Kapitel 1: Atome

1. Atome
1
Atome ............................................................................................................2
1.1
Kerne........................................................................................................2
1.1.1
Aufbau und Stabilität ........................................................................2
1.1.2 Radioaktivität .......................................................................................3
1.1.3
Kernverschmelzung und Kernspaltung.............................................4
1.1.4
Künstliche radioaktive Elemente ......................................................4
1.2
Entstehung der Elemente .........................................................................7
1.2.1
1.3
Urknall-Modell .................................................................................7
Elektronenhülle........................................................................................8
1.3.1
Elektromagnetische Strahlung ..........................................................8
1.3.2
Quanten .............................................................................................9
1.3.3
Bohr’sches Atommodell ...................................................................9
1.3.4
Röntgenspektren .............................................................................11
1.3.5
Teilchen und Welle .........................................................................12
1.3.6
Quantenmechanik ...........................................................................14
1.4
Index ......................................................................................................19
1
1. Atome
1 Atome
Bausteine
Neutronen, Protonen, Elektronen
Dimensionen
Einheiten: Å (10-10 m), nm (10-9m), pm (10-12 m), fm (10-15 m)
Größenverhältnisse Atom/Kern
Massen, atomare Einheiten
Geschichte
Siehe Chemiebücher z.B. Mortimer Kapitel 1 und 2
1.1 Kerne
1.1.1 Aufbau und Stabilität
Isotope
Kernladung
Anzahl von Protonen und Neutronen
Elementsymbole
Nomenklatur: 12 H etc.
Serielle Ordnung im PSE
Definition: atomare Massenskala, Mol, NA, (NL)
Merke: 1 Mol enthält 6.022 ⋅ 1023 Teilchen
Merke: Eine atomare Masseneinheit = 1 u = 1/12 der Masse eines Atoms
Merke: 1 Mol
12
6C
entspricht 12 g
12
6C
12
6C
Merke: 1 Mol eines Elements mit der Atommasse x u entspricht x g des Elements
Massendefekt
Einstein: E = mc2
Definition: eV, Bezug auf 1 mol : ≈ 96500 J
Merke: 1 eV auf ein Mol bezogen entspricht ca. 100 kJ
Kernbindungsenergie je Nukleon in Abhängigkeit von Massenzahl
Merke: Maximum bei ca. 60 u (Fe)
Durchschnittliche Bindungsenergie je Nukleon ca. 7 MeV
Höhere Stabilität von Kernen mit gerader Anzahl von Protonen, Neutronen oder beiden.
2
1. Atome
1.1.2 Radioaktivität
Radioaktive Elemente
Radioaktiver Zerfall: α, β, γ
Zerfallsreihen
Merke: Vier Zerfallsreihen (Restklassen) wegen Massenzahländerung nur bei α- Zerfall!
Endglieder der Zerfallsreihen: Pb, Bi sind die Elemente mit der höchsten Kernladungszahl Z
für die es noch stabile Isotope gibt.
Zeitgesetz des radioaktiven Zerfalls
Logarithmen, e-Funktion, Potenzrechnen, Integrieren
Halbwertszeit, t1/2 , Zerfallskonstante
40
Altersbestimmung: 146 C , 238
92 U , 19 K
Erde: älteste Gesteine ca. 5 ⋅ 109 a
3
1. Atome
1.1.3 Kernverschmelzung und Kernspaltung
Kernverschmelzung, Wasserstoff Ÿ Helium
239
Kernspaltung: 235
92 U (0.71% in nat. Uran), 94 Pu (aus
238
92 U
im Reaktor)
Massenzahlverteilung der Spaltprodukte
Kettenreaktion
Reaktor (B, Cd: Neutroneneinfang; C(Graphit) : Bremsen von Neutronen)
1.1.4 Künstliche radioaktive Elemente
Darstellung im Reaktor: (n, γ)- Reaktion
Neutronen-Aktivierungs-Analyse
32
35
Radioaktive Markierung: 13 H , 15
P , 16
S
Radiodiagnostika, Radiotherapeutika:
131
53 I
,
99 m
43Tc
4
1. Atome
Isotope für die Markierung
3
1H
Zerfall: 13 H → 23 He + e- + γ
Tritium
t 12 = 12.35 a
Entstehung:
Im Reaktor: 36 Li + 01 n → 24 He +
In der Atmosphäre:
14
7N
+ 01 n
3
1H
→ 126 C
+ 13 H ; Schnelle Neutronen aus Höhenstrahlung
32
15 P
Zerfall:
32
15 P
Darstellung:
32
→ 16
S + e- + γ
31
15 P
+ 01 n →
32
15 P
t 12 = 14.22 d
; Bestrahlung im Reaktor
35
16 S
Zerfall:
35
16 S
35
→ 17
Cl + e- + γ
34
Darstellung: 16
S + 01 n →
t 12 = 87.5 d
35
16 S
im Reaktor
Achtung: Lange Halbwertszeiten bedeuten langsames Abklingen (Faustregel:5 t1/2 ) von
Kontaminationen!
Radiopharmaka
131
53 I
Zerfall:
131
53 I
→
131
54 Xe
+ e- + γ
„Radioiod“
t 12 = 8.04 d
Darstellung: Spaltprodukt aus Reaktor
Verwendung: Diagnostik und Therapie der Schilddrüse. Schilddrüse produziert das Hormon
Thyroxin:
I
I
NH2 OH
H2
C C
O
H
O
I
I
99 m
43Tc
Darstellung und Zerfall:
Darstellung von
99
43Tc
99
42 Mo
99 m
43Tc
m
→ 9943
Tc + e-;
→
1
99
98
42 Mo : 42 Mo + 0 n
99
43Tc + γ
99 m
43Tc :
Angeregter Kern, der Anregung abgibt:
t 12 = 6.02 h („meta-Technetium“)
99
→ 42
Mo im Reaktor
zerfällt weiter unter Bildung von
99
44 Ru
( t 12 = 2.1 ⋅ 105 a )
5
1. Atome
99 m
43Tc
wird wegen seiner intensiven Strahlung und seiner raschen Abklingzeit in der
Radiodiagnostik zur Darstellung von Organen verwendet. Es muss stets frisch bereitet
werden.
Radioaktive Kerne
Altersbestimmung
14
6C
Zerfall:
14
6C
Entstehung:
„Radiocarbonmethode“
→ 147 N + e- + γ
14
7N
t 12 = 5.76 ⋅ 103 a
+ 01 n → 11 H +
Wegen des sehr kleinen Anteils
14
6 C ; Neutronen
an 146 C sind für
aus Höhenstrahlung
1g Kohlenstoff in lebenden Organismen nur
16 Zerfälle je Minute zu beobachten.
40
19 K
Zerfall:
40
19 K
„Kalium/Argon-Methode“
t 12 = 1.3 ⋅ 109 a
40
→ 18
Ar
Natürliches Kalium enthält 0.0117%
40
19 K
. Die Umwandlung von Kalium in Argon erfolgt
unter „K-Einfang“; dabei wird ein Elektron aus der K-Schale in den Kern übernommen; die
entstandene Elektronenlücke in der K-Schale wird unter Aussendung von Röntgenstrahlen
durch Elektronen aus höheren Schalen gefüllt.
238
92 U
Zerfall:
238
92 U
„Uran/Blei-Methode“
ist Anfangsglied der Zerfallsreihe mit Elementen der Massenzahl 4n+2. Das
Endglied dieser Reihe ist
206
82 Pb
. Da alle Produkte dieser Zerfallsreihe schneller zerfallen als
238
92 U , ist die Halbwertszeit von
206
82 Pb maßgebend.
238
92 U
238
92 U
für das Verhältnis zwischen
238
92 U
und
t 12 = 4.5 ⋅ 109 a
6
1. Atome
Daten zum Universum
Alter
Erde : 3.7 ⋅ 109 a; Granit aus Grönland
Mond: 4 ⋅ 109 a; Mondgestein
Meteoriten: 4.6 ⋅ 109 a
Universum: Schätzwerte von 1012 bis 1014 a
Dimensionen
Radius der Erde: 6370 km
Masse der Erde: 5.973 ⋅ 1021 t
Radius der Sonne: 6964 ⋅ 105 km
Massenschwund der Sonne: 4.14 ⋅ 106 t s-1
Radius des Weltalls: ≈ 1023 km
Masse des Weltalls: ≈ 1050 t
Erdoberfläche: Durchschnitt 14.3 °C
Erdkern: ≈ 20000 °C
Sonnenoberfläche: ≈ 5500 °C
Sonnenkern: ≈ 15 ⋅ 106 °C
Temperatur
Masse der Sonne: 1.989 ⋅ 1027
1.2 Entstehung der Elemente
1.2.1 Urknall-Modell
Sterne der Hauptserie z.B. Sonne: Verschmelzung von Wasserstoff
Gravitation und Strahlungsdruck
Roter Riese: Bildung der leichteren Elemente, Verschmelzung von He
Weißer Zwerg
Nova, Supernova: Bildung der schwereren Elemente
7
1. Atome
Alter der Erde: ca. 1010 a; Alter des Universums ca. 1012 – 1014 a.
1.3 Elektronenhülle
1.3.1 Elektromagnetische Strahlung
Wellenlänge λ (nm, Å, etc.)
Frequenz ν (s-1) (1 s-1 = 1 Hz = 1 Hertz)
~
~
Wellenzahl ν (cm-1) (Sprich: ny quer) ν = 1/λ
Intensität: proportional (Amplitude)2
Elektrischer Feldvektor, Magnetischer Feldvektor
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum: c = 2.9979 ⋅ 108 m s-1
Merke: c ≈ 3 ⋅ 1010 cm s-1; c = λ ⋅ ν ;
ν=c/λ
8
1. Atome
1.3.2 Quanten
Max Planck (1900): Wirkung ist gequantelt (Strahlung des schwarzen Körpers).
Wirkungsquantum h = 6.6262 ⋅ 10-34 J s
Einstein (1905): Licht-Teilchen = Lichtquanten
Planck/Einstein: E = h ⋅ ν, Energie der Lichtquanten
Aus E = h ⋅ ν und ν = c / λ folgt: E = h ⋅ c ⋅ 1/λ, d.h. Wellenzahl ist der Energie proportional
Merke: 8000 cm-1 ≈ 100 kJ mol-1 ≈ 1 eV
Sichtbares Licht:
ca. 400 – 800 nm ≡ 25000 – 12500 cm-1 ≡ ca. 300 – 150 kJ mol-1 ≡ ca. 3 – 1.5 eV
1.3.3 Bohr’sches Atommodell
Spektral-Linien
Spektralanalyse
Linien-Spektrum und Serien des Wasserstoffatoms
Ansatz und Postulate
1. Klassische Elektromechanik
- Elektronen umkreisen den Kern
- Stabile Bahnen erfordern Gleichgewicht zwischen Zentrifugalkraft und
Coulomb’scher Anziehungskraft
Merke: Coulomb’sches Gesetz: F = f ⋅ q1 ⋅ q2 / r2
F = Kraft, die zwei Ladungen aufeinander ausüben
q1, q2 ≡ Ladungen
Entgegengesetze Ladungen ziehen sich an, gleichnamige stoßen sich ab.
r = Abstand zwischen den Ladungen
f = Konstante, je nach verwendetem Einheitensystem für Ladung, Abstand und Kraft
9
1. Atome
2. Quantenhypothese
a) Der Bahndrehimpuls des den Kern umkreisenden Elektrons = m ⋅ v ⋅ r. hat die gleiche
Dimension wie h und kann daher nur in ganzzahligen Vielfachen von h auftreten. Es wird
postuliert, dass nur solche Bahnen stabil sind, für die der Bahndrehimpuls
n ⋅ h ⋅ 1/2π ist. (m = Masse des Elektrons, v = seine tangentiale Umlaufgeschwindigkeit, r
= sein Abstand vom Kern, n = ganze Zahl, h = Wirkungsquantum, 1/2π
Umrechnungsfaktor)
b) Beim Übergang eines Elektrons von einer stabilen Umlaufbahn in die andere wird eine
Energie umgesetzt, die dem Unterschied der Energien des Systems zwischen dem
Ausgangs- und dem Endzustand entspricht.
Ein Photon kann einen Übergang eines Elektrons von einer Bahn in die andere nur dann
auslösen, wenn seine Energie (entsprechend E = h ⋅ ν) der Energiedifferenz zwischen den
beiden Zuständen genau entspricht.
Wird das Elektron von einer tieferliegenden Bahn in eine höherliegende befördert, so wird
Licht absorbiert. Geht das Elektron von einer höheren Bahn in eine tieferliegende über, so
wird Licht emittiert.
Quantitative Resultate
Stabile Elektronenzustände des Wasserstoffatoms resultieren nur für diskrete Umlaufbahnen.
Die Umlaufbahnen sind durch die Quantenzahlen n - die Hauptquantenzahlen charakterisiert.
Den Hauptquantenzahlen n = 1, 2, 3 entsprechen in einer anderen Terminologie die K-Schale,
die L-Schale und die M-Schale in dieser Reihenfolge.
Für die stabilen Umlaufbahnen beträgt der Bahndrehimpuls n ⋅ h/2π.
Die Radien der Bahnen verhalten sich zueinander wie die Quadrate der zugehörigen
Hauptquantenzahlen, d.h. Wenn für n = 1 der Radius = r1 ist, dann gilt für die Radien der
Bahnen: rn = n2 ⋅ r1, für alle Hauptquantenzahlen n.
Die Energie, die notwendig ist, um das Elektron aus einer Bahn ins Unendliche zu entfernen,
ergibt sich zu
1/λ = RH ⋅ 1/n2 cm-1 (RH = 109678 cm-1, Rydberg-Konstante) - Energie in cm-1 E ≈ 13.6 ⋅ 1/n2 eV - Energie in eV - (13.6 eV entspricht der Ionisierungsenergie des
Wasserstoffatoms)
Für die Serien von Spektrallinien des Wasserstoffs gilt daher:
1/λ = RH ⋅ (1/n2 – 1/m2) mit m ≥ n, n ≥ 1
Für Mehrelektronensysteme versagt das Bohr’sche Atommodell.
10
1. Atome
1.3.4 Röntgenspektren
Erzeugung von Röntgenstrahlen
In einer Röntgenröhre werden Röntgenstrahlen dadurch erzeugt, dass Elektronen, die in der
Kathode freigesetzt werden (z.B. erhitzter Draht) in einem Potential von mehreren kV
beschleunigt werden und auf das als Anode verwendete Metall treffen. Die kinetische Energie
der Elektronen wird dabei zum Teil in Röntgenstrahlung umgewandelt (Brems-Strahlung; der
größte Teil der Energie wird allerdings in Wärme umgesetzt!). Wenn die beschleunigten
Elektronen ein Elektron aus der K-Schale des Anodenelements „herausschlagen“, dann
„fallen“ Elektronen aus höheren Schalen in das in der K-Schale entstandene „Loch“. Dabei
wird die charakteristische Röntgenstrahlung ausgesandt.
11
1. Atome
Energie von Kα-Strahlung
Für die Wellenlänge der Strahlung, die beim Auffüllen der Lücke in der K-Schale durch ein
Elektron aus der L-Schale entsteht, (Kα – Strahlung), gilt das Moseley’sche Gesetz:
1/λ = RH ⋅ (Z – 1)2 (1/12 – 1/22) (Energie in cm-1)
Das Gesetz entspricht in seiner Form den Resultaten des Bohr’schen Ansatzes. Im Bohr’schen
Modell ergibt sich statt des Faktors (Z – 1)2 der Faktor Z2, der für das Wasserstoffatom (Z =
1) eins beträgt und daher oben nicht aufgeführt wurde. Die um eins erniedrigte Kernladung
kann als „effektive Kernladung“ interpretiert werden. D.h., das eine noch in der K-Schale
vorhandene Elektron schirmt die Kernladung um eine Einheit ab.
Durch Messen der Wellenlänge der Kα – Strahlung kann man die Kernladung Z jedes
Elements ermitteln. Damit lässt sich zeigen, dass keine Lücke im Periodensystem besteht.
1.3.5 Teilchen und Welle
Teilchen/Welle – Dualismus
Photon als Teilchen (A. Einstein, M. Planck, 1905, 1900)
Materie als Wellen (L. de Broglie,1924)
Dimensionsanalyse Wirkungsquantum
Wirkungsquantum h:< E ⋅ t > = < mv2 ⋅ t > = < m ⋅ x2/t2 ⋅ t > = <m ⋅ x2 ⋅ t-1 > = < m ⋅ v ⋅ x >
E = Energie; m/2 ⋅ v2 = Kinetische Energie; x = Länge; t = Zeit; m ⋅ v = Impuls
Die Symbole < > stehen hier um anzuzeigen, dass nur die Dimension analysiert wird.
Der Ausdruck E = m/2 ⋅ v2 hat die Dimension < m ⋅ v2 >.
Jede physikalische Größe, welche die Dimension einer Wirkung hat, kommt nur in
ganzzahligen Vielfachen des elementaren Wirkungsquantums vor, das damit die kleinste
mögliche Wirkung beschreibt. Kleinere Wirkungen gibt es nicht.
12
1. Atome
Daraus folgt, dass die Genauigkeit, mit der zwei Größen gleichzeitig bestimmt werden
können dann durch h limitiert ist, wenn das Produkt dieser Größen die Dimension einer
Wirkung hat. Es gilt daher („Heisenberg’sche Unschärferelation“) :
∆ t ⋅ ∆ E ≥ h/2π
Sowie
∆ x ⋅ ∆ Impuls ≥ h/2π
Das Symbol ∆ steht dabei für die Fehlerbreite mit der die Größen gleichzeitig bestimmt
werden können.
Der Faktor 1/2π sorgt dafür, dass die Fehlerbreite ∆ dem statistischen Kriterium einer
Standardabweichung (Gauss-Verteilung) entspricht.
Beispiel: Wenn der Ort eines Elektrons auf ∆ x = 10 pm genau bekannt ist, dann ist seine
Geschwindigkeit gleichzeitig nur auf ∆v = ± 5.8 ⋅ 106 m s-1 festlegbar.
Materiewellen
Aus < h > = < m ⋅ v ⋅ x> ergibt sich auch: < x > = < h / (m ⋅ v) >.
Diese Dimensionsbeziehung wurde von L. de Broglie interpretiert als:
λ = h / (m ⋅ v);
λ = Wellenlänge der dem Teilchen entsprechenden Materiewelle;
v = Geschwindigkeit eines Teilchens; m = Masse des Teilchens; (m ⋅ v) Impuls des Teilchens.
Nachweis der Materiewellen:
Wellen werden an Gittern gebeugt. Die Wiederholungsabstände des Gitters und die
Wellenlänge der Strahlung müssen vergleichbare Größenordnung haben.
13
1. Atome
Kristalle wirken mit ihrer regelmäßigen Anordnung von Atomen, die im Abstand von
wenigen Angström aufeinander folgen, als Beugungsgitter. Damit die gebeugten Strahlen
ausreichend abgelenkt werden, muss die Strahlung, die an ihnen gebeugt werden soll,
Wellenlängen im Angström-Bereich haben.
Elektromagnetische Strahlung im Angström-Bereich ist Röntgenstrahlung.
Wenn die Wellenlänge der Strahlung bekannt ist, kann der Wiederholungsabstand des Gitters
ermittelt werden. Der Bau von Kristallen wird durch solche „Röntgenstrukturanalysen“
ermittelt.
Wenn der Wiederholungsabstand des Gitters bekann ist, kann , umgekehrt, die Wellenlänge
der Strahlung aus dem Beugungsmuster abgeleitet werden.
Elektronenstrahlen werden an Kristallgittern gebeugt. Ihre aus dem Beugungsmuster
abgelesene Wellenlänge entspricht genau dem, was die „de Broglie-Beziehung“ vorhersagt.
In gleicher Weise kann die Wellenlänge bestimmt werden, die einem Strahl von Neutronen
bestimmter Geschwindigkeit entspricht. Die nach der „de Broglie-Beziehung“ vorhergesagte
Wellenlänge, die sich für Neutronenstrahlen gegebener Geschwindigkeit v ergibt, stimmt mit
dem experimentellen Befund überein.
Ein Neutronenstrahl, dem die Wellenlänge von 1 Å (10-10 m) entsprechen soll, muss eine
Teilchengeschwindigkeit von ca. 4 ⋅ 103 m s-1 aufweisen. Diese Geschwindigkeit entspricht
etwa der Geschwindigkeit, welche Teilchen von der Masse des Neutrons in einem Gas bei
Raumtemperatur im Mittel haben. Daher der Begriff „thermische Neutronen“.
Ein Elektronenstrahl, dem die Wellenlänge von 1 Å entspricht muss eine
Teilchengeschwindigkeit von ca. 7 ⋅ 106 ms-1 haben. Einen solchen Strahl kann man in einer
Potentialdifferenz von ca. 145 V erzeugen.
Kritik am Bohr’schen Atommodell
Das Modell kann nicht richtig sein, weil es davon ausgeht, dass man den Ort und die
Geschwindigkeit des Elektrons zugleich mit beliebiger Genauigkeit kennen könnte.
Da Modell kann trotzdem einen Teil der Beobachtungen richtig abbilden.
1.3.6 Quantenmechanik
Die Lösung des Dilemmas bringt die Quantenmechanik.
Grundgedanke: Wenn sich Systeme mit atomaren Abmessungen wie Wellen verhalten, dann
muss man diese Systeme auch mit einem Formalismus beschreiben, der ihrer Wellen-Natur
gerecht wird.
Die entsprechende formale Lösung wurde von E. Schrödinger und in einer anderen
mathematischen Gestalt von W. Heisenberg entwickelt.
Symbolisch geschrieben heißt sie: H Ψ = E Ψ („Schrödinger-Gleichung“).
14
1. Atome
a) Eigenwert-Gleichung, Operator-Gleichung
Die einzelnen Terme in H Ψ = E Ψ sind:
E die Energie des Systems.
H der sogenannte Hamilton-Operator.
Ein Operator ist eine Rechenvorschrift.
Beispiele für Operatoren sind etwa:
+, d.h. addiere die Operanden zwischen denen das + steht x, d.h. multipliziere die Operanden
zwischen denen das x steht d/dx, d.h. differenziere den nachfolgenden Operanden nach x
u.v.a.
Der Hamilton Operator enthält die Rechenvorschrift, die auf Ψ angewendet werden muss,
damit die Gleichung stimmt.
Seine einzelnen Terme beziehen sich auf die kinetische und auf die potentielle Energie des
Systems. Das Aufstellen des Hamilton Operators ist nach vorgegebenen Regeln (Axiome der
Quantenmechanik) immer möglich und nicht eigentlich schwierig. Schwierig ist nur das
Auffinden einer Funktion Ψ, welche der Gleichung genügt.
Ψ ist die sogenannte Wellenfunktion des Systems.
H Ψ = E Ψ ist eine Operator-Gleichung.
Sie ist auch eine „Eigenwert-Gleichung“. In dieser Terminologie nennt man Ψ die
Eigenfunktion und E den Eigenwert.
Ein einfaches Beispiel für eine Eigenwertgleichung ist:
d/dx(eax) = a ⋅ eax
Operator: d/dx
Eigenfunktion: eax
Eigenwert: a
Die Funktion Ψ, die „Eigenfunktion“ der Schrödinger-Gleichung kann nur für das einfachste
System: Ein Kern und 1 Elektron, z.B. das Wasserstoffatom, exakt bestimmt werden, weil für
dieses „Zweiteilchenproblem“ eine geschlossene mathematische Lösung möglich ist. Für
kompliziertere Systeme mit mehr als zwei Teilchen müssen Näherungen eingeführt werden.
Das ist kein Nachteil, der nur der Quantenmechanik eigen wäre: Auch in der klassischen
Physik ist grundsätzlich nur für das „Zweikörperproblem“ eine mathematisch geschlossene
Lösung möglich.
Ψ hat selbst keine unmittelbare physikalische Bedeutung. Unmittelbare physikalische
Bedeutung haben aber Funktionen von Ψ.
An das Umgehen mit dieser Aussage gewöhnt man sich vielleicht leichter, wenn man
folgenden Vergleich bedenkt:
Um die Bewegung eines Körpers im Raum und alle die mit dieser Bewegung
zusammenhängenden Größen zu beschreiben, muss man in der klassischen Physik ebenso wie
in der Quantenmechanik ein Koordinatensystem definieren. Die jeweilige Lage und
Bewegung des Körpers wird dann durch die Koordinaten in diesem System beschrieben,
obwohl die Koordinaten an sich nicht physikalisch vorhanden sind. Sie dienen nur der
physikalisch-mathematischen Beschreibung des Verhaltens des Körpers.
15
1. Atome
Während die Wellenfunktionen von Systemen mit vielen Teilchen sehr kompliziert und damit
wenig anschaulich sind, sind die Wellenfunktionen des Wasserstoffatoms, die exakt bestimmt
werden können, als „Einelektronen-Wellenfunktionen“ leicht anschaulich zu machen.
Diese „Einelektronen-Wellenfunktionen“ sind ein entscheidendes Hilfsmittel für das
Verständnis der Chemie. Es zeigt sich nämlich, dass auch die Eigenschaften der
Wellenfunktionen von „Mehrelektronen-Systemen“, solchen also, die mehr als ein Elektron
enthalten, durch diese „Einelektronen-Wellenfunktionen“ gut dargestellt werden.
b) Einelektronen-Wellenfunktionen
Die Wellenfunktionen des Wasserstoff-Atoms sind Eigenfunktionen der SchrödingerGleichung für das Wasserstoffatom. Der Operator H in der Gleichung H ψ = E ψ ist der
Hamilton-Operator für das Wasserstoffatom, der die kinetische und die potentielle Energie
des Systems nach den Regeln der Quantenmechanik beschreibt.
Jede Funktion ψi, welche diese Gleichung erfüllt, ist eine Eigenfunktion des Systems, zu
welcher der Eigenwert Ei gehört.
Während ψ keine unmittelbare physikalische Bedeutung hat, hat die Funktion
³ ψ ⋅ ψ* dτ = 1 eine unmittelbar anschauliche Bedeutung.
Im Integral
³
ψ ⋅ ψ* dτ bezeichnet
ψ die Wellenfunktion
ψ* die „konjugiert Komplexe“ der Wellenfunktion ψ. Das ist überhaupt nichts Schreckliches:
Das heißt einfach, dass man, wenn ψ Terme enthält in denen imaginäre Zahlen vorkommen
(Ausdrücke mit i, wobei i2 = -1 gilt), bei allen Termen mit i das Vorzeichen umkehren muss
um ψ* zu erhalten. Wenn ψ eine reelle Funktion ist, also keine imaginären Zahlen enthält, so
ist ψ* = ψ.
³ dτ das Integral über den ganzen Raum von - ∞ bis + ∞ .
Das Integral
³
ψ ⋅ ψ* dτ = 1 bezeichnet eine Wahrscheinlichkeit,
nämlich die Wahrscheinlichkeit dafür, das Elektron im ganzen Raum zu finden. Diese
Wahrscheinlichkeit ist notwendig = 1.
Wird das Integral über einen kleineren Raumausschnitt genommen, so ergibt sich ein
kleinerer Wert, welcher der Wahrscheinlichkeit entspricht, das Elektron in dem Teil des
Raumes zu finden, über den integriert worden ist.
Um die Einelektronen-Funktionen ψi , die man auch „Orbitale“ nennt, zu skizzieren, werden
nicht die Funktionen selbst dargestellt, sondern Oberflächen auf denen sich ein Elektron, das
„in dem Orbital sitzt“ mit gleicher Wahrscheinlichkeit aufhält.
Um diese Orbitalbilder vergleichbar zu machen, muss zudem festgelegt werden, dass in dem
Raum, der von der Oberfläche eingehüllt wird, das Elektron mit einer für alle Orbitale
gleichen Wahrscheinlichkeit gefunden wird (z.B. 70%; diese Festlegung hat keinen Einfluss
auf die Form der Orbitale, nur ihre Größe wird durch die Festlegung beeinflusst: Je höher
diese Wahrscheinlichkeitsmarke gesetzt wird, desto größer werden die Darstellungen der
Orbitale.)
16
1. Atome
Da die Wahrscheinlichkeit immer einen Wert ≥ 0 hat, hat die der Darstellung
zugrundeliegende Funktion an allen Stellen positives Vorzeichen. Man ist nun aber
übereingekommen, in die so gewonnenen Orbitalbilder zugleich das Vorzeichen (man sagt
auch „die Phase“) einzutragen, das die Wellenfunktion ψ selbst in dem jeweils skizzierten
Raumbereich hat. Diese hybride Konstruktion hat sich als sehr praktisch erwiesen.
Orbitalbilder
Die Lösung der Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffatom ergibt eine Kategorisierung
der Orbitale nach Energie und nach Quantenzahlen.
Hauptquantenzahl n: Verantwortlich für die Größe der Orbitale.
Nebenquantenzahl l: Verantwortlich für die Form der Orbitale.
0 ≤ l ≤ n-1 für jede gegebene Hauptquantenzahl n
Statt der Nebenquantenzahlen verwendet man meist eine Signatur mit Buchstaben:
l = 0: s; l = 1: p; l = 2: d;
l = 3: f
Magnetische Quantenzahl m: Verantwortlich für die Orientierung der Orbitale im Raum.
-l ≤ m ≤ +l sind die möglichen Werte von m.
Das bedeutet, dass es für Orbitale mit der Nebenquantenzahl l insgesamt jeweils 2l + 1
Orbitale gleicher Form aber verschiedener Orientierung gibt.
Die Energie der Orbitale steigt mit steigender Hauptquantenzahl n.
Für die gleiche Hauptquantenzahl n steigt sie mit steigender Nebenquantenzahl l .
Die 2l + 1 räumlich verschieden orientierten Orbitale zu einer Nebenquantenzahl l haben alle
die gleiche Energie. Man sagt auch „sie sind energetisch entartet“.
Es ergibt sich damit folgende Ordnung nach steigender Energie:
17
1. Atome
Anzahl und Art der Orbitale (n = Hauptquantenzahl)
n
1
ein s-Orbital
2
ein s-Orbital
drei p-Orbitale
3
ein s-Orbital
drei p-Orbitale
fünf d-Orbitale
4
ein s-Orbital
drei p-Orbitale
fünf d-Orbitale
sieben f-Orbitale
5
ein s-Orbital
drei p-Orbitale
fünf d-Orbitale
sieben f-Orbitale
neun g-Orbitale
6
ein s-Orbital
drei p-Orbitale
fünf d-Orbitale
sieben f-Orbitale
neun g-Orbitale
elf h-Orbitale
Diese energetische Abfolge gilt für das Wasserstoffatom und andere Ein-Elektronen Systeme
(z.B. He+).
Bei Systemen mit mehr Elektronen ist die energetische Abfolge leicht verändert (Siehe PSE).
Zur Bezeichnung der Hauptquantenzahl n, zu der die Orbitale gehören, die man gerade meint,
verwendet man Signaturen wie: das 1s-Orbital, die 4f-Orbitale etc..
In der Chemie der Elemente im Grundzustand kommen die g- und h-Orbitale nicht vor.
s-, p- und d-Orbitale sowie die 3f (Lanthanoiden) und die 4f (Aktinoiden) – Orbitale sind die
„Valenzorbitale“ der Elemente (PSE).
18
1. Atome
1.4 Index
A
K
Angström ................................................ 14
Anzahl und Art der Orbitale ............... 18
atomare Masseneinheit ............................. 2
Atome
Bausteine .............................................. 2
Dimensionen......................................... 2
Axiome der Quantenmechanik ............... 15
Kernbindungsenergie ................................2
Kα-Strahlung..........................................12
B
Magnetische Quantenzahl .......................17
Massendefekt ............................................2
Materiewellen ........................................13
Nachweis ............................................13
Max Planck ...............................................9
Mehrelektronen-Systemen ......................16
Mol ............................................................2
Moseley’sche Gesetz...............................12
Beugungsgitter........................................ 14
Bohr´sches Atommodell
Ansatz und Postulate ............................ 9
Klassische Elektromechanik.............. 9
Quantenhypothese ............................ 10
Quantitative Resultate...................... 10
Bohr’schen Atommodell
Kristik ................................................ 14
Brems-Strahlung..................................... 11
C
Coulomb’sches Gesetz ............................. 9
D
L
L. de Broglie ...........................................12
M
N
Nebenquantenzahl...................................17
O
Orbitalbilder..........................................17
Orbitale....................................................16
de Broglie-Beziehung ............................. 14
Dimensionsanalyse Wirkungsquantum
............................................................ 12
Plank´sches Wirkungsquantum.................9
E
Q
E. Schrödinger ........................................ 14
Eigenwertgleichung ................................ 15
Einelektronen-Wellenfunktionen ........ 16
Einstein ..................................................... 9
Quantenmechanik
Eigenwert-Gleichung, OperatorGleichung .......................................15
G
Hamilton-Operator.................................. 15
Hauptquantenzahl ................................... 17
Heisenberg’sche Unschärferelation ........ 13
Radioaktive Kerne
Altersbestimmung ...............................6
Radiopharmaka.......................................5
Röntgenstrahlen
Erzeugung von Röntgenstrahlen .....11
Röntgenstrahlung ....................................14
Röntgenstrukturanalysen.........................14
Rydberg-Konstante .................................10
I
S
Isotope für die Markierung ................... 5
Schrödinger-Gleichung ...........................14
Gauss-Verteilung .................................... 13
H
P
R
19
1. Atome
T
Vier Zerfallsreihen ....................................3
Teilchen/Welle – Dualismus .................. 12
thermische Neutronen............................. 14
W
U
Universum
Daten..................................................... 7
W. Heisenberg.........................................14
Z
Zeitgesetz des radioaktiven Zerfalls......3
V
Valenzorbitale......................................... 18
20