Statistische Methodenlehre

Vorschau
Statistische Methodenlehre
KE 1 1.3 Merkmale
1.3
Seite: 15
Merkmale
Bei einer statistischen Analyse werden, wie oben gesagt wurde, statistische Einheiten erfasst. Man interessiert sich jedoch meistens nicht für
die Einheit schlechthin (Ausnahme: wenn man die Anzahl von Einheiten,
die zu einer Masse gehören, ermitteln will), sondern für irgendwelche
Eigenschaften der Einheiten. Weiter oben wurde z.B. darauf hingewiesen, dass bei einer Volkszählung Angaben über Alter, Geschlecht,
Religionszugehörigkeit, Beruf, Einkommen usw. der erfassten Personen
erfragt wird.
Eine Eigenschaft einer statistischen Einheit, für
die man sich bei einer statistischen Untersuchung
interessiert, heißt Merkmal.
Für allgemeine Aussagen werden die Merkmale mit großen lateinischen
Buchstaben bezeichnet: X, Y, Z, A, B, . . . . Da die Merkmale an den
statistischen Einheiten erhoben werden, werden letztere auch als
Merkmalsträger bezeichnet.
Beispiel 9:
a) statistische Einheit: Student
Merkmale: Alter, Schulabschluss, Studienfach, Statistiknote
b) statistische Einheit: landwirtschaftlicher Betrieb
Merkmale: Ackernutzfläche, Rinderbestand, Milchproduktion
in einem Monat
Welche Merkmale bei den statistischen Einheiten erfasst werden, hängt
von der jeweiligen Aufgabenstellung ab. Wegen des mitunter erheblichen
Erhebungsaufwands ist es bei statistischen Untersuchungen manchmal
empfehlenswert, möglichst viele Merkmale zu erfassen, auch wenn
zunächst noch nicht sicher ist, ob alle erfassten Merkmale für die
Analyse wirklich benötigt werden.
Beispiel 10:
Soll das Sparverhalten der Bundesbürger untersucht werden, so ist
von vornherein nicht mit Sicherheit zu sagen, ob z.B. das Zinsniveau
das Sparverhalten wesentlich beeinflusst. Man wird also das Merkmal
Zinsniveau“ zunächst miterfassen und erst im Verlauf der statistischen
”
Untersuchung entscheiden, ob es für die weitere Analyse berücksichtigt
werden muss oder nicht.
Merkmal
Merkmalsträger
KE 2 2.3 Zentralwert oder Median
Seite: 35
In vielen Analysen reicht es aus, eine empirische Verteilung mittels mehrerer Charakteristika in Form des sogenannten Box-Plots grafisch darzustellen. In der einfachsten Variante werden die fünf Kennzahlen x̃0,25 ,
x̃0,5 , x̃0,75 , xmin und xmax herangezogen.
Bei einem einfachen Box-Plot werden die Quartile x̃0,25 und
x̃0,75 durch eine Box dargestellt, in deren Inneren der Median als Punkt oder als Linie dargestellt ist. Die Extremwerte
xmin und xmax werden mit der Box durch Striche ( whisker“)
”
verbunden.
Folgende Grafik zeigt eine Variante des einfachen Box-Plots, bei der nicht
die Extremwerte mit der Box verbunden sind sondern der größte und der
kleinste normale“ Wert, der noch nicht als Ausreißer angesehen wird.
”
Ausreißer werden hierbei mittels eines Kreises dargestellt. Als Ausreißer
gelten Werte, die weiter als 1,5 Boxlängen unterhalb bzw. oberhalb der
Box liegen. Zugrundegelegt wurden die Arbeitslosenzahlen aus 33 Agenturen für Arbeit in NRW im Februar 2008.
Abbildung 11: Arbeitslosenzahlen nach Altersklassen sortiert, Box-Plot erstellt mit SPSS 15.0
Box-Plot
Seite: 14
1
HÄUFIGKEITSVERTEILUNGEN ZWEIER MERKMALE KE 3
In den Wirtschaftswissenschaften und den anderen Anwendungsgebieten
der Statistik (z.B. der Medizin oder Biologie) lassen sich Zusammenhänge nicht immer eindeutig durch eine Funktion beschreiben. Das
wollen wir uns an dem folgenden Beispiel klarmachen.
Beispiel 4:
Bei 40 Personen wurden die Körpergrößen x(in cm) und Körpergewicht
y(in kg) gemessen. Für jede Person erhält man dann ein Paar von Messergebnissen (xi , yi ). xi gibt die Körpergröße und yi das Körpergewicht
der Person Nummer i an. Die Messergebnisse sind in der folgenden
Tabelle enthalten.
Größe
xi in cm
150
150
150
150
152
153
155
155
157
160
Gewicht
yi in kg
48
51
55
58
63
57
50
63
70
58
xi
160
160
160
165
165
165
166
167
170
170
yi
63
68
75
55
62
73
79
65
60
75
xi
170
170
172
175
175
175
176
176
178
180
yi
80
85
68
64
68
84
73
77
93
65
xi
180
180
181
185
186
186
186
189
189
189
yi
75
85
89
80
74
85
90
77
85
96
Diese Wertepaare kann man in einem (x, y)-Koordinatensystem grafisch
1
als Punkte darstellen, so wie im folgenden Bild.
3abb1.nb
Gewicht in kg
y
100
90
80
≈
70
≈
60
50
150
160
170
180
190
Größe in cm
Abbildung 1: Grafische Darstellung
x
KE 3 1.1 Das gemeinsame Auftreten von Merkmalen
Abbildung 1 macht deutlich, dass zwischen Körpergröße und
Körpergewicht der untersuchten Personen kein eindeutiger Zusammenhang besteht. Man kann die beiden Merkmale nicht über eine
einfache Funktion zueinander in Beziehung setzen. Andererseits ist aus
der Zeichnung zu erkennen, dass größere Leute im Schnitt auch schwerer
sind. Körpergröße und Körpergewicht hängen offensichtlich voneinander
ab, wobei diese Beziehung aber nur tendenziell gilt. Bei großen Personen
wird man im Durchschnitt ein höheres Gewicht registrieren als bei
kleineren. Im Einzelfall muss diese Aussage nicht zutreffen, wie ein
Vergleich der beiden in Abbildung 1 besonders kenntlich gemachten
Punkte zeigt. Im einen Punkt hat man eine Person, die 180 cm groß
und 65 kg schwer ist und im anderen Fall eine, die nur 160 cm groß,
aber 75 kg schwer.
Das Beispiel zeigt deutlich das wichtigste Problem bei der Betrachtung
des gemeinsamen Auftretens mehrerer Merkmale. Zwischen den Ausprägungen der Merkmale besteht ein tendenzieller Zusammenhang. Dieser lässt sich aber für die Beobachtungswerte nicht auf eine eindeutige
Form bringen. Deshalb untersucht man vor allem zwei Fragen:
• Wie ausgeprägt ist ein Zusammenhang? Tritt er sehr deutlich hervor, ist er nur schwach oder ist gar kein Zusammenhang vorhanden?
• Von welchem Typ ist ein Zusammenhang oder die durchschnittliche
Tendenz eines Zusammenhangs? Ist er linear oder quadratisch oder
von einer anderen Form?
Seite: 15
KE 3 1.3 Grafische Darstellung zweidimensionaler Verteilungen
1.3
Seite: 21
Grafische Darstellung zweidimensionaler
Verteilungen
Ein wichtiger Gesichtspunkt, der bei der grafischen Darstellung zweidimensionaler Verteilungen zu beachten ist, ist die Übersichtlichkeit. Inwieweit die Übersichtlichkeit gewährleistet werden kann, hängt nicht nur
von der Darstellungsform sondern auch von der Struktur des Datensatzes
ab. Desweiteren wird die Wahl der Darstellungsform von der zugrundeliegenden Zielsetzung bestimmt.
Im folgenden sind für das Beispiel 6 und die Aufgabe 2 zwei verschiedene
Darstellungsformen gewählt. Eine dreidimensionale Grafik und ein zweidimensionales Säulendiagramm, bei dem die Säulen nach dem zweiten1
3abb3neu.nb
Merkmal unterteilt sind.
I
Anlageart
I A V
A
V
14
8
4
M
12
Geschlecht
6
14
10
8
8
6
6
F
4
2
12
10
4
2
2
0
F
M
Geschlecht
I
1
Mathematiknote
1 2 3 4
5
10
8
6
4
A
Anlageart
2
3
1
V
4
5
5
4
24
Mathematiknote
3abb3neu.nb
24
20
20
3
16
16
12
12
8
8
2
2
4
4
1
0
2 1
4 3
5 Englischnote
1
2
3
4
Englischnote
5
Abbildung 3: Häufigkeitsverteilungen der Daten aus Beispiel
6 und Aufgabe 2.
KE 3 4.2 Lineare Kleinste-Quadrate-Regression
4.2
Lineare Kleinste-Quadrate-Regression
Aufgabe der Regressionsrechnung ist es, die Tendenz des Zusammenhangs zwischen quantitativen Merkmalen durch eine einzige Funktionsgleichung
ŷ = f (x)
zu beschreiben. Da y in Abhängigkeit von x beschrieben wird, spricht
man auch von y-x-Regressionsfunktion.
Das ŷ wird bei Regressionsfunktionen aus folgendem Grund verwendet:
Regressionsfunktionen beschreiben im allgemeinen nicht einen eindeutigen Zusammenhang, sondern nur die durchschnittliche Tendenz eines
statistischen Zusammenhangs zwischen Merkmalen. Die einzelnen Paare
von Beobachtungswerten (xj , yj ) werden im allgemeinen nicht auf der
Regressionsfunktion liegen, sondern um die Funktion herum streuen.
Es wird also nicht ein Zusammenhang zwischen den Ausprägungen x
des Merkmals X und den genauen Werten des Merkmals beschrieben,
sondern ein Zusammenhang zwischen den Ausprägungen des Merkmals
X und den zugehörigen durchschnittlichen Werten des Merkmals Y . Zu
einem gegebenen x-Wert lässt sich über die Regressionsfunktion nicht
eindeutig ein y-Wert bestimmen, sondern nur der Durchschnittswert y
des Merkmals Y zu diesem x-Wert.
Bei der Bestimmung einer Regressionsfunktion geht man folgendermaßen
vor:
Der Typ der Regressionsfunktion wird vorgegeben. Man legt fest, ob der
Zusammenhang zwischen den quantitativen Merkmalen durch eine
Gerade:
Parabel:
Potenzfunktion:
Exponentialfunktion:
ŷ
ŷ
ŷ
ŷ
= a + bx
= a + bx + cx2
= axb
= abx
oder einen anderen Funktionstyp beschrieben werden soll. Mit der Vorgabe eines Funktionstyps ist das Problem der Bestimmung einer Regressionsfunktion aber noch nicht gelöst. Aus den unendlich vielen Geraden
(oder Parabeln oder Exponentialfunktionen oder Funktionen eines anderen Typs) ist diejenige herauszusuchen, die den Zusammenhang möglichst
gut beschreibt.
Seite: 45
Seite: 46
4
Kriterium der
Kleinsten
Quadrate
REGRESSIONSRECHNUNG KE 3
Die Koeffizienten der Regressionsfunktion werden so bestimmt, dass die Summe der quadrierten Abweichungen
der Beobachtungswerte y, von den Regressionsfunktionswerten f (xi ) ein Minimum wird (Kriterium der KleinstenQuadrate).
Für den Fall einer linearen y-x-Regressionsfunktion besagt das Kriterium
der Kleinsten-Quadrate, dass die Koeffizienten a und b der linearen y-xRegressionsfunktion ŷ = a + bx so zu bestimmen sind, dass die Summe
der Quadrate der Abweichungen ui = yi − ŷi der y-Koordinaten yi der
beobachteten Wertepaare (xi ; yi ) von den durch die Regressionsfunktion
bestimmten Koordinaten ŷi = a + bxi , ein Minimum wird. Wenn insgesamt n Wertepaare vorliegen, bestimmt man also a und b so, dass die
Funktion
f (a, b) =
n
X
i=1
3abb6.nb
2
(yi − ŷi ) =
n
X
(yi − a − bxi )2
i=1
ein Minimum wird. Abbildung 6 verdeutlicht den Zusammenhang.
y
`
Hxi ,yi =a+bxi )
`
`
ui =yi-yi
Hxi ,yi L
a
x
Abbildung 6: Streuungsdiagramm mit Regressionsgerade
1
KE 3 5.2 Korrelationskoeffizient eines linearen Zusammenhangs
5.2
Seite: 61
Korrelationskoeffizient eines linearen Zusammenhangs
Wir haben in Abschnitt 1.6 die Kovarianz als Parameter für die gemeinsame Streuung zweier Merkmale eingeführt.
Dividiert man die Kovarianz Cov(XY ) durch das Produkt der Standardabweichungen (s̃x bzw. s̃y ) der Randverteilungen der beiden
Merkmale, so erhält man den Korrelationskoeffizienten, der nach
dem englischen Statistiker Pearson benannt wurde. Der Pearsonsche Korrelationskoeffizient
Pn
(xi − x)(yi − y)
Cov(X, Y )
r =
= pPn i=1
Pn
2
2
s̃x · s̃y
i=1 (yi − y)
i=1 (xi − x)
Pn
xi yi − nx y
= p Pn 2 i=1 2 Pn 2
( i=1 xi − nx )( i=1 yi − ny 2 )
ist ein Maß für den Grad des linearen Zusammenhangs zweier quantitativer Merkmale.
Beispiel 20:
Für die Häufigkeitsverteilung in Beispiel 10, wurde als Kovarianz
COV(X, Y ) = −0, 08 errechnet. Bei Vorliegen einer zweidimensionalen
Häufigkeitsverteilung erfolgt die Berechnung der einzelnen Standardabweichungen für X und Y über die entsprechende Randverteilung.
r
p
1
(4 · 15 + 0 · 20 + 4 · 15) = 2, 4 = 1, 55
s̃x =
50
und
r
s̃y =
p
1
(1 · 15 + 0 · 25 + 1 · 5 + 4 · 5) = 0, 8 = 0, 89.
50
Für den Pearsonschen Korrelationskoeffizienten ergibt sich damit
r=
−0, 08
= −0, 05799.
1, 55 · 0, 89
Pearsonscher
Korrelationskoeffizient
Seite: 62
5
KORRELATIONSRECHNUNG KE 3
Der Pearsonsche Korrelationskoeffizient kann Werte im Bereich von −1 bis +1 annehmen, d.h. es gilt:
−1 ≤ r ≤ 1.
Liegt überhaupt kein linearer Zusammenhang vor, so gilt
r = 0.
Liegen alle Beobachtungswerte auf einer steigenden Geraden,
so gilt
r = 1.
Liegen alle Wertepaare auf einer fallenden Geraden, so gilt:
r = −1.
3abb12.nb
Je enger sich die Beobachtungswerte um eine Gerade scharen, desto näher
kommt der Wert des Korrelationkoeffizienten +1 oder -1.
Abbildung 12 verdeutlicht das.
1
y
r=1
y
r = -1
x
y
x
y
rª1
x
y
rª0
r ª -1
x
Abbildung 12: Streuungsdiagramm mit unterschiedlichen Korrelationskoeffizienten
x
Seite: 34
3
3.4
DIE WAHRSCHEINLICHKEIT KE 6
Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit
Die in diesem Abschnitt behandelte statistische Definition der Wahrscheinlichkeit beruht auf einem Zusammenhang zwischen relativen
Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten.
Wir betrachten ein Zufallsexperiment, das wir unter völlig gleichen
Bedingungen beliebig oft durchführen können. Wir führen dieses Zufallsexperiment nacheinander n-mal durch und registrieren nach jeder
Durchführung die relative Häufigkeit für das Auftreten des Ereignisses
A. Wenn wir diese relativen Häufigkeiten näher betrachten, werden
wir folgendes feststellen: Bei den ersten Versuchen schwanken die
berechneten relativen Häufigkeiten für das Auftreten des Ereignisses A
sehr stark. Je größer die Anzahl der Versuche des Zufallsexperimentes
ist, desto enger schwanken die relativen Häufigkeiten um einen festen
Wert. Dazu betrachten wir folgendes Beispiel.
Beispiel 20:
Ein Würfel wurde 200-mal hintereinander geworfen Nach jedem
Durchgang wurde die relative Häufigkeit für das Ereignis A= Auftreten
”
der Augenzahl 6“ registriert. Für jeden Durchgang ist die Anzahl n der
Würfe (x-Achse) und die zugehörige relative Häufigkeit fn (A) (y-Achse)
in Bild
3 grafisch dargestellt. Dieser Vorgang wurde 9 mal wiederholt.
Frequenz.nb
1
0.75
0.5
0.25
0
-0.25
-0.5
0
50
100
150
200
Abbildung 3: Relative Häufigkeit für das Auftreten von
Augenzahl 6“ in Abhängigkeit der Anzahl
”
der Würfelwürfe
1
KE 6 3.4 Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit
Seite: 35
In Beispiel 20 schwanken die relativen Häufigkeiten immer weniger um
den Wert 16 . Je häufiger man das Zufallsexperiment durchführt, desto
besser stabilisieren sich die relativen Häufigkeiten. Offensichtlich streben
die relativen Häufigkeiten einem Grenzwert“ zu. Dieser Grenzwert ist
”
die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A. Diese Eigenschaft der relativen
Häufigkeit führt uns zu der statistischen Definition der Wahrscheinlichkeit.
Nach der statistischen Definition ist die Wahrscheinlichkeit
für das Auftreten des Ereignisses A gleich dem Grenzwert
der relativen Häufigkeiten, den man erhält, wenn man das
Zufallsexperiment unendlich oft durchführt:
statistische
Definition der
Wahrscheinlichkeit
P (A) = lim fn (A).
n→∞
Da es uns in der Wirklichkeit nicht möglich ist, ein Zufallsexperiment
unendlich oft durchzuführen, ist es natürlich ebenso unmöglich, auf die
angegebene Art eine Wahrscheinlichkeit zu bestimmen. Die Bedeutung
der statistischen Definition der Wahrscheinlichkeit ergibt sich für
uns daraus, dass wir über die Berechnung von relativen Häufigkeiten
zumindest eine Annäherung an die dem Zufallsexperiment zugrunde
liegenden Wahrscheinlichkeiten bekommen.
Bei zahlreichen Fragestellungen der angewandten Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, bei denen es unmöglich ist, auf andere Art
Wahrscheinlichkeiten zu ermitteln, verwendet man die beobachteten
relativen Häufigkeiten als Näherungen oder Schätzungen für die (unbekannten) Wahrscheinlichkeiten.
Die statistische Definition der Wahrscheinlichkeit verschafft uns den
leichtesten Zugang zum Wahrscheinlichkeitsbegriff und stellt außerdem
für zahlreiche praktische Fragestellungen, wie bereits erwähnt, die einzige
Möglichkeit zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten dar. Man spricht
dann manchmal auch von sogenannten empirischen Wahrscheinlichkeiten.
empirische
Wahrscheinlichkeit
Seite: 32
6
6
6.1
NORMALVERTEILUNG KE 8
Normalverteilung
Definition der Normalverteilung
Die Normalverteilung ist die wichtigste stetige Verteilung. Sie spielt
bei nahezu allen Anwendungen der Statistik eine große Rolle.
Normalverteilung
Dichtefunktion
Die Dichtefunktion der Normalverteilung lautet:
1
(x − µ)2
fX (x) = √ exp −
2σ 2
σ 2π
Die Verteilungsfunktion der Normalverteilung ist nicht
mehr mit Hilfe elementarer Funktionen darstellbar. Die Parameter der Normalverteilung lauten:
Erwartungswert
und Varianz
E(X) = µ
und
Var(X) = σ 2 .
Eine normalverteilte Zufallsvariable X wird als N (µ, σ 2 )verteilt bezeichnet. Die Schreibweise lautet X ∼ N (µ, σ 2 ).
Erwartungswert und Varianz bzw. Standardabweichung der Normalverteilung lassen sich also unmittelbar aus der Dichtefunktion ablesen.
Aus der Dichtefunktion ergibt sich, dass die Normalverteilung in einem
konkreten Fall durch die Angabe von µ und σ 2 jeweils spezifiziert werden
muss. Es gibt also nicht nur eine Normalverteilung, sondern eine ganze
Klasse von Normalverteilungen. Die Dichtefunktion der Normalverteilung hat folgende typische Gestalt:
8abb7.nb
fHxL
m-s
m
m+s
Abbildung 6: Dichtefunktion der Normalverteilung
x
1
KE 8 6.1 Definition der Normalverteilung
Seite: 33
Die Dichtefunktion ist symmetrisch und hat ihren Gipfel bei x = µ. An
den Stellen x = µ − σ und x = µ + σ befinden sich Wendepunkte. In der
Abbildung
7 sind Normalverteilungen für verschiedene Werte von µ und 1
8abb813.nb
σ 2 dargestellt.
Dichtefunktion
fHxL
Dichtefunktion
NH0,1L
fHxL
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
-3 -2 -1 0
1
2
3
-3 -2 -1 0
4 x
Dichtefunktion
fHxL
fHxL
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
1
2
3
fHxL
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
1
2
3
4 x
1
2
3
4 x
3
4 x
Dichtefunktion
NH0,3L
-3 -2 -1 0
2
NH1,2L
-3 -2 -1 0
4 x
Dichtefunktion
fHxL
1
Dichtefunktion
NH0,2L
-3 -2 -1 0
NH1,1L
3
4 x
NH1,3L
-3 -2 -1 0
1
2
Abbildung 7: Verschiedene Normalverteilungen
Die Normalverteilung mit dem Erwartungswert 0 und der Varianz 1, also N (0, 1), heißt Standardnormalverteilung.
Will man die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass ein normalverteiltes Merkmal X zwischen x1 und x2 liegt, d.h., sucht man P (x1 ≤
X ≤ x2 ), so müsste man dazu das folgende Integral ausrechnen:
Standardnormalverteilung
Seite: 12
2
2
SCHÄTZFUNKTIONEN UND PUNKTSCHÄTZUNG KE 10
Schätzfunktionen und Punktschätzung
2.1
Schätzfunktionen
Die Ausführungen dieses Abschnitts knüpfen unmittelbar an Kurseinheit 9, insbesondere die Abschnitte 4 und 5 an. Dabei beschäftigen
wir uns hier zunächst mit Punktschätzungen, die auf den folgenden
Grundgedanken aufbauen:
Es soll ein unbekannter Parameter (z.B. µ, Θ oder σ 2 oder ein anderer) der Grundgesamtheit geschätzt werden. Diesen unbekannten Parameter bezeichnen wir allgemein mit q. Für die Schätzung wird der
Grundgesamtheit eine Zufallsstichprobe entnommen. Ihre Elemente werden als Realisationen der Zufallsvariablen X1 , X2 , ..., Xn aufgefasst.
Aus den Stichprobenwerten muss nun ein geeigneter Schätzwert q̂ für
den unbekannten Parameter q berechnet werden. Zur Ermittlung eines
Schätzwertes q̂ für den Parameter q dient die Stichprobenfunktion
Q̂n = Q̂n (X1 , ..., Xn ),
die vom Umfang und den Elementen der Stichprobe abhängt.
Schätzfunktion
Schätzwert
Punktschätzung
Eine für Schätzungen verwendete Stichprobenfunktion heißt
auch Schätzfunktion.
Der sich für bestimmte Stichprobenwerte x1 , x2 , ..., xn ergebende Wert
q̂ der Schätzfunktion heißt Schätzwert oder Punktschätzung. Als
Schätzfunktion verwendet man in vielen Fällen den Stichprobenparameter, der dem zu schätzenden Parameter der Grundgesamtheit entspricht,
wie die folgenden Beispiele zeigen.
Beispiel 1:
a) Die Schätzfunktion
n
1X
X=
Xi
n i=1
liefert einen Schätzwert µ̂ für den Mittelwert (Parameter µ) der
Grundgesamtheit bzw. für den Erwartungswert E(Xi ) der Zufallsvariablen Xi .
KE 10 2.1 Schätzfunktionen
Seite: 13
b) Die Schätzfunktion
(
0
mit Xi =
1
n
1X
X
=
P =
Xi
n
n i=1
für A tritt ein“
”
für A tritt ein“
”
liefert einen Schätzwert Θ̂ für den Anteilswert Θ der Grundgesamtheit bzw. für die unbekannte Wahrscheinlichkeit Θ für das Auftreten
des interessierenden Ereignisses A.
Der aus den Stichprobenwerten x1 , x2 , ..., xn berechnete Wert der
Schätzfunktion ist der Schätzwert für den unbekannten, wahren Wert
des Parameters der Grundgesamtheit.
···
Eine Schätzfunktion Q̂ für einen Parameter q ist eine Zufallsvariable, die bei einem Merkmal durch eine Dichtefunktion fQ̂ (q̂) beschrieben werden kann. In Abbildung 2 sind die Dichtefunktionen von drei
Schätzfunktionen für denselben Parameter q eingezeichnet.
10abb1.nb
1
`
fQ` i HqiL
fQ` 2
fQ` 3
fQ` 1
`
EHQiLi=1,2
`
EHQ3L
Abbildung 1: Dichtefunktion drei verschiedener Schätzfunktionen
für denselben Parameter q
`
qi
KE 12 4.2 Der Vorzeichentest
4.2
Seite: 53
Der Vorzeichentest
Es wird von zwei beliebig verteilten Grundgesamtheiten ausgegangen, und es soll die Hypothese geprüft werden, ob beide Grundgesamtheiten die gleiche Verteilung haben. Aus beiden Grundgesamtheiten werden Stichproben vom Umfang n gezogen (X1 , ..., Xn und
Y1 , ..., Yn ), wobei man die einzelnen Stichprobenwerte als Paare (Xi , Yi )
erhält. Die Zufallsvariable Zi definiert man als
Zi = Xi − Yi
und es sei
Di =


1
falls Zi > 0


0
falls Zi < 0
i = 1, ..., n
Ist Zi = Xi − Yi = 0, so lässt man das entsprechende Wertepaar
unberücksichtigt und reduziert entsprechend n.
Ist die Nullhypothese, dass beide Grundgesamtheiten die gleiche
Verteilung besitzen, richtig, dann muss die Anzahl der positiven Differenzen genau so groß sein wie die der negativen Differenzen. Die Summe
Dn =
n
X
Di
i=1
ist also B(n; 0, 5)-verteilt und wird als Prüfgröße des Vorzeichentests
verwendet. Dn entspricht der Anzahl der positiven Differenzen.
Die zu einem gegebenen Signifikanzniveau α gehörenden Annahmebereichsgrenzen cu und co können dann mittels der Binomialverteilung
bestimmt werden, indem man die Werte x bestimmt, bei der die
Verteilungsfunktion FX (x) den Wert α2 bzw. 1 − α2 annimmt. Da die
Binomialverteilung eine diskrete Verteilung ist, wird man dabei meistens
auf benachbarte Werte zurückgreifen müssen, die einem kleineren
Signifikanzniveau entsprechen.
Testgröße Dn
Seite: 54
4
VERTEILUNGSFREIE TESTVERFAHREN KE 12
Beispiel 16:
Die Untersuchung des Weizenertrages bei der Verwendung zweier unterschiedlicher Düngemittel A und B unter sonst gleichen Bedingungen
hat folgendes Ergebnis geliefert (die Düngemittel wurden jeweils auf
benachbarten Flächenstücken angewendet, die fortlaufend nummeriert
worden sind):
Fläche
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
Düngemittel A
46 58 50 50 52 46 46 58 55 45
Düngemittel B
48 49 49 48 45 47 42 56 56 50
Differenz
-2
Fläche
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Düngemittel A
48 60 52 40 44 50 50 56 44 60
Düngemittel B
40 55 49 38 47 45 49 54 42 50
Differenz
8
9
5
1
3
2
2
7
-3
-1
5
4
1
2
-1
2
-5
2 10
Es ist zu testen, ob die Düngemittel signifikant unterschiedliche Ergebnisse liefern.
Die Nullhypothese lautet:
Beide Düngemittel liefern den gleichen Durchschnittsertrag. Für die Anzahl Dn der positiven Vorzeichen, die Testgröße, erhalten wir die Ausprägung
dn = 15.
Dn ist B(20; 0, 5)-verteilt. Bei einem Signifikanzniveau von 0,05 erhalten
wir als Annahmegrenzen
cu = 6
und
co = 14.
Da dn = 15 > 14 = co ist, wird die Nullhypothese abgelehnt.
Seite: 14
3
3
Phasen des
Forschungsprozesses
DER FORSCHUNGSPROZESS KE 13
Der Forschungsprozeß
Im Rahmen des quantifizierenden Paradigmas lassen sich Phasen des Forschungsprozesses unterscheiden, die möglicherweise mehrmals durchlaufen werden. Ein grafisches Schema ist Abb. 1 zu entnehmen (vgl. Schnell
et al. 1999, S. 8, Bortz, 1999, S. 3). Nach Bortz (1999, S. 3 ff) werden
die Stadien
1. Erkundungsphase,
2. Theoretische Phase
3. Planungsphase
4. Untersuchungsphase
5. Auswertungsphase
6. Entscheidungsphase
unterschieden.
3.1
Exploration
In der Erkundungsphase muss das Problemfeld exploriert werden (Literaturrecherche, Kontakt zu einschlägigen Forschern und Praktikern bzw.
den entsprechenden Institutionen oder Firmen). Dabei soll die eigene
Studie in einen theoretischen Kontext eingeordnet werden. Je nach Gegenstand gibt es elaborierte Theorien oder man betritt wissenschaftliches
Neuland. Aus Theorien können dann Folgerungen und Hypothesen abgeleitet werden. In der explorativen Phase ist ein besonders starkes Wechselspiel zwischen Theorie und Empirie zu beobachten, das die größte Nähe
zu den qualitativen Methoden aufweist. Auch sind hier erste Voruntersuchungen (explorative Studien) einzuordnen.
3.2
theoretische
Struktur
Erkundungsphase
Theoretische Phase
Empirische Überprüfungen einer Theorie sind nur sinnvoll, wenn zumindest ihre theoretische Struktur bestimmte Gütekriterien erfüllt. Man
muss prüfen, ob
1. die Theorie präzise formuliert ist,
2. ob sie einen Informationsgehalt besitzt,
KE 13 3.2 Theoretische Phase
Abbildung 1: Phasen der empirischen Forschung (Bortz, 1999)
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3
DER FORSCHUNGSPROZESS KE 13
3. logisch konsistent ist,
4. mit anderen Theorien vereinbar
5. und empirisch überhaupt überprüfbar ist.
Erläuterungen zu den einzelnen Punkten:
Indikatoren
Operationalisierung
Likert-Skala
Falsifikatoren
Konditionalsatz
1. Grundlegend ist die möglichst präzise Definition der Begriffe, die
in einer Theorie vorkommen (Konzeptspezifikation, Operationalisierung). Beispielsweise ist der Begriff ethnische Identität zunächst
unklar, da zuerst die Teilbegriffe Ethnisch und Identität definiert
und abgegrenzt werden müssen. Damit in Zusammenhang steht die
Frage, ob es beobachtbare Sachverhalte (Indikatoren) gibt, die mit
den theoretischen Begriffen möglichst übereinstimmen. Die Frage,
wie den Begriffen die Indikatoren zugeordet werden, wird unter dem
Titel Operationalisierung geklärt. Dies beinhaltet Anweisungen,
wie Messungen vorgenommen werden sollen. Etwa wird Intelligenz
durch Ausfüllen eines Intelligenz-Tests und einer bestimmten Aggregationsmethode der Teilaufgaben (items) operationalisiert. Meistens ist dies die Summe (der Rohwerte; Likert-Skala) und darauf
folgende Standardisierungen.
2. Der Informationsgehalt (empirische Gehalt) der Aussagen einer
Theorie bezieht sich auf ihre Falsifikatoren. Betrachtet man sogenannte Konditionalsätze (wenn-dann-Satz oder je-desto-Satz), so
steigt der Informationsgehalt mit der Zahl der Ereignisse, die mit
dem dann (bzw. desto)-Teil in Widerspruch stehen. Beispielsweise
ist für den Satz
A: Wenn der Blutalkoholspiegel 0.5 Promille übersteigt, sinkt die
Reaktionsfähigkeit
der Nachweis einer verbesserten Reaktionsfähigkeit ein Falsifikator.
Dagegen sind Sätze wie
B: Wenn der Hahn kräht auf dem Mist, ändert sich das Wetter
oder es bleibt wie es ist
nicht falsifizierbar, da der Dann-Teil immer wahr ist. Auch verringern vage, unpräzise Begriffe den Informationsgehalt eines Satzes,
etwa kann die Reaktionsfähigkeit durch präzise Reaktionszeitmessungen oder lediglich durch Beobachtung ermittelt werden. Im ersteren Fall gibt es mehr Ereignisse, die dem Satz widersprechen.
KE 13 3.2 Theoretische Phase
3. Theoretische Aussagen sollten keine Tautologien oder Kontradiktionen sein, die immer wahr oder falsch sind. Etwa ist Satz B
tautologisch, da er immer wahr ist (und daher auch nicht empirisch überprüft werden muss). Versteckte Tautologien stecken in
Kann-Sätzen, etwa
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Tautologien,
Kontradiktionen
C: Rauchen kann Krebs verursachen.
In diesem Fall ist sowohl das Auftreten als auch das Nicht-Auftreten
von Krebs mit der Aussage vereinbar. Überprüfbar wird der Satz
erst durch eine Häufigkeits- oder Wahrscheinlichkeitsaussage, etwa
D: Bei Rauchern ist die Wahrscheinlichkeit für Krebs höher als
bei Nichtrauchern.
Entsprechend müssen die bedingten Häufigkeiten für Krebs in den
Gruppen der Raucher/Nichtraucher ermittelt und getestet werden,
jedoch ist im Einzelfall keine empirische Überprüfung möglich.
4. Liegen mehrere Theorien vor, die sich auf den gleichen Gegenstandsbereich beziehen, so muss untersucht werden, ob logische
Widersprüche zwischen den Theorien bestehen. Sind keine logischen Widersprüche auffindbar, so bedeutet dies nicht, dass die
Theorien wahr sind. Dies kann, wie gesagt, nur durch empirische
Überprüfung herausgefunden werden.
5. Schließlich muss die empirische Überprüfbarkeit (bzw. Falsifizierbarkeit) der Theorie analysiert werden. Es ist möglich, dass eine
Theorie im Prinzip falsifizierbar ist, jedoch beim gegenwärtigen
Stand der Forschung die Begriffe noch nicht genau oder weit
genug meßbar sind. Dann müssen erst geeignete Meßinstrumente
entwickelt werden.
Beispiel 4:
In der physikalischen Forschung sind bestimmte Theorien erst dann
überprüfbar, wenn neue Beschleuniger gebaut werden, die Prozesse
mit hoher Energie zum Nachweis bestimmter Elementarteilchen
erlauben.
Im Allgemeinen kann eine Theorie nicht vollständig überprüft
werden, sondern nur bestimmte Folgerungen und deduzierte
Teilaspekte.
logische
Widersprüche
Verifikation,
Falsifikation