Kapitel 2 Natürliche und ganze Zahlen

Kapitel
Kapitel 22
Natürliche
Natürlicheund
undganze
ganzeZahlen
Zahlen
Inhalt
Inhalt
2.1
2.1Teiler
Teiler
12
1260
60
2.2
2.2Primzahlen
Primzahlen
2,
2,3,
3,5,
5,7,
7,11,
11,13,
13,....
....
2.3
2.3Zahldarstellungen
Zahldarstellungen
17
17==(1
(10000001)
1)2
2
2.4
2.4Teilbarkeitsregeln
Teilbarkeitsregeln
QS,
QS,AQS
AQS
2.5
2.5ggT
ggT
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Seite 2
Kapitel 2
Seite 1
1
2.1
2.1Teilbarkeit
Teilbarkeit
Erinnerung:
Erinnerung:Die
Dienatürlichen
natürlichenZahlen
Zahlensind
sinddie
dieZahlen
Zahlen 0,
0,1,
1,2,
2,...;
...;
die
dieMenge
Mengeder
dernatürlichen
natürlichenZahlen
Zahlenwird
wirdmit
mit NN bezeichnet.
bezeichnet.
Die
DieMenge
Mengeder
derganzen
ganzenZahlen
Zahlenwird
wirdmit
mit ZZ bezeichnet:
bezeichnet:
ZZ=={...
{...,,–3,
–3,–2,
–2,–1,
–1,0,
0,1,
1,2,
2,3,
3,...}.
...}.
Wichtige
WichtigeEigenschaft:
Eigenschaft:Die
DieSumme,
Summe,die
dieDifferenz
Differenzund
unddas
dasProdukt
Produkt
beliebiger
ganzer
Zahlen
ist
wieder
eine
ganze
Zahl.
beliebiger ganzer Zahlen ist wieder eine ganze Zahl.
Der
DerQuotient
Quotientzweier
zweierganzer
ganzerZahlen
Zahlenist
istaber
abernur
nurininAusnahmefällen
Ausnahmefällen
wieder
wiedereine
eineganze
ganzeZahl.
Zahl.Dies
Diesist
isteiner
einerder
derAusgangspunkte
Ausgangspunkteder
der
Zahlentheorie.
Zahlentheorie.
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Seite 3
Kapitel 2
Teilerbeziehung
Teilerbeziehung
Definition.
Definition.Seien
Seien aa und
und bb ganze
ganzeZahlen.
Zahlen.Wir
Wirsagen
sagen “a
“a teilt
teilt b”
b”
(geschrieben
a

b),
falls
es
eine
ganze
Zahl
z
gibt
mit
b
=
z⋅a.
(geschrieben a  b), falls es eine ganze Zahl z gibt mit b = z⋅a.
Man
Mannennt
nennt aa einen
einenTeiler
Teilervon
von b,
b,und
und bb ein
einVielfaches
Vielfachesvon
von a.
a.
Die
DieAussage
Aussage “a
“a teilt
teilt b”
b” heißt
heißtalso,
also,dass
dass aa die
dieZahl
Zahl bb ohne
ohneRest
Rest
teilt!
teilt!
Beispiele.
Beispiele.Es
Esgelten
geltendie
diefolgenden
folgendenAussagen:
Aussagen:
2210,
10, –3
–321,
21, 88–16,
–16, –15
–15–135,
–135, 2000
20000.
0.
Folgende
FolgendeAussagen
Aussagensind
sindhingegen
hingegennicht
nichtrichtig:
richtig:
2211,
11, –3
–320,
20, 88–106,
–106, –14
–14–100,
–100, 001.
1.
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Kapitel 2
Seite 2
2
Erste
ErsteErkenntnisse
Erkenntnisse
2.1.1
2.1.1Hilfssatz.
Hilfssatz.(a)
(a)Für
Fürjede
jedeganze
ganzeZahl
Zahl aa gilt
gilt aaa,
a, aa–a
–a und
und
–a

a.
–a  a.
(b)
(b)Wenn
Wenn aabb gilt,
gilt,so
sofolgt
folgtauch
auch aabc
bc für
fürjede
jedeganze
ganzeZahl
Zahl c.
c.
(c)
(c)Jede
Jedeganze
ganzeZahl
Zahlwird
wirddurch
durch 11 und
undsich
sichselbst
selbstgeteilt.
geteilt.
(d)
(d)Die
Dieeinzigen
einzigenTeiler
Teilerder
derZahl
Zahl 11 sind
sind 11 und
und –1.
–1.
Beweis.
Beweis.(a)
(a)Aus
Aus aa==1⋅a
1⋅a folgt
folgt aaa,
a, aus
aus –a
–a==–1⋅a
–1⋅a folgt
folgtaa–a,
–a,...
...
(b)
Wegen
a

b,
gibt
es
eine
ganze
Zahl
z
mit
b
=
z⋅a.
Daraus
(b) Wegen a  b, gibt es eine ganze Zahl z mit b = z⋅a. Daraus
folgt
folgt bc
bc==(z⋅a)c
(z⋅a)c==(z⋅c)⋅a
(z⋅c)⋅a==z'⋅a
z'⋅a mit
mit z'z'==zc
zc∈∈Z.
Z.Das
Dasheißt
heißt aabc.
bc.
(c)
(c)Sei
Sei aa eine
einebeliebige
beliebigeganze
ganzeZahl.
Zahl.Nach
Nach(a)
(a)gilt
gilt aaa.
a.
Wegen
Wegen aa==1⋅a
1⋅a folgt
folgtauch
auch 11a.
a.
(d)
Übungsaufgabe.
(d) Übungsaufgabe.
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Kapitel 2
Die
Diewichtigste
wichtigsteEigenschaft
Eigenschaft
2.1.2
2.1.2Hilfssatz.
Hilfssatz.Seien
Seien a,
a,bb und
und b'b' ganze
ganzeZahlen.
Zahlen.
(a)
(a)Wenn
Wenn aabb und
und aab'b' gilt,
gilt,so
sogilt
giltauch
auch aab–b'.
b–b'.
(b)
(b)Wenn
Wenn aabb und
und aab'b' gilt,
gilt,so
sogilt
giltauch
auch aab+b'.
b+b'.
Konsequenz:
Konsequenz:Die
DieZahl
Zahl b–b'
b–b' ist
istininder
derRegel
Regelkleiner
kleinerals
als bb oder
oder b';
b';
damit
kann
man
die
Teilbarkeit
auf
kleinere
Zahlen
zurückführen.
damit kann man die Teilbarkeit auf kleinere Zahlen zurückführen.
Beispiel:
Beispiel:Sei
Sei aa eine
einenatürliche
natürlicheZahl,
Zahl,die
die 1001
1001 und
und 2001
2001 teilt.
teilt.
Wenn
wir
b
=
2001
und
b'
=
1001
setzen,
folgt
mit
2.1.2
(b)
Wenn wir b = 2001 und b' = 1001 setzen, folgt mit 2.1.2 (b) auch
auch
aa1000.
1000.
Nun
Nunsetzen
setzenwir
wir bb==1001
1001 und
und b'b'==1000
1000 und
underhalten
erhalten aa1.
1.
Daraus
Darausfolgt
folgt aa==1.
1.
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Kapitel 2
Seite 3
3
Beweis
Beweis
Beweis.
Beweis.
(a)
(a)Da
Da aa ein
einTeiler
Teilervon
von bb ist,
ist,gibt
gibtes
esnach
nachDefinition
Definition
eine
eineganze
ganzeZahl
Zahl zz mit
mit bb==z⋅a.
z⋅a.
Entsprechend
folgt
aus
a

b',
Entsprechend folgt aus a  b',dass
dasses
es
eine
eineganze
ganzeZahl
Zahl z'z' gibt
gibtmit
mit b'b'==z'⋅a.
z'⋅a.
Zusammen
Zusammenergibt
ergibtsich
sich
b–b'
b–b'==za
za––z'a
z'a==(z
(z––z')⋅a
z')⋅a==z"⋅a
z"⋅a
mit
mit z"
z"==z–z'
z–z'∈∈Z.
Z.Das
Dasheißt
heißt aab–b'.
b–b'.
(b)
(b)folgt
folgtganz
ganzähnlich
ähnlichwie
wie(a):
(a):Übungsaufgabe.
Übungsaufgabe.
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Kapitel 2
Primzahlen
Primzahlen
Definition:
Definition:Eine
EinePrimzahl
Primzahlist
isteine
einenatürliche
natürlicheZahl
Zahl>>1,
1,
die
als
natürliche
Teiler
nur
1
und
sich
selbst
hat.
die als natürliche Teiler nur 1 und sich selbst hat.
Anders
Andersausgedrückt:
ausgedrückt:Eine
EinePrimzahl
Primzahlist
isteine
einenatürliche
natürlicheZahl,
Zahl,
die
diegenau
genau(nur!)
(nur!)zwei
zweipositive
positiveTeiler
Teilerhat.
hat.
Beispiel:
Beispiel:11
11 ist
isteine
einePrimzahl,
Primzahl,da
dadie
dieeinzigen
einzigennatürlichen
natürlichenZahlen,
Zahlen,
die
die 11
11 teilen,
teilen,11 und
und 11
11 sind.
sind.Aber
Aber 12
12 ist
istkeine
keinePrimzahl,
Primzahl,da
da 12
12
neben
neben 11 und
und 12
12 auch
auch 2,
2,3,
3,44 und
und 66 als
alspositive
positiveTeiler
Teilerhat.
hat.
Primzahlen:
Primzahlen:2,
2,3,
3,5,
5,7,
7,11,
11,13,
13,17,
17,19,
19,23,
23,29,
29,31,
31,37,
37,41,
41,43,
43,47,
47,...
...
20.996.011
Die
Diegrößte
größteheute
heutebekannte
bekanntePrimzahl
Primzahlist
ist 2220.996.011––1,
1,eine
eineZahl
Zahlmit
mit
6.320.430
Dezimalstellen.
6.320.430 Dezimalstellen.
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Seite 8
Kapitel 2
Seite 4
4
Das
DasSieb
Siebdes
desEratosthenes
Eratosthenes
Wie
Wiefindet
findetman
manPrimzahlen?
Primzahlen?Schwieriges
SchwierigesProblem!
Problem!Bis
Bisheute
heutekennt
kennt
man
mankeine
keineFormel
Formelfür
fürPrimzahlen!
Primzahlen!
2.2.1
2.2.1Das
DasSieb
Siebdes
desEratosthenes
Eratosthenes(Eratosthenes
(Eratosthenesvon
vonKyrene
Kyrene284
284-200
200v.v.Chr.).
Chr.).
Um
Umalle
allePrimzahlen
Primzahlen≤≤nn zu
zufinden,
finden,geht
gehtman
manwie
wiefolgt
folgtvor:
vor:
1.Schreibe
die
Zahlen
2,
3,
...,
n
auf.
1.Schreibe die Zahlen 2, 3, ..., n auf.
2.
2.Die
Dieerste
ersteZahl
Zahlist
isteine
einePrimzahl.
Primzahl.Streiche
Streichealle
alleVielfachen
Vielfachendieser
dieser
Zahl!
Zahl!
3.
3.Die
Dieerste
erstefreie
freieZahl
Zahlist
istdie
dienächste
nächstePrimzahl.
Primzahl.Streiche
Streichealle
alle
Vielfachen
Vielfachendieser
dieserZahl.
Zahl.
Usw.
Usw.
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Seite 9
Kapitel 2
Wichtige
WichtigeEigenschaft
Eigenschaftvon
vonPrimzahlen
Primzahlen
2.2.2
2.2.2 Hilfssatz.
Hilfssatz. Jede
Jede natürliche
natürliche Zahl
Zahl nn ≥≥ 22 ist
ist durch
durch mindestens
mindestens
eine
einePrimzahl
Primzahlteilbar.
teilbar.
Beweis.
Beweis.1.
1.Schritt:
Schritt:Entweder
Entwederist
ist nn eine
einePrimzahl,
Primzahl,und
undwir
wirsind
sindfertig
fertig
(denn
n
wird
von
sich
selbst
geteilt),
oder
n
ist
keine
Primzahl.
(denn n wird von sich selbst geteilt), oder n ist keine Primzahl.
Dann
Danngilt
gilt nn==nn11⋅m
⋅m11 mit
mit 11<<nn11,,m
m11<<n.
n.
eine
Primzahl,
2.
Schritt:
Entweder
ist
n
1
undwir
wirsind
sindfertig,
fertig,oder
oder nn1
2. Schritt: Entweder ist n eine Primzahl,und
1
ist
istkeine
keinePrimzahl.
Primzahl.Dann
Danngilt
gilt nn11==nn22⋅m
⋅m22 mit
mit 11<<nn22,,m
m22<<nn11..
3.
Schritt:
Entweder
ist
n
eine
Primzahl,
und
wir
sind
3. Schritt: Entweder ist n2 eine Primzahl, und wir sindfertig
fertig(denn
(denn
1
2
nn2 teilt
n und damit n), oder ...
2 teilt n11 und damit n), oder ...
Da
Dadie
die nni ininjedem
jedemSchritt
Schrittkleiner
kleinerwerden,
werden,aber
aber>>11 sind,
sind,muss
mussder
der
i
Prozess
Prozessnach
nachendlich
endlichvielen
vielenSchritten
Schritteneine
einePrimzahl
Primzahl nnj j liefern.
liefern.
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Seite 10
Kapitel 2
Seite 5
5
Effizienz
Effizienzdes
desSiebs
Siebsdes
desEratosthenes
Eratosthenes
2.2.3
2.2.3Satz.
Satz.Um
Umalle
allePrimzahlen
Primzahlen≤≤nn zu
zufinden,
finden,muss
mussman
mandie
dieZahlen
Zahlen
von
von 1,
1,...,
...,nn nur
nurauf
aufTeilbarkeit
Teilbarkeitdurch
durchdie
diePrimzahlen
Primzahlen≤≤√n
√n zu
zutesten.
testen.
Beispiel:
Beispiel:Um
Umdie
diePrimzahlen
Primzahlen≤≤120
120zu
zufinden,
finden,muss
mussman
mandie
dieZahlen
Zahlen
von
1
bis
120
nur
auf
Teilbarkeit
durch
2,
3,
5,
und
7
zu
testen.
von 1 bis 120 nur auf Teilbarkeit durch 2, 3, 5, und 7 zu testen.
Beweis.
Beweis.Sei
Sei aa eine
eineZahl
Zahlzwischen
zwischen 11 und
und n.
n.Wenn
Wenn aa nicht
nichtprim
prim
ist,
ist,so
sogibt
gibtes
esZahlen
Zahlen bb und
und cc mit
mit aa==bc
bc und
und 11<<b,
b,cc<<a.
a.
Die
Diekleinere
kleinereder
derbeiden
beidenZahlen
Zahlen b,
b,cc muss
mussdann
dann ≤≤√n
√n sein.
sein.(Denn,
(Denn,
wenn
z.B.
b
≤
c
ist,
so
folgt
b⋅b
≤
b⋅c
=
a
≤
n,
also
b
≤
√n
.)
wenn z.B. b ≤ c ist, so folgt b⋅b ≤ b⋅c = a ≤ n, also b ≤ √n .)
Nach
Nach2.2.2
2.2.2wird
wird bb von
voneiner
einerPrimzahl
Primzahl pp geteilt.
geteilt.Es
Esfolgt
folgt pp≤≤√n.
√n.
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Seite 11
Kapitel 2
Darstellung
Darstellungeiner
einernat.
nat.Zahl
Zahldurch
durchPrimzahlpotenzen
Primzahlpotenzen
2.2.4
2.2.4Hauptsatz
Hauptsatzder
derelementaren
elementarenZahlentheorie.
Zahlentheorie.
Für
jede
natürliche
Zahl
n
≥
2
gibt
es
Für jede natürliche Zahl n ≥ 2 gibt eseindeutig
eindeutigbestimmte
bestimmte
Primzahlen
...,ppr r und
undeindeutig
eindeutigbestimmte
bestimmtepositive
positiveganze
ganze
Primzahlen pp11,,pp22,,...,
Zahlen
e
,
e
,
...,
e
,
so
dass
gilt:
Zahlen e1 , e2 , ..., er , so dass gilt:
1
2
r
e2
e2⋅...⋅p erer.
nn==pp1e1e1⋅p
1 ⋅p22 ⋅...⋅pr r .
e
Bemerkungen.
Bemerkungen.1.
1.Es
Esist
istmöglich,
möglich,dass
dass rr==11 ist.
ist.Dann
Dannist
ist nn==ppe
eine
einePrimzahlpotenz.
Primzahlpotenz.
2.
2.Es
Esist
istauch
auchmöglich,
möglich,dass
dass eei i==11 ist.
ist.Dann
Dannist
istdie
dieentsprechende
entsprechende
Potenz
von
p
gleich
p
,
also
eine
Primzahl.
Potenz von pi gleich pi , also eine Primzahl.
i
i
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Kapitel 2
Seite 6
6
Faktorisierungsweltrekord
Faktorisierungsweltrekord (2003)
(2003)
18819.881292.060796.383869.723946.165043.980716.356337.
18819.881292.060796.383869.723946.165043.980716.356337.
941738.270076.335642.298885.9715234.665485.319060.606504.
941738.270076.335642.298885.9715234.665485.319060.606504.
743045.317388.011303.396716.199692.321205.734031.879550.
743045.317388.011303.396716.199692.321205.734031.879550.
656996.221305.168759.307650.257059
656996.221305.168759.307650.257059
==
3980.750864.24064.937397.125500.550386.491199.064362.
3980.750864.24064.937397.125500.550386.491199.064362.
342526.708406.385189.575946.388957.261768.583317
342526.708406.385189.575946.388957.261768.583317
××
472.772146.107435.302536.223071.973048.224632.914695.
472.772146.107435.302536.223071.973048.224632.914695.
302097.116459.852171.130520.711256.363590.397527
302097.116459.852171.130520.711256.363590.397527
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Kapitel 2
Unendlichkeit
Unendlichkeit der
derPrimzahlen
Primzahlen
2.2.5
2.2.5Satz
Satz(Euklid).
(Euklid).Es
Esgibt
gibtunendlich
unendlichviele
vielePrimzahlen.
Primzahlen.
Mit
Mitanderen
anderenWorten:
Worten:Die
DieFolge
Folgeder
derPrimzahlen
Primzahlenbricht
brichtnie
nieab.
ab.
Nochmals
Nochmalsanders
andersgesagt:
gesagt:Es
Esgibt
gibtkeine
keinegrößte
größtePrimzahl!
Primzahl!
Zu
jeder
vorgegebenen
Grenze
gibt
es
immer
noch
Zu jeder vorgegebenen Grenze gibt es immer nocheine
einePrimzahl,
Primzahl,
die
diegrößer
größerals
alsdiese
dieseGrenze
Grenzeist!
ist!
Beweis.
Beweis.Der
DerBeweis
Beweiserfolgt
erfolgtdurch
durchWiderspruch.
Widerspruch.
Wir
Wirnehmen
nehmenan,
an,dass
dassdie
dieAussage
Aussagedes
desSatzes
Satzesfalsch
falschist,
ist,dass
dasses
es
also
alsonur
nurendlich
endlichviele,
viele,sagen
sagenwir
wir s,s, Primzahlen
Primzahlengibt.
gibt.Man
Mankann
kannalso
also
prinzipiell
die
Folge
der
s
Primzahlen
hinschreiben:
p
(=
2),
p
(=
prinzipiell die Folge der s Primzahlen hinschreiben: p1 (= 2), p2 (=
1
3),
3),pp33,,...,
...,ppss;;die
dieZahl
Zahl ppss wäre
wärealso
alsodie
diegrößte
größtePrimzahl.
Primzahl.
Diese
Annahme
müssen
wir
zu
einem
Widerspruch
Diese Annahme müssen wir zu einem Widerspruchführen.
führen.
2
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Seite 14
Kapitel 2
Seite 7
7
Euklids
EuklidsTrick
Trick
Wir
Wirbetrachten
betrachtendie
dieZahl
Zahl nn==pp11⋅p
⋅p22⋅...⋅p
⋅...⋅pss++1.
1.
Nach
Nach2.2.2
2.2.2 wird
wird nn durch
durcheine
einePrimzahl
Primzahlgeteilt.
geteilt.Dafür
Dafürkommen
kommennach
nach
Annahme
nur
die
Zahlen
p
,
p
,
...,
p
in
Frage
(weil
es
keine
Annahme nur die Zahlen p1 , p2 , ..., ps in Frage (weil es keine
1
2
s
anderen
anderenPrimzahlen
Primzahlengibt)!
gibt)!Also
Alsogibt
gibtes
esein
einsolches
solches ppi,i,das
dasnn teilt:
teilt:
⋅...⋅p + 1.
ppi nn==pp1⋅p
i
1⋅p22⋅...⋅pss + 1.
Ferner
auchdas
dasProdukt
Produkt pp11⋅p
⋅p22⋅...⋅p
⋅...⋅pss..Das
Dasheißt:
heißt:
Fernerteilt
teilt ppi i auch
⋅...⋅p .
ppi pp1⋅p
i
1⋅p22⋅...⋅pss.
Nach
auchdie
dieDifferenz
Differenzdieser
dieserbeiden
beidenZahlen:
Zahlen:
Nach2.1.2
2.1.2teilt
teilt ppi i auch
⋅...⋅p + 1 – (p ⋅p ⋅...⋅p ) = 1.
ppi pp1⋅p
i
1⋅p22⋅...⋅pss + 1 – (p11⋅p22⋅...⋅pss) = 1.
Also
dieZahl
Zahl 11 teilen:
teilen:Widerspruch!
Widerspruch!
Alsomüßte
müßtedie
diePrimzahl
Primzahl ppi i die
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Seite 15
Kapitel 2
Bemerkungen
Bemerkungen
Man
Mankann
kannmit
mitSatz
Satzvon
vonEuklid
Euklidauch
auchPrimzahlen
Primzahlenfinden:
finden:Seien
Seien p,
p,pp22,,
...,
...,pps Primzahlen.
Primzahlen.Dann
Dannist
istjede
jedePrimzahl,
Primzahl,die
diedie
die„magische
„magischeZahl“
Zahl“
s
⋅...⋅p + 1
nn==pp1⋅p
1⋅p22⋅...⋅pss + 1
teilt,
...,ppss
teilt,eine
eineneue
neuePrimzahl,
Primzahl,das
dasheißt,
heißt,eine,
eine,die
dieunter
unterden
den pp11,,pp22,,...,
nicht
nichtvorkommt.
vorkommt.
Beispiel:
Beispiel:pp11==2,
2,pp22==3.
3.Dann
Dannist
ist nn==7,
7,also
also pp33==7.
7.
Im
nächsten
Schritt
erhalten
wir
n
=
2⋅3⋅7
+
1
=
43,
Im nächsten Schritt erhalten wir n = 2⋅3⋅7 + 1 = 43,also
also pp4 ==43.
43.
4
Bemerkungen:
Bemerkungen:1.
1.Die
DieZahl
Zahl nn ist
istnicht
nichtimmer
immereine
einePrimzahl.
Primzahl.
2.
2.Man
Manerhält
erhältdurch
durchdieses
diesesVerfahren
Verfahrennicht
nichtalle
allePrimzahlen.
Primzahlen.
3.
3.Die
Dieneue
neuePrimzahl
Primzahlmuss
mussnicht
nichtgrößer
größerals
als pp11,,pp22,,...,
...,ppss sein.
sein.
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Mai 2004
Seite 16
Kapitel 2
Seite 8
8
2.3
2.3Zahlendarstellungen
Zahlendarstellungen
Historisch
Historischgibt
gibtes
eseine
eineganze
ganzeReihe
Reihevon
vonZahlensystemen:
Zahlensystemen:
Zehnersystem
Zehnersystem(Dezimalsystem)
(Dezimalsystem)mit
mitden
denZiffern
Ziffern 0,
0,1,
1,...,
...,9.
9.
60-er
60-erSystem:
System:Babylonier
Babyloniervor
vor3000
3000Jahren
Jahren(Gradeinteilung,
(Gradeinteilung,Minuten,
Minuten,
Sekunden).
Sekunden).
20-er
20-erSystem:
System:Mayas
Mayasund
undGallier.
Gallier.
Binärsystem
Binärsystem(Zweiersystem)
(Zweiersystem)mit
mitden
denZiffern
Ziffern 00 und
und 1.
1.
Sechzehnersystem
Sechzehnersystem (Hexadezimalsystem)
(Hexadezimalsystem) mit
mit den
den Ziffern
Ziffern 0,
0, 1,
1, 2,
2, 3,
3,
4,
5,
6,
7,
8,
9,
A
(=
10),
B
(=
11),
C
(=
12),
D
(=
13),
E
(=
14),
F
(=
4, 5, 6, 7, 8, 9, A (= 10), B (= 11), C (= 12), D (= 13), E (= 14), F (=
15).
15).
Elfersystem
Elfersystemmit
mitden
denZiffern
Ziffern 0,
0,1,
1,2,
2,3,
3,4,
4,5,
5,6,
6,7,
7,8,
8,9,
9,XX (röm.
(röm.Zehn).
Zehn).
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Seite 17
Kapitel 2
Ziele
Zielevon
vonZahlendarstellungen
Zahlendarstellungen
1.
1.Darstellbarkeit.
Darstellbarkeit.Man
Manmöchte
möchteZahlen
Zahlen(Anzahlen)
(Anzahlen)dauerhaft
dauerhaft
speichern.
speichern.(Beispiel:
(Beispiel:Strichliste)
Strichliste)
2.
2.Ökonomie.
Ökonomie.Man
Manmöchte
möchtegroße
großeZahlen
Zahlenso
soschreiben
schreiben
(und
sprechen)
können,
dass
man
möglichst
(und sprechen) können, dass man möglichstwenig
wenigPlatz
Platz
(und
(undZeit)
Zeit)dafür
dafürbraucht.
braucht.(Beispiel:
(Beispiel:römische
römischeZahlen)
Zahlen)
3.
3.Man
Manmöchte
möchtemit
mitden
denso
sodargestellten
dargestelltenZahlen
Zahlengut
gutrechnen
rechnenkönnen.
können.
(Beispiel:
Dezimalsystem).
(Beispiel: Dezimalsystem).
Das
Daszweite
zweiteZiel
Zielimpliziert
impliziertnicht
nichtdas
dasdritte.
dritte.Mit
Mitdem
demrömischen
römischen
Zahlensystem
kann
man
große
Zahlen
darstellen,
aber
Zahlensystem kann man große Zahlen darstellen, aberpraktisch
praktisch
nicht
nichtrechnen.
rechnen.
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Kapitel 2
Seite 9
9
Beispiel:
Beispiel:Dezimaldarstellung
Dezimaldarstellung
Wie
Wieerhalten
erhaltenwir
wirdie
dieEinerziffer
Einerziffereiner
einerZahl
Zahl n?
n?Wir
Wirteilen
teilen nn mit
mitRest
Rest
durch
durch 10;
10;der
derRest,
Rest,der
dersich
sichdabei
dabeiergibt,
ergibt,ist
istdie
dieEinerziffer
Einerziffer zz0::
0
+ z mit 0 ≤ z < 10.
nn==nn0⋅10
0⋅10 + z00 mit 0 ≤ z00 < 10.
Beispiel:
Beispiel: nn==234.567.
234.567.Dann
Dann234.567
234.567==23456⋅10
23456⋅10++7.
7.Einerziffer
Einerziffer==7.
7.
Wie
Wieerhalten
erhaltenwir
wirdie
dieZehnerziffer?
Zehnerziffer?Die
DieZehnerziffer
Zehnerzifferist
istdie
dieEinerziffer
Einerziffer
.
der
vorher
berechneten
Zahl
n
der vorher berechneten Zahl n0 .
0
Regel:
Regel:Die
DieZehnerziffer
Zehnerzifferist
istdiejenige
diejenigeZahl
Zahl zz11 mit
mit
+ z mit 0 ≤ z < 10.
nn0 ==nn1⋅10
0
1⋅10 + z11 mit 0 ≤ z11 < 10.
Entsprechend
durch
Entsprechendergibt
ergibtsich
sichdie
dieHunderterziffer
Hunderterziffer zz22 durch
+ z mit 0 ≤ z < 10.
nn1 ==nn2⋅10
1
2⋅10 + z22 mit 0 ≤ z22 < 10.
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Seite 19
Kapitel 2
Die
Diewichtigste
wichtigsteEigenschaft
Eigenschaftder
derganzen
ganzenZahlen
Zahlen
2.3.1
2.3.1Division
Divisionmit
mitRest.
Rest.Seien
Seien aa und
und bb ganze
ganzeZahlen
Zahlen (b
(b≠≠0).
0).
Dann
gibt
es
eindeutig
bestimmte
ganze
Zahlen
q
und
r
mit
Dann gibt es eindeutig bestimmte ganze Zahlen q und r mit
aa==bq
bq++rr und
und 00≤≤rr≤≤b–1.
b–1.
Beispiele.
Beispiele.aa==13,
13,bb==44⇒
⇒13
13==4⋅3
4⋅3++11 (q
(q==3,
3,rr==1)
1)
aa==–13,
b
=
4
⇒
–13
=
4⋅
–4
+
3
(q
=
–4,
r
=
3)
–13, b = 4 ⇒ –13 = 4⋅ –4 + 3 (q = –4, r = 3)
aa==13,
13,bb==–4
–4 ⇒
⇒13
13==–4⋅
–4⋅–3
–3++11 (q
(q==–3,
–3,rr==1)
1)
aa==–13,
b
=
–4
⇒
–13
=
–4⋅4
+
3
(q
=
4,
r
=
3).
–13, b = –4 ⇒ –13 = –4⋅4 + 3 (q = 4, r = 3).
Bemerkung:
Bemerkung:Die
DieEindeutigkeit
Eindeutigkeitkommt
kommterst
erstdurch
durchbeide
beideEigenschaften
Eigenschaften
(a
(a==bq
bq++rr und
und 00≤≤rr≤≤b–1)
b–1)zustande.
zustande.
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Kapitel 2
Seite 10
10
Darstellung
Darstellungvon
vonnatürlichen
natürlichenZahlen
Zahlen zur
zur Basis
Basis bb
2.3.2
2.3.2 Satz.
Satz. Sei
Sei bb eine
eine natürliche
natürliche Zahl
Zahl mit
mit bb ≥≥ 1.
1. Dann
Dann gibt
gibt es
es zu
zu
jeder
natürlichen
Zahl
n
≥
1
eindeutig
bestimmte
nichtnegative
jeder natürlichen Zahl n ≥ 1 eindeutig bestimmte nichtnegative
ganze
...,zzkk (die
(dieZiffern)
Ziffern)so
sodass
dassgilt
gilt
ganzeZahlen
Zahlen zz00,,zz11,,...,
kk+ z
⋅bk–1
k–1++...
nn==zzk⋅b
...++zz11⋅b
⋅b++zz00 und
und 00≤≤zzi i<<b.
b.
k⋅b + zk–1
k–1⋅b
... z z ) und nennen dies die Darstellung von
Wir
Wirschreiben
schreiben (z
(zkkzzk–1
k–1 ... z11 z00)bb und nennen dies die Darstellung von
nn zur
zurBasis
Basis b;
b;die
dieZahlen
Zahlen zzi heißen
heißendie
dieZiffern
Zifferndieser
dieserDarstellung.
Darstellung.
i
Beispiele:
Beispiele:Die
DieZahl
Zahl 47
47 hat
hatim
imZehnersystem
Zehnersystemdie
dieDarstellung
Darstellung (4
(47)
7)1010,,
im
Zweiersystem
hat
sie
die
Darstellung
(1
0
1
1
1
1)
,
im
im Zweiersystem hat sie die Darstellung (1 0 1 1 1 1)2 , im
Sechzehnersystem
Sechzehnersystemhat
hatsie
siedie
dieDarstellung
Darstellung (2
(2F)
F)1616..
2
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Seite 21
Kapitel 2
Beweis
Beweis
Beweis.
Beweis.(a)
(a)Existenz.
Existenz.Wir
Wirberechnen
berechnendie
dieZiffern
Ziffernwie
wievorher.
vorher.
Zunächst
Zunächstbestimmen
bestimmenwir
wir zz0 durch
durch
0
+ z mit 0 ≤ z < b.
nn==nn0⋅b
0⋅b + z00 mit 0 ≤ z00 < b.
Dann
durch
Dannbestimmen
bestimmenwir
wir zz11 durch
+ z mit 0 ≤ z < b.
nn0 ==nn1⋅b
0
1⋅b + z11 mit 0 ≤ z11 < b.
Die
wirdbestimmt
bestimmtdurch
durch
DieZiffer
Ziffer zz22 wird
+ z mit 0 ≤ z < b.
nn1 ==nn2⋅b
1
2⋅b + z22 mit 0 ≤ z22 < b.
Usw.
0, erhalten
erhaltenwir
wir
Usw.Wenn
Wennwir
wirzu
zueiner
einerStelle
Stelle kk kommen
kommenmit
mit nnkk==0,
die
dieletzte
letzte(„höchste”)
(„höchste”)Ziffer
Ziffer zzk..Diese
Dieseist
istso
sobestimmt:
bestimmt:
k
+ z mit 0 ≤ z < b.
nnk–1 ==nnk⋅b
k–1
k⋅b + zkk mit 0 ≤ zkk < b.
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Seite 22
Kapitel 2
Seite 11
11
Beweis
Beweis(Fortsetzung)
(Fortsetzung)
Einsetzen:
Einsetzen:
+z
nn==nn0⋅b
0⋅b + z00
2
==(n
(n1⋅b
⋅b++zz1))⋅b
⋅b++zz0 ==nn1⋅b
⋅b2++zz1 ⋅b
⋅b++zz0
1
1
0
1
1
0
2
3
2
==(n
(n22⋅b
⋅b++zz22)⋅b
)⋅b2++zz11⋅b
⋅b++zz00==nn22⋅b
⋅b3++zz22⋅b
⋅b2++zz11⋅b
⋅b++zz00
==...
...
k–1
2
⋅bk–1
k–1++...
==(n
⋅b++zzkk)⋅b
)⋅bk–1++zzk–1
...++zz22⋅b
⋅b2++zz11⋅b
⋅b++zz00
(nkk⋅b
k–1⋅b
kk+ z
==zzk⋅b
⋅bk–1
k–1++...
...++zz11⋅b
⋅b++zz00..
k⋅b + zk–1
k–1⋅b
(b)
(b)Eindeutigkeit
Eindeutigkeit(ohne
(ohneBeweis).
Beweis).
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Seite 23
Kapitel 2
Beispiele
Beispiele
Beispiele.
Beispiele.(a)
(a)Wir
Wirwandeln
wandelnfolgende
folgendeZahlen
Zahlenins
insZehnersystem
Zehnersystemum:
um:
(1
0
0
1)
=
1⋅8
+
0⋅4
+
0⋅2
+
1⋅1
=
9
(1 0 0 1)2 = 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 9
2
(2
(211001)
1)33==2⋅27
2⋅27++1⋅9
1⋅9++0⋅3
0⋅3++1⋅1
1⋅1==64
64
(2
(2F)
F)16 ==22⋅16
⋅16++15
15⋅1
⋅1==47
47
16
(1024)
(1024)1111==1⋅1331
1⋅1331++0⋅121
0⋅121++2⋅11
2⋅11++4⋅1
4⋅1==1357
1357
(b)
(b)Wir
Wirwandeln
wandelndie
dieim
imZehnersystem
Zehnersystemdargestellte
dargestellteZahl
Zahl 600
600 inin das
das
2-er,
5-er
und
16-er
System
um:
2-er, 5-er und 16-er System um:
600
600==512
512++64
64++16
16++8,
8,also
also 600
600==(1
(100001100111100000)
0)22
600
600==4⋅125
4⋅125++4⋅25,
4⋅25,also
also 600
600==(4
(444000)
0)5
5
600
600==22⋅256
⋅256++55⋅16
⋅16++88⋅1,
⋅1,also
also 600
600==(2
(2558)
8)1616..
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Seite 24
Kapitel 2
Seite 12
12
Bemerkungen
Bemerkungenzum
zumRechnen
Rechnen
Unsere
UnsereTechniken
Technikenzum
zumschriftlichen
schriftlichenAddieren,
Addieren,Multiplizieren
Multiplizierenund
und
Dividieren
beruhen
entscheidend
auf
dem
Stellenwertsystem:
Dividieren beruhen entscheidend auf dem Stellenwertsystem:
Wir
Wirbearbeiten
bearbeitenjeweils
jeweilsnicht
nichtdie
dievollständigen
vollständigenZahlen,
Zahlen,sondern
sondern
jeweils
jeweilsnur
nureine
eineStelle
Stelle(eventuell
(eventuellmit
mitÜbertrag
Übertragvon
vonder
dervorherigen
vorherigen
Stelle).
Stelle).Diese
DieseOperationen
Operationenfunktionieren
funktionierenininjedem
jedemStellenwertsystem
Stellenwertsystem
ähnlich.
ähnlich.
Beispiel:
Beispiel:Addition
Additionim
im2-er
2-erSystem:
System:
11
00
11
11
11
++ 11
11
00
00
11
11
00
00
00
00
11
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Seite 25
Kapitel 2
Die
Dierömischen
römischenZahlen
Zahlen
Gibt
Gibtes
esein
ein1-er
1-erSystem?
System?Ja!
Ja!Man
Manbenutzt
benutztnur
nurdie
dieZiffer
Ziffer00 (und
(und
schreibt
schreibtdafür
dafür1).
1).Beispiel
Beispiel 55==11111.
11111.(Eine
(EineZahl
Zahlwird
wirddurch
durchdie
die
entsprechende
entsprechendeAnzahl
Anzahlvon
vonStrichen
Strichenwiedergegeben.)
wiedergegeben.)
Addition
ist
einfach:
Man
braucht
die
Addition ist einfach: Man braucht dieZahlen
Zahlennur
nurhintereinander
hintereinanderzu
zu
schreiben.
schreiben.
Das
Dasrömische
römischeZahlensystem
Zahlensystemist
istim
imPrinzip
Prinzipein
einsolches
solches1-er
1-erSystem.
System.
Die
DieRömer
Römer haben
habennur
nurzur
zurAbkürzung
Abkürzunggroßer
großerZahlen
Zahlenandere
andereZeichen
Zeichen
verwendet:
verwendet:V,
V,X,
X,L,
L,C,
C,D,
D,M.
M.Zunächst
Zunächstbegann
beganndie
dieZahlenreihe
Zahlenreiheso:
so:
I,I,II,
II,III,
III,IIII,
IIII,V,
V,VI,
VI,VII,
VII,VIII,
VIII,VIIII,
VIIII,X,
X,XI
XI,,...
...
Damit
ist
Addition
immer
noch
einfach:
man
schreibt
die
Damit ist Addition immer noch einfach: man schreibt diezwei
zweiZahlen
Zahlen
nebeneinander,
ordnet
um
und
fasst
gegebenenfalls
zusammen.
nebeneinander, ordnet um und fasst gegebenenfalls zusammen.
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Mai 2004
Seite 26
Kapitel 2
Seite 13
13
2.4
2.4 Teilbarkeitsregeln
Teilbarkeitsregeln
Frage:
Frage:Sei
Seieine
einenatürliche
natürlicheZahl
Zahl nn inineinem
einemStellenwertsystem,
Stellenwertsystem,z.B.
z.B.
im
Dezimalsystem
gegeben.
Kann
man
an
den
Ziffern
erkennen,
im Dezimalsystem gegeben. Kann man an den Ziffern erkennen,ob
ob
nn durch
durcheine
einebestimmte
bestimmteZahl
Zahlteilbar
teilbarist?
ist?
„David-Goliath-Sätze“
„David-Goliath-Sätze“Beispiel:
Beispiel:Um
Umzu
zuerkennen,
erkennen,dass
dasseine
eineZahl
Zahl
durch
2
teilbar
ist,
brauchen
wir
nur
eine
einzige
Stelle
anzuschauen!
durch 2 teilbar ist, brauchen wir nur eine einzige Stelle anzuschauen!
Endstellenregel:
Endstellenregel:Man
Manerkennt
erkenntdie
dieTeilbarkeit
Teilbarkeitan
ander
derEndstelle
Endstelle
(Einerziffer)
oder
an
den
Endstellen.
(Einerziffer) oder an den Endstellen.
Quersummenregel:
Quersummenregel:Man
Manerkennt
erkenntdie
dieTeilbarkeit
Teilbarkeitan
ander
derQuersumme
Quersumme
(oder
einer
Variante
der
Quersumme).
(oder einer Variante der Quersumme).
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Seite 27
Kapitel 2
Teilbarkeit
Teilbarkeitdurch
durch 22
2.4.1
2.4.1Satz.
Satz.Eine
Einenatürliche
natürlicheZahl
Zahlist
istgenau
genaudann
danngerade
gerade(d.
(d.h.
h.teilbar
teilbar
durch
2),
wenn
ihre
Endziffer
(“Einerziffer”)
im
Dezimalsystem
durch 2), wenn ihre Endziffer (“Einerziffer”) im Dezimalsystem
gerade
geradeist
ist(also
(alsoeine
eineder
derZahlen
Zahlen 0,
0,2,
2,4,
4,6,
6,88 ist).
ist).
Beweis.
Beweis.
(a)
(a)Vorbereitung.
Vorbereitung.Sei
Sei nn eine
einebeliebige
beliebigenatürliche
natürlicheZahl,
Zahl,und
undsei
sei zz0
0
ihre
ihreEndziffer.
Endziffer.Dann
Dannhat
hat nn folgende
folgendeDarstellung:
Darstellung:
kk+ z
⋅10k–1
k–1++...
nn==zzk⋅10
...++zz11⋅10
⋅10++zz00..
k⋅10 + zk–1
k–1⋅10
Da
Dadie
dieZahl
Zahl 22 ein
einTeiler
Teilervon
von 10
10 ist,
ist,teilt
teilt 22 auch
auchdie
dieZahl
Zahl
kk+ z
k–1
⋅10
k–1
+
...
+
z
⋅10,
in
Formeln:
zzk⋅10
⋅10 + zk–1 ⋅10 + ... + z1 ⋅10, in Formeln:
k
k–1
1
kk+ z
⋅10k–1
k–1++...
22zzk⋅10
...++zz11⋅10.
⋅10.
k⋅10 + zk–1
k–1⋅10
(*)
(*)
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Seite 28
Kapitel 2
Seite 14
14
Eigentlicher
EigentlicherBeweis
Beweis
(b)
(b)Eigentlicher
EigentlicherBeweis:
Beweis:Wir
Wirmüssen
müssenbeide
beideRichtungen
Richtungenzeigen.
zeigen.
•• Zunächst
sei
n
gerade.
Zu
zeigen:
z
ist
gerade.
Zunächst sei n gerade. Zu zeigen: z00 ist gerade.
Da
Da nn gerade
geradeist,
ist,gilt
gilt 22n.
n.Formal
Formalheißt
heißtdies:
dies:
kk+ z
⋅10k–1
k–1++...
22zzk⋅10
...++zz11⋅10
⋅10++zz00..
k⋅10 + zk–1
k–1⋅10
Wegen
WegenHilfssatz
Hilfssatz2.1.2
2.1.2(a)
(a)und
und(*)
(*)ist
istfolgende
folgendeZahl
Zahlgerade:
gerade:
k
k
⋅10k–1
k–1+...+
⋅10k–1
k–1+...+
(z
⋅10k+z
+zk–1
+...+zz11⋅10
⋅10++zz00))––(z
(zkk⋅10
⋅10k+z
+zk–1
+...+zz11⋅10)
⋅10)==zz00..
(zkk⋅10
k–1⋅10
k–1⋅10
Also
gerade.
Alsoist
ist zz00 gerade.
•• Sei
nun
umgekehrt
Sei nun umgekehrt zz00 gerade,
gerade,also
also 22zz00..Es
Esfolgt
folgt
k
⋅10k–1
k–1++...
22(z
⋅10k++zzk–1
...++zz11⋅10)
⋅10)++zz00==n.
n.
(zkk⋅10
k–1⋅10
Also
Alsoist
ist nn gerade.
gerade.
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Seite 29
Kapitel 2
Teilbarkeit
Teilbarkeitdurch
durch 55 und
und 10
10
2.4.2
2.4.2Satz.
Satz.Eine
Einenatürliche
natürlicheZahl
Zahlist
istgenau
genaudann
danndurch
durch55 teilbar,
teilbar,
wenn
wennihre
ihreEndziffer
Endzifferim
imDezimalsystem
Dezimalsystemdurch
durch 55 teilbar
teilbarist,
ist,also
alsoeine
eine
der
derZahlen
Zahlen 00 oder
oder 55 ist).
ist).
2.4.3
2.4.3Folgerung.
Folgerung.Eine
Einenatürliche
natürlicheZahl
Zahlist
istgenau
genaudann
danndurch
durch10
10
teilbar,
teilbar,wenn
wennihre
ihreEndziffer
Endzifferim
imDezimalsystem
Dezimalsystem 00 ist.
ist.
Beweis
Beweisder
derFolgerung.
Folgerung.Eine
EineZahl
Zahlist
istgenau
genaudann
danndurch
durch10
10teilbar,
teilbar,
wenn
sie
durch
2
und
durch
5
teilbar
ist;
nach
2.4.1
und
2.4.2
wenn sie durch 2 und durch 5 teilbar ist; nach 2.4.1 und 2.4.2 ist
istdas
das
genau
genaudann
dannder
derFall,
Fall,wenn
wenndie
dieEndziffer
Endzifferinin
{0,
{0,2,
2,4,
4,6,
6,88}}∩∩{0,
{0,5}
5}=={0}
{0}
ist.
ist.
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Seite 30
Kapitel 2
Seite 15
15
Quersumme
Quersumme
Definition.
Definition.Sei
Sei nn eine
eineim
imDezimalsystem
Dezimalsystemdargestellte
dargestelltenatürliche
natürliche
Zahl:
Zahl:
kk+ z
⋅10k–1
k–1++...
nn==zzk⋅10
...++zz11⋅10
⋅10++zz00..
k⋅10 + zk–1
k–1⋅10
Dann
Dannnennt
nenntman
mandie
dieZahl
Zahl
+ ... + z + z
Q(n)
Q(n)==zzkk++zzk–1
k–1 + ... + z11 + z00
die
dieQuersumme
Quersummevon
von n.
n.
Kurz:
Kurz:Die
DieQuersumme
Quersummeeiner
einerZahl
Zahlist
istdie
dieSumme
Summeihrer
ihrerZiffern.
Ziffern.
Beispiele:
Beispiele:Q(1024)
Q(1024)==1+0+2+4
1+0+2+4==7,
7,Q(123456789)
Q(123456789)==45.
45.
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Seite 31
Kapitel 2
Teilbarkeit
Teilbarkeitdurch
durch 99
2.4.4
2.4.4Satz.
Satz.Eine
Einenatürliche
natürlicheZahl
Zahlist
istgenau
genaudann
danndurch
durch 99 teilbar,
teilbar,
wenn
wennihre
ihreQuersumme
Quersumme(im
(imDezimalsystem)
Dezimalsystem)durch
durch 99 teilbar
teilbarist.
ist.
Beweis.
Beweis.
Vorbereitung:
Vorbereitung:Sei
Sei nn eine
einebeliebige
beliebigenatürliche
natürlicheZahl,
Zahl,und
undsei
sei zz00 ihre
ihre
Endziffer.
Dann
hat
n
folgende
Darstellung:
Endziffer. Dann hat n folgende Darstellung:
kk+ z
⋅10k–1
k–1++...
nn==zzk⋅10
...++zz11⋅10
⋅10++zz00..
k⋅10 + zk–1
k–1⋅10
Wir
Wirwissen:
wissen:99 teilt
teiltdie
dieZahlen
Zahlen 99(=10–1),
(=10–1),99
99(=
(=100–1),
100–1),
kk– 1). Also gilt auch
999
(=
1000–1),
...,
999...999
(=
10
999 (= 1000–1), ..., 999...999 (= 10 – 1). Also gilt auch
kk– 1) + z
⋅(10k–1
k–1––1)
99zzk⋅(10
1)++...
...++zz11⋅(10
⋅(10––1).
1). (**)
(**)
k⋅(10 – 1) + zk–1
k–1⋅(10
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Seite 32
Kapitel 2
Seite 16
16
Eigentlicher
EigentlicherBeweis
Beweis
•• Zunächst
Zunächstsetzen
setzenwir
wirvoraus,
voraus,dass
dass nn durch
durch 99 teilbar
teilbarist.
ist.Wir
Wirmüssen
müssen
zeigen,
dass
dann
Q(n)
durch
9
teilbar
ist.
Wir
wissen:
zeigen, dass dann Q(n) durch 9 teilbar ist. Wir wissen:
kk+ z
⋅10k–1
k–1++...
99zzk⋅10
...++zz11⋅10
⋅10++zz00..
k⋅10 + zk–1
k–1⋅10
Mit
MitHilfssatz
Hilfssatz2.1.2
2.1.2(a)
(a)und
und(**)
(**)folgt,
folgt,dass
dass Q(n)
Q(n) durch
durch 99 teilbar
teilbarist:
ist:
k
k–1
⋅10
k
+z
⋅10
k–1
+...+
z
⋅10+z
)
–
99(z
+...+ z11⋅10+z00) –
(zkk⋅10 +zk–1
k–1⋅10
k
k–1
(z
⋅(10
k–1–1)
+...+
(zkk⋅(10
⋅(10k–1)
–1)++zzk–1
⋅(10
–1)
+...+zz11⋅(10–1))
⋅(10–1))
k–1
==zzk ++zzk–1 ++...
+
z
+
z
=
Q(n)
... + z1 + z0 = Q(n)
k
k–1
1
0
•• Sei
Seiumgekehrt
umgekehrt Q(n)
Q(n) durch
durch 99 teilbar.
teilbar.Mit
Mit2.1.2
2.1.2(b)
(b)und
und(**)
(**)folgt:
folgt:
k
⋅(10k–1
k–1––1)
99(z
⋅(10k––1)
1)++zzk–1
1)++...
...++zz11⋅(10
⋅(10––1))
1))++
(zkk⋅(10
k–1⋅(10
(z
+
z
+
...
+
z
+
z
)
=
n.
(zkk + zk–1
k–1 + ... + z11 + z00) = n.
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Seite 33
Kapitel 2
Teilbarkeit
Teilbarkeitdurch
durch 33
2.4.5
2.4.5Satz.
Satz.Eine
Einenatürliche
natürlicheZahl
Zahlist
istgenau
genaudann
danndurch
durch 33 teilbar,
teilbar,
wenn
wennihre
ihreQuersumme
Quersumme(im
(imDezimalsystem)
Dezimalsystem)durch
durch 33 teilbar
teilbarist.
ist.
Beispiele:
Beispiele:(a)
(a)123456789
123456789ist
istdurch
durch 33 teilbar.
teilbar.
(b)
Jede
Zahl,
die
durch
9
teilbar
ist,
ist
(b) Jede Zahl, die durch 9 teilbar ist, istauch
auchdurch
durch 33 teilbar.
teilbar.
(c)
(c)Wie
Wiekann
kannman
man XX wählen,
wählen,so
sodass
dass 52148231X2487
52148231X2487 durch
durch 33
teilbar
teilbarist?
ist?
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Seite 34
Kapitel 2
Seite 17
17
Teilbarkeit
Teilbarkeitdurch
durch 11
11
k
Definition.
⋅10k–1
k–1++...
Definition.Sei
Sei nn==zzkk⋅10
⋅10k++zzk–1
...++zz11⋅10
⋅10++zz00 eine
eine
k–1⋅10
natürliche
natürlicheZahl.
Zahl.Dann
Dannnennt
nenntman
mandie
dieZahl
Zahl
AQ(n)
+ z ––...
AQ(n)==zzkk––zzk–1
...+/–
+/–zz11–/+
–/+zz00
k–1 + zk–2
k–2
die
diealternierende
alternierendeQuersumme
Quersummevon
von n.
n.
Kurz:
Kurz:Die
Diealternierende
alternierendeQuersumme
Quersummeeiner
einerZahl
Zahlist
istdie
diealternierende
alternierende
(“einmal
(“einmalplus,
plus,einmal
einmalminus”)
minus”)Summe
Summeihrer
ihrerZiffern.
Ziffern.
Beispiele:
Beispiele:AQ(1274)
AQ(1274)==2,
2,AQ(123321)
AQ(123321)==0,
0,AQ(240)
AQ(240)==–2.
–2.
2.4.6
2.4.6Satz.
Satz.Eine
Einenatürliche
natürlicheZahl
Zahlist
istgenau
genaudann
danndurch
durch 11
11 teilbar,
teilbar,
wenn
ihre
alternierende
Quersumme
durch
11
teilbar
ist.
wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist.
Zum
ZumBeispiel
Beispielist
ist nn==121242363484
121242363484 durch
durch 11
11 teilbar.
teilbar.
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Kapitel 2
2.5
2.5Der
Der ggT
ggT
Definition.
Definition.Seien
Seien aa und
und bb zwei
zweiganze
ganzeZahlen.
Zahlen.
Eine
natürliche
Zahl
d
heißt
gemeinsamer
Eine natürliche Zahl d heißt gemeinsamerTeiler
Teilervon
von aa und
und b,
b,
falls
fallssowohl
sowohl ddaa als
alsauch
auch ddbb gilt.
gilt.
Beispiele:
Beispiele:(a)
(a)Gemeinsame
GemeinsameTeiler
Teilervon
von 66und
und10:
10:11und
und 2.
2.
(b)
Gemeinsame
Teiler
von
–24
und
42:
1,
2,
3
und
6.
(b) Gemeinsame Teiler von –24 und 42: 1, 2, 3 und 6.
(c)
(c)Gemeinsame
GemeinsameTeiler
Teilervon
von 00 und
und 20:
20: 1,
1,2,
2,4,
4,5,
5,10,
10,20.
20.
(d)
Gemeinsame
Teiler
von
0
und
a
(>
0):
Teiler
von
(d) Gemeinsame Teiler von 0 und a (> 0): Teiler von a.
a.
Bemerkungen.
Bemerkungen.(a)
(a)Gemeinsame
GemeinsameTeiler
Teilersind
sindimmer
immerpositiv.
positiv.
(b)
Im
allgemeinen
gibt
es
mehr
als
einen
gemeinsamen
(b) Im allgemeinen gibt es mehr als einen gemeinsamenTeiler.
Teiler.
(c)
(c)Die
DieZahl
Zahl11 ist
istininjedem
jedemFall
Fallein
eingemeinsamer
gemeinsamerTeiler
Teilervon
von aa und
undb.
b.
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Kapitel 2
Seite 18
18
Teilerfremde
Teilerfremde Zahlen
Zahlen
Beobachtung:
Beobachtung:Je
Jezwei
zweiganze
ganzeZahlen
Zahlenhaben
habenmindestens
mindestenseinen
einen
gemeinsamen
gemeinsamenTeiler,
Teiler,nämlich
nämlichdie
dieZahl
Zahl 1.
1.
Definition.
Definition.Wir
Wirnennen
nennenzwei
zweiganze
ganzeZahlen
Zahlenteilerfremd,
teilerfremd,wenn
wennsie
sienur
nur
einen
einengemeinsamen
gemeinsamenTeiler
Teilerhaben.
haben.
M.a.W.
M.a.W.Zwei
ZweiZahlen
Zahlensind
sindteilerfremd,
teilerfremd,wenn
wennihr
ihreinziger
einzigergemeinsamer
gemeinsamer
Teiler
die
Zahl
1
ist.
Teiler die Zahl 1 ist.
Achtung:
Achtung:“Teilerfremd”
“Teilerfremd”bedeutet
bedeutetnicht,
nicht,dass
dassdie
dieZahlen
Zahlenkeinen
keinen
gemeinsamen
Teiler
haben!
gemeinsamen Teiler haben!
Beispiele:
Beispiele:11
11und
und13,
13,5000
5000und
und333,
333,1999
1999und
und2000
2000 sind
sind
teilerfremd.
teilerfremd.
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Kapitel 2
Größter
Größtergemeinsamer
gemeinsamerTeiler
Teiler
Definition.
Definition.Seien
Seien aa und
und bb ganze
ganzeZahlen,
Zahlen,die
dienicht
nichtbeide
beidegleich
gleich
Null
Nullsind.
sind.Der
Dergrößte
größtegemeinsame
gemeinsameTeiler
Teilervon
von aa und
und bb ist
istdie
die
größte
größteganze
ganzeZahl
Zahlunter
unterden
dengemeinsamen
gemeinsamenTeilern
Teilernvon
von aa und
und b.
b.
Beispiele.
Beispiele.(a)
(a)66ist
istgrößter
größtergemeinsamer
gemeinsamerTeiler
Teilervon
von 12
12 und
und 18,
18,
denn
die
gemeinsamen
Teiler
sind
1,
2,
3,
6;
denn die gemeinsamen Teiler sind 1, 2, 3, 6;
unter
unterdiesen
diesenist
ist 66 ist
istgrößte
größteZahl.
Zahl.
(b)
Zwei
Zahlen
a
und
b
sind
(b) Zwei Zahlen a und b sindteilerfremd,
teilerfremd,
falls
fallsihr
ihrgrößter
größtergemeinsamer
gemeinsamerTeiler
Teilergleich
gleich 11 ist.
ist.
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Kapitel 2
Seite 19
19
Der
Der ggT
ggT
Tatsache/Definition:
Tatsache/Definition:Zu
Zujejezwei
zweiganzen
ganzenZahlen
Zahlen aa und
und b,
b,die
dienicht
nicht
beide
gleich
Null
sind,
existiert
stets
ein
größter
gemeinsamer
beide gleich Null sind, existiert stets ein größter gemeinsamerTeiler;
Teiler;
dieser
dieserist
isteindeutig
eindeutigbestimmt.
bestimmt.Er
Erwird
wirdmit
mit ggT(a,
ggT(a,b)
b) bezeichnet.
bezeichnet.
Beispiele.
Beispiele.(a)
(a)ggT(12,
ggT(12,18)
18)==6.
6.
(b)
ggT(1001,
2001)
=
1.
(Denn:
(b) ggT(1001, 2001) = 1. (Denn:Jeder
Jedergemeinsame
gemeinsameTeiler
Teiler tt von
von
1001
1001 und
und 2001
2001 teilt
teiltauch
auch 2001
2001––1001
1001==1000.
1000.Also
Alsoteilt
teilt tt auch
auch
1001
1001––1000
1000==1.)
1.)
(c)
(c)ggT(–15,
ggT(–15,–21)
–21)==3.
3.
(d)
Für
jede
natürliche
(d) Für jede natürlicheZahl
Zahl aa gilt:
gilt:ggT(a,
ggT(a,0)
0)==a.
a.(Klar:
(Klar:aa ist
istder
der
größte
größteTeiler
Teilervon
von a.
a.Da
Da aa auch
auchdie
dieZahl
Zahl 00 teilt,
teilt,ist
ist aa==ggT(a,
ggT(a,0).)
0).)
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Kapitel 2
Berechnung
Berechnungdes
desggT
ggT
Es
Esgibt
gibtim
imwesentlichen
wesentlichenzwei
zweiArten,
Arten,den
dengrößten
größtengemeinsamen
gemeinsamen
Teiler
Teilerzweier
zweierZahlen
Zahlenauszurechnen.
auszurechnen.
Erste
ErsteArt:
Art:Mit
MitPrimfaktorzerlegung:
Primfaktorzerlegung:
––funktioniert
funktioniertpraktisch
praktischnur
nurfür
fürkleine
kleineZahlen,
Zahlen,
––man
man„sieht“
„sieht“aber
abergut,
gut,dass
dasses
essich
sichbeim
beimErgebnis
Ergebnisum
umden
denggT
ggT
handelt.
handelt.
Zweite
ZweiteArt:
Art:Mit
Miteuklidischem
euklidischemAlgorithmus:
Algorithmus:
––auch
für
große
Zahlen
sehr
auch für große Zahlen sehrgut
gutgeeignet.
geeignet.
––ist
istaber
aberein
einAlgorithmus,
Algorithmus,der
der„mechanisch
„mechanischabgearbeitet“
abgearbeitet“wird.
wird.
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Seite 40
Kapitel 2
Seite 20
20
ggT
ggT mit
mitPrimfaktorzerlegung
Primfaktorzerlegung
Seien
Seien aa und
und bb natürliche
natürlicheZahlen.
Zahlen.Wir
Wirschreiben
schreiben aa und
und bb als
als
Produkte
von
Primzahlen
(vgl.
2.2.4):
Produkte von Primzahlen (vgl. 2.2.4):
e2
e2⋅...⋅p erer, b = p f1f1⋅p f2f2⋅...⋅p frfr
aa==pp1e1e1⋅p
1 ⋅p22 ⋅...⋅pr r , b = p11 ⋅p22 ⋅...⋅pr r
mit
mitnatürlichen
natürlichenZahlen
Zahlen eei i und
und fif.i.(Wir
(Wirerlauben
erlaubenauch
auch eei i==00 und
und fjfj==
0,
0,damit
damitwir
wir aa und
und bb als
alsPotenzen
Potenzender
dergleichen
gleichenPrimzahlen
Primzahlen pp1,,...,
...,
1
ppr schreiben
können.)
r schreiben können.)
Sei
Sei ggi i die
diekleinste
kleinsteder
derZahlen
Zahlen eei i und
und fif.i.
D.h.:
D.h.: gg11 ist
istdie
diekleinste
kleinsteder
derZahlen
Zahlen ee11 und
und f1f1,,gg22 die
diekleinste
kleinsteder
der
Zahlen
Zahlen ee2 und
und f2f ,,...
...Dann
Dannist
ist
2
2
g1
g2
gr
ggT(a,
⋅p22g2⋅...⋅p
⋅...⋅pr rgr..
ggT(a,b)
b)==pp11g1⋅p
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Seite 41
Kapitel 2
Beispiel
Beispiel
Beispiel:
Beispiel:Sei
Sei aa==150
150 und
und bb==45.
45.Dann
Dannist
ist
1 11⋅522 und 45 = 3⋅3⋅5 = 200⋅322⋅511.
150
⋅3 ⋅5 und 45 = 3⋅3⋅5 = 2 ⋅3 ⋅5 .
150==2⋅3⋅5⋅5
2⋅3⋅5⋅5==221⋅3
Somit
Somitist
ist ee11==1,
1,ee22==1,
1,ee33==22 und
und f1f1==0,
0,f2f2==2,
2,f3f3==1.
1.
Es
Esfolgt
folgt gg11==0,
0,gg22==1,
1,gg33==1.
1.Somit
Somitist
ist
0 11⋅511= 15.
ggT(a,
⋅3 ⋅5 = 15.
ggT(a,b)
b)==220⋅3
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Seite 42
Kapitel 2
Seite 21
21
Hilfssatz
Hilfssatzzur
zurBerechnung
Berechnungdes
desggT
ggT
2.5.1
2.5.1Hilfssatz.
Hilfssatz.Seien
Seien aa und
und bb ganze
ganzeZahlen
Zahlenmit
mit 00<<bb<<a.
a.
Seien
q
und
r
diejenigen
ganzen
Zahlen
mit
Seien q und r diejenigen ganzen Zahlen mit
aa==q⋅b
q⋅b++rr und
und 00≤≤rr<<b.
b.
Dann
Danngilt
gilt ggT(a,
ggT(a,b)
b)==ggT(b,
ggT(b,r).
r).
Ist
Istdies
diesein
einguter
guterHilfssatz?
Hilfssatz?Ja,
Ja,denn
denner
erführt
führtdie
dieBerechnung
Berechnungdes
des
ggT
großer
Zahlen
(a,
b)
auf
die
Berechnung
des
ggT
kleinerer
ggT großer Zahlen (a, b) auf die Berechnung des ggT kleinerer
Zahlen
Zahlen(b,
(b,r)r)zurück.
zurück.Eventuell
Eventuellmuss
mussman
manden
denProzess
Prozesswiederholen.
wiederholen.
Beispiel:
Beispiel:ggT(2001,
ggT(2001,1001)
1001)==??
2001
2001==1⋅1001
1⋅1001++1000,
1000,1001
1001==11⋅1000
⋅1000++1;
1;
also
also ggT(2001,
ggT(2001,1001)
1001)==ggT(1001,
ggT(1001,1000)
1000)==ggT(1000,
ggT(1000,1)
1)==1.
1.
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Seite 43
Kapitel 2
Beweis
Beweisdes
desHilfssatzes
Hilfssatzes
Beweis.
Beweis.Wir
Wirzeigen,
zeigen,dass
dassdie
diegemeinsamen
gemeinsamenTeiler
Teilervon
von aa und
und bb
genau
die
gemeinsamen
Teiler
von
b
und
r
sind.
Dann
stimmen
genau die gemeinsamen Teiler von b und r sind. Dann stimmen
natürlich
natürlichauch
auchdie
diegrößten
größtengemeinsamen
gemeinsamenTeiler
Teilerüberein.
überein.
•• Sei
Sei tt ein
eingemeinsamer
gemeinsamerTeiler
Teilervon
von aa und
und b.
b.Warum
Warumteilt
teilt tt auch
auch r?
r?
Das
liegt
an
der
Gleichung
a
=
qb
+
r.
Das liegt an der Gleichung a = qb + r.
Da
Da tt die
dieZahl
Zahl bb teilt,
teilt,teilt
teilt tt auch
auch qb.
qb.Also
Alsoteilt
teilt tt auch
auch aa––qb
qb==r.r.
•• Nun
Nunsei
seiumgekehrt
umgekehrt tt ein
eingemeinsamer
gemeinsamerTeiler
Teilervon
von bb und
und r.r.Zu
Zu
zeigen:
zeigen:tt teilt
teiltauch
auch aa und
und b.
b.
Da
Da tt sowohl
sowohl bb als
alsauch
auch rr teilt,
teilt,teilt
teilt tt auch
auch qb,
qb,und
unddamit
damitauch
auch
qb
+
r
=
a.
Somit
ist
t
ein
gemeinsamer
Teiler
von
a
und
b.
qb + r = a. Somit ist t ein gemeinsamer Teiler von a und b.
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Kapitel 2
Seite 22
22
Beispiel
Beispiel
ggT(4711,
ggT(4711,1024)
1024)==??
4711
4711==44⋅1024
⋅1024++615
615
ggT(4711,
ggT(4711,1024)
1024)==ggT(1024,
ggT(1024,615)
615)
1024
1024==11⋅ ⋅615
615++409
409
...
...==ggT(1024,
ggT(1024,615)
615)==ggT(615,
ggT(615,409)
409)
615
615==11⋅ ⋅409
409++206
206
...
...ggT(615,
ggT(615,409)
409)==ggT(409,
ggT(409,206)
206)
409
409==11⋅ ⋅206
206++203
203
...
...ggT(409,
ggT(409,206)
206)==ggT(206,
ggT(206,203)
203)
206
206==11⋅ ⋅203
203++33
...
...ggT(206,
ggT(206,203)
203)==ggT(203,
ggT(203,3)
3)
203
203==67
67⋅ ⋅33++22
...
...ggT(203,
ggT(203,3)
3)==ggT(3,
ggT(3,2)
2)
33==11⋅ ⋅22++11
...
...ggT(3,
ggT(3,2)
2)==ggT(2,
ggT(2,1)
1)==1.
1.
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 45
Kapitel 2
Seite 23
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