2. Potenzen und Potenzieren - nf

Dipl.-Kaufm.
Wolfgang Schmitt
Aus meiner Skriptenreihe: " Keine Angst vor ... "
Potenzieren
(Grundlagen)
Vorkenntnisse:
Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Dividieren
www.nf-lernen.de
1
1. Begriff Potenz
Für Produkte, die aus lauter gleichen Faktoren bestehen, verwendet man die
Potenzschreibweise:
Beispiel:
Allgemein:
2  2  2  23
23 heißt Potenz. Das Ergebnis 8 heißt Potenzwert (PW)
PW = bn
Basis = Grundzahl b; Exponent = Hochzahl n
bn = b  b  b  b  …  b
n – Faktoren
Für die Basis 0 gilt:
0n  0 ,
weil 0  0  0  0  …  0 = 0
Für die Basis 1 gilt:
1n  1,
weil 1  1  1  1  …  1 = 1
Für n = 1 gilt:
b1  b ,
weil b = b
Für n = 0 gilt:
b0  1
Beweis siehe unten.
2. Addition und Subtraktion
Es können nur Potenzen mit gleicher Basis und mit gleichen Exponenten addiert
oder subtrahiert werden.
Beispiel:
35  35  2  35  468
Den Faktor 2 nennt man Koeffizient (Beizahl).
Potenzen mit gleichen Basen und Exponenten werden addiert oder
subtrahiert, indem man die Koeffizienten addiert oder subtrahiert.
3. Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen
Beispiel: 23  24 = (222)  (2222) = 27
Potenzen mit gleichen Basen werden multipliziert, indem
man die Basen bei behält und die Exponenten addiert
bn  bm = bn+m
2
4. Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponenten
Beispiel: 53  63 = (5  5  5)  (6  6  6) = (5  6)  (5  6)  (5  6) = ( 5  6 )3
Potenzen mit verschiedenen Basen und gleichen Exponenten werden
multipliziert, indem man die Basen multipliziert und die Exponenten
bei behält:
an  bn = ( a  b )n
5. Division von Potenzen mit gleichen Basen
Beispiel:
56 : 52 
56 5  5  5  5  5  5

und kürzen führt zu 56 : 52 = 54
2
5
55
Potenzen mit gleichen Basen werden dividiert, indem
man die Basen bei behält und die Exponenten subtrahiert
bn : bm = bn - m
Jetzt können wir den Potenzwert PW = b0 berechnen (siehe oben):
b0 = 1
1
23 2  2  2

und kürzen führt zu  1
3
2
222
1
Beweis mit Zahlen:
23 : 23 
weil:
23 : 23 = 2 3 – 3 = 2 0 = 1
Der Potenzwert jeder Basis hoch Null ist 1
b0 = 1
6. Division von Potenzen mit gleichem Exponenten
Beispiel:
53 5  5  5 5 5 5  5 
5 :2  3 
   
2
2  2  2 2 2 2  2 
3
3
3
Potenzen mit verschiedenen Basen und gleichen Exponenten werden
dividiert, indem man die Basen dividiert und die Exponenten bei behält:
an : bn = ( a : b )n
3
7. Negative Exponenten
Wiederhole Punkt 5: Division von Potenzen mit gleichen Basen und berechne:
32
 326  3 4
6
3
Nach dem Rechengesetz ist der Exponent negativ.
Wie erhalten wir einen positiven Exponenten?
Wir wissen:
1
1
32
33

und kürzen 
 4
6
3
333333
3333 3
Ein negativer Exponent wechselt vom Zähler in den Nenner
und umgekehrt mit entgegengesetztem Vorzeichen.
bn 
1
bn
und
1
 bn
n
b
8. Potenzieren von Potenzen
Beispiel:
17 
2
3
 172  172  172  176  1723
Potenzen werden potenziert, indem man
die Exponenten multipliziert
b 
n
m
 bn  m
4
9. Basis ist Null und Exponent ist Null, also
00 = ?
Streitereien unter den Gelehrten in der Geschichte der Mathematik ohne Ende.
Eine Internetrecherche darüber ist recht interessant und emotionsgeladen
Ein lohnendes Thema für den Mathe Leistungskurs im 4. Semester ?
Denn:
Êxcel:
Graph:
und für die LK-ler:
Existiert bei x = 0 eine Definitionslücke oder nicht?
Ich halte fest:
00 ist kein absolut nicht definierter Term.
Und schon sind wir bei der Teilchen-Physik.
Es gibt Teilchen, die aus nichts bestehen, so Harald Lesch (BR-alpha)