Geometrie 4

Aufgaben zur Vorlesung Geometrie
PD Dr. Jörg Jahnel
Blatt 4
Sommersemester 2016
1. a) Es seien F eine beliebige Bewegung und E eine eigentliche Bewegung. Zeigen Sie, daß
F −1 ◦E ◦F eine eigentliche Bewegung ist.
b) Seien T eine Translation und F eine beliebige Bewegung. Zeigen Sie, daß die Hintereinanderausführung F −1◦T◦F eine Translation ist. Können Sie den Translationsvektor von F −1◦T◦F
angeben, in Abhängigkeit desjenigen von T sowie von F ?
2. Es sei abc ein Dreieck.
a) Zeigen Sie, daß in abc der Höhenschnittpunkt genau dann mit dem Umkreismittelpunkt
zusammenfällt, wenn das Dreieck gleichseitig ist.
b) Angenommen, in abc fällt der Schwerpunkt mit dem Höhenschnittpunkt zusammen.
Muß dann abc gleichseitig sein?
c) Angenommen, in abc fällt der Schwerpunkt mit dem Umkreismittelpunkt zusammen.
Muß dann abc gleichseitig sein?
3. Es sei abc ein rechtwinkliges Dreieck mit rechtem Winkel bei c.
a) Welcher Punkt ist hier der Höhenschnittpunkt?
b) Welcher Punkt ist der Umkreismittelpunkt? Beschreiben Sie diesen sowohl geometrisch als
auch als Affinkombination von a, b und c.
c) Welches Problem tritt hier jeweils auf, wenn man versucht, die Formeln aus der Vorlesung
zu benutzen?
d) Welche Gerade ist die Eulersche Gerade im Dreieck abc?
4. Es seien
b+c
c+a
a+b
, b′ :=
, c′ :=
2
2
2
die Seitenmitten des Dreiecks abc.
a) Zeigen Sie, daß der Schwerpunkt s′ des (sogenannten Mittendreiecks) a′ b′ c′ mit dem Schwerpunkt des Dreiecks abc übereinstimmt.
b) Zeigen Sie, daß der Höhenschnittpunkt h′ des Dreiecks a′ b′ c′ mit dem Schnittpunkt der
Mittelsenkrechten im Dreieck abc übereinstimmt.
[Geben Sie hier bitte zwei Begründungen an. Eine mit Hilfe der Formeln für den Höhenschnittpunkt und den Umkreismittelpunkt und eine elementargeometrische.]
a′ :=
c) Ist jedes Dreieck Mittendreieck eines anderen? Liefert insbesondere Teil b) einen elementargeometrischen Beweis dafür, daß sich die Höhen in einem beliebigen Dreieck in einem Punkt
schneiden?
d) Angenommen, das Dreieck abc ist nicht gleichseitig. Zeigen Sie, daß dann die Eulerschen
Geraden von abc und a′ b′ c′ gleich sind.
Abgabetermin: Dienstag, 10. Mai 2016, vor der Vorlesung