Lösung 7

Theorie der Wärme
Musterlösung 7.
Übung 1.
FS 2015
Prof. Thomas Gehrmann
Van-der-Waals Gas
Berechne die innere Energie U (V, T ) eines van-der-Waals-Gases in Abhängigkeit von Temperatur und
Volumen bei konstanter Teilchenzahl.
a) Zeige die Gleichung
Hinweis: Es gilt
∂U
∂V T
=T
∂CV
∂V
∂p
∂T
∂
∂T
=
T
∂p
T
−p
.
∂T V
V
(1)
− p (∗).
V
b) Zeige, dass für das van-der-Waals Gas CV nicht vom Volumen abhängt und berechne daraus U (V, T )
bei konstanter Teilchenzahl N .
Lösung.
a) Betrachte
dU =
Verwende
∂U
∂T V
∂U
∂T
dT +
V
∂U
∂V
dV,
(L.1)
T
= CV und setze (∗) ein:
dU = CV dT +
∂p
T
∂T
− p dV.
(L.2)
V
Da dU ein vollständiges Integral ist, gilt weiter:
∂2U
∂2U
=
,
∂T ∂V
∂V ∂T
(L.3)
woraus
∂CV
∂V
=
T
∂
∂T
∂p
T
−p
∂T V
V
(L.4)
folgt.
b) Die Zustandsgleichung für das van-der-Waals Gas lautet
N2
p + 2 a (V − N b) = N kT.
V
(L.5)
Auflösen nach p ergibt
p(N, V, T ) =
und somit
∂p
∂T
N2
N kT
− 2 a,
V − Nb V
(L.6)
Nk
.
V − Nb
(L.7)
=
V
Daraus folgt
T
∂p
∂T
−p=
V
1
N2
a.
V2
(L.8)
Nach Einsetzen in L.4 erhält man
2 N
∂CV
∂
a
=
= 0.
∂V T
∂T V 2 V
(L.9)
CV ist somit unabhängig vom Volumen, und wir erhalten
N2
= CV (T ) dT + a 2 dV
V
Z T
1
1
2
CV (T ) dT − N a
U (V, T ) − U0 (V0 , T0 ) =
.
−
V
V0
T0
dU
(L.10)
(L.11)
Für kleine ∆T gilt CV ≈ const und somit:
2
U (V, T ) = U0 (V0 , T0 ) + CV (T − T0 ) − N a
Übung 2.
1
1
−
V
V0
.
(L.12)
Gefrierpunkterniedrigung beim Schlittschuhlaufen
Der Druck eines Schlittschuhs auf dem Eis erzeugt eine Gefrierpunkterniedrigung. Reicht dieser Effekt
aus, um einen Wasserfilm zu erzeugen, auf dem der Schlittschuh gleitet?
Der Eisläufer hat die Masse 80 kg, und seine Schlittschuhe liegen jeweils auf der Länge 10 cm und einer
Breite 4 mm auf. Berechne damit die Gefrierpunkterniedrigung, die sich aus der Clausius-ClapeyronGleichung ergibt.
J
Verwende dafür die Schmelzenthalpie von Wasser QM ≈ 6000 mol
, sowie die molaren Volumen v̄W asser ≈
cm3
cm3
18 mol und v̄Eis ≈ 19.8 mol .
Lösung.
Betrachte die Clausisus-Clapeyron-Gleichung
dp
QM
=
,
dT
T (v̄g − v̄f )
(L.13)
3
3
s
cm
mit Schmelzenthalpie QM ≈ 6000 mol
sowie den molaren Volumen v̄g ≈ 18 cm
mol und v̄f ≈ 19, 8 mol .
Die Schmelzkurve im Phasendiagramm ist somit negativ. Wenn beide Kufen belastet sind, ergibt
sich ein Druck von
mg
800N
N
pe =
≈
= 106 2 .
(L.14)
A
2 · 0, 1 · 0.004m2
m
Es wurde angenommen, dass die Kufen kein Hohlprofil sowie keinen konvexen Schliff haben und
gleichmässig belastet werden. Weiterhin wird die Temperaturabhängigkeit der Grössen QM ,v̄g
und v̄f vernachlässigt. Mit T = TS ≈ 273K. Es folgt
∆TS =
pe (v̄g − v̄f )
∆p
= TS
≈ −0, 08K.
dps /dT
QM
(L.15)
Bei einer Eistemperatur von minus ein paar Grad Celsius reicht der Effekt unter den gemachten
Annahmen nicht aus um die geringe Reibung auf dem Eis zu erklären.
Übung 3.
Dampfdruckkurve aus der Clausius-Clapeyron-Gleichung
Bestimme die Dampfdruckkurve p(T ) für ein ideales Gas aus der Clausius-Clapeyron-Gleichung mit Hilfe
folgender Annahmen: v̄g − v̄f ≈ v̄g ≈ RT /p und QM ≈ const.
2
Lösung.
Betrachte die Clausisus-Clapeyron-Gleichung
QM
dpd
=
,
dT
T (v̄g − v̄f )
v̄g − v̄f ≈ v̄g ≈
RT
pd
(L.16)
ergibt
dpd
dT
dpd
pd
ln pd
QM pd
RT 2
QM dT
=
RT 2
QM
= −
+ const
RT
=
pd (T ) = const · e
−QM
RT
(L.17)
(L.18)
(L.19)
(L.20)
(L.21)
3