Kapitel 2 Vierecke und Vielecke

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Kapitel 2 Vierecke und Vielecke
Didaktische Hinweise
Die Vielecke 0 insbesondere Dreiecke und Vierecke – wurden in den Bänden 5 bis
7 im Rahmen der Geometrie bereits ausführlich behandelt. Aufbauend auf diesen
Vorkenntnissen und Erfahrungen wird in diesem Kapitel nun stärker argumentierend gearbeitet. Ausgehend vom Konstruieren der Vielecke rückt die Definition der
Begriffe und damit das Definieren selbst stärker in den Blickpunkt. Dabei spielen
die verschiedensten Eigenschaften der Vierecke eine Rolle. Diese eignen sich
nicht nur zum Einüben des Definierens, sondern in besonderer Weise als Übungsfeld zum lokalen Ordnen (Aufzeigen von Zusammenhängen und Abhängigkeiten)
und zum Systematisieren unter verschiedenen Gesichtspunkten. Im dritten Lernabschnitt werden hierfür viele Aufgaben bereitgestellt, bei denen diesbezügliche
Fähigkeiten mit hoher Eigenaktivität entwickelt werden können, gleichzeitig wird
damit die ordnende Kraft verschiedener Darstellungsmöglichkeiten (Tabellen,
Ordnungsdiagramme, Mengendiagramme, Flussdiagramme) verdeutlicht. Über
die definierenden Eigenschaften hinaus lassen sich an Vierecken (und Vielecken)
noch viele andere Eigenschaften entdecken. Daraus entsteht die Notwendigkeit
des Begründens und Beweisens dieser Eigenschaften. Dies wird in einem eigenen
Lernabschnitt thematisiert. Damit wird an die ersten Schritte des Begründens und
Beweisens angeknüpft, die im Zusammenhang mit den Winkelsätzen und den
Kongruenzsätzen in Band 7 gemacht wurden.
Im Lernabschnitt 2.1 werden zunächst unterschiedliche Möglichkeiten zur eindeutigen Konstruktion von Vielecken erarbeitet und auf vielfältige Problemstellungen
und Situationen angewendet. Im Sinne des kumulativen Lernens erfährt der
Lernende hier auch den Nutzen des vorher schon erworbenen geometrischen
Wissens (Kongruenzsätze, bewegliche Vierecke, Symmetrien und Abbildungen).
Zusätzlich wird hier über eigenständige Versuche das Definieren thematisiert und
im Basiswissen „Was ist eine gute Definition“ festgehalten. Über den mathematischen Zusammenhang hinaus wird das Definieren auch auf andere Bereiche
übertragen und geübt.
Es werden auch reale Anwendungen spezieller Viereckseigenschaften
(Gelenkparallelogramme, Stabilisierung durch Diagonalen im Viereck, Nutzen von
Trapez- und Rechteckformen) thematisiert. Schließlich findet über die Untersuchung von Schnittflächen von Körpern auch wiederum ein Training zur Raumanschauung statt.
Das „Ordnen in der Vielfalt“ steht im Lernabschnitt 2.2 im Vordergrund. Dabei
werden insbesondere die Vierecke nach verschiedenen Kriterien geordnet. Im
Basiswissen ist ein Ordnungsdiagramm zum „Haus der Vierecke“ festgehalten.
Der Lernende erfährt eindrucksvoll eine der Stärken der Mathematik, nämlich
mithilfe systematischer Darstellungen in Tabellen, Diagrammen und Bildern
Ordnung in der Vielfalt herzustellen. Die zahlreichen Übungen entwickeln die
Fähigkeiten zum Erkennen und Beschreiben von Zusammenhängen und Abhängigkeiten in lokalen Ordnungssystemen. Gleichzeitig werden viele Gelegenheiten
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zum Formulieren mathematischer Sätze in der „Wenn – Dann - Form“ und zum
eigenständigen Definieren geboten.
Der Lernabschnitt 2.3 widmet sich dem Begründen und Beweisen. Diese Aktivität
wurde bisher nur in Band 7 in Ansätzen eingeübt. Anliegen des Lernabschnitts ist
es, die Notwendigkeit des Beweisens zu thematisieren und verschiedene Anregungen zum Beweisen zu geben. Dies geschieht vor allem auf dem Weg, in
Eigenaktivität verschiedene Entdeckungen von geometrischen Zusammenhängen
zu machen und sich dann zu fragen, ob sich diese Beobachtungen verallgemeinern lassen. Ergänzt wird dieser Zugang durch Aufgaben, in denen bereits bekannte geometrische Sätze bewiesen werden. Zum Beweisen selbst werden die
unterschiedlichsten Tipps und Hilfen gegeben, sodass ein selbstständiges Arbeiten möglich ist. Im Basiswissen ist ein Zweispaltenbeweis vorgeführt. Weitere
Beweismethoden finden sich in den Übungen. Auf die Methode „Beweis durch
Widerspruch“ wurde in diesem Lernabschnitt bewusst verzichtet. Diese Methode
wird in Band 9 thematisiert werden. Ein Projekt kurz vor dem Ende des Lernabschnitts zur Viviani-Eigenschaft bietet die Möglichkeit des selbstständigen
Forschens und der Anwendung der im Lernabschnitt trainierten Beweisverfahren.
Abschluss des Kapitels bildet das Vierfarbenproblem. Nach der Vorstellung dieses
klassischen Problems in einem Exkurs werden Möglichkeiten zu Eigenaktivitäten
gegeben.
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Lösungen
2.1 Konstruieren und Definieren von Vierecken
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1. Individuelle Schülerlösungen
2. a) Vierecke sind durch die Angabe der vier Seiten nicht eindeutig bestimmt.
Man kann die Form des Vierecks aus Pappstreifen verändern.
b) Eine Diagonale zerlegt das Viereck in zwei Dreiecke; diese sind in ihrer
Form und Größe eindeutig bestimmt, und damit ist auch das Viereck
eindeutig bestimmt.
Durch die Festlegung eines Winkels entsteht auch ein starres Teildreieck
(nach SWS). Damit ist das Viereck dann auch eindeutig festgelegt.
49
50
3. Man muss im Allgemeinen fünf Maße bestimmen, z. B. drei Seiten und die
beiden eingeschlossenen Winkel, oder zwei Seiten und drei Winkel.
4. a) 123″ und 57″
b) 33″
5. a)
b)
Die Konstruktion ist eindeutig.
c)
Die Konstruktion ist eindeutig.
d)
Die Konstruktion ist eindeutig.
Die Konstruktion ist nicht eindeutig.
39
50
6. a) Mit der Eigenschaft „Gegenüberliegende Seiten sind parallel zueinander
und gleich lang“ folgt AD ≅ BC und AB ≅ CD .
b)
c)
d)
e)
Mit AB, AD und δ kann man das Teildreieck ABC konstruieren (Kongruenzsatz SWS).
Eigenschaft „Alle Seiten sind gleich lang und alle Winkel sind 90″ groß“.
Mit der Eigenschaft „Alle Seiten sind gleich lang“ kann man das Teildreieck ABC konstruieren (Kongruenzsatz SWS).
Mit der Eigenschaft „Alle Winkel sind 90″ groß“ kann man das Teildreieck
ABC konstruieren aus AB, AC und ε (Kongruenzsatz SSW).
Mithilfe der Seitenangaben lässt sich das Teildreieck ABC konstruieren
(Kongruenzsatz SSS). Beim Drachen erhält man den Punkt D durch
Spiegelung des Punktes B an AC .
7. a) Das Teildreieck ACD ist durch Angabe der drei Seitenlängen eindeutig
bestimmt (Kongruenzsatz SSS). Winkel γ ist demnach nicht frei wählbar.
Er beträgt nach den angegebenen Seitenlängen nicht 65″.
Allgemein ausgedrückt: Teildreieck ACD ist mit vier Angaben überbestimmt, für Teildreieck ABC fehlt hingegen eine Angabe.
b) Die Winkelsumme beträgt nicht 360″; außerdem fehlt eine weitere Seitenlänge.
c) Da die Diagonale AC kürzer ist als die Diagonale BD , muss bei A ein
stumpfer Winkel vorliegen.
d) In einer Raute sind δ und ε zusammen 180″ groß; das ist bei den
gegebenen Winkeln nicht der Fall.
e) Ein Drachen hat zwei Paare gleich langer Seiten; gegeben sind drei
verschiedene Seitenlängen.
51
8. Die Straßen sind 5,90 m und 7,70 m breit.
9. Der Radweg wird 2 m breit.
10.
Maße in m.
11. 12. Es entsteht ein Parallelogramm; der Spiegelpunkt von C hat die
Koordinaten (4 | 04). Hier nutzt man die Eigenschaft der Punktsymmetrie
des Parallelogramms aus.
40
51
13. Man kann jede Seite zur Diagonalen des Parallelogramms machen. Also
gibt es 3 solcher Parallelogramme: 1,5 cm ∧7 cm; 2,5 cm ∧9 cm;
3,7 cm ∧9 cm.
52
14.
a) ABCD ist ein Drachenviereck.
b) A1BCD ist eine Raute mit A1 (5 | 4).
c) A2BC2D ist ein Quadrat mit
A2 (2 | 4) und C2 (10 | 4).
15.
Mit D1(1 | 5) entsteht ein
Parallelogramm,
mit D2(3 | 7) ein Drachenviereck und
mit D3(1 | 9) ein gleichschenkliges
Trapez (auch richtig D4(01,4 | 4,2)).
16. Bei dieser Aufgabe sind mehrere Lösungen möglich. Je nach Vorschlägen
der Schülerinnen und Schüler lässt sich hier darüber diskutieren, welche
Angaben man mindestens braucht, um ein Rechteck zu beschreiben. Die
Aufgabe zielt auf die Einführung des Begriffs Definition ab.
53
17. 18.
19.
Raute
Trapez
Quadrat
Rechteck
Drachenviereck
Parallelogramm
2 Paare
paralleler
Seiten
2
11
3
4
5
6
4 gleich 4 rechte
lange
Winkel
Seiten
2
3
6
3
4
6
4 gleich lange
Seiten und 4
rechte Winkel
3
6
2 Paare gleich
langer, aneinanderstoßende
Seiten
gegenüberliegende Winkel
sind gleich
groß
10
7
2
3
6
2
3
4
5
6
11
41
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20. a) Gesucht ist das gleichschenklige Trapez.
b) -
21. a) Ein Rechteck ist ein „Viereck mit vier rechten Winkeln“.
Das Quadrat erfüllt diese Eigenschaft, ist also auch ein Rechteck.
b) Ein Quadrat ist ein „Viereck mit vier gleich langen Seiten und vier rechten
Winkeln“.
Erfüllt ein Viereck den ersten Teil dieser Definition nicht, so ist es kein
Quadrat. Also ist nicht jedes Rechteck ein Quadrat.
c) (1) wahr
Eine Raute ist ein „Viereck mit vier gleich langen Seiten“.
Aufgrund der Symmetrieeigenschaften der Raute sind gegenüberliegende Seiten parallel. Das aber ist die Definition des Parallelogramms.
(2) falsch
Ein Parallelogramm hat nicht notwendigerweise rechte Winkel.
(3) wahr
Eine Raute hat vier gleich lange Seiten. Das ist auch ein Teil der
Definition des Quadrats. Somit ist jedes Quadrat auch eine Raute.
d) Individuelle Schülerlösungen
22. a) Bei Lisas Definition darf auch das zweite Paar Seiten parallel zueinander
sein, bei Katrins Definition nicht.
b) Trapeze sind:
Lisa
Katrin
A
A
B
E
D
F
E
F
Üblicherweise wird Lisas Definition benutzt, da Sonderfälle wie Rechteck,
Quadrat und Parallelogramm danach nicht ausgeschlossen werden
müssen, sondern Sonderformen des Trapezes sind.
23. Bei dieser Aufgabe soll der Gebrauch des Begriffs Definition noch einmal
trainiert werden. Dabei werden die Schülerinnen und Schüler feststellen,
dass es wesentlich leichter ist, mathematische Figuren eindeutig zu definieren als Gebrauchsgegenstände.
a) schlecht (Einen Kreis kann man z. B. auch mit einer Münze zeichnen.)
b) schlecht (Danach wäre eine Raute auch ein Quadrat, was falsch ist.)
c) schlecht (Diese Definition wäre dann gut, wenn man ergänzen würde,
dass eine Diagonale halbiert wird.
d) gut
e) schlecht (Ein Roller hat auch zwei Räder.)
f) schlecht (Danach wäre auch eine Raute oder ein Parallelogramm ein
Rechteck, was aber falsch ist.)
g) gut
h) gut
i) schlecht (Es fehlt die Parallelität zweier Seiten.)
j) gut
k) gut
42
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24. a) Parallelogramm
b) Ausgangsviereck ist Drachenviereck: Wegen der Achsensymmetrie entsteht ein Rechteck. Genauso ist es bei einer Raute als Ausgangsviereck.
Ist ein gleichschenkliges Trapez Ausgangsviereck, so entsteht wegen der
Achsensymmetrie zu einer Mittellinie, auf der zwei Eckpunkte des Seitenmittenvierecks liegen, eine Raute.
25. Insekten sind: Marienkäfer, Schabe, Waldgrille, Menschenfloh, Ameise
26. „Schlunze“ sind Figuren mit
folgenden Eigenschaften:
- Begrenzung hat keine
Ecken.
- Im Innern ist ein
dunkelroter Punkt.
- Mindestens ein nach
außen gerichteter
„Kurvenpfeil“.
27. Individuelle Schülerlösungen
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28. Das Parallellineal lässt sich aus vier Kartonstreifen bzw. Holzlatten erstellen,
auf denen man die Skalierung selbst aufträgt.
29. a) Die Gelenkrauten sind besonders geeignet, da man durch die gleiche
Länge aller Seiten die maximale Längenänderungsmöglichkeit erhält.
b) Bei Verdopplung der Anzahl bzw. der Länge der Streifen verdoppelt
sich auch die maximal mögliche Auszugslänge.
Mit Parallelogrammen lässt sich keine Nürnberger Schere bilden. Das
Drachenviereck hingegen eignet sich. Allerdings wird hier die maximal
mögliche Auszugslänge durch die Kürzere der beiden Vierecksseiten
begrenzt.
30. a) In diesem Aufgabenteil spielt der Scheitelwinkel eine Rolle. Hier lassen
sich aus diesem Grund gut die Winkelsätze wiederholen.
b) Man braucht die Eigenschaft, dass gegenüberliegende Winkel im
Parallelogramm gleich groß sind.
57
31. Bei dieser Aufgabe lohnt es sich, die Schüler Pop-Up-Karten bzw. -Bücher
mitbringen zu lassen und den Funktionsmechanismus zu analysieren.
32. a) Trapez:
Beim Schnitt senkrecht zur Raumdiagonalen entstehen Dreiecke oder
Sechsecke, nie Vierecke.
43
57
32. b)
Man erhält Paralelogramme bzw.
Rechtecke, falls
Deck- und Bodenfläche Rechtecke
sind.
Bei „waagerechten“
Schnitten erhält man
Quadrate, sonst Trapeze.
Man erhält Trapeze,
oder Rechtecke, außerdem
Kreise und Ellipsen.
2.2 Vierecke systematisch 0 Ordnen in der
Vielfalt
58
1. a) Trapez: P
Quadrat: SG, SN, S2G, S2N, S4, WG, WN, W2G, W2N, W4, P, P2
b)
Trapez
gleichschenkliges
Trapez
Drachenviereck
Parallelogramm
Rechteck
Raute
Quadrat
SG SN S2G S2N S4 WG WN W2G W2N W4 P P2
X
X
X
X
X
X
X
X
0
X
X
X
X
X
X
X
0
0
X
X
X
X
X
X
X
X
X
0
X
X
X
X
X
X
X
X
0
X
0
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Das Quadrat hat die meisten Kreuzchen (12), gefolgt von Rechteck und
Raute (je 9), dann Parallelogramm (6), gleichschenkliges Trapez (4) und
Drachenviereck (3); die wenigsten Kreuzchen hat das Trapez (1).
c) W4 definiert das Rechteck.
Trapez: P
gleichschenkliges Trapez: W2N
Drachenviereck: S2N, oder auch SN und WG
Parallelogramm: P2, oder auch S2G
Rechteck: W4
Raute: S4
Quadrat: S4 und W4, oder auch S4 und WN
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2. a) Im Diagramm bedeutet ein X ° Y: Wenn ein Viereck X ist, dann ist es
auch Y.
b) z. B. Quadrat ° Rechteck ° Parallelogramm ° Trapez ° Viereck
44
59
2. c) Drachenviereck
Trapez
Raute
↓
Quadrat
d)
Trapez
Viereck
↓
Parallelogramm
Rechteck
Drachenviereck
Raute
Quadrat
3. a) Quadrat in , Parallelogramm in b) Rechteck in gleichschenkliges Trapez in Raute in Drachenviereck in Trapez in c) bleibt leer.
d) Die Vierecke werden wieder alle in getrennte Behälter sortiert, gelangen
aber in andere Behälter.
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4. Ein Paar gleich langer Seiten: gleichschenkliges Trapez.
Zwei Paare gleich langer Seiten: Drachenviereck, Rechteck.
Vier gleich lange Seiten: Raute
5. a) Raute
d) Rechtecke
b) Rechtecke
e) Rauten
c) Quadrate
f) Rauten
6. Yvonne hat Recht. Ein punktsymmetrisches Viereck hat zwei Paare
paralleler Seiten und ist damit ein Parallelogramm, unabhängig davon,
welche Eigenschaften es zusätzlich hat.
7. (1) Trapez
(2) Raute, Drachenviereck, Trapez, Parallelogramm, gleichschenkliges
Trapez
(3) Raute, Drachenviereck, Trapez, Parallelogramm, gleichschenkliges
Trapez
(4) Parallelogramm, Trapez, gleichschenkliges Trapez
(5) Quadrat, Rechteck, Trapez
45
61
8.
9. a)
b)
c)
d)
e)
f)
ist möglich
jedes Rechteck ist auch ein Trapez
das Quadrat ist sowohl eine Raute als auch ein Rechteck
ist möglich
die Raute ist sowohl ein Parallelogramm als auch ein Drachenviereck
jedes Quadrat ist auch ein Rechteck
10. a) falsch
b)
c)
d)
e)
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Auch ein beliebiges Viereck kann
orthogonale Diagonalen haben.
wahr; wegen der Symmetrie zu den Mittellinien
falsch; auch im gleichschenkligen Trapez sind die Diagonalen gleich lang
wahr; das ist die Definition des Trapezes
falsch; auch ein Rechteck hat vier rechte Winkel
11. a) Wenn kein Unterricht stattfindet, dann ist Sonntag.
Falsch; z. B. in den Ferien findet auch an anderen Wochentagen kein
Unterricht statt.
b) Wenn X sich zur Tatzeit am Tatort befand, dann ist X der Täter.
Falsch; X könnte auch ein Zeuge oder sogar das Opfer sein.
c) Wenn Kai in einem Schaltjahr geboren wurde, dann hat er am
29. Februar Geburtstag.
Falsch; er könnte an jedem anderen Tag in dem Schaltjahr geboren sein.
d) Wenn es auf der Straße hell ist, dann scheint die Sonne.
Falsch; es könnte auch bewölkt sein, oder Laternen könnten die Straße
erleuchten.
e) Wenn es ein Feuerwerk gibt, dann ist Silvester.
Falsch; ein Feuerwerk gibt es manchmal auch bei anderen Gelegenheiten.
12. Ein Rechteck, das kein Quadrat ist, hat zwei Paare paralleler und gleich
langer Seiten; dabei liegen die gleich langen Seiten einander gegenüber.
Damit sind die Eigenschaften eines gleichschenkligen Trapezes erfüllt.
Mindestens ein Paar paralleler Seiten und ein Paar gegenüberliegender
gleich langer Seiten.
Die Eigenschaften eines Drachenvierecks sind nicht erfüllt:
Zwei Paare gleich langer aneinanderstoßender Seiten.
46
62
13. a) (1) Die Menge der Parallelogramme ist ganz in der der Trapeze
enthalten.
(2) Die Menge der gleichschenkligen Trapeze und die Menge der
Parallelogramme haben eine gemeinsame Schnittmenge, die Rechtecke.
(3) Die Menge der Rechtecke ist ganz in der Menge der gleichschenkligen Trapeze enthalten.
b) Beispiele:
- Manche Parallelogramme sind Rechtecke.
- Jedes Rechteck ist ein Parallelogramm.
14.
Beispiele:
- Jede Raute ist ein Parallelogramm.
- Manche Rechtecke sind Quadrate.
- Nicht jedes Parallelogramm ist eine
Raute.
- Manche Rauten sind Rechtecke.
- Jedes Quadrat ist sowohl eine
Raute als auch ein Rechteck.
15.
16. a) Ein Dreieck heißt stumpfwinklig, wenn einer der Innenwinkel größer als
90″ ist.
Ein Dreieck heißt rechtwinklig, wenn einer der Innenwinkel 90″ groß ist.
Ein Dreieck heißt spitzwinklig, wenn alle Innenwinkel kleiner als
90″ sind.
Ein Dreieck heißt gleichschenklig, wenn es zwei gleich lange Seiten hat.
Ein Dreieck heißt gleichseitig, wenn es drei gleich lange Seiten hat.
b)
47
Mathe-Kiste
62
≠ Neuer Lohn:
Frau Kuhnert
A 2 597,00 €
B 2 578,50 €
Beide werden für Variante A stimmen.
Herr Geiger
A 1 971,60 €
B 1 970,80 €
≠ Es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck.
Begründung: δ + ε + ϕ = 180″
δ = ε + ϕ◊ 2ε + 2ϕ = 180″
◊ ε + ϕ = δ = 90″
≠ Die Anzahl der Äpfel ist durch 8 teilbar, also sind es 0, 8 oder 16 Äpfel; die
Anzahl der Birnen ist durch 10 teilbar, also sind es 0 oder 10 Birnen.
Zusammen sind es 18 Früchte, also 8 Äpfel und 10 Birnen.
Gregor bekommt somit 2 Früchte, je 1 Apfel und Birne. Da alle Enkelkinder
damit 2 Früchte erhalten, sind es 9 Enkelkinder.
63
17. a) Tetraeder, Dodekaeder, Oktaeder, Hexaeder (Würfel), Ikosaeder
b) Die Oberfläche der Körper ist jeweils aus gleichseitigen Dreiecken, aus
Quadraten oder gleichseitigen (regelmäßigen) Fünfecken.
Tetraeder:
4 gleichseitige Dreiecke
Dodekaeder: 12 regelmäßige Fünfecke
Oktaeder:
8 gleichseitige Dreiecke
Hexaeder:
6 Quadrate
Ikosaeder:
20 gleichseitige Dreiecke
18. Quadrat: 4 gleich lange Seiten, 4 rechte Winkel, 4 Symmetrieachsen,
punktsymmetrisch.
19.
a) Quadrat: 4 Symmetrieachsen und
punktsymmetrisch
Rechteck und Raute:
2 Symmetrieachsen und punktsymmetrisch
Drachenviereck und gleichschenkliges Trapez: 1 Symmetrieachse
Parallelogramm: punktsymmetrisch
b) Das Haus der Vierecke ist auch nach Symmetriegesichtspunkten
geordnet.
c) Liegen zwei oder vier Achsensymmetrien vor, so kommt jeweils noch die
Punktsymmetrie hinzu. Drehzentrum ist der Schnittpunkt der Symmetrieachsen.
d) Das Quadrat kommt bei Drehungen um 90″, 180″ und 270″ mit sich
selbst zur Deckung.
48
63
20. a) Definition des Quadrates
b) Definition des Parallelogramms
c) Als Definition nicht geeignet, da es sich auch um ein Rechteck handeln
könnte.
21. Aussagen zur Achsen- bzw. Punktsymmetrie lassen sich nur bei der Einteilung der Dreiecke bezüglich ihrer Seiten machen.
- unregelmäßige Dreiecke: keine Symmetrie
- gleichschenklige Dreiecke: Achsensymmetrie (1 Symmetrieachse)
- gleichseitige Dreiecke: Achsensymmetrie (3 Symmetrieachsen)
Punktsymmetrie (Schnittpunkt der Mittelsenkrechten (bzw. Höhen-, Seitenoder Winkelhalbierenden))
Projekt
Forschungsauftrag 1: Parallelogramm
64
≠ Die Seiten bleiben beim Ziehen an den Punkten immer parallel
zueinander.
≠ Beim Bewegen des Punktes B bleibt M fest und D bewegt sich entsprechend B.
≠ Beim Bewegen von Punkt A oder C bleibt jeweils der andere und
Punkt B fest. Die Punkte M und D bewegen sich so mit, dass das
4-Eck ein Parallelogramm bleibt.
Forschungsauftrag 2
≠ Anleitung
(1) Konstruiere einen beliebigen Kreis (Mittelpunkt M).
(2) Wähle einen weiteren Punkt B auf dem Kreis.
(3) Konstruiere jeweils eine Gerade durch A und M bzw. B und M.
(4) Wähle Punkte C und D als Schnittpunkte der Geraden mit dem
Kreis.
(5) Zeichne das Viereck ABCD.
≠ Die Winkel des Vierecks bleiben beim Zeichnen an A oder B rechte
Winkel; die Längen der Seiten verändern sich.
≠ Rechteck
Forschungsauftrag 3
65
Art: Raute
49
65
Forschungsauftrag 4
≠ Anleitung
(1) Konstruiere einen Kreis (Mittelpunkt M) und einen Punkt A auf
dem Kreis.
(2) Konstruiere eine Gerade durch die Punkte M und A.
(3) Wähle den Schnittpunkt B von Kreis und Gerade als weiteren
Punkt.
(4) Konstruiere das Lot auf dieser Geraden durch M; Schnittpunkte
mit dem Kreis: C und D.
(5) Verbinde die vier Punkte ABCD auf dem Kreis durch einen
Streckenzug.
Art: Quadrat
Forschungsauftrag 5
Art: Drachen
Forschungsauftrag 6
Art: symmetrisches Trapez
Präsentation: Kreativaufgabe
2.3 Entdecken und Begründen mathematischer
Sätze
66
1. a) (1) Derjenige hat den größten Sehwinkel, der auf der Mittelsenkrechten
von AB steht, also von A und von B gleich weit entfernt ist.
(2) Alle Winkel sind gleich groß (90°).
b) (1) Je weiter P von der Mittelsenkrechten auf AB entfernt ist, umso
kleiner wird der Sehwinkel.
(2) Jeder Winkel ist 90° groß.
67
2. a) Die Perle liegt nicht mehr im Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks,
somit sind die Stützen nicht mehr gleich lang.
b) Da es sich um ein gleichseitiges Dreieck handelt, ändert sich der
Marterialaufwand nicht. Die Summe der Stützlängen ist gleich, egal wo
die Perle liegt.
3. a) AB ≅ 2 ∧M1M2
b) Die „zündende Idee“ besteht in der Anwendung der Kongruenzsätze,
also darin, kongruente Dreiecke zu finden.
Beweisschritt (1): Wechselwinkel an Parallelen
Beweisschritt (2): nach Voraussetzung V 1
Beweisschritt (3): nach Voraussetzung SWS und V2 und V3
50
69
4. a) Beweisschritte (2); (4); (6)
b) Beweisschritte (3) (=(5)); (6)
(3) Voraussetzung:
Dreieck AMC (bzw. MBC) ist ein gleichschenkliges Dreieck mit der
Basis AC (bzw. BC ).
Behauptung:
Die Basiswinkel sind gleich groß.
(6) Voraussetzung:
δ ; ε und ϕ sind Innenwinkel des Dreiecks ABC.
Behauptung:
δ + ε + ϕ = 180°
c) Beweisschritte (7) - (10)
5. a) Die Überprüfung an vielen Beispielen ist kein Beweis, weil sie nicht
allgemeingültig ist.
b) Um zu beweisen, dass C auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB liegt,
muss man zeigen: MA ≅ MC bzw. MB ≅ MC , also dass die beiden
Teildreiecke gleichschenklig sind. Zwar gilt: δ . ε ≅ ϕ1 . ϕ2 ≅ 90″, aber
daraus lässt sich nicht schließen: δ ≅ ϕ1, ε ≅ ϕ2 .
70
6. a) Voraussetzung: ABC ist ein Dreieck
Behauptung: Die Winkelsumme ist 180″.
„Zündende Idee“:
≠ Parallele zu AB durch C zeichnen
≠ Wechselwinkel zu δ und ε einzeichnen
Beweisschritt
(1) δ ’ = δ
(2) ε ’ = ε
(3) δ ’ + ϕ + ε ’ = 180″
(4) δ + ϕ + ε = 180″
Begründung
Wechselwinkelsatz
Wechselwinkelsatz
gestreckter Winkel
wegen (1), (2) und (3)
b) Voraussetzung: ABC ist ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis AB .
Behauptung: Die Winkel bei A und B sind gleich.
„Zündende Idee“: Höhe hc einzeichnen
Beweisschritt
(1) AC ≅ BC
(2) AM ≅ BM
(3) AMC ist
kongruent
zu BMC
(4) ϕ1 ≅ ϕ2
(5) δ = ε
Begründung
gleiche Schenkel
MC ist Symmetrieachse
Die beiden Dreiecke
stimmen in den 3
Seitenlängen überein.
AC und BC sind symmetrisch zu MC
Übereinstimmung der
Winkel in kongruenten
Dreiecken
51
70
7. a) Dreieck AED ist kongruent zum
Dreieck BCF.
Es gibt mehrere Möglichkeiten
des Beweises, z. B.:
Beweis:
(1) Winkel an E = Winkel an F = 90°, und damit sind sie die größen
Winkel in beiden Dreiecken gleich.
| da Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen.
(2) ε 2 ≅ γ 2
(3) AD ≅ BC
| Eigenschaft des Parallelogramms
| Eigenschaft des Parallelogramms
(4) AD r BC
(5) Dreieck AED ist kongruent zu Dreieck BCF | nach Kongruenzsatz
SsW
b) In jedem Parallelogramm
halbieren sich die Diagonalen.
Es gibt mehrere Möglichkeiten
des Beweises, z. B.:
Beweis:
(1) ε 2 ≅ γ 2
| Wechselwinkel an Parallelen
(2) δ 2 ≅ ϕ1
| Wechselwinkel an Parallelen
(3) AD ≅ BC
| Eigenschaft des Parallelogramms
(4) Dreieck BCS ist kongruent zu Dreieck ASD | nach Kongruenzsatz
WSW
| einander entsprechende Seiten in
(5) BS ≅ DS bzw. AS ≅ CS
kongruenten Dreiecken
8. a) Die Aussage ist richtig, A, B und C sind die Seitenmitten des neuen
Dreiecks.
b) Die 3 neu entstehenden Teildreiecke haben mit dem ursprünglichen
Dreieck ABC jeweils eine Seite gemeinsam. Weiterhin sind einander
entsprechende Winkel gleich groß (Wechselwinkel an Parallelen), da
die Konstruktion des neuen Dreiecks über Parallelen durchgeführt wurde.
Nach WSW folgt die Kongruenz der Teildreiecke zum ursprünglichen
Dreieck ABC, also stimmen die Dreiecke auch in ihren Seitenlängen
überein. Daraus ergibt sich, dass A, B und C jeweils Seitenmitten des
grünen Dreiecks sein müssen.
52
70
72
9. (1) μ = 66°
(2) δ = 30°, ε = 60°
(3) ϕ = 44°
Viereck ABCD
Mittenviereck
Quadrat
Quadrat
Rechteck
Raute
Raute
Rechteck
Parallelogramm
Parallelogramm
gleichschenkliges Trapez
Raute
beliebiges Trapez
Parallelogramm
Drachenviereck
Rechteck
beliebiges Viereck
Parallelogramm
b) (1) EF und HG sind parallel und gleich lang.
Dreieck ABC
Dreieck ACD
E ist Mittelpunkt von AB
H ist Mittelpunkt von AD
F ist Mittelpunkt von BC
G ist Mittelpunkt von DC
10. a)
1 AC
2
◊ EF ≅
◊ HG ≅
EF r AC
Wenn EF ≅
1 AC
2
HC r AC
1 AC
2
≅ HG so folgt EF ≅ HG .
Wenn EF r AC r HG , so folgt EF r HG .
(2) EH und FG sind parallel und gleich lang.
Beweis analog zu (1), nur dass man als Hilfslinie die Diagonale BD
benutzt und damit den Beweis über die Dreiecke ABD und BCD führt.
11. a) Eigenschaft des Parallelogramms 0 die Diagonalen halbieren einander.
(vgl. S. 70 Aufgabe 7 b))
b) Zerlege das Viereck in Teildreiecke und Mittenviereck.
c) kongruente Dreiecke
12. (1) δ = 68°
73
(2) δ = 25°, ε = 75°, ϕ = 50°
(3) δ = 125°, ε = 35°
13. a) Vermutung: Alle Winkel sind gleich groß.
b) Die zu einer Kreissehne gehörigen Umfangswinkel auf derselben Seite
der Sehne sind gleich groß.
14. a) Ja, die Vermutung aus Übung 13 wird bestätigt.
b) Beweis des Umfangswinkelsatzes:
δ ≅ ϕ1 und ε ≅ ϕ2 (1)
γ 1 ≅ 180″ 0 2 ∧ϕ1 (4)
γ 2 ≅ 180″ 0 2 ∧ϕ2
Zu zeigen: ϕ ≅ ϕ1 . ϕ2 verändert sich bei der Änderung der Lage von
C nicht. (2)
γ 1 . γ 2 ≅ 360″ 0 2 +ϕ1 . ϕ2 , | Auflösen nach ϕ1 . ϕ2
ϕ1 . ϕ2 ≅ 180″ 0
γ1. γ 2
2
Lässt man C auf dem Kreis wandern, so ändert sich die Summe
γ 1 . γ 2 nicht (3), also auch ϕ ≅ ϕ1 . ϕ2 nicht.
53
73
Mathe-Kiste
≠ Stufenwinkel, Wechselwinkel
≠ in 3 h 12 min
≠ 1 passt zu B, 2 zu A
74
15. a) ABC ist ein gleichseitiges Dreieck, P ein Punkt im Inneren.
Vermutung: Die Summe der Abstände von P zu den Seiten bleibt
konstant.
c) Die Vermutung gilt nicht für andere Dreiecke.
16. „Ist P ein beliebiger Punkt im Innern eines gleichseitigen Dreiecks, so ist die
Summe der Abstände dieses Punktes von den Seiten konstant.“
Beweis:
Mit den Bezeichnungen der Abbildung
gilt für den Flächeninhalt des
Dreiecks ABC:
F ≅ 21 ah1 . 21 ah2 . 21 ah3
≅
a
2
+h1 .
h2 . h3 , | Auflösen nach
h1 . h2 . h3
h1 . h2 . h3 ≅
2 ∧F
a
Damit ist die Summe h1 . h2 . h3
unabhängig von der Lage von P
konstant.
75
17. (1) Das innere Quadrat grenzt an die drei Trapeze, damit reichen drei
Farben nicht aus.
(2)
(3)
Hier reichen sogar drei Farben aus.
18. a) Drei Farben reichen nicht aus.
b) -
19. Nein, vier Farben reichen beim Möbiusband nicht aus.
Hinweis: Für das Möbiusband gilt ein Sechsfarbensatz.