Kapitel 2: Fundamentale Grundlagen der Teilchenbeschleuniger

Kapitel 2:
Fundamentale Grundlagen der
Teilchenbeschleuniger
Klassische Dynamik
ƒAnwendbar falls v << c = 2,9979 x 108 m/s
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
Gesamtkraft
Gesamtimpuls
Ruhemasse
Impuls
ƒ Kinetische Energie
F
p
m0
r
r
p = m0 ⋅ v
m0 ⋅ v 2
T =
2
ƒ Beschleunigung geht in
Geschwindigkeitsgewinn
Kapitel 02: Fundamentale Grundlagen
dp
dv
= m0
=F
dt
dt
MB/KP
Relativistische Dynamik
ƒ Wenn v nahe bei c Æ relativistischer Ansatz:
ƒ Masse abhängig von v:
ƒ Impuls:
p = mv =
m=
m0
v2
1− 2
c
m0 v
v2
1− 2
c
ƒ Beschleunigung geht teilw. in Massenzuwachs:
dp d
= (m0 γv ) = F
dt dt
Kapitel 02: Fundamentale Grundlagen
MB/KP
Einstein: Äquivalenz Masse - Energie
ƒ Ruheenergie
E0 = m0 c ²
ƒ Gesamtenergie
E = E0 + T = m0 c² γ
1
1− β ²
und relativistischem γ
γ=
mit relativistischem β
v
β=
c
Kapitel 02: Fundamentale Grundlagen
MB/KP
Übergang zum nicht relativistischen
Grenzfall
v << c
v2
<< 1
c²
dv
F = m0
dt
Kapitel 02: Fundamentale Grundlagen
MB/KP
Kinetische Energie (T)
1
T = E − E0 = (m − m0 )c ² = m0 c ²(
− 1) = m0 c ²(γ − 1)
1− β ²
Für β << 1 (d.h. v << c) geht dies mit
in den klassischen Fall über:
Anwendbar falls T << E0
Kapitel 02: Fundamentale Grundlagen
γ=
1
1
= 1 − (− β ²) + ...
2
1− β ²
1
T = m0 v ²
2
d.h. γ ~ 1
MB/KP
...
Zusammenhang Impuls - Energie
ƒ Relativistischer Impuls:
p = mv =
m0
v = m0 cβγ
1 − β²
m0 ²v ² m0 ² β ²c ²
β²
1
p² =
=
= m0 ²c ²
= m0 ²c ²(
− 1)
1− β ²
1− β ²
1− β ²
1− β ²
1
p 2 c 2 = m0 c (
− 1)
1− β ²
2 4
m02 c 4
p²c² + m0 c = (
) = (m0 c 2 γ) = E 2
1 − β²
2 4
p ²c ² + E = E
2
0
Kapitel 02: Fundamentale Grundlagen
2
MB/KP
Ruheenergie verschiedener
Teilchenarten
Teilchen
Elektron
Proton (H+)
E0 (MeV)
0,511
938
Deuteron (D+)
1877
α-Teilchen (He++)
3733
Kapitel 02: Fundamentale Grundlagen
MB/KP
v als Funktion der kinetischenEnergie
β=
für verschiedene Teilchenarten
c
β
1,00
0,75
0,50
p d α
e
0,25
0,00
0,0001 0,001 0,01
0,1
1,0
10
100
1 000 10 000 100 000
Teilchenenergie in MeV
Kapitel 02: Fundamentale Grundlagen
MB/KP
Wann relativistisch?
ƒ Für Elektronen gilt bei relativ kleinen
Beschleunigern (Energien) schon bald nur
mehr die relativistische Näherung.
ƒ Für Ionen bis in Bereich von einigen 100 MeV
klassisch!
ƒ Für Teilchen nahe c Æ
β ≅ 1 T >> E0
Zulässige Näherung!
Kapitel 02: Fundamentale Grundlagen
β =1
MB/KP
Ultrarelativistische Näherung
ƒ E0 gegenüber T vernachlässigbar (ultrarelativistische
Näherung)
ƒ Mit:
m = m0 (1 +
T
)
E0
und
p ²c ² + E = E
2
0
2
ƒ Gilt folgende Näherung:
T
m ≅ m0
E0
Kapitel 02: Fundamentale Grundlagen
E ≅ T ≅ cp
MB/KP
Anwendung
ƒ ... der obigen Formeln ist die Berechnung der
Teilchenbewegung im Beschleuniger
ƒ Beispiel Kreisbeschleuniger: konstantes und
homogenes Feld senkrecht zur
Ausbreitungsgeschwindigkeit
ƒ Ablenkung infolge der Lorentzkraft: F L = qv × B
ƒ Teilchengeschwindigkeit v
ƒ Ladung des Teilchens q
ƒ Magnetische Induktion am Ort der Ladung
ƒ
B
Einheit der magnetischen Induktion ist im SI-System Tesla, was auch Weber/m²
entspricht und äquivalent 104 Gauss ist.
Kapitel 02: Fundamentale Grundlagen
MB/KP
Aufspaltung der Vektorgleichung in
die drei Komponenten
ƒ eine Komponente in Richtung der Tangente
(Index t)
ƒ eine Komponente in Richtung der Normalen
(Index n) (relevant für Kreisbeschleuniger)
ƒ eine Komponente in Richtung Binormalen
(Index b),
.
Ft = p
m0 γv² pv
=
Fn =
r
r
Fb = 0
Zentrifugalkraft
Kapitel 02: Fundamentale Grundlagen
MB/KP
Kreisbahn
ƒ Homogenes vertikales Magnetfeld:
Fb
B
Ft
Fn
ƒ Folgt:
.
p=0
v
q vB = p
r
ƒ Der Betrag des skalaren Impulses ist konstant und
das Teilchen beschreibt eine Kreisbahn, gegeben
durch folgenden Radius r:
p
r=
⇔ Br ∝ p
qB
Kapitel 02: Fundamentale Grundlagen
MB/KP
Zahlenwertgleichung
ƒ Näherung:
E0 2 ⎤
E
−4 E ⎡
1− ( ) ⎥
r = 33,356 × 10 β = 33,356 × 10
⎢
B
B⎣
E ⎦
−4
1
2
ƒ ultrarelativistische Approximation:
T
r = 33,356 × 10
B
−4
ƒ Für beide Näherungen gilt:
ƒ E, T, E0 in MeV, B in Tesla
Kapitel 02: Fundamentale Grundlagen
MB/KP
Elektronengeschwindigkeit und
Protonengeschwindigkeit (punktiert)
als Funktion der kinetischen Energie
v/c
R
SR
1
-1
10
K = klassisch
SR = semi-relativistisch
R = relativistisch
K
10-2
7
1
8
6
9
4
5
10
10 10 2 10 3 10 10 10 10 10 10 10
Kapitel 02: Fundamentale Grundlagen
T (eV)
MB/KP