Einsteins Relativitätstheorie... ...relativ einfach erklärt

Einsteins Relativitätstheorie...
...relativ einfach erklärt
Senioren-Universität Luzern
18. April 2013
Arthur Ruh
Sehr geehrte Damen und Herren
Leider erlitt ich ausgerechnet während meines Vortrages eine Attacke einer so
genannten „Transienten globalen Amnesie“ (TGA). Das ist eine plötzlich einsetzende
Störung des Neugedächtnisses, die eine bis mehrere Stunden anhalten kann.
Der oder die Betroffene weiss zwar in der Regel noch, wer er oder sie ist, aber kann
immer wieder fragen: „Wo bin ich? Wie bin ich hieher gekommen?“ Erstaunlicherweise
bleibt die Fähigkeit zu komplexen Tätigkeiten, wie z.B. Autofahren, meist erhalten.
Die Störung bildet sich sich nach einigen Stunden allmählich und vollständig zurück,
aber es bleibt eine Gedächtnislücke für die Zeit der Störung und manchmal auch für
eine gewisse Zeit davor.
Die TGA tritt relativ selten auf, es sind bei 100'000 Personen etwa 5 bis 10 Fälle pro
Jahr. Bei 75 % der Fälle sind die Betroffenen zwischen 50 und 70 Jahre alt. Männer
und Frauen sind gleich häufig betroffen. Die Ursachen dieser Störung sind bis jetzt
nicht bekannt.
Da ich mich überhaupt nicht mehr an den Beginn des Vortrages erinnern kann, weiss
ich natürlich nicht, ab wann ich begonnen habe, Unsinn zu reden. Anscheinend
konnte ich wenigstens am Anfang noch einigermassen vernünftig erklären, was auf
den Bildern zu sehen war. Es fehlten aber wahrscheinlich von allem Anfang an
zusätzliche Erläuterungen zu den Bildern, weil ich für diese Erklärungen zu wenig
durch das betreffende Bild geführt wurde, sondern auf das Gedächtnis angewiesen war.
Ich habe deshalb hier zu den Bildern die Erklärungen hinzugefügt, die ich eigentlich
im Vortrag geben wollte. Die Erklärungen sind durch diesen hellgrauen Hintergrund
kenntlich gemacht. Sie sind in der Regel nach dem Bild zu finden. Wenn nötig,
können Sie jeweils zwischen dem Bild und der Erklärung mehrmals hin- und
herblättern. Ich hoffe, dass mit diesen Erklärungen die Präsentation verständlich wird.
Es tut mir sehr leid, dass ich Sie enttäuscht habe, und ich bedaure sehr, dass ich nicht
Ihre allfälligen Bemerkungen und Fragen beantworten konnte, auf die ich mich
bereits gefreut hatte.
Ich hoffe, dass die Präsentation mit den zusätzlichen Erklärungen wenigstens einen
kleinen Ersatz für den Vortrag liefert.
Arthur Ruh
Einsteins Relativitätstheorie...
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Einsteins Relativitätstheorie...
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Albert Einstein 1879 - 1955
Sicher haben Sie schon einmal...
....eines dieser....
....Bilder gesehen.
Was man jedoch selten zu sehen bekommt, ist dieses Bild.
Dieses Bild zeigt Einstein etwa in dem Alter, als er 1905 seine berühmten
5 Arbeiten, darunter die (spezielle) Relativitätstheorie, publiziert hatte.
Ebenfalls sehr selten sieht man dieses Bild.
Es zeigt Einstein zusammen mit seiner (ersten) Frau Mileva.
Mileva war eine sehr begabte Mathematik-Studentin. Es gibt eine Reihe von
Indizien, die die Frage, ob und wieviel Mileva an der Relativitätstheorie
beteiligt war, als nicht ganz ungerechtfertigt erscheinen lassen.
Es ist unglaublich, wofür der arme Einstein ständig seinen Kopf oder seinen
Namen hinhalten muss.
Das ist eine Werbung. Ich weiss nicht mehr, wofür, aber sie ist mir aufgefallen,
weil schon die Titelzeile irreführend ist.
Vielleicht fliegen Raumschiffe nach seinen Berechnungen, aber jedenfalls nicht unsere.
Dafür sind sie nämlich nicht schnell genug.
Im rot eingerahmten Text hat es zwei Fehler.
„Noch heute werden nach seinen Berechnungen die Flugbahnen von Raumschiffen und
-sonden programmiert.“
Es sollte heissen „Heute werden noch nicht nach seinen Berechnungen...“,
denn unsere Raumschiffe- und sonden erreichen nur Geschwindigkeiten von weniger
als etwa 30 km/s, das ist 10'000 mal weniger als die Lichtgeschwindigkeit.
Deshalb müssen die Flugbahnen nicht mit Hilfe der relativistischen Beziehungen
berechnet werden, sondern die viel einfacheren klassischen Gleichungen sind weitaus
genau genug.
„Seine Gleichung E = mc2 schuf die Grundlage für den Bau der Atombombe.“
Auch wenn man das immer wieder lesen oder hören kann – es ist falsch. Darauf werde
ich noch zurückkommen.
Ich habe nie verstanden, warum diese Sendereihe „Einstein“ heisst.
Soll damit suggeriert werden, dass die Autoren dieser Sendung so genial sind,
oder ist gemeint, dass die Zuschauer dieser Sendung so genial sein müssen?
Können Sie mir das vielleicht erklären?
Einsteins Relativitätstheorie...
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Einsteins Relativitätstheorie...
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Wenn man von „Einsteins Relativitätstheorie“ spricht, muss man eigentlich fragen....
Einsteins Relativitätstheorie...
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Welche ?
Es gibt nämlich zwei.
Zwei Relativitätstheorien
Zwei Relativitätstheorien
1 Spezielle Relativitätstheorie
Geradlinig gleichförmig bewegte Bezugssysteme
(Inertialsysteme)
(1905)
Zwei Relativitätstheorien
1 Spezielle Relativitätstheorie
Geradlinig gleichförmig bewegte Bezugssysteme
(Inertialsysteme)
(1905)
2 Allgemeine Relativitätstheorie
Beliebig bewegte Bezugssysteme
Theorie der Gravitation
(1915)
Zwei Relativitätstheorien
1 Spezielle Relativitätstheorie
Geradlinig gleichförmig bewegte Bezugssysteme
(Inertialsysteme)
(1905)
2 Allgemeine Relativitätstheorie
Beliebig bewegte Bezugssysteme
Theorie der Gravitation
(1915)
Wir werden uns hier nur mit der Speziellen Relativitätstheorie befassen,
mit einer kleinen Ausnahme, wir werden an einer Stelle kurz ein Resultat
der Allgemeinen Relativitätstheorie verwenden.
Relativitätstheorie
l Bezugssysteme, Relativitätsprinzip
l Zeitdilatation, Zwillingsparadoxon
l Masse bewegter Körper
l E = mc2
Relativitätstheorie
l Bezugssysteme, Relativitätsprinzip
l Zeitdilatation, Zwillingsparadoxon
l Masse bewegter Körper
l E = mc2
Als erstes müssen wir uns kurz mit Bezugssystemen befassen.
Bezugssystem
Koordinatensystem, relativ zu dem die Bewegungen
der betrachteten Körper beschrieben werden
Uhren, mit denen die Zeitpunkte von Ereignissen
bestimmt werden
Ein Bezugssystem besteht aus Uhren und einem Koordinatensystem.
Koordinatensystem
Um die Position eines Punktes im Raum zu beschreiben, braucht man ein
Koordinatensystem. Häufig verwendet man ein rechtwinkliges Koordinatensystem, d.h. man hat drei Koordinatenachsen, x, y, und z, die rechtwinklig
zueinander stehen.
Koordinaten
Punkt P im Raum:
x, y, z
Ein Punkt im Raum kann also durch drei Koordinaten, x, y und z, beschrieben werden.
Man kann zum Beispiel vereinbaren: „Wir treffen uns in dem Haus, das auf diesem
Stadtplan x mm vom linken Planrand und y mm vom unteren Planrand entfernt ist.“
Dann kann man noch vereinbaren: „Wir treffen uns im dritten Stock.“ Das wäre dann
die z-Koordinate.
Koordinaten
Punkt P im Raum:
x, y, z
Punkt P in Raum und Zeit: x, y, z, t
Ein Ereignis findet an einem Ort (x, y, z) im Raum zu einer bestimmten Zeit (t) statt.
Wenn man ein Treffen vereinbaren will, muss man nicht nur den Ort nennen, sondern
man muss auch sagen, wann man sich treffen will.
Ereignisse
Wenn ein Ereignis in einem Diagramm aufgezeichnet werden soll, wird eine Achse
des Diagramms für die Zeit benötigt. In einer zweidimensionalen Darstellung kann
dann nur noch eine Ortskoordinate gezeichnet werden (in einer perspektivischen
Zeichnung können neben der Zeitachse noch zwei räumliche Achsen gezeichnet
werden).
Es stellt sich heraus, dass es zweckmässig ist, statt der Zeit t (in Sekunden), die mit
der Lichtgeschwindigkeit multiplizierte Zeit ct (in Metern) aufzuzeichnen.
Ereignisse
Die Ereignisse A und B sind gleichzeitig.
Die Ereignisse A und B liegen im Diagramm genau übereinander,
d.h. für A und für B wird auf der ct-Achse der gleiche Wert abgelesen.
A und B haben die gleiche ct-Koordinate und damit auch die gleiche
Zeitkoordinate, sie finden zur gleichen Zeit statt.
A und B sind gleichzeitig.
C hat eine grössere ct-Koordinate als A und B. C findet später als A und B statt.
Ruhendes Bezugssystem ?
Meistens wird stillschweigend vorausgesetzt, dass wir uns in einem ruhenden
Bezugssystem befinden.
Ist diese Voraussetzung richtig?
Ruhendes Bezugssystem ?
Erdrotation:
316 m/s (auf 47° nördlicher Breite)
Wir befinden uns natürlich keineswegs in einem ruhenden Bezugsssystem.
Allein schon infolge der Erdrotation bewegen wir uns (in einer geographischen
Breite von 47°) mit 316 m/s auf einer Kreisbahn um die Erdachse.
Ruhendes Bezugssystem ?
Erdrotation:
316 m/s (auf 47° nördlicher Breite)
Umlauf der Erde um die Sonne: 29.8 km/s
Die Erde hat auf ihrer Umlaufbahn um die Sonne eine Geschwindigkeit
von 29.8 km/s.
Ruhendes Bezugssystem ?
Erdrotation:
316 m/s (auf 47° nördlicher Breite)
Umlauf der Erde um die Sonne: 29.8 km/s
Umlauf des Sonnensystems um das Galaxiszentrum: 250 km/s
Unser Sonnensystem bewegt sich als Ganzes mit einer Geschwindigkeit
von rund 250 km/s um das Zentrum unserer Milchstrasse.
Ruhendes Bezugssystem ?
Erdrotation:
316 m/s (auf 47° nördlicher Breite)
Umlauf der Erde um die Sonne: 29.8 km/s
Umlauf des Sonnensystems um das Galaxiszentrum: 250 km/s
Bewegung der Galaxis: 600 km/s
Unsere Galaxie bewegt sich schliesslich mit einer Geschwindigkeit von rund 600 km/s
in Richtung des Virgohaufens. Der Virgohaufen ist ein grosser Galaxienhaufen in
etwa 54 Millionen Lichtjahre Abstand von unserer Galaxie.
Ruhendes Bezugssystem ?
Erdrotation:
316 m/s (auf 47° nördlicher Breite)
Umlauf der Erde um die Sonne: 29.8 km/s
Umlauf des Sonnensystems um das Galaxiszentrum: 250 km/s
Bewegung der Galaxis: 600 km/s
Bewegte Bezugssysteme
Man muss sich also überlegen, wie die physikalischen Gesetze in einem
bewegten Bezugssystem aussehen.
Geradlinig gleichförmig bewegtes Bezugssystem
Der einfachste Fall ist ein Bezugssystem, das sich mit konstanter Geschwindigkeit
auf einer Geraden bewegt, ein geradlinig gleichförmig bewegtes Bezugssystem.
Geradlinig gleichförmig bewegtes Bezugssystem
Denken Sie sich einen Eisenbahnwagen oder einen Triebwagen, der auf einer
geraden Strecke mit konstanter Geschwindigkeit erschütterungsfrei und lautlos fährt.
Die beste Realisation dieses Idealfalls dürfte eine Magnetschienenbahn sein.
Geradlinig gleichförmig bewegtes Bezugssystem
In dieser geradlinig gleichförmig bewegten Magnetschienenbahn
sei ein Laboratorium eingerichtet.
Geradlinig gleichförmig bewegtes Bezugssystem
Ein Physiker soll nun in diesem fahrenden Labor alle möglichen Versuche durchführen.
Einfachstes Experiment
Gehen im fahrenden Wagen
Ein ganz einfaches Experiment können Sie in einem fahrenden Eisenbahnwagen
selber anstellen: Marschieren Sie im Wagen in Fahrtrichtung.
Einfachstes Experiment
Gehen im fahrenden Wagen:
genau gleich wie im stillstehenden Wagen
Unter der Voraussetzung, dass der Eisenbahnwagen erschütterungsfrei mit konstanter
Geschwindigkeit geradeaus fährt, fühlt sich das Gehen genau gleich an wie in einem
stillstehenden Wagen.
Addition von Geschwindigkeiten
Geschwindigkeit des Zuges:
v
Geschwindigkeit des Passagiers relativ zum Wagen:
u'
Geschwindigkeit des Passagiers relativ zum Bahndamm: u = v  u '
Wenn der Eisenbahnwagen mit der Geschwindigkeit 100 km/h fährt
und Sie mit der Geschwindigkeit 5 km/h in der Fahrtrichtung im Wagen marschieren,
dann ist Ihre Geschwindigkeit vom Bahndamm aus gesehen offensichtlich 105 km/h.
Denken Sie sich die Wände des Wagens vollständig aus Glas, damit der Beobachter
neben dem Bahndamm Ihre Geschwindigkeit besser messen kann.
Geschwindigkeit
Betrag und Richtung !
Geschwindigkeit
Betrag und Richtung !
Die Geschwindigkeit ist ein Vektor.
Für eine Geschwindigkeit muss immer der Betrag (z.B. in m/s oder km/h)
und die Richtung angegeben werden.
Physikalische Grössen, die durch einen Betrag und eine Richtung charakterisiert sind,
können (in der Regel) durch so genannte Vektoren dargestellt werden.
v = 50 km/h
Dass die Richtung der Geschwindigkeit eine wesentliche Rolle spielt und dass die
die Angabe des Geschwindigkeitsbetrages nicht immer eine hinreichende Information
liefert, sieht man an diesem Beispiel.
Das Bild zeigt eine Strassenkreuzung. Sie sind im Begriff, auf dem Fussgängerstreifen
die Strasse zu überqueren. Sie werden durch den blauen Punkt oben im Bild dargestellt.
Unten im Bild ist ein Auto, das aus Gründen, die gleich klar werden, seltsamerweise
einen quadratischen Grundriss hat. Das Auto fährt mit einer Geschwindigkeit von
50 km/h. Offensichtlich reicht diese Information nicht aus, um die Gefahr der Situation
zu beurteilen.
v = 50 km/h
Wenn das Auto in der Richtung des grünen Pfeils fährt, ist alles in Ordnung.
v = 50 km/h
Wenn das Auto aber in Richtung des roten Pfeils fährt, ist die Situation offenbar
ziemlich kritisch, und Sie sollten besser schnell drei Schritte rückwärts machen.
Die Richtung der Geschwindigkeit ist also (meistens) wesentlich.
Passagier marschiert in Fahrtrichtung:
Wenn wir wieder das Beispiel des Eisenbahnwagens betrachten, der diesmal mit
20 km/h fährt und in dem Sie mit 5 km/h nach vorne marschieren, dann haben Sie
offensichtlich eine Geschwindigkeit von 25 km/h relativ zum Bahndamm.
Passagier marschiert in Fahrtrichtung:
Passagier marschiert gegen die Fahrtrichtung:
Wenn Sie dagegen genau entgegengesetzt zur Fahrtrichtung marschieren,
dann subtrahiert sich natürlich Ihre Geschwindigkeit von der des Zuges und
Sie haben eine Geschwindigkeit von 15 km/h gegenüber dem Bahndamm.
Passagier marschiert quer zur Fahrtrichtung:
a2  b2 = c2
c =  a 2  b2
Wenn Sie quer zur Fahrtrichtung gehen, so dass Ihre Geschwindigkeit genau senkrecht
steht zur Fahrtrichtung des Wagens, bilden die Geschwindigkeit des Zuges bezüglich
des Bahndamms, Ihre Geschwindigkeit bezüglich des Eisenbahnwagens und Ihre
Geschwindigkeit bezüglich des Bahndamms ein rechtwinkliges Dreieck.
Für ein rechtwinkliges Dreieck gilt der Satz von Pythagoras.
Für den Fall, dass Sie den Satz des Pythagoras nicht kennen oder ihn wieder vergessen
haben, sei er hier kurz erklärt.
Nach dem Satz von Pythagoras ist die Summe der Quadrate der Katheten gleich dem
Quadrat der Hypothenuse. Das Quadrat von a bedeutet a mit sich selbst multipliziert
(a2 = a mal a).
Werden also die Quadrate von a und b addiert, ergibt sich eine Zahl z = c 2, die das
Quadrat der gesuchten Zahl c ist. Man sucht jetzt eine Zahl c, die mit sich selbst
multipliziert die gegebene Zahl z ergibt. Man sagt „c ist die Wurzel von z“ und schreibt
c = z.
Wurzeln
2⋅2 = 4
4 = 2
3⋅3 = 9
9 = 3
6⋅6 = 36
 36 = 6
 2 = 1.414213
 3 = 1.732050
Aus 2 mal 2 gleich 4 folgt sofort, dass die Wurzel aus 4 gleich 2 ist.
Mit „Wurzel“ ist hier immer die Qudratwurzel gemeint.
Wurzeln können aber nicht nur aus den Quadratzahlen der ganzen Zahlen gezogen
werden. Die Wurzel lässt sich aus einer beliebigen positiven Zahl ziehen (es ist sogar
die Wurzel aus einer negativen Zahl definiert, aber darauf wird hier nicht weiter
eingegangen).
Die Quadratwurzel aus einer Nichtquadratzahl ist irrational, d.h. sie kann nicht als
Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden und ihre Darstellung als
Dezimalbruch bricht nicht ab und ist nicht periodisch.
In der Beschreibung des Vortrags wurde gesagt, es würden keinerlei mathematischen
Kenntnisse vorausgesetzt. Wenn wir jetzt schon dabei sind, den Begriff der
Qudratwurzel zu erklären, können wir gleich auch noch den Begriff der Zehnerpotenz
erklären.
Zehnerpotenzen
1
10
2
10
3
10
4
10
= 10
= 100
= 1000
= 10000
Zu dieser Tabelle könnte man eigentlich schreiben „Ohne Worte“,
denn die Tabelle erklärt sich selbst.
Die kleine hochgestellte Zahl, der so genannte Exponent, ist einfach
gleich der Zahl der Nullen hinter der Eins.
Zehnerpotenzen
1
10
2
10
3
10
4
10
= 10
= 100
= 1000
= 10000
–1
10
–2
10
–3
10
–4
10
= 0.1
= 0.01
= 0.001
= 0.0001
Genau so einfach sind die negativen Zehnerpotenzen definiert.
Zehnerpotenzen
1
10
2
10
3
10
4
10
–1
= 10
= 100
= 1000
= 10000
10
–2
10
–3
10
–4
10
2
3
2+3
2
–2
2–2
= 0.1
= 0.01
= 0.001
= 0.0001
5
10 • 10 = 10
= 10
2
–4
2–4
–2
10 • 10 = 10
= 10
2
4
2–4
–2
10 / 10
= 10
= 10
10 • 10
= 10
0
= 10 = 1
Mit Zehnerpotenzen kann besonders einfach gerechnet werden.
Bei einer Multiplikation werden einfach die Exponenten addiert,
und bei einer Division wird der Exponent des Nenners vom Exponenten
des Zählers subtrahiert.
Die Tabelle ist wieder weitgehend selbsterklärend.
Die letzte Zeile zeigt, dass es sinnvoll und konsequent ist, die zunächst nicht
definierte Zehnerpotenz 100 als 1 zu definieren.
Dass Zehnerpotenzen sehr nützlich sind, zeigt das folgende Beispiel.
Strahlungsleistung der Sonne:
385'000'000'000'000'000'000'000'000 W
Zunächst einmal ist es offensichtlich sehr mühsam, eine solche Zahl zu schreiben.
Stellen Sie sich jetzt vor, Sie müssten diese Zahl jemandem am Telefon übermitteln.
Selbst wenn Sie wissen, wie man diese Zahl ausspricht, ist es unsicher, ob auch Ihr
Gesprächspartner, weiss, wie es nach Trillionen, Quadrillionen, Quintillionen usw.
weitergeht. Also sagen Sie doch besser „3 8 5 und dann noch 24 Nullen“. Und das
lässt sich eben am einfachsten folgendermassen sagen.
Strahlungsleistung der Sonne:
385'000'000'000'000'000'000'000'000 W
26
3.85·10 W
So lässt sich die Zahl nicht nur viel einfacher und sicherer sagen und übermitteln,
sondern so lässt sich die Zahl auch viel einfacher und sicherer schreiben.
Passagier marschiert quer zur Fahrtrichtung:
a2  b2 = c2
c =  a 2  b2
Wir waren dabei, Ihre Geschwindigkeit relativ zum Bahndamm zu berechnen,
wenn Sie mit 5 km/h quer zur den 20 km/h des Eisenbahnzuges marschieren.
Nach Pythogoras rechnen wir also 202 + 52 = 400 + 25 = 425 und ziehen dann
die Wurzel aus 425 und erhalten 20.6.
Geradlinig gleichförmig bewegtes Laboratorium
Das Marschieren im Eisenbahnwagen war ja nur das einfachste Beispiel eines
Experiments in einem geradlinig gleichförmig bewegten Bezugssystem. Wir stellen
jetzt einem Physiker alle Apparate, Geräte und Messinstrumente zur Verfügung, die
er sich nur wünschen kann. Währendem vorhin der Eisenbahnwagen durchsichtig war,
damit man die Bewegung des marschierenden Passagiers von aussen besser beobachten
konnte, kleben wir jetzt perfiderweise alle Fenster zu, damit der Physiker nicht
hinausschauen kann. Um ganz sicher zu gehen, versetzen wir den armen Kerl in Narkose,
damit er das Anfahren des Zuges nicht feststellen kann.
Wenn dann der Zug mit konstanter Geschwindigkeit (und völlig erschütterungsfrei und
absolut lautlos!) dahingleitet und der Physiker aus der Narkose erwacht, soll er mit
seinen Experimenten beginnen. Wir lassen ihm genügend Zeit, aber dann fragen wir
ihn: „Fährt der Zug oder steht er still?“ Es stellt sich heraus, dass er überhaupt keine
Möglichkeit hat, das festzustellen.
Alle Experimente verlaufen im fahrenden Labor
genau gleich wie im stillstehenden Labor.
Mit „fahrendem Labor“ ist wieder ein Bezugssystem gemeint, das sich mit
konstanter Geschwindigkeit geradlinig bewegt.
Da alle Experimente im „fahrenden Labor“ genau gleich ablaufen wie im
„ruhenden Labor“, kann gar nicht entschieden werden, welches Labor das
„ruhende“ ist.
Ein Bezugssystem, in dem ein Körper, auf den keine Kräfte wirken, sich geradlinig
gleichförmig bewegt, wird „Inertialsystem“ genannt. Ein Bezugssytem, das sich
gegenüber einem Inertialsystem geradling gleichförmig bewegt, ist ebenfalls ein
Inertialsystem.
Relativitätsprinzip
Die physikalischen Gesetze haben
in jedem Bezugssystem die gleiche Form.
Bevor ein Physiker empört aufspringt und „Unsinn!“ schreit, präzisieren wir das zu:
Relativitätsprinzip
Die physikalischen Gesetze haben
in jedem Inertialsystem die gleiche Form.
Da also ein „ruhendes“ Bezugssystem in keiner Weise gegenüber einem
Inertialsystem ausgezeichnet ist, macht es eigentlich gar keinen Sinn,
überhaupt von einem „ruhenden“ Bezugssystem zu sprechen.
Wenn trotzdem im Folgenden der Einfachheit halber von einem „ruhenden“ Bezugssystem die Rede sein wird, ist genaugenommen damit ein Inertialsystem gemeint,
das willkürlich herausgegriffen als ruhendes System bezeichnet wird und bezüglich
dessen die Bewegungen der anderen Bezugssysteme beschrieben werden.
Koordinatensysteme
x = x'  v t'
y = y'
z = z'
t = t'
Es werden nun zwei relativ zueinander bewegte Bezugssysteme betrachtet.
Das blaue Koordinatensystem x,y,z sei das „ruhende“.
Das rote Koordinatensystem x',y',z' bewege sich in Richtung der x-Achse
mit der Geschwindigkeit v. Die Achsen y und y' und die Achsen z und z' seien
je parallel zueinander. Die Achsen x und x' sollen zusammenfallen, der Deutlichkeit
halber sind jedoch etwas versetzt gezeichnet. Zur Zeit t = 0 sollen die beiden
Koordinatenursprünge (x = y = z = 0 und x' = y' = z' = 0) zusammenfallen.
Die Koordinaten in y- und z-Richtung stimmen überein: y = y' und z = z'.
Zu der Koordinate x' im roten System kommt die vom roten im blauen System in der
Zeit t' zurückgelegte Strecke vt'. Das ergibt sofort: x = x' + vt'.
Dass t = t' gilt, d.h. dass die Zeit im bewegten und im ruhenden Bezugssystem
genau gleich abläuft, wurde in der klassischen Physik stets als selbstverständlich
betrachtet.
Koordinatentransformationen
Galilei-Transformation
x = x'  v t'
y = y'
z = z'
t = t'
Die eben hergeleiteten Beziehungen zwischen x',y',z',t' und x,y,z,t werden als
Galilei-Transformation bezeichnet.
Während die Galilei-Transformation sehr gut mit den Resultaten von mechanischen
Experimenten übereinzustimmen schien, zeigten sich in der Elektrodynamik
immer mehr Widersprüche. Insbesondere zeigte das berühmte Experiment von
Michelson und Morley1987, dass die Lichtgeschwindigkeit im bewegten und
im ruhenden Bezugssystem den gleichen Wert hat. Das ist jedoch völlig im
Widerspruch zur Galilei-Transformation. Da die Galiei-Transformation zudem
das Relativitätsprinzip nicht erfüllt, müssen offenbar die TransformationsGleichungen geändert werden. Einstein sah ein, dass die als selbstverständlich
betrachtete Annahme t = t' falsch sein muss.
Die Galilei-Transformation muss durch die Lorentz-Transformation ersetzt werden.
Koordinatentransformationen
Galilei-Transformation
Lorentz-Transformation
x = x'  v t'
x=
y = y'
y = y'
z = z'
z = z'
t = t'
t=
x'  v t'

v2
1− 2
c
v
t'  2 x'
c

v2
1− 2
c
Die Transformations-Gleichung für die x-Koordinate in der Lorentz-Transformation
unterscheidet sich von der Transformations-Gleichung in der Galilei-Transformation
durch den Nenner mit der Wurzel

2
v
1− 2 .
c
Solange die Geschwindigkeit v klein ist verglichen mit der Lichtgeschwindigkeit c,
hat die Wurzel nahezu den Wert 1, so dass die Lorentz-Transformation sich kaum
unterscheidet von der Galilei-Transformation.
Ziemlich dramatisch ist nun die Beziehung für t', die zeigt, dass die Zeit im
bewegten Koordinatensystem nicht gleich abläuft wie im ruhenden System.
Addition von Geschwindigkeiten
Raumschiff
Torpedo
u' =
3
v= c
4
3
c
4
Aus der Lorentz-Transformation folgen einige verblüffende Resultate.
Als erstes betrachten wir die Addition von Geschwindigkeiten.
Ein Raumschiff fliege mit ¾ der Lichtgeschwindigkeit und schiesse ein
„Raumtorpedo“ ab, das gegenüber dem Raumschiff eine Geschwindigkeit hat,
die gleich ¾ der Lichtgeschwindigkeit ist. Ob das technisch machbar ist, braucht
uns hier nicht weiter zu kümmern.
Addition von Geschwindigkeiten
Raumschiff
Torpedo
u' =
3
v= c
4
Klassisch:
3
3
1
u = v  u' = c  c = 1 c
4
4
2
3
c
4
Wenn wir klassisch rechnen, d.h. genau so, wie wir das beim Passagier im
Eisenbahnwagen gemacht haben, erhalten wir offensichtlich für die
Geschwindigkeit des Torpedos, die ein „ruhender“ Beobachter messen würde:
¾ c + ¾ c = 1½ c.
Addition von Geschwindigkeiten
Raumschiff
Torpedo
u' =
3
c
4
3
v= c
4
Relativistisch:
3
3
6
c c
c
v  u'
4
4
4
24
u=
=
=
=
c
vu '
9
16  9
25
1 2
1
16
16
c
Wenn wir dagegen die Geschwindigkeiten richtig, d.h. mit der relativistisch
gültigen Gleichung, addieren, ergibt sich ein anderes Resultat. Die relativistische
Gleichung unterscheidet sich von der klassischen Gleichung durch den eigenartigen Nenner, der dafür sorgt, dass das Resultat stets kleiner ist als die Lchtgeschwindigkeit, solange v und u' kleiner sind als c.
Mit den gewählten Geschwindigkeiten v = ¾ c und u' = ¾ c ergibt sich für die
vom ruhenden Beobachter gemessene Geschwindigkeit u = 24/25 c.
Wird dagegen u' = c gewählt, d.h. sendet das Raumschiff einen Laserstrahl nach
vorne, so ergibt sich – wie leicht nachgerechnet werden kann – für die vom
ruhenden Beobachter gemessene Geschwindigkeit u des Laserlichts die gleiche
Geschwindigkeit c.
Relativitätstheorie
l Bezugssysteme, Relativitätsprinzip
l Zeitdilatation, Zwillingsparadoxon
l Masse bewegter Körper
l E = mc2
Zeitdilatation
t =
t '

v2
1− 2
c
Wohl eines der verblüffendsten Resultate der Relativitätstheorie ist die so
genannte Zeitdilatation.
Die aus der Lorentz-Transformation folgende Beziehung für Δt und Δt' zeigt,
dass ein Zeitintervall Δt' des bewegten Beobachters dem ruhenden Beobachter
gedehnt erscheint.
Zeitdilatation
t =
t '

v2
1− 2
c
Beispiel:
v = 0.8c
v
= 0.8
c
Zeitdilatation
t =
t '

v2
1− 2
c
Beispiel:
v = 0.8c
v
= 0.8
c
t '
t '
t '
t ' 5
t =
=
=
=
= t '
2
 1 − 0.8  1 − 0.64  0.36 0.6 3
Das Beispiel zeigt:
Wenn an Bord eines Raumschiffs, das sich gegenüber dem ruhenden Beobachter
mit 80 % der Lichtgeschwindigkeit bewegt, 3 Stunden ablaufen, vergehen für
den ruhenden Beobachter 5 Stunden.
Ist das nicht alles nur Theorie?
Jetzt ist man vielleicht versucht, zu protestieren:
„Das ist doch alles nur Theorie!“
Experimente zur Zeitdilatation
Tatsächlich gibt es jedoch eine Reihe von Experimenten, welche die
Zeitdilatation bestätigen.
Myonenzerfall
  e  e  
Myonen sind Elementarteilchen, die in Elektronen, Elektronen-Antineutrinos
und Myon-Neutrinos zerfallen.
Was Elektronen-Antineutrinos und Myon-Neutrinos sind, braucht uns in diesem
Zusammenenhang nicht weiter zu kümmern.
Uns interessiert hier nur die Halbwertszeit.
Myonenzerfall
  e  e  
Halbwertszeit:
T = 1.5⋅10−6 s
Die Myonen zerfallen mit einer Halbwertszeit von 1.5 Mikrosekunden.
Das bedeutet: Nach 1.5 Millionstelsekunden existieren noch die Hälfte der anfänglich
vorhandenen Myonen, nach 3 Mikrosekunden, dh. nach 2 Halbwertszeiten, noch ein
Viertel, nach 4.5 μs noch ein Achtel, usw.
Myonenzerfall
  e  e  
Halbwertszeit:
T = 1.5⋅10−6 s
Myonen werden in der Atmosphäre in grosser Höhe
durch die kosmische Strahlung erzeugt.
Myonenzerfall
  e  e  
Halbwertszeit:
T = 1.5⋅10−6 s
Myonen werden in der Atmosphäre in grosser Höhe
durch die kosmische Strahlung erzeugt.
Geschwindigkeit:
v = 0.9997 c ≈ c
Myonenzerfall
  e  e  
Halbwertszeit:
T = 1.5⋅10−6 s
Myonen werden in der Atmosphäre in grosser Höhe
durch die kosmische Strahlung erzeugt.
Geschwindigkeit:
v = 0.9997 c ≈ c
In einer Halbwertszeit zurückgelegter Weg:
s = v⋅T = 3⋅108⋅1.5⋅10−6 = 450
s = 450 m
Da die Myonen sich nahezu mit Lichtgeschwindigkeit (≈ 3·108 m/s) bewegen,
legen sie in in einer Halbwertszeit (1.5·10-6 s)
3·108·m/s·1.5·10-6 s = 450 m zurück.
Myonenzerfall
6 Halbwertszeiten:
6 · 450 m = 2700 m
(½)6 = 1/ 64
500 / 64 = 7.8
Nach 6 Halbwertszeiten haben die Myonen 6·450 m = 2700 m zurückgelegt.
Nach 6 Halbwertszeiten sind nur noch (1/2) 6 = 1/64 der ursprünglichen Myonen
vorhanden.
Wenn also in einer Höhe von 3500 m über Meer 500 Myonen (mit einem
bestimmten Detektor in einem bestimmten Zeitintervall) gemessen werden,
dann sollten in der Höhe 3500 m – 2700 m = 800 m nur noch 500/64 = 7.8
Myonen gemessen werden.
Myonenzerfall
6 Halbwertszeiten:
6 · 450 m = 2700 m
(½)6 = 1/ 64
500 / 64 = 7.8
Gemessen werden aber 450 Myonen. Es sind also viel weniger Myonen zerfallen.
Das ist darauf zurückzuführen, dass im schnell bewegten Bezugssystem
der Myonen viel weniger als 6 Halbwertszeiten vergangen sind, weil in
diesem Bezugssystem die Zeit langsamer vergeht als auf der Erde.
Elementarteilchen....
.... ja – vielleicht....
.... aber auch richtige Uhren ?
Jetzt sagen Sie vielleicht: „Elementarteilchen – ja gut, das kann ja vielleicht sein,
aber so etwas passiert doch sicher nicht mit richtigen Uhren!“
Zeitdilatations-Experiment
J. Hafele und R. Keating, 1971: Erdumfliegung mit 4 Atomuhren
Tatsächlich wurde 1971 ein Experiment mit Atomuhren gemacht.
Zwei Physiker umflogen mit 4 Atomuhren die ganze Erde einmal in Richtung Osten
und einmal in Richtung Westen.
Zeitdilatations-Experiment
J. Hafele und R. Keating, 1971: Erdumfliegung mit 4 Atomuhren
Zeitunterschiede
gerechnet
Geschwindigkeit
Ostflug
Westflug
ns
ns
-184 ± 18
+96 ±10
Die Erde dreht sich von Westen nach Osten (daher bewegen sich die Sonne, der Mond
und die Sterne scheinbar von Osten nach Westen).
Ein Ort auf dem Aequator bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von rund 460 m/s
Deshalb läuft eine Uhr am Aequator langsamer als eine Uhr, die sich zwar mit der
Erde um die Sonne bewegt, aber die Erddrehung um die Erdachse nicht mitmacht.
Bei einem Flugzeug, das nach Osten fliegt, addiert sich die Fluggeschwindigkeit
zur der durch Erddrehung bewirkten Geschwindigkeit. Daher läuft die Uhr
im Flugzeug noch langsamer verglichen mit der Uhr ausserhalb der Erde und
auch langsamer verglichen mit der Uhr auf der Erde. Die Uhr im Flugzeug geht
also nach.
Bei einem Flugzeug, das nach Westen fliegt, subtrahiert sich die Fluggeschwindigkeit
von der Drehgeschwindigkeit der Erde. Das Flugzeug bewegt sich also von einem
Punkt ausserhalb der Erde gesehen langsamer als ein Punkt auf dem Aequator.
Somit geht die Uhr im Flugzeug weniger nach gegenüber der Uhr ausserhalb der
Erde als die Uhr auf dem Aequator. Das bedeutet aber, dass die Uhr im Flugzeug
verglichen mit der Uhr auf dem Aequator vor geht.
Bei diesen Ueberlegungen wurde immer von Uhren gesprochen.
Es ist aber nicht etwa die Uhr, die durch die Bewegung irgendwie beeinflusst würde,
es ist die Zeit als solche, die in den verschiedenen Bezugssystemen unterschiedlich
schnell vergeht.
Zeitdilatations-Experiment
J. Hafele und R. Keating, 1971: Erdumfliegung mit 4 Atomuhren
Zeitunterschiede
Ostflug
Westflug
ns
ns
Geschwindigkeit
-184 ± 18
+96 ±10
Gravitation
+144 ± 14
+179 ±18
gerechnet
Zu diesem durch die Fluggeschwindigkeit bewirkten Effekt kommt ein Effekt hinzu,
der durch die Gravitation verursacht wird.
In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird gezeigt, dass in einem
Gravitationsfeld die Zeit langsamer verläuft als ausserhalb des Feldes.
Da das Schwerefeld der Erde mit der Höhe über der Erde abnimmt, ist das
Gravitationsfeld an Bord des Flugzeuges etwas weniger stark als auf der
Erdoberfläche. Deshalb läuft die Zeit an Bord des Flugzeuges schneller
und die Uhr im Flugzeug geht vor.
Zeitdilatations-Experiment
J. Hafele und R. Keating, 1971: Erdumfliegung mit 4 Atomuhren
Zeitunterschiede
Ostflug
Westflug
ns
ns
Geschwindigkeit
-184 ± 18
+96 ±10
Gravitation
+144 ± 14
+179 ±18
-40 ± 23
+275 ± 21
gerechnet
Gesamteffekt
Während beim Flug in Richtung Osten die Effekte der Geschwindigkeit und
der Gravitation sich voneinander subtrahieren, addieren sie sich beim Flug
nach Westen.
Da sowohl die Flughöhe als auch die Fluggeschwindigkeit nicht in jedem
Moment ganz genau bekannt waren, sind die berechneten Effekte mit einer
gewissen Unsicherheit behaftet.
Zeitdilatations-Experiment
J. Hafele und R. Keating, 1971: Erdumfliegung mit 4 Atomuhren
Zeitunterschiede
Ostflug
Westflug
ns
ns
Geschwindigkeit
-184 ± 18
+96 ±10
Gravitation
+144 ± 14
+179 ±18
-40 ± 23
+275 ± 21
Uhr 1
-57
+277
Uhr 2
-74
+284
Uhr 3
-55
+266
Uhr 4
-51
+266
gerechnet
Gesamteffekt
gemessen
Zeitdilatations-Experiment
J. Hafele und R. Keating, 1971: Erdumfliegung mit 4 Atomuhren
Zeitunterschiede
Ostflug
Westflug
ns
ns
Geschwindigkeit
-184 ± 18
+96 ±10
Gravitation
+144 ± 14
+179 ±18
-40 ± 23
+275 ± 21
Uhr 1
-57
+277
Uhr 2
-74
+284
Uhr 3
-55
+266
Uhr 4
-51
+266
-59 ± 10
+273 ± 7
gerechnet
Gesamteffekt
gemessen
Mittelwerte
Auch die von den Atomuhren gemessenen Zeiten sind natürlich mit
unvermeidlichen Messfehlern behaftet.
(Jedes Messgerät misst nur mit einer begrenzten Genauigkeit.)
Die theoretischen und die gemessenen Zeitunterschiede stimmen bei
Berücksichtigung der theoretischen und experimentellen Fehler
bestens überein.
− 40 ± 23 = − 59 ± 10
+ 275 ± 21 = + 273 ± 7
Das Zwillingsparadoxon
Albert: Erde
Eugen: Raumschiff mit v = 0.8c
Ein besonders eindrückliches Beispiel für die Zeitdilatation
ist das so genannte Zwillingsparadoxon.
Während Albert auf der Erde zurückbleibt, fliegt sein Zwillingsbruder, Eugen,
mit einem Raumschiff mit 80 % der Lichtgeschwindigkeit weg zu einem weit
entfernten Stern und kehrt dann mit der gleichen Geschwindigkeit sofort wieder
zurück.
Dass man nicht augenblicklich von Null auf die Lichtgeschwindigkeit
beschleunigen kann, ist ein „kleines technisches Detail“ (!), um das wir uns
zunächst nicht weiter kümmern.
Die Wahl des Namens „Albert“ braucht wohl nicht weiter begründet zu werden,
aber vielleicht sollte erklärt werden, an wen beim Namen „Eugen“ gedacht wurde.
Eugen Sänger 1905 - 1964
Prof. Eugen Sänger war wohl der erste, der Raumflüge mit relativistischen
Geschwindigkeiten berechnete.
Sänger, Eugen: „Zur Mechanik der Photonen-Strahlantriebe“
Oldenburg, München 1956.
Das Zwillingsparadoxon
Albert: Erde
Eugen: Raumschiff mit v = 0.8c
Das Zwillingsparadoxon
Albert: Erde
Eugen: Raumschiff mit v = 0.8c
Entfernung des Zielsterns: 4 Lichtjahre
Eugen fliege zu einem Stern, der 4 Lichtjahre entfernt ist.
Zwar existiert in 4 Lichtjahren Entfernung kein Stern. Der nächste Stern ist
4.3 Lichtjahre entfernt, aber mit 4 Lichtjahren wird die Rechnung einfacher.
Ein Lichtjahr ist nicht etwa eine Zeiteinheit (wie gelegentlich irrtümlicherweise
geglaubt wird), sondern die Strecke, die das Licht in einem Jahr zurücklegt.
1 Lichtjahr = 9.45·1015 m
Das Zwillingsparadoxon
Albert: Erde
Eugen: Raumschiff mit v = 0.8c
Entfernung des Zielsterns: 4 Lichtjahre
Reisezeit von der Erde aus gesehen:
Reisezeit an Bord des Raumschiffs:
5
3
Jahre
Jahre
Da Eugen mit 80 % der Lichtgeschwindigkeit fliegt, braucht er für die 4 Lichtjahre
5 Jahre.
Für eine Geschwindigkeit von 0.8 c hatten wir schon berechnet, dass für
3 Zeiteinheiten im bewegten System 5 Zeiteinheiten im ruhenden System
vergehen.
Wenn also die Reise von der Erde aus gesehen 5 Jahre dauert,
vergehen an Bord des Raumschiffs nur 3 Jahre.
Das Zwillingsparadoxon
Albert: Erde
Eugen: Raumschiff mit v = 0.8c
Entfernung des Zielsterns: 4 Lichtjahre
Reisezeit von der Erde aus gesehen:
Reisezeit an Bord des Raumschiffs:
Vom Raumschiff aus gesehen:
Erde entfernt sich mit v = 0.8c
5
3
Jahre
Jahre
Wenn, wie vorausgesetzt, das Raumschiff mit konstanter Geschwindigkeit fliegt,
ist es ein Inertialsystem, und Eugen kann sich auf den Standpunkt stellen:
„Ich stehe still, aber Albert entfernt sich mit der Erde von mir mit 80 % der
Lichtgeschwindigkeit. Folglich läuft seine Zeit nur 3/5 mal so schnell wie meine.
Somit sind für ihn nur 3/5 · 3 Jahre, also 1.8 Jahre, vergangen.“
Das Zwillingsparadoxon
Albert: Erde
Eugen: Raumschiff mit v = 0.8c
Entfernung des Zielsterns: 4 Lichtjahre
Reisezeit von der Erde aus gesehen:
Reisezeit an Bord des Raumschiffs:
5
3
Jahre
Jahre
Vom Raumschiff aus gesehen:
Erde entfernt sich mit v = 0.8c
Reisezeit an Bord des Raumschiffs:
Reisezeit auf der Erde:
3 Jahre
1.8 Jahre
Während also für Albert die Reise von Eugen 5 Jahre dauert, könnte Eugen
meinen, für Albert seien nur 1.8 Jahre vergangen, wenn er (Eugen) beim
Zielstern ankommt.
Das führt zunächst zu keinem dramatischen Widerspruch, weil Albert und Eugen
nicht direkt miteinander kommunizieren können. Jedes Signal zwischen Albert
und Eugen ist ja 4 Jahre unterwegs. Wenn Eugen Albert eine Frage stellt,
muss er 8 Jahre auf die Antwort warten.
Das Zwillingsparadoxon
Albert: Erde
Eugen: Raumschiff mit v = 0.8c
Entfernung des Zielsterns: 4 Lichtjahre
Reisezeit von der Erde aus gesehen:
Reisezeit an Bord des Raumschiffs:
5
3
Jahre
Jahre
Vom Raumschiff aus gesehen:
Erde entfernt sich mit v = 0.8c
Reisezeit an Bord des Raumschiffs:
Reisezeit auf der Erde:
3 Jahre
1.8 Jahre
Reisezeit für Hin- und Rückflug:
Albert:
Eugen:
Albert aus der Sicht Eugens:
10 Jahre
6 Jahre
3.6 Jahre
Das Zwillingsparadoxon
Albert: Erde
Eugen: Raumschiff mit v = 0.8c
Entfernung des Zielsterns: 4 Lichtjahre
Reisezeit von der Erde aus gesehen:
Reisezeit an Bord des Raumschiffs:
5
3
Jahre
Jahre
Vom Raumschiff aus gesehen:
Erde entfernt sich mit v = 0.8c
Reisezeit an Bord des Raumschiffs:
Reisezeit auf der Erde:
3 Jahre
1.8 Jahre
Reisezeit für Hin- und Rückflug:
Albert:
Eugen:
Albert aus der Sicht Eugens:
Differenz für Alberts Alterung:
10
6
3.6
6.4
Jahre
Jahre
Jahre
Jahre
Wenn dagegen Eugen zurückkehrt, wird die Situation seltsam.
Albert stellt fest an Hand des Kalenders, dass Eugen 10 Jahre unterwegs war.
Andererseits zeigt Eugens Kalenderuhr, dass er nur 6 Jahre unterwegs war,
und er ist auch nur 6 Jahre älter geworden. Auf Grund der Relativitätstheorie
erwartet er aber, dass für Albert nur 3.6 Jahre vergangen sind.
Das Zwillingsparadoxon
Albert: Erde
Eugen: Raumschiff mit v = 0.8c
Entfernung des Zielsterns: 4 Lichtjahre
Reisezeit von der Erde aus gesehen:
Reisezeit an Bord des Raumschiffs:
5
3
Jahre
Jahre
Vom Raumschiff aus gesehen:
Erde entfernt sich mit v = 0.8c
Reisezeit an Bord des Raumschiffs:
Reisezeit auf der Erde:
3 Jahre
1.8 Jahre
Reisezeit für Hin- und Rückflug:
Albert:
Eugen:
Albert aus der Sicht Eugens:
Differenz für Alberts Alterung:
10
6
3.6
6.4
Jahre
Jahre
Jahre
Jahre
Paradox?
Das ist das Paradoxon: Wenn Eugen zurückkommt, ist Albert 10 Jahre älter geworden.
Eugen ist jedoch überzeugt, dass Albert nur 3.6 Jahre älter geworden sein kann.
Wie kommt es zu dieser Differenz von 6.4 Jahren?
Oder anders ausgedrückt:
Albert ist überzeugt, dass Eugen 4 Jahre jünger ist als Albert, wenn er zurückkommt.
Eugen ist jeoch überzeugt, dass Albert 2.4 Jahre jünger ist als Eugen, wenn er Albert
wieder trifft.
Also ist doch alles ganz falsch?
Um das besser zu verstehen, müssen wir erst einmal ein Weg-Zeit-Diagramm
betrachten.
Weg-Zeit-Diagramm
In einem Weg-Zeit-Diagramm ist der Ort eines Körpers als Funktion der Zeit
aufgetragen. Dort, wo die Kurve (oder Gerade) steil ansteigt, bewegt sich der
Körper offenbar schnell, während dort, wo die Kurve flach verläuft, der Körper
sich langsam bewegt. Wenn die Kurve horizontal, d.h. parallel zur t-Achse,
verläuft, steht der Körper still, da sich seine Ortskoordinate x nicht ändert.
Koordinatensysteme
Wir betrachten jetzt ein (rotes) Koordinatensystem x'y'z', das sich mit der
Geschwindigkeit v relativ zum „ruhenden“ (blauen) Koordinatensystem xyz in
Richtung der x-Achse bewegt. Die beiden Achsen x und x' sollen zusammenfallen,
sie sind jedoch der Deutlichkeit halber etwas versetzt gezeichnet.
Zur Zeit t = 0 sei der Ort x' = 0 am Ort x = 0.
Die t'-Achse entspricht dem Ort x' = 0.
v = 0.167c
Das „gestrichene Koordinatensystem“ x'y'z' bewege sich mit der Geschwindigkeit
v = 0.167c, d.h. seine Geschwindigkeit beträgt 16.7 % der Lichtgeschwindigkeit.
Zweckmässigerweise sind hier wieder statt der Zeiten t und t' die mit der
Lichtgeschwindigkeit multiplizierten Zeiten aufgetragen, also die Strecken ct und ct'.
Da sich der Punkt x' = 0 mit der Geschwindigkeit v im Koordinatensystem xyz
bewegt, ist die ct'-Achse geneigt, denn sie ist nichts anderes als das Weg-ZeitDiagramm des Punktes x' = 0 im System xyz.
So weit sieht alles genau gleich aus wie in der klassichen Physik.
v = 0.167c
Was hingegen nur in der relativistischen Physik auftritt, ist die Neigung der x'-Achse.
Die Punkte auf der x-Achse haben ja alle die gleiche Zeit t = 0,
und die Punkte auf der x'-Achse haben alle die Zeit t' = 0.
In der klassischen Physik würden die beiden Achsen x und x' zusammenfallen,
weil die Zeit im bewegten System genau gleich ist wie im ruhenden System.
In der relativistischen Physik ist jedoch die x'-Achse nicht parallel zur x-Achse,
sondern geneigt.
v = 0.8 c
Je grösser die Geschwindigkeit ist, umso stärker sind die Neigungen der
x'- und ct'-Achsen.
Für die ct'-Achse ist das unmittelbar klar. Sie stellt ja das Weg-Zeit-Diagramm des
Punktes x' = 0 dar, und dieses verläuft umso steiler, je grösser die Geschwindigkeit ist.
Die x'-Achse ist umso stärker geneigt, je grösser die Geschwindgkeit ist, weil die
Zeitdilatation mit der Geschwindigkeit zunimmt.
Im bewegten Koordinatensystem sind diejenigen Ereignisse gleichzeitig, die auf
Parallelen zur x'-Achse liegen.
Ereignisse
System x, y, z:
Die Ereignisse A und B sind gleichzeitig.
Wir hatten gesehen, dass im System xyz die Ereignisse gleichzeitig sind, welche
die gleiche ct-Koordinate haben. Das sind diejenigen Punkte, die auf Parallelen
zur x-Achse liegen, d.h. die senkrecht bezüglich der ct-Achse übereinander liegen,
also z.B. die Punkte A und B.
Ereignisse
System x', y', z':
Die Ereignisse A und C sind gleichzeitig.
Im System x'y'z' dagegen sind die Ereignisse gleichzeitig, die auf Parallelen
zur x'-Achse liegen, also z.B. die Punkte A und C.
Gleichzeitigkeit
Es gibt keine absolute Gleichzeitigkeit.
Gleichzeitigkeit
Es gibt keine absolute Gleichzeitigkeit.
Der Begriff „gleichzeitig“ ist relativ.
Gleichzeitigkeit
Es gibt keine absolute Gleichzeitigkeit.
Der Begriff „gleichzeitig“ ist relativ.
Zwei relativ zueinander bewegte Beobachter
nehmen unterschiedliche Paare von
Ereignissen als gleichzeitig wahr.
Dieses Bild ist das Weg-Zeit-Diagramm von Eugen auf seiner Hinreise.
Das Bild zeigt das Weg-Zeit-Diagramm von Eugens Hin- und Rückreise.
Ereignisse
System x', y', z':
Die Ereignisse A und C sind gleichzeitig.
Auf der Hinreise, d.h. während Eugen sich in Richtung der x-Achse bewegt,
sind für ihn die Ereignisse gleichzeitig, die auf Parallelen zur x'-Achse liegen,
also z.B. die Ereignisse A und C.
Wir zeichnen jetzt eine Gerade der Gleichzeitigkeit in dasWeg-Zeit-Diagramm ein...
...für den Moment, in dem er beim Zielstern ankommt, aber immer noch die
Geschwindigkeit v = 0.8 c hat.
Man kann leicht ausrechnen, wo diese Gerade der Gleichzeitigkeit die Zeitachse t
schneidet, und erhält 1.8 Jahre nach dem Start von Eugen.
Wenn also Eugen am Ziel ankommt (aber sich immer noch mit 80 % der
Lichtgeschwindigkeit bewegt), findet er, dass auf der Erde nur 1.8 Jahre
vergangen sind.
Er hat natürlich keine Möglichkeit, dies direkt nachzuprüfen.
Wenn er nun augenblicklich(!) abgebremst hat, ist er in Ruhe in Bezug auf das
System xyz. Damit hat er die gleiche Zeit wie Albert, d.h. 5 Jahre nach dem Start.
Während des Abbremsvorgangs sind also für ihn auf der Erde 3.2 Jahre
vergangen. Auch das kann er natürlich nicht direkt feststellen.
Wenn er sich nun auf die Rückreise begibt und wieder augenblicklich auf die
Geschwindigkeit 0.8c beschleunigt, bewegt er sich entgegengesetzt zur Richtung
der x-Achse. Damit ist seine Gerade der Gleichzeitigkeit in diese Richtung
geneigt. Die Rechnung zeigt, dass diese Gerade die Zeitachse t bei 8.2 Jahren
schneidet. In dem Moment, da Eugen (instantan) am Zielort umgekehrt ist,
sind für ihn auf der Erde 6.4 Jahre (in einem einzigen Augenblick) vergangen.
Wie gesagt, kann er das nicht direkt nachprüfen. Wenn er aber wieder auf der
Erde ankommt, sind auf der Erde nicht 3.6 Jahre vergangen, wie er berechnet hat,
ohne seine Fahrtrichtungsänderung beim Umkehren zu berücksichtigen,
sondern tatsächlich 10 Jahre, wie auch Albert auf seiner Kalenderuhr abliest.
Das Zwillingsparadoxon
Albert: Erde
Eugen: Raumschiff mit v = 0.8c
Entfernung des Zielsterns: 4 Lichtjahre
Reisezeit von der Erde aus gesehen:
Reisezeit an Bord des Raumschiffs:
5
3
Jahre
Jahre
Vom Raumschiff aus gesehen:
Erde entfernt sich mit v = 0.8c
Reisezeit an Bord des Raumschiffs:
Reisezeit auf der Erde:
3 Jahre
1.8 Jahre
Reisezeit für Hin- und Rückflug:
Albert:
Eugen:
Albert aus der Sicht Eugens:
Differenz für Alberts Alterung:
10
6
3.6
6.4
Jahre
Jahre
Jahre
Jahre
Paradox?
Die 6.4 Jahre, die während Eugens Fahrtrichtungsänderung auf der Erde vergehen,
sind genau die Differenz, die sich bei den beiden Rechnungen in Alberts und
Eugens Bezugssystemen ergeben haben.
Es ist also kein Paradoxon. Ein Paradoxon ergibt sich nur, wenn nicht richtig
gerechnet wird.
Kein Paradoxon!
Albert ist wirklich
10 Jahre älter geworden,
während für Eugen nur 6 Jahre vergangen sind.
Eine augenblickliche Beschleunigung von 0 auf 0.8c ist natürlich nicht nur technisch,
sondern auch physikalisch unmöglich.
Denkbar wäre ein Raumschiff, mit dem konstant mit 10 m/s 2 beschleunigt wird,
d.h. in jeder Sekunde nimmt die Geschwindigkeit des Raumschiffs um 10 m/s zu
(von einem momentan mit konstanter Geschwindigkeit mitbewegten System aus
gesehen).
Wenn wir ein solches Raumschiff haben, beschleunigen wir bis zur Wegmitte
mit 10 m/s2 , schalten das Triebwerk ab, drehen das Schiff um 180° herum,...
...schalten das Triebwerk wieder ein und bremsen bis zum Ziel konstant ab mit
10 m/s2 , d.h. in jeder Sekunde wird das Raumschiff 10 m/s langsamer (von einem
momentan mit konstanter Geschwindigkeit mitbewegten System aus gesehen).
Raumschiff: konstante Beschleunigung mit 10 m/s2
Die Passagiere spüren ihr normales Gewicht.
„Unten“ ist das Heck des Schiffes.
Raumschiff: konstante Beschleunigung mit 10 m/s2
Die Passagiere spüren ihr normales Gewicht.
„Unten“ ist das Heck des Schiffes.
Erde:
mit zunehmender Geschwindigkeit nimmt die
Beschleunigung des Raumschiffes immer mehr ab
und geht gegen null
Während Eugen an Bord des Raumschiffs auf Grund seiner Messungen (und
seines gefühlten „Gewichts“) schliesst, dass er konstant mit 10 m/s 2 beschleunigt,
würde Albert feststellen, dass die Beschleunigung von Eugens Schiff immer
kleiner wird.
Reisezeiten für relativistische Reisen
Zielstern
Alpha Centauri
Distanz
Reisezeit in Jahren
Hinflug
Retour
Lichtjahre Erdzeit Bordzeit Erdzeit Bordzeit
4.3
5.90
3.52
11.8
7.04
Fliegen wir also auf diese Weise zum nächsten Fixstern, zum Alpha Centauri,
der 4.3 Lichtjahre entfernt ist.
Genau genommen ist Alpha Centauri ein Doppelsternsystem, und es ist umstritten,
ob auch der 4.22 Lichtjahre entfernte Zwergstern Proxima Centauri zu diesem
System gehört.
Von der Erde aus gesehen dauert die Reise 5.9 Jahre, aber an Bord vergehen nur
3.5 Jahre. Wenn wir zurückkommen, sind auf der Erde 11.8 Jahre vergangen,
während wir an Bord des Raumschiffes nur 7 Jahre älter geworden sind.
Reisezeiten für relativistische Reisen
Zielstern
Alpha Centauri
Sirius
Distanz
Reisezeit in Jahren
Hinflug
Retour
Lichtjahre Erdzeit Bordzeit Erdzeit Bordzeit
4.3
5.90
3.52
11.8
7.04
8.6
10.3
4.55
20.6
9.10
Je weiter wir fliegen, d.h. je länger wir beschleunigen und je näher wir an die
Lichtgeschwindigkeit herankommen, umso grösser wird der Zeitdilatations-Effekt.
Wenn wir von einer Reise zum Sirius zurückkommen, sind wir nur etwas mehr als
9 Jahre älter geworden, während auf der Erde mehr als 20 Jahre vergangen sind.
Reisezeiten für relativistische Reisen
Zielstern
Alpha Centauri
Sirius
Wega
Distanz
Reisezeit in Jahren
Hinflug
Retour
Lichtjahre Erdzeit Bordzeit Erdzeit Bordzeit
4.3
5.90
3.52
11.8
7.04
8.6
10.3
4.55
20.6
9.10
25
26.8
6.35
53.6
12.7
Wenn wir zur Wega fliegen, sind wir bei der Rückkehr weniger als 13 Jahre älter
geworden, aber auf der Erde sind mehr als 53 Jahre vergangen.
Und viel weiter als bis zur Wega dürfen wir nicht reisen, wenn wir bei der Rückkehr
die Menschen noch treffen wollen, die wir gekannt haben.
Reisezeiten für relativistische Reisen
Zielstern
Alpha Centauri
Sirius
Wega
Aldebaran
Distanz
Reisezeit in Jahren
Hinflug
Retour
Lichtjahre Erdzeit Bordzeit Erdzeit Bordzeit
4.3
5.90
3.52
11.8
7.04
8.6
10.3
4.55
20.6
9.10
25
26.8
6.35
53.6
12.7
62
63.9
8.00
128
16.0
Reisezeiten für relativistische Reisen
Zielstern
Alpha Centauri
Sirius
Wega
Aldebaran
Polarstern
Distanz
Reisezeit in Jahren
Hinflug
Retour
Lichtjahre Erdzeit Bordzeit Erdzeit Bordzeit
4.3
5.90
3.52
11.8
7.04
8.6
10.3
4.55
20.6
9.10
25
26.8
6.35
53.6
12.7
62
63.9
8.00
128
16.0
400
402
11.5
804
23.0
Wenn wir vom Polarstern zurückkommen, sind wir 16 Jahre älter geworden,
während auf der Erde mehr als 800 Jahre vergangen sind.
Reisezeiten für relativistische Reisen
Zielstern
Alpha Centauri
Sirius
Wega
Aldebaran
Polarstern
Galaxiszentrum
Distanz
Reisezeit in Jahren
Hinflug
Retour
Lichtjahre Erdzeit Bordzeit Erdzeit Bordzeit
4.3
5.90
3.52
11.8
7.04
8.6
10.3
4.55
20.6
9.10
25
26.8
6.35
53.6
12.7
62
63.9
8.00
128
16.0
400
402
11.5
804
23.0
28'000 28'000
19.6
56'000
39.6
Sogar das 28'000 Lichtjahre entfernte Zentrum unserer Milchstrasse kann in
nur 20 Jahren Bordzeit erreicht werden.
Wenn Sie dorthin fliegen, nehmen Sie doch einen Astrophysiker mit. Den machen
Sie damit überglücklich. Der kommt auch mit, wenn Sie sagen, es gebe keine
Rückfahrkarte.
Wenn (falls !) Sie zurückkommen, sind Sie nur 40 Jahre älter geworden,
aber auf der Erde sind 56'000 Jahre vergangen.
Reisezeiten für relativistische Reisen
Zielstern
Alpha Centauri
Sirius
Wega
Aldebaran
Polarstern
Galaxiszentrum
Andromeda
Distanz
Reisezeit in Jahren
Hinflug
Retour
Lichtjahre Erdzeit Bordzeit Erdzeit Bordzeit
4.3
5.90
3.52
11.8
7.04
8.6
10.3
4.55
20.6
9.10
25
26.8
6.35
53.6
12.7
62
63.9
8.00
128
16.0
400
402
11.5
804
23.0
28'000 28'000
19.6
56'000
39.6
2.3 M
2.3 M
27.9
4.6 M
55.8
Auch die nächste Galaxie, die Andromeda-Galaxie, ist erreichbar.
Wenn wir zurückkommen, sind wir „nur“ 56 Jahre älter geworden,
aber auf der Erde sind inzwischen 4.6 Millionen Jahre vergangen.
Es fragt sich, ob dann die „Heim“-Reise sich überhaupt noch lohnt...
Gute Nachricht:
Gute Nachricht:
Mit einem Raumschiff, das mit 10 m/s2 beschleunigt,
kann innerhalb eines Menschenlebens jeder beliebige Punkt
des (bekannten) Universums erreicht werden.
Gemeint ist damit nur die „einfache Fahrt“ ohne Rückfahrt. Weil während der
ganzen Fahrt ständig beschleunigt wird, kommt das Raumschiff immer näher
an die Lichtgeschwindigkeit heran, und die Zeitdilatation wird immer grösser.
Gute Nachricht:
Mit einem Raumschiff, das mit 10 m/s2 beschleunigt,
kann innerhalb eines Menschenlebens jeder beliebige Punkt
des (bekannten) Universums erreicht werden.
Schlechte Nachricht:
Gute Nachricht:
Mit einem Raumschiff, das mit 10 m/s2 beschleunigt,
kann innerhalb eines Menschenlebens jeder beliebige Punkt
des (bekannten) Universums erreicht werden.
Schlechte Nachricht:
Wie ist das aber mit dem Antrieb?
Rakete
Ausströmgeschwindigkeit des Treibstrahls: u
Chemische Triebwerke:
Nukleare Triebwerke:
Ionentriebwerke:
4.5 km/s
10 km/s
250 km/s
Rakete
Ausströmgeschwindigkeit des Treibstrahls: u
Chemische Triebwerke:
Nukleare Triebwerke:
Ionentriebwerke:
m0
v = u ln  
m
4.5 km/s
10 km/s
250 km/s
m0 /m ist das so genannte Massenverhältnis der Rakete. m0 ist Anfangsmasse der
Rakete, d.h. die Masse der mit Treibstoff vollgetankten Rakete. m ist die Endmasse
der Rakete, d.h. die Masse der Rakete, wenn aller Treibstoff verbraucht worden ist.
ln ist der natürliche Logarithmus. Man muss diese Funktion nicht kennen, um
das in der folgenden Tabelle wiedergegebene Resultat zu verstehen.
Die Formel gilt für eine Rakete, die nicht in einem Schwerefeld startet. Wenn die
Rakete beim Aufstieg „ihre Schwerkraft überwinden“ muss, ist die erreichte
Endgeschwindigkeit natürlich kleiner. Bei einem interstellaren Flug wird aber
nahezu die ganze Wegstrecke in einem praktisch schwerefreien Raum zurückgelegt.
Rakete
Ausströmgeschwindigkeit des Treibstrahls: u
Chemische Triebwerke:
Nukleare Triebwerke:
Ionentriebwerke:
4.5 km/s
10 km/s
250 km/s
m0
v = u ln  
m
Massenverhältnis
der Rakete
10
30
1000
1000000
Endgeschwindigkeit
der Rakete
2.3 u
3.4 u
6.9 u
13.8 u
Wenn die Rakete ein Massenverhältnis von 10 aufweist, ist die Endgeschwindigkeit,
die sie erreicht, nur 2.3 mal grösser als die Ausströmgeschwindigkeit des
Treibstrahls.
Ein Massenverhältnis von 10 ist schon ein sehr hoher Wert.
Das kann am Beispiel eines Autos veranschaulicht werden.
Auto mit Massenverhältnis 10
Auto mit Massenverhältnis 10
Auto vollgetankt:
1500 kg
Auto mit Massenverhältnis 10
Auto vollgetankt:
1500 kg
Auto mit leerem Tank: 150 kg
Ein Auto mit einem Massenverhältnis von 10, das im vollgetankten Zustand eine
Masse von 1500 kg hat, darf mit leerem Tank nur eine Masse von 150 kg haben.
Chassis, Motor, Räder und Fahrer dürfen also zusammen nicht mehr als 150 kg Masse
haben. Für eine Karosserie reicht es wohl nicht mehr.
Rakete
Ausströmgeschwindigkeit des Treibstrahls: u
Chemische Triebwerke:
Nukleare Triebwerke:
Ionentriebwerke:
4.5 km/s
10 km/s
250 km/s
m0
v = u ln  
m
Massenverhältnis
der Rakete
10
30
1000
1000000
Endgeschwindigkeit
der Rakete
2.3 u
3.4 u
6.9 u
13.8 u
Lichtgeschwindigkeit: 300'000 km/s
Selbst mit einem absurden Massenverhältnis von 1'000'000 könnte nur das
13.8-fache der Treibstrahl-Geschwindigkeit erreicht werden, also bestenfalls
rund 3500 km/s. Das ist ein wenig mehr als 1 % der Lichtgeschwindigkeit.
Ein Vergrössern des Massenverhältnisses führt offenbar nicht zum Ziel.
Viel mehr bringt ein Vergrössern der Strahlgeschwindigkeit.
Ziel: möglichst grosse Strahlgeschwindigkeit
Ziel: möglichst grosse Strahlgeschwindigkeit
Radikale Lösung:
u=c
Die maximale Treibstrahl-Geschwindigkeit, die (theoretisch) erreicht werden kann,
ist die Lichtgeschwindigkeit c.
Da Lichtquanten Photonen genannt werden, wird eine Rakete, die einen
Lichtstrahl als Antrieb verwendet, als Photonenrakete bezeichnet.
Ziel: möglichst grosse Strahlgeschwindigkeit
Radikale Lösung:
Photonenrakete
u=c
Gibt es denn Photonenraketen?
Gibt es denn Photonenraketen?
Ja, seit über 100 Jahren!
Taschenlampe als Photonenrakete
P
a=
mc
v = at
vt
s=
2
Auch wenn einem diese drei Formeln nichts sagen, kann man trotzdem
wieder das Resultat verstehen.
Taschenlampe als Photonenrakete
P
a=
mc
m = 1 kg
v = at
vt
s=
2
P=2 W
Die Taschenlampe habe eine Masse von 1 kg und gebe einen Lichtstrahl
mit einer Leistung von 2 W ab.
Die Taschenlampe werde irgendwo im Weltraum, weit weg von Schwerefeldern
von irgendwelchen Körpern (Sterne, Planeten usw.) deponiert und eingeschaltet.
Die Batterie liefere für unbegrenzte Zeit Strom, und die Glühlampe habe eine
unbegrenzte Lebensdauer.
Durch das abgestrahlte Licht erfährt die Taschenlampe einen Rückstoss und
wird beschleunigt. Die Beschleunigung ist allerdings sehr klein.
Taschenlampe als Photonenrakete
P
a=
mc
m = 1 kg
v = at
vt
s=
2
P=2 W
a = 6.67⋅10−9 ms−2
Damit die Bewegung der Taschenlampe besser festgestellt werden kann,
wird neben ihr eine „Boje“ deponiert.
Nach einem Jahr schauen wir wieder nach, was passiert ist.
Taschenlampe als Photonenrakete
P
a=
mc
v = at
m = 1 kg
P=2 W
a = 6.67⋅10−9 ms−2
Nach 1 Jahr:
v = 21 cm/s
vt
s=
2
Nach einem Jahr ununterbrochener Beschleunigung hat also unsere Photonenrakete
die phantastische Geschwindigkeit von 21 cm/s erreicht.
Taschenlampe als Photonenrakete
P
a=
mc
v = at
m = 1 kg
P=2 W
a = 6.67⋅10−9 ms−2
Nach 1 Jahr:
v = 21 cm/s
s = 3320 km
vt
s=
2
Aber immerhin hat sie in dieser Zeit eine Strecke von 3320 km zurückgelegt.
Zu Fuss wäre man allerdings weiter gekommen...
Photonenrakete mit einer Beschleunigung von 10 m/s2
Wir möchten aber eine Photonenrakete, die eine Beschleunigung von 10 m/s 2 erreicht.
Photonenrakete mit einer Beschleunigung von 10 m/s2
Spezifische Leistung: 3000 MW / kg
Dazu müsste das Triebwerk eine spezifische Leistung von 3000 MW/kg haben,
genauer gesagt, nicht das Triebwerk, sondern das ganze Raumschiff müsste
diese spezifische Leistung haben.
Das bedeutet, dass zum Beispiel diese Taschenlampe, die eine Masse von 1 kg hat,
einen gerichteten Lichtstrahl mit einer Leistung von 3000 Megawatt liefern müsste,
und das während Jahren.
Bei einem Raumschiff stände ja nicht die ganze Masse für das Triebwerk zur
Verfügung, sondern ein (grosser) Teil der Masse würde auf die Hülle des Schiffs,
den Treibstoff und die Nutzlast entfallen.
Eine solche Leistungsdichte scheint auch für eine noch so fortgeschrittene Technik
nicht möglich zu sein.
Für eine interstellare Reise muss man sich also etwas Besseres als eine Photonenrakete
einfallen lassen...
Relativitätstheorie
l Bezugssysteme, Relativitätsprinzip
l Zeitdilatation, Zwillingsparadoxon
l Masse bewegter Körper
l E = mc2
Masse und Impuls
m=
m0

2
v
1− 2
c
In vielen populärwissenschaftlichen Texten über Relativitätstheorie findet man
diese Formel und/oder die Feststellung, dass die Masse eines Körpers mit der
Geschwindigkeit zunehme.
Masse und Impuls
m=
m0

2
v
1− 2
c
Masse und Impuls
m=
m0
m0

2
v
1− 2
c
m
Die Physiker verwenden jedoch diese Formel nicht und brauchen auch nicht
den Begriff „relativistische Masse“, weil diese im Prinzip gar nicht gemessen
werden kann.
Wenn sie von „Masse“ sprechen, meinen sie stets die Masse m 0 des ruhenden
Teilchens, aber nennen das nicht „Ruhmasse“, sondern nur einfach Masse.
Masse und Impuls
m=
m0

2
v
1− 2
c
m0
p =
m
m v

v2
1− 2
c
Was die Physiker brauchen, ist der Impulserhaltungssatz
und die Formel für den Impuls.
Was daraus folgt, kann am folgenden einfachen Beispiel veranschaulicht werden.
Kollision von PW und LKW
PW: 1 Tonne
LKW: 40 Tonnen
Ein Personenwagen mit einer Masse von 1000 kg pralle gegen einen stillstehenden
Lastwagen mit einer Masse von 40 Tonnen.
Kollision von PW und LKW
PW: 1 Tonne
Kollisionsenergie:
LKW: 40 Tonnen
Q = 0.976 T
Der Lastwagen wird sich durch den Aufprall kaum bewegen, und der Personenwagen
wird sofort praktisch vollständig abgebremst. Dadurch wird nahezu seine ganze
kinetische Energie (Bewegungsenergie) T in Kollisionsenergie (das ist eigentlich
„Formänderungsarbeit“) Q umgewandelt.
97.6 % der kinetischen Energie wird in Kollisionsenergie umgesetzt.
Kollision von PW und LKW
PW: 1 Tonne
Kollisionsenergie:
LKW: 40 Tonnen
Q = 0.0244 T
Wenn dagegen der Lastwagen gegen den stillstehenden Personenwagen prallt,
schiebt er diesen vor sich her und wird dabei nur wenig verlangsamt. Nur ein
kleiner Bruchteil (2.4 %) seiner kinetischen Energie wird in Kollisionsenergie
umgewandelt.
Da seine Masse 40 mal grösser ist als die Masse des Personenwagens, ist bei
gleicher Geschwindigkeit auch seine kinetische Energie 40 mal grösser als die
des Personenwagens. Die „Formänderungsarbeit“ ist daher in beiden Fällen gleich
gross.
Inelastischer Stoss von Protonen
Bei Autozusammenstössen ist die „Formänderungsarbeit“ sehr unerwünscht.
In der Teilchenphysik dagegen sind die Physiker sehr interessiert an möglichst
hohen Kollisionsenergien.
Inelastischer Stoss von Protonen
Reaktionsenergie
Klassisch:
1
Q= T
2
Wenn zum Beispiel Protonen gegen ruhende Protonen (Kerne von Wasserstoffatomen)
geschossen werden, dann ist in der klassischen Physik die Kollisionsenergie gleich
der Hälfte der kinetischen Energie der Protonen.
Q = ½ T.
Der Teilchenbeschleuniger muss also die Protonen auf eine Energie beschleunigen,
die doppelt so gross ist wie die erwünschte Reaktionsenergie (Kollisionsenergie).
Das ist nicht weiter schlimm.
Inelastischer Stoss von Protonen
Reaktionsenergie
Relativistisch (für T >> mc2 ):
Q =  2 mc T
2
In der Relativitätstheorie ergibt sich leider ein ganz anderes Resultat.
Die Reaktionsenergie ist bei hohen Energien proportional zur Wurzel aus der
kinetischen Energie der Teilchen.
Wenn also die Theoretiker den Experimentalphysikern sagen „Bei einer 10 mal
höheren Energie könnte man dieses interessante Resultat der Theorie testen“,
dann müssen die Experimentalphysiker nicht eine Maschine bauen, die eine
10 mal höhere Teilchenenergie liefert, sondern eine Maschine, die eine 100 mal
höhere Energie liefert.
Kollidierende Strahlen
Um diese Schwierigkeit zu vermeiden, ist man auf die Idee der
„kollidierenden Strahlen“ gekommen.
Kollidierende Strahlen
Zwei gleiche Teilchen, zum Beispiel Protonen, werden mit gleicher Geschwindigkeit
frontal gegeneinander geschossen. Nach dem Impulserhaltungssatz bewegen
sich die Teilchen nach dem Stoss nicht mehr. Das folgt schon aus Symmetriegründen.
In welche Richtung sollten sich die Teilchen denn bewegen? Nach links oder nach
rechts?
Da also nach dem Stoss keine kinetische Energie mehr vorhanden ist, wurde die
ganze kinetische Energie der beiden Teilchen in Reaktionsenergie umgesetzt.
LHC
Large Hadron Collider
Das Prinzip der kollidierenden Strahlen wird beim Large Hadron Collider
des CERN eingesetzt.
CERN
CERN photo
LHC
CERN photo
Der LHC ist ein Beschleuniger, der in einem Ringtunnel von 27 km Umfang
untergebracht ist.
Wenn Sie diesen Beschleuniger zu Fuss ganz besichtigen möchten, müssten
Sie etwa 5 Stunden marschieren!
LHC
Large Hadron Collider
Zwei kollidierende Protonenstrahlen mit je 7 TeV
Wenn der LHC seine volle Leistung erreicht hat, werden zwei Protonenstrahlen
mit je 7 TeV gegeneinander geschossen.
eV bedeutet Elektronvolt. Das Elektronvolt ist eine Energieeinheit, die im Bereich
der Atom-, Kern- und Teilchenphysik zweckmässig ist.
T ist die Abkürzung für Tera. Der Vorsatz Tera bedeutet 10 12.
Elektronvolt
Durchläuft eine Elementarladung im leeren Raum eine
Potentialdifferenz von 1 Volt, so gewinnt sie eine Energie
von 1 Elektronvolt.
1 eV = 1.602 · 10−19 J
1 TeV = 1012 eV
LHC
Large Hadron Collider
Zwei kollidierende Protonenstrahlen mit je 7 TeV
LHC
Large Hadron Collider
Zwei kollidierende Protonenstrahlen mit je 7 TeV
Kollisionsenergie: 14 TeV (14 ⋅ 1012 eV)
LHC
Large Hadron Collider
Zwei kollidierende Protonenstrahlen mit je 7 TeV
Kollisionsenergie: 14 TeV (14 ⋅ 1012 eV)
Kollisionsenergie für Protonen mit 7 TeV auf ruhende
Protonen:
0.113 TeV
Wenn Protonen mit einer Energie von 7 TeV auf ruhende Protonen geschossen
würden, ergäbe sich eine Kollisionsenergie von nur 0.113 TeV.
LHC
Large Hadron Collider
Zwei kollidierende Protonenstrahlen mit je 7 TeV
Kollisionsenergie: 14 TeV (14 ⋅ 1012 eV)
Kollisionsenergie für Protonen mit 7 TeV auf ruhende
Protonen:
0.113 TeV
Notwendige Energie eines Beschleunigers für eine Kollisionsenergie von 14 TeV bei Beschuss von ruhenden Protonen:
105'000 TeV
Wollte man beim Beschuss von ruhenden Protonen eine Reaktionsenergie von
14 TeV erreichen, müsste der Beschleuniger eine Energie von 105'000 TeV
liefern.
Dieser Beschleuniger hätte (bei sonst gleichen Maschinenparametern) einen
Durchmesser von 128'000 km.
LHC
Large Hadron Collider
Zwei kollidierende Protonenstrahlen mit je 7 TeV
Kollisionsenergie: 14 TeV (14 ⋅ 1012 eV)
Kollisionsenergie für Protonen mit 7 TeV auf ruhende
Protonen:
0.113 TeV
Notwendige Energie eines Beschleunigers für eine Kollisionsenergie von 14 TeV bei Beschuss von ruhenden Protonen:
105'000 TeV
Durchmesser dieser Maschine: 128'000 km
Relativitätstheorie
l Bezugssysteme, Relativitätsprinzip
l Zeitdilatation, Zwillingsparadoxon
l Masse bewegter Körper
l E = mc2
E = mc2
E = mc2 ist wohl die berühmteste physikalische Gleichung.
Es ist jedoch keineswegs eine „Wunderformel“.
Was soll das heissen?
Die Maxwellschen Gleichungen des Elektromagnetismus könnte man als
„Wunderformeln“ bezeichnen, denn diese vier Gleichungen (in
relativistischer Formulierung nur zwei Gleichungen) beschreiben alle
Phänomene des Elektromagnetismus und der Optik.
Die Gleichung E = mc2 beschreibt dagegen keine Phänomene und erklärt
nichts, sondern ist „nur“ eine „Bilanzgleichung“, die allerdings oft recht
nützlich ist.
E = mc 2
Einstein hat in seiner berühmten Arbeit „Ist die Trägheit eines Körpers von
seinem Energieinhalt abhängig?“ von 1905 die Beziehung zwischen Masse
und Energie gar nie in der Form E = mc2 geschrieben, sondern seine Gleichung
sah folgendermassen aus:
E = mc 2
L v2
K0 − K1 = 2
V 2
In der heutigen Schreibweise würde diese Beziehung so aussehen:
E = mc 2
m =
E
c2
Die Physiker verwenden weder die eine noch die andere Gleichung,
sondern die folgenden Beziehungen:
E = mc 2
m =
E
c2
E 0 = mc
2
E=
mc 2

v2
1− 2
c
2
E = mc  T
E = mc 2
m =
E
c2
E 0 = mc
2
2
2
E=
4
2
E =m c  p c
2
mc 2

v2
1− 2
c
2
E = mc  T
E = mc2
Grundlage der Atombombe ?
1. Juli 1946
E = mc2
Grundlage der Atombombe ?
Immer wieder kann man hören oder lesen, die Gleichung E = mc 2 sei die
Grundlage der Atombombe.
Das ist Unsinn.
Es ist zwar nicht völlig falsch, aber vollkommen irreführend.
Wenn E = mc2 als Grundlage der Atombombe betrachtet wird, dann ist diese
Gleichung ebenso sehr die Grundlage für einen Benzinmotor, eine Oelheizung,
eine Kerzenflamme oder sogar den Stoffwechsel eines Eichhörnchens.
Die Beziehung gilt nämlich ganz allgemein und gilt nicht nur für kernphysikalische
Reaktionen, sondern ebenso zum Beispiel für chemische Prozesse.
Der Unterschied zwischen kernphysikalischen und chemischen Vorgängen besteht
lediglich darin, dass für chemische Reaktionen die Massenunterschiede so klein
sind, dass sie nicht gemessen werden können.
Für die Entwicklung der Atombombe wurde die Gleichung E = mc 2 nicht wirklich
gebraucht. Die Atombombe hätte auch entwickelt werden können, wenn diese
Gleichung gar nicht bekannt gewesen wäre.
E = mc2 ist, wie gesagt, wohl die bekannteste physikalische Gleichung.
Sie ist aber zugleich leider auch die wohl am häufigsten missverstandene Gleichung.
Auch wenn man es immer wieder hören oder lesen kann:
Bei einer Atombombe wird nicht Materie in Energie umgewandelt.
Die Zahl der Protonen und der Neutronen vor und nach der Spaltung der
Uranatome (oder Plutoniumatome) ist gleich gross.
Die Gesamtmasse der Spaltprodukte und der Neutronen nach der Spaltung eines
Urankerns (oder Plutoniumkerns) ist jedoch kleiner als die Masse des Urankerns
vor der Spaltung.
Genau genommen ist die bei der Kernspaltung freiwerdende Energie gleich dem Unterschied der
Coulomb-Energien des Urankerns (oder Plutoniumkerns) und der Kerne der Spaltprodukte. Eine
Uran- oder Plutonium-Bombe ist eigentlich eine elektrische Bombe. Nur bei den Fusionswaffen
(„Wasserstoffbomben“) wird die freiwerdende Energie durch die Kernkräfte verursacht. Das heisst,
nur Fusionswaffen sind im eigentlichen Sinn des Wortes Kernwaffen.
E = mc2
Grundlage der Atombombe ?
Die Gleichung E = mc2 erklärt zwar nicht die Fusionsprozesse
in der Sonne, aber sie erlaubt, den Massenverlust der Sonne
einfach zu berechnen.
Leuchtkraft der Sonne
Am Ort der Erde beträgt die Strahlungsintensität S der Sonne 1.37 kW/m 2.
Wenn dieser Strahlungsfluss mit der Oberfläche der Kugel multipliziert wird,
deren Radius gleich dem Erdbahnradius ist, ergibt sich die von der Sonne total
abgestrahlte Leistung.
Leuchtkraft der Sonne
Leuchtkraft, total abgestrahlte Leistung:
L = 4 R 2 S
Die Oberfläche einer Kugel mit Radius R ist 4π R2.
Leuchtkraft der Sonne
Leuchtkraft, total abgestrahlte Leistung:
L = 4 R 2 S
11 2
3
L = 41.50⋅10  ⋅1.37⋅10 = 3.87⋅10
26
Der Radius R der (nahezu kreisförmigen) Erdbahn ist rund 150 Millionen km,
also 1.5·1011 m.
Damit ergibt sich für die von der Sonne total abgestrahlte Leistung 3.87·1026 W.
(Der Unterschied zu dem am Anfang genannten Wert von 3.85·1026 W ist darauf
zurückzuführen, dass für die Rechnung hier leicht gerundete Werte für R und S
verwendet wurden.)
Massenverlust der Sonne
26
3.87⋅10
E
9
m= 2 =
=
4.30⋅10
8 2
c
3⋅10 
Für die Masse, welche die Sonne pro Sekunde verliert, ergibt sich:
m = E/c2 = 4.3·109 kg.
Massenverlust der Sonne
26
3.87⋅10
E
9
m= 2 =
=
4.30⋅10
8 2
c
3⋅10 
Massenverlust der Sonne durch Strahlung:
4.3 Millionen Tonnen pro Sekunde
Massenverlust der Sonne
26
3.87⋅10
E
9
m= 2 =
=
4.30⋅10
8 2
c
3⋅10 
Massenverlust der Sonne durch Strahlung:
4.3 Millionen Tonnen pro Sekunde
Massenverlust der Sonne durch Sonnenwind:
Massenverlust der Sonne
26
3.87⋅10
E
9
m= 2 =
=
4.30⋅10
8 2
c
3⋅10 
Massenverlust der Sonne durch Strahlung:
4.3 Millionen Tonnen pro Sekunde
Massenverlust der Sonne durch Sonnenwind:
≈ 1 Million Tonnen pro Sekunde
Massenverlust der Sonne
26
3.87⋅10
E
9
m= 2 =
=
4.30⋅10
8 2
c
3⋅10 
Massenverlust der Sonne durch Strahlung:
4.3 Millionen Tonnen pro Sekunde
Massenverlust der Sonne durch Sonnenwind:
≈ 1 Million Tonnen pro Sekunde
Totaler Massenverlust der Sonne:
Massenverlust der Sonne
26
3.87⋅10
E
9
m= 2 =
=
4.30⋅10
8 2
c
3⋅10 
Massenverlust der Sonne durch Strahlung:
4.3 Millionen Tonnen pro Sekunde
Massenverlust der Sonne durch Sonnenwind:
≈ 1 Million Tonnen pro Sekunde
Totaler Massenverlust der Sonne:
≈ 5.3 Millionen Tonnen pro Sekunde
Totaler Massenverlust der Sonne:
5.3 Millionen Tonnen pro Sekunde
Totaler Massenverlust der Sonne:
5.3 Millionen Tonnen pro Sekunde
Wie lange kann die Sonne das überleben?
Massenverlust der Sonne in 10 Milliarden Jahren:
weniger als 1 Promille
Missverständnisse
Missverständnisse
Nur ganz wenige Leute verstehen die Relativitästheorie
Nicht nur jeder Physik-Student kann die (spezielle) Relativitätstheorie verstehen,
sondern auch jeder Laie, der sich genügend Zeit nimmt und sich die nötigen
elementaren Mathematik-Kenntnisse aneignet.
Missverständnisse
Nur ganz wenige Leute verstehen die Relativitästheorie
Alles ist relativ
Keineswegs. Im Gegenteil: In allen Inertialsystemen haben die physikalischen
Gesetze die gleiche Form.
Es wäre viel besser und weniger missverständlich gewesen, wenn man die
Relativitätstheorie „Invariantentheorie“ genannt hätte.
Missverständnisse
Nur ganz wenige Leute verstehen die Relativitästheorie
Alles ist relativ
Im Weltraum gehen die Uhren langsamer
Nein! Eine Uhr im Weltraum, die sich relativ zur Erde nicht bewegt,
geht schneller, weil sie sich in einem schwächeren Gravitationsfeld befindet
als eine Uhr auf der Erdoberfläche. Hinzu kommt der Effekt, dass die Uhr
auf der Erde infolge der Geschwindigkeit, die sie wegen der Erddrehung hat,
langsamer geht.
Missverständnisse
Nur ganz wenige Leute verstehen die Relativitästheorie
Alles ist relativ
Im Weltraum gehen die Uhren langsamer
Alles nur Theorie
Keineswegs. Die Resultate der Relativitätstheorie wurden in zahllosen
Experimenten immer wieder bestätigt gefunden.
Missverständnisse
Nur ganz wenige Leute verstehen die Relativitästheorie
Alles ist relativ
Im Weltraum gehen die Uhren langsamer
Alles nur Theorie
Was würde nicht richtig funktionieren,
wenn die Relativitätstheorie falsch wäre?
Was würde nicht richtig funktionieren,
wenn die Relativitätstheorie falsch wäre?
Grosse Teilchenbeschleuniger
z.B.: CERN, DESY, Fermilab
Was würde nicht richtig funktionieren,
wenn die Relativitätstheorie falsch wäre?
Grosse Teilchenbeschleuniger
z.B.: CERN, DESY, Fermilab
Navigationssysteme
LORAN ( Long Range Aid to Navigation )
GPS
( Global Positioning System )
Was würde nicht richtig funktionieren,
wenn die Relativitätstheorie falsch wäre?
Grosse Teilchenbeschleuniger
z.B.: CERN, DESY, Fermilab
Navigationssysteme
LORAN ( Long Range Aid to Navigation )
GPS
( Global Positioning System )
Synchronisation des weltweiten Systems von Atomuhren
Die spezielle Relativitätstheorie
ist eine der am besten bestätigten
Theorien der Physik
Herzlichen Dank
für Ihr Interesse
Eine etwas erweiterte und leicht modifizerte Fassung
des Vortrages steht als Skript zur Verfügung.
Google: „Einsteins Relativitätstheorie relativ einfach erklärt“
Kann man ohne Mathematik
eine physikalische Theorie wirklich verstehen?
Kann man ohne Mathematik
eine physikalische Theorie wirklich verstehen?
Aussagen und Resultate der Theorie verstehen: grösstenteils
Kann man ohne Mathematik
eine physikalische Theorie wirklich verstehen?
Aussagen und Resultate der Theorie verstehen: grösstenteils
Herleitungen und Beweise verstehen,
verstehen warum:
nur sehr beschränkt
Kann man ohne Mathematik
eine physikalische Theorie wirklich verstehen?
Aussagen und Resultate der Theorie verstehen: grösstenteils
Herleitungen und Beweise verstehen,
verstehen warum:
Aussagen und Resultate sich vorstellen
nur sehr beschränkt
Kann man ohne Mathematik
eine physikalische Theorie wirklich verstehen?
Aussagen und Resultate der Theorie verstehen: grösstenteils
Herleitungen und Beweise verstehen,
verstehen warum:
nur sehr beschränkt
Aussagen und Resultate sich vorstellen
Klassische Physik:
weitgehend
Kann man ohne Mathematik
eine physikalische Theorie wirklich verstehen?
Aussagen und Resultate der Theorie verstehen: grösstenteils
Herleitungen und Beweise verstehen,
verstehen warum:
nur sehr beschränkt
Aussagen und Resultate sich vorstellen
Klassische Physik:
weitgehend
Relativitätstheorie, Quantenmechanik:
kaum
Roman Sexl, Herbert Kurt Schmid
Raum – Zeit – Relativität
Rowohlt, Reinbek bei Hamburg 1978
Horst Melcher
Relativitätstheorie in elementarer Darstellung
Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1974
Jürgen Freund
Spezielle Relativitätstheorie für Studienanfänger
vdf Hochschulverlag, ETH Zürich 2005
Ulrich E. Schröder
Spezielle Relativitätstheorie
Harri Deutsch, Thun 1987
Jürgen Neffe
Einstein. Eine Biographie
Rowohlt, Reinbek bei Hamburg 2005
Robert Schulmann
Seelenverwandte.
Der Briefwechsel zwischen
Albert Einstein und Heinrich Zangger (1910 – 1947)
NZZ Libro, Zürich 2012
Desanka Trbuhović-Gjurić
Im Schatten Albert Einsteins
Das tragische Leben der Mileva Einstein-Marić
Verlag Paul Haupt, Bern und Stuttgart 1988
Albert Einstein
geb. 14. 3. 1879 in Ulm
gest. 18. 4. 1955 in Princeton
1905: Einsteins „Wunderjahr“ (Annus mirabilis)
Albert Einstein
geb. 14. 3. 1879 in Ulm
gest. 18. 4. 1955 in Princeton
1905: Einsteins „Wunderjahr“ (Annus mirabilis)
1. Eine neue Bestimmung der
Moleküldimensionen
Molekülgrösse
Albert Einstein
geb. 14. 3. 1879 in Ulm
gest. 18. 4. 1955 in Princeton
1905: Einsteins „Wunderjahr“ (Annus mirabilis)
1. Eine neue Bestimmung der
Molekülgrösse
Moleküldimensionen
2. Über die von der molekularkinetischen
Brownsche
Theorie der Wärme geforderte Bewegung Bewegung
von in ruhenden Flüssigkeiten
suspendierten Teilchen.
Albert Einstein
geb. 14. 3. 1879 in Ulm
gest. 18. 4. 1955 in Princeton
1905: Einsteins „Wunderjahr“ (Annus mirabilis)
1. Eine neue Bestimmung der
Moleküldimensionen
2. Über die von der molekularkinetischen
Theorie der Wärme geforderte Bewegung
von in ruhenden Flüssigkeiten
suspendierten Teilchen.
3. Zur Elektrodynamik bewegter Körper
Molekülgrösse
Brownsche
Bewegung
Relativitätstheorie
Albert Einstein
geb. 14. 3. 1879 in Ulm
gest. 18. 4. 1955 in Princeton
1905: Einsteins „Wunderjahr“ (Annus mirabilis)
1. Eine neue Bestimmung der
Moleküldimensionen
2. Über die von der molekularkinetischen
Theorie der Wärme geforderte Bewegung
von in ruhenden Flüssigkeiten
suspendierten Teilchen.
3. Zur Elektrodynamik bewegter Körper
4. Ist die Trägheit eines Körpers von
seinem Energieinhalt abhängig?
Molekülgrösse
Brownsche
Bewegung
Relativitätstheorie
Relativitätstheorie
( E = mc2 )
Albert Einstein
geb. 14. 3. 1879 in Ulm
gest. 18. 4. 1955 in Princeton
1905: Einsteins „Wunderjahr“ (Annus mirabilis)
1. Eine neue Bestimmung der
Moleküldimensionen
2. Über die von der molekularkinetischen
Theorie der Wärme geforderte Bewegung
von in ruhenden Flüssigkeiten
suspendierten Teilchen.
3. Zur Elektrodynamik bewegter Körper
4. Ist die Trägheit eines Körpers von
seinem Energieinhalt abhängig?
5. Über einen die Erzeugung und
Verwandlung des Lichtes betreffenden
heuristischen Gesichtspunkt
Molekülgrösse
Brownsche
Bewegung
Relativitätstheorie
Relativitätstheorie
( E = mc2 )
Lichtquanten
(Photonen)
Einstein war nicht der erste, der einen Zusammenhang
zwischen Masse und Energie gefunden hat:
Masse und Energie
Samuel Tolver Preston
1875
Henri Poincaré
1900
Olinto de Pretto
1903
Hendrik Lorentz
1904
Friedrich Hasenöhrl
1904