Blatt 1 - Institut für Mathematik

Zahlentheorie
MA S420
Aufgabenblatt 1
Frühlingssemester 2015
Aufgabenblatt 1
30 Punkte
Aufgabe 1 (Euklidscher Algorithmus)
Sei a = 1001 und b = 299.
a) Bestimme „von Hand“ den grössten gemeinsamen Teiler ggT(a, b)
(Euklidscher Algorithmus).
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b) Bestimme m, n ∈ Z mit m ⋅ a + n ⋅ b = ggT(a, b) (Euklidscher Algorithmus „rückwärts“).
2
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Aufgabe 2 (lineare Gleichung)
a) Bestimme zu den Gleichungen (I), (II) und (III) je alle (reellen) Lösungen (x, y) ∈ R2 .
b) Bestimme je alle ganzzahligen Lösungen (x, y) ∈ Z2 .
(I) 76 ⋅ x + 323 ⋅ y = 133
(II) 12 ⋅ x + 21 ⋅ y = 1
(III) x/12 + y/21 = 1
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Aufgabe 3 (Lemma von Euklid)
In der Vorlesung wurde das Lemma von Euklid bewiesen: Gilt a∣(b ⋅ c) und ggT(a, b) = 1, so folgt a∣c.
Man beweise nun „auf ähnliche Weise“: Aus ggT(a, b) = 1 und ggT(a, c) = 1 folgt ggT(a, b ⋅ c) = 1.
Aufgabe 4 (ggT dreier Zahlen)
Seien a, b, c ∈ N. Man definiert
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ggT(a, b, c) = max(T(a) ∩ T(b) ∩ T(c)) .
a) Begründe: ggT(a, b, c) = ggT(ggT(a, b), c) = ggT(ggT(a, c), b) = . . . .
Verwende T(a) ∩ T(b) = T(ggT(a, b)).
1
b) Begründe: ggT(a, b, c) ist die kleinste positive Zahl der Form
r⋅a+s⋅b+t⋅c
2
mit r, s, t ∈ Z .
Hinweis: Argumentiere analog zum Fall des ggT von nur zwei Zahlen.
c) Berechne ggT(6460, 4845, 4199) „von Hand“ und bestimme r, s, t ∈ Z mit
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r ⋅ 6460 + s ⋅ 4845 + t ⋅ 4199 = ggT(6460, 4845, 4199) .
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Aufgabe 5 (Anzahl Teiler)
1 hat 1 Teiler, nämlich 1. 2 hat 2 Teiler, nämlich 1 und 2.
Untersuche die Zahlen 3, 4, 5, 6, . . . , ob diese eine gerade oder ungerade Anzahl Teiler haben.
Stelle eine Regel auf und beweise diese.
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Aufgabe 6 (vollkommene Zahlen)
Behauptung: Ist p = 2n − 1 prim, so ist N = 2n−1 ⋅ p vollkommen, d.h. Summe seiner echten Teiler.
Beispiel: p = 22 − 1 = 3 ist prim und 6 = 22−1 ⋅ p ist Summe seiner echten Teiler 1,2,3. Also 1 + 2 + 3 = 6.
Beweise diese Behauptung. (Euklid gab einen Beweis.) Gib zwei weitere vollkommene Zahlen.
Hinweis: Notiere zuerst alle echten Teiler von N , wenn p prim ist.
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UZH Institut für Mathematik, Dr. F. Müller
Abgabe 6. März, 2015, 8:00 Uhr