Umkehrung des Satzes von Pythagoras

Umkehrung des Satzes von Pythagoras
Gilt in einem Dreieck ABC für die entsprechenden Seiten a, b und c
a 2  b2  c2 ,
so besitzt dieses bei C einen rechten Winkel.
Beweis in Textform:
Es gibt zu jedem solchen Dreieck ABC ein rechtwinkliges Hilfsdreieck mit Katheten der
Länge a und b, sowie irgendeiner zunächst unbekannten Hypotenuse c’. Nach dem Satz des
Pythagoras gilt aber für diese Hypotenuse c '2  a 2  b 2 bzw. eben c '  c . Damit stimmt aber
das rechtwinklige Hilfsdreieck mit dem ursprünglichen Dreieck in allen drei Seiten überein.
Es ist damit nach SSS kongruent zum ursprünglichen Dreieck ABC. Also muss ABC
ebenfalls bei C einen rechten Winkel besitzen.
Beweis in formal strukturierter Form:
(1) Für ABC mit den entsprechenden Seiten a, b und c gilt: a 2  b 2  c 2 (Vor.)
(2) Es existiert A’B’C’ mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c’
(3) c '2  a 2  b 2 ((2), Satz des Pythagoras)
(4) c '  c (3, 1)
(5) A’B’C’ und ABC sind kongruent (SSS, (1), (4))
(6) ABC ist rechtwinklig bei C ((5), (2))