiken . . . .
2.5.1 L
ukasiewicz Logiken . . .
2.5.2 Unscharfe Logiken . . . .
2.5.3 U bungsaufgaben . . . . .
2.6 Reduktion auf zweiwertige Logik .
2.6.1 U bungsaufgaben . . . . .
2.7 Abstrakte Konsequenzrelationen .
2.7.1 U bungsaufgaben . . . . .
3 Modale Logiken
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3.1 Einfuhrung in die modale Aussagenlogik . . . . .
3.1.1 Eine Logik des Wissens . . . . . . . . . . .
3.1.2 Kripke Strukturen . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 U bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Korrespondenztheorie . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 U bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Vollstandigkeit und kanonische Modelle . . . . . .
3.3.1 U bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Entscheidbarkeit modaler Aussagenlogiken . . . .
3.4.1 U bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Beschreibungslogiken . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 U bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Kalkule fur modale Quantorenlogiken . . . . . . .
3.6.1 Modale Pradikatenlogiken . . . . . . . . .
3.6.2 Tableaukalkule . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.3 Tableaukalkule mit Praxvariablen . . . .
3.6.4 Reduktion auf Pradikatenlogik erster Stufe
3.6.5 U bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Dynamische Logik . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
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74
82
85
86
89
90
92
94
. 96
. 96
. 103
. 107
. 110
. 121
. 124
. 133
. 134
. 135
. 136
. 139
. 140
. 140
. 142
. 152
. 157
. 161
. 163
3.7.1
3.7.2
3.7.3
Dynamische Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Dynamische Quantorenlogik . . . . . . . . . . . . . . . 171
U bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4 Temporale Logik
4.1 Lineare Temporale Logik . . . . .
4.1.1 Einfuhrung . . . . . . . .
4.1.2 Denierbarkeit . . . . . .
4.1.3 U bungsaufgaben . . . . .
4.2 Verzweigende Temporale Logiken
4.2.1 Model Checking . . . . . .
4.2.2 Fixpunkte . . . . . . . . .
4.2.3 U bungsaufgaben . . . . .
5 Losungen
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. 177
. 180
. 195
. 197
. 200
. 205
. 208
210
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
3
Abbildungsverzeichnis
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
2.17
2.18
2.19
Wahrheitstafeln fur die partielle Logik . . . . . . .
Wahrheitstafeln fur ^ und _ . . . . . . . . . . . . .
Wahrheitstafeln fur Negationen . . . . . . . . . . .
Wahrheitstafeln fur und . . . . . . . . . . . .
Wahrheitstafeln fur ! und $ . . . . . . . . . . . .
A quivalenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wahrheitstabelle fur ) . . . . . . . . . . . . . . . .
Ordnungen auf den Wahrheitswerten von L3 . . . .
Wahrheitstafeln fur ) . . . . . . . . . . . . . . . .
Tableauregel aus der 5-wertigen L
ukasiewicz Logik .
Tableauregeln fur Quantoren in L3 . . . . . . . . .
Beispiel eines Tableaubeweises in der Logik L3 . . .
Wahrheitstabellen fur cand und cor . . . . . . . . .
Dreiwertige Gleichheit . . . . . . . . . . . . . . . .
Korrespondenz zw. VDM und L3 . . . . . . . . . .
L
ukasiewicz Implikation . . . . . . . . . . . . . . .
Die logischen Operatoren aus Denition 19 . . . . .
Beispiele zu den Funktionen aus Lemma 16 . . . . .
Beispiele fur t-Normen . . . . . . . . . . . . . . . .
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19
21
21
24
24
25
27
30
43
46
49
61
64
73
73
75
77
80
83
3.1 Das System K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
Einige modallogische Systeme . . . . . . .
Beispiel eines Transitionssystems . . . . .
Einige Eigenschaften fur Rahmen . . . . .
Einige Charakterisierungsresultate . . . . .
Visualisierung der Formel C (m n j k) . .
Beispiele nicht charakterisierbarer Klassen
Einige denierte Programmkonstrukte . .
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. 102
. 103
. 112
. 112
. 114
. 117
. 166
4.1 Drei Moglichkeiten fur t j= D since (C ^ (B until A)) . . . . . 189
4.2 Kripke Struktur Kme zum Zugriskontrollproblem . . . . . . . 200
4.3 Berechnungsbaum zu Kme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
5.1 Gegenbeispiel fur Aufgabe 4.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
5
Kapitel 1
Wiederholung
6
1.1 Wiederholung des Pradikatenkalkuls
Eine Erklarung des Pradikatenkalkuls erster Stufe umfat drei Teile:
einen syntaktischen Teil welche Symbole werden zum Aufbau der Spra-
che benutzt, welche Kombinationen dieser Symbole sind in der Sprache
des Pradikatenkalkuls erster Stufe erlaubt?
einen semantischen Teil woruber kann man in der Sprache des Pradikatenkalkuls reden, welche Strukturen kann man mit seiner Hilfe untersuchen?
einen Teil, der den Zusammenhang herstellt zwischen Syntax und Semantik in Form einer Wahrheitsdenition wann ist eine Formel des
Pradikatenkalkuls in einer Struktur wahr?
Die Syntax des Pradikatenkalkuls erster Stufe
Zunachst mu darauf hingewiesen werden, da es die Sprache des Pradikatenkalkuls nicht gibt, sondern eine ganze Familie von solchen Sprachen in
Abhangigkeit von einem Vokabular V.
De
nition 1 Vokabular
einer Menge von Funktionszeichen Fkt(V)
einer Menge von Konstantenzeichen Kon(V)
einer Menge von Pradikatszeichen Pr(V)
Das Vokabular V darf die leere Menge sein.
Neben dem Vokabular gibt es noch einen zweiten Teil von Symbolen, die
sogenannten logischen Symbole, die in jeder Sprache des Pradikatenkalkuls
vorhanden sind:
die aussagenlogischen Junktoren ^, _, , :
die Quantoren 8x, 9x
die Variablen x y z xi yj etc.
7
Klammern ( , )
In der Regel wird auch das Gleichheitszeichen "=\zu den logischen Symbolen gezahlt. Wir wollen das aus zwei Grunden nicht tun: Erstens ist die
Konstruktion von Herbrand-Universen im Pradikatenkalkul ohne Gleichheit
etwas einfacher, und zweitens ist es ein leichtes, das Gleichheitszeichen zum
Vokabular V hinzuzufugen und durch die Wahl geeigneter Gleichheitsaxiome
sicherzustellen, da dieses Zeichen fast wie die wirkliche Gleichheit interpretiert wird.
Die nachste syntaktische Einheit im Pradikatenkalkul bilden die Funktionsterme, die wie folgt deniert sind:
De
nition 2 (Funktionsterme)
1. Konstanten sind Funktionsterme.
2. Variable sind Funktionsterme.
3. sind t1 : : : tk Funktionsterme und f ein k-stelliges Funktionszeichen,
dann ist f (t1 : : : tk ) wieder ein Funktionsterm.
Mit Hilfe der Funktionsterme lassen sich atomare Formeln bilden. Atomare
Formeln sind genau die Zeichenfolgen der Form:
p(t1 : : : tn)
wobei p ein n-stelliges Pradikatszeichen ist und t1 : : : tn Funktionsterme
sind. Die Menge der atomaren Formeln wird mit At(V ) bezeichnet.
Die Menge der Formeln des Pradikatenkalkuls uber dem Vokabular V , bezeichnet mit Fml(V), schlielich ist wie folgt rekursiv deniert:
De
nition 3 Formeln
1. Jede atomare Formel ist eine Formel.
2. Sind A B Formeln, so auch
(A ^ B ) gelesen: A und B
8
(A _ B ) gelesen: A oder B
(A B ) gelesen: wenn B , dann A
:A gelesen: nicht A
3. (9xA) gelesen: es gibt x, so da
A
4. (8xA) gelesen: fur alle x gilt A
Es hat sich in der Literatur zur logischen Programmierung die Konvention
eingeburgert, den Implikationspfeil von rechts nach links zu orientieren. Die
Aussage "wenn A, dann B\wird also durch B A formalisiert und nicht
wie traditionell in der Logik gebrauchlich durch A ! B . Das ist jedoch ein
rein notationeller Unterschied, so wie wir die Tatsache, da 2 kleiner als 5
ist, sowohl in der Form 2 < 5 als auch in der Form 5 > 2 notieren konnen.
Der Doppelpfeil , gehort nicht zu den logischen Symbolen. Wir benutzen
gelegentlich A $ B als abkurzende Schreibweise fur (A B ) ^ (B A).
Substitution
Eine Substitution s ist eine Abbildung von der Menge aller Variablen in die
Menge aller Terme uber einem gegebenen Vokabular V .
Sei A eine quantorenfreie Formel. Die Formel s(A) entsteht aus A durch
Substitution von xi durch s(xi). Formal wird s(A) rekursiv deniert. Zunachst fur Funktionsterme t:
8 s(x)
<
s(t) = : c
f (s(t1) : : : s(tk ))
falls t eine Variable x ist
falls t eine Konstante c ist
falls t = f (t1 : : : tk )
Fur eine atomare Formel A(t1 : : : tk ) denieren wir
s(A) = A(s(t1) : : : s(tk)):
Fur zusammengesetzte Formeln haben wir, was schon fast selbstverstandlich
ist:
s(A ^ B ) = s(A) ^ s(B )
s(A _ B ) = s(A) _ s(B )
9
s(A ! B ) = s(A) ! s(B )
s(:A) = :s(A)
Man kann Substitutionen auch fur Formeln mit Quantoren denieren. Dabei wird man jedoch Variablen, die durch einen Quantor gebunden werden,
unterscheiden von Variablen, auf die das nicht zutrit, den sog. freien Variablen. Wir kommen furs erste mit Substitutionen in quantorenfreien Formeln
aus.
Der Denitionsbereich einer Substitution s, bezeichnet mit Def (s), ist die
Menge aller Variablen, die s nicht auf sich selbst abbildet.
Def (s) = fx : s(x) 6= xg
Die Menge
Wb(s) = fs(x) : x 2 Def (s)g
heit der Wertebereich der Substitution s.
In allen Fallen, die wir betrachten, wird der Denitionsbereich von s endlich
sein. Eine solche Substitution s geben wir durch die Menge der Paare
fhx s(x)i j s(x) 6= xg
an.
Beispiel 1 Die Substitution s sei gegeben durch
s = f< x f (y) > < y c >g:
Dann ergibt sich fur den Term t = h(x f (y)) s(t) = h(f (y ) f (c)).
Bemerkung: Es werden nur die Vorkommen von Variablen im Ausgangsterm
bzw. in der Ausgangsformel ersetzt. Im obigen Beispiel entsteht nach der
Ersetzung von x durch f (y) zunachst h(f (y) f (y)). In der zweiten Auswertung von s wird nur im zweiten Vorkommen von f (y) die Variable y durch
die Konstante c ersetzt. Man spricht deshalb auch von simultaner Substitution, was suggerieren soll, da alle Variablenersetzungen simultan geschehen,
so da die Versuchung, ein Variablenvorkommen zu substituieren, das im
Ausgangsterm nicht vorhanden war, erst gar nicht auftritt.
10
Zur Vereinfachung der Notation schreiben wir haug A(t1 : : : tk) oder etwas
detaillierter A(t1=x1 : : : tk =xk ) fur s(A), wobei s durch die Menge fhx1 t1 >
: : : < xk tk ig gegeben ist.
Semantik des Pradikatenkalkuls erster Stufe
Zur Angabe einer modelltheoretischen Semantik fur Fml(V ) wahlt man
zunachst einen Bereich U von Elementen aus, uber die man reden mochte.
Jedem Konstantenzeichen c aus V ordnet man ein Element cH 2 U zu, jedem
k-stelligen Funktionszeichen f aus V eine Funktion f H : U k ! U und jedem
k-stelligen Pradikatszeichen p aus V eine Menge pH U k .
Das so entstehende Gebilde
H =< U cH : c 2 Kon(V ) f H : f 2 Fkt(V ) pH : p 2 Pr(V ) >
nennen wir eine Struktur fur V .
Wir wollen einige Beispiele fur Strukturen betrachten, um einen Eindruck
von der Flexibilitat dieses Konzepts zu gewinnen.
Als erstes geben wir uns ein Vokabular V1 vor, bestehend aus:
Konstantensymbole a nil
Funktionszeichen f ( )
Pradikatszeichen d( )
Beispiel 2
Die Struktur H1 fur V1 besteht aus:
U1
= die Menge aller naturlichen Zahlen die Menge
aller endlichen Folgen naturlicher Zahlen.
nilH1
= die leere Folge
aH 1
= 1
H
1
f (a b)
= < a b1 : : : bk > falls a eine naturliche Zahl ist
und b die Folge < b1 : : : bk >
H
1
f (a b)
= die leere Folge in allen anderen Fallen.
dH1 (a b c) gdw b eine naturliche Zahl ist, a c Listen sind, c aus
a durch Wegfall eines Vorkommens von b entsteht.
Kommt b in der Folge a nicht vor, so mu
c = a
sein.
Die Struktur H2 fur das Vokabular V1 konnte wie folgt aussehen:
11
Beispiel 3
U2
nilH2
aH2
f H2 (a b)
dH2 (a b c)
=
=
=
=
gdw
die Menge aller naturlichen Zahlen.
0
1
a b (das Produkt von a und b)
b c = a.
Schlielich sei die dritte Struktur H3 fur V1 wie folgt gegeben:
Beispiel 4
U3
nilH3
aH3
f H3 (a b)
dH3 (a b c)
=
=
=
=
gdw
Menge aller Terme fur V1 .
nil
a
f (a b)
a = f (a1 f (a2 : : : f (ak nil)) : : : )
c = f (c1 f (c2 : : : f (ck;1 nil)) : : : )
fci : i < kg fbg = fai : i < kg
falls a = nil ist oder b nicht in a vorkommt, so
mu
c = a sein.
Die Interpretation von Formeln des Pradikatenkalkuls
Wir xieren fur die folgenden Erklarungen eine Struktur M fur ein Vokabular
V . Eine Variablenbelegung b ist eine Funktion von der Menge aller Variablen
in das Universum der betrachteten Struktur M.
In Abhangigkeit von der Struktur M fur V und einer Variablenbelegung b
ordnet man in naheliegender Weise jedem Funktionsterm t, der nur Zeichen
aus V enthalt, ein Element I (M b)(t) aus U zu. Die formale Denition von
I (M b)(t) erfolgt rekursiv parallel zur rekursiven Denition von Funktionstermen.
I (M b)(t)
= b(t), falls t eine Variable ist
I (M b)(t)
= tM, falls t eine Konstante ist
I (M b)(f (t1 : : : tk )) = f M (I (M b)(t1) : : : I (M b)(tk))
Ebenso kann man jeder atomaren Formel A, die nur Zeichen aus V enthalt,
einen Wahrheitswert zuordnen. Wir schreiben:
12
(M
(M
(M
(M
(M
b) j= (A ^ B )
b) j= (A _ B )
b) j= (A B )
b) j= :A
b) j= 9xA
gdw
gdw
gdw
gdw
gdw
M b) j= A und (M b) j= B
(M b) j= A oder (M b) j= B
nicht (M b) j= B oder (M b) j= A
nicht (M b) j= A
es gibt ein Element u aus dem Universum U ,
so da (M b0) j= A, wobei
b0(y) = b(y) falls y =
6 x
b0(y) = u falls y = x.
(M b) j= 8xA
gdw fur alle u aus dem Universum U von M gilt:
(M b0) j= A
wobei b0 wie oben aus b entsteht.
Bei der Berechnung von I (M b)(t) und (M b) j= A kommt es nur auf die
Belegung der Variablen an, die tatsachlich in t bzw. A vorkommen. Das
sind immer endlich viele. Wir schreiben deshalb meistens die endlich vielen
Werte aus U , die zur Belegung dieser Variablen vorgesehen sind, direkt hin,
anstatt b. Das sieht dann so aus:
I (M n1 : : : nk )(t)
M j= A(n1 : : : nk )
wobei die Information, welcher der Werte n1 : : : nk welcher Variablen zugeordnet werden soll, aus dem Kontext ersichtlich sein wird. Meist sind die
auftretenden Variablen durch Indizes und/oder alphabetisch geordnet und n1
wird der in diesem Sinne ersten, n2 der zweiten Variablen zugeordnet usw.
Beispiel 5
I (H1 5 < 2 4 1 >)(f (a b)) =< 5 2 4 1 >
I (H2 5 2)(f (a b)) = 10
H1 j= d(a b c)(< 5 7 2 7 > 7 < 5 2 7 >)
Die folgende Aussage ist im Unterschied zu den vorangegangenen falsch:
H1 j= d(a b c)(< 5 7 2 7 > 7 < 5 2 >)
Der universelle Abschlu einer Formel A wird gebildet, indem fur jede Variable x in A, die nicht schon im Bereich eines Quantors steht, der Allquantor
8x der Formel A vorangestellt wird. Ist D eine Menge von Formeln und A
eine einzelne Formel in Fml(V ), so nennen wir A eine Folgerung oder eine
Konsequenz aus D, in Symbolen
D`A
13
, wenn fur jede Struktur M fur V , so da fur den universellen Abschlu C jeder Formel C in D M j= C gilt, auch M j= A gilt fur den universellen
Abschlu A von A.
Gilt M j= D, so nennen wir M ein Modell fur D. Ist D die leere Menge, so
schreiben wir ` A anstelle von D ` A. Ein solches A heit allgemeingultig
oder eine Tautologie. Zwei Formeln A B heien aquivalent, wenn sowohl
A B als auch B A allgemeingultig sind. Wir schreiben dafur A $ B .
Anstelle von A ist aquivalent zu B , konnten wir auch sagen, A $ B ist eine
Tautologie.
14
Kapitel 2
Mehrwertige Logiken
15
2.1 Einfuhrung in die mehrwertige Logik
2.1.1 Historie
Die Anfange der formalen mehrwertigen Logik sind in erste Linie mit den
Namen Jan L
ukasiewicz, Emil Post und S.C. Kleene verbunden, die unabhangig voneinander ihre auch heute noch haug zitierten Pionierarbeiten
veroentlich haben. Die Arbeit Lukasiewicz, 1920] war durch philosophische
U berlegungen motiviert, z.B. durch die Frage, welcher Wahrheitswert einer
Aussage jetzt zukommt, deren Wahrheit oder Falschheit erst in der Zukunft
oenbar wird. Man denke hier an Aussagen der Art "Am nachsten Sonntag wird es regnen\. Der kurze Artikel Lukasiewicz, 1920] ist in polnischer
Sprache geschrieben. Zehn Jahre spater erschien der Aufsatz Lukasiewicz,
1930] in deutscher Sprache. Wenn man tatsachlich die Quellen der Logik von
L
ukasiewicz lesen mochte, so empehlt sich die englische U bersetzung dieses
Aufsatzes in der Sammlung S.McCall, 1967]. Die Motivation fur die Arbeit
Post, 1921] von Emil Post war hauptsachlich die Untersuchung algebraischer
Eigenschaften einer gewissen Klasse von Algebren. In Kleenes Papier Kleene, 1938] schlielich wird eine dreiwertige Logik aus puren Zweckmaigkeitsgrunden eingefuhrt, um moglichst elegant mit partiell rekursiven Funktionen
umgehen zu konnen. Das Hilfsmittel der dreiwertigen Logik ist so sehr dem
Zweck untergeordnet, da im Titel der Arbeit kein Hinweis darauf zu nden
ist. Eine detailiertere Darstellung der Geschichte der mehrwertigen Logik
ndet man z.B. in Bolc & Borowik, 1992] und S.McCall, 1967]. Eine erste Monographie erschien mit dem Buch J. B. Rosser, 1952] und eine erste
umfassende U bersicht uber eine Vielzahl mehrwertiger Logiksysteme mit Rescher, 1989]. Beide Bucher sind heute nur noch von historischem Interesse.
Bei der Vorbereitung dieses Kapitels wurde hauptsachlich auf die folgenden
U bersichtsarbeiten zuruckgegriffen:
das Kapitel uber mehrwertige Logik von Alasdair Urquhart in Band III
des Handbook of Philosophical Logic, Urquhart, 1986],
das Kapitel von Siegfried Gottwald in dem Sammelband "Einfuhrung
in die Nichklassische Logik\ des Akademie-Verlags, Berlin, Gottwald,
1990],
das Buch Many-Valued Logics, der erste bisher erschienene Band eines
16
auf zwei Bande ausgelegten Werkes von Bolc und Borowik, Bolc &
Borowik, 1992],
das Buch von Reiner Hahnle, Hahnle, 1993],
Grzegorz Malinowski Malinowski, 1993].
2.1.2 Partielle Logik
Bevor wir mit der Prasentation eines ersten Beispiels einer mehrwertigen
Logik beginnen, wollen wir zunachst die Frage stellen, wie uberhaupt der
Wunsch nach mehr als zwei Wahrheitswerte entstand. Auf diese Frage gibt
es naturlich mehrere Antworten, je nachdem in welchem Bereich man sie
stellt. Die folgenden U berlegungen stammen aus dem Bereich der Lingustik, genauer aus dem Bereich der Linguistik, der versucht die Bedeutung
naturlichesprachiger Satze formal zu fassen. Beginnen wir mit dem folgenden Text:
Da die Earl Camden erst in einigen Tagen auslief, sa John Franklin im Hafen von Whampoa neben dem Maler William Westall
untatig auf einer Mauer und beobachtete, was verladen wurde.
Schie von uber acht Fu Tiefgang durften nicht uaufwarts
bin nach Kanton. : : :
aus Nadolny, 1987]
Schon die Erfassung der Bedeutung dieses kleinen Stuckchens Text bietet enorme Schwierigkeiten. Wir wollen hier nur auf einen Aspekt, vielleicht ist es der allereinfachste, eingehen. Wir wollen die Basisfakten B
aus dem Text herausziehen. Dazu mussen wir als erstes ein Basisvokabular festlegen. Dazu gehoren sicherlich Bezeichnungen fur die beiden genannten Personen JF und WW . Weiter erscheint es nutzlich Zeichen fur
die erwahnte Mauer M1 und die Orte H (fur Hafen von Whampoa) und
Kanton zur Verfugung zu haben. Als Pradikate brauchen wir in jedem Fall
sitzt(x),beobachtet(x),auf (x y),in(x,y). Damit kann man schon einmal notieren:
sitzt(JF ) beobachtet(JF ) auf (JF M1) in(JF H )
Dabei ist nicht berucksichtigt, da die beschriebene Situation in der Vergangenheit liegt. Aber das gehort nicht nicht mehr zu den Basisfakten
17
und konnte spater korrigiert werden indem die ganze Situationsbeschreibung
durch einen modalen Operator fur die Vergangenheit modiziert wird. Naheliegender ist nach dem Status der Elementaraussagen
sitzt(WW ) auf (WW M1) in(WW H ) beobachtet(WW )
zu fragen. Die ersten drei Aussagen konnen wir als zutreend aus dem Text
erschlieen, uber die letzte Aussage wissen wir nichts und hochstwahrscheinlich, ist es fur den Fortgang der Geschichte auch unerheblich. Also lassen wir
sie aus der Liste der bekannten Fakten weg.
sitzt(WW ) auf (WW M1) in(WW H )
Das wirft nun aber ein ernstes Problem auf. Die Aussagen in(JF Kanton)
und in(WW Kanton) sind auch nicht aufgefuhrt, aber aus einem anderen
Grund: wir gehen davon aus, da sie nicht zutreen. In der partiellen Logik
lost man dieses Problem dadurch, da zur Beschreibung einer Situation eine
Wahrheitsfunktion v : B ! f0 1g angegeben wird. In unsrem Beispiel etwa
A
v(A) A
v(A)
sitzt(JF )
1 sitzt(WW )
1
beobachtet(JF )
1 beobachtet(WW )
auf (JF M1)
1 auf (WW M1)
1
in(JF H )
1 in(WW H )
1
in(JF Kanton)
0 in(WW Kanton)
0
Der einzige Unterschied in der partiellen Logik geguber der klassischen Logik ist die Abschwachung der Anforderungen an die Bewertungsfunktion v:
sie mu nicht mehr eine totale Funktion sein. Das ist genau, was man zur
Beschreibung der Bedeutung eines Textausschnitts braucht. Die positiven
Fakten, die negativen Fakten und keine Angaben uber die Elementaraussagen, uber die man nichts wei.
Wie werden in der partiellen Logik aussagenlogische Verknufungen deniert?
Der Ausgangspunkt der U berlegungen die schlielich zu einer Antwort auf
diese Frage fuhren ist, da letztlich die Situationen mit einer totalen Bewertungsfunktion v interessieren, auch wenn sie nicht immer zur Verfugung
stehen. Sie sind der Idealzustand, an dem man sich orientiert. Der Begri
der Erweiterung einer Bewertungsfunktion v : B ! f1 0g zu einer Bewertungsfunktion v1 : B ! f1 0g wird jetzt wichtig. Wir schreiben dafur v v v1
18
^
_
1
undef 0
1
1
undef 0
undef undef undef 0
0
0
0
0
1 undef
0
1
1
1
1
undef 1 undef undef
0
1 undef
0
Abbildung 2.1: Wahrheitstafeln fur die partielle Logik
und meinen damit, da v1 eine totale Funktion ist und mit v ubereinstimmt
an allen Stellen, an denen schon v deniert ist. Man deniert jetzt zum
Beispiel fur die Konjunktion ^:
v(A ^ B ) = 0 gdw fur alle v1 mit v v v1 gilt v1(A ^ B ) = 0
und entsprechend fur den zweiten Wahrheitswert:
v(A ^ B ) = 1 gdw fur alle v1 mit v v v1 gilt v1(A ^ B ) = 1
Zusammengefasst ist das Ergebnis in Abb. 2.1 zu sehen. Das bemerkenswerte
an diesem Ansatz ist, da die Abweichung von der klassischen Logik zunachst
sehr gering ist und aus einem einsichtigen Grund heraus erfolgt. Beim weiteren Arbeiten stellt es sich dann als nutzlich heraus das Attribut undefiniert
durch ein kurzeres Symbol u zu ersetzen. In den Wahrheitstabellen tritt dieses Symbol dann auf und wird wie ein zusatzlicher Wahrheitswert behandelt
ohne groe Diskussion uber seinen ontologischen Status. Wer sich fur dieses
Thema und insbesodnere fur die damit verbundenen linguistischen Fragen
interessiert, den verweisen wir auf die Literatur Blamey, 1986],Fenstad et
al., 1987].
2.1.3 Eine dreiwertige Logik
Welche Bestandteile machen eine m-wertige Logik aus? Zuerst wird durch
die Zahl m m 2, die Anzahl der Wahrheitswerte festgelegt. Wie diese bezeichnet werden, ist unerheblich. Wir einigen uns darauf, die Zahlen
0 : : : m ; 1 zur Bezeichnung der m Wahrheitswerte zu benutzen, und setzen
M = f0 : : : m ; 1g. Als nachstes mu festgelegt werden, welche Operatoren
in der Logik als Basisoperatoren vorkommen sollen. Die Menge dieser Operatoren bezeichnen wir mit F . Insbesondere konnen in F auch Konstanten,
19
betrachtet als 0-stellige Operatoren, vorkommen. Ebenso n-stellige Operatoren fur n 3, auch wenn wir dafur bisher keine Beispiele kennengelernt
haben. Die Menge der Formeln der zu beschreibenden Logik ist die Menge
aller Terme, die mit den Operatoren in F und einer Menge P von aussagenlogischen Variablen (= 0-stellige Pradikatszeichen) aufgebaut werden konnen.
Als nachstes mu den Operatoren aus F eine Bedeutung beigelegt werden.
Das ist z. B. durch die Angabe von Wahrheitstabellen moglich. Aber das
ist nur eine Methode, einem n-stelligen Operationszeichen f eine n-stellige
Funktion von M n nach M zuzuordnen. Wir wollen deshalb nur voraussetzen,
da jedem f aus F eine Funktion f M derselben Stelligkeit auf der Menge M
zugeordnet wird. Die Struktur M = (M f M : f 2 F ) nennt man eine F Algebra. Im Kontext m-wertiger Logik wird Mhaug auch eine Matrix
genannt. Ist t eine aussagenlogische Formel uber den Vokabular F und v
eine Abbildung, die jeder aussagenlogischen Variable in t eine Wahrheitswert
in M zuordnet, so lat sich durch Auswertung des Terms t in der Algebra
Mder Wahrheitswert vM(t) berechnen. Als letztes Bestimmungsstuck der
Logik ist eine nichtleere Teilmenge D M anzugeben, die Menge der designierten Wahrheitswerte. Eine Formel t heit wahr in der Matrix Munter
der Belegung v, falls vM(t) 2 D gilt. t heit eine M-Tautologie, falls fur alle
v gilt vM(t) 2 D.
Als ein erste Beispiel fur eine mehrwertige Logik betrachten wir L3. Die Syntax der dreiwertigen Logik L3, die wir in diesem Abschnitt einfuhren wollen,
unterscheidet sich von derjenigen des normalen, zweiwertigen Pradikatenkalkuls allein dadurch, da in L3neben dem Negationszeichen : noch ein
zweites Negationszeichen vorhanden ist. Zur Unterscheidung nennen wir
: die starke und die schwache Negation. Die Formeln von L3uber einem
Vokabular V werden wie gewohnt aus den Grundsymbolen aufgebaut. Die
Menge aller L3-Formeln wird mit Fml3(V ) bezeichnet. Wir werden gelegentlich allein den aussagenlogischen Teil von L3betrachten wollen. Am einfachsten lat sich der aussagenlogische Fall unter den Fall allgemeiner Formeln
einordnen, wenn wir, ebenso wie wir schon null-stellige Funktionszeichen (=
Konstantenzeichen) erlaubt haben, auch null-stellige Pradikatszeichen erlauben. Diese null-stelligen Pradikatszeichen nennen wir auch Aussagenvariablen. Eine aussagenlogische L3-Formel ist danach eine Formel in Fml3, die
keine Quantoren und nur null-stellige Pradikatszeichen enthalt.
Eine L3-Struktur im Vokabular V , bezeichnet mit M =< M0 vM > besteht aus einer Prastruktur M0 fur V , d.h. aus einer Menge zusammen mit
20
^ 1 u 0
_ 1 u 0
1 1 u 0
u u u 0
0 0 0 0
1 1 1 1
u 1 u u
0 1 u 0
Abbildung 2.2: Wahrheitstafeln fur ^ und _
A
1
u
0
:A A :A A ::A : A
0
u
1
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1
u
0
1
0
0
Abbildung 2.3: Wahrheitstafeln fur Negationen
der ublichen Interpretation fur Konstanten und Funktionssymbole, und einer
Funktion vM, die jedem Relationszeichen P und jedem n-Tupel m1 : : : mn
von Elementen aus M0 (n = Stellenzahl von P ) einen der Wahrheitswerte
1, u oder 0 zuordnet.
vM(P (m1 : : : mn)) = 1 (wahr)
vM(P (m1 : : : mn)) = u (unbestimmt)
vM(P (m1 : : : mn)) = 0 (falsch)
Die Bewertungsfunktion vM lat sich auf alle L3-Formeln fortsetzen. Dabei
berechnet sich vM(A ^ B ) und vM(A _ B ) mit Hilfe der Tabelle in Abbildung
2.2 aus vM(A) und vM(B ).
Entsprechendes gilt fur die ubrigen aussagenlogischen Junktoren.
Die in der Abbildung 2.2 gegebenen Regeln fur ^ und _ kann man einfach
zusammenfassen zu
v(A ^ B ) = das Minimum von v(A) und v(B )
v(A _ B ) = das Maximum von v(A) und v(B ),
wenn man sich die Wahrheitswerte in der Reihe 0 < u < 1 angeordnet denkt.
Es mag fur das Verstandnis der Wahrheitstafeln fur die Negationen hilfreich
21
sein, die folgende naturlichsprachliche Umschreibung im Kopf zu haben:
v(A) = 1
v(:A) = 1
v( A) = 1
v( :A) = 1
gdw.
gdw.
gdw.
gdw.
A ist wahr
A ist falsch
A ist nicht wahr
A ist nicht falsch.
Die angegebenen Wahrheitstafeln fur die aussagenlogischen Verknupfungen
sind nicht die einzig moglichen, und man ndet in der Tat in der Literatur
zahlreiche Varianten. Fur denite Argumente 0 und 1 stimmen die Wahrheitstafeln mit der zweiwertigen Logik uberein. Dieser Teil ist unumstritten.
Dagegen ist nicht so klar, welchen Wert 0 ^ u haben soll. In unserem Fall haben wir 0 ^ u = 0 gesetzt, was man mit dem Hinweis begrunden konnte, da
unabhangig davon, ob man u durch 0 oder 1 ersetzt, 0 als Ergebnis erhalt.
Lat man sich dagegen von dem Grundsatz leiten, da ein Ausdruck nur dann
einen von u verschiedenen Wert erhalten soll, wenn alle Teilausdrucke einen
von u verschiedenen Wert haben, so wird man zu der Festsetzung 0 ^0 u = u
gefuhrt. Wir sind der Meinung, da eine Diskussion uber die richtige Denition der dreiwertigen Wahrheitstafeln nur im Rahmen einer konkreten
Anwendung sinnvoll gefuhrt werden kann. Fur uns ist die Bereitstellung eines universellen Rahmens das vorrangige Ziel, und wir sehen das vorgelegte
formale System durch die Aussagen von Lemma 4 auf Seite 31 hinreichend
gerechtfertigt.
Es bleibt noch in der induktiven Denition von vM der Induktionsschritt
fur die Quantoren zu erklaren. Wir nehmen dabei fur den Augenblick an,
da fur jedes Element m aus der betrachteten Struktur M eine gleichnamige
Konstante im Vokabular V vorhanden ist, da somit fur jedes m 2 M =
Universum von M und jede Formel A(x) aus Fml3(V )A(m=x) wieder eine
L3-Formel ist. Diese Annahme ist sicherlich harmlos, erspart uns aber die
zusatzliche Angabe einer Belegungsfunktion b fur die freien Variablen der
Formel A. Wir schreiben auerdem der Einfachheit halber v anstelle von
vM .
22
v(8xA(x)) = 1
v(8xA(x)) = 0
v(8xA(x)) = u
v(9xA(x)) = 1
v(9xA(x)) = 0
v(9xA(x)) = u
gdw. fur alle m 2 M gilt v(A(m=x)) = 1.
gdw. es gibt ein m 2 M, so da gilt v(A(m=x)) = 0.
in allen anderen Fallen.
gdw. es gibt ein m 2 M, so da gilt v(A(m=x)) = 1.
gdw. fur alle m 2 M gilt v(A(m=x)) = 0.
in allen anderen Fallen.
Besonders in Fallen, in denen anstelle von M eine durch eine komplexere
Notation beschriebene Struktur tritt, schreiben wir v(M A) = w anstelle
von vM(A) = w.
De
nition 4
Sei S eine Menge von Fml3(V )-Formeln und A eine Fml3(V ) -Formel ohne
freie Variablen.
Wir nennen A eine dreiwertige logische Folgerung aus S , wenn fur alle dreiwertigen Strukturen M zum Vokabular V , fur die vM(B ) = 1 fur alle B 2 S
gilt, auch vM(A) = 1 gilt. Wir schreiben dafur S `3 A.
Die Formel A hei
t eine dreiwertige Tautologie oder allgemeingultig, wenn
vM(A) = 1 gilt fur alle dreiwertigen Strukturen M. Wir schreiben dafur `3 A.
Die aussagenlogischen Verknupfungen und werden als denierte Zeichen
eingefuhrt, und zwar:
schwache Implikation A B := A _ B
schwache A quivalenz A B := (A B ) ^ (B A)
Durch die Anwesenheit zweier Negationszeichen gibt es auch zwei Moglichkeiten, die Implikation und die A quivalenz aus den gegebenen Verknupfungen
zu denieren. Die oben gewahlte Moglichkeit fuhrt zur schwachen Implikation und zur schwachen A quivalenz.
Zur Bequemlichkeit des Lesers drucken wir auch die Wahrheitstafeln fur diese
beiden Verknupfungen in Abbildung 2.4 ab.
Als weitere denierte, aussagenlogische Junktoren wollen wir die starke Implikation und die starke A quivalenz erwahnen, deniert durch:
A ! B := :A _ B
A $ A := (A ! B ) ^ (B ! A)
23
AB
B#A! 1
1
1
u
u
0
0
u
1
1
1
0
1
1
1
AB
1 u
1 1 u
u u 1
0 0 1
0
0
1
1
Abbildung 2.4: Wahrheitstafeln fur und A!B
A$B
B#A! 1 u 0
1 u 0
1
1 1 1
1 1 u 0
u
u u 1
u u u u
0
0 u 1
0 0 u 1
Abbildung 2.5: Wahrheitstafeln fur ! und $
Wahrheitstafeln fur die starke Implikation und die starke A quivalenz sind
in Abbildung 2.5 wiedergegeben. Fur die aussagenlogische A quivalenz ergeben sich im dreiwertigen Rahmen besonders viele Varianten. Wir fassen die
wichtigsten zusammen, fur die zugehorigen Wahrheitstabellen siehe Abbildung 2.6. Aus diesen Tabellen ist zum Beispiel ersichtlich, da $ und ,
denselben Wahrheitswerteverlauf haben.
A B := A _ B
A ! B := :A _ B
A B := (A B ) ^ (B A)
A $ B := (A ! B ) ^ (B ! A)
A B := (A B ) ^ (:A :B )
A , B := (A $ B ) ^ (:A $ :B )
A id B := (A B )
Das nachste Lemma enthalt eine Liste aus der klassischen Logik bekannter
allgemeingultiger A quivalenzen, die auch in der Logik L3in der starksten
Form (mit id als A quivalenzrelation) gultig sind.
24
A
0
0
0
u
u
u
1
1
1
B A B A $ B A B A , B A id B
0
1
1
1
1
1
u
1
u
u
u
0
1
0
0
0
0
0
0
1
u
u
u
0
u
1
u
1
u
1
1
u
u
u
u
0
0
0
0
0
0
0
u
u
u
u
u
0
1
1
1
1
1
1
Abbildung 2.6: A quivalenzen
Lemma 1
1. ::A id A
2. A A
3. : A id A
4. (A ^ B ) _ C id (A _ C ) ^ (B _ C )
5. (A _ B ) ^ C id (A ^ C ) _ (B ^ C )
6. :(A _ B ) id :A ^ :B
7. :(A ^ B ) id :A _ :B
8. (A _ B ) id (A)^ (B )
9. (A ^ B ) id (A)_ (B )
10. (8xA) id 9x A
11. :(8xA) id 9x:A
12. (9xA) id 8x A
13. :(9xA) id 8x:A
25
Beweis: U bungsaufgabe.
Lemma 2 Die folgenden L3-Formeln sind Tautologien:
1. A A
2. A (B A)
3. (A B ) ((B C ) (A C ))
4. (A $ B ) id (:A $ :B )
Die folgenden L3 -Formeln sind keine Tautologien:
1. A ! A
2. A ! (B ! A)
3. (A ! B ) ! ((B ! C ) ! (A ! C ))
4. (A B ) id (:A :B )
5. (A B ) id ( A B )
6. (A $ B ) id ( A $ B )
Lemma 3 Sei A eine L3-Formel, die das starke Negationszeichen : nicht
enthalt. Dann gilt
A ist eine L3-Tautologie
genau dann, wenn
A ist eine zweiwertige Tautologie.
Wir nehmen dabei an, da
das im zweiwertigen Fall einzige vorhandene Negationszeichen mit dem schwachen Negationszeichen identiziert wird.
Beweis: Trivialerweise ist jede L3-Tautologie auch eine zweiwertige Tautologie. Fur jede L3 -Struktur M =< M0 v0 > sei M1 =< M0 v1 >, wobei
v1 mit v0 ubereinstimmt, mit der Ausnahme, da fur jedes Argument, fur
welches v0 den Wert u hatte, nun v1 den Wert 0 hat. Oensichlich ist A eine
26
A)B
A#B! 1
1
1
u
1
0
0
u
u
1
1
0
0
u
1
Abbildung 2.7: Wahrheitstabelle fur )
zweiwertige Tautologie genau dann, wenn fur alle dreiwertigen Strukturen
M =< M0 v0 > gilt v1(A) = 1. Wir behaupten, da fur alle Formeln A und
alle dreiwertigen Strukturen M gilt:
Aus v0(A) = 1 folgt v1(A) = 1
Aus v0(A) = 0 folgt v1(A) = 0
Aus v0(A) = u folgt v1(A) = 0
Diese Behauptung lat sich leicht durch Induktion uber die Komplexitat von
A beweisen.
Auf Seite 62 kommen wir noch einmal auf dieses Lemma zuruck und skizzieren einen alternativen Beweis.
Die Formel :(A) _ A ist keine L3-Tautologie. Lemma 3 ist also nicht wahr,
wenn : durch ersetzt wird.
2.1.4 U bungsaufgaben
U bungsaufgabe 2.1.1 Sei A eine aussagenlogische Formel in Fml3 (mit
den Junktoren , :, ^ und _) mit n aussagenlogischen Variablen, dann
ist fur die durch A induzierte Funktion fA : f1 u 0gn ! f1 u 0g stets
fA(1 1 : : : 1) =
6 u.
U bungsaufgabe 2.1.2 Ist A eine L3-Formel, in der nicht vorkommt,
dann ist A keine Tautologie.
U bungsaufgabe 2.1.3
27
1. Zeigen Sie, da
8xq(x) q (t=x) fur jeden Term t eine L3 -Tautologie
ist.
2. Finden Sie ein Gegenbeispiel, das zeigt, da
8xq (x) ! q (t=x) keine
Tautologie ist.
3. Die Implikation ) werde durch die Wahrheitstabelle in Abbildung 2.7
gegeben. Die Implikation ) ist somit starker als , aber schwacher als
!.
Zeigen Sie, da
8xq(x) ) q (t=x) eine Tautologie ist.
U bungsaufgabe 2.1.4 Ist A B eine Tautologie, dann auch A^C B ^C
fur jedes C .
U bungsaufgabe 2.1.5 Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
1. Wenn A B eine Tautologie ist und A eine Tautologie ist, dann ist
auch B eine Tautologie.
2. Wenn A B eine Tautologie ist und A erfullbar ist, dann ist auch B
erfullbar.
3. Wenn A B eine Tautologie ist und A eine Nichttautologie ist, dann
ist auch B eine Nichttautologie.
4. Wenn A B eine Tautologie ist und A zweiwertig ist, dann ist auch
B zweiwertig.
Dabei hei
t eine Formel A eine Nichttautologie, wenn fur jede dreiwertige
Struktur M =< M0 vM > gilt vM 6= 1. A hei
t zweiwertig, wenn fur jede
dreiwertige Struktur M =< M0 vM > gilt vM (A) 2 f1 0g.
U bungsaufgabe 2.1.6 Gilt das Deduktionstheorem fur die schwache Implikation, fur die starke Implikation? Genauer:
1. Ist A `3 B aquivalent zu `3 A B ?
2. Ist A `3 B aquivalent zu `3 A ! B ?
28
U bungsaufgabe 2.1.7 Wir haben gesehen, da
es viele Moglichkeiten gibt,
die aus der zweiwertigen Logik bekannten Operatoren zu dreiwertige Operatoren zu erweitern. Besonders augenfallig ist das fur die Implikation und fur
die logische Aquivalenz.
Man fragt sich, ob es nicht vielleicht ein einleuchtendes Prinzip dafur gibt? Hier ist ein Vorschlag.
De nition 5n (Standardfortsetzung)
Sei f : f0 1g ! f0 1g gegeben. Die Standardfortsetzung f : f0 u 1gn !
f0 u 1g von f wird wie folgt bestimmt. Sei hw1 : : : wni ein Argumenttupel
aus f0 u 1gn . Die Menge U (w1 : : : wn ) f0 1gn entsteht, indem auf alle
moglichen Arten die wi mit wi = u durch 0 und 1 ersetzt werden. So gilt
zum Beispiel U (u 1 u) = fh0 1 0i h0 1 1i h1 1 0i h1 1 1ig.
80
<
f (w1 : : : wn) = : 1
u
falls fur alle ~v 2 U (w1 : : : wn ) gilt f (~v ) = 0
falls fur alle ~v 2 U (w1 : : : wn ) gilt f (~v ) = 1
sonst
1. Zeigen Sie, da
die dreiwertigen Operatoren ^,_, :, !, $ Standardfortsetzungen ihrer jeweiligen zweiwertigen Gegenstucke sind.
2. Zeigen Sie, da
das nicht zutrit auf und .
3. Zeigen Sie, da
aus f (w~ ) = 1 fur alle w~ 2 f0 1gn auch fur alle ~v 2
f0 u 1gn f (~v) = 1 folgt.
4. Zeigen Sie, da
die Standardfortsetzung nicht immer mit der Hintereinanderausfuhrung von Funktionen vertauschbar ist, d.h. nden Sie
Funktionen g1 g2, so da
g1(g2(w~ ))] 6= g1(g2(w~ ))
U bungsaufgabe 2.1.8 Die Wahrheitswerte der Logik L3lassen sich auf
zwei verschiedene Weisen anordnen, einmal nach dem Wahrheitsgehalt (diese Ordnung fuhrt zu v (A ^ B ) = minfv (A):v(B )g) und einmal nach dem
Informationsgehalt, siehe Abbildung 2.8. Diese Ordnung wollen wir mit i
bzw. in ihrer strikten Form mit <i bezeichnen. Die Ordnung i wird auf
n-Tupel von Wahrheitswerten erweitert durch komponentenweisen Vergleich,
d.h. hw1 : : : wn i i hu1 : : : uni gdw fur alle 1 j n gilt wj i uj . Wir
nennen dann, wie ublich, eine Funktion g : f0 u 1gn ! f0 u 1g monoton,
wenn fur alle w~ ~v 2 f0 u 1gn mit w~ i ~v auch g (w~ ) i g (~v) gilt.
29
0
1
1
u
u
0
Ordnung nach
Informationsgehalt
Ordnung nach
Wahrheitsgehalt
Abbildung 2.8: Ordnungen auf den Wahrheitswerten von L3
1. Zeigen Sie, da
fur jedes f : f0 1g ! f0 1g die Standardfortsetzung
f monoton ist.
Die umgekehrte Implikation ist so nicht richtig. Um dennoch eine hinreichende und notwendige Bedingung dafur zu erhalten, da
eine Funktion eine
Standardfortsetzung ist, benotigen wir den Begri der maximalen Monotonie.
De nition 6
1. g1 g2 gdw fur alle w~ gilt g1(w~ ) g2(w~ )
2. Eine Funktion g : f0 u 1gn ! f0 u 1g hei
t maximal monoton bzgl.
, wenn sie monoton bzgl. ist und keine Funktion f1 mit f < f1
monoton bzgl. ist.
2. Zeigen Sie, da
eine Funktion g : f0 u 1gn ! f0 u 1g die Standardfortsetzung einer Funktion f : f0 1gn ! f0 1g ist genau dann, wenn
(a) fur alle w~ 2 f0 1gn gilt auch g (w~ ) 2 f0 1g und
(b) g ist maximal monton bezuglich der Ordnung nach i.
30
2.2 Funktionale Vollstandigkeit
Jeder aussagenlogischen L3 -Formel A mit n Aussagenvariablen lat sich eine
Funktion f (A) : f1 u 0gn ! f1 u 0g zuordnen, wobei fur ein Argumenttupel < w1 : : : wn > der Funktionswert f (A)(w1 : : : wn) der Wahrheitswert
der Formel A ist, wenn die aussagenlogischen Variablen mit den Wahrheitswerten w1 : : : wn belegt sind.
De
nition 7 (Funktionale Vollstandigkeit) Eine mehrwertige Logik L
mit M als Menge der Wahrheitswerte hei
t funktional vollstandig, wenn
zu jeder Funktion g : M n ! M eine aussagenlogische Formel A in L existiert
mit f (A) = g.
Aufgabe 2.1.1 zeigt, da L3 nicht funktional vollstandig ist. Nach einer
geringfugigen Modikation der Logik L3 wird diese Aussage jedoch wahr.
Die Logik L+3 entsteht aus L3 durch Hinzunahme einer aussagenlogischen
Konstanten u, die stets den Wahrheitswert u annimmt.
Lemma 4 Die Logik L+3 ist funktional vollstandig.
Beweis: Sei g : f1 u 0gn ! f1 u 0g gegeben. Die Konstruktion der gesuchten aussagenlogischen Formel A geschieht durch Induktion uber n. Der
Induktionsanfang n = 0 ist trivial. Hierbei wird die Existenz der aussagenlogischen Konstanten u benutzt. Im Induktionsschritt von n ; 1 nach n gibt
es nach Induktionsvoraussetzung L+3 -Formeln A0 Au und A1 mit:
f (A0)(w1 : : : wn;1 ) = g(w1 : : : wn;1 0)
f (Au)(w1 : : : wn;1 ) = g(w1 : : : wn;1 u)
f (A1)(w1 : : : wn;1 ) = g(w1 : : : wn;1 1)
Seien x1 : : : xn;1 die Aussagenvariablen in A0, Au, A1 und xn eine neue
Aussagenvariable. Wir benotigen die folgenden aussagenlogischen Hilfsformeln:
H0 = :xn
Hu = xn^ :xn
H1 = xn
31
Setzt man jetzt
A = (A0 ^ H0) _ (Au ^ Hu ) _ (A1 ^ H1)
so erhalt man f (A) = g. Die Bedeutung der Hilfsformeln wird durch folgende
Wahrheitstabelle ersichtlich.
Wahrheitstafel fur die Hilfsformlen H
xn
1
u
0
H1
1
0
0
Hu
0
1
0
H0
0
0
1
Beispiel 6 Gegeben sei die zweistellige Funktion g
g 1 u
1 0 u
u u u
0 0 u
0
0
u
0
Man erhalt leicht:
g(A 1) = f (A ^ :A)
g(A u) = u
g(A 0) = f (A ^ :A)
Somit ergibt sich nach Konstruktion:
g(A B ) = f (A ^ :A^ B ]_
u^ B ^ :B ]_
A ^ :A^ :B ])
Das Konstruktionsverfahren liefert bei weitem nicht die kurzeste Formel, die
eine gegebene Funktion realisiert. Es gilt im vorliegenden Beispiel
g(A B ) = f (A ^ :A] _ B ^ :B ])
32
Beispiel 7 Gegeben sei die zweistellige Funktion ^B , die von Bochvar als
Wahrheitstafel fur die Konjunktion benutzt wurde.
^B 1 u 0
1
1 u 0
u u u u
0 0 u 0
Man erhalt nach dem Konstruktionsverfahren:
A ^B B id (:A ^ A^ :B )_
(u^ B ^ :B )_
(A^ B )
Vereinfachungen fuhren zu:
A ^B B id (A ^ B ) _ (A ^ :A) _ (B ^ :B )
33
Tabelle aller einstelligen dreiwertigen Funktionen
X X_ X
:X _ u
:X X _ :X X _ u
1
1
1
1
1
1
u
1
1
1
u
u
0
1
u
0
1
u
X
X
X X _ u
1
1
1
1
1
u
u
u
0
0
0
1
0
0
1
u
0
1
X
u_ :X
u
u^X
1
u
u
u
u
u
u
1
1
u
u
u
0
u
0
1
u
0
X
u^ X
X
1
u
u
u
0
0
u
0
0
0
1
1
0
1
u
0
1
u
X X ^ :X
:X
X ^ u X ^ :X :X
1
0
0
0
0
0
u
1
u
u
u
0
0
0
1
u
0
1
X u^ :X X ^ :X
1
0
0
u
0
0
0
u
0
34
2.2.1 Die Postsche Logiken
Im zweiten Teil dieses Unterkapitels wollen wir funktionale Vollstandigkeitssatze in einem allgemeineren Rahmen betrachten. Die erste Verallgemeinerung besteht darin, da wir anstelle der dreiwertigen Logik L3 beliebige
m-wertige Logiken betrachten. Wir beschranken uns hier auf Aussagenlogik.
Die Erweiterungen auf die jeweilige Quantorenlogik sind leicht zu bewerkstelligen.
Als ein Beispiel betrachten wir die m-wertigen Logiken Pm von Emil Post, siehe Post, 1921]. Die Menge der Wahrheitswerte von Pm sind die naturlichen
Zahlen von 0 bis m ; 1, Wm = f0 : : : m ; 1g. Die Operatoren sind _ und
der einstellige Operator s. Die Funktionen _P sP in der Matrix fur Pm sind
deniert durch
a _P b = max(a b)
sP (a) = a ; 1 (mod m)
Hierbei sind ; max mod m die Operationen auf den naturlichen Zahlen
0 : : : m ; 1 in ihrer ublichen Bedeutung. Schlielich sei D = fm ; 1g.
Wir wollen untersuchen, welche Funktionen in Pm deniert sind, d. h. sich
in der Form f (A) fur eine aussagenlogische Formel A darstellen lassen und
beginnen mit einem einfachen Lemma.
Lemma 5 Die Funktionen
x ; k (mod m)
und
und
fur jedes k (0 k < m)
max (x1 : : : xr )
fur jedes k (0 k < m)
x + k (mod m)
sind in Pm denierbar.
Beweis: Es gilt oensichtlich:
x ; k = s| :{z: : s}(x) (mod m)
k
mal
35
und
max (x1 : : : xr ) = x1 _P : : : _P xr
x + k = x ; (m ; k) (mod m)
fur jedes k (0 k < m)
Wir schreiben im folgenden, wenn keine Miverstandnisse zu befurchten sind,
vereinfachend a ; b a + b anstelle von a ; b (mod m) a + b (mod m).
Wir beweisen zunachst ein einfaches, allgemeines Kriterium fur die funktionale Vollstandigkeit mehrwertiger Logiken, das nicht auf die Postschen Logiken
beschrankt ist. Darin spielen die einstelligen Funktionen Jk fur 0 k < m
eine herausragende Rolle:
m ; 1 falls x = k
Jk (x) = 0
sonst
Identiziert man die Elemente f0 u 1g in der angegebenen Reihenfolge mit
f0 1 2g, dann erhalt man die folgende Entsprechung zwischen Jk und den
im Beweis Lemma 4 von denierten Hilfsfunktionen:
J0 = H0 J1 = Hu J2 = H1
Lemma 6 (Einfaches Kriterium fur funktionale Vollstandigkeit)
Eine m-wertige Logik, in der die Funktionen
min(x y) max(x y) Jk fur 0 k < m
und alle konstanten Funktionen denierbar sind, ist vollstandig.
Die Voraussetzung uber die konstanten Funktionen besagt, da
fur jedes n > 1
und jeden Wahrheitswert k, 0 k < m die Funktion cnk : Mn ! M mit
cnk(x1 : : : xn ) = k denierbar ist.
Beweis:
Sei g(x) : Mn ! M gegeben.
g(x) = maxfmin(cng(a) Ja1 (x1) : : : Jan (xn))g j a = ha1 : : : ani 2 Mn g
Wir kehren zuruck zur Untersuchung denierbarer Funktionen in den Postschen Logiken Pm und zeigen als einen weiteren Vorbereitungsschritt zur
funktionalen Vollstandigkeit:
36
Lemma 7 Fur jedes m ist jede einstellige Funktion in Pm denierbar.
Beweis:
Die Funktion
T (x) = max(x x ; 1 : : : x ; m + 1)
ist nach Lemma 5 denierbar in Pm und es gilt fur alle n 2 M = f0 : : : m ;
1g:
T (n) = m ; 1:
Der wesentliche Schritt des Beweises ist die Einfuhrung der Pm - denierbaren
Funktionen Tk (x) fur k 0 k < m:
Tk (x) = max(maxT (x) ; 1 x] ; m + 1 x + k) ; m + 1
Fur x = m ; 1 berechnet sich Tk (x) zu:
max ( max(m ; 2 m ; 1) ; m + 1 m ; 1 + k) ; m + 1
= max (0 m ; 1 + k) ; m + 1
= m;1+k ;m+1 = k
Fur x < m ; 1 rechnet man aus:
max( max(m ; 2 x) ; m + 1 x + k) ; m + 1
= max(m ; 2 ; m + 1 x + k) ; m + 1
= max(m ; 1 x + k) ; m + 1
= m;1;m+1 = 0
Man beachte, da bei der zur dritten Zeile fuhrenden Umformung ;1 =
m ; 1(mod m) benutzt wurde. Also insgesamt
0
falls x 6= m ; 1
Tk (x) = k
falls x = m ; 1
Ist g : M ! M eine beliebige einstellige Funktion so setzen wir ki = g(i) 0 i < m, und erhalten
g(x) = max(Tkm;1 (x) Tkm;2 (x + 1) : : : Tk0 (x + m ; 1)):
oder kompakter geschrieben
g(x) = maxfTkm;i;1 (x + i) j 0 i < mg:
37
Zum Nachweis dieser Gleichung beachte man, da fur jedes n 2 M und jedes
i mit 0 i < m gilt:
Tkm;i;1 (n + i) = 0
falls n + i 6= m ; 1 und
Tkm;i;1 (n + i) = km;i;1 = kn:
falls n + i = m ; 1 Damit
max(Tkm;1 (n) : : : Tk0 (n + m ; 1)) = kn = g(n)
Nach diesen Vorbereitungen konnen wir zeigen:
Theorem 8 Die m-wertige Postsche Logik Pm ist funktional vollstandig.
Beweis:
Aus Lemma 7 folgt insbesondere die Pm-Denierbarkeit der Funktion m ;
1 ; x (nicht zu verwechseln mit der Funktion x ; m). Dann ist aber auch die
Minimumsfunktion Pm -denierbar durch:
min(x y) = m ; 1 ; max(m ; 1 ; x m ; 1 ; y):
Nach Lemma 7 sind alle Jk Pm -denierbar. Ebenso sind alle einstelligen
konstanten c1k Funktionen Pm -denierbar. Wegen
cnk(x1 : : : xn) = c1k (min(x1 : : : xn))
sind die Voraussetzung des Kriteriums 6 erfullt und damit Pm funktional
vollstandig.
Die Untersuchung der funktionalen Vollstandigkeit, insbesondere die Bereitstellung moglichst allgemeiner Kriterien ist ein stark entwickeltes Teilgebiet
der mehrwertigen Logik. Eine gute U bersicht ndet man in Rosenberg,
1984]. Wir zitieren hier ohne Beweis ein typisches Resultat um wenigstens
einen ungefahren Eindruck von der Richtung der Forschung auf diesem Gebiet zu geben. Siehe auch Aufgabe 2.2.7.
38
Satz 9 (Kriterium von Slupecki) Sei k > 2 und H eine Menge von
Funktionen auf der Menge f0 1 : : : k ; 1g in sich selbst, die alle einstelligen Funktionen umfa
t.
H ist funktional vollstandig genau dann, wenn es eine Funktion f 2 H gibt,
so da
1. f hangt nicht nur von einer Argumentstelle ab und
2. f ist surjektiv.
Beweis: siehe S
lupecki, 1972].
Aus der zweiwertigen Aussagenlogik kennt man das Phanomen, da alle aussagenlogischen Formeln mit einer einzigen Operation, dem Sheerstroke, aufgebaut werden konnen. Das gibt es auch in der m-wertigen Aussagenlogik.
Wir betrachten dazu die Funktion
w(x y) = max(x y) ; 1(mod m)
Oensichtlich gilt
und
w(x x) = x ; 1 = sP (x)
smP ;1(w(x y)) = sP (: : :sP (w(x y)) : : : )
= max(x y) ; m
= max(x y)(mod m)
Da sich die Basisfunktionen der Postschen Logik durch w(x y) darstellen
lassen, lat sich nach obigem Theorem jede Funktion von Mdurch w(x y)
darstellen.
2.2.2 U bungsaufgaben
U bungsaufgabe 2.2.1
Seien A B aussagenlogische L 3-Formeln. Dann gilt: Die Funktionen f (A),
f (B ) sind identisch, f (A) = f (B ), gdw. (A id B ) ist eine Tautologie.
39
U bungsaufgabe 2.2.2 Zeigen Sie die folgenden Tautologien:
1. (::A id A)
2. (: A id A)
3. (A ^ B ) _ C id (A _ C ) ^ (B _ C )
4. (A _ B ) ^ C id (A ^ C ) _ (B ^ C )
5. (A _ B ) _ C id A _ (B _ C )
6. (A ^ B ) ^ C id A ^ (B ^ C )
7. A ^ B id B ^ A
8. A _ B id B _ A
9. :(A _ B ) id :A ^ :B
10. :(A ^ B ) id :A _ :B
11. :9xA id 8x:A
12. :8xA id 9x:A
13. ( A id A)
14. (A ^ B ) id A_ B
15. (A _ B ) id A^ B
16. 8xA id 9x A
17. 9xA id 8x A
Losungshinweise: Machen Sie, wenn moglich, von der min bzw. max Denition Gebrauch, anstatt die Wahrheitstafeln auszurechnen.
U bungsaufgabe 2.2.3 Finden Sie eine L 3-Formel A, die folgende Funktion
g realisiert:
40
g 1 u
1 1 u
u u u
0 u u
0
u
u
0
Bemerkung: Die Funktion g entsteht, indem man die drei Wahrheitswerte
partiell ordnet als:
0
1
u
und g(A B ) = inf(A B ) setzt.
U bungsaufgabe 2.2.4 Wegen der funktionalen Vollstandigkeit der Postschen Logiken Pm sind die Funktionen Jk (x) fur 0 k < m auch Pm-
denierbar. Finden Sie durch Inspektion des Beweises von Lemma 7 eine
Denition von Jk in Termini von Tj .
U bungsaufgabe 2.2.5 Wir wollen in dieser Aufgabe ein Kriterium fur
funktionale Vollstandigkeit betrachten, das ein kleines bi
chen starker ist als
das einfache Kriterium aus Lemma 6. Das Kriterium ist starker, weil seine
Voraussetzungen etwas schwacher sind. Wir benotigen zuerst die folgende
De nition 8 (H-Abschlu)
Ist H eine Menge von Funktionen auf M =
f0 : : : m ; 1g, so hei
t eine Teilmenge N M H -abgeschlossen, falls
fur jede Funktion h in H , sagen wir h sei k-stellig, und fur jedes k -Tupel n
von Elementen aus N auch h(n) in N liegt. Fur eine beliebige Teilmenge
X M ist der H -Abschlu von X die kleinste H -abgeschlossene Menge,
die X enthalt.
Die Menge H kann naturlich auch 0-stellige Funktionen enthalten, d.h. Konstanten. Aus der Denition folgt, da
eine H -abgeschlossene Menge jede in
H vorkommende Konstante enthalten mu
.
Der Begri einer H -abgeschlossenen Menge ist die Verallgemeinerung des
bekannten Unteralgebrabegris. Ist G = (G e inv ) eine Gruppe mit
41
Tragermenge G, neutralem Element e, Gruppenoperation und der Inversenfunktionen inv, dann sind fur H = fe invg die H -abgeschlossenen Teilmengen von G genau die Untergruppen von G und der H -Abschlu
einer
Teilmenge X G entspricht der von X erzeugten Untergruppe von G . Entsprechend la
t sich der Begri eines Unterraumes von Vektorraumen fur eine
geeignete Wahl von H als Spezialfall H -abgeschlossener Mengen erkennen.
Zeigen Sie das folgende Kriterium fur funktionale Vollstandigkeit
Sei H eine Menge von Funktionen auf Wm = f0 : : : m ; 1g, die max, min
und alle Jk 0 k < m enthalt. Dann ist eine n-stellige Funktion g H denierbar
gdw.
fur jedes n-Tupel a1 : : : an von Elementen aus Wm liegt g (a1 : : : an ) im
H -Abschlu
von fa1 : : : ang.
U bungsaufgabe 2.2.6
De nition 9
1. Eine Funktion f : Wm2 ! Wm hei
t multiplikativ,
falls fur alle x 2 Wm gilt
f (0 x) = f (x 0) = 0 und f (m ; 1 x) = f (x m ; 1) = x
2. Eine Funktion g : Wm2 ! Wm hei
t additiv, falls fur alle x 2 Wm gilt
g(0 x) = g(x 0) = x
Sei f eine beliebige multiplikative und g eine beliebige additive Funktion auf
Wm. Eine Menge H von Funktionen, die f ,g, Jk fur 0 k < m und alle
konstanten Funktionen enthalt ist funktional vollstandig.
Entnommen aus Muzio & Wesselkamper, 1986] Theorem 2.3 auf Seite 4.
U bungsaufgabe 2.2.7 Sei Meine endliche Algebra. Falls fur m 2 jede
m-stellige Funktion in Mdenierbar ist, dann ist auch jede (m + 1)-stellige
Funktion denierbar.
Dieses Resultat wurde zuerst in Post, 1921] bewiesen.
42
A)B
B#A! 1
1
1
u
u
0
0
u
1
1
u
0
1
1
1
Abbildung 2.9: Wahrheitstafeln fur )
U bungsaufgabe 2.2.8 Die Wahrheitstabelle in Abbildung 2.9 deniert die
Implikation ) von L ukasiewics. Sie unterscheidet sich im Fall u ) 0 von
der schwachen Implikation und im Fall u ) u von der starken Implikation.
Berechnen Sie eine Formel in L+3 , die ) deniert.
U bungsaufgabe 2.2.9 Zeigen Sie, da
das Kriterium von Slupecki aus Satz
9 fur k = 2 nicht gilt.
43
2.3 Kalkule
In diesem Kapitel wenden wir uns der Frage zu, wie man in mehrwertigen Logiken rechnen kann. Die historisch gesehen erste Antworten auf diese Frage
waren vollstandige und korrekte Axiomensysteme im Hilbertschen Stil. Wir
zitieren ein Resultat als kleine Kostprobe. Weitere Axiomatisierungsergebnisse ndet man in der angegebenen Literatur, vor allem in Bolc & Borowik,
1992].
Satz 10 Sei LL3 ukas die Aussagenlogik mit den Konnektoren : (starke Negation) und ) (Lukasiewicz Implikation, siehe Abb. 2.9). Zusammen mit
der modus ponens Regel bilden die folgenden Axiome ein vollstandiges und
korrektes Axiomensystem fur LL3 ukas :
1. (A ) (B ) A))
2. (A ) B ) ) ((B ) C ) ) (A ) C ))
3. (:A ) :B ) ) (B ) A)
4. ((A ) :A) ) A) ) A
Beweis: Das Resultat wurde zuerst in Wajsberg, 1931] bewiesen. Heute kann
man diese Axiomatisierung als einen Spezialfall eines allgemeinen Theorems
von Rosser und Turquette erhalten, siehe z.B. Malinowski, 1993], Kapitel
8. Eine Verallgemeinerung dieser Axiomatisierung auf die Pradikatenlogik
ist leicht moglich, durch die Hinzunahme der aus der zweiwertigen Logik
bekannten Axiomen und Regeln fur Quantoren. Naheres ndet man z.B. in
Gottwald, 1990], Seite 56.
2.3.1 Allgemeine Tableaukalkule
Wir wollen ausfuhrlich auf Tableaukalkule fur mehrwertige Logiken eingehen.
In den Arbeiten Surma, 1984], Carnielli, 1987] und Hahnle, 1993] werden
Verfahren vorgestellt, die zu jeder endlich-wertigen Logik einen vollstandigen
und korrekten Tableaukalkul herstellen. Legt man eine Logik L fest durch
die Wahl einer endlichen Menge M von Wahrheitswerten, einer Menge D
von ausgezeichneten Wahrheitswerten und einer Liste von Wahrheitstabellen
44
fur beliebig gewahlte aussagenlogische Operatoren F , dann liefern diese Verfahren einen fur L vollstandigen und korrekten Tableaukalkul TKL, wobei
in Carnielli, 1987] auch noch verallgemeinerte Quantoren fur L betrachtet
werden konnen. Die Zuordnung von TKL zu L ist auerdem recht einfach
und kann leicht automatisiert werden.
Wir werden im folgenden zunachst den allgemeinen Rahmen fur die in
Hahnle, 1993] betrachteten Tableaukalkule vorstellen und anschlieend als
ein konkretes Beispiel einen Kalkul fur L3im Detail vorstellen. Wir wollen
Verallgemeinerungen der Quantoren aus unseren Betrachtungen ausklammern. Die einzigen Quantoren in allen mehrwertigen Logiken L, die wir
betrachten werden, sind also 8 und 9.
Wie schon in dem Standardwerk Smullyan, 1968] fur den zweiwertigen Tableaukalkul sollen auch hier signierte Formeln oder, wie wir sagen, Vorzeichenformeln benutzt werden. Hier wie dort sind signierte Formeln ein technisches Hilfsmittel, auf das im Prinzip verzichtet werden kann. Im mehrwertigen Fall scheint aber mit der Einfuhrung signierter Formeln neben der notationellen Bequemlichkeit auch eine Steigerung der E!zienz eines tableaubasierten Beweisers verbunden zu sein.
De
nition 10 Ist L eine beliebige mehrwertige Logik mit M als Menge der
Wahrheitswerte, so ist eine Vorzeichenformel fur L von der Form
SA
wobei A eine Formel in L ist und S eine nichtleere Teilmenge von M .
Zu jedem Vorzeichen 6= S M und jedem aussagenlogischen Operator
wird es eine Tableauregel geben. Sei ein n-stelliger Operator, fur ein
beliebiges n 2 IN . Die zugehorige Tableauregel hat dann die Form
S (A1 : : : An)
T (A1 : : : An)
wobei T (A1 : : : An) ein endliches erweitertes Tableau ist, in dem nur
Vorzeichenformeln der Form S 0Ai auftreten. Die Zweige des Tableaus
T (A1 : : : An) nennt man die Extensionen der Regel. Ein Beispiel einer
solchen Regel ist in Abbildung 2.10 zu sehen. Diese Regel besitzt die funf
Extensionen:
45
f4g(p q)
f0gp f0 1gp f0 1 2gp f0 1 2 3gp
f1 2 3 4gq f2 3 4gq f3 4gq f4gq
Abbildung 2.10: Tableauregel aus der 5-wertigen L
ukasiewicz Logik
ff0gpg
ff0 1gp f1 2 3 4gqg
ff0 1 2gp f2 3 4gqg
ff0 1 2 3gp f3 4gqg
ff4gqg
Tableaux sind mit den Tableauregeln erzeugte endlich Baume1, deren Knoten
signierte Formeln sind. Ein Pfad in einem Baum, der mit der Wurzel beginnt
und in einem Blatt endet, heit Zweig. Meist identizieren wir einfach einen
Zweig mit der Menge der signierten Formeln, die seine Knotenmenge ist. Jede
Tableauregel hat eine signierte Formel als Pramisse. Die Konklusion einer
Regel ist, wie schon erwahnt, eine Menge von Extensionen. Die einzelnen
Extensionen stellen dabei Alternativen dar, wie ein Modell fur die Formel in
der Pramisse gebildet werden kann. Die Formeln innerhalb einer Extension
werden dagegen als konjunktiv verknupft gedacht, sind also Bedingungen, die
ein mogliches Modell fur die Pramisse jeweils gleichzeitig erfullen mu. Wie
wir in den folgenden Beweisen sehen werden, stehen die Regeln in direkter
Beziehung zu den Modellbedingungen. Nach diesen einleitenden Erklarungen
kommen wir jetzt zu den formalen Denitionen.
De
nition 11 (Tableau)
Ein Tableau fur eine endliche Menge " signierter Formeln wird folgenderma
en konstruiert:
1. Ein linearer Baum, in dem jede Formel aus " genau einmal vorkommt,
ist ein Tableau fur ".
2. Sei T ein Tableau fur " und B ein Zweig in T , der eine signierte Formel
SA enthalt. Weiterhin gebe es eine Tableauregel R mit Pramisse SA.
Was ein Baum sei, setzen wir als bekannt voraus. Eine vollig formale Denition der
hier verwendeten Baume ndet man in Smullyan, 1968].
1
46
Sind E1 : : : En die Extensionen von R (unter Berucksichtigung der
genannten Einschrankungen, falls R eine Quantorenregel ist), so wird
T am Ende von B um n lineare Unterbaume erweitert, die jeweils die
signierten Formeln aus den Ei in beliebiger Reihenfolge enthalten. Der
so entstehende Baum ist wieder ein Tableau fur ".
De
nition 12
Ein Zweig B eines Tableau ist geschlossen, falls gilt:
1. B enthalt ein komplementares Formelpaar, d.h. es gibt eine Substitution und zwei signierte Formeln SA S 0A0 auf B , so da
S \ S 0 = und (A) = (A0) oder
2. B enthalt eine signierte Formel SA, auf die keine Regel anwendbar ist
und A ist nicht atomar.
Ein Zweig, der nicht geschlossen ist, hei
t oen.
De
nition 13
1. Ein Tableau hei
t geschlossen, falls jeder Zweig darin geschlossen ist,
sonst hei
t es oen.
2. Ein Tableau T hei
t ein systematisches Tableau, wenn auf jedem
oenen Zweig B von T
(a) fur jede Vorzeichenformel SC auf B , wobei C nicht atomar ist,
die entsprechende Tableauregel angewandt wird und
(b) au
erdem fur jede Formel der Form T 8xA, U 8xA, F 9xA, U 9xA
oder fU F g9xA (solche Formeln nennen wir -Formeln), die auf
B vorkommt, unendlich oft die zugehorige Regel anwendet wird.
Einen Zweig B , der diese beiden Bedingungen erfullt, nennen wir einen
erschopften Zweig.
Bemerkungen:
In beiden Fallen der Denition eines geschlossenen Zweigs wurde ein
Widerspruch erzeugt, was bedeutet, da der entsprechende Zweig nicht
zu einem Modell vervollstandigt werden kann.
47
Im aussagenlogischen Fall ist es klar, da jedes systematische Tableau
fur eine Formelmenge " endlich sein mu, wenn " endlich ist. Daher ist
jede Tableaukonstruktion, die systematisch ein geschlossenes Tableau
zu erstellen versucht, eine Entscheidungsprozedur fur die Aussagenlogik. Im pradikatenlogischen Falle dagegen konnen erschopfte Zweige
unendlich viele Formeln enthalten, so da ein systematisches Tableau
nur dann garantiert endlich ist, wenn ein geschlossenes Tableau existiert.
De
nition 14 Sei T ein Tableau, in dem die freien Variablen y = hy1 : : :
: : : yk i auftreten. T hei
t erfullbar, wenn es eine L3-Struktur (M v) gibt,
so da
fur jedes k -Tupel a = ha1 : : : ak i von Elementen aus Mmindestens
ein Pfad P in T existiert, so da
fur alle signierten Formeln B auf P
(M v) j= B (a=y)
gilt.
De
nition 15 Eine Menge von Tableauregeln fur eine mehrwertige Logik L
hei
t
korrekt wenn fur jede Regel mit der Pramisse SA B und den Extensionen E1 : : : Ek mit
Ei = fSij Cij j 1 j ki 2g wobei Cij 2 fA B g
und fur jede Belegung v mit
v(A B ) 2 S
eine Belegung v0 und ein i, 1 i k existiert, so da
fur alle j gilt
v0(Cij ) 2 Sij
Fur jedes zusammengesetzte Vorzeichenformel SA B , die nicht als
Pramisse einer Tableauregel vorkommt gilt fur jede Belegung v
v(A B ) 62 S:
48
vollstandig wenn fur jede Regel mit der Pramisse SA B und den
Extensionen E1 : : : Ek mit
Ei = fSij Cij j 1 j ki 2g wobei Cij 2 fA B g
und fur jede Belegung v , welche fur ein i, 1 i k und fur alle j gilt
v(Cij ) 2 Sij
erfullt, auch
v(A B ) 2 S
gilt.
Es genugt dabei A und B als aussagenlogische Variablen zu betrachten.
fT g8xA(x)
fT gA(z )
fF g8xA(x)
fF gA(f (y1 : : : yk ))
fU g8xA(x)
fU gA(f (y1 : : : yk ))
fT gA(z ) oder fU gA(z )
fU
fU F g8xA(x)
F gA(f (y1 : : : yk ))
fT g9xA(x)
fT gA(f (y1 : : : yk ))
fF g9xA(x)
fF gA(z )
fU g9xA(x)
fU gA(f (y1 : : : yk ))
fT g A(z )
fU F g9xA(x)
fU F gA(z )
Abbildung 2.11: Tableauregeln fur Quantoren in L3
2.3.2 Ein Tableaukalkul fur L3
Als Vorzeichen fur L3-Formeln treten ein- oder zweielementige Teilmengen
oder Wahrheitswerte T , U , F auf, das heit die Mengen
fF g fT g fU g fF T g fF U g fT U g:
49
Eine Vorzeichenformel ohne freie Variablen fw1 w2gA ist in einer L3 Struktur (M v) gultig, wenn der Wahrheitswert von A bzgl. (M v) in S
liegt, in Zeichen:
(M v) j= fw1 w2gA genau dann, wenn v(A) = w1 oder v(A) = w2:
(Hierbei ist w1 = w2 zugelassen, und T entspricht 1, F entspricht 0, U
entspricht u).
In dem betrachteten Tableaukalkul werden nur die Vorzeichen fT g fU g fF g
und fU F g auftreten. In den Tableauregeln fur L3enthalt die komplizierteste
Regel (das ist die Regel fur fU gA ^ B ) eine Konklusion mit drei Extensionen. Alle auftretenden Extensionen bestehen aus hochstens zwei signierten
Formeln.
Die Regeln des Tableaukalkuls
Regeln fur ^:
fT gA ^ B
fT gA
fT gB
fF gA ^ B
fF gA oder fF gB
fU gA ^ B
fU gA
fU gB
fU gA
fT gB oder fT gA oder fU gB
fU F gA ^ B
fU F gA oder fU F gB
Regeln fur _:
fT gA _ B
fT gA oder fT gB
fF gA _ B
fF gA
fF gB
fU gA _ B
fU F gA
fU gA
fU gB oder fF gB
fU F gA _ B
fU F gA
fU F gB
Regeln fur :
50
fF g A
fT gA
fT g A
fU F gA
fU F g A
fT gA
Regeln fur ::
fT g:A
fF gA
fF g:A
fT gA
Regeln fur r = ::
fU g:A
fU gA
fT grA
fU F g:A
fT gA oder fU gA
fF grA
fF gA
fT gA oder fU gA
fU F grA
fF gA
Regeln fur :
fT gA B
fU F gA oder fT gB
fF gA B
fT gA
fF gB
fU gA B
fT gA
fU gB
fU F gA B
fT gA
fU F gB
Regeln fur 8:
fT g8xA(x)
fT gA(z)
fF g8xA(x)
fF gA(f (y1 : : : yk ))
fU g8xA(x)
fU F g8xA(x)
fU gA(f (y1 : : : yk ))
fU F gA(f (y1 : : : yk ))
fT grA(z)
Hierbei steht r fur den einstelligen aussagenlogischen Operator :.
Regeln fur 9:
fT g9xA(x)
fF g9xA(x)
fF gA(z)
fT gA(f (y1 : : : yk ))
51
fU g9xA(x)
fU F g9xA(x)
fU F gA(z)
fU gA(f (y1 : : : yk ))
fT g A(z)
Zusatzlich zur Beschreibung der Quantorenregeln sind fur die Anwendung
dieser Regeln die folgenden Einschrankungen wichtig:
z ist eine neue Variable, d. h. eine Variable, die zum Zeitpunkt der
Regelanwendung noch nicht als freie Variable im Tableau vorkommt.
y1 : : : yk sind genau die freien Variablen in 8xA(x)
f ist ein neues k-stelliges Funktionszeichen (Skolemfunktionszeichen).
Im Falle k = 0 ist f eine neue Skolemkonstante.
Die Konstruktion eines Tableau fur eine Formelmenge kann als Versuch aufgefat werden, auf systematische Weise ein Modell fur die Formelmenge zu
nden. Kommt dieser Konstruktionsproze an einen Punkt von dem aus ersichtbar ist, da keine erfolgreiche Fortsetzung mehr moglich ist - das dann
erreichte Tableau nennt man ein geschlossenes Tableau - so kann die Formelmenge kein Modell besitzen, ist also nicht erfullbar. Besteht die Formelmenge aus nur einer Formel, heit dies im zweiwertigen Fall, das Negat der
Formel ist gultig. Bei mehrwertigen Logiken ist \nicht falsch\ nicht mehr
identisch mit \wahr\. Die A nderung des Wahrheitswerts einer Formel kann
nicht durch einfache Negation ausgedruckt werden, weswegen es sinnvoll ist,
mit Vorzeichenformeln im Tableau zu arbeiten.
Lemma 11 Sei T ein endliches erfullbares Tableau und T1 entstehe aus T
durch eine Regelanwendung, dann ist auch T1 erfullbar.
Beweis:
Ist (M v) eine L3-Struktur, die T erfullt, dann soll gezeigt werden, da
(M v), nachdem eventuell neue Skolemfunktionen geeignet interpretiert werden, auch T1 erfullt. Wir betrachten zwei Beispiele. Die Formel fU F g(A^B )
liege auf dem Pfad P in T . T1 entsteht aus T , indem P zum einen zu
P1 = hP fU F gAi und zum anderen zu P2 = hP fU F gB i verlangert wird.
Sei a ein k-Tupel aus M. Nach Voraussetzung gibt es einen Pfad P 0 in T , so
da fur alle C auf P 0
(M v) j= C (a=y)
52
gilt. Ist P 0 6= P , so bleibt diese Aussage auch fur T1 richtig, und wir sind
fertig. Der interessante Fall ist somit P 0 = P . Da insbesondere (M v) j=
fU F g(A ^ B )(a=y) gilt, folgt, wie eine Inspektion der Wahrheitstabelle fur
^ zeigt,
(M v) j= fU F gA(a=y)
oder
(M v) j= fU F gB (a=y)
D. h. es gilt
(M v) j= P1(a=y)
oder
(M v) j= P2(a=y)
Insgesamt ist die Erfullbarkeit von T1 gezeigt.
Als zweiten Fall betrachten wir die Formel U 8xA(x) auf P in T . T1 entsteht,
indem P zu P1 = hP UA(f (y1 : : : yk )) T rA(z)i verlangert wird. Als erstes
wollen wir die Skolemfunktion f in (M v) interpretieren.
Falls ein b existiert mit vM(A(b=x a=y) = u, so xieren wir ein solches b und
setzen
f M(a) = b:
Andernfalls wahlen wir einen beliebigen Funktionswert
f M(a) = c:
Zur notationellen Vereinfachung bezeichnen wir auch die neue L3-Struktur
noch mit (M v).
Wir wollen zeigen, da T1 in (M v) erfullbar ist. Sei dazu ein Elementtupel
ha di xiert. In T1 ist die neue freie Variable z hinzugekommen, deswegen
heben wir das zur Belegung von z dienende Element d des Tupels eigens
hervor. Der einzig interessante Fall liegt vor, wenn fur alle Formeln C auf P
(M v) j= C (a=y)
gilt. Insbesondere gilt dann
v(8xA(x a=y)) = u:
53
Es gibt somit mindestens ein b mit
v(A(b=x a=y)) = u
und deswegen nach Denition f :
v(A(f (y)=x)(a=y)) = u:
Auerdem gilt fur alle d
v(A(d=x a=y)) 6= 0
was gleichbedeutend ist zu
v(rA(d=x a=y)) = 1:
Zusammenfassend haben wir
(M v) j= P1(d=z a=y)
gezeigt. Die Verikation aller ubrigen Regeln verlauft nach dem gleichen
Schema und sei dem Leser uberlassen.
Satz 12 (Korrektheitssatz)
Sei A eine L3 -Formel ohne freie Variablen. Falls es ein Tableau T mit Wurzel fU F gA gibt, in dem jeder Pfad geschlossen ist, dann ist A eine L3Tautologie.
Beweis:
Ware A keine L3-Tautologie, dann ware fU F gA erfullbar. Durch wiederholte Anwendung von Lemma 11 wuten wir, da dann auch T erfullbar ist.
Das steht im Widerspruch zur Voraussetzung, da alle Pfade in T geschlossen
und damit nicht erfullbar sind.
Korollar 13 Sei " eine Menge von L3-Formeln ohne freie Variablen und A
eine weitere Formel dieser Art. Falls es ein Tableau T uber " mit Wurzel
fU F gA gibt, im dem jeder Pfad geschlossen ist, dann gilt
" `3 A:
54
Beweis:
Gilt " `3 A nicht, dann ware " ffU F gAg erfullbar. Wie im Beweis von
Satz 12 ergibt sich daraus ein Widerspruch.
Satz 14 Vollstandigkeitssatz
Sei A eine L3 -Tautologie. Dann ist jedes systematische Tableau mit Wurzel
fU F gA geschlossen.
Beweis:
Angenommen die Aussage des Satzes sei falsch. Dann gibt es ein systematisches, erschopftes Tableau mit Wurzel fU F gA, das einen oenen Zweig P
enthalt. Sei H0 die Menge aller signierten Formeln, die auf P vorkommen.
Insbesondere liegt fU F gA in H0. Die Formeln in H0 konnen freie Variable
enthalten, die bei der Anwendung von Quantorenregeln eingefuhrt werden.
Da wir von einem systematischen Tableau ausgegangen sind, kommt fur jede
Formel B (z) in H0 mit einer freien Variablen z, die Formel B (zi) fur unendlich viele verschiedene Variablen zi ebenfalls in H0 vor. Die Formelmenge H
entstehe aus H0, indem jede freie Variable in H0 durch einen variablenfreien
Term ersetzt wird. Dabei wird naturlich die gleiche Variable in allen Formeln
in H0 durch denselben Term ersetzt. Da es nur abzahlbar unendlich viele Terme gibt, kann der Ersetzungsproze auerdem so eingerichtet werden, da
fur jede Formel B (z1 : : : zk ) in H0, fur jedes k-Tupel variablenfreier Terme
t1 : : : tk die Formel B (t1 : : : tk ) in H liegt. Weiter ist zu beachten, da die
in P neu eingefuhrten Skolemfunktionen und -konstanten beim Aufbau der
variablenfreien Terme mitbenutzt werden.
Die Formelmenge H hat die folgenden Eigenschaften
Konsistenz:
Fur atomare, variablenfreie Formeln p und disjunkte Vorzeichen S1 und S2
kommen S1p und S2p nicht beide in H vor.
^:
Liegt T (A ^ B ) in H , dann auch TA 2 H und TB 2 H .
Liegt F (A ^ B ) in H , dann FA 2 H oder FB 2 H .
Liegt U (A ^ B ) in H , dann (UA 2 H und TB 2 H )
oder (UB 2 H und TA 2 H )
55
oder (UA 2 H und UB 2 H ) .
Liegt fU F g(A ^ B ) in H , dann fU F gA 2 H oder fU F gB 2 H .
Diese ^-Eigenschaft fur H folgt, ebenso wie die folgenden, aus der Tatsache,
da wir ein systematisches Tableau vorausgesetzt hatten, und aus der Form
der Tableauregeln.
_:
Liegt T (A _ B ) in H , dann TA 2 H oder TB 2 H .
Liegt F (A _ B ) in H , dann FA 2 H und FB 2 H .
Liegt U (A _ B ) in H , dann (fU F gA 2 H und UB 2 H )
oder (UA 2 H und FB 2 H ) .
Liegt fU F g(A _ B ) in H , dann fU F gA 2 H und fU F gB 2 H .
:
Liegt T A in H , dann fU F gA 2 H .
Liegt F A in H , dann TA 2 H .
Liegt fU F g A in H , dann TA 2 H .
Die signierte Formel U A liegt nicht in H . Fur sie existiert keine Tableauregel. Ihr Auftreten wurde P zu einem geschlossenen Zweig machen.
::
Liegt T :A in H , dann FA 2 H .
Liegt F :A in H , dann TA 2 H .
Liegt U :A in H , dann UA 2 H .
Liegt fU F g:A in H , dann TA 2 H oder UA 2 H .
r:
Liegt T rA in H , dann TA 2 H oder UA 2 H .
Liegt F rA in H , dann FA 2 H .
Liegt fU F grA in H , dann FA 2 H .
U rA liegt nicht in H .
:
Liegt T (A B ) in H , dann fU F gA 2 H oder TB 2 H .
Liegt F (A B ) in H , dann TA 2 H und FB 2 H .
Liegt U (A B ) in H , dann TA 2 H und UB 2 H .
Liegt fU F g(A B ) in H , dann TA 2 H und fU F gB 2 H .
56
8:
Liegt T 8xA(x) in H , dann liegt fur jeden variablenfreien Term t TA(t=x) in
H.
Liegt F 8xA(x) in H , dann gibt es einen variablenfreien Term t, so da
FA(t=x) in H liegt.
Liegt U 8xA(x) in H , dann gibt es einen variablenfreien Term t, so da
UA(t=x) in H liegt, und fur jeden variablenfreien Term s liegt TA(s=x)
in H oder UA(s=x).
Liegt fU F g8xA(x) in H , dann gibt es einen variablenfreien Term t, so da
fU F gA(t=x) 2 H .
Zum Nachweis des zweiten Teils der 8-Eigenschaft von H beachten wir
zunachst, da die Formel F 8xA(x) durch Ersetzung der freien Variablen
y1 : : : yk durch Terme t1 : : : tk aus einer Formel F 8xA(x y1 : : : yk ) in
H0 entsteht. Durch Anwendung der entsprechenden 8-Regel ist dann auch
FA(f (y1 : : : yk )=x) in H0, und wir konnen den gewunschten Term t als
t = f (t1 : : : tk ) erhalten.
Zum Nachweis des dritten Teils beachte man, da wir auer von der entsprechenden 8-Regel auch von der r-Eigenschaft von H Gebrauch gemacht
haben.
9:
Liegt T 9xA(x) in H , dann gibt es einen variablenfreien Term t, so da
TA(t=x) 2 H .
Liegt F 9xA(x) in H , dann liegt fur jeden variablenfreien Term t FA(t=x) in
H.
Liegt U 9xA(x) in H , dann gibt es einen variablenfreien Term t mit
UA(t=x) 2 H , und fur alle Terme s gilt fU F gA(s=x) 2 H .
Liegt fU F g9xA(x) in H , dann liegt fur jeden variablenfreien Term t die
Formel fU F gA(t=x) in H .
Nach der Aufzahlung der notwendigen Eigenschaften der Formelmenge H
konnen wir nun den Beweis von Satz 14 zu Ende bringen. Wir erinnern uns
daran, da wir begonnen haben, einen Widerspruchsbeweis zu fuhren. Wir
werden den gesuchten Widerspruch erhalten, indem wir eine erfullende L3 Struktur fur fU F gA nden. Wir werden sogar eine L3-Struktur (M v) angeben, die jede Formel aus H wahr macht. Das Universum von Mbestehe aus
allen variablenfreien Termen, die Interpretation der Funktions- und Konstantenzeichen sei wie in Herbrand-Strukturen. Es bleibt fur jede variablenfreie,
57
atomare Formel p der Funktionswert v(p) zu erklaren:
Gilt Tp 2 H dann v(p) = 1:
Gilt Fp 2 H dann v(p) = 0:
Gilt Up 2 H dann v(p) = u:
Liegt keiner dieser drei Falle vor und fU F gp 2 H , dann v(p) = 0.
Kommt uberhaupt keine signierte Formel Sp in H vor, dann setzen wir
willkurlich v(p) = 0.
Wegen der Konsistenzeigenschaft ist die Denition von v(p) eindeutig.
Man zeigt jetzt durch Induktion uber den Formelaufbau von A, da jede
Formel SA 2 H in (M v) wahr ist. Diese Verikation ist recht umfangreich,
wir begnugen uns mit einem typischen Beispiel.
Es liege U (A ^ B ) in H . Wegen der ^-Eigenschaft von H gilt einer der drei
Falle:
UA 2 H und TB 2 H:
UB 2 H und TA 2 H:
UA 2 H und UB 2 H:
Nehmen wir an, der dritte Fall liegt vor. Da A und B von geringerer Komplexitat sind als (A ^ B ), sind nach Induktionsvoraussetzung UA und UB in
(M v) wahr, d. h. v(A) = v(B ) = u. Damit gilt aber auch v(A ^ B ) = u
nach der ^-Wahrheitstabelle. Die Argumentation in den ersten beiden Fallen
verlauft vollig analog.
Beispiel 8 Sei t ein Term, dessen einzige Variable y ist. Dann ist
0. C = (8xQ(x)) 8yQ(t=x)
eine Tautologie.
1. fU F gC
(aus 0)
2. T 8xQ(x)
(aus 1)
58
3. fU F g8yQ(t=x)
(aus 1)
4. TQ(z1)
(aus 2)
5. fU F gQ(s=x)
(aus 3)
wobei s = t(c=y). Der einzige Zweig dieses Tableaus kann durch z1 ! s
geschlossen werden (die Zeilen 4 und 5 enthalten dann komplementare Formeln).
Wir betrachten ein etwas umfangreicheres Beispiel, um die Notwendigkeit
der wiederholten Anwendung von Regeln fur -Formeln zu illustrieren.
Beispiel 9 Sei " die folgende Formelmenge
8x8y (nachbar(x y) weg(x y))
8x8y8z (nachbar(x z) ^ weg(z y) weg(x y))
nachbar(a b)
nachbar(b c)
nachbar(c d)
Oensichtlich gilt " ` weg(a d). Wir wollen ein geschlossenes Tableau uber
" mit Wurzelmarkierung fU F g weg(a d) konstruieren. In den folgenden
Diagrammen wird der mit Formeln aus " markierte Teil nicht mitgezeichnet.
59
Tab:
1: fU F g weg(a d)
2:(") T nachbar(x z) ^ weg(z y) weg(x y)
3:(2) T weg(x y) 4:(2) fU F gnachbar(x z) ^ weg(z y)
closed(1 3)
x!a
y ! d 5:(4) fU F gnachbar(x z) 6:(4) fU F gweg(z y)
closed(5 ")
x!a
Tab1
z!b
Tab1:
6: fU F gweg(b d)
7:(") T nachbar(u v) ^ weg(v w) weg(u w)
8:(7) T weg(u w) 9:(7) fU F gnachbar(u v) ^ weg(u w)
closed(6 8)
u!b
w ! d10:(9) fU F gnachbar(u v) 11:(9) fU F gweg(v w)
closed(10 ")
u!b
Tab2
v!c
Tab2:
11:(9) fU F gweg(c d)
12:(") T nachbar(z1 z2) weg(z1 z2)
13:(12) T weg(z1 z2) 14:(12)
closed(11 13)
z1 ! c
z2 ! d
fU F gnachbar(z1 z2)
closed(14 ")
z1 ! c
z2 ! d
Ein weiteres Beispiel ist in Abbildung 2.12 zu sehen.
Basisalgorithmus
Eingabe: Ein nicht geschlossener Zweig T
Ausgabe: true, falls der Zweig geschlossen werden kann, fail sonst.
60
1
fU F g:A ( A ^ :A)
(1) 2
(1) 3
fU F g( A ^ :A)
(2) 4
;
;;
(3) 5
T :A
FA
fU F g A
(5) 6
@@
@
(3) 7
TA
fU F g:A
closed(2,7)
closed(4,6)
Abbildung 2.12: Beispiel eines Tableaubeweises in der Logik L3
1. fPriorisierung der Formelng Zunachst werden die Formeln priorisiert
in bezug auf gewisse Heuristiken. Es ist zu beachten, da bei verzweigenden Regeln die Anzahl eektiver Nachfolger (das heit Zweige, die
nicht sofort geschlossen werden konnen,) berechnet wird. Zweige, die
dabei geschlossen werden, sollen spater nicht noch einmal betrachtet
werden mussen. Die Information mu also (inklusive moglicher Instantiierungen) gerettet werden.] Das Ergebnis dieses Teilabschnitts ist eine
Formel P mit hochster Prioritat (y) und eine zugehorige Regel RP .
2. fRegelanwendungg Wende RP auf P an und erzeuge einen oder mehrere neue Zweige.
Danach wird P entweder aus der Liste potentieller Kandidaten fur eine
Regelanwendung entfernt oder der Zahler BOUND wird erhoht.
In diesem Schritt werden auch die Nachfolgeranzahlen der zu den neu
61
generierten Formeln korrespondierenden Regeln ermittelt, und es erfolgt eine entsprechende Eintragung in die Reprasentation des Zweigs.
3. fDirektes Schlieen moglichst vieler Zweige, Finden erschopfter Zweigeg Fur jeden neuen Zweig:
(a) Versuche, den Zweig zu schlieen
d. h. Formeln ohne korrespondierende Regel oder Unikation
(y) von zwei komplementaren Formeln im aktuellen Zweig hier
hat man einen Freiheitsgrad, indem man beliebige Formeln testet,
oder auch nur Atome).
(b) Falls ein Zweig erschopft ist, fertig mit Ausgabe fail.
4. fSchlieen der noch oenen Zweigeg Fur alle Zweige, die noch oen
sind:
(a) Rufe Basisalgorithmus rekursiv auf.
5. Fertig mit Ausgabe true.
Im Algorithmus sind die moglichen Backtracking-Punkte mit (y) gekennzeichnet.
In dem einfuhrenden Kapitel zur Logik L3hatten wir in Lemma 3 auf Seite 26
bewiesen, da eine Formel A, die nur mit ^ _ 8 9 aufgebaut ist, genau
dann eine dreiwertige Tautologie ist, wenn sie eine zweiwertige Tautologie
ist. Der Beweis wurde damals modelltheoretisch gefuhrt. Wir konnen jetzt
einen zweiten Beweis dieses Lemmas fuhren, indem wir sagen:
Es gibt ein geschlossenes zweiwertiges Tableau fur FA
gdw.
es gibt ein geschlossenes dreiwertiges Tableau fur fU F gA.
Wir mussen zunachst erklaren, was die Regeln fur das zweiwertige Tableauverfahren sind. Das sind die angegebenen Regeln fur die Vorzeichen T und
F , wobei allein die Regel
fT g B
fU F gB
ersetzt werden mu durch
62
fT g B
fF gB
(siehe z. B. Smullyan 68])
Durch Inspektion der Regel veriziert man die folgenden beiden Behauptungen:
1. Ist T2 ein geschlossenes zweiwertiges Tableau fur FA, so erhalt man
ein geschlossenes dreiwertiges Tableau, wenn man uberall in T2 das
Vorzeichen F durch das Vorzeichen fU F g ersetzt.
2. Ist T3 ein geschlossenes dreiwertiges Tableau fur fU F gA, so erhalt
man ein geschlossenes zweiwertiges Tableau fur FA, wenn man uberall
in T3 das Vorzeichen fU F g durch das Vorzeichen F ersetzt.
2.3.3 U bungsaufgaben
U bungsaufgabe 2.3.1 In der Tableauregel fur U 8 hatte man den neuen
aussagenlogischen Operator r vermeiden konnen und dafur das bisher nicht
benutzte Vorzeichen fT U g verwenden konnen, also
fU g8xA(x)
fU gA(f (y1 : : : yk))
fT U gA(z)
Dadurch hatte man sich auch alle Tableauregeln fur r gespart. Welche
zusatzlichen Regeln hatte man aber gebraucht?
U bungsaufgabe 2.3.2 Welche Tableauregeln mu
te man fur cand, cor, sie-
he Abb. 2.13 hinzunehmen, um einen korrekten und vollstandigen Tableaukalkul zu erhalten? Diese Junktoren werden in dem Buch Gries, 1989] S. 69
deniert und sind dort Bestandteil einer dreiwertigen Logik zur Programmverikation. Bewerkenswert ist die Asymmetrie der beiden Konnektoren, die
eine dreiwertige Version der Konjunktion bzw. Disjunktion sein sollen.
U bungsaufgabe 2.3.3 Die aussagenlogische Verknupfung sei durch die
folgende Wahrheitstabelle bestimmt.
63
A cand B
B#A! 1 u
1
1 u
u
u u
0
0 u
A cor B
B#A! 1
1
1
u
1
0
1
0
0
0
0
u
u
u
u
1
1
u
0
Abbildung 2.13: Wahrheitstabellen fur cand und cor
1 u 0
1 1 1 1
u 1 1 1
0 1 0 1
Geben Sie die Tableauregeln fur die Vorzeichenmengen f1g f0g und f0 1g
an.
Diese Wahrheitstafel ist insofern interessant, da die Tautologien unter den
aussagenlogischen Formeln, die ausschlie
lich mit aufgebaut sind, mit 1
als dem einzigen ausgezeichneten Wahrheitswert nicht durch ein endliches
Hilbertsches Axiomensystem axiomatisiert werden konnen. Siehe Urquhart,
1986], Seite 85, wo auch weitere Literaturhinweise zu nden sind.
U bungsaufgabe 2.3.4
De nition 16 Seien M und N L3-Strukturen, dann subsumiert M die
Struktur N , in Zeichen M v N , wenn
1. M N
2. fur alle n, alle n-stelligen Funktionszeichen f und alle a1 : : : an 2 M
gilt
f M (a1 : : : an) = f N (a1 : : : an)
3. fur alle n, alle n-stelligen Pradikatszeichen p und alle a1 : : : an 2 M
gilt:
(a) wenn vM(p(a1 : : : an)) = 1, dann gilt auch vN (p(a1 : : : an )) = 1
und
64
(b) wenn vM(p(a1 : : : an)) = 0, dann gilt auch vN (p(a1 : : : an )) = 0
De nition 17
1. Eine Formel der Logik L3hei
t 1-persistent, wenn fur je zwei L3Strukturen M v N mit vM () = 1 auch vN () = 1 gilt
2. hei
t 0-persistent, wenn fur je zwei L3-Strukturen M v N mit
vM() = 0 auch vN () = 0 gilt
3. hei
t persistent, wenn 1-persitent und 0-persistent ist.
Sei c ein n-stelligee aussagenlogischer Junktor und P1 : : : Pn aussagenlogische Variablen. Dann ist c(P1 : : : Pn) 1-persistent genau dann, wenn es
eine korrekte und vollstandige Tableauregel
f1gc(P1 : : : Pn )
E1 : : :
Ek
gibt, so da
in E1 : : : Ek nur die Vorzeichen f1g und f0g auftreten.
65
2.4 Anwendungen
Drei- und mehrwertige Logiken haben in folgenden Bereichen Anwendungen
gefunden.
Als technisches Hilfmittel zum Nachweis der Unabhangigkeit der Axio
me in einem gegebenen Axiomensystem,
zur Modellierung undenierter Funktions- und Pradikatswerte in der
Spezikation und Verikation von Programmen,
in der Semantik naturlicher Sprache, z.B. zur Modellierung von
Prasuppositionen, siehe dazu Max, 1990],
in der Theorie der logischen Programmierung zur Beschreibung des
Zusammenhangs zwischen der operationalen Semantik der Negation
und einem deklarativen Gegenstuck,
zur Modellierung von elektronischen Schaltkreisen. Die zusaatzlichen
Wahrheitswerte werden entweder benutzt um physikalisch existierende
Strom- bzw. Spannungszustande zu modellieren oder sie dienen dazu
verschiedene Fehlerzustande und ihre Propagierung zu beschreiben.
zur Modellierung von Vagheit und Unbestimmtheit in vielen Bereichen
der Mathematik und Informatik, z.B. in der Theorie der Intervallarithmetik.
2.4.1 Unabhangigkeitsbeweise
Eine der ersten Anwendungen mehrwertiger Logiken waren Unabhangigkeitsbeweise in logischen Axiomensystemen. Als Pionierarbeit ist hier vor allem
Bernays, 1926] zu nennen. Die folgende Darstellung orientiert sich an Gottwald, 1990], Seite 62 . Um diese Technik zu erlautern, betrachten wir das in
Tabelle 2.1 gezeigte Axiomensystem K1 fur die Aussagenlogik: Zusammen
mit der modus ponens Regel
H H)G
G
66
Ax1 p1 ) (p2 ) p1)
Ax2 ((p1 ) p2) ) p1 ) ) p1
Ax3 (p1 ) p2) ) ((p2 ) p3) ) (p1 ) p3 ))
Ax4 (p1 ^ p2) ) p1
Ax5 (p1 ^ p2) ) p2
Ax6 (p1 ) p2) ) ((p1 ) p3) ) p1 ) p2 ^ p3))
Ax7 p1 ) (p1 _ p2 )
Ax8 p2 ) (p1 _ p2 )
Ax9 (p1 ) p3) ) ((p2 ) p3) ) p1 _ p2 ) p3))
Ax10 (p1 p2) ) (p1 ) p2)
Ax11 (p1 p2) ) (p2 ) p1)
Ax12 (p1 ) p2) ) ((p2 ) p1) ) p1 p2 ))
Ax13 (p1 ) p2) ) (:p2 ) :p1 )
Ax14 p1 ) ::p1
Ax15 ::p1 ) p1
Tabelle 2.1: Das Axiomensystem K1
67
) 1 u 0 1 u 0 p :p
1 1 u 0 1 1 u 0 1
u 1 1 u u u 1 u u
0 1 1 1 0 0 u 1 0
0
u
1
Tabelle 2.2: Wahrheitstabellen L
ukasiewicz Junktoren
^ 1 u 0 _ 1 u 0
1 1 u 0 1 1 1 1
u u u 0 u 1 u u
0 0 0 0 0 1 u 0
Tabelle 2.3: Wahrheitstabellen L
ukasiewicz Junktoren
ist K1 ein vollstandiges Axiomensystem fur die klassische Aussagenlogik,
siehe z.B. Asser, 1959]. Auerdem sind die Axiome von K1 unabhangig
voneinander, d.h. es kann keines weggelassen werden ohne die Vollstandigkeit
zu zerstoren. Diese Eigenschaft lat sich auch formulieren als:
De
nition 18 Ein Axiomensystem K hei
t unabhangig, wenn fur jedes
Axiom A 2 K, in der Ableitungsrelation, `KnfAg, die durch dieselben Regeln
und die um A verminderte Axiomenmenge von K gegeben ist, die Formel A
nicht mehr herleitbar ist, d.h.
6`KnfAg A:
Wir wollen exemplarisch zeigen, da Ax2 unabhangig ist von den restlichen
Axiomen in K1. Dazu betrachten wir die dreiwertige Logik LK1 mit den
Wahrheitswerten W = f1 u 0g, dem ausgezeichneten Wahrheitswert 1 und
den Junktoren
:)^_
die durch die Wahrheitstabellen von L
ukasiewicz interpretiert werden, (siehe
Tabelle 2.2 und 2.3).
Wir mussen drei Dinge nachweisen:
1. jedes Axiom in K1 auer Ax2 ist eine LK1 -Tautologie
68
2. alle Regeln des Kalkuls (im vorliegenden Fall also nur die modus ponens
Regel) fuhren von LK1 -Tautologien wieder zu einer LK1 -Tautologie
3. Ax2 ist keine LK1 -Tautologie
Aus diesen drei Behauptungen folgt, da jede Formel B , die aus K1 nfAx2g
abgeleitet werden kann, eine LK1 -Tautologie ist. Daher mu
K1 n fAx2g 6` Ax2
gelten.
zu 1:
(Ax1):
Angenommen es gabe eine Belegung v der Aussagenlogischen Variablen p1 p2,
so da v(Ax1) kein ausgezeichneter Wahrheitswert ist, d.h. v(Ax1) 2 fu 0g.
Die Wahrheitstabelle fur ) zeigt, da es hierfur zwei Moglichkeiten gibt:
v(p1) = u und v(p2 ) p1 ) = 0 oder v(p1) = 1 und v(p2 ) p1 ) 2 fu 0g
aus v(p2 ) p1) = 0 folgt
v(p1) = 0 und v(p2) = 1
Widerspruch
aus v(p2 ) p1) 2 fu 0g folgt
v(p1) 2 fu 0g
Widerspruch
(Ax3):
Wie schon beim Nachweis von Axiom 1 nehmen wir an, da es eine Bewertung
v gabe mit v(Ax3) 2 fu 0g und fuhren diese Annahme durch erschopfende
Fallunterscheidung zum Widerspruch.
Fall 1:
1.v(p1 ) p2) = u und
2.v((p2 ) p3) ) (p1 ) p3)) = 0
aus 2. folgt:
5.v((p2 ) p3) = 1 und
6.v(p1 ) p3) = 0
aus 6. folgt weiter:
7.v(p1) = 1 und
8.v(p3) = 0
aus 7. und 1. folgt:
69
9.v(p2) = u
aus 9. und 8. folgt v(p2 ) p3) = u im Widerspruch zu 5.
Fall 2:
3.v(p1 ) p2) = 1 und
4.v((p2 ) p3) ) (p1 ) p3)) 2 fu 0g
Zeile 4 fuhrt zu einer weiteren Fallunterscheidung:
Fall 2.1:
10.v(p2 ) p3) = u und
11.v(p1 ) p3) = 0
aus 11. folgt:
12.v(p1) = 1 und
13.v(p3) = 0
aus 12. und 3. folgt jetzt v(p2) = 1, wahrend aus 13. und 10. v(p2) = u
folgt. Widerspruch !
Fall 2.2:
14.v(p2 ) p3) = 1 und
15.v(p1 ) p3) =2 fu 0g
Die letzte Zeile fuhrt zu einer weiteren Fallunterscheidung
Fall 2.2.1:
16.v(p1) = u und
17.v(p3) == 0
aus 16. und 3. folgt v(p2) 2 f1 ug, wahrend aus 17. und 14. v(p2) = 0 folgt,
ein Widerspruch.
Fall 2.2.2:
18.v(p1) = 1 und
19.v(p3) =2 fu 0g
aus 18. und 3. folgt diesmal v(p2) = 1 und 19. liefert mit 14. den Widerspruch v(p2) 2 fu 0g
(Ax4):
Aus v(p1 ^ p2) ) p1) 2 fu 0g folgt entweder
v(p1 ^ p2 ) = u und v(p1) = 0
oder
70
v(p1 ^ p2) = 1 und v(p1) 2 fu 0g
In beiden Fallen ergibt sich ein Widerspruch zu der Eigenschaft der Konjunktion : v(p1 ^ p2) v(p1)
(Ax5):
Analog zu (Ax4)
zu 2:
Ist v(H ) = 1, so folgt aus der Wahrheitstafel fur ), da v(H ) G) = 1 nur
gelten kann, wenn auch v(G) = 1.
zu 3:
p1
1
1
1
u
u
u
0
0
0
p2 p1 ) p2 (p1 ) p2) ) p1 ((p1 ) p2 ) ) p1) ) p1
1
1
1
1
u
u
1
1
0
0
1
1
1
1
u
1
u
1
u
1
0
u
1
u
1
1
0
1
u
1
0
1
0
1
0
1
Die Anwendung dieses Verfahrens verlangt ein hohes Ma an Kreativitat,
denn fur jeden Anwendungsfall mu eine geeignete mehrwertige Logik gefunden werden.
2.4.2 Logik mit partiellen Funktionen
VDM (Vienna Development Method) ist eine Methode zur formalen Spezikation und Entwicklung von Computerprogrammen. Ein Bestandteil dieser
Methode ist die formale Spezikationssprache VDM-SL. Als Referenz verweisen wir auf die Bucher Jones, 1990] und Bicarregui et al., 1994]. Fur uns
ist interessant, da zur Beschreibung der Semantik von VMD-SL eine dreiwertige Semantik benutzt wird, explizit in Abschnitt 3.3 von Jones, 1990]
und implizit in Bicarregui et al., 1994].
71
Partielle Funktionen sind ein Problem, das in jeder formalen Spezikationssprache auftritt. Was soll ein Ausdruck der Form xy fur reele Zahlen x y
bedeuten, wenn y = 0 ist, oder was soll die Dierenz n ; m fur naturliche
Zahlen n m bedeuten, wenn m > n ist? Haug wird dieses Problem unter
den Teppich gekehrt oder mit der kurzen Bemerkung abgetan, da durch die
Einfuhrung eines zusatzlichen Elements in das betrachtete Universum, das
Problem einfach zu losen sei. In VDM wurde eine grundlichere Losung angestrebt. Zunachst sieht alles noch, wie erwartet aus: jedes Sortenuniversum
wird um ein Element erweitert, das als Wert fur funktionen dienen soll, fur
die sonst kein Wert existiert. Zum Universum IN der naturlichen Zahlen wird
das Element IN hinzugenommen. Damit lassen sich die folgenden Denitionen formal hinschreiben:
mn ] =
das kleinste k 2 IN mit k m n
IN
n ; m] =
n;m
IN
falls m 6= 0
sonst
falls n m
sonst
Bevor wir das weitere Vorgehen in VDM schildern betrachten wir ein Beispiel:
8n m( mn ] = m ; n] ! 5n = 5m2 ; 5nm)
Betrachten wir IN als neues Element des Universums der naturlichen Zahlen
und lassen alles weitere unverandert, so ist diese Formel falsch fur m = 0 und
n = 1 ist die Pramisse der Implikation wahr, da ja 10 ] = IN = 0 ; 1]. Aber
die rechte Seite der Implikation fuhrt zu der Ungleichung 5 6= 0. Die Option
fur jeden nichtdenierten Funktionswert ein neues Element einzufuhren ist
nicht sehr verlockend. Alternativ dazu, und das ist der Weg der in VDM
beschritten wird, kann man die Gleichheitrelation andern, wie in Abbbildung 2.14 gezeigt. Dabei ist IB ein neues Element, das zu der Menge IB der
Boolschen Werte hinzugefugt wird, mit anderen Worten ein neuer Wahrheitswert. Die Wahrheitstafeln der dreiwertigen VDM-Logik stimmen in der in
Abbildung 2.15 angegbenen Weise mit den uns bekannten Wahrheitstafeln
uberein.
72
A =3 B B 2 IN B IN
A 2 IN A = B
IB
A IN IB
IB
Abbildung 2.14: Dreiwertige Gleichheit
Korrespondenz der VDM-Logik mit L3
VDM (nach Jones90) L3
true
1
*
u
false
0
^_
^ _ min, max
:
: starke Negation
)
! starke Implikation
,
$ starke A quivalenz
Abbildung 2.15: Korrespondenz zw. VDM und L3
73
2.5 Unendlichwertige Logiken
2.5.1 L ukasiewicz Logiken
Als Einstieg in unendlichwertige Logiken betrachten wir die Familie der
L
ukasiewizc Logiken LnL
ukas fur n 2 und n = @0 @1. Die Symbole @0 @1
werden gelesen als aleph null, bzw. aleph eins. In der Theorie der Kardinalzahlen dienen sie ublicherweise zur Bezeichnung der Kardinalitat der Menge
der rationalen, bzw. der reellen Zahlen. Wir benutzen diese Zeichen hier aus
rein historischen Grunden, wir hatten an ihrer Stelle genausogut zwei andere
von allen naturlichen Zahlen verschiedene Symbole benutzen konnen. Die
Menge Wn der Wahrheitswerte fur LnL
ukas ist dabei
Wn = f0 n;1 1 n;2 1 : : : 1g
falls n 2 IN
Wn = das rationale Intervall 0 1] falls n = @0
Wn = das relle Intervall 0 1]
falls n = @1
Die aussagenlogischen Junktoren fur alle LnL
ukas sind
:)^_
Der einzige ausgezeichnete Wahrheitswert ist 1. Anstelle von Wahrheitstabellen geben wir die Denition der durch diese Junktoren induzierten Funktionen auf Wn direkt an:
:A
A)B
A_B
A^B
AB
=
=
=
=
=
1;A
minf1 1 ; A + B g
maxfA B g
minfA B g
1; j A ; B j
Diese Notation ist eine abkurzende Schreibweise, die wir dem forgeschrittenen Leser glauben zumuten zu konnen. Formal genau ist z.B. die zweite Zeile
wie folgt zu lesen :
Ist v : V ar ! Wn eine Belegung der aussagenlogischen Variablen mit Wahrheitswerten aus Wn, dann gilt
v(A ) B ) = minf1 1 ; v(A) + v(B )g
74
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
x 0.6
0.8
1 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y
Abbildung 2.16: L
ukasiewicz Implikation
Man beachte, da diese Denition, wie die anderen auch, nicht von n abhangt,
in dem Sinne, da fur alle n m mit Wn Wm und v : V ar ! Wn fur alle
Formeln A, die Auswertung v(A) in LnL
ukas ubereinstimmt mit der Auswertung v(A) in LmL
ukas.
Fur n = 3 ist dann : die starke Negation, _ und ^ stimmen mit der Interpretation in L3 uberein und die drei-wertige Wahrheitstabelle fur ) wurde
schon in den Abbildungen 2.9 und 2.2 gezeigt. Der Werteverlauf der Implikation uber der Wertemenge [email protected] ist in Abbildung 2.16 dargestellt.
Mit Taut(LnL
ukas) bezeichnen wir die Menge der Tautologien in LnL
ukas . Wir
beginnen mit einigen einfachen Eigenschaften der Tautologien in LnL
ukas .
Lemma 15
1. Fur n m 2 IN , soda
(m ; 1) ein Teiler von (n ; 1) ist, gilt
Taut(LLn ukas ) Taut(LLm ukas )
Die Umkehrung dieser Aussage wird spater bewiesen.
2. Taut([email protected] 0ukas ) = Taut([email protected] 1ukas )
T
3. Taut([email protected] 0ukas ) = fTaut(LLn ukas ) j n 2 n 2 IN g
75
Beweis:
(1)
Sei m ; 1 ein Teiler von n ; 1, etwa (n ; 1) = (m ; 1) t mit
t > 1. Dann gilt sicherlich Wm Wn , denn jedes Element mk;1 2 Wm kommt
auch als (mk;t1)t in Wn vor. Ist A eine Formel der L
ukasiewicz Logik mit den
Aussagenvariablen p1 : : : ps so bezeichnen wir mit An die von A induzierte
Funktion auf Wns und entsprechend mit Am die von A auf Wms induzierte Funktion. Man sieht leicht aus der Interpretation der aussagenlogischen
Operatoren, da fur alle w1 : : : ws 2 Wm gilt:
An(w1 : : : ws) = Am(w1 : : : ws)
(2)
Die Inklusion Taut([email protected]
1ukas ) Taut([email protected]
0ukas ) gilt oensichtlich. Sei
jetzt H eine Formel mit k Aussagenvariablen und eine Tautolgie in [email protected]
0ukas ,
d.h. fur jedes k-Tupel ~r rationaler Zahlen gilt H (~r) = 1. Man uberzeugt
sich durch Induktion uber den Aufbau der Formel H , da H eine stetige
Funktion von dem reellen Intervall 0 1]k in 0 1] induziert. Fur ein reelles
Tupel ~r 2 0 1]k , wahle man eine Folge ~ri rationaler Tupel mit limi ~ri = ~r
und es folgt H (~r) = limi H (~ri ) = limi 1 = 1.
(3)
Die Inklusionen Taut([email protected]
0ukas ) Taut(LnL
ukas) fur alle n 2 N gelten
T
oensichtlich und damit auch Taut([email protected]
0ukas) fTaut(LnL
ukas ) j n 2 n 2
IN g: Sei jetzt F eine Formel mit den aussagenlogischen Variablen p1 : : : pr ,
die nicht in Taut([email protected]
0ukas ) liegt. Dann gibt es eine Belegungsfunktion v mit
v(F ) 6= 1 und v(pi) 2 Q fur alle 1 i r. Ist n ein gemeinsamer Nenner
aller Buche v(pi), dann liegen alle diese Werte schon in Wn . Also gilt auch
F 62 Taut(LnL
ukas ):
Von besonderem Interesse in den L
ukasiewicz Logiken sind die Operatoren t
(truncated sum,abgeschnittene Summe), u (truncated product,abgeschnittenes
Produkt).
De
nition 19
A t B = :A ) B
= minf1 A + B g
A u B = :(:A t :B ) = maxf0 A + B ; 1g
siehe Abbildung 2.17
76
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
1
0
1
0.8
0.8
0.6
y
0.4
0.6
y 0.4
0.2
0 0
0.2
0.4
0.2
1
0.8
0.6
0.2
0 0
x
0.4
0.6
0.8
1
x
AuB
AtB
Abbildung 2.17: Die logischen Operatoren aus Denition 19
Mit
Fm A bezeichnen wir die m-fache Iteration von t, also
Gm
und dual
A=A
| t A t{z: : : t A}
m mal
mA = A u A u : : : u A
|
m
{z
}
mal
F
Lemma 16
1. Die Formel
Gm
A)
G
m;1
A
ist eine Tautologie in der Logik LLn ukas genau, dann wenn n m.
2. Aus Taut(LLn ukas) Taut(LLm ukas ) folgt n m.
3. In LLn ukas gilt fur jede Belegung v : ALvar ! Wn der aussagenlogischen
Variablen
0
F
n
;
1
v(
:A) =
falls v (A) = 1
1 falls v(A) < 1
Cm;1 = (
G
m;1
i=1
:A) ^ (A t
77
m;2 A)
i=1
F
4. Fur die Formel
gilt
m;2
v(Cm;1) = 1 gdw v(A) = m
;1
Beweis:
zu (1):
gdw
gdw
gdw
gdw
gdw
Fm A ) Fm;1 A = 1 in Ln
L
ukas
minf1 1 ; minf1 m Ag + minf1 (m ; 1) Agg = 1
minf1 m Ag minf1 (m ; 1) Ag
(m ; 1) A 1 fur alle A 2 Wn mit A > 0
A m1;1 fur alle A 2 Wn mit A > 0
nm
Siehe auch Abbildung 2.18
zu (2):
F
Gilt n < m, dann gilt ( m;1 A )
Fm;2 A) 62 Taut(Lm )
L
ukas
zu (3):
Fm;2 A) 2 Taut(Ln
L
ukas ) und (
Fm;1 A )
F
;1 :A) = 1
v( ni=1
gdw minf1 (n ; 1) (1 ; v(A))g = 1
gdw (n ; 1) (1 ; v(A)) 1
gdw v(A) nn;;21
Da fur jedes p 2 Wn mit p < 1 schon p nn;;21 gilt, folgt die Behauptung.
zu (4):
F
Da v(Cm;1) = 1 genau dann gilt, wenn v( mi=1;1 :A) = 1 und v(At
1 gilt, betrachten wir die beiden Teilformeln getrennt.
F
F
m;2 A) =
i=1
Zunachst gilt nach (3) v( mi=1;1 :A) = 1 genau dann, wenn v(A) mm;;21
Die Untersuchung der zweiten Teilformel liefert
78
F
F
F
gdw
gdw
gdw
gdw
gdw
gdw
gdw
v(A t mi=1;2 A) = 1
minf1 v(A) + v( mi=1;2A)g = 1
v(A) + v( mi=1;2 A) 1
v(A) + maxf0 (m ; 2)v(A) ; (m ; 2) + 1g 1
maxfv(A) (m ; 1)v(A) ; m + 3g 1
v(A) 1 oder (m ; 1)v(A) ; m + 3 1
v(A) 1 oder v(A) mm;;12
v(A) mm;;12
Zusammengenommen ergibt sich also, wie gewunscht, v(Cm;1) = 1 gdw
v(A) = mm;;21 .
79
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
y
y
0.4
0.4
0.2
0.2
00
0.2
0.4
0.6
0.8
00
1
0.2
0.4
x
(a) A t A ) A
(b)
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
00
0.2
0.4
0.6
0.8
00
1
1
0.2
F4 A ) F3 A
0.4
0.6
0.8
1
x
(c) :A t :A
F
(d) mi=1;1 :A fur m = 3 4 5 6
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0.8
x
1
00
0.6
x
0.4
0.6
0.8
00
1
0.2
0.4
0.6
x
x
(e) C3
(f) C5
0.8
Abbildung 2.18: Beispiele zu den Funktionen aus Lemma 16
80
1
Lemma 17 Fur n m 2 IN gilt:
Taut(LLn ukas ) Taut(LLm ukas )
gdw
(m ; 1) ist ein Teiler von (n ; 1)
Beweis:
Wegen Lemma 15 (1) ist nur noch die Richtung von links nach rechts (von
oben nach unten) zu beweisen. Gelte also Taut(LnL
ukas ) Taut(LmL
ukas ).
Wir uberlegen uns zunachst, da dann Wm Wn gelten mu. Angenommen,
das ist nicht der Fall. Dann gilt m1;1 62 Wn, denn liegt m1;1 in Wn, dann liegen
auch alle anderen Elemente aus Wm in Wn. Da Wn abgeschlossen ist unter
der Funktion
f (x) = 1 ; x gilt auch mm;;21 62 Wn.
F
Fur F = n;1 :Cm;1 , wobei Cm;1 die Formel aus Lemma 16 (4) ist, gilt
dann nach Lemma 16 (3) fur jede Belegung v : ALV ar ! Wn :
v(F ) 6= 1 gdw v(Cm;1) = 1
also weiter mit Lemma 16 (4)
Wegen
m;2
m;1
;2
v(F ) 6= 1 gdw v(A) = m
m;1
62 Wn folgt also
F 2 Taut(LnL
ukas )
Fur v(A) = mm;;21 ergibt sich v(F ) = 0 und damit F 62 Taut(LmL
ukas ) im
Widerspruch zur Voraussetzung. Damit ist Wm Wn gezeigt. Inbesondere
folgt daraus m1;1 2 Wn , d.h. m1;1 = n;k 1 fur ein geeignetes k. Hieraus folgt
n ; 1 = k (m ; 1) und (m ; 1) ist in der Tat ein Teiler von (n ; 1).
Lemma 18 Sei 1 < k < n, 3 < n und k kein Teiler von n ; 1. Dann ist die
folgende Formel eine Tautologie in LLn ukas
G
n;1
(
k :A t (A u
F
81
G
k ;1
A))
Satz 19 (Satz von McNaughton)
Eine reell-wertige Funktion f : 0 1]k ! 0 1] ist durch eine [email protected] 1ukas -Formel
denierbar, genau dann, wenn sie die folgenden beiden Bedingungen erfullt:
1. f (x1 : : : xk ) ist stetig,
2. es gibt endlich viele lineare Polynome p1 : : : ps von der Form
pj = bj + c1x1 + : : : + ck xk
mit Koezienten bj 2 Q und c1 : : : ck 2 Q, so da
fur jedes k-Tupel
hr1 : : : rk i 2 0 1]k ein 1 j s existiert mit
f (r1 : : : rk ) = pj (r1 : : : rk )
Beweis:
Der Beweis ist umfangreich und tieiegend. Die Orginalarbeit McNaughton,
1951] enthalt einen reinen Existenzbeweise. Ein konstruktiver Beweis wurde
von D. Munidici in Mundici, 1994] gegeben.
2.5.2 Unscharfe Logiken
Zum praktischen, ja sogar industriellen Einsatz kamen mehrwertige Logiken
in der Form von Logiken mit dem Intervall der rationalen Zahlen zwischen 0
und 1 als Wahrheitswerten. Man nennt diese Logiken unscharfe Logik (fuzzy
logic) oder auch die Theorie der unscharfen Mengen (fuzzy set theory). Es
handelt sich dabei um ganze Familien von Logiken, die je nach der Art der
Anwendung ausgewahlt werden. Ein groer Teil der theoretischen Untersuchungen versucht allgemeine Konstruktionsverfahren fur unscharfe Logiken
bereitzustellen und allgemeine Tatsachen herzuleiten, die fur alle nach demselben Konstruktionsverfahren hergestellten Logiken gelten. Wir orientieren
uns in der folgenden kurzen Einfuhrung an dem Buch Gottwald, 1993]. Eine
rein verbandstheoretische Darstellung ndet man in Kapitel 8 von Bolc &
Borowik, 1992].
De
nition 20 (t-norm)
Eine zweistellige Funktion f : 0 1]2 ! 0 1] hei
t eine t-Norm (abkurzend
fur triangular norm) wenn sie die folgenden Eigenschaften erfullt:
82
t-Norm
fG (A B )
fL(A B )
fP (A B )
Formel
minfA B g
maxf0 A + B ; 1g
A
B
min
fA B g fur A = 1 oder B = 1
fD (A B )
0
sonst
f H (A B ) +(1; )AB
(A+B ;AB )
1
Y
rfp (A B ) 1 ; minf((1 ; A)p + (1 ; B )p) p 1g
Parameter
keine
keine
keine
keine
0
p>0
Abbildung 2.19: Beispiele fur t-Normen
1. f ist assoziativ und kommutativ,
2. fur alle 0 A B 1 und jedes 0 C 1 gilt f (A C ) f (B C ),
3. fur jedes 0 C 1 gilt f (C 1) = C
De
nition 21 (Linksseitige Stetigkeit)
Eine t-Norm f (A B ) hei
t linksstetig, wenn fur alle A B 2 0 1] und jede
Folge Ai mit 0 Ai A und limi!1 Ai = A gilt
lim f (Ai B ) = f (A B )
i!1
Einige Beispiele fur t-Normen sind in der Abbildung 2.19 zusammengestellt.
Diese Liste stammt aus Gottwald, 1993]. Bis auf fD sind alle t-Normen in
dieser Tabelle linksstetig. Zu jeder linksstetigen t-Norm f denieren wir eine
unscharfe Logik Ff mit den aussagenlogischen Junktoren ^f _f !f :f $f .
A ^f B = f (A B )
A _f B = 1 ; f (1 ; A 1 ; B )
A !f B = maxfC j f (A C ) B g
:f A
= A !f 0
A $f B = (A !f B ) ^f (B !f A)
Die geforderte Linksstetigkeit sichert die Existenz eines Maximums fur jede
Menge fC j f (A C ) B g.
83
Eine Formel H der Logik Ff heit eine Tautologie, wenn die ihr zugeordnete
Funktion konstant den Wert 1 hat.
Lemma 20 Sei f eine linksstetige t-Norm, dann gilt
1. A !f B = 1 gdw A B
2. f (A B ) = 1 gdw A = B = 1
3. A $f B = 1 gdw A = B
Beweis:
(1)
Nach Denition folgt aus der linken Seite maxfC j f (A C ) B g =
1, also insbesondere f (A 1) B . Da f eine t-Norm ist gilt f (A 1) = A und
damit A B . Gilt umgekehrt A B , so folgt aus der Monotonie von f
auch f (A 1) f (B 1) = B und damit maxfC j f (A C ) B g = 1.
(2)
f (1 1) = 1 ist oensichtlich. Gelte also f (A B ) = 1. Aus A 1
folgt 1 = f (A B ) f (1 B ) = B 1, also B = 1. Dual zeigt man A = 1.
(3)
Nach Denition von $f gilt A $f B = 1 genau dann, wenn f (A !f
B B !f A) = 1. Das ist nach (2) gleichbedeutend mit A !f B = B !f
A = 1. Mit Hilfe von (1) folgt daraus A B A.
Lemma 21 Fur jede linksstetige t-Norm f sind die folgenden Formeln Tautologien:
1. (A !f B ) !f ((A ^f C ) !f (B ^f C ))
2. (A !f B ) !f ((C !f A) !f (C !f B ))
3. (A !f B ) !f ((B !f C ) !f (A !f C ))
Beweis:
Nach Lemma 20 und der Denition von ^f mussen wir
maxfD j f (A D) B g maxfD j f (f (A C ) D) f (B C )g
zeigen. Dazu genugt es nachzuweisen, da fur jedes D mit f (A D) B
auch f (f (A C ) D) f (B C ) gilt. Aber das ist wegen der Monotonie
und Assoziativitat von f oensichtlich. Der Leser beweise (2) und (3) als
U bungsaufgabe.
(1)
84
Lemma 22 Fur jede linksstetige t-Norm f sind die beiden folgenden Formeln Tautologien:
1. A !f :f :f A
2. :f A !f :f :f :f A
Beweis:
2.5.3 U bungsaufgaben
U bungsaufgabe 2.5.1 Zeigen Sie, da
in jeder L ukasiewicz Logik LLn ukas
die Operatoren _,^ und durch die verbleibenden :, ) deniert werden
konnen.
Zeigen Sie, da
auch f: tg eine funktionale Basis fur die L ukasiewicz Logik
ist.
U bungsaufgabe 2.5.2 Beweisen Sie Lemma 18 fur den Spezialfall k = 2.
U bungsaufgabe 2.5.3 In Urquhart, 1986] wird als Menge der Wahrheitswerte fur die n-wertige L ukasiewicz die Menge Wnu = f0 1 : : : n ; 1g N
benutzt. Au
erdem ist 0 der hochste und damit einzige ausgezeichnete Wahrheitswert. Die folgende Abbildung stellt eine ordnungserhaltende Isomorphie
: Wnu ! Wn her:
(k) = n;n;1;1 k
;1(k) = n ; 1 ; k (n ; 1)
Das Analogon der Implikation ) in LLn ukas in Urquarts Darstellung bezeich
nen wir mit )u. Entsprechend das Analogon der Aquivalenx
mit u.
Wobei gilt
p )u q = ;1 ((p) ) (q))
p u q = ;1 ((p) (q))
Berechnen Sie p )u q und p u q .
85
2.6 Reduktion auf zweiwertige Logik
Als letzten Punkt in diesem Abschnitt wollen wir eine Methode angeben, die
es erlaubt L3-Formeln auf zweiwertige Formeln zu reduzieren. Als Vorbereitung benotigen wir den Begri der starken Negationsnormalform.
De
nition 22 Eine L3-Formel A hei
t eine starke Negationsnormalform, wenn in A das starke Negationszeichen : hochstens vor atomaren
Formeln vorkommt.
Das schwache Negationszeichen unterliegt keiner Einschrankung.
Lemma 23 Zu jeder L3-Formel A gibt es eine L3-Formel Asnf in Negations-
normalform, so da
A und Asnf dieselbe dreiwertige Funktion reprasentieren.
Beweis: Die gesuchte Formel Asnf wird induktiv durch die folgenden Regeln
aufgebaut:
Asnf
(:A)snf
(::A)snf
(: A)snf
(:(A ^ B ))snf
(:(A _ B ))snf
(:(9xA))snf
(:(8xA))snf
(A ^ B )snf
(A _ B )snf
(9xA)snf
(8xA)snf
( A)snf
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
A falls A atomar ist
:A falls A atomar ist
Asnf
Asnf
(:A)snf _ (:B )snf
(:A)snf ^ (:B )snf
8x(:A)snf
9x(:A)snf
Asnf ^ B snf
Asnf _ B snf
9xAsnf
8xAsnf
Asnf
Der behauptete Zusammenhang zwischen A und Asnf folgt nun unmittelbar
aus Lemma 1.
Die Transformation von L3 -Formeln in zweiwertige L-Formeln ist nur moglich
auf Kosten einer A nderung des Vokabulars, genauer wird namlich eine L3 Formel A uber dem Vokabular V transformiert in eine L-Formel A0 uber
86
einem Vokabular V0. Die Konstanten- und Funktionszeichen sind dieselben
in V und V0. Ist p ein n-stelliges Pradikatszeichen in V so gibt es in V0 statt
dessen zwei n-stellige Pradikatszeichen p+ und p; .
De
nition 23 Ist A eine Formel in Fml3(V ), so wird die Formel A0 in
Fml(V0) erhalten, indem man A zuerst nach den Regeln aus Lemma 23 in
eine schwach aquivalente starke Negationsnormalform Asnf umformt. Anschlie
end ersetzt man in Asnf jede Teilformel der Form :p(t1 : : : tn) durch
p; (t1 : : : tn) und jede nicht stark negiert vorkommende, atomare Teilformel
p(t1 : : : tn) durch p+ (t1 : : : tn).
In A0 kommt das starke Negationszeichen : nicht mehr vor. Identizieren wir das in A0 eventuell vorkommende schwache Negationszeichen mit
dem einzigen Negationszeichen in der zweiwertigen Sprache L, so liegt A0 in
Fml(V0).
Beispiel 10
Fur A = p(x) $ q (x) erhalt man
A0 = (p; (x) _ q+(x)) ^ (p+ (x) _ q;(x))
Um den semantischen Zusammenhang zwischen den Formeln A und A0 genau
zu beschrieben mussen wir etwas weiter ausholen, schlielich ist A eine L3 Formel wahrend A0 eine zweiwertige Formel ist und noch in einem anderen
Vokabular. Auf der rein technischen Ebene besteht die Schwierigkeit darin,
L3-Strukturen M uber V in zweiwertige Strukturen M0 uber dem Vokabular
V0 zu transformieren.
De
nition 24 Die Interpretation der Konstanten- und Funktionszeichen ist
dieselbe in Mund M0.
Ist p ein n-stelliges Pradikatszeichen in V , so setzen wir:
M0 j= p+ (m1 : : : mn) gdw vM(p(m1 : : : mn)) = 1
M0 j= p; (m1 : : : mn) gdw vM(p(m1 : : : mn)) = 0
Lemma 24 Fur jede L3-Struktur M uber V , jede Formel A(x1 : : : xk )
aus Fml3(V ) mit den freien Variablen x1 : : : xk und jedes k-Tupel m1 : : :
: : : mk von Elementen aus M gilt:
vM(A(m1 : : : mk )) = 1 gdw M0 j= A0(m1 : : : mk )
87
Beweis: Man kann zunachst ohne Einbue an Allgemeinheit annehmen, da
A eine starke Negationsnormalform ist. Der Beweis wird dann durch einfache
Induktion uber die Komplexitat von A gefuhrt.
Die Abbildung von L3-Strukturen uber V in L-Strukturen uber V0 ist nicht
surjektiv, d.h. es gibt L-Strukturen N uber dem Vokabular V0, so da fur
keine L3-Struktur M uber V die Gleichheit N = M0 gilt. Den genauen
Sachverhalt beschreibt das folgende Lemma:
Lemma 25 Zu einer zweiwertigen Struktur N uber dem Vokabular V0 gibt
es eine L3-Struktur M uber V mit M0 = N genau dann, wenn fur jedes
n-stellige Pradikatszeichen p 2 V gilt
N j= 8x1 : : : 8xn (p+ (x1 : : : xn ) ^ p; (x1 : : : xn))
Beweis: Einfach.
Satz 26 Sei " eine Menge von Fml3(V )-Formeln und A eine einzelne
Fml3(V )-Formel, sei weiter "0 = fB0 : B 2 "g und T die Menge aller
Formeln der Form
8x1 : : : 8xn (p+ (x1 : : : xn) ^ p; (x1 : : : xn))
fur jedes n und jedes n-stellige Pradikatszeichen p 2 V . Dann gilt:
1. " `3 A gdw "0 T ` A0
2. Insbesondere gilt also:
A ist eine (dreiwertige) Tautologie gdw T ` A0.
Beweis: Gelte zunachst " `3 A. Zu jedem V0-Modell von "0 T gibt es
nach Lemma 25 eine dreiwertige V -Struktur M mit M0 = N . Nach Lemma
24 gilt vM(B ) = 1 fur alle B 2 ", woraus nach Voraussetzung vM(A) = 1
folgt. Lemma 24 liefert jetzt wieder M0 j= A0, i.e. N j= A0. Damit ist
"0 T ` A0 gezeigt.
Gelte jetzt umgekehrt "0 T ` A0. Ist M eine dreiwertige V -Struktur, so
da vM(B ) = 1 fur alle B 2 ", so gilt nach Lemma 24 M0 j= "0. Nach
Voraussetzung haben wir dann auch M0 j= A0, woraus wieder mit Lemma
24 vM(A) = 1 folgt. Insgesamt ist damit " `3 A gezeigt.
88
2.6.1 U bungsaufgaben
U bungsaufgabe 2.6.1 Zeigen Sie, da
zu jeder Fml(V0)-Formel B eine
Fml3(V )-Formel A existiert mit A0 = B .
89
2.7 Abstrakte Konsequenzrelationen
In den vorangegangenen Kapiteln haben wir einige konkret denierte Konsequenzrelationen kennengelernt. Ist z. B. " eine Menge von L
3-Formeln und
' eine L
3-Formel ohne freie Variablen, so war in Denition 4 auf Seite 23 die
Relation " ` ' dadurch deniert, da fur jede L
3-Struktur (M v), in der
alle Formeln aus " den Wahrheitswert 1 haben, auch ' den Wahrheitswert 1
hat. Ein zweites Beispiel wird gegeben durch die aussagenlogischen Formeln
uber einer Operatorenmenge F und einer zugehorigen F -Algebra M. Ist "
eine Menge aussagenlogischer Formeln, A eine aussagenlogische Formel, so
ist A eine M-Konsequenz aus ", in Zeichen " `M A, falls fur jede Belegung
v der Aussagenvariablen mit Wahrheitswerten (=Elementen des Universums
von M), so da fur alle B 2 " v(B ) ein designierter Wahrheitswert ist, auch
v(A) ein designierter Wahrheitswert ist.
Die Vielzahl der betrachteten nichtklassischen Logiken mit den jeweiligen
Konsequenzrelationen hat dazu gefuhrt, den Begri einer Konsequenzrelation
axiomatisch zu fassen, Tarski, 1930], Tarski, 1935]. Siehe auch Gabbay,
1994].
Sei ALF (falls erforderlich schreiben wir genauer ALF(F )) die Menge aller
aussagenlogischen Formeln uber der Operatorenmenge F . Eine zweistellige
Relation ` zwischen Teilmengen " von ALF und Elementen A aus ALF,
" ` A, heit eine Konsequenzrelation (manchmal sagen wir zur Betonung des axiomatischen Zugangs auch abstrakte Konsequenzrelation), falls
die folgenden Axiome erfullt sind:
Axiom I: Fur jedes A 2 " gilt " ` A.
Axiom II: Gilt "0 ` A und "0 "1, dann gilt auch "1 ` A. (Monotonie)
Axiom III: Gilt % ` A, und fur jedes B 2 % gilt auch " ` B , dann gilt
" ` A.
Eine Konsequenzrelation ` besitzt die Endlichkeitseigenschaft, falls gilt
Axiom IV: Wenn " ` A, dann gibt es eine endliche Teilmenge "0 " mit
"0 ` A.
90
Ist A eine aussagenlogische Formel und s eine Abbildung, die jeder Aussagenvariablen p eine aussagenlogische Formel zuordnet, so wird mit s(A) das
Ergebnis bezeichnet, das entsteht, wenn jede Aussagenvariable p in A durch
s(p) ersetzt wird.
Eine Konsequenzrelation ` heit strukturell, wenn gilt
Axiom V: Gilt " ` A, dann gilt fur jede Substitution s auch s(") ` s(A).
(Hierbei steht naturlich s(") fur die Menge fs(B ) : B 2 "g.)
Gilt fur alle A 2 ALF die Beziehung " ` A, dann heit " widerspruchlich.
Eine Konsequenzrelation ` heit uniform, falls gilt:
fB g sei als nicht widerspruchlich vorausgesetzt, und
B habe keine Aussagenvariable mit " oder A gemeinsam,
dann folgt aus
" fB g ` A
auch
" ` A:
Lemma 27 Sei Meine endliche F -Algebra, dann ist `M eine uniforme,
strukturelle Konsequenzrelation mit Endlichkeitseigenschaft.
Beweis:
Einzig die Endlichkeitseigenschaft ist nicht trivial. Sei das Universum von
Mdie Menge f0 : : : r ; 1g. Gelte " `M A, aber fur alle endlichen Teilmengen "0 " gelte nicht "0 `M A. Sei P = fp1 p2 : : : g die Menge aller
Aussagenvariablen in " fAg. Wir nennen eine Belegung w : P ! M ein
Modell fur "0 f:Ag, falls fur alle B 2 "0 w(B ) ein designierter Wahrheitswert von Mist, w(A) aber nicht. Wir wollen schrittweise, durch Induktion
nach n, eine Belegung w : fp1 : : : pn g ! M konstruieren, so da fur jede endliche Teilmenge "0 " ein Modell v von "0 f:Ag existiert mit
v(p1) = w(p1) : : : v(pn) = w(pn ).
Wir fuhren den Induktionsschritt von n nach n + 1 im Detail vor.
Der Induktionsanfang wird durch eine einfache Modikation dieses Arguments bewiesen.
91
Sei Vn die Menge aller Belegungen v, so da
v(p1) = w(p1) : : : v(pn) = w(pn ):
Falls fur ein j 0 < j < r, fur jede endliche Teilmenge "0 " ein Modell v
von "0 f:Ag aus Vn existiert mit v(pn+1 ) = j , dann setzen wir w(pn+1 ) = j
und sind fertig. Ist das nicht der Fall, so gibt es fur jedes j 0 < j < r, eine
endliche Teilmenge "j von ", so da fur jedes Modell v von "j f:Ag aus
Vn gelten mu v(pn+1) 6= j .
Wir setzen w(pn+1 ) = 0 und mussen noch nachweisen, da damit die
gewunschte Eigenschaft erfullt ist. Sei also "0 eine endliche Teilmenge von
". Dann ist % = "0 "1 : : : "r;1 ebenfalls eine endliche Teilmenge von
", die nach Induktionsvoraussetzung ein Modell v 2 Vn besitzt. Nach Wahl
von "j 0 < j < r, mu dann v(pn+1) = 0 = w(pn+1 ) gelten. Damit ist die
Konstruktion von w abgeschlossen.
Fur jede Formel B aus " ist w(B ) ein designierter Wahrheitswert. Das sieht
man wie folgt ein: Sei pn die Aussagenvariable mit dem groten Index in B .
Nach Konstruktion gibt es ein Modell v 2 Vn fur fB :Ag. Da v(B ) = w(B )
ist, folgt die Behauptung. Ebenso zeigt man, da w(A) kein designierter
Wahrheitswert ist. Das steht im Widerspruch zu " ` A.
Satz 28 Sei ` eine strukturelle Konsequenzrelation mit Endlichkeitseigenschaft.
Es gibt eine F -Algebra Mmit `=`M
gdw.
` ist uniform.
Beweis: Dieses Resultat wurde zuerst in J. Los, 1958] bewiesen. Einen
Beweis ndet man z.B. auch in Urquhart, 1986] auf den Seiten 78.
2.7.1 U bungsaufgaben
U bungsaufgabe 2.7.1 Sei ` eine Konsequenzrelation.
Deniere `e durch:
" `e A gdw. es gibt eine endliche Teilmenge "0 " mit "0 ` A:
92
Zeigen Sie
1. `e ist eine Konsequenzrelation mit der Endlichkeitseigenschaft.
2. Fur alle endlichen Mengen " gilt:
"`A
gdw.
" `e A .
3. Ist ` strukturell (uniform), dann auch `e .
U bungsaufgabe 2.7.2 Zeigen Sie, da
Axiom II aus Axiom I und Axiom
III folgt.
93
Kapitel 3
Modale Logiken
94
Die modale Logik beschaftigt sich nicht nur mit der Wahrheit oder der
Falschheit einer Aussage sondern auch mit den Modalitaten des Wahr- bzw.
Falschseins. Wir betrachten in diesem Kapitel Logiksysteme, die hervorgegangen sind aus dem Studium der Aussagen, die notwendigerweise, bzw.
moglicherweise wahr sind. Die Philosophen nennen diese Modalitaten alethisch im Unterschied zu den epistemischen oder deontischen Modalitaten,
bei denen nach der Art der Zuordnung eines Wahrheitswertes oder nach der
Einordnung in ein Normensystem des Erlaubten und Verbotenen dierenziert wird. Philosophische Beitrage zur modalen Logik sind schon aus dem
Mittelalter, sogar aus der Antike bekannt, mit der unausweichlichen Referenz
auf Aristoteles. Als Beginn einer formalen Behandlung der Modallogik wird
allgemein die Arbeit von C. I. Lewis angesehen, Lewis, 1918]. In den letzten
zehn, funfzehn Jahren ist die Modallogik verstarkt ins Blickfeld der Informatik geraten, angeregt zum Teil durch Fragestellungen aus der Kunstlichen
Intelligenz aber auch durch einen breiteren Trend zu formal-logischen Methoden.
Konnten die Autoren Hughes und Cresswell 1968 in ihrem Buch, Hughes &
Cresswell, 1972], noch behaupten ein Bild der gesamten Modallogik zu dieser Zeit zu geben, so ist heute ein U berblick, der einigermaen Anspruch auf
Vollstandigkeit erheben konnte, schlichtweg unmoglich. Die folgende Liste
enthalt ausgewahlte Monographien und U bersichtsartikel, die nicht einem
speziellen Thema innerhalb der Modallogik gewidmet sind und keine besonderen Vorkenntnisse voraussetzen.
Melvin Fittings Kapitel im Handbook of Logic in Articial Intelligence
and Logic Programming, Volume 1, Fitting, 1993],
Part One in den CSLI Lecture Notes von Robert Goldblatt, Goldblatt,
1987],
das Kapitel von Colin Stirling im zweiten Band des Handbook of Logic
in Computer Science, Sterling, 1992],
die Kapitel uber modale Aussagenlogik von Robert Bull und Krister Segerberg und uber modale Quantorenlogik von James Garson in Band II
des Handbook of Philosophical Logic, Bull & Segerberg, 1984], Garson, 1984],
95
die Fortsetzung ihres 68-er Buches von Hughes and Cresswell, Hughes
& Cresswell, 1984],
das Kapitel von Peter Steinacker in der Einfuhrung in die Nichtklassische Logik des Akademie-Verlags, Berlin, Steinacker, 1990]
3.1 Einfuhrung in die modale Aussagenlogik
Der folgende Text bietet auf zwei verschiedenen Wegen einen Einstieg in die
Modallogik. Der erste Zugang fuhrt uber eine axiomatische Begrundung des
logischen Schlieens mit dem Modaloperator "die Person A wei, da die Aussage wahr ist\. Die zweite Moglichkeit beginnt
mit der Semantik modaler
Logiken. Motiviert durch eine Abstraktion von dem wohlbekannten Begri
der Transitionssysteme gelangt man zu Strukturen, in denen modallogische
Formeln interpretiert werden, den sogenannten Kripke-Strukturen.
3.1.1 Eine Logik des Wissens
Das folgende Puzzle ist in vielen Varianten weit verbreitet:
Drei Weisen werden Hute aufgesetzt, jedem genau einen. Die
Hute sind entweder wei oder schwarz, und jedem ist bekannt,
da mindestens ein schwarzer Hut mit dabei ist. Jeder Beteiligte
sieht, welche Hute die anderen beiden aufsitzen haben und soll
erschlieen, welchen Hut er aufsitzen hat, naturlich ohne in einen
Spiegel zu schauen, den Hut abzunehmen oder ahnliches. Nach
einer Weile sagt einer der Weisen: "Ich wei nicht, welchen Hut
ich aufhabe.\ Nach einer weiteren Pause des Nachdenkens sagt ein
zweiter: "Ich wei auch nicht, welchen Hut ich aufhabe.\ "Dann\,
sagt der Dritte, "wei ich, da ich einen schwarzen Hut aufhabe.\
Bevor wir mit der Formalisierung beginnen, wollen wir die Losung verraten.
Wir versetzen uns in die Lage des dritten Weisen, des weisesten Weisen.
Er uberlegt sich, nachdem sein erster Kollege zugegeben hat, da er nicht
wei, welchen Hut er tragt, da in diesem Fall er und sein zweiter Kollege
nicht beide weie Hute aufhaben konnen, denn sonst wute der erste, da er
96
den dann einzigen schwarzen Hut tragt. Der dritte Weise ist sich auerdem
daruber im Klaren, da sein zweiter Kollege dieselbe Schlufolgerung anstellt.
Als dieser jedoch auch erklart, er wisse nicht, welchen Hut er aufhabe, wei
der dritte, da er keinen weien Hut aufsitzen hat.
Die Losung macht deutlich, da wesentlich logische Schlusse benutzt werden
uber das Wissen der Beteiligten. Wichtig ist nicht nur die Tatsache, da der
zweite oder der dritte Weise einen schwarzen Hut aufhaben mu, sondern
auch, da der zweite das wei und sogar, da der dritte wei, da der zweite
diese Tatsache kennt.
Die Formalisierung des Puzzles geschieht vollig im Rahmen der Aussagenlogik. Die auftretenden Aussagenvariablen sollen die folgenden intuitiven
Bedeutungen haben:
Si der i-te Weise hat einen schwarzen Hut auf
Wi der i-te Weise hat einen weien Hut auf
jeweils fur i 2 f1 2 3g.
Wir benutzen die Formel 2i A um auszudrucken, da der i-te Weise wei,
da die Formel A wahr ist.
Welche logischen Schluregeln sind wir bereit in einem formalen Beweis zu
akzeptieren? Naturlich wollen wir auf die bekannten aussagenlogischen Tautologien und die vertraute modus ponens Regel nicht verzichten, wobei in
beiden Fallen auch modallogische Instanzen mit eingeschlossen sind. Die
Formel 21 A _ :21 A ist also eine Tautologie, uber die Allgemeingultigkeit
der Formel 21 A _ 21(:A) ist dagegen noch nichts ausgesagt. Den Akteuren in unserem Puzzle sind nicht alle Fakten der sie umgebenden Szenerie
bekannt, wir konnen aber annehmen, da sie alle allgemeingultigen Fakten
kennen. Das sind insbesondere alle Tautologien, aber in der vorliegenden Situation auch alle bekanntgemachten Spielregeln, wie z.B., da es nur schwarze
und weie Hute gibt und mindestens einen schwarzen. In der nachfolgenden
formalen Argumentation erlauben wir daher die Anwendung der Schluregel
(Generalisierungsregel)
A
(G)
2A
Wir benutzen die Regel (G) fur jede Instanziierung des Modaloperators 2
durch einen der Operatoren 2i. Wenn ich wei, da heute Samstag ist und ich
auerdem wei, da es jeden Samstag frische Brotchen zum Fruhstuck gibt,
97
dann wei ich naturlich auch, da es heute frische Brotchen zum Fruhstuck
gibt. In einem formalen Beweis wollen wir deshalb auch Instanzen des folgenden Schemas als Axiome zulassen:
(2A ^ 2(A ! B )) ! 2B
(K)
Man beachte, da dieses Axiomenschema aussagenlogisch aquivalent ist zu
2(A ! B ) ! (2A ! 2B )
(K)
Aus den bisher zugestandenen logischen Axiomen und Schluregeln folgen
abgeleitete Regeln und weitere Axiome, z.B.
A!B
(I)
2A ! 2B
A$B
(E)
2A $ 2B
Das ist leicht einzusehen: Aus der Pramisse A $ B folgt mit der Regel
(G) 2(A $ B ). Mit Axiom (K) und modus ponens folgt die gewunschte
Folgerung der abgeleiteten Regel.
Besonders hilfreich wird fur uns das folgende abgeleitete modallogische Axiomenschema sein:
2A ^ 2B $ 2(A ^ B )
(M)
Die logische Herleitung von (M) beginnt mit dem aussagenlogischen Axiom
(A ^ B ) ! A, Regel (I) liefert 2(A ^ B ) ! 2A. Analog erhalt man 2(A ^
B ) ! 2B . Aus beiden Formeln folgt allein mit aussagenlogischen Mitteln
bereits eine Implikation von (M), namlich
2(A ^ B ) ! (2A ^ 2B )
Zum Beweis der umgekehrten Implikation betrachten wir zunachst die Instanz 2(B ! (A ! (A ^ B ))) ! (2B ! 2(A ! (A ^ B )) von Axiom (K).
Da die erste Pramisse 2(B ! (A ! (A ^ B ))) aus der aussagenlogischen
Tautologie B ! (A ! (A ^ B )) mit der Regel (G) ableitbar ist erhalten wir
mit modus ponens
2B ! 2(A ! (A ^ B ))
Die Formel 2(A ! (A ^ B )) ! (2A ! 2(A ^ B )) ist ebenfalls eine Instanz
des Axioms (K). Unter Ausnutzung der Transitivitat der Implikation erhalten wir aus den letzten beiden Formel auch 2B ! (2A ! 2(A ^ B )) als
98
ableitbare Formel und die ist aussagenlogisch aquivalent zu
2A ^ 2B ! 2(A ^ B )
Wie schon fur die Regel (G) ist auch in der Benutzung der Axiomenschemata
(K) und (M) der Operator 2 durch ein 2i zu ersetzen. Das sind auch schon
alle logischen Axiome und Regeln, die wir benutzen werden. Dazu kommen
naturlich noch die Fakten der Ausgangssituation, z.B. S1 _ S2 _ S3, aber
auch S1 ! (22S1 ^ 23S1), denn wenn der 1-te Weise einen schwarzen Hut
aufhat, dann sehen das die anderen beiden und dann wissen sie auch dieses
Faktum. Mehr noch: wenn S1 gilt, dann wei auch der 3-te Weise, da der
zweite das wei. Wir haben also als ein Faktum S1 ! 2322S1. Schlielich
kommen noch zwei wichtige Fakten hinzu, namlich die Aussagen der ersten
beiden Weisen. Das Eingestandnis ihres Nichtwissens vergroert das Wissen
des dritten.
:21S1
(B1)
:22S2
(B2)
Es gilt naturlich auch :21W1 und :22W2, aber die folgende Argumentation
macht von diesen Fakten keinen direkten Gebrauch. Wir werden in der folgenden formalen Herleitung von Fakten dieser Art freien Gebrauch machen.
W3 ^ W2 ! S1
(3.1)
21(W3 ^ W2 ! S1)
(3.2)
21(W3 ^ W2 ! S1) ^ :21 (S1) ! :21(W3 ^ W2)
(3.3)
Faktum
aus 3.1 mit (G)
aus (K) und Aussagenlogik
:21(W3 ^ W2)
(3.4)
W2 ! 21W2
(3.5)
aus 3.2, 3.3 und B1 mit (MP)
99
Faktum
22(W2 ! 21W2)
(3.6)
W3 ! 2221W3
(3.7)
aus 3.5 mit (G)
Faktum
W3 ! (2221(W3) ^ 22(W2 ! 21W2))
aus 3.6, 3.7 und Aussagenlogik
W3 ! 22(21(W3) ^ (W2 ! 21W2))
aus 3.8, (M) und AL
W3 ! 22(W2 ! (21(W2) ^ 21W3))
aus 3.9 mit AL
W3 ! 22(W2 ! 21(W2 ^ W3))
aus 3.10, (M) und AL
22(:21(W3 ^ W2))
aus 3.4 mit (G)
W3 ! 22(W2 ! 21(W2 ^ W3)) ^ 22(:21(W2 ^ W3)))
aus 3.11, 3.12 und AL
W3 ! 22(W2 ! 21(W2 ^ W3) ^ :21(W2 ^ W3))
aus 3.13, (M) und AL
W3 ! 22(:W2)
aus 3.14, (E) und AL
W3 ! 22S2
100
(3.8)
(3.9)
(3.10)
(3.11)
(3.12)
(3.13)
(3.14)
(3.15)
(3.16)
aus 3.15, (M) , Fakten und AL
:W3
(3.17)
aus 3.16 und B2
S3
(3.18)
aus 3.17 dem Faktum :W3 ! S3 und MP
23 S3
(3.19)
aus 3.18 mit Regel (G).
Wir fassen die im vorangegangenen Beispiel implizit eingefuhrten Begrie
zusammen.
De
nition 25 Die Menge, FmlALmod, der Formeln der modalen Aussagenlogik ist die kleinste Menge mit den nachfolgenden Eigenschaften:
1. jede aussagenlogische Variable ist ein Element von FmlALmod .
2. fur F1 F2 2 FmlALmod liegen auch F1 ^ F2, F1 _ F2, F1 ! F2 und :F1
in FmlALmod.
3. fur F 2 FmlALmod gilt auch 2F 2 FmlALmod und 3F 2 FmlALmod .
Eine Formel 2A wird dabei gelesen als "Box A\ , "notwendigerweise A
\oder "A ist notwendig \. Die Formel 3A liest man als "Diamant A\
"moglicherweise A\oder "A ist moglich \.
Eine Eigenheit der modalen Logik ist die Vielzahl der verschiedenen Logiksysteme, siehe Abbildung 3.2. Wir werden einige davon genauer kennenlernen,
einige nur erwahnen. Das einfachste Logiksystem, genannt K, haben wir
schon gesehen. Es ist in Abbildung 3.1 noch einmal zusammengefasst.
De
nition 26
Jedes modallogische System S induziert eine Ableitbarkeitsrelation, die wir
mit `S bezeichnen. Wie ublich gilt dabei die Relation " `S A fur eine Formelmenge " FmlALmod und eine Formel A 2 FmlALmod, wenn es einen
Beweis fur A gibt, der nur die Formeln aus " und die Axiome und Schlu
regeln von S benutzt.
101
Axiomenschemata alle AL-Tautologien
2(A ! B ) ! (2A ! 2B )
A,A!B
(MP)
B
A
(G)
2A
Abbildung 3.1: Das System K
Regeln
T
S4
B
S5
D
S4.2
S4.3
C
(K)
K
T
T
T
K
S4
S4
K
plus
plus
plus
plus
plus
plus
plus
aber
2(A) ! A
2(A) ! 22A
:A ! 2:2A
:2(A) ! 2:2A
2(A) ! 3A
32(A) ! 23A
2(2(A ! B )) _ 2(2(B ! A))
A!B
2(A ! B ) anstelle von (G).
Abbildung 3.2: Einige modallogische Systeme
102
11
10
01
00
Abbildung 3.3: Beispiel eines Transitionssystems
3.1.2 Kripke Strukturen
Den zweiten Einstieg in die modale Logik beginnen wir mit dem wohlbekannten Konzept der Transitionssysteme oder endlichen Automaten. Ein Beispiel
dafur ist in Abbildung 3.3 zusehen.
Es besteht aus Zustanden und U bergangen (Transitionen) zwischen diesen. In den verschiedenen Auspragungen des Begris eines Transitionssystems werden unterschiedliche Einschrankungen an die Menge der moglichen
Zustande und ihre Reprasentation gestellt. In der Theorie der erweiterten
endlichen Automaten sind sogar unendlich viele Zustande zugelassen. In unserem Beispiel gibt es vier Zustande, deren Bezeichnung keine groe Rolle
spielt. Auerdem gibt es zwei aussagenlogische Variablen s und r und in
jedem Zustand sind die Wahrheitswerte von s und r wie in der Abbildung
ange in einem Transitiangegeben festgelegt. In der Regel sind die Uberg
onssystem, also die Kanten in der zugehorigen Diagrammdarstellung, durch
zusatzliche Symbole markiert. Fur unsere augenblicklichen Zwecke konnen
wir davon abstrahieren. Das angegebene Beispiel beschreibt den Senderautomaten in einem "alternating bit protocol\ und der interessierte Leser kann
die Kantenmarkierungen
auf Seite 75 in Holzmann, 1991] nachlesen.
Wir mochten eine Sprache entwickeln, die es erlaubt Eigenschaften von Tran103
sitionssystemen zu formulieren mit dem Ziel spater auch Methoden zum
Nachweis dieser Eigenschaften in einem vorgegebenen System zu entwickeln
oder mit dem Ziel eine Logik zu nden, die es erlaubt aus bereits verizierten Aussagen weitere gultige Aussagen herzuleiten. Dabei mochten wir
in dem Beispiel aus Abbildung 3.3 ausdrucken konnen, da in jedem Nachfolgezustand eines Zustands, in dem s und r beide wahr sind, jedenfalls s
falsch ist. Dasselbe bleibt richtig, wenn wir zwei Transitionen hintereinander
ausfuhren, wird aber falsch bei drei hintereinander ausgefuhren Transitionen.
Eine duale Aussage gilt, wenn wir in einem Zustand beginnen, in dem s und
r beide falsch sind. Aufgrund der Anwesenheit der aussagenlogischen Variablen s und r sollte die gewunschte Reprasentationssprache auf jeden Fall die
Aussagenlogik mit umfassen. Zusatzlich fuhren wir ein Sprachkonstrukt ein,
das es erlaubt, die Gultigkeit von Formeln nach Ausfuhrung einer Transition
auszudrucken. Genauer soll die Formel 2F in einem Zustand z1 wahr sein,
wenn in allen Zustanden z, die von z1 aus in einem Transitionsschritt erreicht
werden konnen, die Formel F wahr ist. Die oben erwahnten Aussagen lassen
sich jetzt formal aufschreiben als:
(s ^ r )
(s ^ r )
(s ^ r )
(:s ^ :r)
(:s ^ :r)
(:s ^ :r)
!
!
!
!
!
!
2:s
22:s
222:s
2s
22s
222s
Diese Uberlegungen
fuhren zu den folgenden grundlegenden Denitionen der
Modallogik. Die Motivation uber Transitionssysteme entspricht nicht der historischen Entwicklung dieser Denitionen, weist dafur aber bereits die Richtung fur mogliche Anwendungen. In der historischen Perspektive spielte die
Modellierung der Redewendung "Aussage F ist notwendigerweise wahr\ eine wichtige Rolle. Der Vorschlag sie zu ersetzen durch "F ist wahr in allen
moglichen Welten\ geht auf Leibniz zuruck.
De
nition 27 (Kripke Rahmen)
Ein Kripke Rahmen (G R) besteht aus einer beliebigen nicht leeren Menge
G und einer zweistelligen Relation R auf G.
Die Elemente von G hei
en mogliche Welten, die Relation R die Zu-
ganglichkeitsrelation.
104
De
nition 28 (Aussagenlogische Kripke Strukturen)
Eine aussagenlogische Kripke Struktur K = (G R v ) besteht aus einem
Kripke Rahmen (G R) und einer Abbildung v : G P ! f0 1g, die jeder
aussagenlogischen Variablen p 2 P in Abhangigkeit von einer moglichen Welt
g 2 G einen Wahrheitswert v(g p) zuordnet.
Kripke Strukturen liefern eine Semantik fur die modallogischen Formeln aus
FmlALmod. In Analogie zur Wahrheitsdenition fur die Pradikatenlogik denieren wir die Gultigkeit von modallogischen Formeln in Kripke Strukturen. Die Situation ist hier ein bichen komplizierter, da wir zwischen
der Gultigkeit in einer gegebenen Welt innerhalb einer Struktur und der
Gultigkeit in der Struktur als ganzes unterscheiden mussen.
De
nition 29 Sei K= (G R v) eine Kripke Struktur, g eine Welt in G
und F 2 FmlALmod. Die Relation (K g ) j= F , gelesen als " F ist wahr
(oder gultig) in der Welt g der Kripke Struktur K\, wird induktiv wie folgt
deniert.
Zur Vereinfachung der Notation schreiben wir g j= F anstelle von (K g) j= F
1
2
3
4
5
6
7
g j= p
g j= F ^ H
g j= F _ H
g j= F ! H
g j= :F
g j= 2F
g j= 3F
gdw
gdw
gdw
gdw
gdw
gdw
gdw
v(g p) = 1 fur p 2 P
g j= F und g j= H
g j= F oder g j= H
(nicht g j= F ) oder g j= H
nicht g j= F
fur alle h mit R(g h) gilt h j= F
es gibt ein h mit R(g h) so da
h j= F
Die ersten funf Zeilen dieser Denition wiederholen die Berechnung von
Wahrheitswerten fur aussagenlogische Formeln, wichtig und neu sind die Zeilen 6 und 7.
De
nition 30 Sei K= (G R v) eine Kripke Struktur, F 2 FmlALmod. Wir
sagen, F ist wahr (oder gultig) in K, in Symbolen K j= F , falls F in allen
Welten von Kwahr ist, d.h. falls (K g ) j= F gilt fur alle g 2 G.
Beispiel 11 Ist K1 die durch das Transitionssystem in Abbildung 3.3 ein-
deutig bestimmte Kripke Struktur, dann gilt:
105
K1 j= (s ^ r) ! 2:s
K1 j= (s ^ r) ! 22:s
K1 6j= (s ^ r) ! 222:s
K1 j= (:s ^ :r) ! 2s
K1 j= (:s ^ :r) ! 22s
K1 6j= (:s ^ :r) ! 222s
Bei der Denition einer modallogischen Konsequenzrelation ergibt sich diesselbe Notwendigkeit wie im Fall der Wahrheitsdenition zwischen einer lokalen Version, d.h. einer auf eine xierte Welt bezogenen Version und einer
globalen Version zu unterscheiden.
De
nition 31 (Lokale modallogische Konsequenz)
Sei " FmlALmod und F 2 FmlALmod .
" `L F
gilt genau dann, wenn fur jede Kripke Struktur K = (G R v) und jede Welt
g 2 G gilt:
falls g j= " , dann g j= F
Typischerweise wird eine modallogische Konsequenzrelation durch einen weiteren Parameter eingeschrankt sein. Die genannte Forderung wird nicht fur
jede Kripke Struktur verlangt, sondern nur fur solche, die in einer bestimmten
Klasse T von Kripke Strukturen liegen. T konnte z.B. aus allen Kripke Strukturen bestehen, deren Zuganglichkeitsrelation reexiv ist. Falls eine solche
Einschrankung nicht aus dem Zusammenhang heraus deutlich ist, schreiben
wir `TL anstelle von `L .
De
nition 32 (Globale modallogische Konsequenz)
Sei " FmlALmod und F 2 FmlALmod .
" `G F
gilt genau dann, wenn fur jede Kripke Struktur K = (G R v):
falls fur jede Welt g 2 G gilt g j= "
dann
gilt auch fur jede Welt g 2 G g j= F
Falls erforderlich schreiben wir wieder `TG anstelle von `G .
106
De
nition 33 (Tautologien)
Eine Formel F hei
t eine modallogische Tautologie oder allgemeingultig,
wenn ` F gilt.
Wir haben den Index fur ` weggelassen, da im Fall einer leeren Pramissen-
menge die beiden Konsequenzrelationen zusammenfallen.
Gilt fur eine Klasse T von Kripke Strukturen `T F dann nennen wir F
eine T-Tautologie.
Eine Formelmenge " FmlALmod hei
t erfullbar, wenn es eine Kripke
Stuktur Kund eine Welt g gibt mit (K g ) ` ".
Der Unterschied zwischen der lokalen und der globalen Konsequenzrelation
zeigt sich deutlich in der Gultigkeit des Deduktionstheorems.
Lemma 29 (Deduktionstheorem) Fur A B 2 FmlALmod gilt
B `L A gdw `L B ! A
gdw fB :Ag ist nicht erfullbar
Beweis: Durch Einsetzen der Denitionen sieht man sofort
B `L A gdw fB :Ag ist nicht erfullbar
Rein aussagenlogisch ist die folgende A quivalenz gultig:
B ! A ist allgemeingultig gdw fB :Ag ist nicht erfullbar
Die folgende A quivalenz, die wieder durch Einsetzen der Denitionen einzusehen ist, schliet die Argumentationskette:
B ! A ist allgemeingultig gdw `L B ! A
3.1.3 U bungsaufgaben
U bungsaufgabe 3.1.1 Mit K bezeichnen wir die Klasse aller Kripke Struk-
turen ohne Einschrankung an die Zuganglichkeitsrelation.
107
Zeigen Sie, da
2F $ :3:F eine K-Tautologie ist.
Zeigen, da
auch die folgenden Formeln K-Tautologien sind.
1. 2(P ! Q) ! (2P ! 2Q)
2. 2(P ^ Q) $ (2P ^ 2Q)
3. 3(P _ Q) $ (3P _ 3Q)
4. (2P _ 2Q) ! 2(P _ Q)
5. 3(P ^ Q) ! (3P ^ 3Q)
U bungsaufgabe 3.1.2 Mit S5 bezeicht man die Klasse aller Kripke Struk-
turen, deren Zuganglichkeitsrelation eine Aquivalenzrelation
ist.
Geben Sie Kripke Strukturen an, die zeigen, da
die folgenden Formeln nicht
einmal S5-Tautologien sind.
1. 2(P _ Q) ! (2P _ 2Q)
2. (3P ^ 3Q) ! 3(P ^ Q)
U bungsaufgabe 3.1.3 Mit T bezeicht man die Klasse aller Kripke Strukturen, mit reexiver Zuganglichkeitsrelation, mit S4 die Klasse mit reexiv-
transitivem R.
Aussagenlogische Formeln der Form M1 : : :Mk p , wobei jedes Mi einer der
Operatoren 2 oder 3 und p eine Aussagenvariabe ist, hei
en modale Literale.
Zeigen Sie:
1. Die folgenden Beziehungen zwischen modalen Literalen sind T-Tautologien:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
2p ! p
p ! 3p
22p ! 2p
23p ! 3p
2p ! 32p
108
(f) 3p ! 33p
2. Die folgenden modalen Formeln sind S4-Tautologien:
(a) 22p $ 2p
(b) 33p $ 3p
3. S5-Tautologien:
(a) 32p $ 2p
(b) 23p $ 3p
U bungsaufgabe 3.1.4 Das Deduktionstheorem gilt nicht fur die globale
Konsequenzrelation. Eine Implikationsrichtung ist aber noch richtig. Welche
ist das? Geben Sie ein Gegenbeispiel fur die Implikationsrichtung, die nicht
mehr wahr ist.
109
3.2 Korrespondenztheorie
Ein interessantes und haug bearbeitetes Teilgebiet der modalen Logik ist die
Korrespondenztheorie. Sie versucht Antworten zu nden auf die Frage nach
Zusammenhangen zwischen Eigenschaften eines Rahmens (G R) und Formeln der modalen Aussagenlogik, die in allen Kripke Strukturen mit diesem
Rahmen gelten. Wir beginnen mit einem einfachen Beispiel.
Lemma 30
Eine Rahmen (G R) ist reexiv genau dann, wenn in allen Kripke Strukturen
K = (G R v) die Formel 2p ! p gultig ist.
Dabei heit ein Rahmen (G R) reexiv, wenn die zugehorige binare Relation
R reexiv ist, d.h. (G R) j= 8xR(x x) gilt. Der Buchstabe p bezeichnet hier
wie in allen nachfolgenden Formeln eine ausagenlogische Variable.
Beweis:
Wir nehmen zunachst an, da (G R) reexiv ist und betrachten eine beliebige
Funktion v : G P ! f0 1g. Fur jedes g 2 G mussen wir (K g) j= 2p ! p
zeigen. Das ist trivialerweise richtig, falls (K g) 6j= 2p. Gilt aber (K g) j=
2p, so folgt nach Denition fur alle h 2 G mit R(g h) auch (K h) j= p. Da R
reexiv ist gilt insbesondere R(g g) und damit, wie gewunscht, (K g) j= p.
Zum Beweis der umgekehrten Richtung nehmen wir an, da (G R) nicht
reexiv ist, und wir wahlen ein g0 2 G mit :R(g0 g0). Wir denieren eine
Funktion v0 durch
v0(g p) =
1
falls R(g0 g)
0 sonst.
Oensichtlich gilt fur K0 = (G R v0) zunachst (K0 g0) j= 2p, aber auch
(K0 g0) j= :p. Also ist 2p ! p in K0 nicht wahr.
De
nition 34 Sei G eine Klasse von Rahmen und F 2 FmlALmod.
Wir sagen F charakterisiert die Klasse G , falls fur jeden Rahmen (G R)
gilt:
(G R) 2 G
gdw
fur jedes v gilt (G R v) j= F
110
In dieser Terminologie besagt Lemma 30, da die Formel 2p ! p die Klasse
aller reexiven Rahmen charakterisiert. Hier ist ein weiteres Charakterisierungsresultat.
Lemma 31
Die Formel 2p ! 22p charakterisiert die Klasse aller transitiven Rahmen.
Beweis:
Wir nehmen zunachst an, da (G R) transitiv ist und da fur ein beliebiges
v und g 2 G gilt fur K = (G R v) (K g) j= 2p. Wir mussen (K g) j=
22p zeigen. Das bedeutet, wir mussen fur alle Welten g1 g2 mit R(g g1 )
und R(g1 g2) zeigen, da (K g2) j= p gilt. Wegen der Transitivitat von R
gilt auch R(g g2 ), damit liefert die Voraussetzung (K g) j= 2p unmittelbar
(K g2) j= p.
Zum Beweis der umgekehrten Richtung nehmen wir wieder an, da (G R)
nicht transitiv ist, d.h. es gibt g0 g1 g2 2 G mit R(g0 g1), R(g1 g2) und
:R(g0 g2). Wir denieren eine Funktion v0 wie in Lemma 30 durch
v0(g p) =
1
falls R(g0 g)
0 sonst.
Aus dieser Denition folgt fur K0 = (G R v0) unmittelbar (K0 g0) j= 2p. Da
andererseits (K0 g2) j= :p gilt, folgt (K0 g0) 6j= 22p. Zusammengenommen
haben wir gezeigt, da die Formel 2p ! 22p in K0 nicht wahr ist.
Nach diesen Einzelbeispielen mag man isch fragen, ob es nicht allgemeinere Resultate gibt. Aber wie sollten diese aussehen? Was kann man
uberhaupt erwarten? Gefragt wird nach Korrespondenzen zwischen Formeln der modalen Aussagenlogik auf der einen Seite und Klassen von Rahmen auf der anderen Seite. Die modallogischen Formeln sind in der Denition von FmlALmodeindeutig festgelegt, aber welche Klassen von Rahmen
wollen wir betrachten? Sicherlich konnen wir nicht alle zulassen. Selbst
wenn wir uns auf Mengen abzahlbarer Rahmen beschranken, gibt es davon
uberabzahlbar viele, zuviele, um eine Korrespondenz zur abzahlbaren Menge
FmlALmodherstellen zu konnen. In allen bisherigen Einzelresultaten kamen
nur Klassen von Rahmen vor, die durch eine Formel des Pradikatenkalkuls
erster Stufe beschrieben wurden. Genugt das? oder sind das vielleicht schon
zuviele? Genauer formuliert lauten diese Fragen:
111
1
2
3
4
5
6
7
8
9
reexiv
symmetrisch
seriell
transitiv
Euklidisch
schwach funktional
funktional
dicht
schwach zusammenhangend
10 schwach gerichtet
11
8xR(x x)
8x8y(R(x y) ! R(y x))
8x9yR(x y)
8x8y8z(R(x y) ^ R(y z) ! R(x z))
8x8y8z(R(x y) ^ R(x z) ! R(y z))
8x8y8z(R(x y) ^ R(x z) ! y = z)
schwach funktional und 8x9yR(x y)
8x8y(R(x y) ! 9z(R(x z ^ R(z y))
8x8y8z(R(x y) ^ R(x z) ! (R(y z) _
y = z _ R(z y))
8x8y8z((R(x y) ^ R(x z)) ! 9w
(R(y w) ^ R(z w))
8x8y(R(x y) ! 9z(R(x z) ^ R(y z)))
Abbildung 3.4: Einige Eigenschaften fur Rahmen
reexiv
2p ! p
symmetrisch
p ! 23p
seriell
2p ! 3p
transitiv
2p ! 22p
Euklidisch
3p ! 23p
schwach funktional 3p ! 2p
funktional
3p $ 2p
dicht
22p ! 2p
schwach zusammen- 2(p ^ 2(q) ! q) _ 2(q ^ 2(q) ! p)
hangend
10 schwach gerichtet 32p ! 23p
11
32p ! 3p
Abbildung 3.5: Einige Charakterisierungsresultate
1
2
3
4
5
6
7
8
9
112
Gibt es zu jeder Formel des Pradikatenkalkuls erster Stufe eine Formel
F 2 FmlALmod, so da F die durch denierte Klasse von Rahmen
charakterisiert?
Gibt es zu jeder Formel F 2 FmlALmod eine Formel des Pradikatenkalkuls erster Stufe, so da F die durch denierte Klasse von Rahmen
charakterisiert?
Wir stellen die Beantwortung beider Fragen noch etwas zuruck und betrachten zunachst ein allgemeines Korrespondenzresultat. Es betrit modallogische Formeln der Form 3m 2n p ! 2j 3k p fur naturliche Zahlen m, n, j , k,
die auch = 0 sein konnen. Dabei steht
2n p fur 2| :{z: : 2} p
n; mal
Insbesondere 20p fur p. Um die korrespondierende pradikatenlogische Formel
ubersichtlich aufschreiben zu konnen brauchen wir die Abkurzung:
Rn (x y) = 9u1 : : : 9un;1(R(x u1) ^ : : : ^ R(ui ui+1) ^ : : : ^ R(un;1 y)):
1
Fur n = 1 soll
R
(x y) = R(x y) bedeuten und fur n = 0 setzen wir
R0(x y) = x =: y.
De
nition 35
C (m n j k) = 8w18w28w3((Rm (w1 w2) ^ Rj (w1 w3))
! 9w4(Rn (w2 w4) ^ Rk (w3 w4)))
Die Formel C (m n j k) beschreibt eine Art Konuenzeigenschaft, siehe Abbildung 3.6.
Satz 32
Fur jedes Quintuple naturlicher Zahlen m, n, j , k charakterisiert die Formel
3m 2np ! 2j 3k p, die Klasse aller Rahmen, in denen C (m n j k) wahr ist.
Beweis:
Der folgende Beweis benutzt stillschweigend die in U bungsaufgabe 3.2.2 genannten Beziehungen.
Sei zuachst eine Rahmen (G R) gegeben mit (G R) j= C (m n j k). Fur jede Kripke Struktur K = (G R v) und jedes g 2 G, fur das (K g) j= 3m 2np
113
in
Sch
rit
ten
w1
m
e
itt
chr
jS
in
n
w3
in
k
ten
t
i
r
Sch
w2
S
in
ten
n
chr
it
w4
Abbildung 3.6: Visualisierung der Formel C (m n j k)
114
gilt mussen wir (K g) j= 2j 3k p zeigen. Aus (K g) j= 3m 2np folgt die Existenz einer Welt g1 2 G mit (G R) j= Rm (g g1) und (K g1) j= 2n p. Um
(K g) j= 2j 3k p nachzuweisen mussen wir fur eine beliebige Welt g2 2 G
mit (G R) j= Rj (g g2) zeigen, da (K g2) j= 3k p gilt. Wegen der Annahme (G R) j= C (m n j k) gibt es auf jeden Fall einmal eine Welt h 2 G
mit (G R) j= Rn (g1 h) und (G R) j= Rk (g2 h). Wegen (K g1) j= 2np gilt
v(h p) = 1. Zusammen mit Rk (g2 h) folgt daraus (K g2) j= 3k p.
Sei jetzt umgekehrt ein Rahmen (G R) vorgelegt, so da fur jedes v gilt
(G R v) j= 3m 2np ! 2j 3k p. Um C (m n j k) zu zeigen, xieren wir Welten g g1 g2 2 G mit (G R) j= Rm (g g1) und (G R) j= Rj (g g2). Gesucht ist
ein konuentes h 2 G. Dazu denieren wir ein v durch:
v(g p) =
1
falls Rn (g1 g)
0 sonst.
Fur K = (G R v) gilt nach dieser Denition (K g1) j= 2n p also auch
(K g) j= 3m 2n p. Nach Voraussetzung gilt dann auch (K g) j= 2j 3k p und
damit auch (K g2) j= 3k p. Es existiert also also ein h 2 G mit Rk (g2 h) und
v(g2 p) = 1. Nach Denition von v mu dann aber auch Rn (g1 h) gelten.
In Sterling, 1992] und Hughes & Cresswell, 1984] ndet man ahnliche Beweise. Einen Charakterisierungssatz fur eine umfassendere Klasse modallogischer Formeln ndet man in Sahlqvist, 1975].
Wir kehren zur Frage zuruck, ob jede durch eine Formel des Pradikatenkalkuls erster Stufe denierbare Klasse von Rahmen auch durch eine Formel der
modalen Aussagenlogik charakterisiert werden kann. Die Antwort ist negativ. Wir fuhren in einem Fall einen kompletten Beweis vor und erwahnen
danach noch einige ahnlich gelagerte Beispiele. Ein Beweis, da etwas nicht
moglich ist, ist in der Regel aufwendiger zu fuhren, als der Nachweis, da
etwas moglich ist. So brauchen wir auch fur das vorliegende Problem erst
einen Anlauf: wir geben ein Konstruktionsverfahren an, das jeder Kripke
Struktur K eine Kripke Struktur K zuordnet, so da in K und K dieselben Formeln aus FmlALmod gelten. Wenn wir dann eine spezielle Struktur
K1 = (G1 R1 v1) nden konnen, so da (G1 R1 v1) j= 8x:R(x x) aber
(G1 R1 v1) 6j= 8x:R(x x), dann kann die Klasse aller irreexiver Rahmen
nicht durch eine Formel aus FmlALmod charakterisiert werden.
115
De
nition 36 Gegeben sei eine Kripke Struktur K = (G R v). Fur jedes
g 2 G seien g1 g2 zwei neue, verschiedene Welten. Die Kripke Struktur
K = (G R v) wird deniert durch
G
= fgi j g 2 G i 2 f1 2gg
R(gi hj ) gdw R(g h)&i j 2 f1 2g falls g =
6 h
i
j
R (g g ) gdw R(g g)&i =
6 j
v(gi p)
=
v(g p)
Wichtig bei dieser Denition ist, da in keinem Fall R(g1 g1) oder R(g2 g2)
gelten kann. Falls :R(g g), dann gilt uberhaupt keine der vier moglichen
R-Relationen zwischen den Elementen fg1 g2g. Falls R(g g), dann gelten
genau R(g1 g2) und R (g2 g1).
Lemma 33
Fur jede Kripke Struktur K und jede Welt g von K gilt fur jede Formel
F 2 FmlALmod:
1 (K g) j= F gdw (K g1) j= F
2 (K g) j= F gdw (K g2) j= F
3 K j= F
gdw K j= F
Beweis
Wir beweisen 1 und 2 simultan durch Induktion uber den Formelaufbau von
F . Behauptung 3 ist dann eine unmittelbare Konsequenz aus 1 und 2.
Im Induktionsanfang ist F = p fur eine aussagenlogische Variable p und
die beiden Behauptungen folgen unmittelbar aus der Denition von v. Die
Induktionsschritte fur die aussagenlogischen Konnektoren sind einfach. Wir
betrachten hier nur den Fall F = 2F1, der Fall F = 3F1 kann analog
abgehandelt werden. Gelte also (K g) j= 2F1 und wir wollen (K gi) j= 2F1
zeigen. Aus der Annahme folgt
(K h) j= F1 fur alle h 2 G mit R(g h)
Um (K gi) j= 2F1 zu zeigen, mussen wir alle u 2 G betrachten mit
R(gi u). Hier unterscheidet man am besten zwei Falle.
Erster Fall:
u = hj fur ein h 2 G, ein j 2 f1 2g mit g 6= h und
R(g h). Nach Annahme gilt (K h) j= F1 und die Induktionsvoraussetzung
116
8x:R(x x)
Irreexivitat
8x8yR(x y)
Universalitat siehe Fitting, 1993]
9x9yR(x y)
Nichttrivialitat siehe Fitting, 1993]
8x9y(R(x y) ^ R(y y))
siehe van Benthem, 1984]
Abbildung 3.7: Beispiele nicht charakterisierbarer Klassen
liefert daraus (K hj ) j= F1.
Zweiter Fall:
u = gj und R(g g). Nach Annahme gilt dann
(K g) j= F1 und die Induktionsvoraussetzung liefert wieder (K gj ) j= F1.
Man beachte, da im zweiten Fall i 6= j sein muss und es an dieser Stelle
wichtig ist, die Teilaussagen 1 und 2 des Lemmas simultan zu beweisen.
Zum Beweis der umgekehrten Implikationen elte jetzt etwa (K g1) j= 2F1
und wir wollen (K g) j= 2F1 zeigen. (Der Fall (K g2) j= 2F1 wird naturlich
vollig analog behandelt.) Fur jedes h 2 G mit R(g h) mussen wir also
(K h) j= F1 zeigen. Nach Denition von R gilt dann R (g1 h2) unabhangig
davon ob g = h oder g 6= h ist, nach Annahme gilt also auch (K h2) j= F1,
woraus mit Hilfe der Induktionsvoraussetzung (K h) j= F1 folgt.
Satz 34 Die Klasse aller irreexiven Rahmen, d.h. die Klasse aller Rahmen
(G R), in denen die Formel 8x:R(x x) gilt, kann nicht durch eine Formel
der modalen Aussagenlogik charakterisiert werden.
Beweis
Angenommen F 2 FmlALmod ware eine charakterisierende Formel. Wir betrachten den Rahmen (G1 R1) der nur eine Welt g0 enthalt und in dem
R1(g0 g0) gilt. Nach Konstruktion (in Denition 36) ist (G R) irreexiv.
Fur ein beliebiges v sollte also (G R v) j= F gelten, aber (G R v) j= F
nicht. Lemma 33 widerspricht dem: ein F mit dieser Eigenschaften kann es
nicht geben.
Weitere Beispiele nicht charakterisierbarer Klassen von Rahmen sind in
Abbildung 3.7 angegeben. Weitergehende Resultate ndet man in van
Benthem, 1984]. Schlielich kommen wir noch auf die Frage zuruck, ob es
zu jeder Formel F 2 FmlALmod eine Formel des Pradikatenkalkuls erster
117
Stufe gibt, so da F die durch denierte Klasse von Rahmen charakterisiert. Auch hier ist die Antwort negativ. Im allgemeinen ist die Klasse
aller Rahmen, die durch F charakterisiert wird, nur durch eine Formel in der
Pradikatenlogik zweiter Stufe denierbar. Die bisher betrachteten Beispiele
sind also irrefuhrende Spezialfalle.
Lemma 35
Innerhalb der Klasse aller transitiven Rahmen charakterisiert die Formel
2(2p ! p) ! 2p
die Klasse aller transitiven Rahmen (G R), so da
keine unendliche aufsteigende Kette g0 g1 : : : gn : : : in G existiert mit:
R(g0 g1) R(g1 g2) : : : R(gn gn+1 ) : : :
Mit anderen Worten: die Relation R;1 ist wohlfundiert.
Beweis: siehe van Benthem, 1984], Seite 195 und Aufgabe 3.2.9.
Ein weiteres interessantes Beispiel lat sich in der Formelklasse einer multimodalen Logik nden. In einer multimodale Logik kommt nicht nur ein
Box-operator 2 vor, sondern es sind mehrere zugelassen, in unserem Beispiel sind das 2a und 2b . Ein Rahmen fur eine multimodale Logik enthalt
nicht nur eine Zuganglichkeitsrelation R sondern entsprechend mehrere, in
unserem Beispiel sind das Ra und Rb.
De
nition 37
Die transitive Hulle einer zweistelligen Relatione R ist die kleinste Relation
Rt mit den Eigenschaften:
1. Rt ist transitiv und symmetrisch
2. R Rt
Satz 36
Die Konjunktion der beiden multimodalen Formeln
118
2ap ! (p ^ 2a2bp)
(2a(p ! 2b p) ! (p ! 2ap))
charakterisiert die Klasse aller multimodalen Rahmen (G Ra Rb ), so da
Ra
die transitive Hulle von Rb ist.
Beweis:
Ist K = (G Ra Rb v) eine multimodale Kripke Struktur, so da Ra die tran-
sitive Hulle von Rb ist, dann lat sich leicht nachrechnen, da die beiden
Formeln in K wahr sind.
Betrachten wir jetzt einen Rahmen (G Ra Rb), in dem beide Formeln gelten.
Wir wollen zeigen, da dann Ra die transitive Hulle von Rb ist.
Teil 1:
Wir betrachten g h 2 G mit Ra(g h) und zeigen, da dann das Paar (g h)
in der transitiven Hulle tr(Rb) von Rb liegen mu. Dazu denieren wir eine
Belegung v wie folgt:
v(w p) =
1
falls (g w) in tr(Rb) liegt.
0 sonst.
Wir wollen uns zuerst davon uberzeugen, da fur K = (G Ra Rb v) gilt:
(K g) j= 2a(p ! 2b p)
Wir betrachten dazu ein w 2 G mit Ra(g w) und (K w) j= p. Das ist nach
Denition von v nur moglich, wenn (g w) in der transitiven Hulle von Rb
liegt. Ist w0 eine Welt mit Rb(w w0) dann liegt naturlich auch (g w0) wieder in
tr(Rb) und nach Denition von v folgt (K w0) j= p. Das zeigt (K w) j= 2b p:
Da wir angenommen haben, da (2a(p ! 2bp) ! (p ! 2ap)) in K gilt, folgt
jetzt auch (K g) j= p ! 2ap: Da jede transitive Hulle insbesondere reexiv
ist gilt (K g) j= p, woraus also auch (K g) j= 2ap folgt. Nach Annahme
uber die Welt h ergibt sich daraus (K h) j= p, was nach Denition von v nur
moglich ist, wenn (g h) in tr(Rb) liegt. Das beendet Teil 1.
Teil 2:
Hier betrachten wir ein Paar von Welten (g h) in der transitiven Hulle von
Rb und wir wollen zeigen, da Ra(g h) gilt. Dazu brauchen wir die folgende
Belegung:
v(w p) =
1
falls Ra(g w)
0 sonst.
119
Nach Voraussetzung gilt fur K = (G Ra Rb v) jedenfalls (K g) j= 2ap !
(p ^ 2a2bp): Nach Wahl von v ist die Pramisse der Implikation erfullt, weswegen auch
()
(K g) j= p ^ 2a2bp
gilt. Nach Annahme soll (g h) in tr(Rb ) liegen, es gibt also Welten g0 g1 : : :
: : : gk mit Rb(gi gi+1 ) fur alle 0 i < k und g0 = g und gk = h. Wir zeigen
(K gi) j= p
durch Induktion nach i. Fur i = 0 ist die Behauptung schon in () enthalten.
Gelte (K gi) j= p. Nach Denition von v folgt daraus Ra(g gi) und somit
gilt nach () auch (K gi+1) j= p. Aus (K gk ) j= p, d.h. aus (K h) j= p, folgt
schlielich nach Denition von v wie gewunscht Ra(g h).
Korollar 37
Die durch die Konjunktion der beiden multimodalen Formeln
2ap ! (p ^ 2b2ap)
(2a(p ! 2b p) ! (p ! 2ap))
charakterisierte Klasse multimodalen Rahmen (G Ra Rb) ist nicht durch eine
Formel der Pradikatenlogik erster Stufe denierbar.
Beweis:
Durch eine Standardanwendung des Kompaktheitssatzes lat sich zeigen, da
die transitive Hulle einer Relation nicht in der Pradikatenlogik erster Stufe
ausgedruckt werden kann.
Ein interessantes Projekt wurde von Hans-Jurgen Ohlbach am Max{Planck{
Institut in Saarbrucken realisiert. Er ubersetzt beliebige Formeln der modalen Aussagenlogik in pradikatenlogische Klauselnormalform und versucht
durch geschickte Anwendung des Resolutionskalkuls die aussagenlogischen
Variablen, auf der pradikatenlogischen Ebene durch einstellige Relationen
reprasentiert, zu eliminieren. Gelingt das, so ist ein Charakterisierungsresultat in dem oben denierten Sinn bewiesen. Das Programm heit SCAN
und kann auch fur eine Reihe anderer Aufgabenstellungen in auch anderen
nichtklassischen Logiken benutzt werden. Man kann das Programm direkt
uber www aufrufen unter
120
http:/www.mpi-sb.mpg.de/guide/staff/ohlbach/scan
3.2.1 U bungsaufgaben
U bungsaufgabe 3.2.1 Beweisen Sie die Resultate aus Abbildung 3.5.
U bungsaufgabe 3.2.2 Fur jede naturliche Zahl n, jede Kripke Struktur K
= (G R v ) und jede Welt g 2 G gilt:
1. (K g) j= 2n F gdw fur alle h 2 G mit Rn (g h) gilt (K h) j= F
2. (K g) j= 3nF gdw es gibt h 2 G mit Rn (g h) und (K h) j= F
U bungsaufgabe 3.2.3 Sei (G R) ein Rahmen. Dann gelten die folgenden
Aquivalenzen:
1
2
3
4
(G
(G
(G
(G
R) j= C (0
R) j= C (0
R) j= C (1
R) j= C (1
1
1
1
0
2
0
0
1
0))
0))
0))
0))
gdw
gdw
gdw
gdw
R ist transitiv
R ist reexiv
R ist symmetrisch
R ist funktional
Siehe Sterling, 1992], Seite 493.
U bungsaufgabe 3.2.4 Ein Rahmen (G2 R2) hei
t sein Unterrahmen eines Rahmens (G1 R1), wenn
1. G2 G2 und
2. fur alle g h 2 G2 gilt R2 (g h) gdw R1(g h)
Ein Unterrahmen (G2 R2) von (G1 R1) hei
t ein abgeschlossener Unterrahmen, wenn jede Welt, die aus G2 erreichbar ist, auch zu G2 gehort. Formal:
3. fur alle g h 2 G1 mit g 2 G2 und R1(g h) gilt h 2 G2.
121
Zeigen Sie:
Ist (G2 R2) ein abgeschlossener Unterrahmen von (G1 R1), dann gilt fur
jedes v1, jede Welt g 2 G2 und jede Formel in FmlALmod
(G1 R1 v1 g) j= F gdw (G2 R2 v2 g) j= F:
Hierbei ist v2 die Einschrankung der Funktion v1.
U bungsaufgabe 3.2.5 Zeigen Sie mit Hilfe des Resultats aus Aufgabe
3.2.4, da
die Klasse aller nicht leeren Rahmen, d.h. die Klasse aller Rahmen
(G R) mit 9x9yR(x y) nicht durch eine Formel der modalen Aussagenlogik
charakterisiert werden kann.
U bungsaufgabe 3.2.6 Fur zwei Rahmen (G1 R1), (G2 R2) besteht die
disjunkte Summe (G R) = (G1 R1) ] (G2 R2) aus der disjunkten Summe
G = G1 ] G2 der zugehorigen Welten. Fall G1 und G2 disjunkt sind ist also G
die normale mengentheoretische Vereinigung G1 G2 . Anderenfalls mussen
G1, G2 zuerst disjunkt gemacht werden: etwa G = (f1g G1) (f1g G2).
Wir nehmen fur die Zwecke dieser Ubungsaufgabe
an, da
G1 und G2 disjunkt
sind und uberlassen die Formulierung des allgemeinen Falles dem Leser. Die
Relation R auf G ist relationentheoretisch ebenfalls die Summe von R1 und
R2, d.h.
R(g h) gdw R1(g h) oder R2(g h)
Sind Belegungen v1 und v2 auf (G1 R1) und (G2 R2 ) gegeben, dann ist wegen
der Disjunktheit die folgende Denition moglich:
v(g p) =
v (g p)
falls g 2 G1
1
v2(g p) falls g 2 G2
Die Kripke Struktur K = (G R v) nennen wir die disjunkte Summe von
K1 = (G1 R1 v1) und K2 = (G2 R2 v2).
Zeigen Sie fur jede Formel F 2 FmlALmod:
K j= F gdw K1 j= F und K2 j= F
U bungsaufgabe 3.2.7 Zeigen Sie mit Hilfe von Aufgabe 3.2.6, da
die
Klasse aller universellen Rahmen, d.h. die Klasse aller Rahmen (G R) mit
8x8yR(x y) nicht durch eine Formel der modalen Aussagenlogik charakterisiert werden kann.
122
U bungsaufgabe 3.2.8 Sei (G Ra Rb) ein multimodaler Kripke Rahmen,
so da
Ra die transitive Hulle von Rb ist. Zeigen Sie, da
fur jede Belegungsfunktion v, die folgenden Formeln in der Kripke Struktur K = (G Ra Rb v )
gultig sind:
1. 2ap ! (p ^ 2a2b p)
2. (2a(p ! 2b p) ! (p ! 2a p))
3. 2ap ! (p ^ 2b2ap)
U bungsaufgabe 3.2.9 Beweisen Sie Lemma 35
123
3.3 Vollstandigkeit und kanonische Modelle
Eine modale Logik L ist zunachst nichts weiter als eine Teilmenge von
FmlALmod, wobei wir uns vorstellen, da L die Menge aller Tautologien festlegt. Mit diesem Begri allein lat sich noch nicht viel anfangen, wir brauchen zusatzliche Eigenschaften von L um uberhaupt sinnvolle Aussagen uber
modale Logiken beweisen zu konnen. Auf der anderen Seite sollen die Einschrankungen an L nicht zu stark sein, damit moglichst viele der bekannten
Systeme der modalen Aussagenlogik darunterfallen. Es gibt tatsachlich eine
Klasse modaler Logiken, die beide Wunsche erfullt.
De
nition 38
Eine Teilmenge L von FmlALmod hei
t eine normale Modallogik, wenn
sie die folgenden Bedingungen erfullt:
1. L enthalt alle aussagenlogischen Tautologien.
2. 2(p ! q) ! (2p ! 2q ) 2 L fur zwei AL-Variable p q.
3. L ist abgeschlossen unter modus ponens,
d.h. mit A 2L und (A ! B ) 2L gilt auch B 2L.
4. aus A 2L folgt 2A 2L.
5. L ist abgeschlossen unter Instanziierungen,
d.h. gilt A 2 L und ist A0 eine Instanz von A, dann gilt auch A0 2 L.
Dabei entsteht eine Instanz A0 aus A, indem fur einige aussagenlogische Variablen p1 : : : pk und beliebige Formeln B1 : : : Bk aus FmlALmod simultan
jedes Vorkommen von pi in A ersetzt wird durch Bi .
Wir sind aussschlielich an modalen Logiken L interessiert, die aus der Menge
aller Tautologien eines gegebenen modallogischen Systems S von Axiomen
und Regeln bestehen.
De
nition 39 Ein modallogisches System S hei
t ein normales modallogisches System, wenn die Menge aller Tautologien in S eine normale
Modallogik ist.
124
Mit Ausnahme von C sind alle modallogischen Systeme aus Abbildung 3.2
normal.
Das ubergeordnete Ziel in diesem Unterkapitel sind die Vollstandigkeitssatze fur modallogische Systeme. In einem ersten Teil werden wir zunachst
Vorbereitungen dafur bereitstellen, die fur jede normale Modallogik gelten.
Lemma 38 Fur eine normale Modallogik L gilt fur beliebige Formeln A,B ,C
in FmlALmod:
1. 2(A ^ B ) $ (2A ^ 2B ) 2 L
2. Aus (A ! B ) 2 L folgt auch (2A ! 2B ) 2 L
3. Gilt (A $ B ) 2 L und D entsteht aus der Formel C , indem die Teilformel A in C durch B ersetzt wird, dann gilt auch (C $ D) 2 L
Beweis: U bungsaufgabe 3.3.1
De
nition 40
Sei L eine normale Modallogik. Eine Teilmenge F FmlALmod hei
t L-inkonsistent, wenn es Formeln A1 : : : Ak 2 F gibt mit
(:A1 _ : : : _ :Ak ) 2 L:
F hei
t L-konsistent, wenn F nicht L-inkonsistent ist.
Wenn aus dem Zusammenhang klar ist, welche Logik L gemeint ist oder
wenn die Wahl einer speziellen Logik L keine Rolle spielt, so sprechen wir
kurz von inkonsistenten bzw. konsistenten Formelmengen.
In der Denition einer normalen modalen Logik L wurde nicht verlangt,
da L konsistent sein mu, und in der Tat sind die meisten Lemmata dieses
Abschnitts auch fur inkonsistente Logiken wahr, wenn auch auf triviale Weise.
Wir wollen aber von jetzt an annehmen, da alle normalen modalen Logiken L auch L-konsistent sind.
125
De
nition 41 Eine konsistente Teilmenge F FmlALmod hei
t maximal
konsistent, wenn fur jede Formel A 2 FmlALmod entweder A 2 F oder
:A 2 F gilt.
Lemma 39 Sei L eine normale Modallogik und F FmlALmod eine maximal konsistente Teilmenge bezuglich L. Dann gelten die folgenden Aussagen:
1. fur jede Formel A ist genau eine der beiden Formeln A , :A Element
2.
3.
4.
5.
von F ,
(A _ B ) 2 F genau dann, wenn A 2 F oder B 2 F ,
(A ^ B ) 2 F genau dann, wenn A 2 F und B 2 F ,
L F,
F ist abgeschlossen unter modus ponens.
Beweis:
zu (1)
Da eine der beiden Formeln A,:A in F liegen mu ist gerade die Denition maximal konsistenter Formelmengen. Sind beide Formeln
Elemente von F , so folgt daraus die Inkonsistenz von F ,da :A _ ::A als
AL-Tautologie ebenfalls in L liegt.
zu (2)
Angenommen (A _ B ) 2 F aber A 62 F und B 62 F . Nach Denition einer maximal konsistenten Menge gilt dann :A 2 F und :B 2 F .
Auerdem gilt (::A _ ::B _ :(A _ B )) 2 L, weil diese Formel eine ALTautologie ist. Daraus folgt aber ein Widerspruch zur Konsistenz von F .
Damit ist die Implikation von links nach rechts bewiesen.
Gilt etwa A 2 F und (A _ B ) 62 F , dann folgt wieder aus der Maximalitat
von F , da :(A _ B ) 2 F gilt. Als AL-Tautologie ist auch :A _ (A _ B ) ein
Element von L, was wieder im Widerspruch zur Konsistenz von F steht.
zu (3)
analog zu (2).
zu (4)
Fur A 2 L ist f:Ag eine L-inkonsistente Menge. Also :A 62 F ,
dann mu aber A 2 F gelten.
zu (5)
Aus der Annahme A 2 F , (A ! B ) 2 F und B 62 F ,
folgt :B 2 F und daraus ein Widerspruch zur Konsistenz von F , weil
:A _ :(A ! B ) _ B eine AL-Tautologie ist.
Man beachte, da in diesem Beweis nur von der Tatsache Gebrauch gemacht
wurde, da L alle AL-Tautologien enthalt.
126
Lemma 40 Zu jeder konsistenten Formelmenge F gibt es eine maximal kon-
sistente Obermenge Fmax.
Beweis:
Wir xieren fur diesen Beweis eine Aufzahlung A0 : : : An : : : aller Formeln
aus FmlALmod. Wir denieren induktiv eine aufsteigende Kette von Formelmengen F0 F1 : : : Fn : : : durch:
F0 = F
F fA g
Fn+1 = n n
falls diese Menge konsistent ist
Fn f:Ang sonst
Wir zeigen, durch Induktion uber n, da Fn konsistent ist. Fur n = 0 konnen
wir auf die Voraussetzung uber F zuruckgreifen. Zum Beweis des Induktionsschrittes nehmen wir an, da Fn+1 inkonsistent ist. Nach Denition von Fn+1
sind dann die beiden Mengen Fn fAng und Fn f:Ang inkonsistent. Dann
gibt es nach Denition der Inkonsistenz Formeln B1 : : : Bk C1 : : :Cr 2 Fn,
so da:
:B1 _ : : : _ :Bk _ :An 2 L
(1)
und
:C1 _ : : : _ :Cr _ An 2 L
(2)
Da L alle AL-Tautologien enthalt und unter modus ponens abgeschlossen ist
folgt aus (1) und (2) auch
:B1 _ : : : _ :Bk _ :C1 _ : : : _ :Cr 2 L
im Widerspruch zur Induktionsvoraussetzung, da Fn konsistent ist.
Setzt man die Vereinigung aller Fn gleich Fmax, dann zeigt man leicht
1. Fmax ist konsistent
2. Fmax ist maximal konsistent
3. F Fmax
Man beachte, da in diesem Beweis nur benutzt wurde, da L alle ALTautologien enthalt und unter modus ponens abgeschlossen ist.
Jetzt kommen die modalen Operatoren ins Spiel.
127
De
nition 42 Fur jede Menge F FmlALmod setzen wir:
2; F = fA j 2A 2 F g
2+F = f2A j A 2 F g
;
3 F = fA j 3A 2 F g
3+F = f3A j A 2 F g
Lemma 41 Sind F konsistent und 2; F konsistent und gilt :2A 2 F , dann
ist auch 2; F f:Ag konsistent.
Bemerkung: Ist K = (fgg v) eine Kripke Struktur mit nur einer einzigen
Welt und einer leeren Zuganglichkeitsrelation, dann ist F = fA j (K g) j= Ag
eine maximal konsistente Formelmenge bezuglich der minimalen nomalen Logik K. Da F fur jede beliebige Formel A sowohl 2A als auch 2:A enthalt
ist 2; F inkonsistent. Die zusatzliche Voraussetzung, da 2; F konsistent
sei, ist also erforderlich.
Beweis:
Ware 2;F f:Ag inkonsistent, dann gabe es Formeln C1 : : : Ck 2 2; F ,
so da
(:C1 _ : : : _ :Ck _ A) 2 L
(1)
Mit aussagenlogischen Argumenten allein folgt daraus
(C1 ^ : : : ^ Ck ! A) 2 L
(2)
mit Lemma 38(2) folgt
(2(C1 ^ : : : ^ Ck ) ! 2A) 2 L
(3)
mit Lemma 38(1) und (3) folgt
(2C1 ^ : : : ^ 2Ck ) ! 2A) 2 L
(4)
woraus wieder allein mit Aussagenlogik
(:2C1 _ : : : _ :2Ck _ 2A) 2 L
(5)
erhalten werden kann. Aus (5) folgt unmittelbar ein Widerspruch zur Konsistenz von F .
Wir weisen darauf hin, da zum Beweis dieses Lemmas wesentlich starker
von der Denition einer normalen modalen Logik Gebrauch gemacht wurde,
namlich von den Klauseln (2), (4) und (5) aus Denition 38 auf dem Umweg
uber Lemma 38.
De
nition 43 Zu einer normalen Modallogik L ist die kanonische Kripke
Struktur KL = (GL RL vL) gegeben durch:
128
GL ist die Menge aller maximal konsistenten Formelmengen bezuglich
L,
fur W1 W2 2 GL gilt RL (W1 W2) genau dann, wenn 2; W1 W2,
fur jede AL-Variable p und W 2 GL setzt man vL(W p) = 1 genau
dann, wenn p 2 W .
Satz 42 Sei L eine normale Modallogik und KL = (GL RL vL) ihre kanonische Kripke Struktur. Dann gilt fur jede Welt W 2 GL und jede Formel
A 2 FmlALmod:
(KL W ) j= A gdw A 2 W
Beweis: Durch Induktion uber den Aufbau der Formel A.
Der Induktionsanfang, A ist eine AL-Variable, folgt unmittelbar aus der Denition der kanonischen Kripke Struktur.
Wir bringen zwei Beispiele fur die Beweise im Induktionsschritt.
A = A1 ^ A2
Unter Ausnutzung der Eigenschaften maximal konsistenter Formelmengen, siehe Lemma 39, und der Induktionsvoraussetzung ergibt
sich die folgende Argumentationskette:
(KL W ) j= (A1 ^ A2) gdw (KL W ) j= A1 und (KL W ) j= A2
gdw A1 2 W und A2 2 W
gdw (A1 ^ A2) 2 W
A = 2B
Wir nehmen zunachst 2B 2 W an und betrachten eine Welt
W1 mit RL(W W1). Nach Denition von RL gilt B 2 W1 und daher nach
Induktionsvoraussetzung (KL W1) j= B . Damit ist aber (KL W ) j= 2B .
Gelte jetzt 2B 62 W , d.h. :2B 2 W . Nach Lemma 41 ist dann die
Menge 2; W f:B g konsistent und nach Lemma 40 gibt es eine Welt
W1 2 mit 2; W f:B g W1. Nach Denition von RL gilt RL (W W1)
und nach Induktionsvoraussetzung (KL W1) j= :B . Insgesamt erhalten wir
(KL W ) j= :2B .
Korollar 43 Ist KL die kanonische Kripke Struktur der normale Modallogik
L, dann gilt fur jede Formel A 2 L:
KL j= A
129
Beweis:
Nach Lemma 39 ist L eine Teilmenge jeder Welt W 2 GL . Die Behauptung
folgt jetzt direkt aus dem Satz 42.
Korollar 44 Sei S ein normales modallogisches System und KL die kanonische Kripke Struktur der Logik L = fA j `S Ag. Dann gilt
`S A gdw KL j= A
Beweis:
Die Richtung von links nach rechts folgt unmittelbar aus dem vorangegangenen Korollar. Gilt dagegen `S A nicht, dann ist die Menge f:Ag Lkonsistent und es gibt nach Lemma 40 eine Welt W die Kripke Struktur
KL mit :A 2 W . Aus dem Satz 42 folgt dann (KL W ) j= :A und damit
KL 6j= A.
Das Korollar 44 kann als ein Vollstandigkeitsresultat aufgefasst werden, es
stellt einen Zusammenhang her zwischen einem syntaktischen Ableitungsbegri, `S , und einem semantischen Begri, Gultigkeit im kanonischen Modell.
Der aus der Logik erster Stufe bekannte Vollstandigkeitssatz hat eine geringfugig andere Form auf der semantischen Seite wird nicht wie in Korollar
44 auf eine einzige Struktur bezug genommen sondern auf die Klasse aller Strukturen. Wir wollen jetzt Satze dieses Typs auch fur Modallogiken
formulieren. Zunachst betrachten wir das modallogische System K, siehe
Abbildung 3.1. Oensichtlich ist K ein normales modallogisches System,
so da die Resultate des vorangegangenen Abschnitts zur Verfugung stehen.
Alle Systeme, die wir in diesem Unterkapitel noch betrachten werden, sind
normal.
Satz 45 (Vollstandigkeit fur K) Fur jede modallogische Formel A gilt
`K A gdw M j= A fur jede Kripke Struktur M
Beweis:
Gilt M j= A fur jede Kripke Struktur M, dann gilt auch K j= A fur das
kanonische Kripke Modell und damit nach Korollar 44 auch `K A.
130
Fur die umgekehrte Implikation zeigt man, da jedes Axiom von K in allen
Kripke Modellen gilt und jede Regel von K Gultigkeit erhalt. Der Nachweis
der Allgemeingultigkeit der Axiome ist nur fur das Axiom 2(A ! B ) !
(2A ! 2B ) nicht sofort klar. Ist Meine beliebige Kripke Struktur und
g eine beliebige Welt in M, mit (M g) j= 2(A ! B ) und (M g) j= 2A,
so mussen wir (M g) j= 2B zeigen, d.h. fur jede Welt h mit R(g h) ist
(M h) j= B zu zeigen. Fur jedes solche h gilt aber nach Voraussetzung
(M h) j= A ! B und (M h) j= A und wir sind fertig.
Da hinlanglich bekannt ist, da modus ponens Allgemeingultigkeit erhalt,
braucht nur noch die Regel (G) betrachtet zu werden. Gilt aber M j= A,
dann gilt nach Denition der Modellrelation (M g) j= A fur jede Welt g in
M. Um so mehr gilt dann fur jedes fest gewahlte g, da fur alle von g aus
erreichenbaren Welten h auch (M h) j= A gilt. Das heit aber (M g) j= 2A.
Satz 46 (Vollstandigkeit fur T) Fur jede modallogische Formel A gilt
`T A gdw M j= A fur jede reexive Kripke Struktur M
Beweis:
Der Beweis lauft nach dem Muster des Beweises von Satz 45. Zwei Behauptungen sind dabei neu zu zeigen
1. das kanonische Modell fur T ist reexiv,
2. das Axiom ist wahr in jeder reexiven Struktur.
Zu 1
Fur jede T-maximale Menge w ist 2; w w nachzuweisen.
Wegen Lemma 39(4) ist jede Instanz des Axioms 2p ! p von T ein Element
von w. Liegt also eine Formel 2A in w, so gilt wegen der Abgeschlossenheit
von w unter modus ponens ( Lemma 39(5) ) auch A 2 w.
Zu 2
mu noch erganzt werden.
Satz 47 (Vollstandigkeit fur S4) Fur jede modallogische Formel A gilt
`S4 A gdw M j= A fur jede reexiv transitive Kripke Struktur M
131
Beweis:
siehe z.B. Hughes & Cresswell, 1984]
Satz 48 (Vollstandigkeit fur S5) Fur jede modallogische Formel A gilt
`S5 A
gdw
M j= A fur jede Kripke Struktur M, deren Zuganglichkeitsrelations eine
Aquivalenzrelation
ist.
Beweis:
siehe z.B. Hughes & Cresswell, 1984]
Nach vier Beispielen fragt man sich naturlich nach einem allgemeinen umfassenden Satz uber Vollstandigkeitsresultate. Hier ist einer.
Satz 49 (Vollstandigkeitsatz fur charakterisierbare Klassen) Sei R
eine Klasse von Rahmen, die durch die Formeln C1 : : : Ck 2 FmlALmod
charakterisiert wird und K die Klasse aller Kripke Strukturen mit Rahmen
in R. Das modallogische System S entstehe aus dem System K durch Hinzunahme von C1 : : : Ck als neue Axiome. Dann gilt fur jedes A 2 FmlALmod:
`S A gdw M j= A fur jede Kripke Struktur M in K
Beweis:
Wie im Beweis von Satz 46 erklart, sind die beiden folgenden Behauptungen
zu zeigen:
1. das kanonische Modell fur S liegt in K,
2. jedes Axiom, d.h. alle Axiome von K und C1 : : : Ck , sind wahr in
jeder Kripke Struktur in K.
Die zweite Aussage ist trivialerweise richtig.
Die Konstruktion des kanonischen Modells wird fur die modale Logik L =
fA j `S Ag durchgefuhrt. Fur jedes 1 i k gilt naturlich Ci 2L, aber auch
jede Instanziierung Ci0 von Ci liegt in L. Sei KL = (RL vL) das kanonische
132
Modell. Um RL 2 R zu beweisen, mussen wird fur jedes g in der Welt von
RL und jede Auswertungsfunktion w zeigen, da
(RL w g) j= C1 ^ : : : ^ Ck
gilt. Fur w = vL wissen wir das schon. Fur das weitere xieren wir ein g und
ein beliebiges w. Die Instanz Ciw von Ci entstehe, indem fur jede AL-Variable
p, die in Ci vorkommt und fur die w(g p) 6= v(g p) gilt p durch :p ersetzt
wird. Oensichtlich gilt
(RL w g) j= Ci gdw (RL v g) j= Ciw
Wegen Ciw 2 L sind wir damit fertig.
De
nition 44 Ist S ein modallogisches System und " eine Formelmenge,
dann bedeutet
" `S F
die Existenz eine Folge F1 F2 : : : Fk, so da
die letzte Formel ist F , d.h. Fk = F ,
jedes Fj fur 1 j k ist
{ entweder Instanz eines Axioms von S oder
{ ein Element der Pramissenmenge " oder
{ folgt aus Formeln mit kleinerem Index mit Hilfe einer Regel des
Systems S .
Starke Vollstandigkeitsatze fur modale Logiken gibt es nicht. Die Generalisierungsregel (wenn A ableitbar ist, dann auch 2A) hat zur Folge, da eine
Pramisse schon wie ein zusatzliches Axiom behandelt wird.
3.3.1 U bungsaufgaben
U bungsaufgabe 3.3.1 Beweisen Sie Lemma 38.
U bungsaufgabe 3.3.2 Zeigen Sie fur eine normale Modallogik L:
F ist eine maximal konsistente Formelmenge bzgl. L genau dann, wenn jede
echte Obermenge von F L-inkonsistent ist.
133
3.4 Entscheidbarkeit modaler Aussagenlogiken
De
nition 45 (Filtration)
Sei K = (G R v ) eine Kripke Struktur und ; FmlALmod eine Menge von
Formeln der modalen Aussagenlogik. Die Aquivalenzrelation
; auf G wird
deniert durch:
g ; h gdw (K g) j= A , (K h) j= A fur alle A 2 ;
Fur g 2 G bezeichnen wir mit g ] die Aquivalenzklasse
von g bezuglich ; ,
i.e. g ] = fh 2 G j g ; hg. Die Kripke Struktur K; = (G; R; v;) ist wie
folgt deniert
= fg] j g 2 Gg
, 9g0 2 g]9h0 2 h](g0Rh0 )
= v(g p)
fur p 2 ;
= beliebig
sonst
K; hei
t eine Filtration von K bezuglich ;.
G;
g]R;h]
v;(g] p)
v;(g] p)
Lemma 50
1. Sei ; FmlALmod abgeschlossen unter Teilformeln, dann gilt fur alle
A 2 ; und alle g 2 G
(K g) j= A gdw (K; g]) j= A
2. Ist ; endlich mit #; = n, dann ist #G; 2n :
Beweis:
(1)
Der Beweis geschieht durch Induktion uber den Formelaufbau von
A. Ist A eine Aussagenvariable, dann folgt die Behauptung aus der Denition von v; und der A quivalenzrelation ;. Wir betrachten nur noch den
Induktionsschritt von B auf 2B . Gelte (K; g]) j= 2B . Dann gilt fur alle
h 2 G mit g]R;h] auch (K; h]) j= B . Nach Induktionsvoraussetzung folgt
damit fur alle h 2 G mit g]R;h] auch (K h) j= B und damit auch fur alle
h 2 G mit gRh ebenfalls (K h) j= B , also auch (K g) j= 2B . Gelte jetzt
134
umgekehrt (K g) j= 2B . Wir betrachten g h 2 G mit g]R;h]. Nach Denition gibt es g0 h0 2 G mit g0 ; g, h0 ; h und g0Rh0. Nach Denition von
; gilt auch (K g0) j= 2B und damit auch (K h0) j= B . Woraus mit der
Denition von ; wieder (K h) j= B folgt. Nach Induktionsvoraussetzung
erhalten wir weiter (K; h]) j= B . Insgesamt ist damit fur alle h] 2 G; mit
g]R;h] die Gultigkeit von (K; h]) j= B gezeigt und damit (K; g]) j= 2B
(2)
Enthalt ; n Formeln, so kann es hochstens 2n A quivalenzklassen von
; geben.
Satz 51 Die modale Aussagenlogik K ist entscheidbar, d.h. es gibt einen
Algorithmus, der fur jede Formel A 2 FmlALmod entscheidet, ob A eine KTautologie ist oder nicht.
Beweis:
Sei ; die endliche Menge aller Teilformeln von :A. Wenn :A uberhaupt
erfullbar ist, dann nach Lemma 50 auch in einer Kripke Struktur mit
hochstens 2n Welten, wobei n die Kardinalitat von ; ist. Alle Kripke Stukturen mit hochstens 2n Welten lassen sich endlich aufzahlen, und es ist fur
jede dieser Strukturen entscheidbar, ob :A in ihr wahr ist oder nicht.
3.4.1 U bungsaufgaben
U bungsaufgabe 3.4.1 Die in Denition 45 gegebene Denition fur R; ist
nicht die einzig mogliche. Zeigen Sie, da
auch mit der Relation R; Lemma
50 richtig bleibt:
g]R;h] gdw fur alle 2B B 2 ; folgt aus (K g) j= 2B auch (K h) j= B
U bungsaufgabe 3.4.2 Aus Satz 51 und Lemma 29 auf Seite 107 folgt, da
auch fur A B 2 FmlALmod die lokale Konsequenzrelation A `KL B entscheid-
bar ist. Zeigen Sie, da
auch die globale Konsequenzrelation fur die modale
Logik K entscheidbar ist.
135
3.5 Beschreibungslogiken
Beschreibungslogiken stammen aus dem Bereich der Wissensreprasentationssysteme der kunstlichen Intelligenz. Etwas praziser kann man ihren Ursprung zuruckverfolgen zu den strukturierten Vererbungsnetzen von Brachman Brachmann, 1977] Brachmann, 1978], die ihre erste Realisierung in
dem System KL-ONE Brachmann & Schmolze, 1985] fanden. Im Bereich
der kunstlichen Intelligenz begegnete man in den achtziger Jahren der Wissensreprasentation in einer logik-basierten Sprache, worunter man sich in der
Regel die Pradikatenlogik erster Stufe vorstellte, mit Skepsis und auch einigen Miverstandnissen. Heute wird akzeptiert, da Beschreibungssprachen
als notationelle Varianten eines Teils der Pradikatenlogik aufgefasst werde
konnen. Es gibt unzahlige Varianten von Beschreibungssprachen, wir konzentrieren uns hier auf die Sprache ALC , siehe Baader, 1996].
De
nition 46 (Die Beschreibungslogik ALC)
Eine Beschreibungslogik besteht aus einem endlichen Vorrat von Symbolen
fur Konzepte und einem endlichen Vorrat von Symbolen fur Rollen.
1. jedes Konzeptsymbol C ist eine ALC -Formel,
2. sind C1 : : : Ck ALC -Formeln, dann sind auch C1u: : :uCk , C1t: : :tCk
und :C1 ALC -Formeln,
3. ist C eine ALC -Formel, R ein Rollensymbol, dann sind auch 9R:C und
8R:C ALC -Formeln.
Zur Festlegung der Bedeutung von ALC -Formeln bedarfs der Angabe einer Interpretation I . Diese besteht aus einem Grundbereich von Objekten, der ublicherweise mit % bezeichnet wird, und dem Universum
pradikatenlogischer Strukturen entspricht. Auerdem mu fur jedes Konzeptsymbol C eine Teilmenge C I % und fur jedes Rollensymbol R eine
binare Relation RI % % festgelegt werden. Ist eine Interpretation I gegeben, so ordnet die folgende Denition jeder ALC -Formel F eine Teilmenge
F I von % zu.
De
nition 47 (Semantik von ALC)
Sei I eine Interpretation.
136
1. (C1 u : : : u Ck )I = C1I \ : : : \ CkI
2. (C1 t : : : t Ck )I = C1I : : : CkI
3. (:C )I = % n C I
4. (9R:C )I = fd 2 % j es gibt (d e) 2 RI mit e 2 C I g,
5. (8R:C )I = fd 2 % j fur alle (d e) 2 RI gilt e 2 C I g
Beispiel 12
Sind M ,F P Namen fur Konzepte, die wir intuitiv als die Klasse aller Manner, aller Frauen bzw. aller Personen deuten und ist R =
ist direkterV orfahre von eine Rolle, dann sind
V a = M u 9R:P
E = V a t Mu
Mu = F u 9R:P
korrekt geformte Formeln in ALC , welche die Konzepte Vater, Mutter und
Eltern einfuhren.
U bersetzt in pradikatenlogische Notation sehen diese Konzepte so aus:
V a(x) = M (X ) ^ 9y(R(x y) ^ P (y))
Mu(x) = F (x) ^ 9y(R(x y) ^ P (y))
E (x) = V a(x) ^ Mu(x)
Sind C1 C2 Formeln einer Beschreibungslogik, so ist man daran interessiert
festzustellen ob fur alle Interpretationen I
C1I dasselbe Konzept wie C2I ist C1 = C2
C1I ein Teilmenge von C2I ist
C1 v C2
C1I leer ist
C1 = Wegen
und
C1 = C2 gdw C1 v C2 ^ C2 v C1
C1 v C2 gdw C1 u :C2 = 137
genugt es sich auf die letzte Fragestellung C = ? zu beschranken. Die
Beantwortung dieser Frage wird ublicherweise Subsumtionsproblem genannt. Die wichtige Beobachtung ist nun, da das Subsumtionsproblem fur
ALC entscheidbar ist, ein Resultat was bei einer direkten U bersetzung in
die Pradikatenlogik nicht sofort zu sehen ist. Eine Reihe von Algorithmen
zur Beantwortung dieser Frage sind erdacht und implementiert worden. Wir
werden hier eine Moglichkeit vorstellen, die Entscheidbarkeit des Subsumtionsproblems durch Reduktion auf das Erfullbarkeitsproblem in einer multimodalen Logik zu beweisen.
Wir ubersetzen jede Formel F der Beschreibungslogik ALC in eine Formel
F einer multi-modalen Logik, die fur jede Rolle R modale Operatoren 2R
und 3R enthalt. Bei der U bersetzung wird jedes Konzeptsymbol C durch
eine aussagenlogische Variable ersetzt, die wir der Einfachheit halber wieder
mit C bezeichnen.
De
nition 48
Jeder ALC -Formel F wird die multi-modale Formel F wie folgt zugeordnet:
F
= F
falls F ein Konzeptsymbol ist
(F1 u F2) = (F1 ^ F2 )
(:F )
= :F (8R:F ) = 2RF (9R:F ) = 3RF Als nachstes bemerken wir, da eine Interpretation I fur ALC in eindeutiger
Weise einer multi-modalen Kripke Stuktur KI entspricht. Die Menge der
moglichen Welten von KI entspricht dabei dem Universum % von I . Jede
Rolle R gibt Anla zu einer Zuganglichkeitsrelation RI auf %, die fur die
Semantik von 2R und 3R zustandig ist. Fur d 2 % wird schlielich die
Bewertung v(d C ) auf wahr gesetzt genau dann, wenn d 2 C I zutrit.
Lemma 52
1. Fur jede ALC -Formel F und jede Interpretation I gilt
F I = fd 2 % j (KI g) j= F g
2. Es gibt eine Interpretation I und ein d 2 % mit d 2 F I genau dann,
wenn F erfullbar ist.
138
3. Es gilt F1 v F2 genau, dann wenn (F1 u :F2 ) unerfullbar ist.
Beweis:
zu 1: Der Beweis wird uber den Aufbau der Formel F gefuhrt. Ist F ein
Konzeptname, dann ergibt sich nach Denition von KI
fd 2 % j (KI g) j= F g = fd 2 % j v(d F ) = wahrg
= FI
Die Induktion uber die Operatoren u,t und : ist einfach und wird hier
weggelassen. Wir betrachten noch den Fall F = 8R:F1
fd 2 % j (KI g) j= (8R:F1)g = fd 2 % j (KI g) j= 2RF1g
= fd 2 % j fur alle e mit R(d e) gilt
(KI e) j= F1g
= fd 2 % j fur alle e mit R(d e) gilt
e 2 F1I g
= (8R:F1)I
zu 2: folgt unmittelbar aus Teil 1.
zu 3:
F1 v F2 gilt genau dann, wenn fur alle I und alle d 2 % gilt d 62 (F1 u:F2)I .
Nach Teil 1 ist das gleichbedeutend mit (K I d) 6j= F1 ^ :F2 fur alle I und
alle d 2 %. Das besagt nichts anderes, als da (F1 u:F2) nicht erfullbar ist.
3.5.1 U bungsaufgaben
U bungsaufgabe 3.5.1 fehlt noch
139
3.6 Kalkule fur modale Quantorenlogiken
In diesem Kapitel wollen wir einen Tableaukalkul fur die modale Quantorenlogik Kvorstellen, einschlielich der zugehorigen Korrektheits- und
Vollstandigkeitsbeweise. Wir geben am Ende einige Hinweise, wie man durch
leichte Modikationen Tableaukalkule fur andere modale Logiken erhalten
kann. Weitere Hinweise ndet man in dem Buch Fitting, 1983], dem wir in
der Ausarbeitung dieses Kapitels weitgehend folgen. Eine neuere, erweiterte
Darstellung von Tableaukalkulen fur modale Logiken ndet man in Fitting,
1991]. Zunachst jedoch ist die Einfuhrung von Quantoren in einer modalen
Logik zu erklaren.
3.6.1 Modale Pradikatenlogiken
In Abschnitt 3.1 haben wir Syntax und Semantik modaler Aussagenlogiken
eingefuhrt. Wir wollen jetzt die Erweiterung auf modale Quantorenlogiken
vorstellen. Die Syntax bereitet keinerlei Probleme. In den folgenden Denitionen ist stillschweigend ein fest vorgegebenes Vokabular V vorausgesetzt.
De
nition 49 Die Menge , FmlQmod, aller Formeln der modalen Pradikatenlogik ist die kleinste Menge von Formeln, die alle Klauseln der Denition
25 erfullt und zusatzlich
4. Ist F 2 FmlQmod und x eine Individuenvariable, dann sind auch 8xF
und 9xF Formeln in FmlQmod.
Die Semantik fur die modale Pradikatenlogik wird durch eine Erweiterung
der aussagenlogischen Kripke Strukturen gegeben. Die neuen Strukturen
wollen wir einfach Kripke Strukturen nennen, ohne Zusatz.
De
nition 50 (Kripke Strukturen)
Eine Kripke Struktur K = (G R M ) besteht aus einem Kripke Rahmen (G R) und einer Abbildung g , die jeder moglichen Welt g 2 G eine
gewohnliche pradikatenlogische Struktur M (g ) zuordnet, so da
fur alle g1,
g2 in G mit R(g1 g2) gilt
das Universum U1 von M (g1) eine Teilmenge des Universums U2 von
M (g2) und
140
auf der kleineren Menge U1 stimmen die Interpretationen der Funktionszeichen in M (g1 ) und M (g2 ) uberein.
Die in dieser Denition genannte Bedingung an M (g1) und M (g2) wird
ublicherweise durch die Redeweise "M (g1 ) ist eine Unteralgebra von
M (g2)\beschrieben. Man beachte,da von den Interpretationen der Relationszeichen in M (g1) und M (g2) keine Einschrankung verlangt wird. Wir
werden uns hauptsachlich mit dem folgenden einfachen Spezialfall von Kripke
Stukturen beschaftigen:
De
nition 51
Eine Kripke Struktur K = (G R M ) hei
t eine Kripke Struktur mit konstantem Universum, wenn fur alle g 2 G
M (g ) = M
gilt fur eine konstante Struktur M.
Es gibt eine Unzahl von Varianten fur die Denition von Kripke Strukturen fur die modale Pradikatenlogik. In einer Variante wird z.B. auf die
Unterstrukturbedingung verzichtet, oder es wird zwar eine Teilmengenbedingung fur die Universa aber keine Vertraglichkeit der Interpretationen der
Funktions- und Relationszeichen gefordert oder sogar die Abgeschlossenheit
der Universa unter den Funktionen des Vokabulars V fallengelassen. Einen
umfangreichen U berblick dazu ndet man in Garson, 1984].
Die Modellbeziehung zwischen einer Kripke Struktur und einer Formel ohne
freie Variablen kann jetzt aus der Denition 29 erhalten werden, in dem
die Klausel fur aussagenlogische Variable ersetzt wird durch eine Klausel
uber atomare Formeln und die gewohnte Klausel fur die Interpretation der
Quantoren hinzugefugt wird.
De
nition 52
Sei K = (G R M ) eine Kripke Struktur und F eine Formel in FmlQmod,
dann wird die Relation (K g) j= F , gelesen als " F ist wahr (oder gultig) in
derWelt g der Kripke Struktur K\, wie folgt deniert.
Zur Vereinfachung der Notation schreiben wir g j= F anstelle von (K g ) j= F
und bezeichnen das Universum der Struktur M (g ) mit Ug .
141
1 g j= r(t1 : : : tk ) gdw M (g) j= r(t1 : : :tk )
fur atomare Formeln r(t1 : : : tk )
2 g j= F ^ H
gdw g j= F und g j= H
3 g j= F _ H
gdw g j= F oder g j= H
4 g j= F ! H
gdw (nicht g j= F ) oder g j= H
5 g j= :F
gdw nicht g j= F
6 g j= 2F
gdw fur alle h mit R(g h) gilt h j= F
7 g j= 3F
gdw es gibt ein h mit R(g h) so da
h j= F
8 g j= 8xF (x)
gdw fur alle d 2 Ug gilt g j= F (d)
9 g j= 9xF (x)
gdw es gibt ein d 2 Ug mit g j= F (d)
3.6.2 Tableaukalkule
In einem vorangegangenen Kapitel haben wir schon einen Tableaukalkul fur
die dreiwertige Logik L3kennengelernt, so da wir zum allgemeinen Rahmen
solcher Kalkule nichts mehr sagen mussen.
Wir stellen einen Tableaukalkul mit signierten Formeln vor, die Vorzeichen
sind, da wir in einer zwar modalen, aber doch zweiwertigen Logik arbeiten,
F und T .
Es existieren recht unterschiedliche Versionen von Tableaukalkulen (siehe
wieder Fitting, 1983]). Wir haben uns hier fur die Version mit Praxen
entschieden. Ein Pra
x ist dabei eine endliche Folge naturlicher Zahlen.
In den Tableaux werden also signierte Formeln mit Prax, d.h. Gebilde der
Form ZA auftreten, wobei ein Prax, Z 2 fF T g und A eine modallogische Formel ist. In diesem fruhen Stadium der Erklarung lat sich die
Rolle der Praxe erklaren als Namen fur verschiedene Welten einer KripkeStruktur. Wir nennen ein Prax 1 zuganglich von , wenn 1 = n fur
ein geeignetes n ist. Diese Denition der Zuganglichkeit funktioniert fur
die Modallogik K, siehe Abbildung 3.1. Fur andere Modallogiken ist die
Zuganglichkeitsrelation geeignet zu variieren. Falls erforderlich reden wir
genauer von K-Zuganglichkeit. Ein Problem bei der Erklarung und noch
vielmehr bei der Darstellung der Korrektheits- und Vollstandigkeitsbeweise
fur den dreiwertigen Tableaukalkul war die groe Zahl der Tableauregeln.
In dem darzustellenden modalen Tableaukalkul werden zwar weniger Regeln
benotigt, aber immer noch mehr, als man in einem Blick uberschauen kann.
Um diesem didaktischen Problem zu begegnen, fuhren wir, wie in Smullyan,
142
1968] und Fitting, 1983], eine Klassikation signierter Formeln ein in die
Klassen der -, -, -, -, - und -Formeln.
-Formeln sind:
TA ^ B FA _ B FA ! B F :A
-Formeln sind:
TA _ B FA ^ B TA ! B T :A
-Formeln sind:
T 8xA(x) F 9xA(x)
-Formeln sind:
T 9xA(x) F 8xA(x)
-Formeln sind:
T 2A F 3A
-Formeln sind:
T 3A F 2A
indexFormeln!-indexFormeln! Jeder - und -Formel ordnen wir zwei Nachfolgerformeln 1, 2 bzw. 1,
2 zu:
TA ^ B
FA _ B
FA ! B
F :A
1
TA
FA
TA
TA
2
TB
FB
FB
TA
TA _ B
FA ^ B
TA ! B
T :A
1
TA
FA
TB
FA
2
TB
FB
FA
FA
Den -, -, -, -Formeln wird jeweils eine Nachfolgerformel 0 : : : 0 zugeordnet.
0(x)
T 8xA(x) TA(x)
F 9xA(x) FA(x)
0(x)
T 9xA(x) TA(x)
F 8xA(x) FA(x)
0
T 2A TA
F 3A FA
143
0
T 3A TA
F 2A FA
Die angegebene Einteilung in -, -, -, -, - und -Formeln ist oensichtlich
erschopfend, d.h. jede signierte, pradikatenlogische modale Formel gehort
genau einer dieser sechs Klassen an.
Die Tableauregeln lassen sich jetzt einfach angeben, fur jede der sechs Formelklassen gibt es eine Regel: Fur jede -Formel und jedes Prax :
1
2
Fur jede -Formel und jedes Prax :
1 oder 2
Fur jede -Formel und jedes Prax :
0(x)
wobei x eine neue freie Variable ist.
Fur jede -Formel und jedes Prax :
0(f (y1 : : : yn)(x))
wobei f ein neues Skolemfunktionszeichen ist.
Fur jede -Formel und jedes Prax :
00
wobei 0 von aus zuganglich sein mu und auf dem Pfad, der durch diese
Regel verlangert wird, schon vorkommt.
Fur jede -Formel und jedes Prax :
00
144
wobei 0 eine einfache unbeschrankte Erweiterung von , d.h. wenn 0
von aus erreichbar ist und 0 kein Anfangsstuck eines anderen Prax auf
dem Pfad ist. Die angegebenen - und -Regeln sind korrekt und vollstandig
fur die modale Logik K. Fur andere Logiken mussen neben einer moglichen
A nderung der Zuganglichkeitsrelation fur Praxe auch diese beiden Regeln
eventuell modiziert werden. Ein Tableau, das mit Hilfe der obigen Regeln
aufgebaut ist, nennen wir ein K-Tableau.
Ein K-Tableau T heit geschlossen, wenn jeder Pfad von T ein Paar von
Formeln der Form FA und TA enthalt.
Beispiel 13 (im S4-Kalkul)
1 F 2A ! 2(2A _ B ) (1)
1 T 2A
(2) aus 1
1 F 2(2A _ B )
(3) aus 1
1 1 F 2A _ B
(4) aus 3
1 1 F 2A
(5) aus 4
1 1 FB
(6) aus 4
1 1 1 FA
(7) aus 5
1 1 1 TA
(8) aus 2
Im K-Kalkul kann in Zeile 8 nur 1 1 TA stehen, was nicht reicht, um das
Tableau zu schlie
en.
Beispiel 14 (Im K-Kalkul)
1 F 2A ! 3A (1)
1 T 2A
(2) aus 1
1 F 3A
(3) aus 1
Die Formeln (2) und (3) sind beides -Formeln. Es ist keine Regel mehr
anwendbar. Wurden wir allerdings die Einschrankung in der -Regel, da
nur ein zugangliches Prax benutzt werden darf, das schon auf dem Pfad
vorkommt, fallen lasssen, dann konnten wir das Tableau fortsetzen zu
1 F 2A ! 3A (1)
1 T 2A
(2) aus 1
1 F 3A
(3) aus 1
1 1 TA
(4) aus 2
1 1 FA
(5) aus 3
145
und sogar schlie
en. Die Formel 2A ! 3A ist aber keine K-Tautologie.
Fazit: Die Einschrankung an die -Regel ist notwendig fur die Korrektheit
des Kalkuls.
Beispiel 15
1
1
1
1
1
11
11
11
F (2A ^ 2B ) ! 2(A ^ B )
T 2A ^ 2B
F 2(A ^ B )
T 2A
T 2B
FA ^ B
TA
TB
(1)
(2) aus 1
(3) aus 1
(4) aus 2
(5) aus 2
(6) aus 3
(7) aus 4
(8) aus 5
1 1 FA (9) aus (6) 1 1 FB (10) aus (6)
abgeschl. (9 7)
abgeschl. (10 8)
Beispiel 16
1 F 2(A ^ B ) ! (2A ^ 2B ) (1)
1 T 2(A ^ B )
(2) aus 1
1 F 2A ^ 2B
(3) aus 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
F 2A
FA
TA ^ B
TA
TB
(4) aus 3
(6) aus 4
(7) aus 2
(8) aus 7
(9) aus 7
abgeschl. (8 6)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Man beachte: Formel (2) wird zweimal benutzt.
146
F 2B
FB
TA ^ B
TA
TB
(5) aus 3
(10) aus 5
(11) aus 2
(12) aus 11
(13) aus 11
abgeschl. (13 10)
Beispiel 17
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
F 2(A _ B ) ! (2A _ 2B )
T 2(A _ B )
F 2A _ 2B
F 2A
F 2B
FA
FB
TA _ B
TA _ B
1 1 TA (10)8]
abgeschl. (10 6)
1 1 TB (11)8]
1 2 TA (12)9]
..
.
oen
(1)
(2) aus 1
(3) aus 1
(4) aus 3
(5) aus 3
(6) aus 4
(7) aus 5
(8) aus 2
(9) aus 2
1 2 TB (13)9]
abgeschl. (13 7)
De
nition 53 Ein Tableau T hei
t K-erfullbar, wenn es einen Pfad P in
T , eine K-Kripkestruktur (G R j=) und eine Abbildung I von der Menge
aller Praxe in P in die Menge G gibt, so da
und
I ()RI (0) gilt, falls 0 von aus zuganglich ist,
I () j= A
gilt fur jede Formel A auf dem Pfad P:
Satz 53 (Korrektheitssatz)
Gibt es ein geschlossenes K-Tableau mit Wurzelformel 1 FB , dann ist B in
allen K-Kripkemodellen gultig.
Beweis:
Mit T bezeichnen wir das gegebene geschlossene K-Tableau. Angenommen
es gabe eine K-Kripke-Struktur (G R j=) und eine Welt g 2 G mit g j= :B .
Der Wurzelknoten von T 1FB , ist dann fur sich betrachtet ein K-erfullbares
Tableau, wenn wir die Abbildung I durch I (1) = g denieren. Aus dem
nachfolgenden Korrektheitslemma folgt, da dann auch das ganze Tableau T
K-erfullbar sein mute im Widerspruch zur Geschlossenheit von T .
147
Lemma 54 (Korrektheitslemma)
Ist T0 ein K-erfullbares Tableau und T entstehe aus T0 durch eine Regelanwendung, dann ist T ebenfalls K-erfullbar.
Beweis:
Wir betrachten nur die - und -Regeln.
Kommt die Formel auf dem Pfad P vor und wird der Pfad P verlangert
zu P f00g, wobei 0 schon als Vorzeichen auf P vorkommt und von aus
erreichbar ist, so folgt nach Voraussetzung sowohl
I ()RI (0)
als auch
I () j= :
Daraus folgt unmittelbar I (0) j= 0. (Man denke dabei zuerst an den typischen Fall = 2A.)
Kommt die Formel auf dem Pfad P vor und wird P verlangert zu P f00g, wobei 0 eine einfache, uneingeschrankte Erweiterung von ist.
Nach Voraussetzung gilt I () j= . Aus der Form von -Formeln (man denke
an die typische Form = T 30) folgt die Existenz einer Welt g 2 G, so da
g j= 0:
Wir setzen die Abbildung I fort durch
I (0) = g:
Da 0 eine einfache Erweiterung von ist, gilt fur jedes Prax auf dem
Pfad:
0 ist zuganglich von gdw.
=
0
Da auerdem eine uneingeschrankte Erweiterung von ist, gilt fur jedes
Prax auf dem Pfad:
ist nicht zuganglich von 0 aus.
Beide Eigenschaften zusammen sichern, da fur zwei beliebige Praxe 1 2
auf dem Pfad P f00g gilt:
I (1)RI (2)
falls 2 ist zuganglich von 1 aus.
Damit ist die Erfullbarkeit von T 0 nachgewiesen.
148
Satz 55 (K-Vollstandigkeitssatz)
Ist A eine K-allgemeingultige Formel, dann gibt es ein geschlossenes KTableau mit Wurzel 1 FA.
Beweis:
Der globale Aufbau des Beweises ist derselbe wie fur die dreiwertige Logik,
so da wir schnell zum Kern der Konstruktion vordringen konnen. Sei P0
die Menge der signierten Formeln mit Praxen auf einem oenen erschopften
Pfad. Insbesondere liegt fur jede -Formel in P0 auch 00 in P0 fur jedes
Prax 0, das in P0 vorkommt und von aus erreichbar ist.
P entstehe aus P0, indem die freien Variablen durch variablenfreie Terme
ersetzt werden in der Weise, wie es im Beweis des Vollstandigkeitssatzes fur
den dreiwertigen Tableaukalkul beschrieben ist. Insbesondere gilt fur jede
Formel T 8xA(x) 2 P auch TA(t=x) 2 P fur jeden variablenfreien Term t.
Gesucht ist ein K-Kripkemodell fur P .
Die Menge G aller Welten sei die Menge aller Praxe, die in P vorkommen die Relation R sei die Zuganglichkeitsrelation auf der Menge aller
Praxe. Jedem Prax (d. h. jeder Welt) wird dieselbe Prastruktur zugeordnet, namlich die Herbrandstruktur in dem Vokabular einschlielich der
bei Anwendungen der -Regel erzeugten Skolemfunktionen. Die Denition
der K-Kripkestruktur wird vervollstandigt durch die Festsetzung, da eine
atomare, variablenfreie Formel A in der Struktur, die zu einer Welt gehort,
genau dann wahr sein soll, wenn TA in P vorkommt.
Durch Induktion uber den Aufbau signierter Formeln zeigt man, da fur jedes
C in P
j= C
in der Kripkestruktur gilt.
Wir beschranken uns auf zwei typische Beispiele.
Liegt 0T 2B in P , dann liegt fur jedes Prax 2 G, das von 0 aus erreichbar ist, auch TB in P . Nach Induktionsvoraussetzung gilt somit fur alle mit 0R : j= B , woraus unmittelbar 0 j= 2B folgt.
Liegt 0F 2B in P , so gibt es, weil wir von einem erschopften Pfad ausgegangen sind, ein Prax , das von 0 aus erreichbar ist, so da FB in P
liegt. Nach Induktionsvoraussetzung gilt
j= FB
149
und damit auch
0 j= F 2B:
Betrachten wir als Beispiel dafur, wie der K-Tableaukalkul variiert werden
kann, den S 4-Tableaukalkul. Ein Prax 1 heit S 4-zuganglich von , falls
ein Anfangsstuck von 1 ist. Der Fall 1 = ist dabei zugelassen. Die
Regeln bleiben unverandert.
Korrektheit und Vollstandigkeit
Eine Formel A ist eine S 4-Tautologie genau dann, wenn es ein geschlossenes
S 4-Tableau fur 1 FA gibt.
Bisher haben wir nur die Ableitbarkeit von Tautologien behandelt. Wesentlich interessanter ist jedoch die Frage, welche logischen Konsequenzen aus
einer Menge " von Voraussetzungen folgen. Wie wir in der Einfuhrung in
die modale Logik schon gesehen haben gibt es zwei Varianten, die lokale
und die globale logische Folgerungsbeziehung. Fur beide wollen wir einen
vollstandigen und korrekten Tableaukalkul angeben, der glucklicherweise in
beiden Fallen eine leichte Modikationen des gerade vorgestellten Kalkuls
ist.
De
nition 54 (L-Tableau)
Sei " eine Menge modallogischer Formeln.
Wir nennen ein K-Tableau T ein K-L-Tableau uber ", falls beim Aufbau
von T die folgende Regel benutzt werden konnte:
1TA
fur jedes A 2 "
Theorem 56 (L-Vollstandigkeitssatz)
Sei " eine Menge modallogischer Formeln, A eine modallogische Formel.
" `L A gdw ein geschlossenes K-L-Tableau mit Wurzel 1FA existiert.
De
nition 55 (G-Tableau)
Sei " eine Menge modallogischer Formeln.
Wir nennen ein K-Tableau T ein K-G-Tableau uber ", falls beim Aufbau von
T die folgende Regel benutzt werden konnte:
TA
fur jedes A 2 " und jedes Prax auf dem Pfad
150
Theorem 57 (G-Vollstandigkeitssatz)
Sei " eine Menge modallogischer Formeln, A eine modallogische Formel.
" `G A gdw ein geschlossenes K-G-Tableau mit Wurzel 1FA existiert.
Es bleibt noch ein Thema anzuspechen, das wieder einen Unterschied zwischen modaler Aussagenlogik und der klassischen Aussagenlogik aufzeigt, die
Entscheidabrkeit.
Beispiel 18 (im S4-Kalkul)
1
1
1
1
1
1:1
1:2
1:1
1:1
1:2
1:2
1:1:1
1:1:2
1:2:1
1:2:2
F 23p ! 32p
T 23p
F 32p
T 3p
F 2p
Tp
Fp
T 3p
F 2p
T 3p
F 2p
Tp
Fp
Tp
Fp
(1)
(2)1]
(3)1]
(4)2]
(5)3]
(6)4]
(7)5]
(8)2]
(9)3]
(10)2]
(11)3]
(12)8]
(13)9]
(14)10]
(15)11]
Oensichtlich terminiert die Tableaukonstruktion in diesem Beispiel nicht.
Ein geschlossenen Tableau kann es auch nicht geben, denn 23p ! 32p ist
keine S4-Tautologie. Aber im Unterschied zu klassischen aussagenlogischen
Tableaus mu in der modalen Aussagenlogik der Beweisversuch einer Nichttautologie nicht terminieren. Es wurden jedoch Modikationen des Kalkuls
vorgeschlagen, die dieses Dezit beheben und damit zeigen, da die normalen
modalen Aussagenlogiken entscheidbar sind.
151
3.6.3 Tableaukalkule mit Pra
xvariablen
Ein Nachteil der in Abschnitt 3.6 vorgestellen Tableaukalkule fur modale
Logiken liegt in der speziellen Form der -Regeln: in jeder Regelanwendung
mu ein festes Prax gewahlt werden, obwohl nicht immer klar ist, welche
Wahl letztendlich zur Erzeugung eines komplementaren Paares beitragt. Die
Situation ist vergleichbar mit der in Smullyan, 1968] benutzten -Regel, die
eine feste variablenfreie Instanziierung fur universell quantizierte Variablen
fordert. Wir stellen in diesem Abschnitt einen Kalkul mit einer -Regel vor,
die freie Variablen im Prax benutzt. Wir fuhren zunachst den einfachen Fall
eines Tableaukalkuls fur die minimale normale Logik K vor. Die Anpassung
an andere modale Logiken ist nicht immer trivial.
De
nition 56 (Pra
x) Ein Prax t ist eine endliche Folge bestehend aus
naturlichen Zahlen und Praxvariablen, die wir mit Gro
buchstaben aus dem
Ende des Alphabets bezeichnen, U , V , W . Formal wird die Menge, S , aller
Praxe induktiv deniert:
1. die leere Folge ] ist in S ,
2. fur 2 S und n 2 IN gilt auch n 2 S ,
3. ist 2 S und U eine Praxvariable, dann gilt auch U 2 S :
Ein Prax ohne Praxvariable hei
t ein variabelenfreies Pra
x. Wir bezeichnen mit SV ar die Menge aller Praxvariablen.
Eine Praxformel ist von der Form A mit A 2 FmlALmod und 2 S .
Eine Funktion ) : SV ar ! IN XS heit eine Praxsubstitution. Wenn
keine Verwechslung zu befurchten ist sprechen wir einfach von einer Substitution ohne weiteren Zusatz. Die Eigenschaften der Subsitution ) hangen
von der betrachteten Logik ab. Fur die Logik K mu z.B. fur jede Variable
X 2 SV ar die Folge )(X ) einelementig sein. Das Ergebnis der Anwendung
einer Praxsubstitution ) auf ein Prax bezeichnen wir wie ublich mit
)(). Eine Substitution ) heit ein Unikator der beiden Praxe und falls )() = )( ) gilt. In diesem Fall heien und unizierbar.
Die Tableaus, die wir im folgenden betrachten werden, fassen wir wie
ublich als Menge von Pfaden auf, wobei ein Pfad seinerseits eine Menge von
152
Praxformeln ist. Fur einen Pfad B bezeichnen wir mit pre(B ) die Menge
der in B vorkommenden Praxe, gp(B ) steht fur die Menge der variablenfreien Praxe, die in B vorkommen. Es wird sich auerdem als hilfreich erweisen
die Hilfsfunktion gp( B ) zur Verfugung zu haben, die deniert ist durch:
gp( B ) = f)() j mit )() 2 gp(B )g
Der Kalkul fur die minimale normale Logik K enthalt die ublichen Tableauregeln fur die aussagenlogischen Junktoren und Quantoren und die folgenden
Box Regel
2A
U A
Diamant-Regel
3A
k A
Wird die Box-Regel auf einem Pfad B benutzt, dann mu die Praxvariable
U neu sein, d.h. sie darf nicht schon in pre(B ) vorkommen. Wird die
Diamant-Regel auf dem Pfad B angewandt, dann mu k 2 IN so gewahlt
werden, da 0k 62 gp(B ) gilt fur alle 0 2 gp( B ):
Eine Substitution und eine Praxsubstitution ) schlieen einen Pfad B
ab, wenn es Praxformeln A und :C in B gibt mit )() = )( ) und
)() 2 gp(B ) und (A) = (C ). Die Forderung, da t und s unizierbar
sind allein wurde zu einem inkorrekten Kalkul fuhren, wie das Beispiel 19
zeigt. Ein Tableau heit geschlossen, wenn es Substitutionen ) und gibt,
die alle Pfade schlieen.
Beispiel 19
Wir betrachten die erfullbare Formelmenge M = f23p 23:pg. Durch
Erweiterung des initialen Tableau fur M erreicht man einen Pfad B , der die
Praxformeln 1:X:1 p und 1:Y:1 :p enthalt. Die Folgen 1:X:1 and 1:Y:1 sind
unizierbar, aber fur kein ) gilt )(1:X:1) 2 gp(B ).
Jede Formel, mit Ausnahme der -Formeln, braucht auf jedem Pfad nur
einmal benutzt zu werden.
De
nition 57
Ein Tableau T hei
t erfullbar, wenn es eine Kripke Struktur K = (G R M ),
gibt, so da
fur jede Belegung der freien Variablen in T ein Pfad B existiert
und eine Abbildung : gp(B ) ! G mit
153
1. fur jede Praxformel A in B und alle 0 2 gp( B ) gilt (K (0)) j=
A ],
2. fur zwei Folgen 2 gp(B ) und k 2 gp(B ) gilt ( )R(k ).
Fur M = fA1 : : : Aj g FmlALmod besteht das initiale Tableau fur M
aus einem Pfad mit den Knoten n1 : : : nj wobei ni fur alle 1 i j die
Markierung 1 Ai tragt.
Lemma 58 Falls das initiale Tableau fur M erfullbar ist, dann ist auch M
erfullbar.
Proof: Oensichtlich.
Lemma 59 Sei T ein erfullbares Tableau und T1 entstehe aus T durch Anwendung einer Tableauregel. Dann ist T1 auch erfullbar.
Beweis: Der Beweis benutzt Fallunterscheidung nach dem Typ der Tableau-
regel, die benutzt wurde um T1 aus T zu erreichen. Wir fuhren hier nur die
kritischen Falle der Box- und Diamant-Regel vor.
Sei B ein Pfad in T , 2A eine Formel auf B und T1 entstehe aus T durch
die Erweiterung des Pfades B um die Vorzeichenformel U A.
Da T als erfullbar vorausgesetzt war gibt es eine Kripke Struktur K =
(G R v), einen Pfad B1 von T und ein Abbildung : gp(B1) ! G, so da
die Bedingungen aus Denition 57 erfullt sind. Oensichtlich mussen wir nur
den Fall B = B1 betrachten, da sonst T1 trivialerweise erfullbar bleibt. Um
die Erfullbarkeit von T1 zu zeigen, benutzen wir dieselbe Kripke Struktur
K und den Pfad B fU Ag: Da gp(B fU Ag) = gp(B ) gilt konnen
wir auch dieselbe Abbildung benutzen. Nach Voraussetzung gilt fur alle
0 2 gp( B ) (K (0)) j= 2A. Oensichtlich ist jeder Prax 2 gp(U B )
von der Form 0k fur ein 0 2 gp( B ) und ein k 2 IN . Nach Voraussetzung
uber gilt (0)R(0k) woraus unmittelbar (K (0k)) j= A folgt.
Betrachten wir jetzt den Fall, da T1 durch Anwendung der Diamantregel auf
die Formel 3A in B entsteht. In diesem Fall wird B zu B fk Ag erweitert. Wir benutzen dieselbe Notation wie im vorangegangenen Fall. Um die
Erfullbarkeit von T1 zu beweisen benutzen wir wieder dieselbe Kripke Struktur K und den Pfad B fk Ag. Wegen gp(B fkAg) = gp(B ) f0k j 0 2
gp( B )g mussen wir die Funktion an den Argumentstellen 0k denieren.
154
Nach Vorasusetzung gilt fur jedes 0 2 gp( B ) jedenfalls (K (0)) j= 3A.
Es gibt also ein g 2 G mit (K g) j= A. Wir wahlen ein solches g und denieren (0k) = g. Woraus unmittelbar die Erfullbarkeit von T1 folgt. Es
ist wichtig an dieser Stelle zu bemerken, da die durch die -Regel verlangte
Einschrankung an k sicherstellt, da 0k 62 gp(B ) fur alle 0 2 gp( B ) gilt.
Theorem 60
Sei M FmlALmod . Falls das initiale Tableau T0 fur M sich zu einem
geschlossenen Tableau T erweitern la
t, ist M nicht erfullbar.
Proof: Wir wollen uns zunachst davon uberzeugen, da das Tableau T nicht
erfullbar ist. Anderenfalls gabe es eine Kripke Struktur K = (G R v), einen
Pfad B von T und eine Abbildung : gp(B ) ! G, so da die Bedingungen
aus Denition 57 erfullt sind. Sei ) die Praxsubstitution, die zum Abschlu
von T benutzt wurde. Da ) insbesondere den Pfad B schlieen mu gibt es
Formeln A and :A auf B mit )() = )( ) 2 gp(B ). Das fuhrt aber zu
dem Widerspruch (K g) j= A ^ :A for ()()) = ()( )) = g.
Mit Lemma 58 folgt aus der Unerfullbarkeit von T die Unerfullbarkeit von
T0 und daraus die Unerfullbarkeit von M:
Theorem 61 (Vollstandigkeit)
Wenn M FmlALmod nicht erfullbar ist, dann kann das initiale Tableau T0
fur M zu einem geschlossenen Tableau erweitert werden.
Beweis: Da der quantorenlogische Teil nicht in kritischer Weise mit dem
modallogischen Teil interagiert, beschranken wir uns in diesem Beweis auf
die Aussagenlogik und uberlassen es dem Leser, sich die Erweiterung auf die
Pradikatenlogik zu uberlegen.
Wir nehmen an, da es keine geschlossene Erweiterung von T0 gibt. Daraus
schlieen wir auf die Existenz eines oenen Pfades P , mit den folgenden
Eigenschaften:
1. fur jede Formel A 2 M gilt 1 TA 2 P ,
2. fur jedes -Formel 2 P gilt 1 2 P und 2 2 P ,
155
3. fur jedes -Formel 2 P gilt 1 2 P oder 2 2 P ,
4. fur jede -Formel 2 P gilt fur jede Praxvariable U 2 PV ar auch
U 0 2 P ,
5. fur jede -Formel 2 P gibt es ein k 2 N mit k 0 2 P .
Sei ) eine Praxsubstitution, so da fur alle A 2 P gilt )() 2 gp(P ). Wir
setzen P = )(P ). Auerdem sei ) so gewahlt, da fur alle U A 2 P und
alle 0 2 gp(U P ) auch 0 A 2 P gilt. Das ist moglich wegen Bedingung 4
an P . Wir konstruieren aus P eine Kripke-Struktur
K
= (G R M )
G
= gp(B )
sRt
, length(t) = length(s) + 1
v( p) = 1 , p 2 P Jetzt kann man leicht beweisen, durch Induktion uber die Komplexitat von
A, da fur jede Praxformel ( A) 2 P gilt (K ) j= A.
156
3.6.4 Reduktion auf Pradikatenlogik erster Stufe
In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie sich die modale Logik auf die
Logik des Pradikatenkalkuls erster Stufe reduzieren lat. Wir beschranken
uns dabei auf modale Logiken mit konstantem Universum. Einem modallogischen Vokabular V wird dabei ein pradikatenlogisches Vokabular VRed
zugeordnet, jeder Formel A 2 Mfml(V ) wird in eine Formel Red(A) des
PK1 im Vokabular VRed transformiert und zu jeder modallogischen Struktur
K = < G R M > wird eine VRed-Struktur Red(K ) konstruiert, so da gilt:
(K g) j= A(a1 : : : ak ) gdw Red(K ) j= Red(A)(a1 : : : ak g)
De
nition 58 (VRed)
Fur jedes n-stellige Relationszeichen p(x1 : : : xn) in V enthalt VRed
ein (n+1)-stelliges Relationszeichen pRed(x1 : : : xn xn+1 ).
VRed enthalt eine neues binares Relationszeichen r(x y) und ein neues
einstelliges Relationszeichen w(x).
Die Funktions- und Konstantenzeichen von VRed sind dieselben, wie
fur V .
De
nition 59 (Red(A))
Red(p(t1 : : : tn)) = pRed(t1 : : : tn y) ^ w(y)
Red(A ^ B ) = Red(A) ^ Red(B )
Red(:A) = :Red(A)
Red(9xA) = 9x(:w(x)^ Red(A))
Red(8xA) = 8x(:w(x) ! Red(A))
Red(2A) = 8x(r(y x) ! Red(A)( xy )
Red(3A) = 9x(r(y x) ^ Red(A)( xy )
157
Die Formel Red(A) enthalt stets eine freie Variable mehr als A. Diese
zusatzliche freie Variable wird in allen Formeln mit y bezeichnet. Dabei
wird vorausgesetzt, da
y in keiner Formel A benutzt wird. Ebenso wird
stillschweigend vorausgesetzt, da
die neue Variable x, die in Red(2A) und
Red(3A) benutzt wird, neu ist.
Beispiel 20 () Red(8x2p(x) ! 28xp(x)):
8x(:w(x) ! 8z(r(y z) ! (p(x z) ^ w(z))])
!
8z(r(y z) ! 8x(:w(x) ! (p(x z) ^ w(z)))
De
nition 60 (Red(K ))
Sei K = (G R M ) eine Kripke Struktur im Vokabular V mit Universum
U = Ug fur alle g 2 G.
Das Universum von Red(K ) sei G U:
Sei g0 ein beliebiges Element aus G. Fur ein Funktionszeichen f aus V setzen
wir:
f M (g)(a : : : a ) falls alle a 2 U
1
k
i
Red
f (a1 : : : ak ) = g
sonst
0
Fur ein Relationszeichen p aus V setzen wir:
Red(K )j= pRed(a1 : : : an b) gdw b 2 G a1 : : : an 2 U und (K b) j=
p(a1 : : : an).
Fur die neuen Relationszeichen r und w soll gelten:
Red(K )j= r(b c) gdw b c 2 G und bRc.
Red(K )j= w(b) gdw b 2 G.
Lemma 62 (Reduktionslemma)
Sei A(a1 : : : ak ) 2 Mfml, K =< G R M > eine Kripke Struktur,
g 2 G und a1 : : : ak 2 M (g), dann gilt:
(K g) j= A(a1 : : : ak ) gdw Red(K ) j= Red(A)(a1 : : : ak g)
158
Beweis: Induktion uber die Komplexitat der Formeln A.
Ist A(x1 : : : xk ) = p(x1 : : : xk ) so folgt die Behauptung des Lemmas
direkt aus der Denition der Interpretation des neuen Relationszeichens
pRed(x1 : : : xk y) in Red(K ).
Im Fall A(x1 : : : xk ) = 9x0A0(x0 x1 : : : xk ) argumentieren wir zunachst
fur die Implikation von links nach rechts.
Aus (K g) j= A(a1 : : : ak ) folgt die Existenz eines Elements a0 2 U
mit (K g) j= A0(a0 a1 : : : ak), woraus nach der Induktionsvoraussetzung
Red(K )j= Red(A0(a0 a1 : : : ak g)) folgt. Nach der Interpretation von w in
Red(K ) gilt auch Red(K )j= :w(a0) und damit auch Red(K )j= 9x0(:w(x0) ^
A0(x0 a1 : : : an g)), i.e. Red(K )j= Red(A).
Zum Beweis der umgekehrten Implikation gehen wir aus von der Annahme
Red(K ) j= RedA(a1 : : : an g)
d.h. von
Red(K ) j= 9x0(:w(x0) ^ Red(A0(x0 a1 : : : an g))):
Es gibt also ein a0 2 U mit Red(K )j= RedA0(a0 a1 : : : an g). Nach Induktionsvoraussetzung folgt
(K g) j= A0(a0 a1 : : : ak )
und somit auch (K g) j= 9x0A0(x0 a1 : : : ak ).
Satz 63 (Reduktionssatz)
Seien A 2 Mfml, " Mfml ohne freie Variable und Red(") =
f8y(w(y) ! Red(B )) : B 2 "g
1. Ist 8y (w(y) ! Red(A)) eine pradikatenlogische Tautologie, dann ist A
eine K-Tautologie.
2. Gilt Red(") ` 8y (w(y) ! Red(A), dann gilt auch " `K
G A.
Beweis:
zu 1
Sei K =< G R M > eine Kripke-Struktur. Wir mussen
fur jedes g 2 G zeigen (K g) j= A. Nach Voraussetzung gilt Red(K ) j=
159
8y(w(y) ! Red(A), also auch Red(K ) j= Red(A)(g). Mit Lemma 62 folgt
die gewunschte Aussage.
zu 2
Sei K =< G R M > wieder eine Kripke-Struktur. Wir nehmen
an, da fur alle g 2 G gilt (K g) j= " und wollen zeigen, da A in K gultig
ist. Wegen Lemma 62 folgt fur jede Formeln B 2 " aus dieser Voraussetzung
zunachst Red(K ) j= Red(B )(g) fur alle g 2 G, und damit auch Red(K ) j=
8y(w(y) ! Red(B )(y)). Nach der Pramisse der zu beweisenden Behauptung
folgt daraus Red(K ) j= 8y(w(y) ! Red(A)(y)), d.h. Red(K ) j= Red(A)(g))
fur alle g 2 G. Nach Lemma 62 folgt hieraus die Gultigkeit von A in K .
Die umgekehrten Implikationen in Satz 63 sind nicht richtig. Das liegt daran, da nicht jede VRed-Struktur M in der Form Red(K ) = M dargestellt
werden kann. Dieser Mangel lat sich beheben.
De
nition 61
Mit "Kripke bezeichnen wir die folgende Menge pradikatenlogischer Formeln
im Vokabular VRed:
9xw(x)
8x8y(r(x y) ! (w(x) ^ w(y)))
Fur jedes Relationszeichen p 2 V :
8x1 : : :xk y(pRed(x1 : : : xk y) ! :w(x1) ^ : : : ^ :w(xk ) ^ w(y))
Fur jedes Funktionszeichen f 2 V :
8x1 : : :xk (:w(x1) ^ : : : ^ :w(xk ) ! :w(f (x1 : : : xk )))
8x1 : : :xk (w(x1) _ : : : _ w(xk ) ! f (x1 : : :xk ) = c) ^ w(c)
Hierbei ist c ein neues Konstantenzeichen.
Lemma 64 Sei M eine VRed-Struktur. Dann gibt es eine Kripke Struktur
K im Vokabular V mit Red(K ) = M
gdw
M j= "Kripke
160
Satz 65 (Zweiter Reduktionssatz)
Seien A 2 Mfml, " Mfml ohne freie Variable und Red(") =
f8y(w(y) ! Red(B )) : B 2 "g
1. A ist eine K-Tautologie
gdw
"Kripke `PK 8y(w(y) ! Red(A))
2. Red(") "Kripke `PK 8y(w(y) ! Red(A)
gdw
" `K
G A.
Beweis: Analog zum Beweis von Satz 63 mit Hilfe von Lemma 64.
3.6.5 U bungsaufgaben
U bungsaufgabe 3.6.1 Zeigen Sie, da
fur jede Welt g in jeder Kripke
Struktur fur jede Formel F (x) mit der freien Variablen x gilt
g j= 28xF (x) ! 8x2F (x)
U bungsaufgabe 3.6.2 Zeigen Sie, da
fur jede Welt g einer Kripke Struk-
tur mit konstantem Universum fur jede Formel F (x) mit der freien Variablen
x gilt
g j= 8x2F (x) ! 28xF (x)
Diese Formel ist in der Literatur unter dem Namen Barcansche Formel bekannt.
U bungsaufgabe 3.6.3 Gibt es eine modallogische Formel A, so da
A in
allen Kripke Strukturen (G R M ) gilt, fur die R der Einschrankung
8xyz(xRz ^ yRz ! x = y)
genugt, und A gilt aber nicht in allen Kripke trukturen?
161
U bungsaufgabe 3.6.4 Zeigen Sie an einem Gegenbeispiel, da
die Ein-
schrankung bzgl. des neu zu wahlenden Prax in der -Regel notwendig ist
fur die Korrektheit des Kalkuls.
U bungsaufgabe 3.6.5 Diese Aufgabe dient der genaueren Untersuchung
von Denition 59, insbesondere der Frage, wozu die Relation w(x) gebraucht
wird. Stellen Sie sich vor die Transformation von A in Red(A) ware wie in
Denition 59, jedoch ohne w(x) zu benutzen. Diese Transformation wollen
wir fur die Zwecke dieser Ubungsaufgabe
mit Red0 bezeichnen. Insbesondere
gilt also
Red0 (9xA0) = 9xRed0 (A0)
Finden Sie eine Formel und eine Kripke Struktur K =< G R M >, so
da
Lemma 62 falsch wird.
U bungsaufgabe 3.6.6 Zeigen Sie, da
die umgekehrte Implikation in Satz
63 nicht richtig ist. Finden Sie also eine Formel F , so da
Red(F ) eine
Tautologie ist, aber F keine modallogische Tautologie ist.
U bungsaufgabe 3.6.7 Berechnen Sie Red(A) fur die folgenden Formeln
der modalen Aussagenlogik. Machen Sie sich vorher klar, welche Konse
quenz die Beschrankung auf die Aussagenlogik fur den Ubersetzungsproze
insgesamt hat.
1. 22p ! 2p
2. 23p ! 32p
3. p ! 2p
162
3.7 Dynamische Logik
Die dynamische Logik liefert eine Sprache zur Beschreibung der Semantik
von Programmiersprachen und einen Kalkul zur Verikation von Programmen in diesen Programmiersprachen. Die Syntax der dynamischen Logik ist
eine sehr weitreichende Erweiterung der aus dem Hoare Kalkul bekannten
Aussagen. Als Vorlaufer dieses Ansatzes einer Logik fur Programme wird
ublicherweise die Arbeit von V. R. Pratt zitiert V.R.Pratt, 1976]. Der Begri dynamische Logik und die spezielle Form, die wir in diesem Kapitel
prasentieren, stammt aus der Arbeit Harel, 1979], die eine erweiterte Form
der Dissertation von David Harel aus dem Jahr 1978 ist. Die besten Referenzen heute sind Harel, 1984], Goldblatt, 1987] Section 10 und Part Three,
Goldblatt, 1982]. Ziel der dynamischen Logik ist nicht die direkte Anwendbarkeit in der Programmverikation sondern am besten beschrieben durch
das folgende Zitat aus Harel, 1984]
... the idea is to study the mathematical properties of programs
and their behaviour and the tools for reasoning about them, with
the objective of singling out and gaining a better understanding
of those concepts and methods which are fundamental to the
reasoning process.
Ein Bestandteil der dynamischen Logik ist die Klasse * der erlaubten Programme. Durch die Festlegung von * entstehen verschiedene Varianten der
dynamischen Logik. In der Regel sind die betrachteten Programmkonstrukte jedoch sehr allgemeiner Art im Einklang mit dem oben zitierten Ziel des
ganzen Unterfangens. Wir stellen eine dynamische Aussagenlogik und eine
dynamische Quantorenlogik getrennt vor.
3.7.1 Dynamische Aussagenlogik
Auf der aussagenlogischen Ebene treten keine Individuenvariablen und
auch keine Programmvariablen auf. Es gibt daher auf dieser Ebene keine
Moglichkeit die einfachsten Programmkonstrukte, namlich die Zuweisungen,
zu beschreiben. Statt dessen treten, ahnlich den aussagenlogischen Variablen in der normalen Aussagenlogik, atomare Programme, *0, auf. Wie in
163
der Pradikatenlogik aussagenlogische Variablen durch Formeln ersetzt werden, werden in der dynamischen Quantorenlogik atomare Programme durch
konkrete Programmbefehle ersetzt.
De
nition 62 (Formeln und Programme)
Die Menge der Formeln der dynamischen Aussagenlogik Fmldal und der
erlaubten Programme * wird simultan induktiv deniert durch
1. die Konstanten wahr und falsch sind in Fmldal,
2. jede aussagenlogische Variable ist in Fmldal, i.e. F0 Fmldal,
3. sind F1 F2 2 Fmldal, dann auch :F1, (F1 _ F2),
4. fur F 2 Fmldal und 2 * gilt <
> F 2 Fmldal,
5. jedes atomare Programm ist ein Programm, i.e. *0 *,
6. sind in *, dann auch (
), (
) und (
),
7. fur F 2 Fmldal gilt (F ?) 2 *.
*0 = Menge der atomaren Programme
F0 = Menge der aussagenlogischen Variablen
Man beachte, da weder Fmldal noch * unabhangig voneinander deniert
werden konnen.
Bevor wir gleich zu einer prazisen Denition der Semantik der eben denierten Formeln und Programme kommen, geben wir eine informelle Beschreibung der intendierten Bedeutung:
<
> F 2 Fmldal
(
)
(
)
(
)
(F ?) 2 *
es gibt eine Ausfuhrung von nach der F gilt
Hintereinanderausfuhrung von und nichtdeterministische Auswahl zwischen und indeterministisch endliche Wiederholung von Fortsetzung nur wenn F wahr ist
Ein Programm bewirkt einen U bergang von einem Zustand w1 zu einem Zustand w2. Auf der aussagenlogischen Ebene ist die Menge der Zustande eine
164
nicht weiter prazisierte Menge W . Die Interpretation () eines Programmes besteht aus der Angabe einer Menge von Paaren (s t) von Zustanden,
so da einen Zustandsubergang von s nach t bewirkt. Da auch indeterministische Programme in die Betrachtungen mit eingeschlossen werden sollen,
mu () keine Funktion sein, sondern kann eine beliebige Relation zwischen
Zustanden sein.
De
nition 63 (DAL-Struktur)
Eine Struktur A = (W ) fur die dynamische Aussagenlogik besteht aus
einer nichtleeren Menge W von Zustanden,
einer Belegung der aussagenlogischen Variablen mit Wahrheitswerten. Genauer ordnet jeder aussagenlogischen Variablen, p, die Menge
von Zustanden zu, in denen p wahr ist, d.h. fur p 2 F0 ist (p) W ,
einer Interpretation der atomaren Programme, d.h. einer Funktion
: *0 ! W W
De
nition 64 (Semantik fur dynamische Aussagenlogik)
Sei A = (W ) eine Struktur fur die dynamische Aussagenlogik, dann wird
die Funktion fortgesetzt auf alle Formeln aus Fmldal und fortgesetzt auf
alle Programme aus * durch die folgende simultane induktive Denition
1. (wahr) = W und (falsch) = 2. (:F ) = W n (F )
3. (F1 _ F2) = (F1) (F2)
4. (<
> F ) = fs 2 W j es gibt ein t mit (s t) 2 (
) und t 2 (F )g
5. (
) = f(s t) j es gibt ein u mit (s u) 2 (
) und (u t) 2 ( )g
6. (
) = (
) ( )
7. (
) = f(s t) j es gibt ein k und es gibt s0 : : : sk mit s0 = s sk =
t und (si;1 si) 2 (
) fur alle 1 i kg
8. (F ?) = f(s s) j s 2 (F )g
165
]F
fur : <
> :F
if A then else fur (A? ) (:A? )
while A do fur (A? ) :A?
repeat until A fur (:A? )
Abbildung 3.8: Einige denierte Programmkonstrukte
In Abbildung 3.8 sind einige der gangigen Programmkonstrukte und ihre
Denitionen in dynamischer Logik zusammengestellt. Um etwas Vertrautheit
mit der Notation fur Programme in der dynamischen Logik zu erwerben
betrachten wir die Denition der while-Schleife etwas genauer. Zunachst
bemerken wir
(A? ) = f(s t) j s 2 (A) und (s t) 2 (
)g
Mit dieser Information ausgestattet rechnen wir die Interpretation fur die
angegebene Denition der while-Schleife aus:
((A? ) :A?)
= f(s t) 2 ((A? )) j t 2 (:A)g
= f(s t) j es gibt 0 k und s0 : : : sk mit
s0 = s
sk = t
(si;1 si) 2 (
) fur alle i mit 1 i k
si 2 (A) fur alle i mit 0 i < k und
t 62 (A)g
Man beachte, da fur s 62 (A) auch (s s) 2 ((A? ) :A?) gilt. Das ist
der Fall k = 0.
Ist s ein Zustand in einer Struktur A und ein erlaubtes Programm, dann
wird die Aussage, da im Zustand s terminiert in der Terminologie der
dynamischen Logik durch die Aussage, es gibt ein t 2 W mit (s t) 2 (
)
ausgedruckt.
De
nition 65 Sei A = (W ) eine Struktur der dynamischen Aussagenlogik w 2 W und F 2 Fdal. Wir benutzen die folgende Terminologie
166
w erfullt F
w j= F fur w 2 (F ):
F ist A-gultig
A j= F fur w 2 (F ) fur alle w 2 W:
F ist allgemeingultig j= F fur F ist A-gultig fur alle A
De
nition 66 (Das logische System DAL)
Das logische System DAL besteht aus den folgenden Axiomen und Regeln
Axiome
Alle Tautologien der Aussagenlogik
<
> (F _ G) $ <
> F _ <
> G
<
> F
$ <
>< > F
<
> F
<
> F
<A? > F
](F ! ]F )
](F ! G)
$
$
$
!
!
<
> F _ < > F
F _ <
><
> F
A^F
(F ! ]F )
]F ! ]G
Regeln
F, F ! G
F
]F
(A1)
(A2)
(A3)
(A4)
(A5)
(A6)
(A7)
(A8)
(MP)
G
(G)
Mit `DAL bezeichnen wir die Ableitbarkeitsrelation im System DAL.
Lemma 66 In DAL gelten die folgenden abgeleiteten Regeln:
F ! ]F
(I)
F ! ]F
F !G
(D)
]F ! ]G
F ! G, G ! H
(T)
F !H
Beweis:
(I)
Die Axiome und Regeln aus Denition 66 sind Schemata,
167
anwendbar fur jede Instanziierung der darin vorkommenden Formeln F , G
und Programme , . Aus F ! ]F kann man mit einer Anwendung der
Regel (G) mit anstelle von in einem Schritt ](F ! ]F ) herleiten.
Mit (A7) und (MP) folgt daraus die gewunschte Konklusion F ! ]F .
(D)
Aus F ! G folgt mit (G) ](F ! G), woraus mit Axiom
(A8) und modus ponens (MP) die Konklusion ]F ! ]G folgt.
(T)
Reine Aussagenlogik.
Lemma 67 Die folgenden Formeln sind aus DAL und der Denition
]F $ : <
> :F
herleitbar
1
2
3
4
](F ^ G)
]F
]F
]F
$
$
$
$
]F ^ ]G
] ]F
]F ^ ]F
F ^ ]
]F
Beweis: Die vier Formeln folgen aus der Denition und jeweils aus den
Axiomen (A2), (A3), (A4) und (A5) mit Aussagenlogik.
Satz 68 (Korrektheitssatz fur DAL)
Fur jede Formel F aus Fmldal gilt:
aus `DAL F folgt j= F
Beweis: Einfaches Nachrechnen.
Satz 69 (Vollstandigkeitssatz fur DAL)
Fur jede Formel F aus Fmldal gilt:
aus j= F folgt `DAL F
168
Beweis: Siehe z.B. Harel, 1984], pp 512 - 515.
De
nition 67 (Fischer-Ladner Abschlu)
Ist F eine Formel in Fmldal dann hei
t die kleinste Formelmenge S , welche die folgenden Abschlu
eigenschaften besitzt, der Fischer-Ladner Abschlu
von F , bezeichnet mit FL(F ):
1
F 2S
2
:G 2 S
3 (G1 _ G2) 2 S
4
<
> G 2 S
5 <
> G 2 S
6 <
> G 2 S
6
<
> G 2 S
7 <G1? > G2 2 S
)
)
)
)
)
)
)
G2S
G1 2 S and G2 2 S
G2S
<
>< > G 2 S
<
> G 2 S und < > G 2 S
<
><
> G 2 S
G1 2 S und G2 2 S
De
nition 68
Ist A = (W ) eine Fmldal-Struktur und S eine Menge von Fmldal
Formeln, dann denieren wir die Aquivalenzrelation
S auf der Menge W
aller Zustande durch
w1 S w2 gdw w1 j= F , w2 j= F fur alle F 2 S
Vergleiche Denition 45.
De
nition 69
Die Qutientenstruktur AS = (WS S S ) zu einer Struktur A modulo der
Aquivalenzrelation S wird fur atomare Formeln p und atomare Programme
2 *0 wie ublich deniert:
WS = fw] j w 2 W g w] ist die Aquivalenzklasse
von w
S (p) = fw] j w 2 (p)g falls p 2 S
S (p) = beliebig sonst
Die Denition der Ubergangsrelationen
S () ist etwas komplizierter:
(w1] w2]) 2 S () gdw fur alle < > B 2 S gilt
w1 j= : < > B ) w2 j= :B
169
Wir haben um die Anzahl der Fallunterscheidungen zu verringern nur die
Modaloperatoren < > in den Formeln in S zugelassen. Die Operatoren ]
konnen ja durch : < > : ersetzt werden. Fuhrt man in der Denition von
S () den Boxoperator wieder ein, so erhalt man die aquivalente Bedingung:
(w1] w2]) 2 S () gdw fur alle ]B 2 S gilt
w1 j= ]B ) w2 j= B
Man vergleiche diese Denition mit der in Aufgabe 3.4.1 beschriebenen modalen Zuganglichkeitsrelation R. Als Vorbereitung auf den nachsten Beweis
uberlege man sich, da aus (w1 w2) 2 () stets (w1] w2]) 2 S () folgt.
Diese Beziehung gilt auch fur beliebige Programme 2 * anstelle von atomaren Programmen .
Lemma 70
Sei F eine Fmldal-Formel, S = FL(F ) ihr Fischer-Ladner Abschlu
, A =
(W ) eine Fmldal-Struktur und AS = (WS S S ) ihre Quotientenstruktur modulo S , dann gilt fur alle G 2 S , 2 * und w 2 W
1. Aus (w1] w2]) 2 S (
) folgt fur alle < > B 2 S gilt
w1 j= : < > B ) w2 j= :B
2. w j= G gdw w] j= G
Beweis: Der Beweis der beiden Behauptungen erfolgt durch simultane Re-
kursion uber die Komplexitat von bzw. von G. Fur atomare Programme
und Formeln reduzieren sich beide Aussagen auf die entsprechenden Denitionen. Die Induktionsschritte im Beweis von 2, welche die aussagenlogischen
Verknufungen in G betreen sind einfach. Wir wollen den Schritt von B nach
< > B vorfuhren.
Gilt w1 j=< > B , so gibt es einen Zustand w2 mit (w1 w2) 2 (
)
und w2 j= B . Nach Induktionsvoraussetzung gilt auch w2] j= B und nach
der oben gemachten Bemerkung auch (w1] w2]) 2 S (
) und damit auch
w1] j=< > B . Nehmen wir jetzt umgekehrt an, da w1] j=< > B gilt,
so gibt es ein w2] mit (w1] w2]) 2 S (
) und w2] j= B und damit nach
Induktionsvoraussetzung auch w2 j= B . Wurde nun w1 j= : < > B gelten,
so wurde nach Teil 1 fur s (
) der Widerspruch w2 j= :B folgen.
170
Als ein Beispiel im Beweis von 1 betrachten wir den Induktionsschritt von
< > auf < > und < >. Gelte also (w1] w2]) 2 S (
). Nach
Denition der Hintereinanderausfuhrung gibt es also ein u mit
(w1] u]) 2 S (
) und
(u] w2]) 2 S ( )
Nach Induktionsvoraussetzung gilt fur alle < > B 2 S und alle < > C 2
S
w1 j= : < > B ) u j= :B
(1)
u j= : < > C ) w2 j= :B
(2)
Zu zeigen ist, da fur alle < > F 2 S aus w1 j= : < > F
folgt w2 j= :F . Gelte also w1 j= : < > F . Nach Denition des
Fischer-Ladner-Abschlusses gilt auch < >< > F 2 S und damit auch
< > F 2 S . Aus der Annahme folgt unmittelbar
w1 j= : < >< > F
Aus (1) mit B =< > F folgt:
u j= : < > F
Woraus mit (2) schlielich wie gewunscht
w2 j= :F
folgt.
Satz 71 (Entscheidbarkeit)
Das Erfullbarkeitsproblem fur DAL ist entscheidbar.
Beweis: siehe Harel, 1984], Theorem 2.12 auf S. 515.
3.7.2 Dynamische Quantorenlogik
Die dynamische Quantorenlogik, DQL, ist eine Erweiterung der Pradikatenlogik erster Stufe. Insbesondere ist zur Festlegung einer Instanz der dynamischen Quantorenlogik die Angabe eines Vokabulars V erforderlich, das die
171
erlaubten Funktions- und Konstantenzeichen enthalt. Das Gleichheitszeichen = soll stets in V vorhanden sein und mit V ar werde die Menge aller
Individuenvariablen bezeichnet.
De
nition 70 (Formeln und Programme)
Die Menge der Formeln der dynamischen Quantorenlogik Fmldql und der
erlaubten Programme * wird simultan induktiv deniert durch
1. die Konstanten wahr und falsch sind in Fmldql,
2. jede atomare Formel ist in Fmldql,
3. sind F1 F2 2 Fmldql und x eine Variable in V ar, dann sind auch :F1,
(F1 _ F2) und 9xF1 Formeln in Fmldql,
4. fur F 2 Fmldql und 2 * gilt <
> F 2 Fmldql,
5. fur jede Variable x 2 V ar und jeden Term t ist (x := t) 2 *,
6. sind in *, dann auch (
), (
) und (
),
7. fur F 2 Fmldql gilt (F ?) 2 *.
Wir benutzen stillschweigend auch die denierbaren logischen Operatoren ^,
!, $, 8x und ].
Man beachte, da in pradikatenlogischen Formeln und in Programmen dieselben Individuenvariablen benutzt werden. Haug wird in Formulierungen der
dynamischen Quantorenlogik die Anwendung des Testoperators ? auf quantorenfreien, pradikatenlogische Formeln beschrankt.
Die Semantik von Formeln aus Fmldql wird durch eine ubliche Struktur M
der Pradikatenlogik erster Stufe festgelegt, mit einem Universum UM und Interpretationen fM und RM der Funktions- und Relationszeichen. Die Menge
W der Zustande ist die Menge aller Belegungen von Individuenvariablen,
d.h. W = fw j w : V ar ! UM g. Ausgehend von M konnen die Abbildungen und wie in Denition 64 bestimmt werden, wobei an die Stelle
aussagenlogischer Variablen jetzt atomare Formeln treten und die Stelle atomarer Programme jetzt durch Zuweisungen (x := t) eingenommen wird. Die
einzigen nachzutragenden Klauseln der Semantikdenition sind also
De
nition 71 (Semantik der dynamischen Quantorenlogik)
172
1. w 2 (R(t1 : : : tk )) gdw die atomare Formel R(t1 : : : tk ) ist wahr in
der Struktur M unter der Belegung der Variablen w.
2. (x := t) = f(w1 w2) j w2 (y) = w1(y ) fur x 6= y und w2(x) =
I (M w1)(t)g
wobei I (M w1)(t) die Interpretation des Terms t in M unter der Belegung w1 ist.
Wir schreiben auch (M w) j= F , gelesen als "die Formel F ist wahr im
Zustand w in M\, anstelle von w 2 (F ).
De
nition 72 Wir sagen F ist gultig in M, falls fur jeden Zustand w gilt
(M w) j= F .
F hei
t allgemeingultig, falls M j= F fur jede Struktur M gilt.
Satz 72 (Uninterpretierter Fall)
Die Menge aller allgemeingultigen Formeln in Fmldql ist nicht rekursiv
aufzahlbar.
Beweis: siehe Harel, 1984] Theorem 3.7, p.551.
Nach diesem Satz ist eine vollstandige und korrekte Axiomatisierung der dynamischen Quantorenlogik nicht moglich. Erweitert man den Begri eines
Axiomensystems und lat auch Regeln mit unendlich vielen Pramissen zu,
was zumindest theoretisch durchaus Sinn macht, so kann eine vollstandige
und korrekte innitare Axiomatisierung gegeben werden, siehe Harel, 1984]
pp. 559-560.
Neben dem eben angesprochenen uninterpretierten Fall ist mit Rucksicht auf
praktische Belange der interpretierte Fall von groerer Bedeutung. Hierbei
werden die Funktions- und Relationszeichen des Vokabulars V in einer fest
gewahlten Struktur M interpretiert und gefragt wird nach den in M gultigen
Formeln. Die Struktur M wird ublicherweise die Datenstrukturen der betrachteten Programme enthalten, etwa die naturlichen Zahlen, Listen von Basisobjekten und ahnliches. In der Regel wird dabei schon die Menge der in M
gultigen Formeln der Pradikatenlogik erster Stufe schon nicht mehr rekursiv
aufzahlbar sein, so da auch im interpretierten Fall kein vollstandiges und
korrektes Axiomensystem fur die dynamische Pradikatenlogik zu erwarten
ist. Interessanterweise gilt jedoch ein relativer Vollstandigkeitssatz, zumindest fur Strukturen M, die einer gewissen Reichhaltigkeitsforderung genugen.
173
Dabei werden alle in M gultigen Formeln erster Stufe zu den Axiomen hinzugenommen.
De
nition 73 Eine Struktur M hei
t eine arithmetische Struktur,
wenn sie die naturliche Zahlen in denierbarer Weise enthalt, d.h. es gibt
Formeln U (x),A(x y z ),M (x y z) in der Pradikatenlogik erster Stufe, so
da
die Struktur (U a m) isomorph zur Struktur (IN + ) der naturlichen
Zahlen ist, wobei
U
= fg 2 UM j M j= U (g)g
a(g h) = k gdw M j= A(g h k)
m(g h) = k gdw M j= M (g h k)
De
nition 74 (Das logische System DQLM)
Sei M eine Struktur.
Das logische System DQLM besteht aus den folgenden Axiomen und Regeln
Axiome
Alle Tautologien der Aussagenlogik
(A1)
Alle in M gultigen Formeln des PK1 (A2)
< x := t > F $ F (t=x)
(A3)
Regeln
F, F ! G
F
]F
(MP)
G
(G)
Wir schreiben `calM F , wenn F in dem System DQLM herleitbar ist.
Satz 73 (Relative Vollstandigkeit)
Sei M eine arithmetische Struktur. Dann gilt fur jede Formel F 2 Fmldql :
M j= F genau dann, wenn `M F
Beweis: siehe Harel, 1984], Theorem 3.19, p.565.
174
3.7.3 U bungsaufgaben
U bungsaufgabe 3.7.1 In der Denition 64 wird die Semantik einer Formel
F durch die Menge (F ) aller Welten beschrieben, in denen F wahr ist.
Dieselbe Information la
t sich vermitteln durch die Relation (A w) j= F ,
wobei
(A w) j= F gdw w 2 (F )
Geben Sie eine induktive Denition fur (A w) j= F .
U bungsaufgabe 3.7.2 Sei eine Struktur A der dynamischen Aussagenlogik
gegeben. Ein Programm hei
t deterministisch, wenn aus (s t1) 2 (
)
und (s t2) 2 (
) folgt t1 = t2. Zeigen Sie, da
fur deterministisches und
jede Formel F 2 Fmldal gilt
A j=<
> F ! ]F
175
Kapitel 4
Temporale Logik
176
4.1 Lineare Temporale Logik
Fat man die Welten eines Kripke Rahmens (G R) als die Zustande eines
Weltausschnitts zu verschiedenen Zeitpunkten auf und R als eine zeitliche
Vorgangerrelation, so hat man ohne A nderung unserer bisherigen Syntax und
Semantik schon eine einfache temporale Logik erhalten. Die Relation R(s t)
wird dabei gelesen als s liegt zeitlich vor t und wir schreiben s < t statt R(s t).
Gilt fur K = (G < v) und t 2 G die Modellbeziehung (K t) j= A, so sagen
wir die Formel A gilt zum Zeitpunkt t. Insbesondere wird (K t) j= 3A gelesen: zu einem zukunftigen Zeitpunkt gilt A und entsprechend (K t) j= 2A
als in jedem zukunftigen Zeitpunkt gilt A. Wir wollen diesen Bedeutungswechsel auch in der Notation sichtbar machen und schreiben sifA (sometime
in the future) anstelle von 3A und aifA (always in the future) fur 2A.
Was wir bisher einen Rahmen nannten, heit jetzt eine Zeitstruktur und
Kripke Strukturen heien jetzt temporale Strukturen. Fur verschiedene Anwendungsgebiete mogen verschiedene Zeitstrukturen (G <) interessant sein.
Man mu entscheiden, ob die Zeit einen Anfangspunkt haben soll oder sich
unendlich in die Vergangenheit erstrecken darf, ob Zeitpunkte diskret aufeinander folgen oder ein dichtes Kontinuum bilden, ob es nur eine Zukunft gibt
oder Verzweigungen erlaubt sein sollen. Wir folgen hier der gangigen Klassizierung in lineare temporale Logiken und verzweigende temporale Logiken
(branching time temporal logics).
4.1.1 Einfuhrung
Wir wollen hier zunachst nur die minimale Anforderung stellen, da (G <)
eine strikte partielle Ordnung ist.
Bei naherer Beschaftigung mit dieser einfachen temporalen Logik stellt man
aber entscheidende Mangel fest: man kann in ihr nicht alle zeitlichen Relationen ausdrucken, uber die man reden mochte. Es gibt zum Beispiel keine
Moglichkeit uber die Vergangenheit zu reden. Das lat sich andern durch
Einfuhrung zusatzlicher temporaler Operatoren, sip und aip mit der Bedeutung sometime in the past und always in the past.
De
nition 75 (Vergangenheitsoperatoren)
Fur eine temporale Struktur K = (G < v ) und t 2 G gelte
(K t) j= sip A gdw es gibt ein s 2 G mit s < t und (K s) j= A
(K t) j= aip A gdw fur alle s 2 G mit s < t gilt (K s) j= A
177
Weitere haug benutzte temporale Operatoren sind die zweistelligen Operatoren until und since, wobei A until B bedeutet, da irgendwann einmal
in der Zukunft B wahr wird und bis dorthin A wahr ist. Dual dazu ist
Ajsince B wahr, wenn es einen Zeitpunkt in der Vergangenheit gibt, zu dem
B wahr war und von da an bis jetzt A gegolten hat.
De
nition 76 (until und since)
Sei K = (G < v) eine temporale Struktur und t 2 G.
(K t) j= A until B gdw es gibt s 2 G mit t < s und (K s) j= B und
fur alle r mit t < r < s gilt (K r) j= A
(K t) j= A since B gdw es gibt s 2 G mit s < t und (K s) j= B und
fur alle r mit s < r < t gilt (K r) j= A
Neben der Inxschreibweise (p until q), die wir gewahlt haben, ndet man
auch haug die Praxschreibweise until(q p). Man beachte, da sich dabei
die Reihenfolge der Argumente vertauscht, um im Einklang mit der englischsprachigen Semantik zu bleiben.
De
nition 77 (LTL-Formeln)
Die Formeln der linearen Zeitlogik, LTL, (linear temporal logic), werden
induktiv wie folgt deniert:
1. die logischen Konstanten true und false sind LTL-Formeln,
2. jede aussagenlogische Variable ist eine LTL-Formel,
3. Sind F , G LTL-Formeln, dann auch die aussagenlogischen Kombinationen davon, d.h. :F , F _ G, F ^ G, etc.,
4. sind F , G LTL-Formeln, dann auch F since G, F until G.
Die gerade eingefuhrten temporalen Operatoren sif , aif , sip und aip kommen in LTL nicht explizit vor, sind aber in LTL denierbar.
Lemma 74 Die folgenden Aquivalenzen
gelten in allen Zeitstrukturen:
1. sif A $ true until A,
2. aif A $ :(true until :A),
178
3. sip A $ true since A,
4. aip A $ :(true since :A),
Beweis: Einfach.
Lemma 75 Die folgenden Aquivalenzen
gelten in allen linearen Zeitstrukturen:
1. C until (A _ B ) $ (C until A) _ (C until B )
2. C since (A _ B ) $ (C since A) _ (C since B )
3. (B ^ C ) until A $ (B until A) ^ (C until A)
4. (B ^ C ) since A $ (B since A) ^ (C since A)
Beweis: Einfach.
Man kann sich eine Vielzahl von Variationen der bisher betrachteten temporalen Operatoren vorstellen und alle wurden wahrscheinlich schon irgendwo
einmal deniert. Wir nennen hier nur einige Beispiele. In der Denition von
aif A wurde der Referenzzeitpunkt ausgeschlossen. Der Operator fno A
(from now on A) wird durch die Semantikdenition
(K t) j= fno A gdw fur alle s 2 G mit t s gilt (K s) j= A
festgelegt. Entsprechend kann man die Operatoren sif , aip und sip
abandern, so da auch der Referenzzeitpunkt in den Gultigkeitsbereich des
All- bzw. Existenzquantors mit ein bezogen wird. Haug werden auch die
Abschwachungen until0 und since0 betrachtet, mit der Semantik:
(K t) j= A until0 B gdw fur alle s 2 G mit t < s gilt (K s) j= :B
oder
es gibt s 2 G mit t < s und (K s) j= B und
fur alle r mit t < r < s gilt (K r) j= A
(K t) j= A since0 B gdw fur alle s 2 G mit s < t gilt (K s) j= :B
oder
es gibt s 2 G mit s < t und (K s) j= B und
fur alle r mit s < r < t gilt (K r) j= A
Fast uberussig zu sagen, da alle diese Varianten LTL-denierbar sind.
179
4.1.2 De
nierbarkeit
Interessanter ist die Frage, ob es uberhaupt einen temporalen Operator
gibt, der nicht LTL-denierbar ist. Das ist so noch keine prazise Frage,
da wir nicht deniert haben, was ganz allgemein ein temporaler Operator
sein soll. Eine Konkretisierung der Frage nach der Denitionsvollstandigkeit
von LTL erhalt man auf dem Umweg uber die Reduktion von LTL-Formeln
auf pradikatenlogische Formeln. Das Vokabular Vtemp , in dem die ubersetzten
Formeln stehen werden, umfat dabei fur jede Aussagenvariable p ein einstelliges Relationszeichen, das wir wieder mit demselben Buchstaben bezeichen,
also p(x) und auerdem ein zweistelliges Relationszeichen < fur die Ordnungsrelation.
De
nition 78 (U bersetzung in PL1)
Die Ubersetzungsfunktion
von LTL-Formeln in pradikatenlogische Formeln
in Fml(Vtemp) wird induktiv deniert durch:
1. (true) = A(x) _:A(x) und (false) = A(x) ^:A(x) fur ein beliebiges
einstelliges Pradikat A(x),
2. (p) = p(x) fur jede Aussagenvariable p,
3. (:F ) = :(F ), (F _ G) = (F ) _ (G), (F ^ G) = (F ) ^ (G),
etc.,
4. (F since G) = 9y (y < x ^ (G)(y=x) ^8z (y < z < x ! (F )(z=x)))
5. (F until G) = 9y (x < y ^ (G)(y=x) ^ 8z (x < z < y ! (F )(z=x))).
Man beachte, da
fur jede LTL-Formel F die Ubersetzung
(F ) genau x als
freie Variable enthalt.
Lemma 76 Fur eine temporale Struktur K = (G < v) sei Ktemp die
pradikatenlogische Struktur, die (G <) unverandert ubernimmt und in der
die einstellige Relation A(s) genau dann wahr ist, wenn v (s A) = 1 gilt.
Dann gilt fur alle LTL-Formeln F und alle t 2 G
(K t) j= F , Ktemp j= (F )t]
Die Schreibweise (F )t] soll signalisieren, da
t als Belegung fur die (einzige) freie Variable x in (F ) benutzt werden soll.
180
Beweis: Einfaches Nachrechnen.
Wir konnen jetzt den Begri der Denitionsvollstandigkeit von LTL folgendermaen konkretisieren:
De
nition 79 (De
nitionsvollstandigkeit)
Sei M eine Klasse von Zeitstrukturen. LTL hei
t denitionsvollstandig bzgl.
M, wenn fur jede pradikatenlogisch Vtemp -Formel F (x) mit genau einer freien
Variablen x eine LTL-Formel A existiert, so da
fur alle (G <) 2 M und
alle Bewertungsfuntionen v gilt:
(G < v)temp j= 8x((A) $ F (x))
Satz 77
1. LTL ist denitionsvollstandig fur die Zeitstruktur (Z <) der ganzen
Zahlen.
2. LTL ist denitionsvollstandig fur die Zeitstruktur (IR <) der reellen
Zahlen.
3. LTL ist nicht denitionsvollstandig fur die Zeitstruktur (Q <) der rationalen Zahlen.
4. LTL ist nicht denitionsvollstandig fur die Klasse Mlin aller linearer
Zeitstrukturen.
Beweis: Die Beweise sind zum Teil sehr kompliziert. Die beste Referenz
dafur ist Gabbay et al., 1994]. Die Pionierarbeit auf dem Gebiet der Denierbarkeit temporaler Operatoren ist Kamp, 1968]. Um einen Eindruck zu
vermitteln von der Art der Beweisfuhrung und den dabei zu losenden Teilproblemen wollen wir wenigstens den einfachsten positiven Fall der Denitionsvollstandigkeit uber den ganzen Zahlen genauer betrachten. Wir folgen
dabei der Darstellung in Gabbay et al., 1994]. Wir sammeln zunachst noch
einige A quivalenzen, die spater nutzlich sein werden.
Lemma 78 Die folgenden Aquivalenzen
gelten in der Zeitstruktur der ganzen Zahlen:
181
1. :(B until A) $ (aif :A) _ (:A until (:A ^ :B ))
2. :(B since A) $ (aip :A) _ (:A since (:A ^ :B ))
3. :(B until A) $ (aif :A) _ ((:A ^ B ) until (:A ^ :B ))
4. :(B since A) $ (aip :A) _ ((:A ^ B ) since (:A ^ :B ))
Beweis: Es genugt 3. und 4. zu beweisen, da 1. und 2 Spezialfalle davon
sind. Wir beweisen 3. Nach Denition ist t j= :(B until A) aquivalent zu
Fur alle s > t mit s j= A gibt es ein s0 s > s0 > t mit s0 j= :B
Wir wollen uns uberlegen, da daraus die rechte Seite von 3. folgt. Falls
aif :A gilt, sind wir schon fertig. Anderenfalls gibt es ein s > t mit s j= A.
Wir wahlen das kleinste solche s, d.h. fur alle s0 mit s > s0 > t gilt s0 j= :A.
Nach Voraussetzung gibt es ein s0 mit s > s0 > t mit s0 j= :B . Wir wahlen
wieder das kleinste solche s0. Somit gilt s0 j= :A ^ :B und fur alle t0 mit
s0 > t0 > t gilt t0 j= B ^ :A. Das heit aber es gilt t j= aif :A _ ((:A ^
B ) until (:A ^ :B )).
Gelte nun umgekehrt die rechte Seite von 3. zum Zeitpunkt t. Falls t j=
aif :A gilt,dann gilt oensichtlich auch t j= :(B until A). Anderenfalls
gibt es ein s > t mit s j= (:A ^ :B ) und fur alle s0 mit s > s0 > t gilt
s0 j= (:A ^ B ). Wir zeigen, da daraus die linke Seite von 3. folgt. Sei dazu
ein u > t gegeben mit u j= A, dann muss u > s gelten und deswegen gibt es
u > s0 > t mit s0 j= :B .
Teil 4. des Lemmas wird analog bewiesen.
Die wesentliche Idee fur die Beweise der Denitionsvollstandigkeit, die wir
im folgenden betrachten werden, ist die Einfuhrung des Begries einer trennbaren Logik. Dieser Begri liegt nicht an der Oberache, er bietet sich
nicht oensichtlich an, sondern durch eine grundliche Analyse des Problems,
wurde zu Tage gefordert, da eine temporale Logik genau dann denitionsvollstandig ist, wenn sie die Trennbarkeitseigenschaft besitzt. Der Beweis
dieses Zusammenhangs bildet den ersten Schritt in unserem Beweis. Der
zweite Schritt besteht nun darin fur eine gegebene temporale Aussagenlogik TL und eine Klasse von Zeitstrukturen M die Trennbarkeitseigenschaft
nachzuweisen. Jetzt, zu den Details!
182
De
nition 80 (Zukunfts- und Vergangenheitsformeln)
Sei TL eine beliebige aussagenlogische Temporallogik, M eine Klasse von
Zeitstrukturen.
Eine Formel A aus TL hei
t eine Zukunftsformel bzgl. M, wenn fur jede
Zeitstruktur (G <) in M, jeden Zeitpunkt t 2 G und je zwei Interpretationsfunktionen v1 v2 mit v1(s) = v2(s) fur alle s > t gilt
(G < v1 t) j= A gdw (G < v2 t) j= A
Eine Formel A aus TL hei
t eine Vergangenheitsformel bzgl. M, wenn fur
jede Zeitstruktur (G <) in M, jeden Zeitpunkt t 2 G und je zwei Interpretationsfunktionen v1 v2 mit v1(s) = v2(s) fur alle s < t gilt
(G < v1 t) j= A gdw (G < v2 t) j= A
Knapp gesagt ist A eine Zukunftsformel, wenn ihre Gultigkeit zum Zeitpunkt
t nur von der Zukunft, d.h. nur von den s > t abhangt.
Beispiel 21 Die Formeln
sif p aif p (p until q) (p until(q until r))
sind Zukunftsformeln,
sip p aip p (p since q) (p since(q since r))
sind Vergangenheitsformeln und
(p until(q since r)) (p since(q until r))
sind weder Zukunfts- noch Vergangenheitsformeln.
De
nition 81 (Trennbarkeit)
Eine aussagenlogische Temporallogik TL ist trennbar bzgl. M, wenn jede Formel A uber M aquivalent ist zu einer Booleschen Kombination von
Zukunftsformeln, Vergangenheitsformeln und atomaren Formeln.
Satz 79 Sei TL eine temporale Aussagenlogik, M eine Klasse linearer Zeitstrukturen, so da
mindestens die Operatoren sif und sip in TL uber M
denierbar sind und TL trennbar ist bzgl. M.
Dann ist TL denitionsvollstandig fur M.
183
Beweis: Machen wir uns noch einmal klar, was bewiesen werden mu. Zu
jeder Formel F (x) der Pradikatenlogik erster Stufe uber dem Vokabular Vtemp
mit hochstens x als freier Variablen gibt es eine Formel A der temporalen
Logik TL so da fur jede temporale Struktur K = (G < v) mit (G <) 2 M
und jeden Zeitpunkt t 2 G gilt
(K t) j= A gdw Ktemp j= F (t)
Diese Korrespondenz wird durch Induktion uber die Quantorentiefe von F (x)
bewiesen. Ist F (x) quantorenfrei, dann ist x die einzige Variable, die in F
vorkommt. F (x) ist also eine Boolesche Kombination von atomaren einstelligen Formeln Q(x) und Formeln der Form x = x, x < x. Die letzten beiden
kann man eliminieren, indem man sie durch die Konstanten t bzw. f ersetzt.
Die temporale Formel A erhalt man jetzt durch Ersetzung der einstelligen
Pradikate Q(x) durch aussagenlogische Variablen Q. Soweit, so einfach. Wir
kommen jetzt zum Induktionsschritt: F (x) = 9yH (x y) Wir nehmen an,
da die Variable x in F (x) nicht quantiziert vorkommt und Teilformeln
x = x und x < x,wie oben, eliminiert wurden. Wir konnen die gewunschte
A quivalenz nicht in einem Schritt erreichen und werden zunachst ein etwas
schwacheres Resultat beweisen. Als Vorbereitung dazu erweitern wir das
0
Vokabular Vtemp vorubergehend zu Vtemp
durch Hinzunahme der einstelligen
Relationszeichen R= R< und R> . Sei H 0(x y) die Formel, die aus H (x y)
hervorgeht, indem fur alle Variablen z alle Teilformeln x = z durch R=(z),
alle Teilformeln x < z durch R< (z) und alle x > z durch R>(z) ersetzt werden. Fur eine Vtemp -Struktur Ktemp mit Universum G und t 2 G deniert
0 -Struktur Kt
0
man eine Vtemp
temp die Vtemp -Struktur durch die Festlegung:
t
Ktemp
j= R= (s) gdw s = t
t
Ktemp j= R< (s) gdw s < t
t
Ktemp
j= R> (s) gdw s > t
Dann gilt fur alle s 2 G
t
Ktemp j= H (t s) gdw Ktemp
j= H 0(t s)
Die Variable x kommt in H 0 nur noch als Argument einstelliger Pradikate
aus Vtemp vor. Somit lat sich H 0 durch elementare Umformungen in eine
logisch aquivalente Formel der Form
_
Hj (x) ^ G0j (y)]
j
184
transformieren, wobei
jedes Hj (x) eine Boolesche Kombination einstelliger Pradikatszeichen
aus dem nicht erweiterten Vokabular Vtemp ist,
jedes G0j (y) eine Formel von geringerer Quantorentiefe als F (x) ist und
hochstens y als freie Variable enthalt.
Nach Induktionsvoraussetzung gibt es TL-Formeln Cj so da fur jede temporale Struktur H = (G < v) mit (G <) 2 M und jeden Zeitpunkt s 2 G
gilt
(H s) j= Cj gdw Htemp j= G0j (s)
Oensichtlich gilt dann fur jedes t 2 G
(H t) j= sif Cj _ Cj _ sip Cj gdw Htemp j= 9yG0j (y)
Da auch die atomaren Formeln Hj (x) durch TL-Formeln ausgedruckt werden
konnen und der Existenzquantor sich in dem vorliegenden Fall uber Disjunktionen und Konjunktionen nach innen ziehen lat erhalten wir insgesamt
eine TL-Formel C , so da fur jede temporale Struktur H = (G < v) mit
(G <) 2 M und jeden Zeitpunkt t 2 G gilt
(H t) j= C gdw Htemp j= 9yH 0(t y)
0
Das ist noch nicht das gewunschte Resultat, da im Vokabular Vtemp
von
0
H (x y) und Htemp die zusatzlichen einstelligen Pradiakte R= R> und R<
vorkommen und entsprechend aussagenlogische Variable r= r> und r< im
Vokabular V 0 von C und H. Im zweiten Teil des Beweises werden wir zeigen, wie wir diese zusatzlichen Symbole wieder los werden konnen und dazu
brauchen wir die Trennbarkeitseigenschaft von TL bzgl. M: Danach gibt es
eine zu C bzgl M aquivalente TL-Formel der Form
_
j
Cjv ^ Cjz ^ Cj=]
wobei die Cjv alle reine Vergangenheitsformeln, die Cjz reine Zukunftsformeln und die Cj= negierte oder unnegierte Aussagenvariablen sind. Die TLFormeln Bjv entstehen, indem in Cjv die temporale Aussagenvariable r> durch
die logische Konstante true und die Variablen r< und r= durch false ersetzt
185
werden. Analog entstehe Bjz aus Cjz , indem r< durch true und r> und r=
durch false ersetzt werden. Schlielich geht Bj= aus Cj= hervor durch die
Ersetzung von r= durch true und r> und r< durch false. Die Formel
_
B = Bjv ^ Bjz ^ Bj=]
j
ist dann eine TL-Formel im ursprunglichen Vokabular V: Wir zeigen, da fur
unsere Zwecke C durch B ersetzt werden kann. Sei v : V G ! f0 1g eine
Interpretation auf dem nicht erweiterten Vokabular und die Erweiterung von
v zu vt : V 0 G ! f0 1g sei durch
vt(r> s) = 1 $ t > s
vt(r< s) = 1 $ t < s
vt(r= s) = 1 $ t = s
festgelegt.
Wir betrachten eine zweite Interpretationsfunktion vv : V 0 G ! f0 1g, die
durch
vv(r> s) = 1 fur alle s
vv(r< s) = 0 fur alle s
vv(r= s) = 0 fur alle s
Oensichtlich stimmen vv und vt auf der Vergangenheit von t uberein, weswegen
(G vt t) j= Cjv gdw (G vv t) j= Cjv
gilt. Nach Denition von vv gilt aber auch
(G vv t) j= Cjv gdw (G vv t) j= Bjv
Da in Bjv aber nur noch temporale Variable aus V vorkommen haben wir
insgesamt die A quivalenz
(G vt t) j= Cjv gdw (G v t) j= Bjv
Analog zeigt man
(G vt t) j= Cjz gdw (G v t) j= Bjz
186
und
also ingesamt
(G vt t) j= Cj= gdw (G v t) j= Bj=
(G vt t) j= C gdw (G v t) j= B
Ziehen wir auch den ersten Teil des Beweises in diese Zusammenfassung mit
ein, so erhalten wir:
Ktemp j= F (t) gdw Ktemp j= 9yH (t y)
t
gdw Ktemp
j= 9yH 0(t y)
gdw (Kt t) j= C
gdw (K t) j= B
Satz 79 besagt, da unter den genannten Voraussetzungen die Trennbarkeit
einer temporalen Logik eine hinreichende Bedingung fur ihre Denitionsvollstandigkeit ist. Die Trennbarkeit ist aber auch eine notwendige Bedingung.
Satz 80 Sei TL eine temporale Aussagenlogik, die denitionsvollstandig ist
fur die Klasse M von Zeitstrukturen
Dann besitzt TL die Trennbarkeitseigenschaft bzgl. M.
Beweis: siehe Gabbay et al., 1994], Theorem 9.3.4, p. 36.1
In dem folgenden Beweis der Trennbarkeitseigenschaft von LTL uber den
ganzen Zahlen benutzen wir eine syntaktische Denition fur die Trennbarkeit.
De
nition 82 (Syntaktisch separierte Formeln)
1. Eine Formel der Form (A until B ), so da
weder in A noch in B der
Operator since auftritt hei
t eine syntaktische Zukunftsformel.
2. Eine Formel der Form (A since B ), so da
weder in A noch in B der
Operator until auftritt hei
t eine syntaktische Vergangenheitsformel.
187
3. Eine Formel hei
t syntaktisch separiert, wenn sie eine Boolesche
Kombination von atomaren Formeln, syntaktischen Zukunfts- und syntaktischen Vergangenheitsformeln ist.
Lemma 81
1. Eine syntaktische Zukunftsformel ist eine Zukunftsformel.
2. Eine syntaktische Vergangenheitsformel ist eine Vergangenheitsformel.
3. Falls jede Formel einer aussagenlogischen Temporallogik TL bezuglich
einer Klasse M von Zeitstrukturen aquivalent zu einer syntaktisch separierten Formel ist, dann besitzt TL die Trennbarkeitseigenschaft.
Beweis: Die Behauptungen 1. und 2. beweist man durch Induktion uber die
Komplexitat der Formeln A und B . Teil 3. ist eine unmittelbare Konsequenz
aus 1. und 2.
Der Beweis der Trennbarkeit von LTL wird schlielich durch ein induktives
Argument gefuhrt werden. Die kritischen Induktionsschritte werden durch
die folgenden drei Lemmas gegeben.
Lemma 82 Fur beliebige Formeln A B C D gelten fur die Zeitstruktur der
ganzen Zahlen die folgenden Aquivalenzen:
1. D since (C ^ (B until A))
,
(D since C ) ^ (B since C ) ^ B ^ (B until A)
_
(D since C ) ^ (B since C ) ^ A
_
D since (A ^ D ^ (D since C ) ^ (B since C ))
2. (C _ (B until A)) since D
,
C since D
_
() since D) ^ B ^ (B until A)
_
() since D) ^ A
_
C since(A ^ () since D))
188
C
s
C
s
C
s
D
B
t
B
D
B
D
A
u
A
t=u
A
u t
Abbildung 4.1: Drei Moglichkeiten fur t j= D since (C ^ (B until A))
wobei
) = B _ (C since D) _ (C since (A ^ C )) _ A
3. D until (C ^ (B since A))
,
(D until C ) ^ (B until C ) ^ B ^ (B since A)
_
(D until C ) ^ (B until C ) ^ A
_
D until (A ^ D ^ (D until C ) ^ (B until C ))
4. (C _ (B since A)) until D
,
C until D
_
() until D) ^ B ^ (B since A)
_
() until D) ^ A
_
C until(A ^ () until D))
wobei
) = B _ (C until D) _ (C until (A ^ C )) _ A
189
Beweis:
zu 1:
Gilt zum Zeitpunkt t die Formel D since (C ^ (B until A)), dann gibt es
einen Zeitpunkt s < t und einen Zeitpunkt u > s mit s j= C , u j= A, fur
alle s < s0 < t gilt s0 j= D und fur alle s < u0 < u gilt u0 j= B . Wir konnen
drei Falle unterscheiden, je nach der Lage des Punktes u: u > t, u = t und
u < t, siehe Abbildung 4.1. Man sieht sofort, da im ersten Fall die erste
Disjunktion der Formel auf der rechten Seite von , gilt, im zweiten Fall die
zweite Disjunktion und im dritten die dritte.
Gelte jetzt die rechte Seite der A quivalenz. Wir betrachten den Fall, da die
erste Disjunktion gilt:
t j= (D since C ) ^ (B since C ) ^ B ^ (B until A)
Dann gibt es s1 < t und s2 < t mit s1 j= C , s2 j= C , fur alle s1 < s0 < t
gilt s0 j= D und fur alle s2 < s0 < t gilt s0 j= B . Wegen der Linearitat der
betrachteten Zeitstruktur gibt es auch ein s < t (z.B. s = max (s1 s2)) mit
s j= C und fur alle s < s0 < t gilt s0 j= (D ^ B ). Da auch t j= B ^ (B until A)
gilt gibt es ein t < u mit u j= A und fur alle t u0 < u gilt u0 j= B . Daraus
folgt s j= B untilA ingesamt also t j= D since (C ^ (B until A)): Die Beweise
im Falle, da die zweite oder dritte Disjunktion gilt, verlaufen analog.
zu 2:
Gelte t j= (C _ (B until A)) since D. Dann gibt es s < t mit s j= D und
fur alle s < s0 < t gilt s0 j= C _ (B until A). Gilt fur alle s < s0 < t
s0 j= C , dann gilt t j= (C since D) und wir sind fertig. Anderenfalls gibt es
einen Zeitpunkt s < s1, zu dem zum ersten Mal :C wahr wird. Jetzt mu
s1 j= (B until A) gelten. Es gibt also einen Zeitpunkt s1 < u1 mit u1 j= A
und fur alle s1 < s0 < u1 gilt s0 j= B ^:A. u1 ist hier als der erste Zeitpunkt
oberhalb s1 gewahlt, an dem A gilt. Falls u1 < t ist beginnt das ganze von
vorne: entweder gilt s0 j= C fur alle u1 < s0 < t oder es gibt ein s2 nach u1
an dem zum ersten Mal wieder :C gilt, usw. Es kann hier auch s2 = u1 sein.
Zusammenfassend, gibt es also Zeitpunkte s1 : : : sk und u1 : : : uk mit
s < s1 < u1 s2 < u2 : : : sk < uk
190
und
fur alle i
fur alle s < s0 < s1
fur alle si < s0 < ui
fur alle i
fur alle ui s0 < si+1
si
s0
s0
ui
s0
j=
j=
j=
j=
j=
:C
C
B ^ :A
A
C
Wir unterscheiden wieder drei Falle, je nachdem ob t < uk , t = uk oder
uk < t gilt. Diesen Fallen entsprechen auch in derselben Reihenfolge die
Disjunktionsglieder 2 bis 4 der Formel auf der rechten Seite der A quivalenz.
Wir betrachten ausfuhrlich den dritten Fall und uberlassen die einfachen Anpassungen fur die Beweise der restlichen Falle dem Leser.
Im dritten Fall gilt sk < t < uk und daraus folgt nach der Wahl der Zeitpunkte si und ui sofort t j= B und t j= B until A. Es bleibt zu zeigen, da
fur jeden Zeitpunkt s < t0 < t die Aussage t0 j= ) gilt, deren Denition wir
zur Bequemlichkeit des Lesers noch einmal wiederholen:
) = B _ (C since D) _ (C since (A ^ C )) _ A
Fur s < t0 s1 gilt t0 j= C since D und damit auch t0 j= ). Fur si < t0 < ui
gilt die erste Disjunktion von ), also t0 j= B . Fur alle i 1 gilt ui j= A,
ebenfalls ein Disjunkt von ). Falls ui < si+1 ist gilt fur alle ui < t0 < si+1
t0 j= C since (A ^ C ). Hierzu beachte man, da im Fall ui j= :C nach der
Wahl der Zeitpunkte ui = si+1 sein muss.
Gelte jetzt umgekehrt t j= () since D) ^ B ^ (B until A). Wir wollen zeigen,
da daraus t j= (C _ (B until A)) since D folgt. Es gibt also Zeitpunkte
s < t und t < u mit s j= D, u j= A, fur alle t u0 < u gilt u0 j= B und
fur alle s < s0 < t gilt s0 j= ). Wir konnen auerdem s so wahlen, da fur
alle s < s0 < t gilt s0 j= :D. Wir wollen fur alle s < s0 < t zeigen, da
s0 j= C _ (B until A) gilt. Angenommen das trit nicht zu und es gibt einen
Zeitpunkt s0 in dem angegebenen Intervall mit s0 j= :C ^:(B until A). Wir
wissen schon, da es einen Zeitpunkt u > t > s0 mit u j= A gibt, daran kann
also s0 j= B until A nicht scheitern. Aus s0 j= :(B until A) folgt die Existenz
eines Zeitpunktes t0 < t, so da t0 j= :B ^ :A und fur alle s0 < r < t0 gilt
r j= B ^:A. Wir uberlegen uns, da t0 j= ) nicht gelten kann, was dann den
gewunschten Widerspruch ergibt. Ganz oensichtlich sind der erste und der
letzte Disjunkt von ) zum Zeitpunkt t0 falsch. Aber auch t0 j= C since D
kann nicht zutreen, da nach Wahl von s jeder Zeitpunkt s0 < t0, der die
191
Formel D erfullt auch s0 s erfullen mu. Wegen s0 < s0 < t0 mit s0 j= :C
folgt t0 j= :(C since D). Es bleibt die letzte Moglichkeit t0 j= C since (A ^ C )
zu untersuchen. Aber der fruheste Zeitpunkt vor t0, der (A ^ C ) erfullen kann,
liegt auf jeden Fall strikt vor s0, was auch diese Moglichkeit ausschliet. Die
Annahme s0 j= :C ^:(B until A) ist somit zum Widerspruch gefuhrt worden.
zu 3. und 4:
analog zu 1. und 2.
Lemma 83 Fur beliebige Formeln A B C D gelten fur die Zeitstruktur der
ganzen Zahlen die folgenden Aquivalenzen:
1. D since (C ^ :(B until A))
?
,
2. (C _ :(B until A)) since D
?
,
3. D until (C ^ :(B since A))
?
,
4. (C _ :(B since A)) until D
?
,
Lemma 84 Fur beliebige Formeln A B C D gelten fur die Zeitstruktur der
ganzen Zahlen die folgenden Aquivalenzen:
1. (D _ (B until A)) since (C ^ :(B until A))
?
,
2. (C _ :(B until A)) since (D ^ (B until A))
?
,
3. (D _ (B since A)) until (C ^ :(B since A))
?
,
192
4. (C _ :(B since A)) until (D ^ (B since A))
?
,
Um zu zeigen, da durch wiederholte Anwendung von Lemma 82, 83 und 84
eine Formel in eine aquivalente syntaktisch separierte Formel transformierte
werden kann, brauchen wir ein Komplexitatsma fur LTL-Formeln.
De
nition 83 Fur eine beliebige LTL-Formel A denieren wir die untilKomplexitat uk(A), bzw. die since-Komplexitat sk(A) wie folgt:
1. uk(A) = #(um(A)),
wobei um(A) = f(B until C ) j (B until C ) ist Teilformel in Ag
2. sk(A) = #(sm(A),
wobei sm(A) = f(B since C ) j (B since C ) ist Teilformel in Ag
Es ist wichtig zu bemerken, da
eine Formel (B until C ), die in A mehrfach
vorkommt, fur uk (A) nur einmal gezahlt wird.
Lemma 85 Sind A,B syntaktisch separierte Formeln, dann gibt es auch
aquivalente syntaktisch separierte Formeln R1, bzw R2 zu
1. A since B
2. A until B
Au
erdem konnen R1 und R2 so gewahlt werden, da
1. uk (R1) = uk(A since B )
2. sk(R2 ) = sk(A until B )
gilt.
Beweis:
Der Beweis von 1. wird durch Induktion uber uk = uk(A) + uk(B ) gefuhrt.
Falls uk = 0 ist, dann
ist (A since B ) schon syntaktisch separiert. Sei Vjetzt
W
uk > 0. Sei B = j Bj eine disjunktive Normalform von B und A = Ak
193
eine konjunktive Normalform von A. Nach Lemma 75 genugt es fur jedes j
und k zu zeigen, da (Ak since Bj ) in eine aquivalente syntaktisch separierte
Formel transformiert werden kann. Jedes Ak und jedes Bj ist von der Form
C0 ^ (D1 until E1) ^ : : : ^ (Dn until`En)
^ :(Dn+1 until En+1) ^ : : : ^ :(Dm until Em)
Hierbei ist C0 eine Konjunktion aussagenlogischer Literale. Wir wahlen ein
(Di until Ei)), das nicht als echte Teilformel in einem (Dr until Er ) vorkommt. Da die Teilformelrelation keine Zyklen haben kann, mu es ein
solches (Di until Ei)) geben. Wir konnen auerdem annehmen, da innerhalb Ak bzw. innerhalb Bj die Teilformel (Di until Ei)) nur einmal
vorkommt, denn doppelte Vorkommen mit dem gleichen Vorzeichen konnen
aquivalent zu einem Vorkommen zusammengefat werden. Kommt dagegen
(Di until Ei)) einmal negiert und einmal unnegiert in Ak vor, dann ersetzen
wir ganz Ak durch true, tritt diese Situation in Bj auf, so ersetzen wir Bj
durch false. Es bleiben also insgesamt 6 Falle zu untersuchen, die den jeweils ersten beiden Teilen der Lemmas 82, 83 und 84 entsprechen.
Wir betrachten ausfuhrlich den Fall, da (Di until Ei)) unnegiert in einem
Bj vorkommt. Losgelost von allen Indizes besteht die Aufgabe darin, zu
F = (A since(C ^ (D until E )) eine aquivalente syntaktisch separierte Formel zu nden, wobei D until E ) in A und C nicht vorkommt und D und E
schon syntaktisch separiert sind. Wir konnen auerdem Gebrauch machen
von der Induktionsvoraussetzung, da alle Formeln mit until-Komplexitat
< uk(F ) aquivalent in syntaktisch separierte Formeln transformiert werden
konnen. Nach Lemma 82 Teil 1 konnen wir F umschreiben in eine Boolesche
Kombination von folgenden Formeln:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
A since C
D since C
D
D until E
E
A since (E ^ (A since C ) ^ (D since C ))
194
Nach Wahl von (D untilE ) ist die until-Komplexitat all dieser Formeln echt
kleiner als uk(F ). Eine Ausnahme davon macht moglicherweise Formel 4,
aber die ist sowieso schon syntaktisch separiert. Die Formeln 1 - 5 konnen
somit in aquivalente syntaktisch separierte Formeln transformiert werden.
Formel 6 hat zwar kleinere until-Komplexitat als uk(F ), aber die rechte
Seite des ubergeordneten since-Operators ist nicht mehr notwendigerweise
syntaktisch separiert - in E und D konnen noch weitere until-Operatoren
vrokommen. Die Induktionsvoraussetzung erlaubt es uns jedoch die rechte
Seite
(E ^ (A since C ) ^ (D since C ))
in eine aquivalente syntaktisch transformierte Formel R umzuwandeln. In
einer weiteren Anwendung der Induktionsvoraussetzung konnen wir jetzt
A since R syntaktisch separieren. An der Stelle mussen wir aber von der
zusatzlichen Information gebrauch machen, da
mk(R) = mk(E ^ (A since C ) ^ (D since C ))
gilt. Da die Formeln 1 - 6 nur aus Unterformeln von F aufgebaut sind
und keine neuen until-Formeln einfuhrt werden gilt auch fur die erhaltene
syntaktisch separierte zu F aquivalente Formel R wieder mk(R) = mk(F ).
Satz 86 Zu jeder LTL-Formel F existiert eine syntaktisch separierte Formel
R, die uber der Zeitstruktur der ganzen Zahlen zu F aquivalent ist.
Beweis:
Nach den obigen Vorbereitungen genugt eine einfache Induktion uber den
Formelaufbau. Sind A,B syntaktisch separierte Formeln, so trivialerweise
auch :A, A ^ B und A _ B und wegen Lemma 85 auch (A since B ) und
(A until B ).
4.1.3 U bungsaufgaben
U bungsaufgabe 4.1.1 In den Voraussetzungen zu Satz 79 wird verlangt,
da
die Strukturen in M linear sind. Wo wird diese Voraussetzung im Beweis
gebraucht?
195
U bungsaufgabe 4.1.2 Wir betrachten noch einmal die Behauptungen von
Lemma 75. Zeigen Sie
1. Die Behauptungen 1. und 2. gelten fur beliebige Zeitstrukturen.
2. Geben Sie Gegenbeispiele, die zeigen, da
3. und 4. fur nicht lineare
Zeitstrukturen falsch werden konnen.
196
4.2 Verzweigende Temporale Logiken
In diesem Abschnitt betrachten wir als einen typischen Vertreter der temporalen Logiken fur verzweigende Zeitstrukturen die Computation Tree Logic
kurz CTL. Wir orientieren uns an der Darstellung in Clarke et al., 1986].
Eine umfangreiche U bersicht uber modale Temporallogiken ndet man in
Emerson, 1992].
CTL ist eine Aussagenlogik. Die Menge der aussagenlogischen Variablen
bezeichnen wir mit P0.
De
nition 84 (CTL-Formeln)
1. jede aussagenlogische Variable ist eine CTL-Formel,
2. Sind F , G CTL-Formeln, dann auch die aussagenlogischen Kombinationen davon, d.h. :F , F _ G, F ^ G, etc.,
3. sind F , G CTL-Formeln, dann auch (all next F ), (ex next F ),
all(F until G) und ex(F until G).
Die Bedeutung der modalen Operatoren all, ex, next und until wird in
Kurze erklart werden. Es gibt mehr als einen Zugang zur Semantik von CTL.
Wir beginnen mit dem abstraktesten, dem Zugang uber eine eingeschrankte
Klasse von Kripke Strukturen.
De
nition 85
Eine Kripke Struktur K = (G R v) hei
t eine Berechnungsstruktur,
wenn (G R) eine partiell geordnete Menge ist, in der jedes Element g 2 G
mindestens einen direkten Nachfolger besitzt.
De
nition 86 (Pfade in Kripke Strukturen)
Sei K = (G R v ) eine Berechnuungsstruktur.
Ein Pfad in K ist eine unendliche Folge g0 : : : gn : : : von Welten gn 2 G,
so da
jedes gi+1 ein direkter Nachfolger von gi ist.
De
nition 87 (Modellbegri fur CTL-Formeln)
Sei K = (G R v) eine Berechnungsstruktur
Der Einfachheit halber schreiben wir g j= F anstelle von (K g ) j= F .
197
1
2
3
4
g j= p
g j= :F
g j= F1 ^ F2
g j= all next F
gdw
gdw
gdw
gdw
v(g p) = 1
g 6j= F
g j= F1 und g j= F2
fur alle direkten Nachfolger g1
von g gilt g1 j= F
5 g j= ex next F
gdw es gibt einen direkten Nachfolger g1
von g mit g1 j= F
6 g j= all(F1 until F2) gdw fur jeden Pfad g0 g1 : : : mit g0 = g
gibt es ein i 0 so da
gi j= F2 und
gj j= F1 fur alle j mit 0 j < i
7 g j= ex(F1 until F2) gdw es gibt einen Pfad n0 n1 : : : mit n0 = n
und ein i 0 so da
ni j= F2 und
nj j= F1 fur alle j mit 0 j < i
Neben den temporalen Basis-Operatoren in CTL werden haug die folgenden
denierten Operatoren benutzt.
De
nition 88 (De
nierte temporale Operatoren)
uv(F ) all(true until F ) F ist unvermeidlich
er(F ) ex(true until F )
F ist ereichbar
efa(F ) :all(true until :F ) ein fur alle mal F
i(F ) :ex(true until :F )
immer F
Lemma 87 Sei K = (G R v) eine Berechnungsstruktur und g 2 G. Wir
schreiben wieder g j= F anstelle von (K g ) j= F .
1 g j= uv(F ) gdw fur jeden Pfad g0 g1 g2 : : : mit g0 = g
gibt es ein i 0 mit gi j= F
2 g j= er(F ) gdw es gibt einen Pfad g0 g1 g2 : : : mit g0 = g
und ein i 0 mit gi j= F
3 g j= efa(F ) gdw es gibt einen Pfad, g0g1 g2 : : : mit g0 = g
so da
fur alle i 0 gilt gi j= F
4 g j= i(F )
gdw fur jeden Pfad g0 g1 g2 : : : mit g0 = g
gilt gi j= F fur alle i 0
198
In der Denition einer Berechnungsstruktur wurde festgelegt, da die partielle Ordnung (G R) diskret ist, d.h. gilt g0Rg1 fur g0 g1 2 G, dann gibt es
ein h 2 G mit g0Rh, so da zwischen g0 und h kein weitere Zeitpunkt mehr
liegt. Das macht Sinn fur die Modellierung diskreter Systeme, wie sie z.B.
in Zustandsubergangssystemen vorliegen. Die Interpretation der temporalen
Operatoren, die next enthalten, konnte man zwar auch in nicht diskreten
Ordnungen erklaren, aber sie ware unnaturlich und gewohnungsbedurftig.
Auerdem wurde festgelegt, da (G R) keine Endpunkte enthalt. Das ist weniger zwingend erforderlich, aber bequem, siehe auch U bungsaufgabe 4.2.1.
Ein konkreteres Semantikmodell entsteht, wenn man zusatzlich zu den Forderungen an eine Berechungsstuktur verlangt, da der darin enthaltene Rahmen
(G R) eine Baumordnung mit eindeutigem Wurzelknoten darstellt. Diese
Strukturen werden dann Berechnungsbaume genannt, im Englischen computation trees, und haben der Logik ihren Namen gegeben. Die Unterschiede
zwischen beiden Modellen sind nicht gravierend, da man jede Berechnungsstruktur in einen Berechnungsbaum aualten kann. Wir skizzieren kurz, wie
man das macht.
De
nition 89 Sei K = (G R v) eine Berechnungsstruktur und s 2 G.
1. Eine Berechnungsfolge fur (K s) ist eine endliche Folge von Zustanden
(Welten) si 2 G, so da
s0 = s und fur alle si+1 in der Folge ist si+1
ein unmittelbarer Nachfolger von si .
2. Eine Berechnungsfolge P1 ist ein unmittelbarer Nachfolger einer Berechnungsfolge P0 , wenn P1 = hP0 si ist, d.h. P0 ist ein Anfangsstuck
von P1 und P1 ist genau um ein Element langer als P0 .
3. Der Berechnungsbaum T = (T R v ) zu (K s) entsteht, indem wir v
unverandert aus der Berechnungsstruktur ubernehmen, fur T die Menge
aller Berechnungsfolgen fur (K s) einsetzen und R als die unmittelbare
Nachfolgerrelation auf Berechungsfolgen deniert.
199
0
1
3
2
4
5
7
6
8
Abbildung 4.2: Kripke Struktur Kme zum Zugriskontrollproblem
4.2.1 Model Checking
Model checking Algorithmen (Modellprufungsalgorithmen) sind in der Lage
zu einer gegebenen aussagenlogischen Kripke Struktur K = (G R v), einem
Zustand s 2 G und zu einer gegebenen CTL-Formel A zu entscheiden, ob
(K s) j= A gilt oder nicht. Erstaunlich viele Aufgabenstellungen in der
Verikation oder Validierung von Schaltkreisen, Protokollen und allgemeiner
in der Programmierung verteilter Systeme lassen sich auf dieses Grundmuster
zuruckfuhren. Modellprufungsverfahren haben deshalb auch schon Eingang
gefunden in die industrielle Praxis.
Die folgende Darstellung folgt im wesentlichen der Arbeit Clarke et al., 1986],
insbesondere stammt das hier wiederholte Beispiel daraus.
Als Beispiel betrachten wir die Kripke Struktur in Abbildung 4.2, die bei der
Modellelierung eines konkurrierenden Zugris zweier Prozesse auf eine gemeinsame Ressource entsteht. Zur Formulierung des Problems gehoren die
aussagenlogischen Variablen
Ni
Ti
Ci
Proze i bendet sich in einer nichtkritischen Region
Proze i bendet sich in der Anmeldephase
Proze i bendet sich in einer kritischen Region
200
0
1
2
3
4
5
6
0
7
7
8
8
0
1
2
2
2
1
1
1
2
:::
:::
:::
:::
:::
:::
:::
:::
:::
Abbildung 4.3: Berechnungsbaum zu Kme
Den Zustanden im Diagramm von Abbildung 4.2 ist dabei die folgende Wahrheitswertbelegung zugeordnet:
0
N1 1
N2 1
T1 0
T2 0
C1 0
C2 0
1
0
1
1
0
0
0
2
1
0
0
1
0
0
3
0
1
0
0
1
0
4
0
0
1
1
0
0
5
0
0
1
1
0
0
6
1
0
0
0
0
1
7
0
0
0
1
1
0
8
0
0
1
0
0
1
Das Anfangsstuck des Berechnungsbaums zu Kme ist in Abbildung 4.3 zu
sehen.
Wir illustrieren die Arbeitsweise prinzipielle des model checking Algorithmus
anhand eines Beispiels. Wir wollen zeigen, da in der Kripke Struktur Kme
in dem Zustand 1 die Formel
F = T1 ! uv(C1) = :T1 _ all(true until C1)
wahr ist. Dieses Problem wird in drei Hauptschritte untergliedert:
201
1. Zuerst werden alle Teilformeln der Eingabeformel ermittelt.
Im vorliegenden Beispiel sind das
fT1 C1 :T1 all(true until C1) F g
2. Fur jede dieser Teilformeln C wird die Menge der Zeitpunkte, (C ), zu
denen C wahr ist, berechnet:
(C ) = fs j (Kme s) j= C g
3. Zum Schlu mu dann noch abgefragt werden, ob 1 2 (F ) gilt.
Wir mussen noch erklaren wie Teil 2 gelost wird. Zuerst wird (C ) fur
die einfachsten Teilformeln bestimmt, d.h. fur die Aussagenvariablen. Offensichtlich kann (C ) direkt aus der Kripke Struktur abgelesen werden,
(C ) = fs 2 G j v(s C ) = 1g. In unserem Beispiel ergibt sich:
(T1) = f1 4 5 8g
(C1) = f3 7g
Ist F0 eine Teilformel, die aus F1 und F2 mittels aussagenlogischer Operatoren
aufgebaut ist, so kann (F0) durch die entsprechenden Mengenoperationen
aus (F1) und (F2) berechnet werden:
(:F1)
= G n (F1)
(F1 ^ F2) = (F1) \ (F2)
(F1 _ F2) = (F1) (F2)
Fur unsere Beispielrechnung erhalten wir zunachst nur
(:T1) = f0 2 3 6 7g
die Auswertung der Disjunktion mu noch warten bis das zweite Disjunktionsglied ausgewertet ist. Interessanter ist die Berechnung von (F0)
fur Formeln F0, die mittels temporaler Operatoren aufgebaut sind, etwa
F0 = all(F1 until F2). In diesen Fallen wird (F0) durch eine Fixpunktberechnung gefunden. Dabei sind sowohl kleinste Fixpunkte als auch grote
Fixpunkte von Interesse.
202
De
nition 90 (Fixpunkte) Sei f eine Funktion, die Teilmengen eine
Menge G in Teilmengen von G abbildet, f : P (G) ! P (G).
1. M G ist ein Fixpunkt fur f , falls f (M ) = M gilt,
2. ein Fixpunkt M fur f hei
t ein kleinster Fixpunkt, falls fur jeden anderen Fixpunkt N fur f gilt M N ,
3. ein Fixpunkt M fur f hei
t ein gro
ter Fixpunkt, falls fur jeden anderen
Fixpunkt N fur f gilt N M .
Soll (F0) = (all(F1 until F2)) berechnet werden, so beginnt man mit
0(F0) = . 1(F0) enthalt dann alle Zeitpunkte, fur die all(F1 until F2)
aus dem einfachen Grund gilt, da schon F2 wahr ist, d.h. 1(F0) = (F2).
Im nachsten Schritt enthalt 2(F0) nach wie vor die Menge der Zeitpunkte
(F2), aber jetzt auch noch die Zeitpunkte, zu denen F1 gilt und in allen
nachsten Schritten F2 wahr ist:
2(F0) = (F2) fs 2 (F1) j fur alle t mit sRt gilt t 2 1(F0)g
Im allgemeinen
n+1(F0) = (F2) fs 2 (F1) j fur alle t mit sRt gilt t 2 n(F0)g
Diese Berechnung wird solange iteriert bis n+1 (F0) = n(F0) gilt. Dann
setzt man (F0) = n(F0). In unserem Beispiel ergibt sich
0(all(true until C1))
1(all(true until C1))
2(all(true until C1))
3(all(true until C1))
4(all(true until C1))
5(all(true until C1))
6(all(true until C1))
=
=
=
=
=
=
=
f3 7g
f3 4 7g
f1 3 4 7g
f1 3 4 7 8g
f1 3 4 5 7 8g
f1 3 4 5 7 8g
Somit erhalten wir (all(true until C1)) = G und
(F ) = (:T1) (all(true until C1))
= f0 2 3 6 7g f1 3 4 5 7 8g
= G
203
Die Mengenfunktion, deren Fixpunkt durch die Approximationen n berechnet wird, war bisher nur implizit aufgetreten. Explizit ist diese Funktion
fF0 (Z ) deniert durch
fF0 (Z ) = (F2) ( (F1) \ fAX (Z ))
wobei fAX (Z )) = fs j fur alle t mit sRt gilt t 2 Z g
Wir wollen die Zuordnung von CTL-Formeln F zu Mengenfunktionen fF (Z )
jetzt systematisch betrachten. Zur notationellen Vereinfachung schreiben wir
F (Z ) anstelle von FF (Z ).
De
nition 91 (Mengenfunktionen fur CTL-Formeln)
Sei K = (G R v ) eine Kripke Struktur, F eine CTL-Formel, dann werden
die Mengenfunktionen fF (Z ) : P (G) ! P (G) wir folgt deniert:
F = all(F1 until F2)(Z ) fF (Z ) = F2 (F1 \ fAX (Z ))
F = ex(F1 until F2)(Z ) fF (Z ) = F2 (F1 \ fEX (Z ))
F = uv(F )(Z )
fF (Z ) = F fAX (Z )
fF (Z ) = F fEX (Z )
F = er(F )(Z )
F = i(F )(Z )
fF (Z ) = F \ fAX (Z )
F = efa(F )(Z )
fF (Z ) = F \ fEX (Z )
wobei
fAX (Z ) = fs 2 G j fur alle t mit sRt gilt t 2 Z g
fEX (Z ) = fs 2 G j es gibt ein t mit sRt und t 2 Z g
und
(F )
= fg 2 G j (K g) j= F g
Lemma 88 Sei K = (G R v) eine Kripke Struktur und F eine CTLFormel. Dann gilt
1. fur F = all(F1 until F2),ex(F1 until F2), uv(F ), er(F ) gilt
(F ) = kfp Z fF (Z )
2. fur F = i(F ), efa(F ) gilt
(F ) = gfp Z fF (Z )
204
wobei kfp Z f (Z ) fur den kleinsten und gfp Z f (Z ) fur den gro
ten Fizpunkt
der Funktion f (Z ) steht.
Beweis: Die Beweise sind recht einfach. Einige Falle werden in Clarke et
al., 1993] vorgerechnet. Wir wollen hier die Formel i(F ) betrachten.
Als erstes zeigen wir, da (i(F )) ein Fixpunkt von fi(F ) ist. Fur g 2 G gilt
g 2 fi(F )( (i(F )) nach Denition von fi(F ) genau dann, wenn
g 2 (F ) ^ fur alle h (gRh ! h 2 (i(F )))
Ein wenig Nachdenken zeigt, da diese Aussage gleichbedeutend ist mit
g 2 (i(F ))
Sei jetzt H irgendein Fixpunkt von fi(F ), d.h. fi(F )(H ) = H . Wir wollen
H (i(F )) zeigen. Da nach Denition H = fi(F )(H ) (F ) gilt, haben wir
schon einmal fur alle g 2 H die Tatsache (K g) j= F gezeigt. Sei jetzt g 2 H
und g0 : : : gj : : : eine Pfad in K mit g0 = g. Wir mussen (K gj ) j= F fur
alle j 0 zeigen. Fur j = 0 ist das klar. Der Rest folgt aus der Beobachtung,
da g1 2 fi(F )(H ) = H liegt und, indem man dieses Argument iteriert, auch
gj 2 H gilt fur jedes j 0.
Zur Berechnung des kleinsten Fixpunktes einer Funktion fF bemerkt man
zunachst, da sie monton ist (siehe Denition 92). Aus der oensichtlichen Inklusion fF () wird durch iterierte Anwendung fF () fF (fF ()) : : : fFi (). Da G endlich ist gibt es ein kleinstes j mit fF (fFj ) =
fFj , d.h. fFj ist der kleinste Fixpunkt von fF . Zur Berechnung des groten
Fixpunkt beginnt man mit der Inklusion G ! fF (G). Iteration der Funktionsanwendung liefert wegen der Monotonie von fF eine absteigende Folge
G fF (G) fF (fF (G)) : : : f i(G). Das kleinste j mit fF (f j (G)) = f j (G)
liefert jetzt den groten Fixpunkt f j (G) von fF .
4.2.2 Fixpunkte
In diesem Unterkapitel stellen wir einige Resultate der allgemeinen Theorie
von Fixpunkten vor.
205
De
nition 92 Stetigkeit
Eine Funktion f : P (G) ! P (G) von der Menge P (G) aller Teilmengen
einer Menge G in P (G) hei
t
1. -stetig, wenn fur jede aufsteigende Folge M1 M2 : : : Mn : : :
gilt
f(
n1
Mn ) =
n1
f ( Mn )
2. \-stetig, wenn fur jede absteigende Folge M1 ! M2 ! : : : ! Mn ! : : :
gilt
\
\
f ( Mn ) = f (Mn )
n1
n1
3. monoton, wenn fur je zwei Mengen M N 2 P (G) mit M N auch
f (M ) f (N ) gilt.
Oensichtlich ist jede stetige Funktion ( -stetig oder \-stetig) auch monoton. Dazu braucht man nur die aufsteigende Folge M = M1 und N = Mn
fur alle n > 1 zu betrachten.
Lemma 89
Gegeben sei eine montone Funktion f : P (G) ! P (G).
1. f besitzt einen Fixpunkt.
Genauer gilt sogar:
2. Zu jeder Teilmenge M G gibt es einen kleinsten Fixpunkt N von f
mit der Eigenschaft M N ,
3. Zu jeder Teilmenge M G gibt es einen gro
ten Fixpunkt N von f
mit der Eigenschaft N M
Lemma 90
Gegeben sei eine -stetige Funktion f : P (G) ! P (G) und eine \-stetige
Funktion g : P (G) ! P (G). Mit f n (M ) bezeichnen wir, wie ublich,
die n-fache Hintereinanderausfuhrung von f , f 1(M ) = f (M ), f n+1 (M ) =
f (f n (M )). Dann gilt fur jedes M N 2 P (G) mit M f (M ) und g(N ) N
206
1.
2.
S f n (M ) ist der kleinste Fixpunkt von f oberhalb von M ,
Tn1 gn (M ) ist der gro
te Fixpunkt von g unterhalb von M ,
n1
Beweis:
Zu 1:
Aus der Monotonie folgt zunachst
M f (M ) f 2 (M ) : : : f n (M ) : : :
S
Setze P = n1 f n (M ). Dann gilt sicherlich M P . Auerdem gilt
S
f (P ) = fS( n1 f n (M ))
= Sn1 f n+1 (M )
wegen Stetigkeit
n
= n1 f (M )
da f (M ) f 2(M )
= P
Sei jetzt Q ein weiterer Fixpunkt fur f mit M Q. Wegen Monotonie und
Fixpunkteigenschaft folgt f (M ) SF (Q) = Q und weiter fur jedes n 1
auch f n (M ) Q. Also auch P = n1 f n (M ) Q
Zu 2:
analog.
Satz 91 (Komplexitat)
1. Das CTL Modellprufungsproblem ist linear.
Genauer gesagt, gibt es einen Algorithmus der fur jede CTL-Formel
F mit m Zeichen und jede Kripke Struktur K = (G R v)) und n =
card(G) + card(R) in m n Schritten berechnet, ob K j= F gilt oder
nicht.
2. Das CTL Modellprufungsproblem ist PSPACE-vollstandig.
Beweis:
1.
wurde zuerst in Clarke et al., 1986] (Theorem 3.1) angegeben. Das
Resultat lat sich auch durch eine sorgfaltige Analyse des oben skizzierten
Verfahrens bestatigen.
1.
wurde ebenfalls zuerst in Clarke et al., 1986] (Theorem 6.1) gezeigt
unter Ausnutzung eines Resultats aus Clarke & Sistla, 1985].
207
Satz 92
1. Das Erfullbarkeitsproblem fur LTL ist PSPACE-vollstandig.
2. Modellprufung fur LTL ist PSPACE-vollstandig.
3. Das Erfullbarkeitsproblem fur die Logik LTL(sif ), in der nur der temporale Operator sif , aber beliebige aussagenlogische Operatoren, benutzt
werden durfen, ist NP-vollstandig.
4. Modellprufung furLTL(sif ) ist NP-vollstandig.
Beweis: siehe Clarke & Sistla, 1985] Theorem 4.1 fur 1. und 2. und
Theorem 3.5 fur 3. und 4.
Entscheidbarkeit der monadischen Logik zweiter Stufe (oder des universellen
Fragments der monadischen Logik zweiter Stufe) fur verschiedene Ordnungen
oder Klassen von Ordnungen wird in Kapitel 15 von Gabbay et al., 1994]
ausfuhrlich behandelt.
4.2.3 U bungsaufgaben
U bungsaufgabe 4.2.1 Sei K = (G R v) eine Kripke Stuktur, die alle An-
forderungen einer Berechnungsstuktur erfullt mit Ausnahme der Forderung,
da
keine Endpunkt existieren durfen. Ein Zeitpunkt g 2 G ist dabei ein
Endpunkt, wenn es kein h 2 G mit gRh gibt.
Uberlegen
Sie sich, da
die folgenden Aussagen aquivalent sind
g ist ein Endpunkt
(K g) j= all next false
(K g) j= exists next true
U bungsaufgabe 4.2.2 In Emerson, 1992] wird eine andere Denition von
CTL gegeben, indem zuerst eine allgemeinere Sprache CTL deniert wird
und CTL als syntaktische Einschrankung von CTL erscheint.
)
De nition 93 (CTL
Die Sprache CTL besteht aus zwei Typen von Formeln, den Zustandsformeln und den Pfadformeln, die simultan rekursiv deniert werden durch:
208
1. jede aussagenlogische Variable ist eine Zustandsformel,
2. sind F , G Zustandsformeln, dann auch die aussagenlogischen Kombinationen davon, i.e. :F , F _ G, F ^ G, etc.,
3.
4.
5.
6.
ist F eine Pfadformel, dann sind (all F ), (ex F ) Zustandsformeln,
jede Zustandsformel ist eine Pfadformel,
sind F , G Pfadformeln, dann auch :F , F _ G, F ^ G,
sind F , G Pfadformeln, dann auch next F und F until G.
Die Sprache CTL ist sehr ausdruckstark. Eine eingeschrankte Version wird
erhalten, indem man Boolesche Kombinationen von Pfadformeln verbietet
und auch keine Schachtelung der Operatoren next und until zula
t.
De nition 94 (Eingeschrankte CTL)
1. jede aussagenlogische Variable ist eine Zustandsformel,
2. sind F , G Zustandsformeln, dann auch die aussagenlogischen Kombinationen davon, i.e. :F , F _ G, F ^ G, etc.,
3. ist F eine Pfadformel, dann sind (all F ), (ex F ) Zustandsformeln,
4. sind F , G Zustandsformeln, dann sind (next F ) und (F until G) Pfadformeln.
Zeigen Sie: CTL ist genau die Menge der Zustandsformeln in der eingeschrankten CTL-Sprache.
U bungsaufgabe 4.2.3 Sei F0 = all (f1 until F1) und
f = fF = (F2) ( (F1 \ fAX (Z )))
Zeigen Sie, da
fur alle n 0 gilt
f n () f n+1 ()
0
209
Kapitel 5
Losungen
210
In diesem Kapitel geben wir Losungen oder Losungshinweise fur einige der
U bungsaufgaben.
Zu 2.1 Einfuhrung in die mehrwertige Logik
zu Aufgabe 2.1.4
Ist A B eine Tautologie, dann nach Denition auch A _ B und damit
umso mehr A_ C _ B . Da C _ C eine Tautologie ist, trit dasselbe
auch fur A_ C _ C zu. Zusammengenommen ist auch
( A_ C _ B ) ^ ( A_ C _ C )
eine Tautologie. Mit Hilfe des Distributivgesetzes erhalt man ( A_ C ) _ (B ^ C ). Mit dem deMorganschen Gesetz (A ^ C ) _ (B ^ C ) i.e.
A ^ C B ^ C.
zu Aufgabe 2.1.5
1, 2 und 3 sind richtig, 4 ist falsch.
zu Aufgabe 2.1.6
Das Deduktionstheorem gilt fur die schwache Implikation nicht aber fur die
starke.
zu Aufgabe 2.1.7
1. einfaches Nachrechnen.
2. Es gilt u u = 1 Aber fur h1 1i aus U (u u) = f0 1g2 gilt 1 1 = 1
und fur h1 1i 2 U (u u) gilt 1 0 = 0.
3. oensichtlich.
4. Wir geben eine etwas kompliziertere U berlagerung von Funktionen
an. Sei g1 (A) = A, g2(A) = :A und f (A B ) = A _ B . Es gilt
f (g1(A) g2(A))] 6= f (g1(A) g2(A)))
211
zu Aufgabe 2.1.8
1. Sei g = f fur ein f : f0 1g ! f0 1g. Wir zeigen, da g monoton bzgl.
i ist. Gilt g(w~ ) = u, dann gilt trivialerweise fur alle ~v mit w~ <i ~v
auch g(w~ ) i g(~v). Im folgenden sei g(w~ ) 6= u
Als nachstes bemerken wir, da fur alle w~ 2 f0 u 1gn gilt
U (w~ ) = f~v j w~ <i ~vg
Aus w~ <i ~v folgt somit f (w~ ) = f (~v) und damit g(w~ ) = g(~v).
2. Die Notwendigkeit dieser Bedingung ist klar. Ist eine Funktion g gegeben, welche die beiden Bedingungen erfullt, dann setzen wir f = g #
f0 1gn . Wegen 2a gilt f : f0 1gn ! f0 1g. Sei jetzt w~ 2 f0 u 1gn,
dann gilt
U (w~ ) = f~v 2 f0 1gn j w~ i ~vg
Nach 2b gilt damit fur alle ~v 2 U (w~ )
g(w~ ) i g(~v) = f (~v)
Wenn also g(w~ ) 2 f0 1g gilt, dann gilt fur alle ~v 2 U (w~ ) schon g(w~ ) =
g(~v) = f (~v).
Gilt g(w~ ) = u dann mu es u~1 u~2 mit w~ <i u~1 und w~ <i u~2 geben, so
da g(u~1) 6= g(u~2) gilt. Ist das nicht der Fall und gilt etwa fur alle ~u
mit w~ <i ~u g(~u) = a, dann deniert man
g1(~v) =
g(~v)
a
falls ~v 6= w~
falls ~v = w~
Oensichtlich gilt g <i g1 und g1 ist immer noch monoton bzgl. i.
Zu 2.2 Funktionale Vollstandigkeit
zu Aufgabe 2.2.2(3)
Sei v eine beliebige aussagenlogische Bewertung.
Dann gilt stets
v((A ^ B ) _ C ) v(A _ C )
212
und
v((A ^ B ) _ C ) v(B _ C )
und damit auch
v((A ^ B ) _ C ) v((A _ C ) ^ (B _ C ))
Zum Beweis der umgekehrten Beziehung beachte man, da v(A ^ B = v(A)
oder v(A ^ B ) = v(B ) sein mu. Somit ist auch v((A ^ B ) _ C ) = v(A _ C )
oder v((A ^ B ) _ C ) = v(B _ C ) , also in jedem Fall v((A ^ B ) _ C ) v((A _ C ) ^ (B _ C )).
zu Aufgabe 2.2.2(9)
Wir bemerken zunachst, da fur jede aussagenlogische Bewertung v gilt:
wenn
v(A) v(B )
und
wenn
v(A) < v(B )
Wir unterscheiden die beiden Falle:
dann
v(:B ) v(:A)
dann
v(:B ) < v(:A)
1. v(:A ^ :B ) = v(:A), d. h. v(:A) v(:B )
2. v(:A ^ :B ) = v(:B ), d. h. v(:B ) v(:A)
Im Fall 1 folgt v(B ) v(A) und damit v(A _ B ) = v(A). Also auch
v(:(A _ B )) = v(:A). Analog folgt im Fall 2 v(:(A _ B )) = v(:B ).
zu Aufgabe 2.2.4
Jk (x) = Tm;1(x + m ; k ; 1)
zu Aufgabe 2.2.5
Die Notwendigkeit des Kriteriums ist klar.
Zum Beweis der umgekehrten Implikation nehmen wir an, da die Funktion g die Bedingung des Kriteriums erfullt. Fur jedes n-Tupel a =<
213
a1 : : : an > von Elementen aus M gibt es somit eine H -denierbare Funktion ha(x1 : : : xn), so da g(a) = ha(a).
Dann gilt fur
fa(x1 : : : xn) = min(Ja1 (x1) : : : Jan (xn) ha(x))
die Beziehung
fa(b) = 0 falls
fa(a) = g(a)
a 6= b
Ist a1 : : : ak eine Aufzahlung aller n-Tupel von M und schreiben wir vereinfachend fi anstelle von fai , so gilt fur die Funktion
f (x) = max(f1(x) : : : fk (x))
schlielich
fur alle n-Tupel b.
f (b) = g(b)
zu Aufgabe 2.2.6
Wir schreiben suggestiv x1 + : : : + xk fur g(x1 : : :g(xk;1 xk ) : : : ) und entsprechend x1 : : : xk fur f (x1 : : : f (xk;1 xk ) : : : )
Man uberzeugt sich als erstes, da die Gultigkeit der Gleichung
h(x1 : : : xn) = (J0(x1) f (0 x2 : : : xn) + : : :
+(Jm;1(x1) f (m ; 1 x2 : : : xn))
nur von den denierenden Eigenschaften der Funktionen f und g abhangt.
Danach zeigt man durch Induktion nach n, da h in H denierbar ist. Fur
n = 1 folgt das unmittelbar aus der angegebenen Gleichung, weil in H die
konstanten Funktionen zur Verfugung stehen. Der Induktionsschritt ist dann
einfach.
zu Aufgabe 2.2.7
Die Losung ist im wesentlichen eine abstrakte Version des Beweises von Lemma 4.
214
zu Aufgabe 2.2.8
Das in Lemma 4 beschriebene Verfahren liefert
A ) B id A^ :B
_
( :A _ u)^ B ^ :B _
(A_ A)^ B
was sich vereinfachen lat zu:
A ) B id A^ :B _
B ^ :B _
B
zu Aufgabe 2.2.9
Die Funktionenmenge " = f0 : $g erfullt alle Voraussetzungen von Satz
9, reicht aber nicht aus um alle zwei-wertigen Funktionen darzustellen. Man
zeigt, da fur jede aussagenlogische Formel, A, im Vokabular " gilt
1. A ist entweder logisch aquivalent zu 0 oder zu einer Formel B , in der
0 nicht vorkommt
2. es gibt eine zu A logisch aquivalente Formel der Form B oder :B , so
da in B weder 0 noch : vorkommt.
3. jede Formel, die nur mit $ und den beiden Aussagenvariablen X Y
aufgebaut ist, ist logisch aquivalent zu 1, X , Y oder X $ Y .
Zum Beweis der dritten Eigenschaft macht man am besten Gebrauch von
der Beobachtung, da eine Formel, die nur mit $ aufgebaut ist, genau dann
eine Tautologie ist, wenn jede Aussagenvariablen in ihr eine gerade Anzahl
von Vorkommen hat.
Zu 2.3 Kalkule
zu Aufgabe 2.3.1
fT U gA ^ B
fT U gA
fT U gB
fT U gA _ B
fT U gA oder fT U gB
215
fT U g:A
fT U g A
fF U gA
fU F gA
fT U g8xA(x)
fT U gA(z)
fT
zu Aufgabe 2.3.2
fT gA cand B
fT gA
fT gB
fU gA cand B
fU gA oder fT gA
fU gB
fT gA cor B
fT gA oder fT gB
fF gA
fT U gA B
fT U gB oder fF U gA
fT U g9xA(x)
U gA(f (y1 : : : yk ))
fF gA cand B
fF gA oder fF gB
fT gA
fF U gA cand B
fF U gA oder fF U gB
fU gA cor B
fU gA oder fF gA
fU gB
fF gA cor B
fF gA
fF gB
fF U gA cor B
fU gA oder fF gA
fF U gB
fT gB
zu Aufgabe 2.3.4
Falls es eine Tableauregel fur f1gc(P1 : : : Pn) mit den genannten Eigenschaften gibt, dann sieht man leicht, da c(P1 : : : Pn ) 1-persistent ist.
Nehmen wir umgekehrt an, da c(P1 : : : Pn) 1-persistent ist, und betrachten ein n-Tupel (w1 : : : wn) von Wahrheitswerten aus f1 u 0g mit
v(c(w1 : : : wn )) = 1. Falls fur ein i gilt wi = u, dann gilt wegen der 1Persistenz auch
v(c(w1 : : : wi;1 1 wi+1 : : : wn)) = 1
v(c(w1 : : : wi;1 0 wi+1 : : : wn)) = 1
. Seien w1 = (w11 : : : wn1 ) : : : wr = (w1r : : : wnr ) alle Belegungen der Aussagenvariablen P1 : : : Pn mit v(c(wj ) = 1. Wir setzen Ej = ffwigPi j 1 i n und wi 6= ug. Man sieht leicht, da
216
f1gc(P1 : : : Pn )
E1 : : :
Er
eine korrekte und vollstandige Tableauregel ist, die als Vorzeichen nur f1g
und f0g enthalt.
Zu 2.5 Unendlichwertige Logiken
zu Aufgabe 2.5.1
A _ B = maxfA B g = (A ) B ) ) B
A ^ B = minfA B g = :(:A _ :B )
A B = 1; j A B j = (A ) B ) ^ (B ) A)
zu Aufgabe 2.5.1
Der Wahrheitswerteverlauf der Teilformel k :A wird durchFdie Funktion
maxf0 (k ; 1) ; kAg beschrieben. Fur die Teilformel A u k;1 hat den
Werteverlauf maxf0 minfA kA ; 1gg. Die angegebene Formel ist eine Tautologie wenn fur alle A 2 Wn gilt
minf1 (n ; 1)(maxf0 (k ; 1) ; kAg + maxf0 minfA kA ; 1gg)g = 1
F
i.e. wenn
maxf0 (k ; 1) ; kAg + maxf0 minfA kA ; 1gg n ;1 1
Speziell fur k = 2 fuhrt das zu:
maxf0 1 ; 2Ag + maxf0 minfA 2A ; 1gg n ;1 1
Falls (1 ; 2A) > 0 so vereinfacht sich die linke Seite dieser Ungleichung zu
1 ; 2A. Wenn fur A 2 Wn die Ungleichung (1 ; 2A) > 0 gilt, dann gilt auch
schon (1 ; 2A) n;1 1 .
Falls (1 ; 2A) < 0 so berechnet sich die linke Seite zu minfA 2A ; 1g. Wegen
A n;1 1 und 2A ; 1 frac1n ; 1 folgt auch in diesem Fall die Gultigkeit
der Ungleichung.
217
Der noch verbleibende Fall 2A = 1 ist fur A 2 Wn ausgeschlossen, da 2 kein
Teiler von n ; 1 sein darf.
zu Aufgabe 2.5.3
p )u q = max(0 p ; q)
p u q = jp ; qj
Zu 3.1 Modale Aussagenlogik
zu Aufgabe 3.1.4
Aus `G A ! B folgt noch A `G B
Ein Gegenbeispiel fur die umgekehrte Implikationsrichtung erhalt man fur
A = p und B = 2p. Denn es gilt p `G 2p, aber nicht `G p ! 2p.
Zu 3.2 Korrespondenztheorie
zu Aufgabe 3.2.3
Teil 1
Nach Denition steht C (0 1 2 0) fur
8w18w28w3((w1 = w2 ^ R2 (w1 w3))
! 9w4(R(w2 w4) ^ w3 = w4))
Ersetzt man w2 uberall durch w1 und w4 uberall durch w3, so erhalt man
8w18w3(R2(w1 w3) ! R(w1 w3))
woraus durch Auosung der Denition von R2(w1 w3) unmittelbar die Denition der Transitivitat von R wird.
zu Aufgabe 3.2.8
(1)
Angenommen es gilt (K g) j= 2ap. Dann gilt fur alle g 2 G mit
Ra(g h) auch (K h) j= p. Da Ra als eine transitive Hulle insbesondere reexiv ist, gilt auch Ra(g g) und damit schon einem (K g) j= p. Es bleibt
also noch (K g) j= 2a2bp zu zeigen. Dazu betrachten wir h1 h2 2 G mit
Ra(g h1) und Rb (h1 h2). Da Ra die transitive Hulle von Rb ist gilt dann
auch Ra(g h2) und damit auch (K h2) j= p.
218
zu Aufgabe 3.2.9
Sei (G R) ein transitiver Rahmen, in dem die angegebene Formel 2(2p !
p) ! 2p nicht gilt. Es gibt also eine Bewertungsfunktion v und g1 2 G
mit (K g1) 6j= 2(2p ! p) ! 2p fur K = (G R v). Wir wollen zeigen, da
daraus die Existenz einer unendlichen aufsteigenden Kette von Welten in G
folgt. Aus der Annahme folgt zunachst
(K g1) j= 2(2p ! p)
(5.1)
und
(K g1) j= :2p
Wegen 5.2 gibt es g2 2 G mit R(g1 g2) und
(K g2) j= :p
Wegen 5.1 gilt auch
(5.2)
(K g2) j= 2p ! p
Aus 5.4 und 5.3 zusammen folgt:
(K g2) j= :2p
(5.4)
(5.3)
(5.5)
was die Existenz einer Welt g3 2 G zur Folge hat mit R(g2 g3) und
(K g3) j= :p
(5.6)
Wegen der vorausgesetzten Transitivitat folgt auch R(g1 g3) und damit nach
5.1 wieder
(K g3) j= 2p ! p
(5.7)
Jetzt ist leicht zu sehen, da eine unendliche bzgl. R aufsteigenede Folge von
Welten entsteht.
Sei jetzt umgekehrt eine Folge gi 2 G gegeben mit R(gi gi+1) fur alle i 1.Dazu denieren wir ein v durch:
v(h p) =
0
falls R(h gi ) fur ein i gilt.
1 sonst.
219
Wir schreiben K fur (G R). Wegen R(gi gi+1) gilt (K gi) j= :p und wegen
R(gi+1 gi+2) auch (K gi) j= :2p fur alle i.
Betrachten wir ein beliebiges h 2 G. Gibt es kein i mit R(h gi ), dann
gilt v(h p) = 1 und damit auch (K h) j= 2p ! p. Gilt dagegen R(h gi )
fur ein i, so gilt wegen (K gi) j= :p jetzt (K h) j= :2p und damit auch
(K h) j= 2p ! p. Insgesamt ist damit (K h) j= 2(2p ! p) fur alle h 2 G
gezeigt und (K gi) j= :2p fur alle i. Die Formel 2(2p ! p) ! 2p ist also
nicht gultig in K.
Zu 3.4 Entscheidbarkeit modaler Aussagenlogiken
zu Aufgabe 3.4.2
Angenommen A `KG B gilt nicht und K ist eine Kripke Struktur, so da
(K g) j= A fur alle g und (K g0) j= :B fur eine Welt g0 von K. Ist ; die
Menge aller Teilformeln von B und A und K; die Filtration von K modulo ;,
dann gilt nach Lemma 50 fur alle Welten h = g] von K; wieder (K; h) j= A
und (K; g0]) j= :B . Also ist auch die endliche Kripke Struktur K; ein
Gegenbeispiel fur A `KG B . Aus diesen U berlegungen folgt wie in Satz 51 die
Entscheidbarkeit der globalen Folgerungsbeziehung.
Zu 3.6 Modale Tableaukalkule
zu Aufgabe 3.6.3
Nein, es gibt keine solche Formel die im Beweis des Vollstandigkeitssatzes
konstruierte Struktur erfullt die angegebene Einschrankung.
zu Aufgabe 3.6.4
Die Formel 33A ! 23A ist sicherlich keine Tautologie in der modalen
Logik K. Wurde man die Einschrankung an die -Regel fallen lassen, so
220
wurde das folgende geschlossene Tableau entstehen:
1 F 33A ! 23A
(1)
1 T 33A
(2) aus 1
1 F 23A
(3) aus 1
1:1 T 3A
(4) aus 2
1:1:1 TA
(5) aus 4
1:1 F 3A
(6) aus 3 inkorrekt
1:1:1 FA
(7) aus 6
geschl. mit (7) und (5)
Eine korrekte Ableitung sieht so aus:
1 F 33A ! 23A
(1)
1 T 33A
(2) aus 1
1 F 23A
(3) aus 1
1:1 T 3A
(4) aus 2
1:1:1 TA
(5) aus 4
1:2 F 3A
(6) aus 3
keine weitere Regel anwendbar
zu Aufgabe 3.6.7
1. 8x8z(r(y x) ^ r(x z) ! p(z)) ! 8x(r(y z) ! p(z))
2. 8x(r(y x) ! 9z(r(x z) ^ p(z))) ! 9x(r(y x) ^ 8z(r(x z) ! p(z))
3. p(y) ! 8x(r(y x) ! p(x))
Zu 4.1 Temporale Logik
zu Aufgabe 4.1.1
Die einzige Stelle, an der die Linearitat der Ordnungen in M benutzt wird,
ist beim Ubergang
von
(H s) j= Cj gdw Htemp j= G0j (s)
zu
(H t) j= sif Cj _ Cj _ sip Cj gdw Htemp j= 9yG0j (t y)
Hier zu mu fur jede TL-Formel A, jede Struktur K = (G v <) mit (G <
) 2 M und jedes t 2 G die Aussage
221
s3
s4
s1
v(A s1) = 1 v(B s1) = v(C s1) = 0
v(B s2) = 1 v(A s2) = v(C s2) = 0
v(C s3) = v(C s4) = 1
s2
t
Abbildung 5.1: Gegenbeispiel fur Aufgabe 4.1.2
aquivalent sein zu
zu Aufgabe 4.1.2
"es gibt ein s 2 G mit (K s) j= A\
"(K t) j= sip A _ A _ sif A\.
1. Die folgenden Zeilen sind jeweils zueinander aquivalent:
(K t) j= C until (A _ B )
9s > t(K s) j= (A _ B ) und
8s0(s > s0 > t ) (K s0) j= C
( 9s > t(K s) j= A oder 9s > t(K s) j= B )
und
8s0(s > s0 > t ) (K s0) j= C
( 9s > t(K s) j= A und 8s0(s > s0 > t ) (K s0) j= C )
oder
( 9s > t(K s) j= B und 8s0(s > s0 > t ) (K s0) j= C )
(C until A) oder (C until B )
(C until A) _ (C until B )
2. Fr die Zeitstruktur K aus Abbildung 5.1 gilt
(K t) j= (A until C ) und (K t) j= (B until C ), aber nicht (K t) j=
(A ^ B ) until C .
Zu 4.2 Verzweigende Temporale Logiken
zu Aufgabe 4.2.3 Als Voruberlegung zeigt man zunachst die Monotonie
von fAX , was leicht einzusehen ist.
222
Die Behauptung f n () f n+1 () wird jetzt durch Induktion nach n bewiesen.
Fur n = 0 ergibt sich sofort = f 0() f 1():
Setzen wir jetzt fur n 1 f n;1 () f n () voraus und versuchen f n() f n+1 () zu beweisen. Sei also g 2 f n () Nach Denition von f folgt daraus
g 2 (F2) ( (F1) \ fAX (f n;1 ()) Nach der einleitended bemerkten Monotonie von fAX und der Induktionsannahme folgt fAX (f n;1 () fAX (f n ())
und damit auch g 2 f n+1()
223
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maximal konsistente, 126
Formeln
Fml3(V ), siehe Formeln fur L3
-, 143
-Formeln, 47
-, 143
-, 143
charakterisierende, 110, 112
fur CTL, 206
fur L3, 20
fur CTL, 195
fur dynamische Aussagenlogik,
164
fur dynamische Quantorenlogik, 170
fur modale Aussagenlogik, 101
komplementare, 47
lineare temporale Logik, 176
modallogische, 140
multimodale, 118
Pfad-, 206
Prax, 152
syntaktisch separierte, 186
Vergangenheits-, 181
F -Algebra, 20
A quivalenz
schwache, 23
starke, 24
ALC, 136
ableitbarkeit
modallogische, 101
Abschlu
Fischer-Ladner, 169
Axiome
fur Aussagenlogik, 66
fur dynamische Aussagenlogik,
167
fur dynamische Quantorenlogik, 172
Berechnungsbaum, 197
Beschreibungslogik
Semantik, 136
Syntax, 136
Charakterisierbarkeit, 110, 112
Deduktionstheorem, 28, 107
Denitionsvollstandigkeit, 179
direkte Summe, 122
Endlichkeitseigenschaft, 90
Entscheidbarkeit
fur dynamische Aussagenlogik,
170
230
fur S5, 108
fur T, 108
kanonische, 128
pradikatenlogische, 140
Logiken
L
ukasiewicz, 74{82
L3, 20{23
CTL, 195{197
dynamische Aussagenlogik ,
163{170
dynamische Quantorenlogik ,
170{173
lineare temporale, 175{177
Modallogik K, 102
normale Modallogik, 124
partielle, 18
Postsche, 35
VDM-Logik, 72
Logische Folgerung
fur L3, 23
modale
globale, 106
lokale, 106
Matrix, 20
Mengenfunktionen, 202
monotone, 204
stetige, 204
model checking
CTL-, 198{205
Modellprufung
CTL Komplexitat, 205
CTL-, 198{205
Komplexitat, 205
LTLKomplexitat, 206
syntaktische, 185
Vorzeichenformeln, 45, 50, 52
Zukunfts-, 181
syntaktische, 185
Zustands-, 206
zweiwertige, 28
Funktionale Vollstandigkeit, 31
allgemeines Kriterium, 36
Kriterium von S
lupecki, 39
Postsche Logiken, 38
von L+3 , 31
Funktionen
additive, 42
maximal monotone, 30
Mengen-, 202
multiplikative, 42
partielle, 72
Generalisierungsregel, 133
Gleichheit
dreiwertige, 73
Implikation
L
ukasiewicz, 75
L
ukasiewicz, 43
schwache, 23
starke, 24
Komplexitat
unitl, 191
Konsequenzrelation
abstrakte, 90
strukturelle, 91
uniforme, 91
Kripke Rahmen, 104
irreexive, 117
Kripke Strukturen, 103{107
aussagenlogische, 105
fur S4, 108
231
modus ponens, 66
Negation
schwache, 20
starke, 20
Negationsnormalform
starke, 86
Nichttautologie, 28
Pfade
in Kripke Strukturen, 195
Prax, 142, 152
Praxformel, 152
Praxsubstitution, 152
Praxvariable, 152
Programme
atomare, 163
Reduktion
L3nach PL1, 87
LTL nach PL1, 178
modale Logik auf PK1, 157{
161
since, 176
Standardfortsetzung, 29
Strukturen
F -Algebra, 20
arithmetische, 172
Berechnungs-, 195
fur L3, 20
fur dynamische Aussagenlogik,
165
Kripke-, 105
Prastruktur, 20
subsumierte, 64
temporale, 175
subsumption, 64
Supsumtionsproblem, 138
t-Norm, 82
linksseitig stetige, 83
Tableau, 46
K-, 145
geschlossenes, 145
K-erfullbares, 147
Box Regel, 153
Diamant Regel, 153
erfullbares, 48, 153
geschlossenes, 47
initiales, 154
K-G-, 150
K-L-, 150
Regeln, 46
korrekte, 48
vollstandige, 49
systematisches, 47
Zweig, 46
erschopfter, 47
geschlossener, 47
oener, 47
Tableaukalkul
fur L3, 50{52
Extensionen, 45
fur K, 145
fur S4, 150
modaler, 144{145
mit Variablen, 152{156
Tautologien
L
ukasiewicz, 75
fur L3, 23, 25, 26
fur t-Normen, 84, 85
fur K, 108
modale, 107
Transitionssystem, 103
transitive Hulle, 118
Trennbarkeit, 181
232
Unabhangigkeit, 68
Universum
konstantes, 141
Unteralgebra, 141
Unterrahmen, 121
until, 176
VDM, 71
vergangenheitsoperatoren, 175
Vorzeichen, 49
Welten, 104
Zeitstruktur, 175
Zuganglichkeitsrelation
fur Praxe, 145
Zuganglichkeitsrelation, 104
233
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