Zusammenfassung: Magnetfelder

LGÖ Ks
Ph 11 2-stündig
Schuljahr 2015/2016
Zusammenfassung: Magnetfelder
Inhaltsverzeichnis
Wiederholung: Magnetismus ....................................................................................................... Blatt
Magnetfelder ...................................................................................................................................... 1
Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter in einem Magnetfeld und magnetische Flussdichte ..... 2
Vergleich: Gravitationsfeld, elektrisches Feld und Magnetfeld .................................................. Blatt
Lorentzkraft ........................................................................................................................................ 3
Halleffekt ........................................................................................................................................... 4
Magnetfeld einer schlanken Spule ..................................................................................................... 4
Wiederholung: Kreisbewegungen ................................................................................................ Blatt
Bewegung geladener Teilchen in Magnetfeldern .............................................................................. 5
Für Experten ....................................................................................................................................... 6
Wiederholung: Magnetismus
siehe Blatt
Magnetfelder
Definition: Ein Magnetfeld ist ein Raumbereich, in dem Magnete und stromdurchflossene Leiter
magnetische Kräfte erfahren.
Zum Beispiel ist in der Umgebung eines Dauermagneten oder eines stromdurchflossenen Leiters ein
Magnetfeld.
Die Richtung der Kraft in einem Magnetfeld beschreibt man durch Feldlinien. Ein gedachter Probenordpol erfährt eine Kraft tangential zu den Feldlinien in Feldlinienrichtung. Da es keinen einzelnen
Nordpol gibt, bestimmt man den Feldlinienverlauf
 mit Eisenspänen; diese werden magnetisiert und stellen sich tangential zu den Feldlinien ein.
Die Richtung der Feldlinien kann man allerdings nicht bestimmen.
 mit einer Magnetfeldsonde, d. h. einem kleinen, allseits drehbaren Stabmagneten. Er stellt
sich tangential zu den Feldlinien ein, wobei sein Nordpol in Richtung der Feldlinien weist.
Wichtige Magnetfelder:
 Feld eines Stabmagneten
 Feld eine Hufeisenmagneten:
Zwischen den Schenkeln verlaufen die Feldlinien parallel (vom Randfeld abgesehen).
 Erdmagnetfeld
Das Erdmagnetfeld ist ähnlich dem Feld eines Stabmagneten, dessen Nordpol in der Nähe
des geografischen Südpols und dessen Südpol in der Nähe des geografischen Nordpols liegt.
 Feld eines geraden stromdurchflossenen Leiters:
Die Feldlinien bilden Kreise um den Leiter mit dem Leiter als Kreismittelpunkt. Die
Richtung der Feldlinien ergibt sich aus der Linken-Faust-Regel:
Halte den Daumen an Stelle des Leiters in Richtung der Elektronenbewegung. Dann geben
die gekrümmten Finger die Richtung der Feldlinien an.
 Feld einer stromdurchflossenen Leiterschleife
 Feld einer stromdurchflossenen Spule:
Im Innern der Spule verlaufen die Feldlinien parallel zur Spulenachse. Außerhalb der Spule
ist das Feld ähnlich dem Feld eines Stabmagneten.
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Bei den von Dauermagneten erzeugten Magnetfeldern beginnen die Feldlinien am Nordpol und
enden am Südpol. Bei den von Strömen erzeugten Magnetfeldern sind die Feldlinien geschlossen,
d. h. sie haben keinen Anfang und kein Ende; insbesondere kann man nicht von einem Nord- oder
Südpol reden.
Die Richtung von Feldlinien, die senkrecht zur Zeichenebene verlaufen, kennzeichnet man
folgendermaßen:
Die Feldlinien weisen in die Zeichenebene hinein. (Das Zeichen soll an einen gefiederten
Pfeil erinnern, der von hinten betrachtet wird.)
Die Feldlinien weisen aus der Zeichenebene heraus. (Das Zeichen soll an eine Pfeilspitze
erinnern.)
Es wäre nahe liegend, in Analogie zur elektrischen Feldstärke die „magnetische Feldstärke“
folgendermaßen zu definieren:
Kraft auf einen Probenordpol, geteilt durch die „Stärke“ des Nordpols.
Dies kann man aber nicht als Definition nehmen, da es keinen einzelnen Nordpol (und schon gar
kein Maß für die „Stärke“ eines Nordpols) gibt.
Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter in einem Magnetfeld und magnetische Flussdichte
Ein stromdurchflossener Leiter, der senkrecht zu den Feldlinien eines Magnetfelds verläuft, erfährt
eine Kraft, die senkrecht zum Leiter und senkrecht zu den Feldlinien wirkt.
Die Richtung der Kraft ergibt sich aus der Dreifingerregel der linken Hand:
Halte den Daumen an Stelle des Leiters in Richtung der Elektronenbewegung und den Zeigefinger
in Richtung der Magnetfeldlinien. Dann gibt der Mittelfinger die Richtung der Kraftwirkung an.
Zwei Anwendungen dieser Kraftwirkung sind der Elektromotor und der Lautsprecher.
Man weist experimentell nach, dass der Betrag F der Kraft
 proportional zur Stromstärke I ist;
 proportional zur Leiterlänge s ist (das ist auch anschaulich klar).
Also ist F proportional zu Is , d. h. es gilt F  Proportionalitätsfaktor  Is .
Der Proportionalitätsfaktor in dieser Beziehung ist ein Maß für die Stärke des Magnetfelds. Aus
historischen Gründen nennt man ihn nicht „magnetische Feldstärke“, sondern „magnetische Flussdichte“:
Definition: Ein von einem Strom I durchflossener Leiter der Länge s, der senkrecht zu den Feldlinien eines Magnetfelds verläuft, erfährt eine Kraft F. Der Quotient
F
B
Is
heißt Betrag der magnetischen Flussdichte.
N
Einheit: 1 T  1
(Tesla)
Am

Definition: Die magnetische Flussdichte B ist eine gerichtete Größe:
gerade definiert.
1. Der Betrag B der magnetischen Flussdichte wurde

2. Die Richtung der magnetischen Flussdichte B ist die Richtung der Kraft auf einen gedachten Probenordpol.
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
Merke: Der Betrag von B ist über die Kraftwirkung auf einen stromdurchflossenen Leiter definiert,
und die Richtung von B ist über die Kraftwirkung auf einen gedachten Probenordpol definiert.
Aus der Definition des Betrags der magnetischen Flussdichte folgt unmittelbar:
Ein von einem Strom I durchflossener Leiter der Länge s, der orthogonal zu den Feldlinien eines
Magnetfelds der Flussdichte B verläuft, erfährt die Kraft
F  IBs .
Merke: „Fibs“
Vergleich: Gravitationsfeld, elektrisches Feld und Magnetfeld
siehe Blatt
Lorentzkraft
Bewegen sich geladene Teilchen (beispielsweise Elektronen in einer Braun’schen Röhre) senkrecht

zu den Feldlinien eines Magnetfelds, dann erfahren sie eine Kraft, die sog. Lorentzkraft FL .
Die Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter in einem Magnetfeld ist die Summe der Lorentzkräfte auf die im Leiter fließenden Elektronen. Also gilt für die Richtung der Lorentzkraft das
Gleiche wie für die Richtung der Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld:

 Die Lorentzkraft FL wirkt senkrecht zur Bewegungsrichtung der Teilchen und senkrecht zu
den Feldlinien.

 Die Richtung von FL auf negativ geladene Teilchen ergibt sich aus der Dreifingerregel der
linken Hand.
Der Betrag der Lorentzkraft auf ein Teilchen der Ladung q, das sich mit der Geschwindigkeit v
senkrecht zu den Feldlinien eines Magnetfelds der Flussdichte B bewegt, ist
FL  qvB .
Herleitung: siehe „Für Experten“.
Halleffekt
Wird ein stromdurchflossenes Plättchen
senkrecht von einem Magnetfeld durch
setzt, dann wirkt auf die in dem PlättB
chen fließenden Elektronen eine
Lorentzkraft. In der nebenstehenden
UH
Anordnung wirkt die Lorentzkraft nach
h
der Dreifingerregel der linken Hand
nach unten. Also werden die Elektronen
nach unten abgelenkt. Dadurch wird die
Unterseite des Plättchens negativ
geladen, und die Oberseite des
Plättchens wird positiv geladen.
Zwischen der Unterseite und der Oberseite entsteht also eine Spannung, die Hallspannung U H .
Durch die Ladungen entsteht in dem Plättchen ein elektrisches Feld, das auf die Elektronen eine

elektrische Kraft nach oben bewirkt. Nach kurzer Zeit hat die elektrische Kraft Fel denselben

Betrag wie die Lorentzkraft FL . Hat das Magnetfeld die Flussdichte B, das Plättchen die Höhe h
und fließen die Elektronen mit der (Drift-)geschwindigkeit v, dann gilt:
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Fel  FL
E
Fel
, also Fel  qE
q
E
U UH

d
d
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qE  qvB
E  vB
UH
 vB
h
U H  Bhv
Den Halleffekt nutzt man in einem Teslameter zur Messung des Betrags der magnetischen Flussdichte.
Magnetfeld einer schlanken Spule

Ein Magnetfeld heißt homogen, wenn die magnetische Flussdichte B (nach Betrag und Richtung)
überall gleich ist. Man weist experimentell nach, dass das Magnetfeld im Innern einer schlanken
stromdurchflossenen Spule homogen ist (vom Randbereich abgesehen).
Man weist experimentell nach, dass der Betrag B der magnetischen Flussdichte im Innern einer
schlanken Spule
 unabhängig vom Spulenquerschnitt ist;
 proportional zur Stromstärke I ist;
 proportional zur Anzahl n der Windungen ist;
 umgekehrt proportional zur Länge l der Spule ist.
Die beiden letztgenannten Abhängigkeiten kann man zusammenfassen: B ist proportional zur
n
Windungsdichte .
l
n
n
Also ist B proportional zu I , d. h. es gilt B  Proportionalitätsfaktor  I .
l
l
Definition: Dieser Proportionalitätsfaktor heißt magnetische Feldkonstante  0 ; es ist
Tm
 0  1, 26  106
.
A
Bestimmung der magnetischen Feldkonstanten  0 :
Schließe eine schlanke Spule der Länge l mit n Windungen an ein Netzgerät an und miss die
Stromstärke I. Miss die magnetische Flussdichte B im Innern der Spule mit einem Teslameter. Es ist
n
Bl
B  0 I , also 0 
.
nI
l
Füllt man das Innere einer stromduchflossenen Spule mit einem ferromagnetischen Stoff, dann wird
dieser magnetisiert, und die magnetische Flussdichte wird größer. Wie stark sie sich vergrößert,
hängt vom Stoff ab.
Definition: Die Permeabilitätszahl  r eines Stoffes gibt an, auf das Wievielfache sich die magnetische Flussdichte im Vergleich zu Vakuum vergrößert.
In Luft gilt  r  1 .
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Also hat die magnetische Flussdichte im Innern einer schlanken Spule der Länge l mit
n Windungen, die mit einem Stoff der Permeabilitätszahl  r gefüllt ist und durch die ein Strom der
Stärke I fließt, den Betrag
n
B  0  r I .
l
Wiederholung: Kreisbewegungen
siehe Blatt
Bewegung geladener Teilchen in Magnetfeldern

Ein Teilchen der Ladung q, der Masse m und der Geschwindigkeit v tritt senkrecht zu den

Feldlinien in ein homogenes Magnetfeld der Flussdichte B ein.
Da die Lorenzkraft senkrecht zur Bewegungsrichtung wirkt, bleibt der Betrag der Geschwindigkeit
des Teilchens gleich, nur die Bewegungsrichtung ändert sich. Also bleibt der Betrag der
Lorentzkraft FL  qvB gleich. Also ist die Lorentzkraft eine Kraft mit konstantem Betrag, die
senkrecht zur Bewegungsrichtung wirkt. Also wirkt die Lorentzkraft als Zentripetalkraft, und das
Teilchen beschreibt eine Kreisbahn.
Für den Radius r der Kreisbahn gilt
FL  FZ
mv 2
qvB 
r
mv
,
r
qB
und für die Umlaufdauer T der Kreisbewegung gilt
2 r
v
T
2 r
.
T
v
Die Kreisbewegung von Elektronen kann man in einem Fadenstrahlrohr zwischen einem Paar von
Helmholtzspulen sichtbar machen:
 In einem Fadenstrahlrohr befindet sich eine Glühkathode, die Elektronen freisetzt. Daneben
ist eine Anode. Die Elektronen werden durch eine Spannung U, die zwischen Anode und
Kathode liegt, beschleunigt. Sie treten durch ein Loch in der Anode in einen Raum, der mit
einem stark verdünnten Edelgas gefüllt ist. Die Elektronen stoßen gegen die Gasmoleküle
und regen diese zum Leuchten an, so dass die Bahn der Elektronen sichtbar wird.
 Ein Helmholtz-Spulenpaar besteht aus zwei großen Ringspulen mit gleicher Spulenachse,
deren Radius gleich ihrem Abstand ist. Werden die Spulen gleichsinnig von einem Strom
gleicher Stärke durchflossen, dann erzeugen sie in ihrem Innenraum ein (näherungsweise)
homogenes Magnetfeld.
Mit einer solchen Anordnung kann man die Elektronenmasse me bestimmen.
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Anwendungen:
 Ablenkung eines Elektronenstrahls in einer Braun’schen Röhre.
Anwendungen: Oszilloskop , Röhrenfernseher und Röhrenmonitor
 Massenspektrometer: Atome bzw. Moleküle werden ionisiert und in einem elektrischen Feld
beschleunigt. In einem Magnetfeld werden die Ionen abgelenkt. Mit einem Detektor (früher:
mit einer Fotoplatte) wird der Auftreffpunkt registriert.
Aus dem Auftreffpunkt kann man die Masse der Ionen berechnen.
Anwendungen: chemische Analyse und Isotopenuntersuchung
 Teilchenbeschleuniger mit Speicherring: Geladene Teilchen (beispielsweise Elektronen oder
Protonen) werden in einem elektrischen Feld beschleunigt und durch starke Magnete auf
eine Kreisbahn gebracht. Die Teilchen durchlaufen diese Kreisbahn mehrfach und durchlaufen dabei immer wieder ein elektrisches Feld, das die Teilchen immer weiter
beschleunigt.
Anwendungen: Experimente zur Teilchenphysik und Bestrahlung von Tumoren
Für Experten
Herleitung des Betrags FL der Lorentzkraft:
In einem Leiterstück der Länge s seien N Elektronen frei
beweglich. Sie strömen mit der (durchschnittlichen) Drifts
geschwindigkeit v in der Zeit t  durch den (im Bild
v
dunkel schraffierten) Leiterquerschnitt am Ende des
s
Leiterstücks und tragen durch ihn die Ladung Q  Ne .
Also ist die Stromstärke
Q Ne Nev
.
I 

s
t
s
v
Das Leiterstück erfährt in einem Magnetfeld der Flussdichte B, dessen Feldlinien senkrecht zum
Leiter sind, die Kraft
Nev
F  IBs 
 Bs  NevB .
s
Diese Kraft ist die Summe der Lorentzkräfte auf die N Elektronen im Leiterstück. Also ist die
Lorentzkraft auf ein einzelnes Elektron
F NevB
FL  
 evB .
N
N
Analog erfährt ein Teilchen der Ladung q eine Lorentzkraft vom Betrag
FL  qvB .
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