Arbeitsblätter - ftb

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Gewerblich-industrielles
Bildungszentrum ZUG
9.
KR1/AU1
Geometrie
Lehrsatz von Pythagoras
Pythagoras von Samos war ein griechischer
Philosoph und Mathematiker, der von ca. 570
v.Chr. bis 510 n.Chr lebte.
Obwohl es über seine gesallschaftliche Stellung
verschiedene Meinungen gibt, gilt Pythagoras
allgemein als Urheber der Erkenntnis, dass in
einem rechtwinkligen Dreieck, das Quadrat über
der Hypotenuse flächengleich der Summe der
Quadrate über den beiden Katheten ist.
Diese Gesetzmässigkeit ist uns bekannt als
der Lehrsatz von Pythagoras.
Konstruieren Sie einen rechten Winkel und
messen Sie auf die Katheten die Längen von 3,
bzw. 4 cm ab. Wie lang ist die Verbindung der
beiden Endpunkte der Katheten (Hypotenuse).
Zeichnet man nun über die Seiten des Dreiecks die Quadrate der jeweiligen Seiten, dann
ergibt sich folgendes Bild:
Addiert man die Flächen a2 und b2
(9 cm2 bzw. 16 cm2) erhält man eine
Fläche von 25 cm2.
Dies entspricht genau der Fläche des
Quadrats über der Hypotenuse.
Für dieses rechtwinklige Dreieck gilt also:
c2 = a2 + b2.
Wenn die Längen zweier Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck bekannt sind, kann
mittels des Lehrsatzes von Pythagoras die Länge der dritten Seite berechnet werden.
Satz von Pythagoras
Seite 16
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KR1/AU1
Geometrie
Konstruieren Sie einen Winkel  von 45°
und messen Sie auf der Grundlinie eine
Distanz AB = 5 cm ab.
Konstruieren Sie in B einen Winkel  von
90° und vervollständigen Sie das Dreieck.
Wie gross ist Winkel ?
Wir haben es somit mit einem
gleichschenkligen Dreieck zu tun, das
heisst, die Ankatheten des rechten
Winkels sind gleich lang.
c
Messen Sie nu die Länge der Hypotenuse und teilen Sie das Resultat durch √2. Wenn Sie
genau konstruiert haben, sollte das Resultat wiederum 5 cm betragen. Kontrollieren Sie dies
mit dem Satz von Pythagoras.
Wenn die Länge AB statt 5 cm 1 m betragen würde, wäre auch BC 1 m lang und die
Hypotenuse √2 m oder 1,41 m lang. Das heisst, in einem rechtwinkligen Dreieck mit einem
Winkel von 45° verhalten sich die Seitenlängen wie
a : c : b = 1 : 1 : √2
Anmerkung: Die Bezeichungen der Seiten (a, b oder c) können frei gewählt werden. Merken Sie sich, dass
im rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse immer die längste Seite ist.
Messen Sie auf der Grundlinie eine
Distanz AB = 8,7 cm ab und konstruieren
Sie in A einen Winkel  von 30°.
Konstruieren Sie in B einen Winkel  von
90° und vervollständigen Sie das Dreieck.
Wie gross ist Winkel ?
Wie lang sind nun Hypotenuse und
Gegenkathete von )
c
Wir stellen fest, dass die Hypotenuse doppel so lang ist wie die Gegenkathete von . Wäre
diese Gegenkathete 1 m lang, so wäre die Hypotnuse 2 m lang. Nach Pythagoras wäre dann
die Ankathete von  √3 m = 1,73 m lang.
Das heisst, in einem rechtwinkligen Dreieck mit einem Winkel von 30° verhalten sich die
Seitenlängen wie
a : b : c = 1 : 2 : √3
Anmerkung: Die Bezeichungen der Seiten (a, b oder c) können frei gewählt werden. Merken Sie sich, dass
die Hypotenuse immer die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck ist.
Satz von Pythagoras
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Geometrie
Aufgaben zum Pythagoras
Hinweise:
Alle Zwischen- und Endergebnisse auf 1 Stelle nach dem Komma runden
Die Zeichnungen sind nicht maßstäblich
1.
Berechnen Sie den Flächeninhalt
des nebenstehenden Dreiecks.
2.
Berechnen Sie die Länge einer
Dachsparre !
3.
In ein Quadrat mit der Seitenlänge 8 cm wird ein kleineres
Quadrat einbeschrieben
(siehe nebenstehende Skizze).
Welchen Flächeninhalt hat das
innere Quadrat ?
4.
Aus einem Baumstamm soll in
einem Sägewerk ein Balken mit
quadratischem Querschnitt (Kantenlänge
14 cm) hergestellt werden.
Welchen Durchmesser muß der Baumstamm mindestens haben ?
Satz von Pythagoras
Seite 18
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5.
Welchen Durchmesser muß ein
Baum- stamm mindestens haben,
um daraus einen Balken mit einem
Querschnitt von 16 cm ⋅ 26 cm sägen
zu können ?
6.
Berechnen Sie Umfang und Flächeninhalt
des schraffierten Dreiecks, wenn das
Rechteck 9 cm lang und 6 cm breit ist.
Die Ecken B und C des Dreiecks liegen
in den Seitenmitten des Rechtecks.
7.
Von einem rechtwinkligen Dreieck ABC sind
die Kathete b = 3 cm und die Hypotenuse
c = 5 cm gegeben.
Geometrie
Berechne Sie den Flächeninhalt des
Dreiecks !
8.
Einem Quadrat ABCD ist ein Rechteck mit
den Seitenlängen 10 cm und 4 cm einbeschrieben.
Berechne den Flächeninhalt des Quadrates !
9.
Das trapezförmige Grundstück gemäß
nebenstehender Zeichnung ist gegeben.
a)
Zeichnen Sie das Grundstück im
Maßstab 1 : 500.
b)
Berechnen Sie den Umfang und den
Flächeninhalt.
Satz von Pythagoras
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10.
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Geometrie
Eine Grundstücksfläche besteht aus
einem gleichschenkligem Trapez und
einem rechtwinkligen Dreieck
(siehe nebenstehende Zeichnung).
Berechnen Sie den Flächeninhalt des
gesamten Grundstücks.
11.
In ein Quadrat mit der Seitenlänge
120 cm ist ein kleineres Quadrat
entspechend der nebenstehenden
Zeichnung einbeschrieben.
Berechnen Sie den Flächeninhalt der
schraffierten Fläche.
14.
Eine gerade Pyramide mit quadratischer
Grundfläche hat eine Grundkante
a = 5 cm und eine Körperhöhe hk = 6 cm.
a) Berechnen Sie die Höhe hs einer Seitenfläche.
b) Berechnen Sie die Länge s einer Seitenkante.
Satz von Pythagoras
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