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H ÖHERE T ECHNISCHE B UNDESLEHRANSTALT S AALFELDEN
Höhere Abteilung für Elektrotechnik und Informationstechnik
Angewandte Physik
APH
Formelsammlung
Michael WALSER
3. Auflage 2003
Inhaltsverzeichnis
1
Allgemeines................................................................................ 4
1.1
1.2
Das Griechische Alphabet ................................................................................ 4
Römische Zahlzeichen ..................................................................................... 4
2.1
SI-Einheiten....................................................................................................... 5
2
Physikalische Größen und Einheiten......................................... 5
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.2
Wichtige Konstanten der Physik ...................................................................... 6
3.1
Geschwindigkeit v ............................................................................................ 7
3
Kinematik.................................................................................... 7
3.1.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
Durchschnittsgeschwindigkeit .......................................................................................... 7
Beschleunigung a ............................................................................................ 7
Beschleunigung aus dem Stillstand ................................................................. 8
Momentangeschwindigkeit ............................................................................... 8
Bremsweg ......................................................................................................... 8
Bremsbeschleunigung ...................................................................................... 8
Der Freie Fall .................................................................................................... 9
3.7.1
Fallzeit............................................................................................................................... 9
3.8
3.9
3.10
Der Lotrechte Wurf nach oben ......................................................................... 9
Der Horizontale Wurf ...................................................................................... 10
Der schiefe Wurf ............................................................................................. 11
4.1
Dichte .............................................................................................................. 11
4
Dynamik.................................................................................... 11
4.1.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Dichte verschiedener Materialien: .................................................................................. 11
Newton Axiome ............................................................................................... 12
Gewichtskraft .................................................................................................. 12
Kraft ................................................................................................................. 12
Reibung ........................................................................................................... 12
4.5.1
4.5.2
4.5.3
4.5.4
4.5.5
4.5.6
5
Haftreibung ..................................................................................................................... 13
Bremskraft....................................................................................................................... 13
Bremsverzögerung ......................................................................................................... 13
Bremszeit ........................................................................................................................ 13
Bremsweg....................................................................................................................... 13
Federkraft........................................................................................................................ 13
Arbeit ........................................................................................ 14
5.1
5.2
5.3
Hubarbeit......................................................................................................... 14
Beschleunigungsarbeit ................................................................................... 14
Reibungsarbeit ................................................................................................ 14
6.1
6.2
6.3
Potentielle Energie (Lageenergie).................................................................. 15
Kinetische Energie (Bewegunsenergie)......................................................... 15
Federenergie................................................................................................... 15
7.1
Wirkungsgrad .................................................................................................. 16
8.1
Impulserhaltung .............................................................................................. 17
6
Energie ..................................................................................... 15
7
Leistung.................................................................................... 16
8
Impuls....................................................................................... 17
8.1.1
8.1.2
8.1.3
8.1.4
8.1.5
9
Definition der Sekunde ..................................................................................................... 5
Definition des Meters ........................................................................................................ 5
Die SI-Vorsilben................................................................................................................ 6
für den Elastischen Stoß (Allgemein) ............................................................................. 17
Für den Elastischen Stoß zweier Körper gleicher Massen ............................................ 17
Für Elastischen Stoß gegen eine Wand......................................................................... 17
Für den Unelastischen Stoß (Allgemein)........................................................................ 18
Für den Unelastischen Stoß zweier Körper gleicher Massen ........................................ 18
Moment – Drehmoment ............................................................ 18
2
9.1
Hebelgesetz .................................................................................................... 18
10
Hydrostatik ............................................................................... 19
10.1
10.1.1
10.2
10.2.1
10.3
10.3.1
11
Hydrostatischer Druck .................................................................................... 19
Hydraulische Presse....................................................................................................... 19
Schweredruck – Tiefendruck .......................................................................... 20
Kommunizierende Gefäße.............................................................................................. 21
Auftrieb ............................................................................................................ 22
Steigen, Sinken, Schweben, Schwimmen...................................................................... 23
Aerostatik ................................................................................. 24
11.1
12
Aerostatischer Auftrieb ................................................................................... 24
Aerodynamik – Hydrodynamik................................................. 24
12.1
12.2
12.2.1
12.3
12.3.1
12.4
13
Volumenstrom – Fördermenge - Durchflussmenge ...................................... 25
Bernoulli Gleichung......................................................................................... 26
Staudruck........................................................................................................................ 26
Ausströmung (Nichthorizontale Strömungen)................................................ 27
Ausflussgesetz nach Torricelli........................................................................................ 28
Strömungswiderstand von Körpern................................................................ 29
Wärmelehre .............................................................................. 31
13.1
13.2
13.2.1
13.3
13.4
13.5
13.6
13.7
13.8
14
Lineare Ausdehnung fester Körper ................................................................ 31
Volumensausdehnung fester Körper ............................................................ 31
Volumensausdehnung von Flüssigkeiten und Gasen .................................................... 32
Gasgesetze - Boyle-Mariotte (isotherm) ....................................................... 32
Gasgesetze – Gay-Lussac (isobar)................................................................ 32
Gasgesetze – Amontos (isochor) ................................................................... 33
Die Stoffmenge – Das MOL ........................................................................... 33
Zustandsgleichung idealer Gase.................................................................... 34
Gesetz von Dalton .......................................................................................... 34
Wärmelehre - Thermodynamik ................................................. 35
14.1
14.2
14.3
14.4
14.4.1
14.4.2
14.4.3
14.4.4
14.5
14.5.1
14.6
14.6.1
14.6.2
14.7
14.7.1
14.7.2
14.7.3
14.8
Wärmemenge.................................................................................................. 35
Spezifische Wärmekapazität und Molare Wärmekapazität........................... 35
Wärmekapazitäten fester Stoffe..................................................................... 36
Thermodynamik – Energieumwandlungen .................................................... 36
Mechanische Energie ..................................................................................................... 36
Elektrische Energie......................................................................................................... 36
Kernenergie .................................................................................................................... 36
Heizwert- Verbrennungswärme...................................................................................... 37
Erster Hauptsatz der Wärmelehre.................................................................. 38
Druckveränderungen – Innere Energie und Arbeit......................................................... 38
Spezifische Wärmekapazität von Gasen ....................................................... 38
Konstantes Volumen....................................................................................................... 38
Konstanter Druck ............................................................................................................ 38
Wärmeübertragung ......................................................................................... 39
Wärmestrom – Wärmeleistung....................................................................................... 39
Wärmeübergang und Wärmedurchgang........................................................................ 40
Wärmestrom durch mehrere Schichten.......................................................................... 41
Analogie: Stromkreis – Wärmetransport ........................................................ 42
3
1
Allgemeines
1.1
Das Griechische Alphabet
Αα
Ββ
Γγ
∆δ
Εε
Ζζ
Alpha
Beta
Gamma
Delta
Epsilon
Zeta
Ηη Θϑθ
1.2
Ιι
Κκ
Λλ
Μµ
Jotta
Kappa
Lambda
My
Ξξ
Οο
Ππ
Ρρ
Σσς
Xi
Omikron
Pi
Rho
Sigma
Ττ
Υυ
Φϕ
Χχ
Ψψ
Ωω
Tau
Ypsilon
Phi
Chi
Psi
Omega
Etha
Theta
Νν
Ny
Römische Zahlzeichen
I
II
III
IV
V
VI
VII
1
2
3
4
5
6
7
VIII
IX
X
XI
8
9
10
11
XII XIII XIV
12
13
14
XXX XL L LX LXXX LXXXX
30
40
50
60
70
80
XC C D M
90
100
500
1000
4
2
Physikalische Größen und Einheiten
2.1
SI-Einheiten
Das SI-System ist kohärent (Zusammenhängend) ,da die
Einheiten
des
SI-Systems
ausschließlich
durch
Einheitsgleichungen miteinander verbunden sind, in denen
kein von „eins“ abweichender Zahlenfaktor vorkommt.
Basiseinheit
Basiseinheitsname
Formelzeichen
Länge
Masse
das Meter
das Kilogramm
m
kg
Zeit
elektrische Stromstärke
die Sekunde
das Ampere
s
A
Thermodynamische Temperatur
Stoffmenge
Lichtstärke
das Kelvin
das Mol
die Candela
K
mol
cd
0°C ≡ 273,15 K
Die Celsius-Skala ist ÄQV zur Kelvin-Skala!
2.1.1 Definition der Sekunde
1 Sekunde ist das 9.192.631.770 Fache der Periodendauer der dem
Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des
Grundzustandes von Atomen des Nuklid Cäsium 133
entsprechenden Strahlung.
2.1.2 Definition des Meters
Ein Meter ist jene Strecke, die das Licht im Vakuum währen
1 / 299.792.458 Sekunden zurücklegt.
Das Internationale Einseitensystem (SI-System) ist in
Österreich seit 1978 gesetzlich vorgeschrieben.
5
2.1.3 Die SI-Vorsilben
2.2
Zehnerpotenz
Vorstz
Vorsatzzeichen
Zehnerpotenz
Vorstz
Vorsatzzeichen
1024
1021
1018
1015
1012
109
106
103
102
10
Yotta
Zetta
Exa
Peta
Tera
Giga
Mega
Kilo
Hekto
Deka
Y
Z
E
P
T
G
M
k
h
da
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
10-15
10-18
10-21
10-24
Dezi
Zenti
Milli
Mikro
Nano
Piko
Femto
Atto
Zepto
Yokto
d
c
m
µ
n
p
f
a
z
y
Wichtige Konstanten der Physik
Die Lichtgeschwindigkeit c im Vakuum: 2,99792548 ⋅ 108 ms-1
Die Schallgeschwindigkeit (Luft!): 340 ms-1 (H2O: 1450 ms-1)
Die Gravitationsbeschleunigung g : 9,80665 ms-2
Die Gravitationskonstante G : 6,67959⋅ 10-11 N m2 kg-2
6
3
Kinematik
3.1
Geschwindigkeit v
v=
Geschwindi keit =
Δs
Δt
zurückgele gter Weg
benötigte Zeit
[v] = 1ms-1
Umrechnung
km
1 m

→
h
3,6 s
m
3,6 km
1 
→
s
1 h
1
÷3,6
⋅3,6
3.1.1 Durchschnittsgeschwindigkeit
v=
3.2
Gesammtweg
Gesammtzei t
Beschleunigung a
a=
Beschleuni gung =
Δv
Δt
Geschwindi gkeitsände rung
benötigte Zeit
7
3.3
Beschleunigung aus dem Stillstand
a=
Δv v − v 0 v
=
=
Δt
t
t − t0
a=
v
t
Bei der Beschleunigung aus dem Stillstand gelten für den
zurückgelegten Weg:
s=
3.4
1
⋅ at 2
2
s=
1
⋅ vt
2
Momentangeschwindigkeit
Ein Fahrzeug beschleunigt aus dem Stillstand mit
3,5 ms-2 auf einer Strecke vom 60m. Welche
Geschwindigkeit erreicht es dabei?
v = 2a ⋅ s
3.5
a=
v2
2s
Bremsweg
s= v⋅t
v=
!
v 0 v anf. + v ende
=
2
2
SI-Einheiten
3.6
m
s
Bremsbeschleunigung
a=
v - v0
t
Endgeschwindigkeit = v
v0 = Fahrtgeschwindigkeit
8
3.7
Der Freie Fall
Gegenüberstellung - Bewegungsgleichungen
Für die Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Für den Freien Fall
a = const.
g = const.
v=a⋅t
v=g⋅t
s=
1
1
⋅ vt = ⋅ a ⋅ t 2
2
2
h=
v = 2a ⋅ s
1
1
⋅ vt = ⋅ g ⋅ t 2
2
2
v = 2g ⋅ h
v = 2g ⋅ h ist die Geschwindigkeit, die ein Körper nach dem Durchfallen
der Fallstrecke h besitzt.
3.7.1 Fallzeit
v=gt⇔t =
3.8
v
g
h=
1 2
gt ⇔ t=
2
2h
g
Der Lotrechte Wurf nach oben
Geschwindigkeit:
v0
…Anfangsgeschwindigkeit
v g = g ⋅ t …Fallgeschwindigkeit nach der Zeit t.
v = v 0 − g ⋅ t …Geschwindigkeit nach der Zeit t.
9
Höhe:
h0 = v0 ⋅ t
…Höhe durch die Anfangsgeschw.
1
hg = g ⋅ t 2 …Fallhöhe
2
1
h = v0 ⋅ t − g ⋅ t 2 …Höhe nach der Zeit t.
2
Die Geschwindigkeit ist die Steigung im s ,t- Diagramm.
Der Zurückgelegte Weg ist die Fläche im v, t- Diagramm.
Die Beschleunigung ist die Steigung im v, t- Diagramm.
3.9
Der Horizontale Wurf
x
y
1
⋅ gt 2
2
Flugzeit: y =
Beispiel:
v 0 ⋅ t t in s
0
1
2
3
4
Bei v =10 ms
1
⋅ gt 2 ⇔ t =
2
x in m
0
10
20
30
40
y in m
0
5
20
45
80
-1
2y
g
Wurfweite: x = v0 ⋅ t
10
3.10 Der schiefe Wurf
Da für die Berechnung des SW die Winkelfunktionen
erforderlich sind, wir er vorerst NUR konstruiert:
y=
1
⋅ gt 2
2
Beispiel:
t in s
0
1
2
3
4
x in m
0
10
20
30
40
Bei v =10 ms
4
y in m
0
5
20
45
80
-1
Dynamik
4.1
Dichte
ρ=
m
V
l=
4⋅m
l⋅d2 ⋅ π
d=
4⋅m
l⋅ρ ⋅ π
4.1.1 Dichte verschiedener Materialien:
ρ [kg/dm³]
Stoff
Beton
Glas
Aluminium
Baustahl
Blei
Kupfer
Messing
Platin
Gold
Wolfram
2,2 bis 2,6
2,2 bis 3,9
2,70
7,85
11,34
8,96
8,4 bis 8,9
21,45
19,3
19,27
Stoff
Wasser
Alkohol
Benzin
Dieselöl
Quecksilber
Sauerstoff *
Stickstoff *
Holz (trocken)
Ziegel, massiv
Kies
ρ [kg/dm³]
1,00
0,79
0,68 bis 0,80
0,88 bis 0,92
13,55
1,429
1,251
0,4 bis 0,8
1,0 bis 2,2
1,8 bis 2,0
*) bei 0°C und 1,013bar
11
4.2
Newton Axiome
1. NEWTON AXIOM – TRÄGHEITSPRINZIP
Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe bzw.
gleichförmigen Translation, so lange keine Kräfte auf Ihn
wirken.
2. NEWTON AXIOM – GRUNDGESETZ DER DYNAMIK
siehe Kraft
3. NEWTON AXIOM – ACTIO=REACTIO
4.3
Gewichtskraft
FG = m ⋅ g
4.4
Kraft
F =m⋅a
4.5
Reibung
FR = µ ⋅ FN
FN = FG = m ⋅ g
Stoffpaar
Holz gegen Holz
Stahl gegen Stahl
Autoreifen gegen Asphalt
Autoreifen gegen Eis
Gleitreibungszahl Haftreibungszahl
0,4 - 0,6
0,2 – 0,3
0,5 (dry)
0,5 (wet)
0,1
Stoffpaar
Autoreifen gegen Asphalt
Eisenbahn
0,2 - 0,4
0,1 – 0,2
0,75 (dry)
0,45 (wet)
0,05
Rollreibungszahl
0,025
0,003
12
4.5.1 Haftreibung
FR = µ 0 ⋅ FN = µ 0 ⋅ m ⋅ g
4.5.2 Bremskraft
FB = µ 0 ⋅ m ⋅ g
4.5.3 Bremsverzögerung
a = µ0 ⋅ g
4.5.4 Bremszeit
t=
v
v
=
a µ0 ⋅ g
4.5.5 Bremsweg
v2 = 2 ⋅ a ⋅ s ⇒ v = 2 ⋅ a ⋅ s
s=
v2
2⋅a
4.5.6 Federkraft
E Feder = k ⋅ Δs ⇔
F
=k
s
k ist die sog. FEDERKONSTANTE, oder eine Materialabhängige Richtgröße
13
5
Arbeit
W = F ⋅s
Die Arbeit ist das Produkt der Kraftkomponente längs des
Weges mal des Weges
5.1
Hubarbeit
W~g
W~h
WH = F ⋅ h = G ⋅ h = m ⋅ g ⋅ h
5.2
Beschleunigungsarbeit
F •a
v=0
v
s,t
W = F ⋅s = m⋅a⋅
WKin =
5.3
at 2 m ⋅ (at ) 2
=
2
2
mv 2
2
Reibungsarbeit
WR = F ⋅ s = µ ⋅ FN ⋅ s
14
6
Energie
ARBEIT wird verrichtet.
ENERGIE besitzt man.
Energie kann nicht verloren gehen, sie wird
umgewandelt. Diese Umwandlung wird als Arbeit
bezeichnet.
E ges = E kin + E pot = const
E ges = E kin + E pot + U = const
Einheit: 1 Joule [J]
6.1
Potentielle Energie (Lageenergie)
E pot = m ⋅ g ⋅ h
6.2
Kinetische Energie (Bewegunsenergie)
E Kin =
6.3
mv 2
2
Federenergie
E Feder = k ⋅ Δs
15
7
Leistung
Einheit: 1 Watt [W]
Leistung =
P=
7.1
W
t
P =
Arbeit
benötogte Zeit
[W] 1 J 1 J
=
=
= 1 Watt
[t] 1 s 1 s
Wirkungsgrad
Pzu
Pnutz
Maschine
η=
Pnutz
Pzu
0 ≤ η ≤1
0 % ≤ η ≤ 100 %
P1
Pzu
Maschine 1
P2
Maschine 2
Pnutz
Maschine 3
η ges = η1 ⋅ η 2 ⋅ η 3
16
8
Impuls
Einheit: 1 kgms-1
p = m⋅v
F = m⋅
8.1
∆v
∆t
F ⋅ ∆t = m ⋅ ∆v = mv2 − mv1
V1…Geschwindigkeit vor der Beschleunigung
V2…Geschwindigkeit nach der Beschleunigung
Impulserhaltung
8.1.1 für den Elastischen Stoß (Allgemein)
mv1 + mv2 = mu1 + mu 2
u1 =
(m1 − m2 )v1 + 2m2 v2
m1 − m2
u2 =
(m2 − m1 )v2 + 2m1v1
m1 + m2
8.1.2 Für den Elastischen Stoß zweier Körper gleicher Massen
u1 =
(0 − m2 )v1 + 0 ⋅ v1
= v2
0 + m2
u2 =
(m − m)v2 + 2mv1
= v1
2m
8.1.3 Für Elastischen Stoß gegen eine Wand
ACHTUNG: m2 ist gegenüber m1 vernachlässigbar klein!
u1 =
(m1 − m2 )v1 + 2m1v1
= −v1
m1 + m2
u2 =
2m1v1
=0
m1 + m2
17
8.1.4 Für den Unelastischen Stoß (Allgemein)
mv1 + mv2 = mu + mu
u=
m1v1 + m2 v2
m1 + m2
8.1.5 Für den Unelastischen Stoß zweier Körper gleicher Massen
mv1 + mv2 = mu + mu
u=
9
m1v1 + m2 v2
m1 + m2
Moment – Drehmoment
Einheit = 1 Nm
M = F ⋅l
9.1
Hebelgesetz
F1 ⋅ l1 = F2 ⋅ l 2
18
10 Hydrostatik
10.1 Hydrostatischer Druck
Druck =
Kraft
Fläche
p=
F
A
Einheit
[p] = 1
N
= 1 Pa
m2
1 bar = 105 Pa
Pa…Pascal
Gesetz von Pascal
Ein auf eine Flüssigkeit ausgeübter Druck, pflanzt sich
nach allen Richtungen hin gleichmäßig fort.
10.1.1 Hydraulische Presse
p Koben 1 =
F1
A1
p Koben 2 =
F2
A2
F1 F2
=
A1 A2
19
Ideale Flüssigkeiten sind inkompressibel. Sie lassen sich
nicht zusammendrücken.
Tatsächlich sind Flüssigkeiten, wenn auch nur unter
hohem Druck, kompressibel.
Beispiel:
Wasser: 220 bar................1% Volumenverringerung
1000 bar..............1% Volumenverringerung
V1 = V2
A1 ⋅ s1 = A2 ⋅ s2
|⋅p
p ⋅ A1 ⋅ s1 = p ⋅ A2 ⋅ s 2
F1 ⋅ s1 = F2 ⋅ s 2
10.2 Schweredruck – Tiefendruck
FG = m ⋅ g = V ⋅ ρ ⋅ g = A ⋅ h ⋅ ρ ⋅ g
Druck:
p=
Fg
A
=
p =ρ ⋅ g ⋅ h
A⋅h⋅ ρ ⋅ g
= h⋅ρ ⋅g
A
Dichte verschiedener Körper siehe 4.1.1 (Seite 11)
Der Druck einer 10 m hohen Wassersäule beträgt
0,98 (~10) bar.
1 bar = 105 N/m²
20
Der Bodendruck ist nur von der Höhe der
Flüssigkeitssäule, nicht aber von der Fläche abhängig.
Hydrostatisches Paradoxon
Der Bodendruck ist nur von der Höhe der
Flüssigkeitssäule nicht aber von der Form des Gefäßes
abhängig.
10.2.1 Kommunizierende Gefäße
ρ1 ⋅ g ⋅ h1 = ρ1 ⋅ g ⋅ h
⇔
h1 ρ 2
=
h2 ρ1
Kommunizierende Gefäße
In verbundenen Gefäßen ist der Flüssigkeitsspiegel immer
gleich hoch.
h1 = h2 − ∆h
ρ1 = ρ 2 ⋅
h1 − ∆h
h2
21
10.3 Auftrieb
p1 = ρ F ⋅ g ⋅ h1
F1 = p1 ⋅ A = ρ f ⋅ g ⋅ h1 ⋅ A
p 2 = ρ F ⋅ g ⋅ h2
F2 = p 2 ⋅ A = ρ f ⋅ g ⋅ h2 ⋅ A
Resultat aus F1 und F2 =FA (Auftriebskraft)
FA = F2 − F1
FA = ρ F ⋅ g ⋅ h2 ⋅ A − ρ F ⋅ g ⋅ h1 ⋅ A
FA = ρ F ⋅ g ⋅ A ⋅ (h2 − h1 )
FA = ρ F ⋅ g ⋅ A ⋅ h
FA = ρ F ⋅ g ⋅ V
Das Volumen der verdrängten Flüssigkeiten entspricht
dem Volumen des vollständig eingetauchten Körpers.
Daher ist das Produkt ρF V gleich der Masse mF der
verdrängen Flüssigkeiten.
FA = ρ F ⋅ V ⋅ g = m F ⋅ g = FG
Gesetz des Archimedes
Die Auftriebskraft ist gleich der Gewichtskraft der
verdrängten Flüssigkeit
F A = FG
ρ Fl ⋅ V Fl ⋅ g = ρ K ⋅ V K ⋅ g
22
10.3.1 Steigen, Sinken, Schweben, Schwimmen
1.) Der Körper steigt an die Oberfläche und Schwimmt
F A > FG
VF = V
VF ⋅ ρ F ⋅ g > V ⋅ ρ ⋅ g
ρF > ρ
2.) Der Körper schwebt in jeder Tiefe
F A = FG
VF = V
VF ⋅ ρ F ⋅ g = V ⋅ ρ ⋅ g
ρF = ρ
3.) Der Körper sinkt
F A < FG
VF = V
VF ⋅ ρ F ⋅ g < V ⋅ ρ ⋅ g
ρF < ρ
23
11 Aerostatik
Gase sind kompressibel. Der Druck pflanzt sich nach
allen Seiten hin gleichmäßig fort.
Der Luftdruck der Atmosphäre beträgt bei 0°C in
Meereshöhe im Mittel p0=1013 mbar; Die dichte ρ0= 1,29
kg/m³ (700 mm Hg)
∆p = ρ ⋅ g ⋅ ∆h
p = p 0 + ∆p
Luftdruck p0 ~ 1 bar
p0 = ρ ⋅ g ⋅ h
⇔
h=
p0
ρ⋅g
11.1 Aerostatischer Auftrieb
FA = ρ L ⋅ V ⋅ g
12 Aerodynamik – Hydrodynamik
V1 = V 2
A1 ⋅ s1 = A2 ⋅ s 2
A1 ⋅ v1 ⋅ t = A2 ⋅ v2 ⋅ t
A1 ⋅ v1 = A2 ⋅ v 2
V = A⋅ s
s = v ⋅t
24
Kontinuitätsgleichung
Die Geschwindigkeiten verhalten sich umgekehrt der
Querschnitte
v1 A2
=
v 2 A1
12.1 Volumenstrom – Fördermenge - Durchflussmenge
Das in der Zeiteinheit durch den Querschnitt fließende
Flüssigkeitsvolumen wir als Volumenstrom V• bezeichnet.
•
V=
V
= A⋅v
t
•
[V ] =
[V ] m 3
m3
=
=1
[t ]
s
s
Je enger die Stromlinien zusammengedrängt werden,
desto größer ist die Strömungsgeschwindigkeit und desto
kleiner ist der Statische Druck.
Hydrodynamisches Paradoxon
Darunter versteht man die erstaunliche Erscheinung, dass
bei Zunahme der Fördermenge der Druck abnimmt.
25
12.2 Bernoulli Gleichung
p+
1
ρ ⋅ v 2 = const.
2
p+
1
1
2
2
ρ ⋅ v1 = p + ρ ⋅ v2
2
2
12.2.1 Staudruck
p+
1
1
2
2
ρ ⋅ v1 = p + ρ ⋅ v2
2
2
p+
1
2
ρ ⋅ v1 = p 2
2
v2 = 0
Das Manometer zeigt den druck p2 an. Dieser ist um den
Betrag 1/2p ⋅ v12 größer als der Statische Druck. Dieser
entsteht durch das Abbremsen des Körpers auf Null. Hier
wird kinetische Energie in Druckenergie umgewandelt.
Man bezeichnet den gesamten Druck als Staudruck.
26
12.3 Ausströmung (Nichthorizontale Strömungen)
E pot = ρ ⋅ V ⋅ g ⋅ h
Druckenergie +kinetische Energie+ potentielle Energie = const.
pV +
p+
1
⋅ m ⋅ v 2 + ρ ⋅ V ⋅ g ⋅ h = const.
2
|: V
1
ρ ⋅ v 2 + p ⋅ g ⋅ h = const.
2
27
12.3.1 Ausflussgesetz nach Torricelli
p+
1
1
2
2
ρ ⋅ v1 + ρ ⋅ g ⋅ h1 = p + ρ ⋅ v 2 + ρ ⋅ g ⋅ h2
2
2
p1 = p 2 = p 0
h1 = h
h2 = 0
p0 + ρ ⋅ g ⋅ h = p 0 +
1
ρ ⋅ v2
2
⇔
v = 2⋅ g ⋅h
v = 2⋅ g ⋅h
28
12.4 Strömungswiderstand von Körpern
FD = ∆p ⋅ A
FD...................Druckwiderstandskraft
∆p ..................Druckdifferenz zwischen Vorder- und Rückseite
A ....................Stirnfläche (Schattenfläche)
Die Druckdifferenzen einer Strömung sind proportional zum
Staudruck, daher gilt:
FD ≈
1
⋅ p ⋅ v2 ⋅ A
2
Der Strömungswiderstand eines Umströmten Körpers
setzt sich aus dem Druckwiderstand und dem meist
kleinerem Reibungswiderstand zusammen.
FW = c w ⋅
1
ρ ⋅ v2 ⋅ A
2
cw ...................Proportionalitätsfaktor (Widerstandsbeiwert)
29
30
13 Wärmelehre
13.1 Lineare Ausdehnung fester Körper
∆l = α ⋅ l ⋅ ∆ϑ
α = °C −1
Lineare Ausdehnungskoeffizienten:
Stoff
Blei
Messing
Kupfer
Stahlbeton
Eisen
Invar
Glas
Quarzglas
α in 10 °C bei 18°
-5
-1
2,9
1,9
1,65
1,4
1,15
0,02
0,8
0,05
13.2 Volumensausdehnung fester Körper
# ∆V = γ ⋅ V ⋅ ∆ϑ
Vϑ = V0 ⋅ (1 + γ ⋅ ∆ϑ )
γ = 3 ⋅α
Räumliche Ausdehnungskoeffizienten:
Stoff
γ in 10-5°C-1 bei 18°
Ethanol
Ether
Benzol
Acetylsäure
Petroleum
Quecksilber
Gase
1,10
1,62
1,23
1,07
0,96
0,128
3,66
31
13.2.1 Volumensausdehnung von Flüssigkeiten und Gasen
ρ=
m
V
ρ2 =
m
m
=
V 2 V1 ⋅ (1 + γ ⋅ ∆ϑ )
m
ist die Dichte ρ1 bei 0°C Damit erhält man für p2:
V1
ρ2 =
ρ1
1 + γ ⋅ ∆ϑ
als Dichte bei der Temperatur θ.
13.3 Gasgesetze - Boyle-Mariotte (isotherm)
Ändert man das Volumen, das ein Gas bei konstanter
Temperatur einnimmt, so ändert sich der Druck derart,
dass das Produkt aus Druck und Volumen stets denselben
Wert liefert.
V~
1
p
p ⋅ V = const .
p1 ⋅ V1 = p2 ⋅ V2
13.4 Gasgesetze – Gay-Lussac (isobar)
Der Ausdehnungskoeffizient für alle Gase ist nahezu
gleich. Er beträgt 0,00366°C-1
V V0
=
= const .
T T0
1


V = V0 ⋅ 1 +
⋅ϑ 
 273,15 
V ~T
Für ein Ideales Gas bei konstantem Druck gilt: Das
Verhältnis aus Volumen und Temperatur bleibt konstant.
32
13.5 Gasgesetze – Amontos (isochor)
•
Eine Zustandsänderung bei der das Volumen
konstant gehalten wird heißt ISOCHOR.
•
Eine Zustandsänderung bei der die Temperatur
konstant bleibt heißt ISOTHERM
•
Eine Zustandsänderung bei der, der Druck
konstant bleibt heißt ISOBAR
p p0
=
= const.
T T0
1


p = p0 ⋅ 1 +
⋅ϑ 
 273,15 
p ~T
13.6 Die Stoffmenge – Das MOL
1 mol ist jene Menge einer Substanz, die gleich viele
Teichen (Moleküle oder Atome) enthält wie 12g des
Kohlenstoffisotops C12
1 Unit (u) = 1,66 ⋅ 10 -27 kg
L = 6,022 ⋅10 −23 mol -1 (Loschmid- oder Avogadrokonstante)
Die Molare Masse mA eines Stoffes ist die Masse eines
Mol dieses Stoffes
33
13.7 Zustandsgleichung idealer Gase
Ein Mol eines beliebigen Gases besitzt unter
Standardbedieungen ein Volumen von 22,41 dm³. Man
bezeichnet dieses Volumen als Molvolumen Vm.
p ⋅V
= const .
T
p ⋅ Vm
=R
T
R…universelle Gaskonstante: 8,314 J K −1 mol −1
p ⋅ V = n ⋅ R ⋅ T ........Ch emiker
p ⋅ V = N ⋅ k ⋅ T........P hysiker
Rs =
R
ma
p ⋅ V = m ⋅ R s ⋅ T .......Tec hniker
k…Bolzmannkonstante
L…Loschmitsche Zahl
R…Universelle Gaskonstante
n…Anzahl der Mole
N…Anzahl der Teilchen
ma…relative Atommasse (Molare Masse)
Die Molare Masse ma eines Stoffes, ist die Masse von
1 mol dieses Stoffes
13.8 Gesetz von Dalton
p1 + p2 =
p ⋅ V1 p ⋅ V2 p ⋅ (V1 + V2 ) p ⋅ V
+
=
=
=p
V
V
V
V
n
∑p
n
= p ges
n =1
Die Summe der Partialdrücke ist der Gesamtdruck.
34
14 Wärmelehre - Thermodynamik
14.1 Wärmemenge
c in J kg-1 K-1 C in J mol-1 K-
Stoff
1
Q = m ⋅ c ⋅ ∆ϑ
[Q] = 1 Joule
896
452
383
234
129
900
1900
4190
Aluminium
Eisen
Kupfer
Silber
Gold
Beton
Holz
Wasser
24,2
25,2
24,3
25,2
25,4
75,2
14.2 Spezifische Wärmekapazität und Molare Wärmekapazität
c=
∆Q
m ⋅ ∆T
[c ] =
2 ⋅ G ⋅ h = m ⋅ c ⋅ ∆ϑ ⇒ c =
J
kg ⋅ K
2 ⋅G ⋅ h
m ⋅ ∆T
G…Gewicht
h…höhe
Für die Temperaturerhöhung des Wassers gilt (von
14,5°C auf 15,5°C) ein c= 4187 J kg-1 K-1
1 kcal = 4187 J
C=
∆Q
n ⋅ ∆T
C = c ⋅ ma
C beschreibt die Molare Wärmekapazität
Zusammenhang zwischen spezifischer und
Molarer Wärmekapazität
35
14.3 Wärmekapazitäten fester Stoffe
abgegebene Wärmemeng e = aufgenomme ne Wärmemeng e
∆Qab = ∆Qauf
c1 ⋅ m1 ⋅ (ϑ1 − ϑm ) = c 2 ⋅ m2 ⋅ (ϑm − ϑ2 ) ⇔ c1 =
c2 ⋅ m2 ⋅ (ϑm − ϑ2 )
m1 ⋅ (ϑ1 − ϑm )
14.4 Thermodynamik – Energieumwandlungen
14.4.1 Mechanische Energie
η ⋅ m ⋅ g ⋅ h = m ⋅ c ⋅ ∆ϑ ⇔ ∆T =
η ⋅g ⋅h
c
14.4.2 Elektrische Energie
Pel ⋅ t = m ⋅ c ⋅ ∆ϑ
14.4.3 Kernenergie
Ws = m ⋅ c ⋅ ∆ϑ
Solarkonstante bei 90°=1,395 kW/m²
36
14.4.4 Heizwert- Verbrennungswärme
Der spezifische Heizwert H gibt an, welche Wärmemenge
frei wird, wenn 1 kg (1m³) einer Substanz vollständig
verbrannt wird.
Q = m⋅ H
Aggregatszustand
fest
flüssig
Gasförmig
Brennstoff
Holz, lufttrocken
Braunkohlebriketts
Steinkohle, Koks
Heizöl
Propan
Butan
Wasserstoff
Stadtgas
Erdgas
H kJ/kg
14 800
20 000
30 000
40 000
46 000
45 700
11 000
18 000
31 700
1 kWh = 3 600 000 J
37
14.5 Erster Hauptsatz der Wärmelehre
Zunahme der Inneren Energie = zugeführte Wärme + zugeführte Arbeit
∆U = ∆Q + ∆W
14.5.1 Druckveränderungen – Innere Energie und Arbeit
∆W = − p ⋅ ∆V
∆U = ∆Q − p ⋅ ∆V
14.6 Spezifische Wärmekapazität von Gasen
14.6.1 Konstantes Volumen
cv =
∆U
m ⋅ ∆T
∆U = ∆Q
∆U = cv ⋅ m ⋅ ∆T
14.6.2 Konstanter Druck
∆U = cv ⋅ m ⋅ ∆T
c p − cv =
n⋅R
⇒ C p − CV = R
m
Cp…Molare Wärmekapazität
cp…spezifische Wärmekapazität
38
14.7 Wärmeübertragung
14.7.1 Wärmestrom – Wärmeleistung
Eine Temperaturdifferenz verursacht einen Wärmestrom Q
[1W]:
Q
Q& =
t
Q ~ ∆ϑ
Wärmestromdichte q [W/m²]:
z.B. Energieverlust durch 1 m² (*t für Verluste/Zeit)
Einheit: λ =
u=
Stoff
Silber
Kupfer
Aluminium
Stahl
Beton
Glas
Wasser
Ziegel
Holz
Glaswolle
Hartschaum
Luft (statisch)
∆ϑ
Q& = λ ⋅ A ⋅
l
q& = λ ⋅
∆ϑ
l
W
m⋅K
q&
⇔ q& = k ⋅ ∆ϑ
∆ϑ
Wärmeleitfähigkeit
λ in Wm-1k-1
420
390
190
45
1
0,8
0,6
0,7…0,2
0,2
0,04
0,035
0,026
α in W/m²K
Übergang
Luft/Innenwand
Luft/Außenwand
8
23
39
14.7.2 Wärmeübergang und Wärmedurchgang
Q& = α ⋅ A ⋅ ∆ϑ
q& = u ⋅ ∆ϑ
u…u-Wert bzw. k-Wert (Wärmedurchgangszahl)
α…Wärmeübergangszahl
1
…Wärmedurchgangswiderstand
u
1 1
, …Wärmeübergangswiderstände
α1 α 2
1
…Wärmedurchlasswiderstand
λ
40
14.7.3 Wärmestrom durch mehrere Schichten
q& =
∆ϑ
l1 l2
+ + ...
λ1 λ2
1 1 d1 d 2
1
= + +
+ ... +
u α i λ1 λ2
αa
Wärmeverlust an Objekten (z.B. Mauer): Q& = u ⋅ A ⋅ ∆ϑ
Die Gesamttemperaturdifferenz berechnet sich aus der
Summe der Einzeldifferenzen nach der Formel:
∆ϑmat =
q& ⋅ lmat
λmat
Temperatur – Innen und Aussenwand
q& = α innen ⋅ (ϑinnen − ϑwand )
q& = α aussen ⋅ (ϑaussen − ϑwand )
41
14.8 Analogie: Stromkreis – Wärmetransport
STROMKREIS
W ÄRMETRANSPORT
Q
Elektrische Ladung
[A ⋅ s ] → 1C
Q
Wärmeenergie
[Ws]
=J
dQ &
= Q = I (t )
dt
Elektrischer Strom
[ A]
Q&
Wärmestrom
[W]
∆V = U
Elektrische
Potentialdifferenz
J
= [V ]
C
∆ϑ
Temperaturdifferenz
[K]
Ω/S
∆ϑ
Q& = λ ⋅ A ⋅
l
l
RL =
λ⋅A
U
I=
R
l
ρ ⋅l
R=
=
γ ⋅A
A
G=
γ ⋅A
l
Elektrischer
Widerstand
∆ϑ
Q& =
= G ⋅ ∆ϑ
R
λ⋅A
l
& = α ⋅ A ⋅ ∆ϑ
Q
{ { {
G=
I
G
U
1
RÜ =
α⋅A
Q& = u ⋅ A ⋅ ∆ϑ
RD =
1
u⋅A
Wärmeübergang
Wärmedurchgang
u…u-Wert bzw.
k-Wert
42