Dipl.-Kaufm. Wolfgang Schmitt Aus meiner Skriptenreihe: " Keine Angst vor ... " Potenzieren (Grundlagen) Vorkenntnisse: Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Dividieren www.nf-lernen.de 1 1. Begriff Potenz Für Produkte, die aus lauter gleichen Faktoren bestehen, verwendet man die Potenzschreibweise: Beispiel: Allgemein: 2 2 2 23 23 heißt Potenz. Das Ergebnis 8 heißt Potenzwert (PW) PW = bn Basis = Grundzahl b; Exponent = Hochzahl n bn = b b b b … b n – Faktoren Für die Basis 0 gilt: 0n 0 , weil 0 0 0 0 … 0 = 0 Für die Basis 1 gilt: 1n 1, weil 1 1 1 1 … 1 = 1 Für n = 1 gilt: b1 b , weil b = b Für n = 0 gilt: b0 1 Beweis siehe unten. 2. Addition und Subtraktion Es können nur Potenzen mit gleicher Basis und mit gleichen Exponenten addiert oder subtrahiert werden. Beispiel: 35 35 2 35 468 Den Faktor 2 nennt man Koeffizient (Beizahl). Potenzen mit gleichen Basen und Exponenten werden addiert oder subtrahiert, indem man die Koeffizienten addiert oder subtrahiert. 3. Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen Beispiel: 23 24 = (222) (2222) = 27 Potenzen mit gleichen Basen werden multipliziert, indem man die Basen bei behält und die Exponenten addiert bn bm = bn+m 2 4. Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponenten Beispiel: 53 63 = (5 5 5) (6 6 6) = (5 6) (5 6) (5 6) = ( 5 6 )3 Potenzen mit verschiedenen Basen und gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und die Exponenten bei behält: an bn = ( a b )n 5. Division von Potenzen mit gleichen Basen Beispiel: 56 : 52 56 5 5 5 5 5 5 und kürzen führt zu 56 : 52 = 54 2 5 55 Potenzen mit gleichen Basen werden dividiert, indem man die Basen bei behält und die Exponenten subtrahiert bn : bm = bn - m Jetzt können wir den Potenzwert PW = b0 berechnen (siehe oben): b0 = 1 1 23 2 2 2 und kürzen führt zu 1 3 2 222 1 Beweis mit Zahlen: 23 : 23 weil: 23 : 23 = 2 3 – 3 = 2 0 = 1 Der Potenzwert jeder Basis hoch Null ist 1 b0 = 1 6. Division von Potenzen mit gleichem Exponenten Beispiel: 53 5 5 5 5 5 5 5 5 :2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 Potenzen mit verschiedenen Basen und gleichen Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und die Exponenten bei behält: an : bn = ( a : b )n 3 7. Negative Exponenten Wiederhole Punkt 5: Division von Potenzen mit gleichen Basen und berechne: 32 326 3 4 6 3 Nach dem Rechengesetz ist der Exponent negativ. Wie erhalten wir einen positiven Exponenten? Wir wissen: 1 1 32 33 und kürzen 4 6 3 333333 3333 3 Ein negativer Exponent wechselt vom Zähler in den Nenner und umgekehrt mit entgegengesetztem Vorzeichen. bn 1 bn und 1 bn n b 8. Potenzieren von Potenzen Beispiel: 17 2 3 172 172 172 176 1723 Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert b n m bn m 4 9. Basis ist Null und Exponent ist Null, also 00 = ? Streitereien unter den Gelehrten in der Geschichte der Mathematik ohne Ende. Eine Internetrecherche darüber ist recht interessant und emotionsgeladen Ein lohnendes Thema für den Mathe Leistungskurs im 4. Semester ? Denn: Êxcel: Graph: und für die LK-ler: Existiert bei x = 0 eine Definitionslücke oder nicht? Ich halte fest: 00 ist kein absolut nicht definierter Term. Und schon sind wir bei der Teilchen-Physik. Es gibt Teilchen, die aus nichts bestehen, so Harald Lesch (BR-alpha)